[eBook] Edicions UPC - Probabilitat i a - Catala

Josep Burillo - Alícia MirallesOriol Serra

Probabilitat i estadística

En aquest llibre s’ofereix una introducció a la probabilitat i a l’estadística adaptada a l’alumnat de primer curs d’una enginyeria tècnica, especialment les enginyeries relacionades amb les tecnologies de la informació. L’objectiu principal del llibre és que l’alumne assoleixi un coneixement bàsic i alhora sufi cient de les eines probabilistes i estadístiques que pugui necessitar en la seva futura carrera professional com a enginyer. El llibre es divideix en dues parts ben delimitades. La primera està dedicada al càlcul de probabilitats, en què s’introdueixen les eines necessàries per a l’estudi dels fenòmens probabilístics. En particular, s’introdueixen les variables aleatòries, tant discretes com contínues, i es dóna molta importància a l’estudi de la normal com a variable aleatòria fonamental. En la part d’estadística, s’exposen les eines bàsiques dels estudis estadístics: els estimadors i els intervals de confi ança, els tests d’hipòtesi i la regressió lineal. Cada capítol es complementa amb una llista extensa de problemes proposats.

Josep Burillo - Alícia MirallesOriol Serra

Probabilitat i estadística

Primera edició: febrer de 2003

Aquesta publicació s’acull a la política de normalització lingüística i ha comptat amb la col·laboració del Departament de Cultura i de la Direcció General d’Universitats, de la Generalitat de Catalunya.

Disseny de la coberta: Edicions UPC

© els autors, 2003© Edicions UPC, 2003 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel. 934 016 883 Fax. 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es e-mail: [email protected]

Producció: CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord) La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona

Dipòsit legal: B-4925-2003ISBN: 84-8301-686-9

Són rigorosament prohibides, sense l’autorització escrita dels titulars del copyright, sota les sancions establertes a la llei, la reproducció total o parcial d’aquesta obra per qualsevol procediment, inclo-sos la reprografi a i el tractament informàtic, i la distribució d’exemplars mitjançant lloguer o préstec públics.

¶INDEX 7

¶Index

¶Index 7

Prefaci 11

0 Introducci¶o a la probabilitat 13

0.1 Determinisme i aleatorietat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.1.1 Models deterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.1.2 Models probabil¶³stics: regularitat estad¶³stica . . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.2 Diferents de¯nicions de probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.3 Alguns exemples de models probabilistes en enginyeria . . . . . . . . . . . . . . 17

0.4 Mostreig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

0.4.1 Mostres ordenades sense reempla»cament: Pn;k on k · n . . . . . . . . . 21

0.4.2 Mostres ordenades amb reempla»cament: PRn;k on ara k pot ser m¶esgran que n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

0.4.3 Mostres no ordenades sense reempla»cament: Cn;k =¡nk

¢. . . . . . . . . 22

0.4.4 Mostres no ordenades amb reempla»cament: CRn;k . . . . . . . . . . . . 23

0.5 Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

0.5.1 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

0.5.2 Problemes per fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1 Probabilitat 29

8 ¶INDEX

1.1 Espai mostral i successos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2 Espais de probabilitat ¯nits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3 Espais de probabilitat ¯nits equiprobables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4 Espais de probabilitat no ¯nits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5 Probabilitat condicionada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6 Successos independents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7 Teorema de la probabilitat total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.8 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.9 Diagrames d'arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


1.10.1 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


2 Variables aleatµories 47

2.1 Variables aleatµories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Variables discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Exemples importants de distribucions discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4 Variables cont¶³nues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5 Exemples importants de distribucions cont¶³nues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6 Parµametres estad¶³stics: valor mitjµa i variµancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.7 Funcions de variables aleatµories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


2.8.1 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


3 Vectors aleatoris 69

3.1 Vectors aleatoris. Funci¶o de distribuci¶o de probabilitat. . . . . . . . . . . . . . 69

3.2 Distribucions bidimensionals discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

¶INDEX 9

3.3 Distribucions bidimensionals cont¶³nues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4 Variables aleatµories independents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5 Distribucions condicionades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6 Distribuci¶o de la suma de dues variables aleatµories . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.7 Parµametres estad¶³stics: covariµancia i correlaci¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.7.1 Distribuci¶o normal multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


3.8.1 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.8.2 Problemes per fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4 Mostres i estimaci¶o 89

4.1 Mostres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Valors poblacionals i valors mostrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3 La mitjana i la variµancia mostrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.4 Estimadors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.5 Intervals de con¯an»ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.6 Estimadors de la mitjana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.7 La t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.8 Estimadors de la variµancia. La distribuci¶o Â2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


4.9.1 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


5 Regressi¶o lineal simple. 103

5.1 Regressi¶o lineal simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2 Signi¯caci¶o de r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3 Interval de con¯an»ca per ½. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.4 Recta de regressi¶o. Mµetode dels m¶³nims quadrats . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

10 ¶INDEX

5.5 Correlaci¶o i causalitat no s¶on el mateix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 Tests d'hipµotesi 109

6.1 Introducci¶o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2 Tests paramµetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3 Exemples de tests paramµetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.3.1 Test per al valor mitjµa d'una distribuci¶o normal . . . . . . . . . . . . . . 112

6.3.2 Test per a la diferµencia de valors mitjans . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.3.3 Tests d'hipµotesi i intervals de con¯an»ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.4 Tests d'ajust d'una distribuci¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Apµendix 119

PREFACI 11

Prefaci

La teoria de probabilitats i l'estad¶³stica formen un bagatge imprescindible en la formaci¶od'enginyers de totes les branques, que es troben sovint exposats a problemes que requereixentµecniques probabilistes o b¶e en la necessitat de fer anµalisis estad¶³stiques.

Aquest text ha estat elaborat pensant especialment en estudiants d'Enginyeries tµecniques de lesµarees de Telecomunicacions, Informµatica i Aeronµautica. El nostre objectiu ha estat el d'oferiruna introducci¶o clara i concisa als conceptes bµasics de la teoria de la probabilitat i l'estad¶³sticaa un nivell matemµatic assequible i en el context propi d'aquestes enginyeries, on els exemplesd'aplicaci¶o d'aquestes tµecniques s¶on molt abundants.

En particular s'ha procurat proveir l'alumne d'una extensa col¢lecci¶o de problemes i exercicisque donin a l'estudiant material de treball su¯cient per assimilar els continguts del text.

Con¯em plenament que el text sigui un element valu¶os en el proc¶es de formaci¶o d'aquestsestudiants i que ompli el buit existent en la literatura, on textos de caracter¶³stiques similarss¶on escassos i sovint d'un nivell poc apropiat.

Castelldefels, Novembre 2002

Els Autors

13

0 Introducci¶o a la probabilitat

0.1. Determinisme i aleatorietat0.1.1. Models deterministes0.1.2. Models probabilistes: regularitat estad¶³stica

0.2. Diferents de¯nicions de probabilitat0.3. Alguns exemples de models probabilistes en enginyeria0.4. Mostreig

0.4.1. Mostres ordenades sense reempla»cament: Pn;k, on k · n0.4.2. Mostres ordenades amb reempla»cament: PRn;k, on ara k pot ser m¶es gran que n0.4.3. Mostres no ordenades sense reempla»cament: Cn;k =

¡nk

¢0.4.4. Mostres no ordenades amb reempla»cament: CRn;k

0.5. Exercicis i problemes0.5.1. Exercicis0.5.2. Problemes per fer

En aquest tema s'introdueixen els models probabilistes, se'n donen exemples re-

llevants en l'enginyeria, es fa la primera introducci¶o a la noci¶o de probabilitat i es

descriuen els primers exemples de mostreig.

0.1 Determinisme i aleatorietat

Davant de determinades situacions f¶³siques intentem explicar i raonar el perquµe d'alguns com-portaments i alhora ens interessa poder treure conclusions que ens prediguin determinadessituacions. Aixµo ho fem mitjan»cant un model. Un model no ¶es m¶es que una representaci¶o

14 0 INTRODUCCI ¶O A LA PROBABILITAT

aproximada de la situaci¶o f¶³sica que utilitza unes regles que siguin comprensibles per a nosal-tres i que alhora permeti preveure fets rellevants d'un experiment sense necessitat de fer-lo.

Evidentment un model ¶es m¶es bo com m¶es s'apropa a la realitat, de manera que sempre que esrealitza una experiµencia, el resultat ha de ser coherent amb el que prediu el model.

Nosaltres ens centrarem en models matemµatics, ¶es a dir, models que s¶on aplicables a fenµomensque tenen propietats que es poden mesurar.

Cal diferenciar entre models deterministes i models probabilistes.

0.1.1 Models deterministes

En un model determinista, les condicions en les quals es du a terme l'experiµencia determinencompletament el resultat de l'experiment. La teoria de circuits ¶es un bon exemple de modeldeterminista. Per exemple, la llei d'Ohm I = V

Rens determina de forma exacta la intensitat

del corrent d'un circuit per a un voltatge i una resistµencia donats. Si canviem la resistµencia icanviem el voltatge, abans de fer l'experiµencia sabrem el resultat que obtindrem per la intensitatdel corrent. Tenim unes equacions matemµatiques que ens prediuen el resultat depenent de lescondicions en quµe realitzem l'experiµencia, i en les mateixes condicions obtenim els mateixosresultats. (Cal dir que se solen donar algunes °uctuacions en els resultats de l'experiment, jaque no es poden controlar completament tots els factors que hi intervenen; pensem en el sorollelµectric, per exemple. De tota manera, si la diferµencia entre el resultat real i el previst no passad'algunes °uctuacions respecte al que ens interessa, parlem d'un bon model determin¶³stic.)

0.1.2 Models probabil¶³stics: regularitat estad¶³stica

Hi ha experiments que s¶on aleatoris, ¶es a dir, que ¯ns i tot repetint l'experiment en les mateixescondicions no podem preveure el resultat. Pensem, per exemple, en una urna que cont¶e tresboles numerades amb 0;1 i 2. Barregem les boles i en traiem una a l'atzar. Tenim tres pos-sibles resultats, que anotem en un conjunt E = f0; 1; 2g. Aquest conjunt l'anomenem espaimostral. En aquest experiment no podem preveure el resultat que obtindrem, perµo presentauna regularitat estad¶³stica. Vegem quµe vol dir aixµo:

Suposem que repetim l'experiment n vegades en les mateixes condicions. Anomenem N0(n),N1(n) i N2(n) el nombre de vegades que surten les boles 0, 1 i 2, respectivament, en n repeti-cions de l'experiµencia. Aquests valors s'anomenen freqÄuµencies absolutes. De¯nim ara el queanomenem freqÄuµencies relatives. La frequµencia relativa del resultat k (a l'exemple, k ¶es 0;1 o 2)¶es la fracci¶o del nombre de vegades que apareix aquest resultat en n repeticions de l'experiµencia:

fk(n) =Nk(n)

n:

Emp¶³ricament s'observa que el valor fk(n) s'apropa a un valor determinat a mesura que anem

0.1 Determinisme i aleatorietat 15

augmentant n. Aixµo ¶es el que s'anomena regularitat estad¶³stica. ¶Es a dir:

limn!1

fk(n) = pk

La constant pk ¶es el que s'anomena probabilitat del resultat k. En el nostre exemple, si realitzeml'experiment un nombre \gran" de vegades, podem comprovar que pk =

13, per a qualsevol valor

de k = 0; 1; 2.

Resumint el desenvolupament anterior, els models probabilistes es caracteritzen per dos ele-ments bµasics:

² En el model probabilista, el resultat d'una experiµencia no estµa completament determinatper les condicions en quµe es desenvolupa. En canvi, hi ha un conjunt ben de¯nit depossibles resultats, que hem anomenat espai mostral.

² Es produeix el fenomen de la regularitat estad¶³stica, o estabilitzaci¶o de les frequµenciesrelatives amb quµe cadascun dels resultats possibles apareix en la repetici¶o de l'experiµenciaun nombre prou gran de vegades. Aquesta regularitat ¶es observable emp¶³ricament, o b¶es'inclou com a hipµotesi raonable en l'anµalisi de l'experiµencia.

Vegem algunes propietats de la freqÄuµencia relativa. Suposem que tenim ara un espai mostralE = f1; 2; 3; ¢ ¢ ¢ ;mg i repetim l'experiment n vegades. Tenim que:

0 · Nk(n) · n on k = 1; ¢ ¢ ¢ ;mi si dividim la inequaci¶o anterior per n, tenim per a les freqÄuµencies relatives

1.0 · fk(n) · 1 on k = 1; ¢ ¢ ¢ ;m

i a m¶es tenimmXk=1

Nk(n) = n:

Dividint als dos costats per n, obtenim:

2.mXk=1

fk(n) = 1

De vegades estem interessats a obtenir molts resultats alhora. Per exemple, en el nos-tre experiment, que surtin els valors 0 o 2. Aquests conjunts de resultats possibles elsanomenem successos. La freqÄuµencia relativa associada a aquest succ¶es A = f0; 2g ¶es:

fA(n) =NA(n)

n=N0(n) +N2(n)

n= f0(n) + f2(n)


Aixµo ens diu que la freqÄuµencia relativa associada a un succ¶es ¶es la suma de les freqÄuµenciesrelatives dels posssibles resultats. En general, podem dir que si C ¶es el succ¶es que esveri¯ca quan es veri¯quen els successos A o B, on A i B s¶on dos successos que no espoden donar simultµaniament, tenim:

3.NC(n) = NA(n) +NB(n) o b¶e fC(n) = fA(n) + fB(n)

0.2 Diferents de¯nicions de probabilitat

Amb el que hem vist anteriorment queda clar que podr¶³em de¯nir la probabilitat que surti elsucc¶es k com:

pk = limn!1

fk(n)

perµo no queda clar el sentit d'aquest l¶³mit, ja que no podem repetir un experiment un nombrein¯nit de vegades i tampoc no queda clar quin ha de ser el valor de n per poder-lo considerarsu¯cientment \gran". A m¶es, el que es pret¶en ¶es construir una teoria que es pugui aplicar asituacions on no calgui fer l'experiment. Alhora, perµo, ¶es raonable i intuÄ³tiu relacionar probabi-litat i freqÄuµencia relativa. Per exemple, en l'experiµencia de les boles, podr¶³em assignar p0 =

13a

priori, ja que ¶es for»ca intuÄ³tiu per la naturalesa de l'experiµencia que aquest ¶es un valor raonable.Per aixµo, a l'hora de de¯nir una teoria de la probabilitat volem que es veri¯quin les relacions 1i 3 de l'apartat anterior. De¯nim, doncs, la teoria de la probabilitat com un conjunt d'axiomesque veri¯quin les propietats anteriors.

Suposem que tenim un experiment aleatori ben de¯nit amb un conjunt E de possibles resultats.De moment suposem que E ¶es un conjunt ¯nit. Cadascun dels subconjunts de E ¶es un succ¶es.Una probabilitat ¶es una aplicaci¶o que assigna a cada subconjunt A de E un n¶umero P (A), demanera que es veri¯qui:

1. 0 · P (A) · 1.2. P (E) = 1.

3. Si A i B s¶on dos successos que no poden passar simultµaniament, aleshoresP (A [B) = P (A) + P (B).

La fonamentaci¶o de la teoria de la probabilitat en aquests axiomes, a semblan»ca de les propietatsde les frequµencies relatives, no es va materialitzar ¯ns ben entrat el segle XX. Abans hi va haveraltres intents de de¯nir el concepte de probabilitat que van ser discutits per matemµatics i¯lµosofs. Els dos m¶es representatius s¶on:

0.3 Alguns exemples de models probabilistes en enginyeria 17

1. De¯nici¶o clµassica de la teoria de probabilitat, a priori.

Suposem que un esdeveniment A es pot produir de s maneres diferentes dins un totalde n possibilitats; llavors es de¯neix pA =

sn. Per exemple, pensem en l'experiµencia de

llan»car un dau i ens ¯xem en el nombre que surt. En aquest cas, l'espai mostral ¶esE = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Ens demanem quina ¶es la probabilitat que surti un nombre parell,¶es a dir, la probabilitat que es veri¯qui el succ¶es A = f2; 4; 6g. Diem que pA =

36.

¶Es clar que en aquesta de¯nici¶o hi ha impl¶³cita la hipµotesi que tots els resultats tenen lamateixa probabilitat (cosa que deixa el terme conceptualment inde¯nit). A m¶es, no ¶esaplicable a situacions en quµe el conjunt de resultats possibles no ¶es ¯nit.

2. De¯nici¶o freqÄuentista de la teoria de probabilitat, a posteriori.

Despr¶es de repetir un experiment n vegades (on n ¶es gran), si l'esdeveniment A es repeteixs vegades, es de¯neix la probabilitat de l'esdeveniment A com PA =

sn.

¶Es clar que, tal com hem dit abans, el fet que n sigui gran no queda ben determinat.

Les controvµersies generades al voltant de la de¯nici¶o de la probabilitat no van impedir, perµo,que se'n fes un ¶us exhaustiu abans que Kolmogorov propos¶es cap a 1930 la seva fonamentaci¶oaxiomµatica. Aquesta darrera ha estat acceptada com la fonamentaci¶o matemµatica adequadaper al concepte de probabilitat.

Abans d'aprofundir m¶es en les nocions de probabilitat i les tµecniques de cµalcul, vegem algunsexemples que il¢lustren l'¶us dels models probabilistes en alguns problemes estretament vinculatsa l'enginyeria.

0.3 Alguns exemples de models probabilistes en enginyeria

A m¶es dels models t¶³pics dels jocs d'atzar (que malgrat el seu carµacter l¶udic sovint serveixencom a representaci¶o de problemes ben complexos), i ha una sµerie de problemes estretamentvinculats a l'enginyeria de les telecomunicacions i a la telemµatica, que exigeixen l'¶us de modelsprobabilistes.

² Comunicaci¶o a trav¶es de canals amb sorollUn dels problemes bµasics de l'enginyeria de comunicacions consisteix a reproduir el mis-satge original a partir d'un missatge rebut a trav¶es d'un sistema de comunicaci¶o. Enl'esquema clµassic de Shannon, un sistema de comunicaci¶o s'esquematitza de la formasegÄuent:


Font - canal - Receptor

El canal no sol ser un transmissor perfecte i pot introduir alteracions en el missatgegenerat a la font, com per exemple:

001001001 - canal - 000001010

L'elaboraci¶o de dispositius per recuperar el missatge original consumeix una bona partde l'energia dels enginyers. El disseny d'un sistema e¯cient passa, perµo, per mesurarde la capacitat del canal d'introduir soroll, i aquesta mesura no es pot fer en un modeldeterminista, atµes el carµacter justament aleatori del soroll. En la hipµotesi m¶es simple, sesuposa que, en una situaci¶o com la del diagrama anterior, cada bit t¶e una certa probabilitat¯xa de ser canviat al seu oposat, independentment dels altres. Quina ¶es la probabilitatque hi hagi, com a molt, dos errors en una transmissi¶o dels nou bits?

² Comunicacions en xarxes d'ordinadorsEn una xarxa de comunicaci¶o d'ordinadors, o en un sistema multiprocessador, resultacost¶os i poc e¯cient establir totes les l¶³nies de comunicaci¶o entre parells de processadors, demanera que totes les l¶³nies s¶on compartides. Un esquema com¶u ¶es la xarxa de l'hipercub:

Quan dos ordinadors a la xarxa volen fer servir el mateix enlla»c simultµaniament, es pro-dueix un con°icte. Les demandes de comunicaci¶o no obeeixen, en general, a patronsdeterministes, de manera que l'anµalisi del comportament de la xarxa, la quantitat de con-°ictes que es poden presentar i l'elaboraci¶o d'esquemes de comunicaci¶o que minimitzin els

0.3 Alguns exemples de models probabilistes en enginyeria 19

con°ictes requereixen l'¶us d'un model aleatori. Un model aleatori simple per al diagramaanterior podria consistir a suposar que cada ordinador farµa servir un enlla»c adjacent alseu node amb probabilitat ¯xa p, independent dels altres. Quina ¶es la probabilitat quees produeixi un con°icte?

² Teoria de cuesEn el funcionament d'un servidor, hi arriben usuaris que esperen en una cua que aquestestigui lliure per ser servits.

x- x x x x xx¡ ¡µCua Servidor

Tant el temps de servei com la intensitat amb quµe arriben nous usuaris al servidor nos¶on susceptibles de ser encaixats en un model determinista. El disseny d'un protocol deservei i l'anµalisi del comportament de la cua (procurant que no es faci in¯nitament llarga,o que el temps d'espera sigui raonable) depenen fonamentalment de l'anµalisi del modelprobabilista.

² Fiabilitat de sistemesEn sistemes complexos formats per un gran nombre de dispositius i elements de treball,com solen ser els sistemes de comunicaci¶o, els serveis telemµatics, etc., un dels elementsbµasics del disseny ¶es l'anµalisi de la ¯abilitat, o la probabilitat que el sistema falli perl'avaria d'alguns dels seus components. Les avaries no solen respondre tampoc a modelsdeterministes i l'¶unica anµalisi e¯cient passa per considerar models probabilistes. Perexemple, en el cas del diagrama segÄuent, un model senzill pot ser suposar que cadadispositiu falla amb una certa probabilitat p independent dels altres.

r rA B


Si el sistema funciona mentre hi ha comunicaci¶o entre els punts A i B, quina ¶es la pro-babilitat que el sistema falli?

Aquests s¶on nom¶es alguns de molts exemples, als quuals es podrien afegir l'anµalisi de senyalsaleatoris (senyals d'µaudio, de v¶³deo, etc.), el control de qualitat, la gesti¶o de trµa¯c en xarxes,multiplexors en comunicacions telefµoniques, la simulaci¶o de sistemes i un llarg etcµetera, quejusti¯quen la potµencia i e¯cµacia dels models probabilistes en una gran varietat de problemesd'enginyeria. En aquest curs s'introdueixen conceptes i eines que permeten abordar problemescom els anteriors.

0.4 Mostreig

Un dels problemes m¶es simples consisteix a determinar la probabilitat d'extreure una determi-nada mostra d'una poblaci¶o. En el model m¶es simple, tenim una urna amb un nombre n deboles de colors diferents i ens demanem quina ¶es la probabilitat d'extreure'n una mostra de kboles amb una determinada composici¶o de colors. Tot i ser simple, aquest problema involucraproblemes d'enumeraci¶o que cal analitzar.

El resultat del cµalcul depµen del criteri que es fa servir per extreure la mostra. Les distincionsm¶es comunes s¶on les segÄuents.

² Mostreig sense reempla»cament. Aixµo vol dir que n'extraiem una bola, i, sense tornar-la ala urna, n'extraiem la segÄuent, i aix¶³ successivament.

² Mostreig amb reempla»cament. En aquest cas, n'extraiem la primera bola, anotem el seucolor i la tornem a l'urna abans d'extreure la segÄuent.

D'altra banda, podem considerar diferents dues mostres si l'ordre amb quµe s'extreuen les boles¶es diferent, o simplement interessar-nos per quines boles han sortit sense tenir en compte l'ordreamb quµe s'han extret, ¶es a dir:

² Mostres ordenades

² Mostres no ordenades

Com veurem, l'aplicaci¶o de diferents criteris d¶ona resultats diferents en el cµalcul de probabilitats.

0.4 Mostreig 21

0.4.1 Mostres ordenades sense reempla»cament: Pn;k on k · n

Per concretar pensem el cas de k = 3 i n = 4. Si denotem les quatre boles per f1; 2; 3; 4g, lesextraccions possibles s¶on:

123 132 124 142 134 143 213 231 214 241 234 243

312 321 324 342 314 341 413 431 412 421 423 432

Imaginem tres posicions que hem d'omplir amb tres elements de A; en el primerlloc podem triar entre els n elements de A. En la segona posici¶o nom¶es podem triar entreels n ¡ 1 elements que queden (ja que la mostra ¶es sense reempla»cament: no hi ha elementsrepetits), i en el tercer lloc podem triar entre els n ¡ 2 elements que queden. Tenim, doncs,que Pn;3 = n(n¡ 1)(n¡ 2). En general, per a una poblaci¶o de mida n i una mostra de mida ken aquestes condicions, el nombre total de mostres ¶es

Pn;k = n(n¡ 1)(n¡ 2) ¢ ¢ ¢ (n¡ k + 1):

En el cas particular que ens interessi obtenir mostres ordenades de tots els elements del conjunt,el que obtenim ¶es

Pn;n = n:(n¡ 1) ¢ ¢ ¢ 2:1 = n!:Aquest nombre s'anomena permutacions de n elements, o b¶e n factorial. M¶es endavant veuremla utilitat de de¯nir 0! = 1.

Exemple 0.1 Triem a l'atzar una delegaci¶o de tres estudiants en un grup de 40. El primerestudiant triat en serµa el president; el segon, el secretari, i el tercer, el tresorer. Quantesdelegacions diferents poden sortir? Quina ¶es la probabilitat que un estudiant determinat ensigui el president?

Aqu¶³ triem una mostra ordenada sense reeempla»cament de mida 3 en una poblaci¶o de 40individus. El nombre total de delegacions possibles ¶es P40;3 = 40 ¢ 39 ¢ 38 = 59:280. Per calcularprobabilitats ¶es essencial saber quina ¶es la probabilitat de cadascuna d'aquestes delegacions.La frase `a l'atzar', tot i que ¶es ambigua, sol indicar que cadascuna de les 59:280 mostres tenenla mateixa probabilitat: 1=P40;3. Aleshores el cµalcul ¶es senzill: la probabilitat que un estudiantx en sigui el president ¶es la suma de les probabilitats de totes aquelles delegacions en les qualsapareix x com a president. D'aquestes n'hi ha P39;2 = 39 ¢ 38, de manera que la probabilitat ¶esP39;2=P40;3 = 1=40 = 0:025. 2


0.4.2 Mostres ordenades amb reempla»cament: PRn;k on ara k pot ser m¶es granque n

Com en el cas anterior, imaginem k posicions que cal omplir amb les boles de l'urna. En aquestcas, un cop triat l'element que omple el primer lloc, el podem tornar a triar per al segon lloc, iaix¶³ successivament ¯ns a omplir k llocs. Per tant, a cada lloc hi ha n opcions i

PRn;k = nk:

Aquest nombre ¶es el de permutacions amb repetici¶o de n elements triats de k en k.

