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Durante los años de 2006 a 2008 el precio del

barril de petróleo estuvo aumentando de manera

más o menos sostenida. En un primer momento,

esto podría parecer favorable para las economías

exportadoras del petróleo y podría pensarse que

el aumento en el precio del petróleo les favorece

enormemente. Pero lo cierto es que en el caso de

México hay quizás más inconvenientes que convenientes.

Nuestro país es un exportador de petróleo y mucho de los ingresos con que los que

cuenta provienen de la venta de este recurso. Sin embargo ahora que el precio es

alto, la venta de petróleo ha disminuido debido a que la falta de inversión en

infraestructura ha provocado una baja en el volumen extraído de petróleo, y si a

esto le agregamos que falta invertir también en refinerías, el problema se

engrandece, ya que México gasta muchos recursos en la importación de derivados

del petróleo principalmente de gasolina.

Consecuentemente, el precio de la gasolina se ha

encarecido debido a la alza en los precios del

petróleo y al encarecerse esta fuente de energía se

encarecen también los productos, ya que muchos de

ellos requieren de este energético en sus procesos

de producción, situación que impacta negativamente en nuestra economía. En este

sentido, con el fin de planear los presupuestos gubernamentales y empresariales

resulta conveniente predecir la tendencia y rapidez de evolución del precio del

petróleo.

El dueño de la empresa Petroquimir, preocupado por

esta situación se muestra interesado en conocer la

rapidez con la que cambia el precio del petróleo y la

gasolina y con base en ello realizar una planeación

financiera adecuada, debido a que la empresa se

encarga de comercializar los productos derivados del

petróleo, razón por la cual decide contratar sus servicios como asesor.

PQ

Petroquimir



Para ello le proporciona la siguiente tabla en la que se indica el precio del barril de

la mezcla de petróleo de exportación, así como el precio de la gasolina PEMEX

diesel en el país, excluyendo la frontera, durante los meses de enero de 2007 hasta

octubre de 2009:

Evolución histórica del precio de la mezcla de barril de

petróleo y de la gasolina PEMEX diesel

Mes Precio del

petróleo

Precio de la

gasolina

Enero 2007 44.4 5.72

Febrero 48.35 5.75

Marzo 50.47 5.77

Abril 54.55 5.79

Mayo 56.19 5.82

Junio 60 5.84

Julio 64.54 5.87

Agosto 63.04 5.9

Septiembre 67.49 5.93

Octubre 72.08 5.93

Noviembre 79.84 5.93

Diciembre 79.57 5.93

Enero, 2008 80.15 5.95

Febrero 81.4 5.97

Marzo 89.35 5.99

Abril 94.9 6.02

Mayo 104.18 6.05

Junio 114.15 6.1

Julio 120.25 6.18

Agosto 106.64 6.48


Octubre 60.27 6.88

Noviembre 42.4 7.08

Diciembre 33.27 7.33

Enero 2009 37.95 7.58

Febrero 38.24 7.63

Marzo 42.03 7.68

Abril 47.77 7.73

Mayo 56.42 7.78

Junio 64.36 7.83

Julio 60.95 7.88

Agosto 67.21 7.93


Octubre 68.79 8.03

Fuente: INEGI, con información obtenida en Petróleos Mexicanos. Informes. Indicadores Petroleros. http://www.inegi.gob.mx

http://www.inegi.gob.mx/



Tomando en cuenta la tabla anterior, y con la finalidad de proporcionar la

información solicitada por el dueño de la empresa Petroquimir, realice lo siguiente:

a) Grafique los datos del precio del petróleo.

b) Observe que en julio de 2008 la mezcla de petróleo alcanzó su valor promedio

mensual máximo y a partir de ese mes empezó a declinar. Debido a que aquí

hay un cambio importante en la economía, determine la función polinomial de

regresión de tercer grado que describe la evolución del precio del petróleo a

través del tiempo, pero sólo para el intervalo: julio 2008 a octubre 2009

(consultar el anexo 1 para ver cómo se hace la regresión en Excel).

c) Calcule la función derivada de la función de regresión.

d) Calcule el valor del barril de petróleo para el mes de noviembre de 2009, usando

la función obtenida en el inciso a, y compárelo con el valor real (para saber su

valor, consulte la página http://www.inegi.gob.mx. Use el buscador con las

opciones: “petroleo precio” y “en todo el sitio”).

e) Utilice la función derivada obtenida en el inciso c) y calcule con qué rapidez

aumenta el precio en mayo de 2009, y conociendo su valor en ese mes,

determine si este aumento concuerda con el valor real observado en junio de

2009.

