EESSTTUUDDIIOO D DEE FFUUNNCCIIOONNEESS::GGRRÁÁFFIICCAASS

EESSTTUUDDIIOO D DEE FFUUNNCCIIOONNEESS::GGRRÁÁFFIICCAASS

Por Mª Ángeles PajueloPor Mª Ángeles PajueloPor Mª Ángeles PajueloPor Mª Ángeles Pajuelo

INFORMACIÓN

Para ver este tema página a página, basta con hacer cliccon el ratón en cualquier parte de la pantalla.Si quisiéramos ver solamente alguno de los apartados quese especifican en la siguiente hoja (Índice), hacer clic en elbotón rojo correspondiente. Una vez finalizado dichoapartado,aparecerá un botón amarillo de retroceso.Pulsando dicho botón,volveremos al índice, para así irnos de nuevo a otro apartado.

DOMiNIODOMiNIO

SIMETRÍASIMETRÍA

PERIODICIDADPERIODICIDAD

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJESPUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO: MÁXIMOS Y CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO: MÁXIMOS Y

MÍNIMOSMÍNIMOS

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD: PUNTO DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD: PUNTO DE

INFLEXIÓNINFLEXIÓN

ASÍNTOTASASÍNTOTAS

GRÁFICOSGRÁFICOS

DOMINIODOMINIO

Llamamos Llamamos dominio de definicióndominio de definición de una de una función, al conjunto de valores que puede función, al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x para que tomar la variable independiente x para que

dicha función tenga sentido.dicha función tenga sentido.

y=senx.................D=Ry=senx.................D=R

y =x

x -1D = - 1

2

...........

y = x -1 D = x ,,x 1.........

y x ln( )............2 D = x ,,x > 2

Ejemplos de dominio

y=x3+2x2-x-1...........D=R

- Una función y=f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas, si es par, es decir, si f(x)=f(-x)- Una función y=f(x) es simétrica respecto al origen de coordenadas, si es impar, es decir, si f(x)=-f(-x)- Menos interés tiene la simetría respecto al eje de abscisas, pues las correspondencias que presentan esta simetría no son funciones (por abuso del lenguaje, a veces, se les sigue llamando funciones.). Esta simetría se presenta cuando f(x)=-f(x).

Simetrías

Ejemplos de simetrías1) y=x2+3 es par pues f(x)=f(-x), y por tanto es simétrica respecto al eje de ordenadas

2) y=cos(x) es par pues f(x)=f(-x), y por tanto es simétrica respecto al eje de ordenadas

3) y=x3-x es impar pues f(x)=-f(-x), y por tanto es simétrica respecto al origen de coordenadas

4) y2=x(no es una función) presenta simetría respecto al eje de abscisas

5) y=x2+x no presenta ninguna de las simetrías estudiadas, ya que f(-x)=(-x)2+(-x)=x2_x

PeriodicidadPeriodicidad

Una función y=f(x) decimos que es periódica y de periodo p, cuando se verifica que :

f(x)=f(x+p).Si p es periodo, también lo es np, siendo n cual-quier nº entero, ya que:f(x)=f(x+p)=f[(x+p)+p]=f(x+2p)=f[(x+2p)+p]=.........=f(x+np)De todos los periodos que pueda tener una función,al menor de todos los positivos se le llama periodoprincipal.La gráfica de una función periódica, se repite en cada periodo.

Ejemplos de periodicidadEjemplos de periodicidad1) 1) y=senxy=senx es periódica de periodo 2 es periódica de periodo 2

senx = sen(x+2 )senx = sen(x+2 )

2) 2) y=tgxy=tgx es periódica de periodo es periódica de periodo tgx=tg(x+ )tgx=tg(x+ )

3) 3) y=x - E(x)y=x - E(x) es periódica de periodo 1. es periódica de periodo 1.