Exemple 0.2 En una travessa de 14 partits podem assignar a cada partit un dels resultats1,X,2, ¶es a dir, n = 3 i hem de fer ordenacions de k = 14 elements. El nombre de travessesdiferentes que podem fer ¶es PR3;14 = 3

14 = 4:782:969. 2

0.4.3 Mostres no ordenades sense reempla»cament: Cn;k =¡nk

¢Per cadascuna de les mostres ordenades sense reempla»cament hi ha k! permutacions que corres-ponen a la mateixa mostra no ordenada. Per tant:

Cn;k =

µn

k

¶=P (n; k)

k!=

n!

(n¡ k)!k! :

El nombre¡nk

¢apareix amb molta freqÄuµencia i s'anomena coe¯cient binomial per la cµelebre

fµormula del binomi:

(x+ y)n =

µn

0

¶xn +

µn

1

¶xn¡1y + ¢ ¢ ¢+

µn

n¡ 1¶xyn¡1 +

µn

n

¶yn =

nXi=0

µn

i

¶xiyn¡1:

Entre les moltes propietats dels coe¯cients binomials, se satisfµa:

²µn

k

¶=

µn

n¡ k¶

²µn

n

¶=

µn

0

¶= 1

²µn

k

¶=

µn¡ 1k ¡ 1

¶+

µn¡ 1k

¶

0.4 Mostreig 23

Les dues primeres propietats s¶on immediates i la tercera la podem demostrar amb un raonamentsenzill. Per determinar el nombre de combinacions de k elements que podem fer amb un totalde n elements, ¯xem un element x del conjunt de n elements. Per un costat, tenim un elementx i, per un altre, tenim n¡ 1 elements. El nombre de combinacions que contenen x ¶es ¡n¡1

k¡1¢i

el nombre de combinacions de k elements que no contenen x ¶es¡n¡1k

¢. Aix¶³, hem de sumar els

dos casos.

El coe¯cient binomial¡nk

¢¶es tamb¶e el nombre de subconjunts de mida k d'un conjunt de mida

n. Per a k = 0, convenim que Cn;0 = 1 (cosa que justi¯ca el conveni 0! = 1).

Cada subconjunt X de mida k de A = f1; 2; : : : ; ng es pot identi¯car amb un vector(x1; x2; : : : ; xn);

on xi = 1, si i 2 X, i xi = 0, altrament. Per exemple, si X = f1; 4; 5g ½ f1; 2; 3; 4; 5g,identi¯quem X amb (1; 0; 0; 1; 1). El coe¯cient binomial compta, doncs, tamb¶e, el nombre devectors de n components amb k uns i n¡k zeros. En particular, el nombre total de subconjunts¶es el nombre total de vectors de 0 i 1 amb n components, o b¶e el nombre de permutacions ambrepetici¶o de dos elements, presos de n en n, PR2;n = 2

n. Aquest resultat es pot obtenir tamb¶edel binomi de Newton posant x = y = 1, ja que

nXi=0

µn

i

¶= (1 + 1)n = 2n:

Exemple 0.3 Tornant a un exemple anterior, triem a l'atzar una delegaci¶o de tres estudiantsen un grup de 40. Quantes delegacions diferents poden sortir? Quina ¶es la probabilitat que unestudiant determinat pertanyi a la delegaci¶o?

En aquest cas tenim mostres no ordenades sense reempla»cament, i n'hi ha C40;3 =40!3!37!

=40¢39¢383¢2 = 9:880. Entenent per `escollida a l'atzar' que totes les mostres tenen la mateixa

probabilitat, i havent-n'hi C39;2 = 741 que contenen un estudiant determinat, la probabilitatque hi sigui ¶es C39;2=C40;3 = 0;075. 2

0.4.4 Mostres no ordenades amb reempla»cament: CRn;k

Acabem aquesta descripci¶o amb el menys fµacil d'aquests problemes d'enumeraci¶o.

Primer de tot vegem-ne un exemple. Sigui A = fa; b; c; dg un conjunt amb n = 4 elements iconsiderem el cµalcul de CR4;2. Les mostres que es poden formar s¶on:

(a; a); (b; b); (c; c); (d; d); (a; b); (a; c); (a; d); (b; c); (b; d); (c; d)


Tenim, doncs, 10 possibilitats: CR4;2 = 10. Per poder calcular CRn;k fem una correspondµenciade cada mostra amb seqÄuµencies de dos s¶³mbols, i il¢lustrem al cas anterior de la manera segÄuent:Fem correspondre la mostra (a; a) amb ²² j j j.Les tres barres separen quatre espais, un per a cadascuna de les lletres. Hem posat 2 puntsinicialment per indicar les dues a. Vegem-ne altres casos, amb les seves correspondµencies:

(b; d) ¡! j ² j j ²(c; d) ¡! j j ² j ²

¶Es clar que aquesta correspondµencia ¶es una bijecci¶o entre el conjunt de mostres i el nombre deseqÄuµencies de n + k ¡ 1 s¶³mbols, dels quals n ¡ 1 s¶on barres que separen les n lletres i k s¶onpunts, que indiquen les lletres a la mostra. Aix¶³ doncs:

CRn;k =

µn+ k ¡ 1

k

¶:

Aquest ¶es el nombre de combinacions amb repetici¶o de n elements presos de k en k.

Una altra manera d'arribar al mateix resultat ¶es a partir d'una recurrµencia.

¶Es clar que CRn;1 = n i CR1;k = 1 per n; k ¸ 1. Considerem CRn;k i fem un raonamentsemblant al de la recurrµencia dels coe¯cients binomials. Fixem un element x d'entre tots elselements n. El nombre de combinacions de k elements que contenen x ¶es CRn;k¡1 (posem n,perquµe l'element x el podem tornar a agafar, i posem k ¡ 1, perquµe ja tenim un element delsk que volem triar). El nombre de combinacions de k elements que no contenen x ¶es CRn¡1;k.Per tant, tenim la relaci¶o:

CRn;k = CRn;k¡1 + CRn¡1;k;

vµalida per a n; k ¸ 1 si convenim que CRn;0 = 1 i CR0;k = 0. Observem que aquesta mateixarecurrµencia la satisfan tamb¶e els nombres f(n; k) =

¡n+k¡1k

¢. Com que pels valors inicials

CRn;1 = f(n; 1) per a tot n ¸ 1 i CR1;k = f(1; k) per a tot k ¸ 1, aleshores Cn;k = f(n; k) pera tots els parells n; k ¸ 1.Exemple 0.4 Se sortegen tres ordinadors entre els 40 estudiants d'un grup, de manera quecada sorteig es fa als 40 estudiants. Quantes distribucions diferents dels tres ordinadors hi ha?

El nombre total de repartiments ¶es CR40;3 =¡423

¢= 42¢41¢40

6= 11:480. De fet, no ¶es raonable

suposar que tots aquests repartiments tinguin la mateixa probabilitat: la probabilitat quetots tres ordinadors toquin a un determinat estudiant ¶es (1=40)3, mentre que la probabilitatque toqui un ordinador a cadascun de tres estudiants determinats ¶es 6(1=40)3. M¶es endavantdiscutirem aquesta qÄuesti¶o. 2

0.5 Exercicis i problemes 25

El quadre segÄuent resumeix l'exposici¶o anterior:

Mostres de kelements d'una amb reempla»cament sense reempla»camentpoblaci¶o de n

ordenades PRn;k = nk Pn;k =

n!

(n¡ k)!no ordenades CRn;k =

µn+ k ¡ 1

k

¶Cn;k =

µn

k

¶

0.5 Exercicis i problemes

0.5.1 Exercicis

1. Quina ¶es la mida m¶³nima d'un alfabet per poder identi¯car els individus d'una poblaci¶ode mida 106 amb paraules de tres lletres?

Quina ¶es la llargada m¶³nima de les paraules d'un alfabet de tres lletres per poder identi¯carels individus d'una poblaci¶o de mida 106?

2. En treure tres cartes d'una baralla de 40 cartes, quina ¶es la probabilitat de treure almenysuna ¯gura?

3. Si tenim 11 amics, de quantes maneres en podem convidar 5 a dinar? Si dos s¶on parella ivan sempre junts, de quantes maneres en podem convidar 5? I si dos estan barallats i noels podem convidar junts, de quantes maneres els podem convidar?

4. El Reial decret 2822/1998, de 23 de desembre de 1998, que regula la normativa de ma-triculaci¶o dels vehicles, estableix:

\En las placas de matr¶³cula se inscribir¶an dos grupos de caracteres constituidospor un n¶umero de cuatro cifras, que ir¶a desde el 0000 al 9999, y de tres letras,empezando por las letras BBB y terminando por las letras ZZZ, suprimi¶endoselas cinco vocales, y las letras ~N, Q, CH y LL."

(a) Quantes matr¶³cules es poden formar d'acord amb la normativa actual?

Si les matr¶³cules es formessin igualment amb 7 carµacters (les lletres de l'alfabet, segonsla normativa, i els d¶³gits del 0 al 9), quantes matr¶³cules podrien fer-se si:


(b) Cada carµacter pot ser lletra o n¶umero.

(c) Tres carµacters consecutius s¶on lletres (no necessµariament els tres primers) i la restan¶umeros.

(d) Exactament tres carµacters s¶on lletres i els altres, n¶umeros.

(e) Hi pot haver qualsevol combinaci¶o de n¶umeros i lletres.

0.5.2 Problemes per fer

1. Un ascensor t¶e n usuaris a la planta baixa i puja m pisos. Quantes distribucions denombres d'usuaris que surten a cada planta hi ha? En quantes d'aquestes distribucionsno baixa ning¶u a la planta 1? En quantes d'aquestes distribucions surt, com a molt, unusuari a cada planta?

2. De quantes maneres diferents es poden distribuir n boles en m caixes numerades si

(a) les boles s¶on distingibles.

(b) les boles no s¶on distingibles.

(c) cada caixa t¶e com a molt una bola (considereu els casos de boles distingibles i bolesno distingibles).

(d) si una de les caixes estµa buida.

3. (Problema dels aniversaris) Quina ¶es la probabilitat pn que en un grup de n persones n'hihagi almenys dues que tenen l'aniversari el mateix dia. Quin ¶es el valor m¶es petit de npel qual pn > 1=2.

(Se suposa que els aniversaris estan distribuÄ³ts uniformement al llarg dels dies de l'any ique tots els anys tenen 365 dies.)

4. Quantes paraules de llargada n d'un alfabet de tres s¶³mbols f0; 1;¡1g tenen exactamentr zeros? Quantes tenen exactament r zeros i s uns? Quantes n'hi ha que la suma ded¶³gits ¶es 0?

5. Es treuen n nombres a l'atzar entre 1 i 9. Quina ¶es la probabilitat que el seu producteacabi en 0?

6. Un senyor aparca cada nit en una zona prohibida. Li posen dotze multes, sempre endimarts o en dijous. Quina ¶es la probabilitat d'aquest succ¶es si suposem que tots elsdies de la setmana tenen el mateix risc de multa. Suposem ara que, de dotze multes, non'hi ha cap en diumenge (perµo si els altres dies). ¶Es prou evidµencia per suposar que elsdiumenges no passa mai la guµardia urbana?


7. S'ensenya una mona a escriure a mµaquina i tecleja un text de 14 carµacters triant cadascunade les 27 tecles de lletres (inclµos l'espai) a l'atzar. Quina ¶es la probabilitat que escriguila frase `S¶oc inteligent'?

29

1 Probabilitat

1.1. Espai mostral i successos1.2. Espais de probabilitat ¯nits1.3. Espais de probabilitat ¯nits equiprobables1.4. Espais de probabilitat no ¯nits1.5. Probabilitat condicionada1.6. Successos independents1.7. Teorema de la probabilitat total1.8. Teorema de Bayes1.9. Diagrames d'arbre1.10. Exercicis i problemes

En aquest tema s'introdueixen les nocions bµasiques de la teoria matemµatica de la

probabilitat: espais mostrals, successos, probabilitat. En particular, s'introdueix la

noci¶o d'independµencia, que hi t¶e un paper essencial. A mesura que anem introduint

conceptes nous els anirem aplicant a exemples, de manera que l'explicaci¶o es faci

m¶es comprensible.

1.1 Espai mostral i successos

1. S'anomena espai mostral el conjunt E de tots els resultats possibles en un experiment.Cada un dels resultats s'anomena succ¶es elemental.

Exemple 1.1 Considerem l'experiµencia de llan»car un dau i observem el resultat obtingut.En aquest cas, E = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. 2

30 1 PROBABILITAT

Exemple 1.2 Considerem l'experiµencia de llan»car una moneda tres cops seguits i ob-servem la seqÄuµencia de cares (°) i creus (+) que van sortint. En aquest cas, E =f°°°;°°+;°+°;+°°;++°;+°+;°++;+++g. 2

Exemple 1.3 Considerem l'experiµencia de llan»car dos daus i ens ¯xem en la suma depunts obtinguts. En aquest cas, E = f2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12g. 2

2. Anomenem esdeveniment o succ¶es qualsevol subconjunt1 de E. El succ¶es E s'anomenasucc¶es segur i el succ¶es ? s'anomena succ¶es impossible.

Exemple 1.4 A l'exemple 1.1, un possible esdeveniment seria de¯nir

A = fnombres parellsg;

o b¶e de forma extensiva, A = f2; 4; 6g. Un altre exemple de succ¶es ¶es B = f1; 4; 5g. 2

Exemple 1.5 A l'exemple 1.2, un possible esdeveniment seria de¯nir

C = fque surtin dues caresg;

o b¶e de forma extensiva, A = f°°+;°+°;+°°g.Un altre succ¶es seria

D = fque surtin dues cares o m¶esg = f°°+;°+°;+°°;°°°g:

2

Exemple 1.6 A l'exemple 1.3, podr¶³em de¯nir

F = fla suma sigui parellag = f2; 4; 6; 8; 10; 12g:

Un altre succ¶es seria G = f3; 5; 7; 9; 11g. 2

3. Siguin A i B dos esdeveniments

1Quan E no ¶es un conjunt numerable conv¶e restringir la de¯nici¶o d'esdeveniment a una fam¶³lia de subconjuntstancada per unions i complementaci¶o. M¶es endavant comentarem aquesta qÄuesti¶o.

1.1 Espai mostral i successos 31

² A [B ¶es el succ¶es que es veri¯ca si passa un dels dos, o b¶e tots dos alhora.En els tres exemples anteriors tenim:

A [B = f1; 2; 4; 5; 6gC [D = f°°+;°+°;+°°;°°°gF [G = E:

² A \B ¶es el succ¶es que es veri¯ca si passen els dos successos alhora.En els exemples anteriors:

A \B = f4gC \D = f°°+;°+°;+°°gF \G = ?:

4. S'anomena succ¶es complementari de A, o negaci¶o de A, i s'escriu Ac, el conjunt comple-mentari de A, Ac = E ¡ A.En els exemples anteriors:

Ac = f1; 3; 5gCc = f°++;++°;+°+;+++;°°°gF c = G:

5. Dos successos A i B s¶on incompatibles si A \B = ?En els exemples anteriors veiem que F i G s¶on incompatibles.

El quadre segÄuent resumeix la correspondµencia entre el llenguatge de conjunts i el de probabi-litats.

Notaci¶o Conjunts Probabilitats

E Conjunt total Succ¶es segur? Conjunt buit Succ¶es impossible

A [B Uni¶o Succ¶es A o succ¶es BA \B Intersecci¶o Succ¶es A i succ¶es B

Ac = E nA Complement Negaci¶o de AA \B = ? Conjunts disjunts Successos incompatibles

La fam¶³lia de subconjunts d'un conjunt E, juntament amb les operacions de la uni¶o ([), laintersecci¶o (\) i la complementaci¶o (n), formen una µalgebra de Boole. Una estructura similarapareix en la lµogica de proposicions. Hi ha algunes propietats bµasiques que conv¶e tenir presentsi que resumim a continuaci¶o:

32 1 PROBABILITAT

1. A [E = E i A [? = A.2. A \E = A i A \? = ?.3. (lleis associatives)

A [ (B [ C) = (A [B) [ CA \ (B \ C) = (A \B) \ C:

4. (lleis distributives)

A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C)A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C):

5. (lleis de Morgan)

(A [B)c = Ac \Bc(A \B)c = Ac [Bc:

1.2 Espais de probabilitat ¯nits

Suposem que tenim un espai mostral ¯nit E. Una probabilitat sobre E ¶es una aplicaci¶o queassigna a cada subconjunt A ½ E un nombre real i que satisfµa:

1. 0 · P (A) · 1.2. P (E) = 1.

3. Si A \B = ? aleshores P (A [B) = P (A) + P (B).

El parell format per l'espai mostral i la probabilitat l'anomenem espai de probabilitat.

Dels axiomes anteriors es dedueixen les propietats segÄuents:

1. La probabilitat del succ¶es impossible ¶es 0:

P (?) = 0:

En efecte, per a qualsevol succ¶es A, tenim A = A[?. Com que A i ? s¶on incompatibles,del tercer axioma de probabilitat es dedueix P (A) = P (A [?) = P (A) + P (?).

1.2 Espais de probabilitat ¯nits 33

2. Per a dos successos A;B:

Si A ½ B aleshores P (A) · P (B):

En efecte, podem escriure B = A [ (B n A), que s¶on disjunts. De l'axioma 3, P (B) =P (A) + P (B nA), i de l'axioma 1, P (B nA) ¸ 0.

3. Donat qualsevol succ¶es A:

P (Ac) = 1¡ P (A):

Pels axiomes 2 i 3, 1 = P (E) = P (A [ Ac) = P (A) + P (Ac).4. Si A i B s¶on dos successos qualssevol llavors:

P (A [B) = P (A) + P (B)¡ P (A \B):

Per veure-ho tenim en compte que

A [B = A [ (B \Ac) i B = (B \A) [ (B \ Ac);i llavors:

P (A [B) = P (A) + P (B \Ac) i P (B) = P (B \ A) + P (B \Ac):Restant la primera equaci¶o a la segona, ens queda:

P (A [B)¡ P (B) = P (A)¡ P (A \B):

La relaci¶o en aquesta propietat s'est¶en a unions de m¶es conjunts d'una manera una micacomplicada ,en l'anomenada f¶ormula d'inclusi¶o-exclusi¶o. Per a tres conjunts, t¶e l'aspectesegÄuent:

P (A[B[C) = P (A)+P (B)+P (C)¡P (A\B)¡P (A\C)¡P (B\C)+P (A\B\C):

El nom prov¶e del fet que els elements de les interseccions de dos dels conjunts han estattinguts en compte dues vegades a

P (A) + P (B) + P (C)

34 1 PROBABILITAT

A B

C

& %' $

& %' $

& %' $f fffdd ddaa aa

Figura 1: Il¢lustraci¶o de la f¶ormula d'inclusi¶o-exclusi¶o per a tres successos.

i se n'han \d'excloure" restant

P (A \B) + P (A \ C) + P (B \ C):Ara, els elements de A \ B \ C han estat inclosos tres vegades i exclosos tres vegades;per tant, s'han d'afegir al darrer terme. El diagrama de Venn de la ¯gura 1 il¢lustra elprocediment.

5. Si A1; A2; ¢ ¢ ¢An s¶on n successos incompatibles dos a dos, es veri¯ca:

P ([i2nAi) =nXi=1

P (Ai):

Es pot demostrar per inducci¶o sobre n. Quan n = 2, ¶es l'axioma 3. Si n > 2, aleshoresP (A1 [ : : : An¡1 [An) = P ((A1 [ : : : An¡1)[An) = P (A1 [ : : : An¡1) +P (An) i el primerterme, per hipµotesi d'inducci¶o, ¶es P (A1 [ : : : An¡1) = P (A1) + ¢ ¢ ¢+ P (An¡1).

1.3 Espais de probabilitat ¯nits equiprobables

Suposem que tenim un espai mostral ¯nit E = fa1; : : : ; ang amb n elements. Si cadascun delssuccessos elementals t¶e la mateixa probabilitat, de

1 = P (E) = P (fa1g [ : : : [ fang) = P (fa1g) + ¢ ¢ ¢+ P (fang) = nP (fa1g)deduÄ³m

P (fa1g) = ¢ ¢ ¢ = P (fang) = 1

n:

En general, donat un succ¶es A que tingui k elements, tenim que P (A) = kni s'acostuma a dir:

P (A) =nombre de casos favorables a A

nombre de casos possibles de E

1.4 Espais de probabilitat no ¯nits 35

En els exemples 1.1 i 1.2 anteriors, per la simetria de les experiµencies (o b¶e per mitjµa de lacomprovaci¶o emp¶³rica) ¶es raonable assignar la mateixa probabilitat a cadascun dels resultatspossibles, de manera que

P (A) =3

6P (B) =

3

6P (C) =

3

8P (D) =

4

8:

Pel que fa al tercer exemple, tal com l'hem escrit, el conjunt E no es tracta d'un espai equi-probable. Si pensem, per exemple, en el cas que la suma sigui 2, nom¶es es donarµa en el casque surti un 1 a cada dau (1; 1). En canvi, el cas que surti suma 4 es pot donar (1; 3), (3; 1), i(2; 2). ¶Es clar que ¶es m¶es probable que la suma sigui 4 que 2.

En aquests casos, conv¶e pensar en un espai E = f(1; 1); (1; 2); (2; 1); ¢ ¢ ¢ ; (5; 1); (1; 5); (6; 6)g, ontots els successos elementals s¶on equiprobables. Llavors P (F ) = 18

36i P (G) = 18

36.

1.4 Espais de probabilitat no ¯nits

Algunes experiµencies condueixen de forma natural a espais mostrals no ¯nits. Per exemple,si tirem una moneda ¯ns que surt cara i comptem el nombre de tirades, l'espai mostral ¶esE = f1; 2; 3; : : : g = N (no hi ha cap motiu per suposar, d'entrada, un l¶³mit superior al nombrede tirades). Si l'experiµencia consisteix a mesurar el voltatge d'un senyal, l'espai mostral ¶esE = [0;1). En el primer cas, l'espai mostral ¶es in¯nit perµo numerable, mentre que en el segon,l'espai mostral ¶es no numerable. En els dos casos, l'axioma 3 de la de¯nici¶o de probabilitats'ha d'estendre a:

3'. Si A1; A2; A3 : : : ¶es una fam¶³lia numerable de successos incompatibles dos a dos, aleshores

P ([i¸1Ai) =Xi¸1P (Ai):

¶Es clar que aquesta formulaci¶o cont¶e l'axioma 3 anterior, perµo aquest darrer nom¶es es potestendre a fam¶³lies ¯nites de conjunts. M¶es endavant considerarem aquests casos en el marcde les variables aleatµories. Totes les propietats que considerem aqu¶³ s¶on vµalides tamb¶e per alsespais no ¯nits.

1.5 Probabilitat condicionada.

Siguin A i B dos successos d'un espai E. Si P (B) 6= 0, de¯nim la probabilitat del succ¶es Acondicionada a B com:

36 1 PROBABILITAT

P (AjB) = P (A \B)P (B)

:

Ens d¶ona la probabilitat de A sabent, d'entrada, que s'ha veri¯cat el succ¶es B.

A l'exemple 1.1 tenim:

P (AjB) =1636

=1

3:

Aixµo ens d¶ona la probabilitat que en llen»car un dau surti un nombre parell sabent que ha sortit1; 4 o 5. Aquest resultat ¶es clar, ja que d'entre els valors 1; 4 i 5 (tres valors) nom¶es hi ha unnombre parell.

A l'exemple 1.2 tenim que la probabilitat que surtin dues cares sabent que han sortit dues otres cares ¶es:

P (CjD) =3848

=3

4

i la probabilitat que surtin dues o tres cares, sabent que han sortit dues cares ¶es clarament 1:

P (DjC) =3838

= 1:

A l'exemple 1.3:

P (F jG) =0361836

= 0:

En general, si dos successos A i B s¶on incompatibles, aleshores P (AjB) = P (BjA) = 0 (sisabem que s'ha esdevingut un d'ells, l'altre ¶es un succ¶es impossible).

1.6 Successos independents.

Siguin A i B dos successos d'un espai E.

Diem que A i B s¶on independents si

P (A \B) = P (A) ¢ P (B):

Observem que entre els axiomes i les propietats no hi ha cap indicaci¶o sobre el valor de la pro-babilitat de la intersecci¶o de dos esdeveniments. Per calcular-la, cal tenir informaci¶o addicional

1.6 Successos independents. 37

sobre el seu grau de dependµencia. La independµencia de successos ¶es una noci¶o fonamental en lateoria de la probabilitat. Des del punt de vista intuÄ³tiu, A i B s¶on independents si la freqÄuµenciarelativa fn(A) amb quµe s'esdev¶e A no varia quan ens restringim als resultats en quµe succeeixB.

Exemple 1.7 Suposem que hi ha tants homes fumadors com dones fumadores (i que hi hatants homes com dones). La probabilitat d'escollir a l'atzar una dona fumadora ¶es aleshores1=4 (la meitat de la meitat de la poblaci¶o). Els successos `escollir una dona' i `escolllir unfumador' s¶on independents. 2

Quan dos successos s¶on independents, la realitzaci¶o d'un d'ells no afecta la probabilitat del'altre. En efecte, si A i B s¶on independents:

P (AjB) =P (A \B)P (B)

= P (A)

P (BjA) =P (A \B)P (B)

= P (B):

Equivalentment, si P (AjB) = P (A), aleshores

P (A \B) = P (AjB)P (B) = P (A)P (B);

i A i B s¶on independents.