f) Repita los cinco incisos anteriores para los datos de la gasolina (también en el

periodo: julio 2008 a octubre 2009. Sólo que en el inciso b no buscaremos una

función polinomial de tercer grado sino de segundo. Pida a Excel que le

determine la regla de correspondencia de dicha función, y úsela para contestar

los demás incisos para el caso de la gasolina.

g) Utilice las funciones obtenidas para pronosticar el precio del petróleo y de la

gasolina para los meses de enero, febrero y marzo de 2010. Con base en los

resultados, ¿a que conclusiones se puede llegar respecto de la conveniencia de

hacer estas extrapolaciones (pronósticos de mediano o largo plazo)?

http://www.inegi.gob.mx/



Anexo 1

Cómo se usa Excel para obtener la ecuación de regresión de un conjunto de datos

Para ilustrar el procedimiento, consideremos la siguiente función. Es decir, ya

conocemos la fórmula y es esta:

Y = 0.03 x3 + 1.25 x2 – 1.6x – 100

Construyamos ahora una tabla de valores (x, y) para la función:

X f(x) = Y

-45 -230.5

-40 44

-35 201

-30 263

-25 252.5

-20 192

-15 104

-10 11

-5 -64.5

0 -100

5 -73

10 39

15 258.5

20 608

Hasta aquí nosotros ya sabemos cuál es la ecuación que relaciona a la variable X

con la Y. Incluso hemos construido la tabla a partir de dicha fórmula. Pongamos a

prueba al programa Excel. Insertemos los datos de la tabla Démosle la tabla y

pidamos que determine cuál es la ecuación (a esto se le llama precisamente Método

de Regresión, porque partiendo de los puntos (X, Y) obtenemos la ecuación). La

manera de hacer este método es la siguiente:

1. Escribamos la tabla en una hoja de Excel:



2. Sombreemos los datos (x, y) y demos clic en el ícono de graficar en la barra de

menús. Aparecerá una ventana como la siguiente. Pidamos que grafique con el

tipo “dispersión” y que sólo grafique los puntos:

3. Una vez

dando

clic en “siguiente >” y siguiendo las instrucciones de las ventanas posteriores



que piden indicar las diferentes opciones como títulos, posición de la leyenda,

etc., daremos clic en “Finalizar” y aparecerá una gráfica semejante a la

siguiente:

4. Pongamos el mouse sobre uno de los puntos y demos clic derecho. Aparecerá

un menú como el siguiente. Bajemos hasta seleccionar “Agregar línea de

tendencia…” y demos clic izquierdo.



5. Ahora aparecerá un menú con dos pestañas: Tipo y Opciones. En la pestaña

Tipo debemos elegir el tipo de función que buscamos. ¿Los puntos parecen

estar sobre una recta? Dé clic en Lineal. ¿O se parecen a un polinomio? Dé clic

en polinomial. Pero antes, se puede elegir el grado del polinomio. Como vemos

que nuestra gráfica tiene dos “jorobitas” pidamos una función polinomial de

grado u orden 3. Todavía NO de clic en Aceptar.

6. Ahora dé clic en la pestaña de “Opciones” y active las casillas: “Presentar

ecuación en el gráfico” y “presentar el valor de R cuadrado en el gráfico”



7. Hecho lo anterior, sobre el diagrama de dispersión aparecerá la línea (curva)

de tendencia y la ecuación polinomial que estábamos buscando. Excel “le

atinó” esa era la ecuación que inventamos. El valor R2 se llama coeficiente de

determinación,

se mide como un porcentaje y nos dice qué tanto ajusta la ecuación al conjunto

de datos. Aquí R2 = 1 lo cual indica que la ecuación ajusta al 100% con los

datos.

Esto era de esperarse porque la tabla estaba generada de manera perfecta con

la ecuación.

En la vida real los puntos están dispersos y los ajustes son de diferente

porcentaje. Pero entre más cerca esté del 100%, mejor será la ecuación

obtenida.

8. Esto es todo, es así como a partir de un conjunto de datos podemos descubrir

la ecuación que los describe. Esta ecuación nos servirá para predecir otros

valores de Y para cualquier X que necesitemos. Y si la derivamos podemos



conocer la rapidez con la que aumenta instantáneamente la variable Y en un

punto X específico.

La empresa Notebook Style fabrica cuadernos escolares de tamaño profesional con

espiral y sabe que para incrementar ventas necesita ofrecer su producto a menor

precio. En ocasiones, esta disminución se ve

compensada por un mayor volumen de ventas, lo cual

hace que el ingreso no disminuya, sino que se mantenga

estable o incluso se incremente. En otras situaciones, la

disminución en el precio no se ve compensada por el

mayor volumen en las ventas, y en consecuencia el

ingreso total disminuye, a pesar de la aparente paradoja

de que aun vendiendo más el ingreso disminuya.