Puntos de corte con los ejesPuntos de corte con los ejes

Para hallar los puntos de corte con el eje de abcisas, se resuelve el sistema formado por la ecuación de la función y la recta y=0 (eje de abcisas).Para hallar los puntos de corte con el eje de ordenadas, se resuelve el sistema formado por la ecuación de la función y la recta x=0 (eje de ordenadas)

•

CrecimientoCrecimiento

--Una función Una función f(x)f(x) diremos que es diremos que es creciente creciente en un en un

intervalo (a,b), cuando tomados dos puntos c y d intervalo (a,b), cuando tomados dos puntos c y d de ese intervalo, de ese intervalo, sisi c<dc<d f(c) f(c) f(d) f(d)

--Una función Una función f(x)f(x) diremos que es diremos que es estrictamente estrictamente

crecientecreciente en un intervalo (a,b), cuando tomados en un intervalo (a,b), cuando tomados dos puntos cualesquiera c y d de ese intervalo,dos puntos cualesquiera c y d de ese intervalo,sisi c<d c<d f(c)<f(d) f(c)<f(d)

--Una función f(x) diremos que es creciente (o Una función f(x) diremos que es creciente (o

estrictamente creciente) en un punto, cuando estrictamente creciente) en un punto, cuando existe un entorno de dicho punto donde la función existe un entorno de dicho punto donde la función es creciente (o estrictamente creciente).es creciente (o estrictamente creciente).

•

DecrecimientoDecrecimiento

--Una función Una función f(x)f(x) diremos que es diremos que es decreciente decreciente en en

un intervalo (a,b), cuando tomados dos puntos c y un intervalo (a,b), cuando tomados dos puntos c y d de ese intervalo, d de ese intervalo, si c<d si c<d f(c) f(c)f(d) f(d)

--Una función Una función f(x)f(x) diremos que es diremos que es estrictamente estrictamente

decrecientedecreciente en un intervalo (a,b), cuando tomados en un intervalo (a,b), cuando tomados dos puntos cualesquiera c y d de ese intervalo,dos puntos cualesquiera c y d de ese intervalo,sisi c<d c<d f(c)>f(d) f(c)>f(d)

--Una función f(x) diremos que es decreciente (o Una función f(x) diremos que es decreciente (o

estrictamente decreciente) en un punto, cuando estrictamente decreciente) en un punto, cuando existe un entorno de dicho punto donde la función existe un entorno de dicho punto donde la función es decreciente (o estrictamente decreciente).es decreciente (o estrictamente decreciente).

Criterio de crecimiento y decrecimientoCriterio de crecimiento y decrecimientoSea y=f(x)-f es estrict. creciente en a f ‘(a)>0-f es estrict. decreciente en a f ‘(a)<0

(demostraremos solo la implicación hacia la izquierdadel primer apartado pues las demás se harían de igual forma):

demostración:Si f ‘(a)>0

0a-xf(a)-f(x)

E(a),0a-xf(a)-f(x)

límax

a en creciente estrict. es ff(a)f(x)ax si

f(a)f(x)ax si

Máximos y mínimos relativos. Extremos-f posee en a un máximo relativo -f posee en a un mínimo relativo A los máximos y mínimos relativos, se les llama extremos También podemos dar las siguientes definiciones:- f posee en a un máximo relativo, cuando existe un entorno de a tal que a la izquierda de a la función escreciente y a la derecha de a la función es decrecien-te.- f posee en a un mínimo relativo, cuando existe un entorno de a tal que a la izquierda de a la función esdecreciente y a la derecha de a la función es crecien-te.Por tanto la C.N. Para que f posea en a un extremo esque f ‘(a)=0 , pues si fuera < o >, sería crec. o decrec.

f(a)f(x) E(a), xf(a)f(x) E(a),x

Criterio de la 2ª derivada para máximos y mínimo

Sea y=f(x) tal que f ‘(a)=0

- f posee en a un máximo relativo f ``(a)<0

- f posee en a un mínimo relativo f ``(a)>0

(Estas demostraciones se dejan para el alumno)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máx y Mín.