Vegem-ho en els tres exemples que estem analitzant:

P (A) =1

2P (B) =

1

2i P (A \B) = 1

6:

Per tant, A i B no s¶on independents.

P (C) =3

8P (D) =

4

8i P (C \D) = 3

8:

Per tant, C i D no s¶on independents.

P (F ) =18

36P (G) =

18

36i P (F \G) = 0:

Per tant, F i G no s¶on independents. En general, si A i B s¶on incompatibles i tenen probabilitatno nul¢la, aleshores no s¶on independents ja que P (AjB) = P (BjA) = 0.

38 1 PROBABILITAT

Exemple 1.8 Considerem l'experiµencia de treure una carta d'una baralla de 40 cartes. Tenim40 successos elementals. Sigui A = ftreure orosg i B = ftreure una sotag. Tenim P (A) = 10

40i

P (B) = 440. ¶Es clar que A \B t¶e un element (la sota d'oros) i P (A \B) = 1

40. En aquest cas,

A i B s¶on independents. 2

1.7 Teorema de la probabilitat total

Diem que els successos A1; A2; ¢ ¢ ¢An s¶on una partici¶o de l'espai E si² [ni=1Ai = E, i² Per a qualssevol i; j diferents, Ai \Aj = ?:

El teorema de la probabilitat total relaciona la probabilitat de qualsevol succ¶es B amb lesprobabilitats condicionades als successos d'una partici¶o A1; A2; ¢ ¢ ¢An de E. Com que cadasucc¶es B es pot escriure com B = (B \ A1) [ ¢ ¢ ¢ (B \ An), tenim:

P (B) =

nXi=1

P (B \Ai) =nXi=1

P (BjAi)P (Ai):

Aquesta ¶es una identitat que pot resultar molt ¶util per al cµalcul de probabilitats.

Exemple 1.9 La probabilitat d'un error en la transmissi¶o d'un missatge per rµadio depµen delnivell ½ d'ionitzaci¶o de l'atmosfera, que es mesura en una escala determinada. Si 0 · ½ < 10,la probabilitat d'error ¶es de 0;1, si 10 · ½ < 20 ¶es de 0;2 i si ½ ¸ 20 ¶es de 0;3. Sabem que laprobabilitat d'aquests tres nivells d'ionitzaci¶o ¶es P (0 · ½ < 10) = 0;5, P (10 · ½ < 20) = 0;4 iP (½ ¸ 20) = 0;1. Quina ¶es la probabilitat d'error?Denotem ² el succ¶es `hi ha error de transmissi¶o', i A1; A2; A3 els successos f0 · ½ < 10g,f10 · ½ < 20g i f½ > 20g, respectivament. Aleshores:

P (²) = P (²jA1)P (A1) + P (²jA2)P (A2) + P (²jA3)P (A3) = 0;16:Quin seria l'espai mostral en aquest cas? De vegades la formalitzaci¶o completa dels espais deprobabilitat pot resultar excessivament... formal. 2

1.8 Teorema de Bayes 39

1.8 Teorema de Bayes

En molts problemes resulta m¶es senzill calcular P (AjB) que P (BjA). La f¶ormula de Bayesproporciona una manera particular de relacionar aquestes dues probabilitats.

Sigui A1; A2; ¢ ¢ ¢An una partici¶o de l'espai E i sigui B un esdeveniment qualsevol. De l'expressi¶ode la probabilitat condicionada sabem que

P (B \ Aj) = P (BjAj)P (Aj) = P (AjjB)P (B):

D'altra banda, d'acord amb la f¶ormula de la probabilitat total:

P (B) = P (BjA1)P (A1) + ¢ ¢ ¢+ P (BjAn)P (An):

Combinant aquestes dues igualtats:

P (AjjB) = P (Aj \A)P (B)

=P (BjAj)P (Aj)Pni=1 P (AjAi)P (Ai)

:

Aquesta manera de relacionar les probabilitats condicionades P (AjjB) i P (BjAj) del primer iel darrer termes de la igualtat s'anomena f¶ormula de Bayes i resulta particularment ¶util.

Exemple 1.10 Una urna cont¶e dues boles blanques i dues de negres. S'extreu una bola i, sensetornar-la a l'urna ni saber-ne el color, s'extreu despr¶es una altra bola. Calculeu la probabilitatque la primera bola hagi estat blanca si la segona bola ¶es negra.

Denotem

B1 = fla primera bola ¶es blancagN1 = fla primera bola ¶es negragN2 = fla segona bola ¶es negrag:

La probabilitat que volem calcular ¶es P (B1jN2). Els successos A1; N1 formen una partici¶o del'espai. Atesa la composici¶o de l'urna, sabem que P (A1) =

24. Si la primera bola que hem tret

era blanca, dins de l'urna queden dues boles negres i una de blanca. Per tant, P (N2jB1) = 23.

De forma similar, P (N2jN1) = 13. En canvi, el cµalcul de P (B1jN2) no ¶es evident. Fent servir la

f¶ormula de Bayes:

P (B1jN2) = P (N2jB1)P (B1)P (N2jB1)P (B1) + P (N2jN1)P (N1) =

(2=3)(1=2)

(2=3)(1=2) + (1=3)(1=2)' 0;666:

2

40 1 PROBABILITAT

Exemple 1.11 Dues mµaquines A i B produeixen 100 i 200 xips, respectivament. Se sap quela mµaquina A produeix un 5% de xips defectuosos i la B un 6%. S'agafa un xip i es demana:

a) Quina ¶es la probabilitat que sigui defectu¶os.

b) Sabent que el xip ¶es defectu¶os, quina ¶es la probabilitat que hagi sortit de la mµaquina A.

Indiquem els successos:

A = fel xip ha sortit de la mµaquina AgB = fel xip ha sortit de la mµaquina BgD = fel xip ¶es defectu¶osg:

En total hi ha 300 xips, 100 procedents de la mµaquina A i 200 de la B. Llavors, P (A) = 13i

P (B) = 23.

a) Per la f¶ormula de la probabilitat total:

P (D) = P (DjA)P (A) + P (DjB)P (B) = 6

100

1

3+

5

100

2

3= 0;0567:

b) Fent servir la f¶ormula de Bayes:

P (AjD) = P (DjA)P (A)P (DjA)P (A) + P (DjB)P (B) =

0;05 ¢ 13

0;05 ¢ 13+ 0;06 ¢ 2

3

= 0;2941:

2

1.9 Diagrames d'arbre

En l'anµalisi de problemes de probabilitat en quµe s'encadenen experiµencies, pot resultar ¶util larepresentaci¶o en un diagrama d'arbre. Vegem-ne un exemple que il¢lustra la tµecnica.Exemple 1.12 Considerem el problema de l'urna descrit a l'exemple 1.10. El diagrama enarbre segÄuent esquematitza els resultats possibles:


z z j j

Primera extracci¶o Segona extracci¶o

© ©© ©

© ©*

H H H H H Hj

1=2

1=2

z

j

³ ³ ³³ ³ ³1

P P P P P Pq

³ ³ ³³ ³ ³1

P P P P P Pq

1=3

2=3

2=3

1=3

z zz jj zj j

A cada nivell de l'arbre, cada node t¶e tants ¯lls com possibilitats t¶e l'experiµencia en aquell punt.Les branques tenen per pesos les probabilitats de passar d'un resultat al segÄuent. Aix¶³, a l'arbrees poden llegir directament l'espai mostral i les probabilitats de cada un dels resultats possibles:resseguint el cam¶³ des de l'arrel de l'arbre ¯ns al resultat i multiplicant les probabilitats quetrobem a les branques. Per exemple, si denotem N1 el succ¶es `surt negra la primera bola' i N2`surt negra la segona', P (²²) = P (N1 \ N2) = P (N1)P (N2jN1), que ¶es el producte dels pesosde les branques del cam¶i que porta a la fulla ²². 2


1.10.1 Exercicis

1. En un curs de quatre assignatures, el 70% aproven l'assignatura A, el 75% aproven l'assig-natura B, el 80% aproven l'assignatura C i el 85% aproven l'assignatura D. Quin ¶es elpercentatge m¶³nim d'estudiants que aproven les quatre assignatures?

2. Determineu la distribuci¶o de probabilitat de la suma de resultats obtinguts en tirardos daus. Quina distribuci¶o s'obtindria si s'utilitzen dos daus amb cares numerades1; 3; 4; 5; 6; 8 en un i 1; 2; 2; 3; 3; 4 a l'altre?

3. El resultat d'un experiment ¶es un nombre enter entre 1 i 4. L'experiment es repeteix duesvegades de forma independent i s'obtenen els resultats E1 i E2. Calculeu les probabilitatsde A = fE1 = E2g, B = fE1 > E2g, i C = fE1 + E2 ¸ 6g. Calculeu les probabilitats deA;B;A \B;A \ C;B \ C;Ac \B i A [B [ C.

4. En un espai de probabilitat coneixem les probabilitats P (A) = 0;2, P (B) = 0;3 , P (A [B) = 0;4. Determineu les probabilitats P (Ac \B) i P (A \Bc).

42 1 PROBABILITAT

5. Siguin A i B dos successos independents. S¶on independents A i Bc? i Ac i Bc?

6. Tenim un dau amb tres uns, dos dosos i un tres. D'altra banda, tenim una urna amb tresboles blanques i dues negres. Llancem el dau i agafem tantes boles com el n¶umero quesurti al dau.

a) Calculeu la probabilitat de treure com a m¶³nim una bola blanca.

b Sabent que hem tret com a m¶³nim una bola negra, calculeu la probabilitat d'haver tretun dos al dau.


1. Suposem que neixen m¶es nenes que nens. Comproveu que ¶es m¶es probable tenir dos ¯llsdel mateix sexe que de sexe diferent.

2. Quina ¶es la probabilitat d'aprovar un test de 20 preguntes amb quatre opcions per acadascuna (de les quals nom¶es una ¶es vµalida) contestant a l'atzar? Quina ¶es aquestaprobabilitat si nom¶es es contesten a l'atzar 15 preguntes i se'n deixen 5 en blanc?

3. Siguin A;B;C tres successos tals que P (A \ B \ C) = P (A)P (B)P (C). Es pot deduirque A i B s¶on independents?

4. (El problema del cavaller de M¶er¶e) El cavaller de M¶er¶e apostava que en tirar un dau 4vegades almenys sortiria un sis. Despr¶es de guanyar moltes vegades ning¶u no volia jugaramb ell i va canviar el joc, apostant que en 24 tirades de dos daus sortiria un doble sis.¶Es m¶es probable que perdi o que guanyi? Quin ¶es el nombre m¶³nim de tirades a partirdel qual ¶es m¶es probable guanyar que perdre?

5. Un senyor porta sis claus semblants, dues de les quals obren els dos panys de la porta decasa seva. Si en perd una, quina ¶es la probabilitat que pugui entrar a casa? Quina ¶es laprobabilitat que les dues primeres claus que tria obrin la porta?

6. En un sistema de transmissi¶o la probabilitat d'error en enviar un bit ¶es p = 0;1, indepen-dentment dels altres bits enviats.

a) Quina ¶es la probabilitat pn que en un missatge de n bits no hi hagi cap error? Quin¶es el el valor m¶³nim n0 a partir del qual pn0 < 1=2?

b) Per disminuir la probabilitat d'error s'envia cada bit per triplicat. A cada bloc de tresbits rebuts, el receptor descodi¯ca com a 1 el bit enviat si hi ha m¶es 1 que 0 al bloc i0 altrament (aquest ¶es el codi de repetici¶o). Quina ¶es ara la probabilitat qn que en unmissatge de n bits no hi hagi cap error? Quan val qn0?


7. Cada element del sistema de la ¯gura segÄuent t¶e probabilitat de fallada p = 0;1 indepen-dent dels altres. El sistema funciona mentre hi ha un cam¶³ de A a B que no passa percap element defectu¶os. Quina ¶es la probabilitat que el sistema falli?

r rA B

8. En un lot de n xips, n'hi ha l que s¶on defectuosos.

a) Quina ¶es la probabilitat que en una mostra de mida m n'hi hagi r de defectuosos?

b) Quina seria aquesta probabilitat si es pren la mostra de mida m amb reempla»cament?Compareu-la amb l'anterior pels valors n = 20, l = 2, m = 10 i r = 1, i per als valorsn = 100, l = 10, m = 10 i r = 1.

9. Una caixa cont¶e 10 monedes normals i 20 de trucades per a les quals P (cara) = 0;25. Estreu a l'atzar una moneda de la caixa i es tira dues vegades.

a) Quina ¶es la probabilitat que surtin dues cares?

b) Si han sortit dues cares, quina ¶es la probabilitat que la moneda fos trucada?

10. Es treuen dues boles d'una bossa que en cont¶e 5 de vermelles, 3 de blanques i 2 de verdes.

a) Calculeu la probabilitat que les dues boles siguin del mateix color.

b) Si les dues boles s¶on del mateix color, quina ¶es la probabilitat que siguin de color blanc?

11. Una fµabrica produeix un 30% de claus, un 25% de cargols i un 45% de xinxetes. Entreels claus, cadascun t¶e una probabilitat del 0,005 de ser defectu¶os; la probabilitat que uncargol sigui defectu¶os ¶es de 0,003, i una xinxeta, de 0,008. Si una pe»ca ¶es defectuosa, quina¶es la probabilitat que sigui una xinxeta?

12. Per tal d'assistir a un examen un estudiant compta amb l'ajuda d'un despertador, elqual aconsegueix despertar-lo el 80% dels casos. Quan el despertador el desperta, laprobabilitat que faci l'examen ¶es del 0,9, mentre que si no el desperta la probabilitat quefaci l'examen ¶es del 0,5. Si fa l'examen, quina ¶es la probabilitat que el despertador l'hagidespertat? Si no fa l'examen, quina ¶es la probabilitat que no l'hagi despertat?

44 1 PROBABILITAT

13. Un metge sap que nom¶es el 60% dels pacients que van a la consulta estan malalts. Perpoder distingir entre els malalts i els que no ho s¶on, el metge disposa d'una anµalisi quepresenta el 95% de ¯abilitat (¶es a dir, d¶ona el resultat correcte el 95% de les vegades ques'aplica). Si un pacient d¶ona positiu, quina ¶es la probabilitat que realment estigui malalt?

14. En una poblaci¶o hi ha un 24% d'individus que s¶on homes i fumen, i un 35% que s¶on donesi no fumen. Si la proporci¶o d'homes ¶es del 55%, quina ¶es la probabilitat que un individuescollit a l'atzar entre els fumadors sigui dona?

15. En un examen hi ha quatre problemes. El primer val 3 punts, el segon 2 i el tercer i elquart 2;5 cada un. La probabilitat de fer b¶e els problemes ¶es 0;6, 0;8, 0;4 i 0;4, per aquestordre.

a) Quina ¶es la probabilitat de no aprovar?

b) Si un estudiant ha aprovat, quina ¶es la probabilitat que hagi fet b¶e el primer problema?

16. En un concurs televisiu hi ha tres portes, darrere una de les quals hi ha un premi. Elconcursant escull una de les portes i a continuaci¶o el presentador li mostra una de lesportes que no ha triat i que no amaga el premi. El presentador ofereix al concursant lapossibilitat de canviar la seva elecci¶o. Calculeu la probabilitat d'encertar la porta ambpremi si

a) El concursant ha decidit d'entrada no canviar la seva opci¶o.

b) El concursant ha decidit d'entrada canviar la seva opci¶o.

17. En una empresa de n treballadors un d'ells explica un rumor a un altre, escollit a l'atzar.Aquest, a la vegada, l'explica a un tercer escollit a l'atzar, i aix¶³ successivament.

a) Quina ¶es la probabilitat que el rumor hagi passat per r persones sense tornar a quil'ha originat.

b) Quina ¶es la probabilitat que el rumor hagi passat per r persones sense que ning¶u l'hagisentit m¶es d'una vegada.

18. Un servei tµecnic t¶e tres equips de reparaci¶o, A;B i C, els quals efectuen el mateix nombrede reparacions. L'equip A resol favorablement el 80% de les reparacions, l'equip B el 75%i l'equip C el 65%.

a) Quina ¶es la probabilitat que una reparaci¶o defectuosa correspongui a un treball efectuatper l'equip A.

b) Es detecten cinc reparacions defectuoses. Quina ¶es la probabilitat que n'hi hagi, coma molt, una realitzada per l'equip A.

19. Una urna cont¶e tres boles negres i dues boles blanques. Un primer jugador treu tres boles.Torna a l'urna una bola negra si entre les boles que ha tret n'hi ha m¶es de negres. Si no


¶es aix¶³, torna a l'urna una bola blanca. A continuaci¶o, el segon jugador extreu una bola.El joc consisteix a endevinar quantes boles blanques ha extret el primer jugador. Si elsegon jugador ha extret una bola blanca, quina ¶es la probabilitat que el primer jugadorhagi extret:

a) Cap bola blanca.

b) Una bola blanca.

c) Dues boles blanques.

20. La probabilitat que hi hagi emb¶us a la Diagonal a les 8 del vespre ¶es de 0,4 els dies que nojuga el Bar»ca, mentre que puja a 0,8 els dies de partit. Sabem tamb¶e que el Bar»ca jugados partits per setmana.

a) Calculeu la probabilitat que hi hagi emb¶us un dia qualsevol.

b) Si un dia determinat vaig a la Diagonal a les 8 del vespre i hi ha emb¶us, calculeu laprobabilitat que estigui jugant el Bar»ca.

47

2 Variables aleatµories

2.1. Variables aleatµories2.2. Variables discretes2.3. Exemples importants de distribucions discretes2.4. Variables cont¶³nues2.5. Exemples importants de distribucions cont¶³nues2.6. Parµametres estad¶³stics: valor mitjµa i la variµancia.2.7. Funcions de variables aleatµories2.8. Exercicis i problemes

Tal com vµarem veure al cap¶³tol anterior, cada succ¶es d'un experiment t¶e associada

una probabilitat. En aquest tema traslladem els successos a valors numµerics: les

variables aleatµories. Considerem experiments que tinguin ¯ns i tot un nombre in-

¯nit de possibles resultats i probabilitats, en particular amb valors reals com els

que s'obtenen en realitzar mesures. Tamb¶e es discuteixen tµecniques per obtenir la

distribuci¶o de probabilitat d'una variable aleatµoria que s'escriu com a funci¶o d'una

altra. Aquestes tµecniques permeten, en particular, obtenir gran part de les distribu-

cions m¶es comunes a partir de la distribuci¶o uniforme, cosa que ¶es de gran utilitat

en problemes de simulaci¶o.

2.1 Variables aleatµories

De¯nici¶o 2.1 Una variable aleatµoria ¶es una funci¶o que associa un n¶umero a cada resultat d'unexperiment.

48 2 VARIABLES ALEAT µORIES

Heu de pensar en la variable aleatµoria com una descripci¶o numµerica dels valors possibles quepot prendre un experiment. El conjunt de valors possibles ¶es l'espai mostral , ¶es a dir, el conjuntformat per tots els n¶umeros que poden ser valors de la variable.

Exemples:

² (1) Experiment: Tirar una moneda. Associem al resultat fsortir carag el 0 i al resultatfsortir creug un 1. Espai mostral: f0; 1g.

² (2) Experiment: Tirar una moneda diverses vegades ¯ns que ens surti cara. El valor dela variable aleatµoria ¶es el nombre de tirades necessµaries ¯ns que ens ha sortit cara. Espaimostral: N = f1; 2; 3; :::g.

² (3) Experiment: Tirar un dau. Cada cara del dau ja t¶e associat un n¶umero de l'1 al 6;per tant, aquest ¶es el n¶umero que agafem. Espai mostral: f1; 2; 3; 4; 5; 6g.

² (4) Experiment: Mesurar l'al»cµaria d'una persona a l'atzar. El valor que pren la variable¶es l'al»caria en cent¶³metres, amb decimals. Admetent des de nadons prematurs (uns 20cm d'al»cµaria per exemple) ¯ns a gegants de 250 cm l'espai mostral podria ser agafat coml'interval real [20; 250].

² (5) Experiment: Un arquer dispara una °etxa en una diana de 50 cm de radi. El resultatde la variable aleatµoria ¶es la distµancia des d'on ha quedat la °etxa clavada ¯ns al centrede la diana, en cent¶³metres i amb decimals. Espai mostral: l'interval real [0; 50]. Si esteupensant que aixµo no ¶es aleatori (un arquer m¶es bo que un altre dispararµa m¶es a prop delcentre), penseu que la variable aleatµoria nom¶es ¶es una descripci¶o dels valors possibles.Les seves probabilitats s'han d'ajustar a part. La variable aleatµoria corresponent a unarquer m¶es acurat simplement tindrµa probabilitats m¶es altes per a nombres m¶es petitsque la variable d'un arquer menys bo. Perµo la variable ¶es la mateixa.

² (6) Experiment: Temps d'espera d'un paquet de dades d'Internet en un servidor donata causa de la congesti¶o de la xarxa. Els resultats de la variable s¶on els temps d'esperaen segons, amb decimals. Observeu que, en teoria, qualsevol temps ¶es possible. Per tant,l'espai mostral ¶es tot l'interval real [0;1).

Les variables aleatµories s'escriuen habitualment amb lletres maj¶uscules (normalment X o Y ).Per exemple, la variable aleatµoria X que pren els valors dels punts de cada cara d'un dau ¶es lavariable de l'exemple (3) anterior.

Segons els exemples anteriors, veiem que hi ha bµasicament dos tipus de variables aleatµories:

² Variables discretes, variables que prenen una quantitat numerable de valors (usualmentvalors naturals o enters). Una variable discreta pot ser ¯nita si pren un nombre ¯nit de

2.2 Variables discretes 49

valors, o in¯nita, si en pren una quantitat in¯nita numerable (per exemple, els nombresnaturals o els nombres enters).

² Variables cont¶³nues, els valors de les quals s¶on intervals de la recta real. A la secci¶o 2.4en veurem una de¯nici¶o m¶es precisa.

En els exemples anteriors, les variables dels exemples (1) i (3) s¶on discretes ¯nites, la variablede (2) ¶es discreta in¯nita i les variables (4), (5) i (6) s¶on cont¶³nues.

Aquesta distinci¶o ¶es fonamental en l'estudi de la probabilitat, i totes les anµalisis que farem d'araendavant tindran en compte aquesta distinci¶o.

Hi ha variables aleatµories que no s'inclouen en cap dels dos tipus anteriors. Per exemple, unavariable aleatµoria que prengui el valor 4 i tots els nombres reals entre 5 i 6. En aquest curs, noconsiderarem aquestes variables (anomenades variables mixtes).

2.2 Variables discretes

Observeu l'exemple (5) anterior. Dµeiem llavors que, per a diferents tiradors, la variable erala mateixa, perµo que l'encert m¶es gran o m¶es petit d'un tirador ve donat per les probabilitatsassignades a cada succ¶es. Per tant, els resultats d'una variable aleatµoria han de tenir assignadesles seves probabilitats. Per a variables discretes (especialment les ¯nites) aixµo ¶es senzill i esfa associant a cada resultat un n¶umero entre 0 i 1 segons hem vist al cap¶³tol anterior. Si lavariable X pren el valor x amb probabilitat a escriurem:

P (X = x) = a:

Exemple 2.2 Si X ¶es la variable aleatµoria de les cares del dau, tenim, per exemple:

P (X = 3) =1

6:

2

De¯nici¶o 2.3 Sigui X una variable aleatµoria discreta que pren valors a fx1; x2; x3; : : : g. Ales-hores la funci¶o de probabilitat de X ¶es:

P : R ¡! [0; 1]

x7!½P (X = x) si x 2 fx1; x2; x3; : : : g;

0 altrament:


Els axiomes de la probabilitat que hem aprµes al cap¶³tol 1 s'apliquen aqu¶³ amb tota la seva for»ca.Si fx1; x2; : : : ; xng ¶es el conjunt de valors possibles d'una variable aleatµoria ¯nita, aleshores:

P (X = x1) + P (X = x2) + : : :+ P (X = xn) = 1:

Si la variable aleatµoria ¶es discreta i in¯nita, el proc¶es ¶es el mateix, tenint en compte que elfet que la suma de totes les probabilitats sigui 1 es manifesta amb la suma d'una sµerie. Perl'exemple (2) anterior del nombre de vegades que hem de tirar una moneda ¯ns que surti cara,tenim:

P (X = n) =1

2n

i, per tant:1Xn=1

P (X = n) =

1Xn=1

1

2n= 1:

Es fa servir molt tamb¶e la probabilitat d'un conjunt de valors. Per exemple, en aquesta variabledel nombre de cops que hem de tirar una moneda perquµe surti cara, podem preguntar-nosquina ¶es la probabilitat que ens surti cara abans de la cinquena tirada. Segons els axiomesde la probabilitat, doncs, hem de sumar les probabilitats dels resultats 1,2,3, i 4, i el resultats'expressa:

P (X · 4) = 15

16:

2.3 Exemples importants de distribucions discretes

Algunes distribucions de probabilitat, i els models probabilistes a quµe corresponen, s¶on espe-cialment ¶utils i freqÄuents.

² (1) La variable aleatµoria de Bernoulli ¶es la m¶es senzilla de totes i potser la m¶es important.El seu espai mostral t¶e dos valors: f0; 1g. La variable es de¯neix simplement triant unn¶umero p entre 0 i 1 de manera que

P (X = 0) = p P (X = 1) = 1¡ p:

L'exemple canµonic ¶es tirar una moneda, on p = 1=2.

Per indicar que una variable aleatµoria X ¶es de Bernouilli escrivim X » B(p).El model subjacent a la distribuci¶o de Bernoulli ¶es simple: Si A ¶es un succ¶es en un espaimostral, la variable aleatµoria assigna el valor 1 si A succeeix i 0 altrament. Se sol dir quehi ha `µexit' si succeeix A.