Por otro lado, un incremento en la demanda obliga a hacer lo mismo en la

producción, lo cual lleva aparejado un incremento en diferentes tipos de costos de

todo el proceso de producción y comercialización. Al principio, cuando la demanda

es aún baja, es posible que los costos sean muy altos, pero a medida que la

producción aumenta varios costos se prorratean entre más artículos producidos, lo

cual causa que el costo unitario de producción disminuya.

Podríamos aplicar aquello de que “en mayoreo sale más

barato”. Sin embargo, esta tendencia a la baja puede frenarse

de pronto y comenzar a incrementarse con la producción,

debido probablemente a otros factores como, por ejemplo, el

desgaste de la maquinaria o un alza en los costos de

mantenimiento y almacenaje.

Todo lo anterior, aunado a otros factores imponderables como la competencia en el

mercado, la posición del consumidor ante nuestro producto, el ambiente político,

social e incluso el climático, harán que las variaciones en las ventas y en los costos

no sean sistemáticas, sino que muestren cierto

comportamiento aleatorio. No obstante, en algunos casos

las variaciones muestran una tendencia que puede

NS



describirse mediante una función que depende de la demanda. Esta función se hace

más compleja en la medida en que sean muchos los factores considerados.

El gerente de finanzas de la empresa Notebook Style desea saber cuántos cuadernos

debe ofrecer al mercado consumidor para que la utilidad sea máxima. El sabe que si

la oferta es baja, los costos pueden ser altos, disminuyendo la utilidad; por otro

lado, un incremento en la oferta presupone una disminución en el precio que

provoca también una disminución en la utilidad. El gerente piensa en un punto

medio para el cual la producción logra una utilidad máxima. El objetivo será

encontrar ese nivel de producción que maximiza la utilidad.

Para lograr su objetivo, el gerente extrajo de los diversos informes de la empresa

dos tablas de datos. En la primera figuran la demanda del producto y su precio, y en

la segunda hay un historial de la producción y su costo.

Tabla 1. Demanda del producto (cuaderno) y su precio.

q

(unidades)

P

(pesos)

500 6.83

1000 6.67

1500 6.51

6000 5.38

9000 4.83

12000 4.38

15000 4

18000 3.68

27000 2.98

36000 2.5

40000 2.33

50000 2



Tabla 2. Historial de la producción y costo

q

(unidades)

Costo

(pesos)

500 10000

1000 12500

1500 14000

6000 23500

9000 27000

12000 36500

15000 39500

18000 48000

27000 66000

36000 81000

40000 92000

50000 109000

Tomando en cuenta esta información estadística, realice lo siguiente:

a. Determine la función potencial que describe el comportamiento demanda-

precio. Es decir, construya la función de demanda. Para recordar cómo se usa

la herramienta de regresión lineal de Excel, acuda al anexo 1 del caso práctico

integral 1.

b. Determine la función de costo que relaciona al costo con la demanda.

c. A partir de la función de demanda determinada en el inciso a, construya la

función de ingreso.

d. Una vez construidas las funciones de costo e ingreso en los dos incisos

anteriores, obtenga la función de utilidad.



e. Obtenga los puntos críticos de la función de utilidad y, mediante el criterio de la

primera o segunda derivada, determine si son máximos o mínimos.

f. Ahora, en un mismo diagrama, dibuje las gráficas de las funciones de costo,

ingreso y utilidad.

g. Según las gráficas, ¿cuáles son los puntos de equilibrio para este tipo de

cuaderno? ¿Se confirman los puntos críticos y su naturaleza determinados en

el inciso e? Determine los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad

para la función de utilidad.

Finalmente, elabore un breve informe de una cuartilla dirigido al gerente de finanzas

donde le indique cuántos cuadernos deben producirse para que la utilidad sea

máxima. Añada también el cálculo del costo, ingreso, utilidad y precio de los

cuadernos, para ese nivel óptimo de producción.

Función exponencial

1. La Secretaría de Educación de Querétaro ha observado que el número de estudiantes de

la entidad que ingresan a una carrera técnica o científica ha sido el mostrado en la

siguiente tabla:

Año Estudiantes

2003 400

2004 348

2005 303

2006 263

2007 229

Con base en lo anterior:

a) Suponiendo una función exponencial entre el tiempo y el número de estudiantes,

determine la tasa de crecimiento que se observa.



b) Determine la función exponencial que describe el comportamiento de esta matrícula.

c) De continuar esta tendencia, ¿cuántos estudiantes se matricularán en estas carreras

para el año 2012?