Veámoslo mediante algún ejemplo: Hallar los intervalos de crec. y decrec, así como losextremos de la función f(x)=x3- 3x2

Resolución:Puntos que anulan a f ‘(x): f ‘(x)=3x2-6x,, 3x2-6x=0,,x=0 y x=2Estos 2 puntos hallados dividen al dominio de f en:

Veamos otro ejemplo de crec. y decrec.

Estudiar la monotonía y extremos de la función:

Resolución:y ‘ =(-x2-1)/(x2-1)2

Observemos que no existe ningún valor de x queanule a y ‘, por lo que deducimos que no existe máximo ni mínimo. Además, y ‘ es siempre negativa, por lo que la función es siempre decreciente.

1xx

y2

Concavidad y convexidad: P.I.Concavidad y convexidad: P.I.

•Una función decimos que es cóncava en un punto x0, cuando la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente a la curva en dicho punto.

•Una función decimos que es convexa en un punto x0, cuando la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente a la curva en dicho punto.

•El punto de la gráfica donde la función pasa de cóncava a convexa (o viceversa), se llama punto de inflexión

Aquí tenemos un ejemplo :Aquí tenemos un ejemplo :

Criterio de concavidad y convexidad

Si f posee en x0 un punto de inflexión, entoncesf’’(x0)=0

Si f’’(x0)<0, entonces f es convexa en x0

Si f’’(x0)>0, entonces f es cóncava en x0

Intervalos de conc. y conv.; P.I.Intervalos de conc. y conv.; P.I.

Veamoslo con un ejemplo:

Halla los intervalos de concavidad, convexidad y punto de inflexión de la función f(x)=x3-3x

Calculemos los puntos que anulan a la 2ª derivada,puesestos puntos serán los posibles puntos de inflexión, y además, dividen al dominio de la función (que en este caso es todo R) en intervalos:f`(x)=3x2-3 f´´(x)=6x 6x=0 x=0

(-,0) x=0 (0,)signo de f´´ - P.I + f es convex (0,0) cóncav

AsíntotasAsíntotasUna recta r diremos que es una asíntota de la gráfica de la función y=f(x), cuando la distancia entre un punto de la curvay la recta tiende a cero, a medida que dicho punto recorreuna rama infinita, es decir, a medida que dicho punto se ale-je indefinidamente del origen de coordenadas.Para que una función posea una rama infinita, se debe verificar uno de los siguientes casos.

f(x)lím ó bf(x)lím ó f(x)límxxax

Existen tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales yoblicuas.

•Asíntota vertical:Existe, cuando se verifica quelímxaf(x)=y la asíntota es x=a

•Asíntota horizontal:Existe, cuando se verifica quelímxf(x)=by la asíntota es y=b

•Asíntota oblicua:Si existe, será de la forma y=mx+b, dondem=límx

xf(x)

n=límx{f(x)-mx}

Veamos unos ejemplos de asíntotas:Veamos unos ejemplos de asíntotas:

Calcula las asíntotas de la función: y= x

1x 2

•límx0f(x)=x=0 es una asíntota vertical

•límxf(x)= no existe asíntota horizontal

•Si hay asíntota oblicua será de la forma y=mx+n

m=límx1

1lím

1x

2

2

x

2

xx

xx

n=límx 01

lím1

x

2

xx

xx y=x A.O.

Calcula las asíntotas de la función f(x)= 1

22 xx

•límx1f(x)= y límx-1f(x)=

En este caso, existen dos asíntotas verticales:x=1 y x=-1

•límxf(x)=0 y=0 es una asíntota horizontal

•No existe asíntota oblicua ya que límx{f(x)/x}=0

Veamos unos ejemplos de gráficasVeamos unos ejemplos de gráficas

Haremos primeramente un estudio de la función, y en la diapositiva

siguiente veremos su gráfica.