2.3 Exemples importants de distribucions discretes 51

² (2) La variable aleatµoria binomial s'obt¶e quan es repeteix independentment n vegades lavariable de Bernoulli i es compta el nombre d'µexits (¶es a dir, el nombre de vegades queapareix 1). Per exemple, si tiro una moneda 6 cops quina ¶es la probabilitat que em surtinexactament dues cares?

L'espai mostral de la variable aleatµoria binomial ¶es, doncs, el conjunt f0; 1; : : : ; ng. Laprobabilitat de cadascun d'aquests valors es calcula amb la f¶ormula:

P (X = k) =

µn

k

¶pk(1¡ p)n¡k; n = 0; 1; : : : ; n:

El coe¯cient¡nk

¢compta el nombre de resultats en quµe hi ha k µexits (triar la posici¶o de

k uns en una seqÄuµencia de llargada n) i el terme pk(1¡ p)n¡k correspon a la probabilitatde cadascun d'ells.

Si X segueix una distribuci¶o binomial de n repeticions independents i probabilitat d'µexitp escrivim X » Bin(n; p).

² (3) Un exemple de variable geomµetrica el tenim amb l'exemple anterior (2): comptemel nombre de tirades que hem de fer perquµe ens surti una cara. En principi, qualsevolnombre de tirades ¶es possible, i la probabilitat cada cop queda multiplicada per 1/2. Peraixµo s'anomena geomµetrica, perquµe la probabilitat del resultat k ¶es igual al del resultatk ¡ 1 multiplicat per un factor 1 ¡ p. L'espai mostral ¶es el conjunt de tots els nombresnaturals (¶es, doncs, un espai no ¯nit) i la distribuci¶o de probabilitat ve donada per:

P (X = n) = p(1¡ p)n¡1; n = 1; 2; : : : ;

i escrivim X » Geom(p).Observem que la suma de totes les probabilitats ¶es 1, com ha de ser, fent servir el valorde la suma d'una sµerie geomµetrica:

1Xn=1

p(1¡ p)n¡1 = p 1

1¡ (1¡ p) = p1

p= 1:

² (4) La variable de Poisson s'obt¶e tamb¶e en determinades situacions en quµe cal iterar lavariable de Bernoulli. De fet, la distribuci¶o de Poisson representa una situaci¶o l¶³mit dela distribuci¶o binomial, en la qual el nombre d'iteracions ¶es `gran' i la probabilitat d'µexit`petita'. Aquesta distribuci¶o es fa servir, per exemple, per comptar el nombre de trucadesque arriben a una central en un petit interval de temps: el nombre d'usuaris ¶es gran(de l'ordre de milions), perµo la probabilitat que un d'ells faci una trucada en un instantdeterminat ¶es petita.


La variable aleatµoria amb distribuci¶o de Poisson t¶e com a espai mostral el conjunt delsenters no negatius (incloent el 0), i la distribuci¶o de probabilitats ¶es:

P (X = k) =®k

k!e¡®; k = 0; 1; 2; : : : :

El valor ® ¶es el parµametre de la distribuci¶o i m¶es endavant en veurem el seu signi¯cat.Escriurem X » Poiss(®) per indicar que X segueix una distribuci¶o de Poisson. Per ara,cal dir que la distribuci¶o de Poisson ¶es una bona aproximaci¶o de Bin(n; p) quan n ¶esgran, p ¶es petita i ® = np. Vegeu una comparaci¶o d'alguns valors de la distribuci¶o per an = 20 i p = 0;1:

k 0 1 2 3 4 5 6

X » Bin(20; 0;1) P (X = k) 0,121 0,270 0,285 0,190 0,089 0,031 0,009Y » Poiss(2) P (Y = k) 0,135 0,270 0,270 0,180 0,090 0,036 0,012

2.4 Variables cont¶³nues

Amb les variables cont¶³nues, perµo, l'assignaci¶o de probabilitats ¶es m¶es complicada. No podemdonar un valor individual a la probabilitat de cada resultat individual d'un interval de nombresreals. Per tant, la probabilitat es d¶ona tamb¶e en termes d'intervals: casos com P (X · a),que ¶es la probabilitat que la variable X aga¯ un valor m¶es petit o igual que a, o b¶e casos comP (a · X · b), que ¶es la probabilitat que la variable X prengui un valor entre a i b.

Ara b¶e, a la recta real hi ha in¯nits intervals. Quµe hem guanyat, doncs? Hem guanyat que araper donar la probabilitat d'un interval podem fer servir una funci¶o, amb tots els avantatges queel cµalcul ens proporciona per estudiar funcions. Aixµo ens porta a la de¯nici¶o segÄuent:

De¯nici¶o 2.4 La funci¶o de distribuci¶o de la variable aleatoria X ¶es la funci¶o:

FX(x) = P (X · x):

Observeu com, sabent la funci¶o de distribuci¶o d'una variable aleatµoria, podem saber la proba-bilitat de molts intervals; per exemple:

P (a < X · b) = FX(b)¡ FX(a):La funci¶o de distribuci¶o es pot de¯nir per qualsevol tipus de variable aleatµoria. Si la funci¶o dedistribuci¶o ¶es cont¶³nua, aleshores:

P (X = x) = FX(x)¡ limy!x

FX(y) = 0;

2.4 Variables cont¶³nues 53

de manera que en aquest cas la funci¶o de probabilitat no aporta cap informaci¶o rellevant. Unavariable aleatµoria ¶es cont¶³nua si la seva funci¶o de distribuci¶o ¶es cont¶³nua.

La millor eina per entendre la distribuci¶o de probabilitats d'una variable aleatµoria cont¶³nua ¶esla funci¶o de densitat:

De¯nici¶o 2.5 Sigui X una variable aleatµoria cont¶³nua amb funci¶o de distribuci¶o FX derivable(llevat potser d'una quantitat ¯nita de punts). La funci¶o de densitat d'una variable aleatµoriaX ¶es la derivada de la funci¶o de distribuci¶o:

fX(x) =dFXdx

(x):

Per quµe la derivada? Perquµe s'ent¶en molt b¶e i t¶e una explicaci¶o molt grµa¯ca. Si fX ¶es la funci¶ode densitat, aleshores la probabilitat d'un interval [a; b] ¶es:

P (a · X · b) =Z b

a

fX(x) dx:

Observeu que la funci¶o de distribuci¶o ¶es sempre una funci¶o creixent (si x < y aleshores fX ·xg ½ fX · yg i FX(x) = P (X · x) · P (X · y) = FX(y)). Per tant, la funci¶o de densitat¶es sempre no negativa. Per aixµo la probabilitat P (a · X · b) es correspon amb l'µarea sota lafunci¶o de densitat i entre les dues rectes verticals corresponents a x = a i x = b. Aix¶³, si lafunci¶o de densitat ¶es m¶es alta en un punt que en un altre, sabrem que els petits intervals propersal primer punt s¶on m¶es probables que els petits intervals propers al segon punt. Observemalgunes propietats de les funcions de distribuci¶o i densitat, que no s¶on m¶es que reformulaci¶o depropietats que ja coneixem:

² (1)limx!¡1

FX(x) = 0 limx!+1

FX(x) = 1:

² (2)FX(x) =

Z x

¡1fX(x) dx:

² (3)fX(x) ¸ 0 i

Z +1

¡1fX(x) dx = 1:

Arribats en aquest punt, uns quants exemples de distribucions cont¶³nues ens aniran molt b¶eper entendre-ho tot.


2.5 Exemples importants de distribucions cont¶³nues

² (1) Considerem la variable aleatµoria segÄuent: Agafem una ruleta (una °etxa clavada alpaper amb una agulla), fem-la rodar i anotem l'angle on s'atura. Aqu¶³ tenim una variablealeatµoria cont¶³nua amb conjunt de valors [0; 2¼). Perµo observeu com la intuÄ³ci¶o ens diuque tots els angles s¶on igualment probables. Per tant, ens interessa que els intervalsque tenen la mateixa longitud tinguin tamb¶e la mateixa probabilitat. ¶Es a dir, que laprobabilitat d'un interval [a; b] sigui proporcional a b¡ a. La funci¶o de distribuci¶o serµa,doncs, la funci¶o:

FX(x) =1

2¼x

per x 2 [0; 2¼). Observeu detingudament per quµe aixµo ¶es aix¶³: l'interval [0; 2¼) t¶e proba-bilitat FX(2¼), que ¶es 1; l'interval [0; x] t¶e probabilitat FX(x) =

x2¼, i un interval [a; b] t¶e

probabilitat FX(b)¡ FX(a) = b¡a2¼. Per tant, la funci¶o de densitat ¶es constant:

fX(x) =1

2¼:

Observem que el fet que la funci¶o de densitat sigui constant ¶es el que ens diu que laprobabilitat d'un interval [a; b] t¶e a veure amb la seva longitud: com que la funci¶o ¶es cons-tant la probabilitat ve donada per l'µarea d'un rectangle, i l'µarea d'un rectangle d'al»cµariaconstant depµen de la seva longitud.

Aquest ¶es un exemple d'una variable aleatµoria uniforme. Una variable aleatµoria ¶es uni-forme en un interval [a; b] quan la seva funci¶o de densitat ¶es constant en els punts d'aquestinterval (i val 0 en els altres punts):

fX(x) =

½1b¡a x 2 [a; b]0 x62 [a; b]

IntuÄ³tivament, aixµo es correspon amb el fet que tots els resultats s¶on igualment probables.Escrivim X » U(a; b).

² (2) Ara b¶e, l'experiµencia ens ensenya que no totes les variables aleatµories s¶on uniformes,¶es a dir, per a una variable determinada no tots els valors tenen la mateixa probabilitat.Un cop d'ull al voltant vostre us ha de convµencer d'aquest fet: hi ha molta m¶es gentd'1,75 m d'al»cµaria que de 2,20 µo 1,45. Per tant, la variable aleatµoria `mesurar l'al»cµariad'una persona' no ¶es uniforme, i aixµo vol dir que la funci¶o de densitat d'aquesta varia-ble aleatµoria no ¶es constant. I si ho analitzem m¶es detingudament, hi observarem unfenomen extremament habitual: hi ha un valor central de manera que la mostra tendeixa acumular-se a prop del valor central. Aixµo suggereix que la funci¶o de densitat d'aquestavariable serµa m¶es alta \al mig" que \als extrems". Una distribuci¶o fonamental que descriu

2.5 Exemples importants de distribucions cont¶³nues 55

molts fenµomens aleatoris, com l'exemple anterior, ¶es l'anomenada distribuci¶o normal . Lavariable t¶e dos parµametres, m i ¾, i la seva funci¶o de densitat ¶es:

fX(x) =1p2¼¾

e¡(x¡m)22¾2 :

La normal t¶e una grµa¯ca ben coneguda per a tothom, que s'anomena popularment `lacampana de Gauss':

Aquesta funci¶o estµa centrada en el puntm i ¶es m¶es punxeguda com m¶es petit ¶es el valor de¾. M¶es endavant interpretarem aquests dos parµametres. Escrivim X » N(m;¾). Quanm = 0 i ¾ = 1 es diu que X segueix una distribuci¶o normal tipi¯cada, i t¶e per funci¶o dedensitat:

fX(x) =1p2¼e¡

x2

2 :

Aquesta funci¶o de densitat ¶es simµetrica respecte de l'eix x = 0. SiX » N(m;¾), aleshores:

Y =X ¡m¾

» N(0; 1):

Aquesta relaci¶o ¶es especialment ¶util pel motiu segÄuent. Per calcular la probabilitat queuna variable aleatµoria normal N(m;¾) prengui valors en un interval (a; b), cal calcular laintegral:

P (a < X < b) =

Z b

a

1p2¼¾e

x¡m)22¾2 dx:

Ara b¶e, la funci¶o integrant no t¶e una primitiva expressable com una combinaci¶o ¯nitade funcions elementals, i els seus valors estan tabulats: s'han de consultar en taules.Aquestes taules contenen usualment els valors de P (N · x) o P (0 · N · x) per a valorsde x, on N ¶es una variable aleatµoria normal tipi¯cada. Els cµalculs s'han de referir, doncs,a aquests valors, com il¢lustra l'exemple segÄuent:

Exemple 2.6 Si X » N(3; 2), calculeu P (0 < X < 3).


A la taula que trobareu a l'apµendix, hi ha tabulats els valors de P (0 < X < x) per aN » N(0; 1). Si X » N(3; 2), aleshores N = (X ¡ 3)=2 » N(0; 1), de manera que

P (0 < X < 3) = P (0 < 2N + 3 < 3) = P (¡1:5 < N < 0) = P (0 < N < 1:5):

A les taules trobem els valors P (0 < N < 1;5) = 0;4332, de manera que tamb¶e P (0 <X < 3) = 0;4332. 2

La distribuci¶o normal apareix en totes aquelles experiµencies en quµe s'observa una carac-ter¶³stica estad¶³stica `normal' d'una poblaci¶o. El seu primer ¶us descrivia la distribuci¶od'errors en una sµerie de mesuraments de la mateixa mesura (i, de vegades, fX s'ano-mena la funci¶o d'error). Les distribucions d'al»cµaries d'individus d'una poblaci¶o, la de lesquali¯cacions d'un examen, la de la intensitat d'un soroll en un canal de comunicaci¶o s¶onexemples d'experiµencies en quµe apareix aquesta distribuci¶o particular.

De manera m¶es expl¶³cita, es pot dir que la distribuci¶o de la suma de n variables indepen-dents tendeix a la distribuci¶o normal quan n ¶es `gran'.

Aquest enunciat imprec¶³s estµa a la base de les nombroses aplicacions de la distribuci¶onormal: en totes aquelles experiµencies que s¶on resultat d'una suma de factors aleatorisindependents (per exemple, el soroll tµermic, els errors en mesuraments, etc.) apareix ladistribuci¶o normal. La seva formulaci¶o precisa ¶es el que s'anomena teorema del l¶³mitcentral.

Un exemple important el d¶ona la distribuci¶o binomial Bin(n; p), que es pot interpretarcom a suma de n variables aleatµories de Bernouilli. Quan n ¶es `gran', la distribuci¶obinomial Bin(n; p) es pot aproximar b¶e per la distribuci¶o normal N(m;¾) amb m = npi ¾ =

pnpq. M¶es endavant veurem el sentit d'aquesta correspondµencia de parµametres.

Com a exemple, la taula segÄuent compara alguns valors de la distribuci¶o Bin(100; 0;5)amb les de la distribuci¶o normal N(50; 5):

x 35 40 45 50 55 60 65

X » Bin(100; 0;5) P (X · x) 0,0017 0,028 0,184 0,539 0,864 0,982 0,999Y » N(50; 5) P (Y · x) 0,0013 0,023 0,158 0,5 0,841 0,977 0,998

² (3) La distribuci¶o normal ¶es un bon model quan hi ha un valor central, de manera que elsresultats de la variable es dispersen cap a ambd¶os costats d'aquest valor central. Hi haaltres exemples, com l'exemple (6) del temps d'espera d'un paquet de dades en un servidor,pels quals aixµo no passa: els valors d'aquesta variable comencen amb 0 i s'estenen pertot l'eix positiu de la recta real. A m¶es, µobviament aquesta distribuci¶o tampoc no ¶esuniforme, sin¶o que ¶es molt m¶es probable que un paquet s'hagi d'esperar un temps curtmolt proper a 0 que un temps llarg.

2.6 Parµametres estad¶³stics: valor mitjµa i variµancia 57

Aix¶³ tenim que necessitem un model en el qual les probabilitats van de 0 a 1, i queles properes a 0 s¶on m¶es probables que les llunyanes. Vegem un exemple en el qual laprobabilitat vagi decreixent com m¶es grans siguin els valors. L'exemple canµonic es ladistribuci¶o exponencial. La seva funci¶o de densitat ¶es:

fX(x) = ¸e¡¸x; x ¸ 0:

La seva grµa¯ca

satisfµa les propietats que sugger¶³em. Escrivim X » Exp(¸). M¶es endavant veurem tamb¶eel signi¯cat del parµametre.

La distribuci¶o exponencial apareix en moltes experiµencies en les quals mesurem el temps¯ns que s'esdev¶e un succ¶es que ¶es aleatori en el temps. Els exemples t¶³pics s¶on:

{ Temps d'espera ¯ns que un usuari fa una petici¶o a un servidor.

{ Temps de funcionament sense avaries d'un dispositiu.

{ Temps perquµe una substµancia radioactiva emeti una part¶³cula.

En tots aquests exemples, la variable aleatµoria exponencial apareix com a expressi¶o d'unasituaci¶o l¶³mit: a petits intervals de temps, la probabilitat que passi el succ¶es que observem¶es p, i comptem el nombre d'intervals que hem d'esperar. Es tracta, doncs, de la situaci¶ol¶³mit d'una variable aleatµoria geomµetrica.

2.6 Parµametres estad¶³stics: valor mitjµa i variµancia

El valor mitjµa ¶es un valor que s'utilitza per tenir una idea numµerica global de la variablealeatµoria. La intuÄ³ci¶o del cµalcul del valor mitjµa prov¶e de l'estad¶³stica: si tenim una mostra den valors , x1; x2; : : : ; xn, el seu valor mitjµa es calcula sumant-los tots i dividint per n:

¹x =x1 + x2 + ¢ ¢ ¢+ xn

n:


Per exemple, el valor mitjµa dels valors 1; 3; 4; 5; 7; 10 ¶es (1 + 3+ 4+ 5+ 7+ 10)=6 = 5. El valormitjµa dels valors 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3 ¶es (3=7)2 + (4=7)3, ¶es a dir, la suma de cada valor per la sevafreqÄuµencia relativa. Aixµo suggereix que, donada una variable aleatµoria, intuÄ³tivament el valormitjµa ha de ser igual a la suma del producte de cada valor per la seva probabilitat. Aixµo ¶esexactament aix¶³ per una variable discreta:

De¯nici¶o 2.7 En una variable aleatµoria discreta que t¶e espai mostral S = fx1; x2; x3; :::g, ¯nitao in¯nita, el valor mitjµa o esperan»ca matemµatica es de¯neix com el valor:

E(X) =Xi

xi P (X = xi)

La mitjana es denota moltes vegades amb la lletra grega ¹.

Per exemple, el valor mitjµa d'una variable aleatµoria de Bernoulli X » B(p) ¶es:¹ = E(X) = 0 ¢ P (X = 0) + 1 ¢ P (X = 1) = p:

El sentit de l'esperan»ca ¶es que d¶ona el valor mitjµa dels resultats de l'experiµencia si es repeteixun nombre prou gran de vegades. Per exemple, el nombre mitjµa de cares en tirar 100 vegadesuna moneda ¶es 100p = 50. ¶Es el valor esperat, i es pot demostrar en el context de la teor¶³a de laprobabilitat que la probabilitat que el valor mitjµa d'una seqÄuµencia de n tirades s'aparti del valoresperat (n=2 en el cas de tirar la moneda) tendeix a 0 quan n tendeix a1: ¶es l'anomenada lleidels grans nombres.

Exemple 2.8 La ruleta t¶e divuit nombres negres, divuit de vermells i el 0. Un joc d'apostaa la ruleta consisteix a apostar una quantitat M a roig. Si la bola cau en un nombre roig, esguanya el valor de l'aposta, si cau en un de negre o en 0, es perd. La casa guanya l'apostanom¶es quan cau en 0. La variable aleatµoria que mesura el guany net d'un jugador t¶e, doncs, ladistribuci¶o segÄuent:

P (X =M) = 18=37; P (X = ¡M) = 19=37:Per tant, l'esperan»ca de guany del jugador ¶es E(X) = M(18=37) + (¡M)(19=37) = ¡M=37.Aixµo vol dir que el jugador pot esperar, si juga prou vegades en apostes de 100 euros, a perdreuns 100=37 ' 2;7 euros. En canvi, per a la casa de joc, el guany net ¶es Y amb P (Y =M) = 1=37i P (Y = 0) = 36=37, i espera guanyar E(Y ) =M=37; el que perd el jugador ho guanya la casa.2

Per a variables aleatµories cont¶³nues, tenint en compte que la probabilitat ve donada per la sevafunci¶o de densitat, la mitjana s'ha de calcular fent la integral de la funci¶o de densitat perµomultiplicada per x. Aixµo re°ecteix exactament la idea intuÄ³tiva de multiplcar cada valor (x)per la seva probabilitat (la funci¶o de densitat).

2.6 Parµametres estad¶³stics: valor mitjµa i variµancia 59

De¯nici¶o 2.9 En una variable aleatµoria cont¶³nua que t¶e funci¶o de densitat fX(x), la sevamitjana o esperan»ca matemµatica es de¯neix com el valor

E(X) =

Z 1

¡1x fX(x) dx:

Per exemple, si s'escull un punt X a l'atzar a l'interval [0; 2], aleshores el valor mitjµa (la mitjanadels punts si repetim prou vegades l'experiµencia) ¶es:

E(X) =

Z 1

¡1x fX(x) dx =

Z 2

0

x(1=2) dx = (1=2)(x2=2) j20= 1:

A la taula al ¯nal de la secci¶o hi ha un resum dels valors mitjans i altres caracter¶³stiques de lesdistribucions usuals.

L'esperan»ca no ¶es l'¶unic valor important d'una variable aleatµoria. L'esperan»ca t¶e la caracter¶³sticaque proporciona un valor central mitjµa de la variable, perµo no ens d¶ona cap informaci¶o de ladispersi¶o de la variable. Per exemple, les seqÄuµencies ¡1;¡1;¡1; 1; 1; 1 i ¡10;¡5; 0; 5; 10 tenenel mateix valor mitjµa, 0, perµo la segona t¶e els valors m¶es dispersos que la primera, que els t¶em¶es concentrats al voltant del valor mitjµa. Una mesura de la dispersi¶o dels valors ¶es el valormitjµa de les diferµencies entre cada valor i el valor mitjµa. Per comptar aquestes diferµenciesamb independµencia del signe, el que es fa ¶es sumar les diferµencies al quadrat: per a les duesseqÄuµencies anteriors, la dispersi¶o ¶es:

(¡1)2 + (¡1)2 + (¡1)2 + 12 + 12 + 126

= (¡1)236+ (1)2

3

6= 1;

(¡10)2 + (¡5)2 + 02 + 52 + 1025

= 50:

Aixµo suggereix mesurar la dispersi¶o d'una variable aleatµoria discreta X de la manera segÄuent,la qual cosa s'anomena la variµancia de X: si X pren els valors x1; x2; x3; : : : i t¶e esperan»ca¹ = E(X), aleshores:

V ar(X) =Xi

(xi ¡ ¹)2 ¢ P (X = xi):

Per exemple, si X » B(p), aleshores l'esperan»ca de X ¶es E(X) = p i, essent q = 1¡ p,

V ar(X) = (0¡ p)2P (X = 0) + (1¡ p)2P (X = 1) = p2q + q2p = pq(p+ q) = pq:

El producte pq = p(1 ¡ p) ¶es mµaxim quan p = q = 1=2: aquest ¶es el valor de p pel qual ladispersi¶o ¶es mµaxima. En canvi, per a valors de p prµoxims a zero o a 1, la dispersi¶o ¶es petita.Per exemple, si p = 0;1 el valor mitjµa ¶es 0;1 i la variµancia ¶es 0;09, mentre que per a p = q = 1=2la variancia ¶es 0;25.


Per a variables aleatµories cont¶³nues, el sumatori de la de¯nici¶o anterior passa a ser una integrali la funci¶o de probabilitat passa a ser la funci¶o de densitat:

V ar(X) =

Z 1

¡1(x¡ ¹)2 ¢ fX(x) dx:

La variµancia s'escriu tamb¶e com ¾2X o ¾2. La seva arrel quadrada ¾ ¶es tamb¶e for»ca utilitzada,

s'anomena desviaci¶o t¶³pica o estµandard . Els dos valors assoleixen el mateix objectiu de mesurarla dispersi¶o de la variable aleatµoria.

A la prµactica se sol calcular la variµancia de la forma segÄuent:

V ar(X) =Xi

(xi ¡ E(X))2P (X = xi) =

=Xi

x2iP (X = xi)¡ 2E(X)Xi

xiP (X = xi) + E2(X)

= E(X2)¡E2(X):Per exemple, per a una variableX » B(p), V ar(X) = E(X2)¡E2(X) = p¡p2 = p(1¡p) = pq.El resultat ¶es igualment vµalid per a variables aleatµories cont¶³nues.

La taula segÄuent resumeix aquests valors per a les distribucions m¶es comunes:

Distribuci¶o Funci¶o de probabilitat o densitat Esperan»ca Variµancia

X » B(p) P (X = 0) = q = 1¡ p, P (X = 1) = p p pqX » Bin(n; p) P (X = k) =

¡nk

¢pkqn¡k; k = 0; 1; : : : ; n np npq

X » Geom(p) P (X = k) = pqk¡1; k = 1; 2; 3; : : : 1=p p=q2

X » Poiss(¸) P (X = k) = ¸k

k!e¡¸; k = 0; 1; 2; : : : ¸ ¸

X » U(a; b) fX(x) =1b¡a ; x 2 (a; b) b+a

2(b¡a)212

X » N(m;¾) fX(x) =1p2¼¾e¡

(x¡m)22¾2 m ¾2

X » Exp(¸) fX(x) = ¸ e¡¸x; x ¸ 0 1

¸1¸2

Com a darrer comentari, recordeu que hav¶³em vist dos tipus d'aproximacions de distribucions:

² SiX » Bin(n; p) amb n gran i p petita, aleshores la distribuci¶o s'aproxima a una Poiss(¸)amb ¸ = np. En altres paraules, s'aproxima per una distibuci¶o de Poisson del mateixvalor mitjµa.

² Si X » Bin(n; p) amb n gran, aleshores la distribuci¶o s'aproxima per una normal N(m;¾)amb m = np i ¾ =

pnpq. En altres paraules, s'aproxima per una distribuci¶o normal del

mateix valor mitjµa i la mateixa desviaci¶o t¶³pica.