2. Leonardo, de 22 años de edad, ha hecho el propósito de ahorrar mensualmente $1,000

en un instrumento de inversión que le otorgará el 1.5% mensual. Con base en lo

anterior:

a) Elabore una tabla que muestre el crecimiento de su inversión para los primeros

cinco años.

b) Utilice el lenguaje algebraico para analizar el crecimiento de su

capital durante los primeros 12 meses. Intente obtener alguna

fórmula que permita calcular el monto de su inversión para un

número n de meses de inversión.

c) Si decide casarse a los 32 años, ¿de cuánto capital dispone para

hacerlo?

Álgebra de funciones

3. Encuentre la regla de correspondencia y el dominio de las siguientes operaciones entre

funciones, tomando como base las funciones f y g que se indican en cada inciso:

– (f + g)(x)

– (f – g)(x)

– (f * g)(x)

– (f/g)(x)

– (f o g)(x)



– (g o f)(x)

a) x

( ) x

b) ( ) x

( ) √

[ ]

4. Supongamos que la productividad (P) de una persona, en porcentaje, depende de su

grado de fatiga medida también como un porcentaje (0 < f < 1), según la siguiente

función exponencial:

También, se sabe que la fatiga aumenta con el tiempo

de trabajo, en horas, de acuerdo con la función:


a) Exprese la productividad en función del tiempo.

b) ¿Cuál será el nivel de productividad después de trabajar 13 horas?

c) En ese momento, ¿qué grado de fatiga tiene el trabajador?

1. La función de costo de producción de una empresa que fabrica bicicletas depende del

nivel de producción q según la siguiente función:

( ) = +0.0125 0 17+5

tf t t t

t

)21.5100

(- fP(f)= e

3 2= 0.002 -0.45 +15 +12000C q q q q



a) Calcular el costo marginal para los siguientes niveles de producción: q = 10, q = 100,

q = 150.

b) ¿Para qué niveles de producción presenta el costo valores mínimos y máximos?

Utilice el criterio de la primera derivada.

c) ¿Cuál es el costo para los niveles de producción del inciso anterior?

2. Un fabricante de sombrillas tiene las siguientes funciones de ingreso y de costo, donde

q es el número de sombrillas:


a) Determine la función de utilidad.

b) ¿Cuántas sombrillas deben producirse para que la utilidad sea máxima? Utilice el

criterio de la segunda derivada

3. Un fabricante de ventiladores tiene la siguiente función de demanda:

Con base en lo anterior, y utilizando el criterio de la primera derivada o el criterio de la

seguda deivada determine:

2 3

2

( ) =10 + 2.5 - 0.003

( ) = 25000+0.05

I q q q q

C q q

0.005 60p(q)= - q+



a) ¿Para qué nivel de demanda sería el ingreso máximo?

b) ¿Cuál es el precio que maximiza el ingreso?

c) ¿Cuál es el monto de dicho ingreso?

1. La inversión inicial de una estética fue de $50,000. Si la

utilidad marginal de la estética está dada por la función:

U’(n) = 10 + 0.4n – 0.00018n2, donde n es el número de

servicios que se otorgan. A partir de lo anterior:

a) Obtenga la función de utilidad.

b) ¿Para qué número de servicios la utilidad será máxima?

c) Elabore la gráfica de la función de utilidad. Observe que el desgaste de la

maquinaria, de los activos en general y una falta de inversión y de mantenimiento,

pueden explicar algún declive futuro de las ganancias.

2. El costo marginal de producción de una fábrica de envases de plástico es igual a: C’(q)

= 25 - 0.004q, donde q es el número de envases. Si el costo de producción de 2,000

envases es de $62,000. Con base en lo anterior:

a) Determine la función de costo.

b) ¿Para qué nivel de producción el costo se hace máximo?

c) Elabore un croquis de la gráfica del costo.

3. Una empresa que fabrica lámparas de mano tiene las siguientes funciones de demanda y

de oferta:

=110-0.05 = 25+0.004d oP q q P q q




a) Determine el precio y la demanda de equilibrio.

b) Calcule el excedente del consumidor.

c) Calcule el excedente del productor.

d) Elabore en un mismo diagrama las gráficas de las

funciones de demanda y de oferta y muestre los excedentes del

consumidor y productor.

1. La función lineal es útil para representar fenómenos o procesos en los

que la rapidez de crecimiento de la variable Y es constante para cambios

unitarios de la variable X.

