',e'5,&2 3HUSHQGLFXODULGDG 'LHJRGH0LJXHO U

4. Segmento perpendicular a la recta r desde el punto P.

P2

P1

r2

r1

3. Segmento perpendicular desde el punto P al plano α.

P2

P1

α2

α1

P2

P1

1. Recta perpendicular al plano α que contenga al punto P.

α1

α2

2. Plano perpendicular a la recta r que pase por el punto P.

r1

r2

P2

P1

1DIÉDRICO: Perpendicularidad Dibujo TécnicoDiego de Miguel

4. Segmento perpendicular a la recta r desde el punto P.

P2

P1

I1

I2

d2

d1

α2

α1 β1

=β2=i2

r2

i1

Hi

Vi

r1

3. Segmento perpendicular desde el punto P al plano α.

P2

P1

α2

α1

r1

=β1=i1

β2

Vi

Hi

r2

I1

I2

i2

d2

d1

P2

P1

1. Recta perpendicular al plano α que contenga al punto P.

α1

α2

r1

r2

2. Plano perpendicular a la recta r que pase por el punto P.

r1

r2

s1

s2Vs

α1

α2

P2

P1


P2

P1

r2

3. Hallar el segmento mínima distancia entre el punto P y la recta r.

r1

2. Determinar el plano perpendicular al segmento AB, queequidiste de ambos puntos (PAU, septiembre 2010).

A1

B1

A2

B2

1. Segmento mínima distancia entre el punto P y la recta r.

P2

P1

r2

r1


P2

P1

r2


r1

=β2=i2

I1

I2

z

z

d1

d2

d(VM)

α2

β1

Vi

Hi

i1

α1

h2

h1

Vh

2. Determinar el plano perpendicular al segmento AB, queequidiste de ambos puntos (PAU, septiembre 2010).

A1

B1

A2

B2

M1

M2

f1

f2

h2

Hh

Vh

h1 α1

α2

1. Segmento mínima distancia entre el punto P y la recta r.

P2

P1

=β2=i2

r2

α2

α1

β1

Vi

Hi

i1

I1

I2

r1


1. Hallar el segmento perpendicular común a las dos rectas dadas, r y s.


r2

r1

s2

s1

2. Hallar la intersección entre el plano α, definido por el punto A y la recta r, y la recta s.

s1

s2

r2

r1

A2

A1

1. Hallar el segmento perpendicular común a las dos rectas dadas, r y s.


r2

r1

s2

s1

M2

M1

s'1

s'2

Vr

Vs'