2.7 Funcions de variables aleatµories 61

2.7 Funcions de variables aleatµories

Sigui X una variable aleatµoria i g : R ! R una funci¶o. L'objectiu d'aquesta secci¶o ¶es obtenirla distribuci¶o de Y = g(X) en termes de la distribuci¶o de X i g. A la ¯gura segÄuent hi ha dosexemples grµa¯cs del problema.

16

P (X = i)

i1 2 3 4 5 6

Y = (¡1)X-

12

P (Y = i)

i¡1 1

fX(x) = e¡x

x0 1 2 3

Y = X=2-

fY (y) = 2e¡2y

y0 1 2 3 4

Figura 2: Exemples de distribucions de funcions de variables aleatµories

En el cas discret l'obtenci¶o de la funci¶o de probabilitat de Y = g(X) se sol obtenir directament.

Exemple 2.10 Sigui X la variable aleatµoria que d¶ona el resultat d'un dau i g(x) = (¡1)x (queestµa ben de¯nida per a valors de x naturals). La distribuci¶o de Y = g(X) ¶es:

P (Y = 1) = P (X 2 f2; 4; 6g) = 1=2; P (Y = ¡1) = P (X 2 f1; 3; 5g) = 1=2:

2

Quan X t¶e una distribuci¶o cont¶³nua i g ¶es prou regular, hi ha una manera directa d'obtenirla distribuci¶o de Y = g(X) en termes de la de Y i g. Un cas simple es presenta quan g ¶esestrictament creixent. Aleshores:

FY (y) = P (Y · y) = P (g(X) · y) = P (X · g¡1(y)) = FX(g¡1(y)):

Derivant la funci¶o de distribuci¶o, s'obt¶e:


Proposici¶o 2.11 Sigui X una variable aleatµoria amb funci¶o de densitat fX i g : R ! R unafunci¶o derivable estrictament creixent. Aleshores:

fY (y) =fX(x)

g0(x); on x = g¡1(y):

2

En general, si g ¶es una funci¶o derivable amb una quantitat ¯nita o numerable d'extrems locals,i Y = g(X), aleshores:

fg(X)(t) =X

y2g¡1(t)

fX(y)

jg0(y)j :

Exemple 2.12 Sigui X una variable aleatµoria amb distribuci¶o Exp(¸) i Y = 2X. Aleshores:

fY (y) = fX(y=2)=2 = ¸=2e¡¸y=2; y ¸ 0;

de manera que la distribuci¶o de Y ¶es Exp(¸=2). 2

Tamb¶e es pot obtenir `directament' l'esperan»ca de Y = g(X) en termes de la distribuci¶o de Xi g.

Teorema 2.13 Sigui X una variable aleatµoria i g : R! R. Aleshores:

E(g(X)) =

½ Pk g(xk)P (X = xk) si X es discreta i pren els valors x1; x2; : : : ; xk; : : :R1

¡1 g(x)fX(x)dx si X t¶e funci¶o de densitat

(sempre que la sµerie o la integral siguin convergents). 2

En particular, la f¶ormula anterior permet escriure:

E(Xr) =

½ Pk x

rkP (X = xk) si X es discreta i pren els valors x1; x2; : : : ; xk; : : :R1

¡1 xrfX(x)dx si X t¶e funci¶o de densitat

E(Xr) s'anomena el moment d'ordre r de la variable aleatµoria X. Si X t¶e valor mitjµa m =E(X), aleshores:

E((X ¡m)r) =½ P

k(xk ¡m)rP (X = xk) si X es discreta i pren els valors x1; x2; : : :R1¡1(x¡m)rfX(x)dx si X t¶e funci¶o de densitat fX

E((X ¡m)r) s'anomena el moment centrat d'ordre r de la variable aleatµoria X. En particular,la variµancia de X ¶es el moment centrat de segon ordre:

V ar(X) = E((X ¡m)2) = E(X2)¡ (E(X))2:


Exemple 2.14 A l'exemple 2.12 es pot obtenir l'esperan»ca de Y com E(Y ) =R1¡1 yfY (y)dy

o b¶e directament, ja que Y = 2X, com:

E(Y ) =

Z 1

¡12xfX(x)dx =

Z 1

0

2xe¡xdx = 2:

2

Per al cas particular que Y = aX + b, tenim:

E(Y ) = E(aX + b) = aE(X) + b:

V ar(Y ) = E((aX + b)2)¡ (E(aX + b))2 = a2V ar(X);¶es a dir, les transformacions a¯ns de variables aleatµories es tradueixen en la mateixa transfor-maci¶o del valor mitjµa. En canvi, la variancia ¶es invariant per a translacions (la dispersi¶o noqueda afectada si traslladem els valors). Per exemple, si X » N(m;¾), aleshores E(X¡m

¾) = 0

i V ar(Y ) = 1, tal com vam veure.


2.8.1 Exercicis

1. Sigui N un nombre escollit a l'atzar en el conjunt f¡1; 0; 1; 2; 3g. Es considera la variablealeatµoria X = 1

2N2. Dibuixeu la funci¶o de distribuci¶o de X i utilitzeu-la per calcular les

probabilitats dels esdeveniments segÄuents:

a) X · 0b) 2 < X · 3c) x ¸ 2

2. Refeu el problema anterior per a X = 4 cos ¼N4.

3. Es considera la funci¶o de densitat:

fX(x) = xe¡xu(x)

on u(x) ¶es la funci¶o de Heaviside. Trobeu la funci¶o de distribuci¶o FX i calculeu:

a) P (X · 1)b) P (1 < X · 2)c) P (X ¸ 2).


4. Sigui X una variable aleatµoria que pren els valors f1; 2; 3g amb distribuci¶o P (X = 1) =0;3, P (X = 2) = 0;5 i P (X = 3) = 0;2, i considerem la nova variable aleatµoria Y = Á(X).

a) Calculeu E(X), la variµancia i la desviaci¶o t¶³pica de X.

b) Si Á(x) = x3, calculeu la distribuci¶o de probabilitat de la variable Y i tamb¶e la mitjana,la variµancia i la desviaci¶o t¶³pica.


1. Una urna cont¶e tres boles blanques i cinc de negres. Es treu una bola, es mira el color ies torna a dipositar a l'urna.

a) Quina ¶es la probabilitat que en vuit extraccions surtin exactament cinc boles negres.

b) Quµe ¶es m¶es probable, que surtin cinc boles negres o m¶es, o que en surtin menys decinc?.

2. Es tiren deu monedes no trucades; quina ¶es la probabilitat que el nombre de cares quesurtin sigui menor o igual que tres? Repetiu el mateix problema amb monedes trucadesde manera que P (cara) = 3

5.

3. Un servidor at¶en una petici¶o amb probabilitat p = 0;8 independentment de les altres.Quan un usuari no ¶es atµes, torna a formular la petici¶o. Quina ¶es la probabilitat que hagide fer la petici¶o m¶es de tres vegades?

4. El nombre de trucades que arriben a un node de comunicaci¶o en un segon segueix unadistribuci¶o de Poisson Poiss(2). El node nom¶es pot processar un mµaxim de cinc trucadesper segon i la resta les perd. Quina ¶es la probabilitat que en un segon hi hagi algunatrucada perduda. Quina ¶es la distribuci¶o de probabilitat del nombre de trucades perdudes.

5. La probabilitat que un canal de transmissi¶o transmeti un d¶³git erroni ¶es 0;01, indepen-dentment dels altres. Calculeu la probabilitat que hi hagi m¶es d'un error en deu d¶³gitsrebuts. Repetiu aquest cµalcul utilitzant l'aproximaci¶o de Poisson.

6. En un control de qualitat s'extreuen mostres de 10 unitats d'un lot de 1:000. Si la mostrat¶e m¶es de 2 unitats defectuoses, la mostra es declara defectuosa. Sigui o no defectuosa, estorna la mostra al lot i se n'extreu una altra, tamb¶e de 10 unitats. Quina ¶es la probabilitatque en 10 mostres del mateix lot en surtin almenys 8 de defectuoses si en el lot hi ha 100unitats defectuoses.


7. Una variable aleatµoria discreta pren els k valors possibles i equiprobables segÄuents:

0; a; 2a; ¢ ¢ ¢ ; (k ¡ 1)a:Calculeu-ne la mitjana, el moment d'ordre dos i la desviaci¶o estµandard.

8. La intensitat d'un senyal ¶es una variable aleatµoria X amb funci¶o de densitat:

fX(x) =1

2e¡jxj

Trobeu la funci¶o distribuci¶o FX i calculeu:

a) P (X · 0)b) P (0 < X · 1)c) P (X > 1).

9. Una variable aleatµoria t¶e la funci¶o de distribuci¶o segÄuent:

FX(x) =

8<: 0 si x · 0Kx2 si 0 < x · 10100K si x > 10

a) Calculeu el valor de K.

b) Trobeu P (X · 5) i P (5 < X · 7).c) Representeu la funci¶o de densitat fX(x).

10. El temps d'espera T ¯ns que arriba un usuari a un servidor segueix una llei exponencialExp(2) per a una determinada unitat de temps. Calculeu:

a) P (T < 2), P (T > 3) i P (2 < T < 3).

b) P (T > 5jT > 2).11. Si X ¶es una variable aleatµoria normal N(10; 500), calculeu P (X > 20), P (10 < X · 20),

P (0 < X · 20) i P (X > 0) (feu servir les taules de la distribuci¶o normal).

12. Un voltatge determinat es pot modelar com una variable aleatµoria normal N(0; 9). De-termineu el valor de c de manera que p = P (j X j< c) valgui:a) p = 0;9.

b) p = 0;99.

13. La demanda mensual d'ordinadors al centre comercial COMPC es troba aproximada peruna variable aleatµoria normal amb ¹ = 200 i una desviaci¶o estµandard de 40 unitats. Quinagrandµaria ha de tenir l'inventari disponible a principi de mes perquµe la probabilitat queles existµencies s'esgotin no sigui m¶es gran que 0;05?


14. El diµametre d'una determinada pe»ca que s'utilitza per a la fabricaci¶o d'avions es troba,de manera aproximada, distribuÄ³t normalment com N(3;5; 0;02). Si el diµametre no potser m¶es petit que 3;47 ni m¶es gran que 3;53, quin ¶es el percentatge de peces que s'haurande llan»car?

15. Si la vida X d'un tipus de bateria per a un cotxe estµa normalment distribuÄ³da amb unvalor mitjµa m = 4 anys i una desviaci¶o estµandard ¾ = 1 any, i el fabricant d¶ona unagarantia de 3 anys (si la bateria s'espatlla abans que s'acabi la garantia, el fabricant hade substituir la bateria)

a) quin tant per cent de bateries haurµa de substituir el fabricant?

b) si nom¶es vol substituir un 2; 28% de bateries, quina garantia caldrµa que doni?

16. Una variable aleatµoria binomial es pot aproximar per una normal quan n ¶es `gran', ambel mateix valor mitjµa i la mateixa variµancia. Es llan»ca una moneda cent vegades. Feuservir l'aproximaci¶o normal per calcular la probabilitat que:

a) Surtin m¶es de seixanta cares.

b) El nombre de cares obtingudes sigui m¶es gran que quaranta i m¶es petit que seixanta.

17. El nombre d'accidents per setmana en una cruÄ³lla de la N-II segueix una distribuci¶o dePoisson de parµametre 4. Fent servir l'aproximaci¶o de la normal calculeu la probabilitatque hi hagi menys de 200 accidents en un any.

18. En un joc es llancen tres daus. El jugador aposta n euros per un n¶umero i rep 2n eurossi surt una vegada aquest n¶umero, 3n si surt dues vegades i 4n si surt 3 vegades. Si nosurt el n¶umero apostat, perd l'aposta. Quµe ¶es millor, apostar o fer de banca?

19. El passeig aleatori unidimensional es pot descriure de la manera segÄuent: Un home begutcamina per una vorera molt estreta fent passes de longitud constant igual a L. Fa unapassa endavant amb una probabilitat p = 3

4o endarrere amb una probabilitat 1¡ p = 1

4.

DenotemX la distµancia del punt on estµa despr¶es de fer cent passes des del punt de sortida.Calculeu la mitjana i la desviaci¶o estµandard de X.

20. Sigui X una variable aleatµoria binomial X » Bin(8; 0;5). Doneu la distribuci¶o de proba-bilitat de Y = (X ¡ 4)=p2. Calculeu-ne el valor mitjµa i la seva variµancia.

21. Sigui X una variable aleatµoria exponencial Exp(1). Sigui h(x) = dxe, on dxe denota elm¶³nim enter m¶es gran o igual que x (per exemple, d3:4e = 4). Doneu la distribuci¶o deprobabilitat de Y = h(X).

22. Sigui X una variable aleatµoria uniformement distribuÄ³da sobre l'interval [¡1; 3]. Trobeu irepresenteu la funci¶o de densitat de la nova variable Z de¯nida en els casos segÄuents per:

a) Z = 3pX + 1.

b) Z = 3 j X j.


23. Es considera una variable aleatµoria X amb funci¶o de densitat:

fX(x) = 2e¡2xu(x)

a) Calculeu la funci¶o de densitat d'una nova variable aleatµoria Z de¯nida per Z = 3X¡5.b) Representeu sobre els mateixos eixos els grµa¯cs de les dues funcions de densitat.

24. Sigui X una variable aleatµoria de valor mitjµa m i desviaci¶o t¶³pica ¾. Calculeu el valormitjµa i la desviaci¶o t¶³pica de Y = (X ¡m)=¾.

25. Sigui X una variable aleatµoria normal N(m;¾).

a) Determineu la distribuci¶o de probabilitat de Y = aX + b, on a; b 2 R.a) Si m = 0 i ¾ = 1, determineu la funci¶o de densitat de Y = X2. (La distribuci¶ocorresponent s'anomena Â2 amb un grau de llibertat, i ¶es freqÄuent en estad¶³stica.)

69

3 Vectors aleatoris

3.1. Vectors aleatoris. Funci¶o de distribuci¶o de probabilitat3.2. Distribucions bidimensionals discretes3.3. Distribucions bidimensionals cont¶³nues3.4. Variables aleatµories independents3.5. Distribucions condicionades3.6. Distribuci¶o de la suma de dues variables aleatµories3.7. Parµametres estad¶³stics: covariµancia i correlaci¶o

3.7.1. Distribuci¶o normal multidimensional3.8. Exercicis i problemes

Els vectors aleatoris, o variables aleatµories multidimensionals, identi¯quen esdeveni-

ments amb una col¢lecci¶o de n¶umeros (vectors). Aquest constitueix el marc naturalper tractar problemes d'estad¶³stica i processos aleatoris. A m¶es, en aquest context

es poden introduir les nocions fonamentals d'independµencia i condicionament entre

variables aleatµories. Entre els parµametres estad¶³stics de vectors aleatoris, s'intro-

dueixen les nocions de covariµancia i el coe¯cient de correlaci¶o, lligats als problemes

d'estimaci¶o estad¶³stica.

3.1 Vectors aleatoris. Funci¶o de distribuci¶o de probabilitat.

Un vector aleatori n-dimensional ¶es una n-tupla X = (X1; : : : ; Xn) on cada cada component ¶esuna variable aleatµoria unidimensional.

70 3 VECTORS ALEATORIS

Per exemple, si tirem tres vegades una moneda i observem el resultat de les tres tirades, l'ex-periµencia es pot descriure pel vector aleatori X = (X1; X2; X3), on Xi val 0 si surt cara a latirada i i val 1 si hi surt creu, i = 1; 2; 3. Els possibles valors del vector X s¶on:

(0; 0; 0); (0; 0; 1); (0; 1; 0); (0; 1; 1); (1; 0; 0); (1; 0; 1); (1; 1; 0); (1; 1; 1);

cadascun dels quals t¶e probabilitat 1=8.

En endavant ens restringirem per simplicitat a les variables bidimensionals. Les de¯nicions iels resultats s'estenen fµacilment a vectors de m¶es dimensions.

Com en el cas unidimensional, la distribuci¶o de probabilitat s'identi¯ca per mitjµa de la funci¶ode distribuci¶o:

Sigui (X; Y ) un vector aleatori. La seva funci¶o de distribuci¶o (de probabilitat) ¶es:

FXY : R2 ! R;

de¯nida com:

FXY (x; y) = P (X · x; Y · y);on (X · x; Y · y) ¶es una notaci¶o abreujada de fX · xg \ fY · yg. ¶Es a dir, la funci¶o deprobabilitat en un punt (x; y) del pla d¶ona la probabilitat de tots els valors del vector (X;Y )inclosos a la regi¶o ratllada de la ¯gura 3:

r(x; y)

Figura 3: FXY (x; y) ¶es la probabilitat dels valors de (X; Y ) en l'µarea ombrejada

Cadascuna de les funcions de distribuci¶o FX ; FY dels components de (X;Y ) s'anomena funci¶ode distribuci¶o marginal, i FXY ¶es la funci¶o de distribuci¶o conjunta de les variables X; Y .

Per obtenir la distribuci¶o marginal de X a partir de la distribuci¶o conjunta FXY , tenim:

FX(x) = P (X · x) = P (X · x; Y · 1) = limy!1

FXY (x; y) = FXY (x;1):

3.1 Vectors aleatoris. Funci¶o de distribuci¶o de probabilitat. 71

En canvi, a partir de les distribucions marginals FX i FY no sempre es pot obtenir la funci¶ode distribuci¶o conjunta (vegeu m¶es endavant les seccions d'independµencia i distribucions condi-cionades).

Exemple 3.1 Tenim una urna amb dues boles blanques i tres boles negres. Traiem dues bolesa l'atzar i denotemX la variable aleatµoria que compta el nombre de boles blanques que extraiemi Y el nombre de boles negres. Aleshores, la funci¶o de distribuci¶o del vector (X;Y ), o distribuci¶oconjunta de les dues variables, estµa donada a la taula segÄuent:

Y nX 0 1 20 0 0 3/101 0 6/10 6/102 1/10 7/10 1

A la posici¶o (i; j) de la taula hi ha FXY (i; j) = P (X · i; Y · j). Per exemple:

FXY (1; 2) = P (X · 1; Y · 2) = P (X = 1; Y = 1)+P (X = 0; Y = 2) =

¡21

¢¡31

¢¡52

¢ +

¡22

¢¡30

¢¡52

¢ =7

10:

La distribuci¶o marginal de X en el punt 1 ¶es:

FX(1) = FXY (1;1) = P (X · 1; Y <1) = P (X · 1; Y · 2) = FXY (1; 2) = 7=10:La funci¶o de distribuci¶o marginal de X ¶es

FX(x) =

8>><>>:0 x < 01=10 0 · x < 17=10 1 · x < 21 2 · x

2

Com en el cas unidimensional, la funci¶o de distribuci¶o conjunta FXY permet obtenir la probabili-tat que les dues variables aleatµories X i Y prenguin valors en un rectangle. Si R ¶es un rectanglede vµertexs (x1; y1); (x1; y2); (x2; y1); (x2; y2), on x1 < x2 i y1 < y2, aleshores (comproveu-hogrµa¯cament):

P (x1 < X · x2; y1 < Y · y2) = FXY (x2; y2)¡ FXY (x2; y1)¡ FXY (x1; y2) + FXY (x1; y1):

La funci¶o de distribuci¶o t¶e l'avantatge d'estar de¯nida per qualsevol vector aleatori. A laprµactica, perµo, per a vectors els components del qual s¶on tots variables aleatµories discretes otots cont¶³nues, resulta m¶es cµomode fer servir altres descripcions de la distribuci¶o de probabilitat,com veurem a continuaci¶o.


3.2 Distribucions bidimensionals discretes

Un vector aleatori (X; Y ) ¶es discret si ho ¶es casdascun dels seus components X; Y .

Si la variable X prµen els valors fa1; a2; a3; : : : g i la variable Y els valors fb1; b2; b3; : : : g, la funci¶ode probabilitat conjunta del vector aleatori discret (X;Y ) ¶es la aplicaci¶o:

PXY (ai; bj) = P (X = ai; Y = bj);

on la notaci¶o (X = ai; Y = bj) ¶es la descripci¶o abreujada del succ¶es fX = aig \ fY = big.La funci¶o de probabilitat de cada una de les variables X i Y s'anomena tamb¶e funci¶o deprobabilitat marginal de PXY . Per obtenir-les de la distribuci¶o conjunta:

P (X = ai) = [j¸1P (X = ai; Y = bj) =Xj¸1PXY (X = ai; Y = bj); i = 1; 2; : : :

P (Y = bj) = [i¸1P (X = ai; Y = bj) =Xi¸1PXY (X = ai; Y = bj); j = 1; 2; : : :

Exemple 3.2 Tenim una urna amb quarte boles blanques, tres de negres i una de vermella.Traiem dues boles i denotem X la variable aleatµoria que compta el nombre de boles blanquesa la mostra i Y el nombre de boles negres. La funci¶o de probabilitat conjunta de X i Y ¶es:

XnY 0 1 20 0 3=28 3=281 4=28 12=28 02 6=28 0 0

i la distribuci¶o marginal de X ¶es:

P (X = 0) = P (X = 0; Y = 0) + P (X = 0; Y = 1) + P (X = 0; Y = 2) = 6=28

P (X = 1) = P (X = 1; Y = 0) + P (X = 1; Y = 1) + P (X = 2; Y = 2) = 16=28

P (X = 3) = P (X = 3; Y = 0) + P (X = 3; Y = 1) + P (X = 3; Y = 2) = 6=28

2

L'exemple m¶es important de distribuci¶o bidimensional discreta ¶es la distribuci¶o trinomial. Elmodel probabil¶³stic d'aquesta distribuci¶o ¶es una generalitzaci¶o del model binomial. Aqu¶³ tenimtres esdeveniments, A1; A2 i A3, que formen una partici¶o de l'espai mostral, amb probabilitatsp1 = P (A1); p2 = P (A2) i p3 = P (A3) = (1 ¡ p2 ¡ p3). Repetim n vegades independentmentl'experiµencia associada a l'espai mostral i denotem X1 el nombre de vegades que apareix A1

3.3 Distribucions bidimensionals cont¶³nues 73

i X2 el nombre de vegades que apareix A2. La resta, n ¡ X1 ¡ X2, ¶es el nombre de vegadesque apareix A3. La distribuci¶o conjunta de X1 i X2 ¶es la que s'anomena distribuci¶o trinomial.Amb un argument similar al que proporciona la funci¶o de probabilitat de la variable aleatµoriabinomial obtenim:

P (X1 = n1;X2 = n2) =n!

n1!n2!(n¡ n1 ¡ n2)!pn11 p

n22 (1¡ p1 ¡ p2)n¡n1¡n2 ; 0 · n1 + n2 · n:

Escrivim (X1;X2) » Trin(n; p1; p2).

Exemple 3.3 A cada cop de rellotge un processador pot estar en un dels estats segÄuents: E1en repµos, E2 en processament intern i E3 accedint a memµoria. Estµa en repµos amb probabilitatp1 = 0;5 i en processament intern amb probabilitat p2 = 0;2 independentment del seu estaten altres instants. Quina ¶es la probabilitat que en 10 cops de rellotge estigui 3 vegades enprocessament intern i 4 en repµos?

Tenim (X1;X2) » Trin(n; p1; p2), on X1 compta el nombre de vegades que el processador estµaen repµos i X2 el nombre de vegades que estµa en processament intern. Aleshores:

P (X1 = 4; X2 = 3) =10!

3!4!3!(0;5)4(0;2)3(0;3)3 ' 0;0567:

2

Si (X1; X2) » Trin(n; p1; p2) aleshores cadascuna de les distribucions marginals segueix una lleibinomial: X1 compta el nombre d'ocurrµencies de A1 en n repeticions independents, de maneraque X1 » Bin(n; p1). De forma semblant, X2 » Bin(n; p2).

3.3 Distribucions bidimensionals cont¶³nues

Un vector aleatori (X; Y ) ¶es continu si ho s¶on els seus components, X i Y . Com en el casunidimensional, les distribucions cont¶³nues s'identi¯quen normalment amb la funci¶o de densitat.Si la funci¶o de distribuci¶o conjunta ¶es dues vegades derivable, aleshores la funci¶o de densitatconjunta de X i Y ¶es:

fXY (x; y) =@2FXY@x@y

(x; y):

Rec¶³procament, si es disposa de la funci¶o de densitat conjunta fXY , aleshores la funci¶o dedistribuci¶o s'obt¶e com:

FXY (x; y) =

Z x

¡1

Z y

¡1fXY (u; v) dv du:


En particular, se satisfµa: Z 1

¡1

Z 1

¡1fXY (u; v) dv du = 1:

Qualsevol funci¶o integrable f : R2 ! R de dues variables que satisfaci:

² f(x; y) ¸ 0 per a tot (x; y) 2 R2 i² R1¡1 R1¡1 f(x; y) dy dx = 1

¶es la funci¶o de densitat d'un vector aleatori bidimensional.

En general, quan es disposa de la funci¶o de densitat conjunta de X i Y , les probabilitats espoden obtenir per integraci¶o:

P (a1 < X < a2; b1 < Y < b2) =

Z a2

a1

Z b2

b1

fXY (x; y) dy dx:

Si R ¶es qualsevol regi¶o mesurable del pla (¶es a dir, que es pugui integrar sobre aquesta regi¶o),aleshores:

P ((X;Y ) 2 R) =ZZ

RfXY :

D'aquesta manera, la funci¶o de densitat permet obtenir per integraci¶o la probabilitat que elvector aleatori (X; Y ) prengui valors en R.

Exemple 3.4 Escollim un punt a l'atzar al triangle T de vµertexs (0; 0); (1; 0) i (0; 1). Denotem(X; Y ) les coordenades del punt que hem obtingut. Com que tots els punts del triangle tenenla mateixa probabilitat, la densitat de probabilitat ¶es constant en el triangle, ¶es a dir:

fXY =

½k (x; y) 2 T0 (x; y)62 T

on k ¶es una constant. Com queR RR2 fXY ha de valer 1, i aquesta integral val k ¢Area(T ), ha

de ser k = 2.