Observemos como el estudio realizado, coincide con la gráfica

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN. GRÁFICASESTUDIO DE UNA FUNCIÓN. GRÁFICAS

Estudia y representa gráficamente la funcióny = x4- 3x2- 1

•Dominio: R

•Simetría: f(-x)=(-x)4-3(-x)2-1=x4-3x2-1=f(x)f es parluego la función es simétrica respecto a OY

•Corte con los ejes: x=0y=-1 y=0x4-3x2-1=0 Los puntos de corte con los ejes son.

(0,-1) y (1,8173,0)

8173,12

133x

2493

x 2

•Periodicidad: no es periódica por ser polinómica

•Intervalos de crec y decr. Máximos y mínimos: f´(x)=4x3-6x; 4x3-6x=0x(4x2-6)=0x=0 ,

23

-x y 23

x

),23

( 23

x )23

(0, 0x )0,23

(- 23

-x )23

,-(-

sig f´ - m + M - m +f es

•Intervalos de concavidad, convexidad. Puntos de inflexión: f´´(x)=12x2-6; 12x2-6=0x=2 /2 y x=-2 /2

),22

( 22

x )22

,22

(- 22

-x )22

,-(

Sig f´´ + PI. - P.I. +f es cóncav convx cóncav

•Asíntotas : no tiene por ser f polinómica

Pasemos a la representación gráfica dePasemos a la representación gráfica de

Otro ejemploOtro ejemplo

Aquí tienes la Aquí tienes la gráfica de la función gráfica de la función derivada de una derivada de una cierta función f. Di cierta función f. Di todo lo que puedas todo lo que puedas de la función fde la función f

Supongamos que f´corta al eje de abscisas en los puntos-1,2 y 1,2. Supongamos además que el máximo y el mínimolo alcanza f´en -0,7 y 0,7.

Como f´es negativo en (-, -1,2) y en (0, 1.2), resulta que enesos dos intervalos, f es decreciente.Como f´es positiva en (-1.2, 0) y en (1.2, ), resulta que enesos dos intervalos, f es creciente.Como en -1.2 y en 1.2, f pasa de ser decreciente a crecienteresulta que en esos dos puntos f alcanza un mínimoComo en 0, f´(0)=0, y f pasa de ser creciente a decreciente,en 0 f posee un Máximo.Además, f´´(-0.7)=0 y f´´(0.7)=0 , y en 0.7 y en -0.7 hay un cambio de concavidad, resulta que f posee en esos puntos un punto de inflexión.

Estudia y representa gráficamente la función:

1-xx

f(x)2

•Dominio: R-{1}•Simetrías: f(-x)=(-x)2/(-x-1)=x2/(-x-1) ; -f(-x)=x2/(x+1)

La función no es par ni impar y por tanto no presentasimetrías respecto a OY ni respecto a (0,0)

•Periodicidad: f no es periódica, pues no existe p tal quef(x)=f(x+p)

•Corte con los ejes: (0,0)

•Crec. y decrec. Máximos y mínimos:

f´(x)= ; f´(x)=0x2-2x=0x=0 y x=22

2

2

2

)1(2

)1()1(2

xxx

xxxx

(-,0) x=0 (0,1) (1,2) x=2 (2,) signo f´ + - - + f es

•Concavidad, convexidad y punto de inflexión:

f´´(x)=33

2

4

22

)1(2

)1(2).2()1).(22(

)1()1.(2).2()1).(22(

xxxxxx

xxxxxx

Vemos que no hay ningún punto que anule a f´´.Pero observando f´´ llegamos a que:

si x<1 f´´<0 f es convexa en (-,1)si x>1 f´´>0 f es cóncava en (1,)

•Asíntotas: A.V. es 1xf(x)

A.H. existe nof(x)

lím

lím

1x

x

1)1

(lím )1

(límn

1límm :A.O.