( )

2. Una interpretación de la derivada se define como la razón de cambio

instantánea en un punto. ( )

3. La función y = 4x – x2 tiene un máximo relativo en y = 4 para el valor

crítico x = 2 ( )

4. Para definir una función solo es necesario especificar su regla de

correspondencia. ( )

5. El dominio de una función depende de la regla de correspondencia y de

la naturaleza del problema.

( )

6. La expresión: y = ± raíz (x+10) es un ejemplo de función. ( ) 7. Una integral indefinida es aquella que tiene una constante de

integración con un valor arbitrario. ( )

8. Mediante una función exponencial es posible describir el crecimiento

de una población o del dinero. ( )

9. La tasa de crecimiento de una función potencial cuadrática obedece a

una función lineal. ( )

10. Si la variable independiente X de una función tiende al infinito,

entonces la función tiende también al infinito. ( )



11. En un punto máximo, la segunda derivada de una función es negativa. ( ) 12. Para que un punto sea de inflexión es necesario que la segunda

derivada calculada en ese punto sea diferente de cero. ( )

13. La integral de una función permite calcular la función primitiva a partir

de la función derivada.

( )

14. La integral de una función tiene que ver con el área encerrada por la

gráfica de la función.

( )

15. La segunda derivada calcula la rapidez con la que crece la primera

derivada de una función.

( )

Valor: 1 punto por reactivo

Valor total: 15 puntos



Instrucciones: Anote dentro de cada paréntesis, la letra del concepto que responda correctamente al enunciado de la columna A.

COLUMNA “A” COLUMNA “B”

16. ( )

Mide la rapidez instantánea de variación de una función.

a. f (x) = 25 2x – 5

17. (

) Representa una función primitiva de f(x) = 0.20 x4

b. f ´´(x) = 0

18. (

) Es una característica de los puntos donde existe un máximo o mínimo relativo.

c. Continua

19. (

) Es una característica de los puntos de inflexión.

d. g(x) = x5

20. (

) Es el criterio de la segunda derivada que sirve para definir a un máximo de una función.

e. f (x) = 100 x – 5

21. (

) Es un ejemplo de función potencial.

f. f (x) = 100 x – 1

22. (

) Representa la función derivada de g (x) = 20 log(20 x5)

g. Derivada

23. ( ) En el punto x = 4, la función f(x) = raíz(x – 4 )

es: h. f ´´(x) < 0

24. ( ) Es un ejemplo de función exponencial. i. Discontinua

25. ( ) En el punto x = 0 la función f(x) = 1/x2 es j. f ´(x) = 0

Valor: 1 punto por reactivo

Valor total: 10 puntos

Instrucciones: Dé respuesta a los siguiente ejercicios, considerando los datos que a continuación se presentan.

26. Suponga las siguientes funciones f y g. Encuentre el dominio y regla de

correspondencia de la función h = f g

Valor: 2 puntos

27. Una camioneta tuvo un costo original de $250,000 y se calcula que se

depreciará anualmente un 8% de este valor.

10-xg(x)202xf(x)



a) Obtenga una función lineal que exprese el valor de la camioneta en función

del tiempo.

b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el valor de la camioneta se haya

reducido a $150,000?

Valor: 4 puntos

28. En una ciudad se ha determinado que las ventas de computadoras tipo lap top

han experimentado un crecimiento exponencial con una tasa mensual de

crecimiento de 4%. Si las ventas de este mes fueron de de 2,000 unidades.

a) Construya una función exponencial que permita determinar el número de

computadoras que se venden en función del tiempo.

b) Determine las ventas que se tendrán dentro de un año y medio si la tasa de

crecimiento de las ventas se mantiene constante.

c) ¿En cuánto tiempo habrán crecido las ventas al doble?

Valor: 6 puntos

29. La función de ingreso de una empresa está dada por la siguiente función,

donde q está en miles de unidades y el ingreso I resulta en pesos.

Utilice el criterio de la primera o de la segunda derivada para determinar cuál debe ser el nivel de producción, q, que haga que el ingreso sea máximo. a) ¿Cuál es el ingreso para ese nivel de producción?

b) Elabore una gráfica de esta función.

Valor: 4 puntos

30. Una empresa que fabrica pilas para celular tiene las siguientes funciones de

demanda (Pd) y de oferta (Po)

a) Determine el precio y la demanda de equilibrio.

b) Calcule el excedente del consumidor.

c) Calcule el excedente del productor.

d) Elabore en un mismo diagrama las gráficas de las funciones de demanda y

de oferta y muestre los excedentes del consumidor y del productor.

qqqqI 1500452)( 23

q.qPq.qP od 002050010150

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