La probabilitat que el punt que hem escollit tingui una abscissa m¶es petita que 1=2 i unaordenada m¶es gran que 1=2, per exemple, es pot obtenir integrant en la regi¶o corresponent lafunci¶o de densitat:

P (X < 1=2; Y > 1=2) =

Z 1=2

x=¡1

Z 1

y=1=2

fXY (x; y) dx dy =

=

Z 1=2

x=0

Z 1¡x

y=1=2

2 dx dy = 2

Z 1=2

x=0

(1=2¡ x)dx = 1=4;

(Comproveu amb un dibuix els l¶³mits d'integraci¶o.) 2

3.3 Distribucions bidimensionals cont¶³nues 75

Cadascuna de les funcions de densitat dels components de (X; Y ) s'anomena densitat marginalde fXY . Les funcions de densitat marginals es poden obtenir de fXY fent:

fX(x) =

Z 1

¡1fXY (x; y) dy; fY (y) =

Z 1

¡1fXY (x; y) dx:

En canvi, en general les funcions de densitat marginal no permeten obtenir la densitat conjunta.

Exemple 3.5 Seguint amb l'exemple anterior de la distribuci¶o de les coordenades d'un puntescollit a l'atzar en el triangle T , la densitat marginal de X ¶es:

fX(x) =

Z 1

¡1fXY (x; y) dy =

Z 1¡x

0

2dy = 2y j1¡x0 = 2(1¡ x); x 2 (0; 1):

Observeu que els l¶³mits d'integraci¶o depenen del valor de la variable x: per a cada x 2 (0; 1), lafunci¶o de densitat nom¶es ¶es diferent de 0 per a valors de y entre 0 i 1¡ x. De manera similar,la distribuci¶o de Y ¶es:

fY (y) =

Z 1

¡1fXY (x; y) dx =

Z 1¡y

0

2dy = 2x j1¡y0 = 2(1¡ y); y 2 (0; 1):

2

Les distribucions de probabilitat cont¶³nues bidimensionals m¶es comunes s¶on:

² Distribuci¶o uniforme en una regi¶o R del pla, (X;Y ) » U(R). La seva funci¶o de densitat¶es constant a la regi¶o. Com que la integral sobre tot el pla de fXY ha de ser 1, aleshores:

fXY (x; y) =

½ 1Area(R)

(x; y) 2 R0 (x; y)62 R:

Aquesta distribuci¶o equival a prendre un punt a l'atzar a la regi¶o R. L'exemple 3.5anterior n'¶es un de distribuci¶o uniforme.

² Distribuci¶o normal bidimensional, (X;Y ) » N(m;K). Aquesta distribuci¶o ¶es la gene-ralitzaci¶o de la normal unidimensional. En particular, les distribucions marginals de Xi de Y s¶on normals. Els parµametres de la distribuci¶o s¶on m = (E(X); E(Y )) i K ¶esuna matriu quadrada que t¶e per entrades parµametres estad¶³stics del vector (X; Y ), queveurem en una secci¶o posterior. En aquella secci¶o analitzarem la distribuci¶o normal ambm¶es detall.


3.4 Variables aleatµories independents

La noci¶o d'independµencia de successos es trasllada de forma natural a la independµencia devariables aleatµories. Dues variables aleatµories X;Y s¶on independents si els successos `X prenvalors al conjunt A' i `Y pren valors al conjunt B' s¶on independents per a qualsevol tria de A iB. En altres paraules, la probabilitat que una d'elles prengui determinats valors no s'altera pelsvalors que prµen l'altra. De forma m¶es precisa, les variables aleatµories X i Y s¶on independentssi:

FXY (x; y) = FX(x)FY (y):

De forma equivalent, la funci¶o de probabilitat conjunta ¶es el producte de funcions de probabilitatmarginals:

P (X = ai; Y = bj) = P (X = ai)P (Y = bj)

si les variables s¶on discretes, i la funci¶o de densitat conjunta ¶es producte de funcions de densitatmarginals si s¶on cont¶³nues:

fXY (x; y) = fX(x)fY (y):

Nom¶es quan hi ha independµencia es pot obtenir la distribuci¶o conjunta de les distribucionsmarginals. Si no hi ha independµencia, aleshores les distribucions conjuntes depenen de lesmarginals i de la relaci¶o de dependµencia entre les dues variables.

Exemple 3.6 Tirem un dau dues vegades i denotem X el nombre de resultats parells queobtenim. Denotem Y el nombre de resultats inferiors a 5 que obtenim. Tenim:

XnY 0 1 2 P(X=i)0 1/36 4/36 4/36 9/361 2/36 8/36 8/36 18/362 1/36 4/36 4/36 9/36

P(Y=j) 4/36 16/36 16/36

Com podem comprovar, per a cada parell de valors i; j, tenim P (X = i; Y = j) = P (X =i)P (Y = j), de manera que les dues variables s¶on independents. 2

Exemple 3.7 Tirem un dau i denotem X la variable aleatµoria que val 1 si el resultat ¶es parelli 0 si ¶es senar. Denotem Y la variable aleatµoria que val 1 si la puntuaci¶o ¶es m¶es gran que 1 ival 0 altrament. La funci¶o de probabilitat conjunta de les dues variables ¶es:

P (X = 0; Y = 0) = 1=6;P (X = 0; Y = 1) = 1=3;P (X = 1; Y = 0) = 0;P (X = 1; Y = 1) = 1=2:

3.5 Distribucions condicionades 77

Les funcions de probabilitat marginals de X i de Y s¶on:

P (X = 0) = P (X = 1) = 1=2; P (Y = 0) = 1=6; P (Y = 1) = 5=6:

Per tant, P (X = 0; Y = 0)6= P (X = 0)P (Y = 0) i les dues variables no s¶on independents. Sisabem que el resultat ¶es m¶es gran que 1 (Y = 1), la probabilitat que sigui parell ¶es m¶es granque no pas si no ho ¶es (Y = 0). 2

Exemple 3.8 Sigui (X; Y ) un vector aleatori que segueix una distribuci¶o Trin(10; 0;3; 0;2). SiX = 10 aleshores for»cosament Y = 0, ¶es a dir, P (Y = 0jX = 10) = 1. En canvi, si X = 0aleshores P (Y = 0jX = 0) = (0;5

0;7)10 6= 1. Per tant, els valors de X alteren les probabilitats que

Y = 0 i les dues variables no s¶on independents. 2

Exemple 3.9 Siguin (X; Y ) les coordenades d'un punt triat a l'atzar al rectangle R = [0; 1]£[0; 1]. La funci¶o de distribuci¶o conjunta ¶es fXY (x; y) = 1 per a (x; y) 2 R (i 0 per a (x; y) =2 R).Les distribucions marginals s¶on fX(x) = 1; x 2 [0; 1] i fY (y) = 1; y 2 [0; 1]. Per tant,fXY (x; y) = fX(x)fY (y) en tots els punts i les dues variables s¶on independents. 2

3.5 Distribucions condicionades

Quan dues variables aleatµories (X; Y ) no s¶on independents, la relaci¶o de dependµencia quedadeterminada per la distribuci¶o condicionada. Si les variables s¶on discretes, la funci¶o de proba-bilitat de X condicionada a Y ¶es:

PXjY (aijbj) = P (X = aijY = bj) = P (X = ai; Y = bj)

P (Y = bj); si P (Y = bj)6= 0:

La funci¶o de probabilitat condicionada ¶es una probabilitat i, per tant, satisfµa totes les propietatsd'una probabilitat. Per exemple, si P (Y = b)6= 0:

P (X = ajY = b) = 1¡ P (X6= ajY = b)P (X · ajY = b) · P (X · a+ 1jY = b)

P (X <1jY = b) = 1P (X < ¡1jY = b) = 0:


Tractant-se d'una probabilitat condicionada, satisfµa tamb¶e la f¶ormula de la probabilitat total,que en llenguatge de variables aleatµories s'escriu:

P (X = xk) =Xj¸0P (X = xkjY = yj)P (Y = yj);

si la variable Y pren els valors y1; y2; : : : .

Exemple 3.10 Tornant a l'exemple 3.7, la funci¶o de probabilitat de X condicionada a Y = 0¶es:

P (X = 0jY = 0) = P (X = 0; Y = 0)

P (Y = 0)= 1:

Com que la probabilitat condicionada ¶es tamb¶e una probabilitat, P (X = 1jY = 0) = 1¡P (X =0jY = 0) = 0. Observeu, en canvi, que P (X = 0jY = 0) + P (X = 0jY = 1) = 1 + 2=56= 1. 2

Exemple 3.11 El nombre X de peticions que arriben a un servidor per minut segueix unadistribuci¶o de Poisson de valor mitjµa 5. Cada petici¶o es cursa correctament amb probabilitatp = 0;8 independent de les altres. Quina ¶es la distribuci¶o de probabilitat del nombre Y depeticions cursades correctament en un minut?

En aquesta situaci¶o, si coneixem el nombre X = m de peticions que arriben al servidor,aleshores el nombre Y jX = m de peticions cursades correctament segueix una distribuci¶obinomial Bin(m;p):

P (Y = kjX = m) =

µm

k

¶pk(1¡ p)m:

D'acord amb l'equaci¶o anterior:

P (X = m;Y = k) = P (Y = kjX = m)P (X = m) =

µm

k

¶pk(1¡ p)m¸

m

m!e¡¸;

d'on, per a k ¸ 0 (tenint en compte que P (X = m;Y = k) = 0 si m < k i el desenvolupamenten sµerie de potµencies de la funci¶o exponencial):

P (Y = k) =Xm¸0

P (X = m;Y = k) =Xm¸k

m!

k!(m¡ k)!pk(1¡ p)m¡k¸

m

m!e¡¸

=1

k!pk¸ke¡¸

Xm¸k

(1¡ p)m¡k¸m¡k(m¡ k)!

=1

k!(p¸)ke¡¸e(1¡p)¸ =

1

k!(p¸)ke¡¸p:

De manera que obtenim el resultat segons com natural que Y segueix una distribuci¶o de Poissonamb valor mitjµa ¸p = 5(0;8) = 4. 2

3.5 Distribucions condicionades 79

Si les dues variables s¶on cont¶³nues, la densitat de X condicionada a Y = y ¶es:

fXjY (xjy) = fXY (x; y)

fY (y); si fY (y)6= 0:

Exemple 3.12 Considerem la variable aleatµoria bidimensional (X; Y ) amb distribuci¶o uni-forme al triangle T de vµertexs (0; 0); (1; 0); (0; 1). La funci¶o de densitat conjunta i les densitatsmarginals s¶on:

fXY (x; y) =

½2 (x; y) 2 T0 (x; y)62 T

fX(x) =

½2(1¡ x) x 2 [0; 1]0 x62 [0; 1]

fY (y) =

½2(1¡ y) y 2 [0; 1]0 y62 [0; 1]

La distribuci¶o de X condicionada a Y = 1=4 ¶es:

fXjY (xj1=4) = fXY (x; 1=4))

fY (1=4)=

½4=3 x 2 [0;3=4]0 x62 [0;3=4]

i la probabilitat que X · 1=2 si Y = 1=4 ¶es:

P (X · 1=2jY = 1=4) =Z 1=2

x=¡1fXjY (xj1=4)dx =

Z 1=2

x=0

4=3dx = 2=3:

2

De les relacions anteriors es pot obtenir la distribuci¶o conjunta quan es coneixen les marginalsi les condicionades:

fXY (x; y) = fXjY (xjy)fY (y);i, en particular, es pot obtenir la densitat marginal de X a partir de la densitat condicionadafXjY , i la densitat de fY de Y en una expressi¶o que es pot interpretar com la versi¶o cont¶³nuade la f¶ormula de la probabilitat total:

fX(x) =

Z 1

y=¡1fXY (x; y)dy =

Z 1

y=¡1fXjY (xjy)fY (y)dy:

Exemple 3.13 La durada T d'una comunicaci¶o telefµonica segueix una distribuci¶o exponencialamb un valor mitjµa de mig minut. La informaci¶o I transmesa durant una comunicaci¶o de


durada t segueix una distribuci¶o exponencial de valor mitjµa 2t (en una determinada unitat demesura). Quina ¶es la distribuci¶o conjunta de les variables T; I?

D'acord amb la f¶ormula anterior, per a t ¸ 0 i x ¸ 0:fTI(t; x) = fIjT=t(x)fT (t) = ¸Ie¡¸Ix¸Te¡¸T t =

1

2te¡x=2t2e¡2t =

1

te¡(x+4t

2t)=2t;

2

Un parµametre important relatiu a les distribucions condicionades ¶es el d'esperan»ca condi-cionada. L'esperan»ca d'una variable aleatµoria X condicionada al valor Y = m d'una altravariable ¶es el valor mitjµa de X quan Y = y. El valor de l'esperan»ca condicionada de X a unvalor y de Y es pot obtenir a trav¶es de la distribuci¶o condicionada com:

E(XjY = y) =Xk

kP (X = kjY = y);

si X ¶es discreta, i

E(XjY = m) =Z 1

¡1xfXjY=y(x) dx;

si ¶es cont¶³nua. El que s'ent¶en per esperan»ca de X condicionada a Y , perµo, ¶es encara una altravariable aleatµoria, denotada E(XjY ), que ¶es una funci¶o de Y que assigna a cada valor y el valorE(XjY = m).

E(XjY ) = g(Y ); ong(y) = E(XjY = y):Per trobar-ne la distribuci¶o cal fer servir els mµetodes per obtenir la distribuci¶o d'una funci¶od'una variable aleatµoria que s'han vist anteriorment. El concepte pot semblar complex, perµoun exemple aclarirµa segurament el procediment de cµalcul.

Exemple 3.14 A l'exercici 3.11, l'esperan»ca del nombre de peticions cursades correctamentquan s'han rebut m peticions al servidor ¶es E(Y jX = m) = mp = (0;8)m. L'esperan»ca de Ycondicionada a X ¶es, doncs:

E(Y jX) = 0;8X:La distribuci¶o de probabilitat d'aquesta esperan»ca condicionada ¶es, doncs, P (E(Y jX) = y) =P (0;8X = y) = P (X = y=0;8): Per exemple, P (E(Y jX) = 0;8) = P (X = 1) = 5e¡5. 2

Observeu que, en l'exemple anterior, el valor mitjµa de E(Y jX) ¶es E(0;8X) = 0;8E(X) = 4,que coincideix amb E(Y ) (recordem que Y segueix una distribuci¶o de Poisson de parµamete 4).Aquest ¶es un resultat general important:

E(E(Y jX)) = E(Y ):La identitat anterior pot proporcionar una alternativa per calcular indirectament l'esperan»cad'una variable aleatµoria.

3.6 Distribuci¶o de la suma de dues variables aleatµories 81

Exemple 3.15 A l'exemple 3.13, el valor mitjµa de la quantitat d'informaci¶o que es rep ¶es(tenint en compte que IjT = t segueix una llei exponencial de valor mitjµa 2t, d'on E(IjT ) = 2T ):

E(I) = E(E(IjT )) = E(2T ) = 2E(T ) = 4;que resulta m¶es fµacil de calcular que trobar primer la distribuci¶o marginal de I i d'aqu¶³ el seuvalor mitjµa. 2

3.6 Distribuci¶o de la suma de dues variables aleatµories

Entre les operacions que es poden fer amb variables aleatµories, una de les m¶es importants¶es la suma. Estudiarem aqu¶³ com es pot obtenir la distribuci¶o de la suma de dues variablesaleatµories cont¶³nues. Si (X;Y ) s¶on variables cont¶³nues amb funci¶o de densitat conjunta fXY iposem Z = X + Y , aleshores:

FZ(z) = P (Z · z) = P (X + Y · z) =Z 1

y=¡1

Z z¡y

x=¡1fXY (x; y)dxdy;

de manera que la funci¶o de densitat de Z ¶es:

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

Z 1

y=¡1fXY (z ¡ y; y)dy:

En particular, si les dues variables s¶on independents:

fZ(z) =

Z 1

y=¡1fXY (z ¡ y; y)dy =

Z 1

y=¡1fX(z ¡ y)fY (y)dy:

Aix¶³ doncs, la densitat de la suma X + Y de dues variables aleatµories cont¶³nues independents¶es el producte de convoluci¶o de les densitats marginals de X i de Y .

Exemple 3.16 Si X i Y s¶on dues variables aleatµories independents que segueixen una dis-tribuci¶o uniforme a [¡1=2; 1=2], aleshores la densitat de la suma Z = X + Y ¶es:

fZ(z) =

Z 1

y=¡1fX(z ¡ y)fY (y)dy =

8<: 1 + z z 2 [¡1; 0]1¡ z z 2 [0; 1]0 z62 [¡1; 1]

que es correspon amb la convoluci¶o de dos polsos quadrats. 2


3.7 Parµametres estad¶³stics: covariµancia i correlaci¶o

Com en el cas unidimensional, els parµametres estad¶³stics s¶on valors numµerics que donen infor-maci¶o sobre la distribuci¶o de probabilitat. Per a variables aleatµories bidimensionals (X; Y ), nonom¶es es tracta d'obtenir informaci¶o sobre el valor mitjµa i la variµancia de cada component, sin¶otamb¶e del grau de dependµencia entre les dues variables.

Una de les propietats essencials de l'esperan»ca ¶es la seva linealitat:

E(X + Y ) = E(X) + E(Y ):

En canvi, en general no ¶es cert que V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ). Aquesta igualtat ¶escerta si hi ha un cert grau d'independµencia entre les dues variables, que s'anomena incorrelaci¶oi ¶es menys fort que la independµencia i que estudiem a continuaci¶o.

La mesura m¶es comuna del grau de dependµencia entre dues variables ¶es la covariµancia i el queen podr¶³em dir el seu valor normalitzat, el coe¯cient de correlaci¶o.

La mesura de la relaci¶o entre dues variables que d¶ona la covariµancia es pot il¢lustrar amb aquestexemple simple. Suposem que tenim els conjunts de valors

A = f(0; 6); (1; 1); (2; 5); (4; 3); (5; 5); (6; 4)g B = f(0; 1); (1; 3); (2; 4); (4; 5); (5; 5); (5; 6)g

representats a la ¯gura 3.6.

De la grµa¯ca sembla que la primera i la segona coordenades dels punts no tenen una relaci¶oevident en el primer conjunt, mentre que en el segon les dues coordenades creixen coordinada-ment. En la covariµancia el que es fa ¶es, per a cada punt, multiplicar les distµancies de cadacoordenada a seu valor mitjµa i fer la mitjana d'aquests productes:

(x1 ¡mX)(y1 ¡mY ) + (x2 ¡mX)(y2 ¡mY ) + : : :+ (x6 ¡mX)(y6 ¡mY )

6:

Si les dues coordenades creixen coordinadament, els productes tenen el mateix signe i el resultat¶es positiu. Si la distribuci¶o dels valors de les primeres coordenades no t¶e relaci¶o amb la delsde la segona, els signes dels productes tendeixen a compensar-se i el resultat ¶es proper a 0. Al'exemple anterior, per la col¢lecci¶o de punts de A el resultat de l'operaci¶o ¶es 0, mentre que pelsde B ¶es 4.

Seguint aquesta idea, la covariµancia de dues variables aleatµories discretes X i Y que prenen elsvalors a1; a2; a3; ::: i b1; b2; b3; : : : , respectivament, i tenen valors mitjans mx;mY , ¶es:

Cov(X; Y ) =Xi;j

(ai ¡mX)(bj ¡mY )P (X = ai; Y = bj):

3.7 Parµametres estad¶³stics: covariµancia i correlaci¶o 83

mY

mX

t

t

tt

tt

mY

mX

tt

tt t

t

Si el vector (X; Y ) t¶e funci¶o de densitat fXY , aleshores:

Cov(X; Y ) =

Z 1

¡1

Z 1

¡1(x¡mX)(y ¡mY )fXY (x; y) dx dy:

En general, covariµancia de X i Y es de¯neix com:

Cov(X; Y ) = E((X ¡mX)(Y ¡mY )) = E(XY )¡ E(X)E(Y );on mX i mY s¶on els valors mitjans de X i Y , respectivament. La darrera igualtat proporcionauna manera sovint m¶es simple de calcular la covariµancia.

Per la seva de¯nici¶o, les variµancies de X i Y poden afectar el valor de la covariµancia sense tenirrelaci¶o amb la dependµencia entre elles. Per aixµo se sol preferir el coe¯cient de correlaci¶o, quees de¯neix com:

½X;Y =Cov(X;Y )

¾X¾Y;

i es pot interpretar com la covariµancia normalitzada per les desviacions t¶³piques.

El resultat m¶es signi¯catiu amb relaci¶o a aquests parµametres ¶es el segÄuent:

Proposici¶o 3.17 Siguin X; Y variables aleatµories. Aleshores:

1. ¡1 · ½X;Y · 1.


2. Si X i Y s¶on independents, aleshores E(XY ) = E(X)E(Y ).

En particular, Cov(X; Y ) = ½XY = 0.

3. V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X; Y ).

Les variables X;Y s¶on incorrelades si ½X;Y = 0 i tenen correlaci¶o lineal si j½X;Y j = 1.

3.7.1 Distribuci¶o normal multidimensional

Acabem aquest cap¶³tol tornant a la distribuci¶o normal bidimensional. La matriu de covariµanciesd'una variable aleatµoria bidimensional (X; Y ) es de¯neix com:

KXY =

µV ar(X) Cov(X;Y )Cov(X;Y ) V ar(Y )

¶:

De la de¯nici¶o es desprµen queKXY ¶es una matriu simµetrica. La variable aleatµoria bidimensional(X; Y ) segueix una distribuci¶o normal conjunta si la seva funci¶o de densitat es pot escriure com:

fXY (x; y) =1

2¼pjKXY j

e(x¡mX)TKXY (y¡mY );

i s'escriu (X; Y ) » N(m;K), on m =

µmX

mY

¶¶es el vector de valors mitjans de (X; Y ).

Aquesta forma compacta d'expressar la funci¶o de densitat es pot desenvolupar per obtenir laforma:

fXY (x; y) =1

2¼p(1¡ ½XY )2¾X¾Y

exp

(¡ 1

2(1¡ ½2"µx¡mX

¾X

¶2¡ 2½

µx¡mX

¾X

¶µy ¡mY

¾Y

¶+

µy ¡mY

¾Y

¶2#):

Aquesta forma relativament complexa adopta una expressi¶o simple quan les variables aleatµoriesX i Y s¶on independents, ja que aleshores ½XY = 0 i

fXY =1

2¼¾X¾Yexp

(1

2

"µx¡mX

¾X

¶2+

µy ¡mY

¾Y

¶2#);

que correspon simplement al producte de les funcions de densitat de dues variables aleatµoriesnormals N(mX ; ¾X) i N(mY ; ¾Y ).


Les propietats bµasiques de la distribuci¶o normal bidimensional, que sovint s¶on su¯cients per atractar problemes amb aquesta distribuci¶o, s¶on les segÄuents.

Si (X; Y ) » N(m; K), aleshores² Les variables aleatµories X i Y s¶on normals N(m1; ¾X) i N(m2; ¾Y ), respectivament.

² La distribuci¶o condicionada XjY = y ¶es normal N(m1 + ½X;Y¾X¾Y(y ¡m1); ¾

2X(1¡ ½2XY )).

² Les variables aleatµories X i Y s¶on independents si i nom¶es si s¶on incorrelades.


3.8.1 Exercicis

1. Tirem tres daus i denotem X la variable aleatµoria que compta el nombre de puntuacionsparelles i Y el nombre de puntuacions superiors a 3. Doneu la funci¶o distribuci¶o conjuntade les dues variables X i Y .

2. Escollim un punt a l'atzar en el triangle de vµertexs (0; 0); (1; 0); (0; 1). Doneu la funci¶o dedistribuci¶o conjunta de les dues variables X i Y .

3. Un usuari accedeix a un servidor en un instant T aleatori a l'interval (0; 1) i formula unnombre X de peticions al servidor, on X pot prendre cadascun dels valors 1; 2 o 3 amb lamateixa probabilitat. Doneu la funci¶o de distribuci¶o conjunta de les dues variables (T;X).

4. Una font emet un dels s¶³mbols 0, 1 i ¤ amb probabilitats 4=10, 4=10 i 1=5, respectivament.La font emet deu s¶³mbols de forma independent.

a) Quµe ¶es m¶es probable, que surtin quatre 0,, quatre 1 i dos ¤ o que surtin tres 0, cinc 1i dos ¤?b) Quina ¶es la probabilitat que el missatge emµes sigui 00001111¤?c) Quina ¶es la probabilitat que el missatge emµes tingui quatre 0?

5. Quina ¶es la probabilitat que en escollir aleatµoriament un punt (X; Y ) al quadrat [0; 1]£[0; 1] se satisfaci X · 2Y ?

6. Una variable aleatµoria bidimensional cont¶³nua t¶e funci¶o de densitat

fXY (x; y) =

½kxe¡y 0 · x · 2; y ¸ 00 altrament


a) Determineu el valor de k.

b) Calculeu la funci¶o de distribuci¶o conjunta de X i Y als punts (0; 1); (1; 1) i (1; 0).

c) Calculeu la probabilitat que (X;Y ) prengui valors al quadrat [0; 1]£ [0; 1].d) Determineu la funci¶o de densitat marginal de X.

7. S'escull un punt (X; Y ) a l'atzar en un disc de radi 1, centrat a l'origen. S¶on independentsles variablesX i Y (abscissa i ordenada del punt, respectivament)? Quina ¶es la distribuci¶ode X si Y = 0?


1. Siguin X i Y dues variables aleatµories amb funci¶o de densitat conjunta:

fX;Y (x; y) = c(x+ y); 0 · x · 1; 0 · y · 1

i 0 a la resta del pla real.

a) Trobeu la constant c.

b) X i Y s¶on independents?

c) Trobeu la funci¶o de distribuci¶o conjunta.

d) Calculeu P (X · 12; Y · 3

4).