22

x

2

x

2

2

x

xxxx

xxxxx

x

Por tanto, la asíntota oblicua es y=x+1

•Veamos entonces la representación gráfica de la función:

Estudia y representa gráficamente la función

1-x1x

f(x)

•Dominio: R-{1}•Simetrías: f(-x)=(-x+1)/(-x-1) =(x-1)/(x+1)

-f(-x)=(-x+1)/(x+1) no existe simetrías respecto a OY ni a (0,0)

•Periodicidad: no tiene•Cortes con ejes: (0,-1), (-1,0)•Crec y decr. Máximos y mínimos. Conc y convx. P.I.

34

22

)1(4

1)-(x1)-2.2.(x

f´´(x)

)1(2

1)-(x1)(x-1)-(x

f´(x)

x

x

Observemos que no existe ningún valor que anule a f´,por lo que no existe máximo ni mínimo.Además, como f´ es siempre negativa, esto nos indicaque f es siempre decreciente en todo su dominio.

Observemos también que no existe ningún valor que anule a f´´. Esto nos indica que no existe punto de inflexiónPero f´´<0 para x<1 f es convexa en (-,1) y f´´>0 para x>1 f es cóncava en (1,)

•Asíntotas: límx 1f(x)= , x=1 es asíntota vertical límx f(x)=1 , y=2 es asíntota horizontalNo existe asíntota oblicua

•Representación gráfica:

Estudia y representa gráficamente la función

1xx

f(x)2

3

•D=R-{1,-1}•Simetría: f(-x)=-x3/(x2-1). f es impar y por tanto es simétrica respecto del origen de coordenadas•Cortes con los ejes: (0,0)•Crec y decr. Máx y mín. f´(x)=[3x2(x2-1)-x3.2x}/(x2-1)2= (x4-3x2)/(x2-1)2

f´(x)=0x4-3x2=0x=0, x=-3, x=+3),3( 3x )3(1, (0,1) 0x (-1,0) )1,3(- 3-x )3,-(-

´f´ + M - - - - mín +f

Máximo (-3,-33/2) mínimo (3,33/2)

•Concavidad, convexidad y punto de inflexión

22

3

3

2423

4

224223

)1(12

)1(2).3()1).(6(4x

)1(2).1.(2).3()1).(6(4x

f´´(x)

xx

xxxxxx

xxxxxxx

f´´(x)=0 12x2=0 x=0

(-,-1) (-1,0) x=0 (0,1) (1,)signo f´´ - + P:I. - +f es conv cónc (0,0) conv cónc

•Asíntotas: x=1 y x=-1 son asíntotas verticalesNo tiene asíntotas horizontales.m=límxf(x)/x =1n=límx{f(x)-x}=0

y=x es la asíntota oblicua

•Representación gráfica:

Construcción de funciones a partir de otras conocidas

•Funciones opuestas:las funciones opuestas son simétricasrespecto del eje de ordenadas. Conocida una de ellasla otra se construye por simetría.

•Funciones valor absoluto

Observemos que la función valor absoluto tiene la misma parte positiva que f, y la opuesta de la negativa de f, que se construye por simetría respecto del eje de ordenadas.Para construir la función valor absoluto, debemos construirla función sin valor absoluto

•Funciones recíprocas

Las funciones recíprocas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. Conocida una de ellas, seconstruye la otra por simetría.

•Funciones trasladadas

La traslación de funciones da lugar a otras muchas quepueden obtenerse fácilmente a partir de la primera.En el esquema de la siguiente diapositiva, se muestranlas principales traslaciones.Observemos quien es el vector traslación y la funciónresultante. Hemos de llegar a la conclusión:

función original vector traslación función trasladadaf(x) (a,b) f(x-a)+b

Todas las funciones del esquema se obtienen a partir dela función f(x)=x2

FINFIN

Espero que hayas Espero que hayas aprendido el estudio aprendido el estudio de una función y su de una función y su representación representación gráfica.gráfica.