Hr

α2

α1

P2

P1

β2

β1

Q2

Q1

Q1

P1

Q2

P2

i1

Hi

=i2

Vi

2. Hallar la intersección entre el plano α, definido por el punto A y la recta r, y la recta s.

I2

I1

s1

s2

r2

r1

Vr

Hr

=Htα1

α2

D2

D1

A2

A1

t2

t1

Vt

β2

=β1=i1

i2

P2

P1

r1

r2

1. Hallar la recta perpendicular a la r dada que pase por el punto P.

4Dibujo TécnicoDiego de MiguelDIÉDRICO: Perpendicularidad

P2

P1

r1

r2


α1 β1

α2 =β2

I1

I2

p1

p2

s1

s2 Vs

i1

=i2

Vi

Hi


P2

P1


r2

r1


P2

P1


s1

s2Vs

α2

α1

r2

r1=β1

=i1

Hi

Vi

β2

i2

I2

I1

p1

p2


P2

P1

r1

r2



P2

P1

r1

r2


α2 =β2

h1

h2 Vs

=i2

α1 β1

Vi

Vi

Hi

I2

I1

p2

p1


α1

α2

2. Trazar, por el punto P, un plano perpendicular al dado.

r1

r2


7Dibujo TécnicoDiego de Miguel

P2

P1

P2

P1

DIÉDRICO: Perpendicularidad

α1

α2

β1

β2

2. Trazar, por el punto P, un plano perpendicular al dado.

1. Recta r que pasa por P y es perpendicular a α(r1 perpendicular a α1, r2 perpendicular a α2).

2. Cualquier plano que contenga a r (β1 pasa porHr, β2 pasa por Vr) será perpendicular a α.

r1

r2

HrVr

r1

r2


=β2

=i2

β1

α2

α1

Vi

Hi

i1

I2

I1p1

p2


P2

P1

P2

P1


α1

α2

β1

β2

1. Trazar, por el punto P, un plano perpendicular a los dos planos dados.

α1

α2

2. Trazar un plano perpendicular al dado que contenga a la recta r.

r1

r2

Hr

Vr


P2

P1


α1

α2

β1

β2

1. Trazar, por el punto P, un plano perpendicular a los dos planos dados.

1. Recta r que pasa por P y es perpendicular a α (r1perpendicular a α1, r2 perpendicular a α2).

2. Recta s que pasa por P y es perpendicular a β (s1perpendicular a β1, s2 perpendicular a β2).

3. El plano γ de trazas γ1=(Hr, Hs) γ2=(Vr, Vs) es la solución.

r1

r2

Vr

Hr

Vs

Hs

s1

s2

γ1

γ2

α1

α2

2. Trazar un plano perpendicular al dado que contenga a la recta r.

1. Punto arbitrario P sobre r.2. Recta s que pasa por P y es perpendicular a α

(s1 perpendicular a α1, s2 perpendicular a α2).3. El plano β=(r, s) de trazas β1=(Hr, Hs) β2=(Vr, V

s) es la solución.

r1

r2

Hr

Vr

P1

P2 Hs

Vs

β1

β2

s1

s2


P2

P1


1. Hallar el plano perpendicular al plano α que contenga a los puntos A y B.

B1

B1

A2

A1

α2

α1


1. Hallar el plano perpendicular al plano α que contenga a los puntos A y B.

B1

B1

A2

A1

α2

α1

r1

r2

Hr

Vr

s1

s2

Hs

Vs

β2

β1


P2

P1

r2

1. Hallar, en posición y magnitud, el segmento mínima distancia entre el punto P y la recta r.

r1

2. Trazar el segmento mínima distancia entre el punto P y la recta r.

P2

P1

r2

r1


P2

P1

r2

1. Hallar, en posición y magnitud, el segmento mínima distancia entre el punto P y la recta r.

r1

=β2=i2

I1

I2

z

z

d1

d2

d(VM)

α2

β1

Vi

Hi

i1

α1

h2

h1

Vh

2. Trazar el segmento mínima distancia entre el punto P y la recta r.

P2

P1

=β2=i2

r2

α2

α1

β1

Vi

Hi

i1

I1

I2

r1


1. Trazar el segmento mínima distancia entre el punto P y larecta r.

P2

P1

r2

r1

P2

P1

r2


r1

2. Trazar el segmento mínima distancia entre el punto P y elplano α.

P2

P1

α2

α1


1. Trazar el segmento mínima distancia entre el punto P y larecta r.

P2

P1

I1

I2

d2

d1

α2

α1 β1

=β2=i2

r2

i1

Hi

Vi

r1

P2

P1

r2


r1

=β2=i2

I1

I2

z

z

d1

d2

d(VM)

α2

β1

Vi

Hi

i1

α1

h2

h1

Vh

2. Trazar el segmento mínima distancia entre el punto P y elplano α.

P2

P1

α2

α1

r1

=β1=i1

β2

Vi

Hi

r2

I1

I2

i2

d2

d1


3. Trazar el segmento mínima distancia entre el punto P y el plano α.

P2

P1

α2

α1


P2

P1

r2

r1


3. Trazar el segmento mínima distancia entre el punto P y el plano α.

P2

P1

α2

α1

I1

I2

r1

=β1=i1

β2

r2

d2

d1

i2

Vi

Hi


P2

P1

r2

r1

=β2=i2

α2

α1β1

Hi

I1

I2

d1

d2

i1


',e'5,&2 3HUSHQGLFXODULGDG 'LHJRGH0LJXHO U

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