2. Prenem un nombre X a l'atzar a l'interval [0; 1]. Fixat aquest nombre, en prenem unaltre Y a l'atzar a l'interval [x; 1]. Trobeu la densitat conjunta del vector aleatori (X;Y )i la densitat marginal de Y .

3. Siguin X i Y dos nombres independents i a l'atzar de l'interval [0; 1]. Sigui Z l'µarea deltriangle format per aquests dos nombres i l'origen. Trobeu la densitat de Z.

4. Un usuari arriba a un servidor en un instant aleatori T a l'interval [0; 1]. Si arriba al'instant T = t, el servidor triga un temps T 0jT = t a donar-li servei, que segueix unadistribuci¶o exponencial de valor mitjµa t. Quina ¶es la distribuci¶o de probabilitat del tempsT 0 de servei?

5. Siguin X i Y dos nivells de soroll (en determinades unitats) de dos tipus d'interferµenciesen una l¶³nia de transmissi¶o. Si la funci¶o de densitat conjunta de probabilitat ve donadaper:

f(x; y) =

½x+y8000

0 · x; y · 10 altrament

Si el nivell de soroll observat de Y ¶es de 10, obteniu la probabilitat que el nivell de sorollde X sigui, com a mµaxim, de 14.


6. Tenim una caixa que t¶e cinc cartes numerades: 1; 1; 2; 2 i 3. Se'n treuen dues. Sigui X lasuma i Y el nombre m¶es gran de les dues.

a) Trobeu-ne la distribuci¶o de probabilitat conjunta.

b) Trobeu-ne Cov(X;Y ) i ½(X;Y ).

7. Siguin dues variables aleatµories cont¶³nues X i Y , amb la segÄuent funci¶o de densitat deprobabilitat conjunta:

f(x; y) =

½23(x+ y)e¡x x > 0 i 0 < y < 10 altrament

Trobeu-ne la covariµancia i el coe¯cient de correlaci¶o.

8. a) Si X1; : : : ; Xn s¶on variables aleatµories de Bernouilli B(p) independents, quina ¶es ladistribuci¶o de X = X1 + ¢ ¢ ¢+Xn?b) Si X i Y s¶on dues variables binomials Bin(n; p) i Bin(m; p), respectivament, i inde-pendents, quina ¶es la distribuci¶o de Z = X + Y ?

c) Si X i Y s¶on dues variables aleatµories de Poisson Poiss(¸), quina ¶es la distribuci¶o deZ = X + Y ?

d) Si X i Y s¶on variables aleatµories uniformes U(0; 1) independents, quina ¶es la distribuci¶ode Z = X + Y ?

e) Si X i Y s¶on variables aleatµories normals N(0; 1) independents, quina ¶es la distribuci¶ode Z = X + Y ?

9. Una gallina pon N ous, on N t¶e distribuci¶o de Poisson(¸). Cada ou es desenvolupa ambprobabilitat p > 0, independentment dels altres. Sigui K el nombre de pollets que surten.Trobeu E(KjN); E(K) i E(N jK).

10. Dos servidors tenen temps de servei T1 i T2 que segueixen distribucions exponencialsde parµametres ¸1 i ¸2, respectivament. Un usuari es troba els dos servidors ocupats.Denotem T la variable aleatµoria que mesura el temps ¯ns que un dels dos servidors quedalliure.

a) Doneu la distribuci¶o de probabilitat de T i el seu valor mitjµa.

b) Quina ¶es la probabilitat que T = T1?

11. El temps de processament d'un paquet de dades segueix una llei exponencial de tempsmitjµa 2 segons. Si un paquet arriba en un instant X aleatori a l'interval (0; 2) (en segons),quina ¶es la probabilitat que el paquet estigui processat abans de 3 segons?


12. Un canal de transmissi¶o estµa sotmµes a dues menes de sorolls d'intensitats X i Y , quesegueixen distribucions normals N(0; 2) i N(0; 3), respectivament (en una certa unitat demesura). Determineu la correlaci¶o entre el soroll total X + Y i Y i entre X + Y i X.Quina correlaci¶o ¶es m¶es gran?

13. Tres usuaris arriben a un servidor en instantsX1, X2 iX3 distribuÄ³ts uniformement a (0; 1)i independents. Denotem Z = maxfX1; X2; X3g i U = minfX1;X2;X3g. Determineu elsvalors mitjans de Z i de U i el coe¯cient de correlaci¶o entre Z i U .

14. El nombre de peticions que arriben a un servidor en una unitat de temps segueix unadistribuci¶o de Poisson de valor mitjµa 4. El servidor at¶en un mµaxim de tres peticions perunitat de temps i desestima les altres. Denotem U el nombre de peticions desestimades.Determineu el coe¯cient de correlaci¶o entre U i X.

89

4 Mostres i estimaci¶o

4.1. Mostres4.2. Valors poblacionals i valors mostrals4.3. La mitjana i la variµancia mostrals4.4. Estimadors4.5. Intervals de con¯an»ca4.6. Estimadors de la mitjana4.7. La t de Student4.8. Estimadors de la variµancia. La distribuci¶o Â2

4.9. Exercicis i problemes

L'estimaci¶o ¶es l'eina fonamental de l'estad¶³stica. En aquest cap¶³tol s'assenten les

bases de l'estimaci¶o estad¶³stica: es de¯neixen les mostres d'una poblaci¶o, es descriuen

els estimadors m¶es habituals per als parµametres clµassics, la mitjana i la variµancia.

S'introdueixen els intervals de con¯an»ca. Finalment, s'estudien les diferents distribu-

cions signi¯catives dels diferents estimadors: la normal, la Â2 i la t de Student.

4.1 Mostres

L'estad¶³stica inductiva ¶es una de les eines m¶es ¶utils que es fan servir avui dia en qualsevolproc¶es en quµe la quanti¯caci¶o de dades ¶es important. Exemples com els resultats obtinguts enun experiment cient¶³¯c, les dades observades d'un comportament al llarg d'un cert per¶³ode detemps, les mesures observades en un producte manufacturat, etc. Com la paraula inductivaens indica, ens interessa poder treure conclusions a partir d'una sµerie de dades.

90 4 MOSTRES I ESTIMACI ¶O

Moltes vegades, perµo, no serµa possible accedir a tota la poblaci¶o, ¶es a dir, a totes les dadespossibles. Aixµo es pot donar per diverses raons. Per exemple, si volem estudiar l'al»cµaria d'unapersona, l'ideal seria poder mesurar totes les al»cµaries de totes les persones i d'aqu¶³ extreureresultats, com l'al»cµaria mitjana, etc. Perµo µobviament aixµo ¶es impracticable. Altres vegades, lamesura practicada comporta la destrucci¶o del subjecte mesurat: si nosaltres volem mesurar laresistµencia d'una bombona de butµa, podem injectar butµa a pressi¶o ¯ns que la bombona s'es-querda, i mesurar la pressi¶o mµaxima assolida abans d'esquerdar-se. Evidentment, no podem feraixµo amb totes les bombones, perquµe ens en quedariem sense. Per solucionar aquests problemess'utilitzen les mostres.

De¯nici¶o 4.1 Una mostra ¶es una selecci¶o parcial d'objectes que es volen estudiar, que es faservir per obtenir dades que serveixin per estimar els valors reals de tota la poblaci¶o.

Per exemple, si volem esbrinar quina ¶es l'al»cµaria mitjana d'una persona, triem una mostra de100 persones, mesurem les seves al»cµaries i calculem la mtjana d'aquestes 100 al»cµaries. El n¶umeroobtingut ¶es una representaci¶o de l'al»cµaria mitjana de tota la poblaci¶o. O amb l'altre exemplemencionat anteriorment, de cada 100 bombones de butµa que fabriquem, en separem una mostrade 5, que seran destruÄ³des a base d'injectar-hi butµa ¯ns que s'esquerdin i anotem la pressi¶o enla qual s'han esquerdat. Amb aquest proc¶es esperem que el valor real de la pressi¶o mµaximasuportada per les 95 bombones restants estigui proper al valor observat en les 5 bombones demostra.

4.2 Valors poblacionals i valors mostrals

La distinci¶o m¶es important que cal fer en l'estudi de l'estad¶³stica inductiva mitjan»cant mostres¶es la que hi ha entre els valors poblacionals i els valors mostrals. Tornant a l'exemple de lamesura de l'al»cµaria d'una persona de l'apartat anterior, cal tenir clara la diferµencia entre elvalor real exacte de l'al»cµaria mitjana d'una persona, valor que existeix perµo que ¶es impossiblede calcular a la prµactica, i que s'anomena mitjana poblacional , i la mitjana obtinguda amb les100 al»cµaries de les 100 persones de la mostra, que seria la mitjana mostral .

De¯nici¶o 4.2 Els valors poblacionals s¶on els valors reals exactes que es volen calcular i quea la prµactica s¶on impossibles d'obtenir, mentre que els valors mostrals s¶on els valors obtingutsamb la mostra, i que s¶on representacions m¶es o menys acurades dels valors poblacionals.

Observem que els valors poblacionals s¶on ¯xos i inamovibles mentre que els valors mostralsdepenen, µobviament, de la mostra. Per exemple, la mitjana poblacional de l'al»cµaria de lespersones ¶es ¯xa, mentre que l'al»cµaria mostral depµen de la mostra. Aixµo justi¯ca la introducci¶ode variables aleatµories per a l'estudi dels valors mostrals, independentment que els valors de la

4.3 La mitjana i la variµancia mostrals 91

poblaci¶o segueixin ells mateixos el model d'una variable aleatµoria concreta. Aixµo s'ent¶en milloramb un exemple.

Segons estudiµavem als temes anteriors, l'al»cµaria d'una persona segueix una variable aleatµoriaamb distribuci¶o normal, amb una certa mitjana ¹ i una desviaci¶o t¶³pica ¾. Aquests valors s¶onels valors poblacionals, ¶es a dir, ¹ ¶es la mitjana poblacional i ¾ ¶es la desviaci¶o t¶³pica poblacional.Aquests valors s¶on ¯xos i s¶on els que ens interessa estimar a base de triar mostres. Aleshores,triem una mostra i mesurem la mitjana dels valors de la mostra. Obtenim aix¶³ una mitjanamostral ¹xn, on n ¶es el nombre d'individus de la mostra. Ara b¶e, si triem una mostra diferent,obtindrem un valor diferent per ¹xn, i canviant la mostra tantes vegades com vulguem obtindremmolts valors diferents per ¹xn. Per tant, t¶e sentit plantejar-se la distribuci¶o com a variablealeatµoria d'aquests valors ¹xn. Aquesta ¶es l'anomenada variable aleatµoria mostral , i a priori not¶e per quµe coincidir amb la variable aleatµoria poblacional anterior. En aquest cap¶³tol s'estudienaquestes variables aleatµories mostrals i la seva relaci¶o amb les variables poblacionals, com tamb¶equin paper fan els parµametres representatius de la variable poblacional en les variables mostrals.

Cal tenir ben present aquesta distinci¶o entre els valors poblacionals i els valors mostrals, perquµe¶es un dels conceptes clau en estad¶³stica.

4.3 La mitjana i la variµancia mostrals

Suposem que ens interessa estudiar una caracter¶³stica mesurable d'una poblaci¶o, i que aquestacaracter¶³stica t¶e mitjana poblacional ¹ i variµancia poblacional ¾2. De moment no ens interessaquina ¶es la distribuci¶o de la variable aleatµoria poblacional sin¶o nom¶es els seus dos parµametresm¶es importants.

De¯nici¶o 4.3 Donada una mostra de n individus dels quals ens interessa estudiar una caracte-r¶³stica concreta, la mitjana mostral ¶es la mitjana dels valors que pren aquesta caracter¶³stica perals individus d'aquesta mostra. Igualment es pot de¯nir la variµancia mostral com la variµanciad'aquests valors.

Tal com hem dit abans, la mitjana mostral depµen de la mostra escollida i, per tant, la podemconsiderar un valor pres per una variable aleatµoria. Denotem ¹Xn aquesta variable aleatµoria,anomenada la variable aleatµoria de la mitjana mostral, que pren valors iguals a les mitjanesdels valors obtinguts amb diferentes mostres.

Proposici¶o 4.4 Si per a una poblaci¶o determinada la mitjana poblacional ¶es ¹ i la variµanciapoblacional ¶es ¾2, aleshores la variable aleatµoria ¹Xn de la mitjana mostral t¶e com a parµametres:

E( ¹Xn) = ¹ i V ar( ¹Xn) =¾2

n:


Observem detingudament aquests valors, perquµe es corresponen molt b¶e amb la idea intuÄ³tivaque un t¶e sobre com han de funcionar aquestes observacions. El fet que la mitjana de lavariable aleatµoria mostral sigui igual a la mitjana poblacional diu que de tots els valors possiblesobtinguts per la mitjana mostral amb les diferents mostres possibles, la mitjana ¶es la mitjanapoblacional real. Aixµo ens diu que si triem diferents mostres i n'obtenim diferents mitjanesmostrals, aquestes estaran centrades en el valor mitjµa real.

M¶es important encara ¶es el valor obtingut per la variµancia de la variable aleatµoria de la mitjanamostral. Observeu que aquest valor apareix dividit per n, la mida de la mostra. Aixµo escorrespon amb el concepte intuÄ³tiu que, com m¶es gran ¶es la mostra, m¶es acurat ¶es el valor.Si triem mostres de 10 individus, obtindrem una variaci¶o molt m¶es gran de valors per a lesmitjanes mostrals que si triem mostres de 100 individus.

Exemple. Suposem que la mitjana de les al»cµaries de les persones ¶es 175 cm i que la desviaci¶ot¶³pica ¶es de 10 cm. Aixµo vol dir que si triem una persona a l'atzar la seva al»cµaria estµa sotmesaa una distribuci¶o (normal, perµo aixµo ara no ve al cas) amb mitjana 175 i desviaci¶o t¶³pica 10,¶es a dir ¾2 = 100. Triem ara mostres de 5 persones i anotem la mitjana de les seves al»cµaries.Despr¶es de triar moltes mostres tindrem una sµerie de valors per a la mitjana mostral. Doncsb¶e, aquests valors es comporten com una variable aleatµoria (ja veurem m¶es endavant quinadistribuci¶o t¶e) amb mitjana tamb¶e 175, perµo la variµancia serµa ¾2=5 = 20 i la desviaci¶o t¶³picap20 = 4;47.

Si ara agafem mostres de 25 persones, esperem que les mitjanes mostrals de les mostres de 25persones siguin molt m¶es acurades. La variable aleatµoria de les mitjanes mostrals de mostresde 25 persones t¶e, doncs, la mateixa mitjana ¹ = 175, perµo la seva variµancia ¶es ara ¾2=25 = 4i la desviaci¶o t¶³pica ¶es 2. ¶Es a dir, els valors de la mitjana mostral obtinguts amb mostres de25 persones estan molt m¶es a prop de 175 (a distµancia t¶³pica 2) que els valors obtinguts ambmostres de 5 persones, que es troben a distµancia t¶³pica 4,47.

Pel que fa a la variµancia, sembla lµogic tamb¶e que si calculem les variµancies mostrals de cadascunade les mostres, obtinguem una bona aproximaci¶o de la variµancia poblacional. Perµo aixµo no ¶esrealment aix¶³. Triem una mostra de n elements de la nostra poblaci¶o (recordem que la mitjanapoblacional ¹ i la variµancia poblacional ¾2 s¶on ¯xes) i calculem-ne la seva variµancia

s2n =nXi=1

(xi ¡ ¹xn)2n

:

Canviant de mostra ens canviarµa el valor de s2n i, per tant, un altre cop podem considerarla variable aleatµoria de la variµancia mostral que ens d¶ona els possibles valors de la variµanciamostral quan canviem la mostra. Aquesta variable aleatµoria l'anomenarem S2n. Aleshores, tenimla proposici¶o segÄuent:

4.4 Estimadors 93

Proposici¶o 4.5 La variable aleatµoria S2n de la variµancia mostral t¶e mitjana:

E(S2n) =n¡ 1n

¾2:

Observem detingudament aquesta proposici¶o. Ens diu que, si agafem moltes mostres, agafemles seves variµancies i en fem la mitjana, el valor al qual s'acostarµa no ¶es el valor de la mitjanapoblacional sin¶o un valor modi¯cat pel factor (n¡1)=n. Aixµo ve donat pel fet que, si a la mostrahi ha n objectes, nom¶es n¡ 1 desviacions s¶on rellevants, perquµe la n-µesima ve determinada perles altres, ja que la suma de totes les desviacions ¶es 0.

Per tant, per obtenir una bona estimaci¶o de la variµancia, si les mostres s¶on de n objectes,s'agafa la variµancia mostral modi¯cada:

S2n¡1 =n

n¡ 1S2n

que elimina aquest problema.

Moltes calculadores cient¶³¯ques de les que fan cµalculs estad¶³stics porten ja una tecla determinadaper fer S2n i per fer S

2n¡1. Observem tamb¶e que S2n¡1 es pot calcular de la mateixa manera que

es calcula la variµancia perµo dividint per n¡ 1 en comptes de n:

S2n¡1 =1

n¡ 1nXi=1

(xi ¡ ¹xn)2:

4.4 Estimadors

Tal com hem vist a l'apartat anterior, quan tenim una poblaci¶o que volem estudiar, i que t¶e unamitjana i una variµancia que no coneixem, podem intentar esbrinar quins valors tenen aquestsparµametres poblacionals amb valors mostrals. Aquest ¶es el concepte fonamental d'estimador ,que ¶es el concepte abstracte que hi ha darrere dels conceptes de mitjana i variµancia mostrals.

De¯nici¶o 4.6 Sigui X una variable aleatµoria poblacional i que t¶e un parµametre associat µ |normalment la mitjana o la variµancia|. Un estimador de µ, que denotem per ~µ, ¶es una variablealeatµoria mostral, ¶es a dir, obtinguda de la mostra, que es fa servir per donar una aproximaci¶odel valor exacte de µ.

Els exemples obvis d'estimadors s¶on la mitjana mostral i la variµancia mostral que hem vist al'apartat anterior.


Observem que un estimador ¶es una variable aleatµoria. La poblaci¶o ¶es ¯xa, amb els seus valorspoblacionals, mentre que l'estimador ¶es una variable aleatµoria mostral, que varia si canviemla mostra. Aquesta variable aleatµoria mostral t¶e una distribuci¶o prµopia, que es farµa servir perdonar la probabilitat que el valor real estigui dintre d'un interval determinat.

Segons hem vist tamb¶e a l'apartat anterior, uns estimadors aproximen millor que altres el valorreal. Hem vist que l'estimador ¹Xn de la mitjana aproxima b¶e la mitjana poblacional, mentreque l'estimador que un consideraria adequat per estimar la variµancia no ho ¶es perquµe d¶onaconsistentment valors m¶es petits que el valor real de la variµancia. Aixµo porta al concepte debiaix i d'estimador esbiaixat .

De¯nici¶o 4.7 Considerem un estimador ~µ del parµametre µ.

² Diem que ~µ ¶es un estimador central o sense biaix quan E(~µ) = µ, ¶es a dir, quan la mitjanade l'estimador ¶es igual al valor poblacional real.

² Quan E(~µ)6= µ, diem que ~µ ¶es un estimador esbiaixat. Si E(~µ) < µ diem que el biaix ¶esnegatiu, mentre que si E(~µ) > µ, el biaix ¶es positiu.

Exemples: Els valors mostrals que hem vist a l'apartat anterior s¶on els exemples clµassicsd'estimadors:

² La mitjana mostral ¹Xn ¶es un estimador sense biaix de la mitjana poblacional ¹.² La variµancia mostral S2n ¶es un estimador de la variµancia ¾2 amb biaix negatiu.² La variµancia mostral modi¯cada S2n¡1 ¶es un estimador sense biaix de la variµancia ¾.

4.5 Intervals de con¯an»ca

Quan es fa servir un estimador per aproximar un parµametre d'una variable aleatµoria, no podemsaber mai si aquesta estimaci¶o que hem fet ¶es m¶es o menys correcta, sin¶o que nom¶es en podemdonar probabilitats. Tot l'estudi de l'estad¶³stica inductiva mitjan»cant estimadors consisteix atrobar intervals de con¯an»ca, que s¶on els intervals pels quals podem assegurar que contenen elvalor real del parµametre amb una certa probabilitat.

De¯nici¶o 4.8 Imaginem que volem estimar el parµametre µ d'una variable aleatµoria X. Fixatun valor ®, un interval de con¯an»ca amb signi¯caci¶o ® ¶es un interval [r1; r2] pel qual podemassegurar que

P (r1 < µ < r2) ¸ ®:

4.6 Estimadors de la mitjana 95

El valor ®, anomenat nivell de signi¯caci¶o o coe¯cient de con¯an»ca, acostuma a ser 0,95 o 0,99.Aquests valors s¶on els acceptats normalment com a probabilitats que el nostre valor estiguidintre d'un interval adequat.

Els estimadors s¶on les eines adequades que ens permeten calcular els extrems r1 i r2 de l'intervalde con¯an»ca. El cµalcul d'aquests valors depµen, µobviament, de cada parµametre i de l'estimadoremprat per aproximar-lo. Observeu que cada estimador, essent ell mateix una variable aleatµoria,t¶e una distribuci¶o prµopia i, per tant, aquesta distribuci¶o serµa determinant per calcular l'intervalde con¯an»ca.

Per exemple, si un estimador t¶e una distribuci¶o simµetrica, aleshores l'interval de con¯an»ca vedonat pel valor ~µ que pren l'estimador, juntament amb l'amplada de l'interval d®, la qual,µobviament, depµen del nivell de signi¯caci¶o:

P (~µ ¡ d® < µ < ~µ + d®) ¸ ®:En les properes seccions calculem les distribucions dels diferents estimadors i donem exemplesdel seu ¶us.

4.6 Estimadors de la mitjana

Ja hem vist a la secci¶o 4.3 com es comportava l'estimador ¹Xn de la mitjana, en relaci¶o ambla mitjana i la variµancia poblacionals. En aquesta secci¶o suposarem que estem interessats enuna variable aleatµoria X que mesura alguna caracter¶³stica d'una poblaci¶o, i a partir d'aquestaveurem quina variable s'ajusta als valors de l'estimador.

Ja sabem que la distribuci¶o m¶es habitual ¶es la distribuci¶o normal, que hem vist que es feiaservir per aproximar altres distribucions com la binomial. Per tant, t¶e interµes especial estudiarels estimadors d'una variable aleatµoria normal.

Proposici¶o 4.9 Suposem que una poblaci¶o segueix una variable aleatµoria X = N(¹; ¾). Ales-hores l'estimador ¹Xn de la mitjana mostral tamb¶e segueix una distribuci¶o normal. Concreta-ment, ¹Xn = N(¹; ¾=

pn).

Observeu que la mitjana i la variµancia de l'estimador s¶on les que ja hav¶³em establert a la secci¶o4.3.

Aquest estimador ens permet donar un interval de con¯an»ca sempre que coneguem la desviaci¶ot¶³pica de la poblaci¶o. ¶Es a dir, com que l'estimador ¹Xn t¶e una distribuci¶o N(¹; ¾=

pn), aleshores

la variable:¹Xn ¡ ¹¾=pn


t¶e una distribuci¶o normal tipi¯cada i l'amplada de l'interval es pot buscar a la taula. Donatun nivell de signi¯caci¶o ®, podem trobar a la taula l'amplada D®, de manera que

P (¡D® <¹Xn ¡ ¹¾=pn< D®) = ®;

i d'aqu¶³ trobar un interval de con¯an»ca per ¹. Primer fem:

P (¡ ¾pnD® < ¹Xn ¡ ¹ < ¾p

nD®) = ®

i ¯nalment:P ( ¹Xn ¡ ¾p

nD® < ¹ < ¹Xn +

¾pnD®) = ®

Exemple: Uns valors agafats aleatµoriament en una mostra de 20 persones ens han donataquests valors relatius a les seves al»cµaries:

174 177 180 169 166 175 190 164 179 180 185 174 177 182 194 172 191 175 180 176

Suposem que la distribuci¶o de l'al»cµaria d'una persona ¶es normal. Comprovem que, amb unnivell de signi¯caci¶o de 0,95, aquesta mostra ens permet deduir que la mitjana de la poblaci¶oestµa en l'interval [173; 183].

El valor pres per l'estimador de la mitjana ¹Xn ¶es 178. Busquem a la taula de la normal quin¶es el valor D® tal que la normal tipi¯cada Z satisfµa:

P (¡D® < Z < D®) = 0;95que ¶es D® = 1;96, el qual s'ha obtingut buscant el valor que ens d¶ona probabilitat 0,475. Pertant, per la nostra distribuci¶o tenim:

P (¡1;96 < 178¡ ¹10=p20< 1;96) = 0;95

i calculant:P (¡4;38 < 178¡ ¹ < 4;38) = 0;95

que ens d¶ona ¯nalment un interval de con¯an»ca [173,62 , 182,38]. Aix¶³ doncs, la probabilitatque l'autµentica mitjana estigui dintre d'aquest interval ¶es del 95%, ¶es a dir:

P (173;62 < ¹ < 182;38) = 0;95:

Si la distribuci¶o de la variable aleatµoria poblacional no ¶es normal, aleshores la distribuci¶o del'estimador de la variable aleatµoria mostral canviarµa i no serµa necessµariament normal. Recor-dem, perµo, el cas de la variable aleatµoria binomial que, repetida moltes vegades, s'aproxima b¶eper una distribuci¶o normal. Aquest ¶es un dels fets m¶es importants en la teoria de la probabilitati s'anomena teorema central del l¶³mit :

4.7 La t de Student 97

Teorema 4.10 Considerem una variable aleatµoria X qualsevol amb mitjana ¹ i desviaci¶o t¶³pica¾. Sigui Y la variable aleatµoria que s'obt¶e de sumar n cµopies independents de X. Aleshores,quan n es fa gran, la distribuci¶o de Y s'acosta cada cop m¶es a una normal N(n¹;

pn¾).

El teorema central del l¶³mit, doncs, no s'aplica nom¶es a la suma de n variables de Bernoulliindependents (que d¶ona la distribuci¶o binomial) sin¶o a qualsevol variable aleatµoria X sempreque tingui un valor mitjµa i una desviaci¶o t¶³pica ¯nits.

Observem com afecta aixµo la variable aleatµoria de la mitjana mostral. Aquesta s'obt¶e fent:

¹Xn =X1 +X2 + : : :+Xn

n=Y

n;

i, per tant, t¶e una distribuci¶o:

N(n¹;pn¾)

n= N(¹; ¾=

pn):

Aix¶³ doncs, encara que la distribuci¶o poblacional no sigui normal, si la mida de la mostra¶es prou gran, podem suposar que la distribuci¶o per la variable aleatµoria de l'estimador de lamitjana mostral ¶es tamb¶e una normal amb mitjana ¹ i desviaci¶o t¶³pica ¾=

pn, igual que en el

cas anterior.

4.7 La t de Student

Observem que a la secci¶o anterior sempre era necessari conµeixer el valor de ¾ per poder donarun estimador adequat de ¹, i aixµo no sempre ¶es possible. Una soluci¶o seria substituir el valorexacte de ¾ pel del seu estimador S2n¡1, perµo aleshores els valors es tornen m¶es inexactes i calsubstituir tamb¶e la distribuci¶o que s'ha de fer servir.

De¯nici¶o 4.11 La funci¶o gamma d'Euler ¶es la funci¶o que ve de¯nida per:

¡(x) =

Z 1

0

e¡ttx¡1 dt:

La funci¶o gamma d'Euler s'anomena tamb¶e funci¶o factorial generalitzada perquµe satisfµa l'equa-ci¶o:

¡(x+ 1) = x¡(x)

i, per tant, ¡(n+ 1) = n! si n ¶es enter.


De¯nici¶o 4.12 La distribuci¶o t de Student amb n graus de llibertat ¶es la distribuci¶o que t¶e perfunci¶o de densitat

sn(x) =1pn¼

¡

µn+ 1

2

¶¡³n2

´ 1µ1 +

x2

n

¶n+12

Aquesta distribuci¶o ¶es important perquµe ens permet donar els intervals de con¯an»ca per lamitjana quan la desviaci¶o t¶³pica ¶es desconeguda. En particular, el resultat ¶es:

Proposici¶o 4.13 Donada una poblaci¶o que segueix una variable aleatµoria X, si prenem unamostra amb n elements, aleshores la variable aleatµoria

¹Xn ¡ ¹Sn¡1=

pn

segueix una distribuci¶o t de Student amb n¡ 1 graus de llibertat.

Els parµametres de la t de Student s¶on:

E(t) = 0 i V ar(t) =n

n¡ 2 :

La t de Student, com ja passava amb la normal, estµa tabulada i en podeu consultar la taula al'apµendix.

Exemple: Considerem un altre cop la mostra de les al»cµaries que ten¶³em a l'apartat anterior.Hem vist que la mitjana mostral obtinguda era de 178, i ara en podem calcular la variµanciamostral modi¯cada S219 = 52;26 i, per tant, S19 = 7;23. Aleshores, sabem que la distribuci¶o

178¡ ¹7:23=

p20

¶es una t de Student amb 19 graus de llibertat.

La taula de la t de Student ens d¶ona els valors de la x per tal que:

P (¡x < tn < x) = ®pels valors m¶es importants de ®. En el nostre cas, si agafem ® = 0;95, amb n = 19, la taulad¶ona x = 2:093. Aix¶³ doncs, tenim que:

P (¡2;093 < 178¡ ¹7;23=

p20< 2;093) = 0;95

4.8 Estimadors de la variµancia. La distribuci¶o Â2 99

i, per tant, tenim l'interval de con¯an»ca [174;61; 181;39], ¶es a dir, la probabilitat que ¹ estiguientre 174,61 i 181,39 ¶es del 95%.

La t de Student ¶es una distribuci¶o molt semblant a la normal, com es pot esperar pel fet quela variable

¹Xn ¡ ¹Sn¡1=

pn

¶es molt semblant a la variable¹Xn ¡ ¹¾2n¡1=

pn;

que hem vist que tenia una distribuci¶o normal. Per tant, la funci¶o de densitat de la t de Studenttamb¶e t¶e una grµa¯ca en forma de campana. Ara b¶e, com que la t de Student fa servir un valoraproximat, ¶es m¶es susceptible de donar valors m¶es dolents. Aixµo suposa que la grµa¯ca de la tde Student ¶es m¶es ampla que la grµa¯ca de la normal. Ara b¶e, quan augmentem el nombre degraus de llibertat, la grµa¯ca s'aproxima m¶es a la normal. ¶Es clar: segons el teorema central dell¶³mit, si el nombre de graus de llibertat ¶es molt gran, aleshores la t de Student s'aproxima molta la normal. Podreu comprovar aixµo veient que els valors que la taula d¶ona per in¯nits grausde llibertat s¶on exactament els que obtindr¶³em amb una normal tipi¯cada.

4.8 Estimadors de la variµancia. La distribuci¶o Â2

L'estimador S2 de la variµancia mostral, que, segons hem vist abans, es calcula amb la f¶ormula

S2 =1

n¡ 1nXi=1

(xi ¡ ¹xn)2

tamb¶e depµen, com l'estimador de la mitjana mostral, de la distribuci¶o de la variable poblacionalX. Nosaltres l'estudiarem, perµo, nom¶es en el cas que la variable X sigui normal, perquµealeshores l'estimador segueix una distribuci¶o Â2.

De¯nici¶o 4.14 La distribuci¶o Â2 ¶es la variable aleatµoria que s'obt¶e fent

Â2 = X21 +X

22 + : : :+X

2n

on les Xi s¶on normals tipi¯cades. La seva funci¶o de densitat ¶es:

kn(x) =1

2n2 ¡³n2

´xn2¡1e¡

x2


La mitjana i variµancia de la Â2 v¶enen donades per:

E(Â2) = n i V ar(Â2) = 2n:

Fem servir aquesta distribuci¶o per als estimadors de la variµancia quan la variable poblacional¶es normal:

Proposici¶o 4.15 Si la variable aleatµoria poblacional ¶es normal, aleshores la variable aleatµoria

Y =nS2

¾2

segueix una distribuci¶o Â2 amb n graus de llibertat.

Observem que la distribuci¶o Â2 no pot prendre valors negatius, essent una suma de quadrats,i per tant la seva funci¶o de densitat nom¶es ¶es diferent de 0 en l'interval (0;1). Tamb¶e t¶e laforma d'una campana, aquest cop no simµetrica, que comen»ca a l'origen, puja ¯ns al seu mµaximi despr¶es decreix asimptµoticament cap al 0. Com m¶es gran ¶es el nombre de graus de llibertat,m¶es lluny del zero ¶es el mµaxim.

Un cop m¶es, tenim una taula que ens permet calcular els valors de la distribuci¶o Â2 pels grausde llibertat i nivells de con¯an»ca m¶es habituals.

Exemple 4.16 Tornem a l'exemple de la mostra d'al»cµaries anterior. Si calculem l'estimadoresbiaixat de la variµancia obtenim que S2 = 49;65. Aleshores, la variable

993

¾2

segueix una Â2 amb 20 graus de llibertat. Per tant, segons la taula:

P (9;53 <993

¾2< 34;4) = 0;95

i, per tant, tenim:P (28;87 < ¾2 < 104;20) = 0;95

i ¯nalment:P (5;37 < ¾ < 10;21) = 0;95:

2



4.9.1 Exercicis

1. Tenim que una mostra de setze transistors ha presentat una vida mitjana de 735 hores.Coneixem que ¾ = 12 hores. Trobeu l'interval de con¯an»ca per a la vida mitjana de lapoblaci¶o al 95%.

2. El temps mitjµa a connectar-se a un servidor ¶es de 8 ms. Despr¶es de modi¯car el softwarees mesuren 64 accessos i la mitjana que ara s'obt¶e ¶es de 8.5 ms. Suposem que la desviaci¶ot¶³pica ¶es 2 ms, tant abans com despr¶es de la modi¯caci¶o. ConstruÄ³u un interval decon¯an»ca (al 95% i al 99%) per a la mitjana despr¶es de modi¯car el software.


1. Mesurem la temperatura exacta de 0±C amb cinc termµometres que segueixen una dis-tribuci¶o N(0; ¾), on desconeixem ¾. N'obtenim els resultats erronis segÄuents: 0;02, 0;05,¡0;01, ¡0;04 i 0;12. Trobeu l'interval de con¯an»ca del 95% per a la ¹.

2. Hem obtingut els valors segÄuents de la variable aleatµoria X, 55, 65, 82, 48, 55, 75, 70 i62. Trobeu un interval de con¯an»ca del 90% per a la variµancia de X.

3. S'analitza el temps T de processament d'un paquet de dades d'una mida donada. Adme-tem que T segueix una distribuci¶o normal. Es mesura el temps (en ¹s) de deu transmis-sions i s'obtenen els resultats segÄuents:

301 303 300 304 300 304 299 305 302 302:

a) Doneu un interval de con¯an»ca del 99% per al valor mitjµa del temps de transmissi¶o.

b) Doneu un interval de con¯an»ca del 99% per a la desviaci¶o t¶³pica de la distribuci¶o.

c) Determineu la mida m¶³nima que hauria de tenir la mostra per obtenir un interval decon¯an»ca del 95% per al valor mitjµa de T , de manera que l'interval de con¯an»ca tinguiuna llargada no superior a 1¹s. Suposem ara que ¾T = 2.

103

5 Regressi¶o lineal simple.

5.1. Regressi¶o lineal simple5.2. Signi¯caci¶o de r5.3. Interval de con¯an»ca per ½5.4. Recta de regressi¶o. Mµetode dels m¶³nims quadrats5.5. Correlaci¶o i causalitat no s¶on el mateix

La ¯nalitat d'aquest cap¶³tol ¶es proporcionar conceptes bµasics per obtenir les carac-

ter¶³stiques principals d'una relaci¶o que no ¶es evident. Tractem amb distribucions

estad¶³stiques bidimensionals, que ja s'han introduÄ³t al tema 3. Estudiem els casos

en quµe els punts (X;Y ) s'aproximen el mµaxim possible a una recta que trobem mit-

jan»cant el mµetode dels m¶³nims quadrats. Finalment tornem a parlar, en aquest cas

concret, dels resultats que podem deduir d'una poblaci¶o si el que estudiem ¶es una

mostra (tal com hem vist al tema 4).

5.1 Regressi¶o lineal simple.

Suposem que tenim un conjunt de n mesuraments y1, y2,...,yn, d'una variable resposta Y , rea-litzats amb un conjunt de n condicions experimentals x1, x2,...,xn, d'una variable predicci¶o X.Tindrem en compte nom¶es el cas d'una variable resposta, que ¶es el que es coneix com a modellineal simple.

Intentarem ajustar una equaci¶o lineal al conjunt de dades amb la ¯nalitat d'obtenir una equaci¶oemp¶³rica que ens determini el comportament de la variable resposta Y , donats els valors de lavariable de predicci¶o X.

104 5 REGRESSI ¶O LINEAL SIMPLE.

Partim, doncs, d'una distribuci¶o bidimensional. Suposem que el resultat de l'observaci¶o d'unamostra ens d¶ona un conjunt de punts (X; Y ) que podem representar en un grµa¯c. Aquests tipusde grµa¯cs s'anomenen diagrama de punts o b¶e n¶uvol de punts o b¶e diagrama de dispersi¶o.

En cap¶³tols anteriors hem introduÄ³t els conceptes de covariµancia i coe¯cient de correlaci¶o lineal.En el cas d'una mostra de mida n escrivim per a les variancies marginals:

s2x =

Pni=1 x

2i

n¡ x2 s2y =

Pni=1 y

2i

n¡ y2

i per a la covariµancia sxy i el coe¯cient de correlaci¶o r:

Sxy =1

n

nXi=1

xiyi ¡ x y r =sxysxsy

A continuaci¶o donem uns quants exemples de dades amb els seus coe¯cients de correlaci¶o.

Exercici: Representeu aquests grµa¯cs i comproveu els coe¯cients de correlaci¶o.

Exemple 5.1 (0; 0); (1; 0); (2; 0); (0; 1); (1; 1); (2; 1); (0; 2); (1; 2); (2; 2) amb r = 0. Les variablesno estan correlacionades.

Exemple 5.2 (0; 0); (1; 0); (3; 0); (3; 1); (1; 1); (2; 1); (0; 2); (1; 2); (2; 2) amb r = ¡0;128. Lesvariables no estan correlacionades.

Exemple 5.3 (0; 0); (1; 0); (3; 3); (3; 1); (1; 1); (2; 1); (3; 2); (4; 4); (2; 2) amb r = 0;845. Ambaquest valor de r podem dir que hi ha una correlaci¶o lineal forta i positiva.

Exemple 5.4 (1; 1); (1; 3); (1; 4); (2; 0); (2; 5); (3; 0); (4; 0); (4; 0); (2; 2) amb r = ¡0;609. Cor-relaci¶o lineal dµebil i negativa.

Exemple 5.5 (1; 2); (2; 3); (3; 4); (2; 3); (5; 6); (1; 2) amb r = 1. Variables perfectament correla-cionades (relaci¶o funcional), amb correlaci¶o lineal.

Exemple 5.6 (5; 1); (4; 2); (3; 3); (2; 4); (1; 5); (5; 1) amb r = ¡1. Variables perfectament cor-relacionades (relaci¶o funcional), amb correlaci¶o lineal.

Ara b¶e, tal com hem dit al cap¶³tol anterior tamb¶e ens interessarµa fer inferµencies sobre la cor-relaci¶o lineal d'una poblaci¶o de la qual coneixem el resultat d'una mostra.

5.2 Signi¯caci¶o de r 105

5.2 Signi¯caci¶o de r

Suposem que tenim una mostra de mida n d'una poblaci¶o bivariant que ens d¶ona un coe¯cientde correlaci¶o r i que les dades de la poblaci¶o ens donarien (si es calcul¶es) un valor ½. Lanostra ¯nalitat ¶es utilitzar les dades de la mostra per poder fer una estimaci¶o de ½. L'any 1915l'estadista R. A. Fisher va trobar que la transformaci¶o:

z =1

2ln1 + r

1¡ r = tanh¡1 r

donava lloc a una variable aleatµoria Z de distribuci¶o aproximadament normal amb ¹z = tanh¡1 ½

i ¾2z =1n¡3 (l'aproximaci¶o ¶es m¶es bona quant m¶es gran ¶es la mostra). El coe¯cient de correlaci¶o

r de la mostra i la seva transformaci¶o Z els utilitzarem per aconseguir uns l¶³mits entre els qualspuguem estar quasi segurs que es troba el coe¯cient de correlaci¶o ½.

5.3 Interval de con¯an»ca per ½.

Vegem en un exemple com trobar un interval de con¯an»ca per ½.

Exemple 5.7 Sobre una mostra de mida 28 calculem un coe¯cient de correlaci¶o r = 0;71.Trobarem l'interval de con¯an»ca del 95% per al coe¯cient de correlaci¶o ½ de la poblaci¶o.

Considerem Z normal i, per tant, z¡¹z¾z

¶es una normal tipi¯cada. Tenim, doncs:

P (¡1; 96 < z ¡ ¹z¾z

< 1; 96) = 0;95

o b¶e:P (z ¡ 1; 96¾z < ¹z < z + 1; 96¾z) = 0;95

i substituint z = tanh¡1 0;71 i ¾2z =1

28¡3 de l'apartat anterior:

P (tanh¡1 0;71¡ 1; 96 1p25< ¹z < tanh

¡1 0;71 + 1; 961p25) = 0;95

P (0;495 < tanh¡1 ½ < 1; 279) = 0;95

utilitzant els valors de la tangent hiperbµolica obtenim ½ 2 (0;46; 0;86) 2

Tornem ara a pensar amb els grµa¯cs de punts que heu representat abans.


Diem que hi ha una correlaci¶o lineal si el n¶uvol de punts s'agrupa al voltant d'una l¶³nea rectaque anomenem recta de regressi¶o.

La nostra ¯nalitat ara ¶es trobar l'equaci¶o d'una recta que s'ajusti tant com sigui possible aln¶uvol de punts. El mµetode m¶es important ¶es l'anomenat mµetode dels m¶³nims quadrats i ¶es elque utilitzem a l'apartat segÄuent per trobar l'equaci¶o de la recta.

5.4 Recta de regressi¶o. Mµetode dels m¶³nims quadrats

Estudiem primer la regressi¶o de Y sobre X. Suposem que la variaci¶o aleatµoria es d¶ona sobre laY i suposem que la recta que volem trobar la podem escriure com:

y = ax+ b (1)

Es tracta de determinar a i b perquµe la recta s'ajust tant com sigui possible al n¶uvol de punts.El mµetode dels m¶³nims quadrats tracta de fer m¶³nima la suma dels quadrats de les diferµenciesentre els valors observats o experimentals i els valors teµorics o ajustats.

Si tenim els resultats experimentals (xi; yi) amb i 2 f1 ¢ ¢ ¢ng, volem fer m¶³nima l'expressi¶o:

nXi=1

(yi ¡ (axi + b))2

on (xi; yi) s¶on els valors ¯xats experimentals i axi + b ¶es la imatge de xi sobre la recta (1).

Derivem parcialment respecte de a i despr¶es respecte de b i igualem a 0:

nXi=1

2(yi ¡ axi ¡ b)(¡xi) = 0

nXi=1

2(yi ¡ axi ¡ b)(¡1) = 0

o b¶e:nXi=1

xiyi ¡ anXi=1

x2i ¡ bnXi=1

xi = 0

nXi=1

yi ¡ anXi=1

xi ¡ nb = 0

5.4 Recta de regressi¶o. Mµetode dels m¶³nims quadrats 107

dividim per n les dues equacions i tenim:

Pni=1 xiyin

¡ aPn

i=1 x2i

n¡ bx = 0 (2)

y ¡ ax¡ b = 0 (3)

Si multipliquem l'equaci¶o (3) per x i li restem l'equaci¶o (2) obtenim:

a

µPni=1 x

2i

n¡ x2

¶=

Pni=1 xiyin

¡ x y¶es a dir, a = sxy

s2x. Substituint aquest valor a l'equaci¶o (3) obtenim l'altre parµametre b = y¡ sxy

s2xx.

Amb aquests valors de a i b a l'equaci¶o (1) obtenim la recta de regressi¶o de Y sobre X:

y ¡ y = sxys2x(x¡ x)

Aquesta recta la utilitzarem per estimar un valor de y, donat un valor de x.

Fent un raonament semblant trobar¶³em que la recta de regressi¶o de X sobre Y ¶es:

x¡ x = sxys2y(y ¡ y)

Aquesta recta la utilitzarem per estimar un valor de x, donat un valor de y.

En general quant m¶es juntes es troben les dues rectes de regressi¶o, la relaci¶o lineal entre lesdues variables ¶es m¶es forta.

A continuaci¶o donem les rectes de regressi¶o d'alguns conjunts de dades donats anteriorment.Les podeu representar sobre els grµa¯cs de punts que heu fet abans.

Per al cas de l'exemple 5.3, tenim que la recta de regressi¶o de Y sobre X ¶es y = ¡0;32 + 0;89xi la recta de X sobre Y x = 0;86 + 0;80y.

Per al cas de l'exemple 5.4, tenim que la recta de regressi¶o de Y sobre X ¶es y = 3:85¡ 0;98x ila recta de X sobre Y x = 2:85¡ 0;38y.Anem a trobar les rectes de regressi¶o en un exemple.

Exemple 5.8 Triem a l'atzar 10 monedes de coure d'una bossa que cont¶e moltes monedesantigues. Pesem cada una de les 10 monedes i anotem la seva antiguitat. Obtenim les dadessegÄuents, on (antiguitat,pes)=(X,Y):


(5 ; 9;41) (9 ; 9;50) (14 ; 9;33) (17 ; 9;34) (23 ; 9;31)(31 ; 9;26) (35 ; 9;22) (42 ; 9;30) (46 ; 9;15) (50 ; 9;08):

Si representem les dades en un n¶uvol de punts hi veiem una relaci¶o lineal forta i negativa, ¶esa dir, quant m¶es antiga ¶es una moneda el seu pes ¶es menor. Anem, perµo, a estudiar-ho d'unaforma quantitativa. Obtenim els resultats segÄuents:

x = 27;2, y = 9;29, r = ¡0;89, sxy = ¡1;554, sx = 15;1248, sy = 0;1152.La recta de regressi¶o de Y sobre X ¶es, doncs, y = 9;29 ¡ 1;554

15;12482(x ¡ 27;2). Tamb¶e tenim la

recta de regressi¶o de X sobre Y x = 27;2¡ 1;5540;11522

(y ¡ 9;29).Si volem conµeixer quin ¶es el pes esperat per una moneda que t¶e 20 anys d'antiguitat hemd'utilitzar la recta Y sobre X i obtenim 9;34. Si el que volem conµeixer ¶es l'antiguitat d'unamoneda que pesa 9;3, llavors hem d'utilitzar la recta X sobre Y i obtenim 26 anys.

5.5 Correlaci¶o i causalitat no s¶on el mateix.

Moltes vegades s'intenten establir relacions de tipus casual entre dues variables. Conv¶e observarque, quan es volen establir associacions, s'ha d'anar molt amb compte abans d'arribar a unaconclusi¶o de¯nitiva, que moltes vegades anirµa molt m¶es enllµa del treball estad¶³stic. Qualsevolexperiµencia que tendeixi a establir relacions causa-efecte entre variables ha de ser repetida en cir-cumstµancies ben diferents; aix¶³ es pot constatar que, realment, a la vista de les dades recollides,¶es plausible que determinats valors d'una de les variables estiguin efectivament associats ambdeterminats valors de l'altra, perµo, al mateix temps, que no es tracta de falses aparences o queno hi ha un factor extern que in°ueixi en les dues variables estudiades. ¶Es clµassic, en aquestsentit, l'exemple d'una poblaci¶o nµordica on, a causa de l'µepoca de les migracions de les aus idel ritme de natalitat, hi ha una correlaci¶o molt elevada entre el nombre de naixements de cadames i el nombre de cigonyes que nien al campanar d'aquella poblaci¶o. Podem deduir d'aixµo quels cigonyes porten els nens? Un exemple aix¶³, en quµe les dades donen un coe¯cient de correlaci¶oelevat perµo no existeix una conexi¶o entre les variables, s'anomena correlaci¶o falsa.

109

6 Tests d'hipµotesi

6.1. Introducci¶o6.2. Tests paramµetrics6.3. Exemples de tests paramµetrics

6.3.1. Test pel valor mitjµa d'una distribuci¶o normal6.3.2. Test pel contrast de valors mitjans de dues distribucions6.3.3. Tests d'hipµotesi i intervals de con¯an»ca

6.4. Tests d'ajust d'una distribuci¶o6.5. Problemes

Els tests d'hipµotesi estad¶³stics s¶on tµecniques que tenen per objectiu determinar la

probabilitat d'una a¯rmaci¶o sobre una distribuci¶o poblacional a partir del conei-

xement d'una mostra. Els tests d'hipµotesi estan relacionats estretament amb els

intervals de con¯an»ca que s'han estudiat anteriorment.

6.1 Introducci¶o.

El contrast d'hipµotesi ¶es una de les tµecniques d'inferµencia estad¶³stica.

Un exemple simple d'aquesta tµecnica ¶es el segÄuent. Suposem que el nombre d'errors en latransmissi¶o de n bits segueix una llei binomial Bin(n; p). Aquest ¶es un model plausible d'acordamb les condicions f¶³siques de la transmissi¶o. Un tµecnic proposa el valor de p = 0;01. Elcontrast d'hipµotesi consisteix a valorar la ¯abilitat d'aquesta proposta a la vista dels resultatsd'una mostra.

110 6 TESTS D'HIP µOTESI

Suposem, per exemple, que hem observat un valor de 3 errors en la transmissi¶o d'un paquet de10 bits. Si fos cert que p = 0;01, quina ¶es la probabilitat d'haver obtingut aquest valor? TenimP (X = 3) =

¡n3

¢p3(1¡ p)n¡3, que amb els valors p = 0;01 i n = 10 ¶es 0;0026. Aixµo vol dir que,

segons la hipµotesi p = 0;01, observarem aquest valor de X en menys de tres vegades per cadamil proves. La conclusi¶o ¶es, doncs, que la hipµotesi original ¶es poc plausible i el test efectuatproposaria refusar-la.

Els tests estad¶³stics d'hipµotesi s¶on versions m¶es elaborades de l'exemple anterior. Hi ha duesclasses de tests d'hipµotesi:

² tests en els quals la llei de probabilitat de la poblaci¶o ¶es coneguda i es formulen hipµotesisobre els valors dels parµametres de la distribuci¶o, anomenats tests paramµetrics.

² tests en els quals la llei poblacional no ¶es coneguda i es formula la hipµotesi que segueixuna certa distribuci¶o, anomenats tests d'ajust.

6.2 Tests paramµetrics

Abans d'introduir la terminologia prµopia dels tests d'hipµotesi vegem-ne un exemple que aclarirµaalgunes de les nocions.

Suposem que el soroll introduÄ³t per un canal en la transmissi¶o d'un senyal segueix una llei normalN(m;¾). Com a l'exemple anterior, hi ha raons qualitatives que avalen aquesta suposici¶o. Persimpli¯car l'exemple, suposem que el valor de ¾ ¶es conegut i val 1. Formulem la hipµotesi quem = 0. De n = 10 observacions dels valors del soroll obtenim un valor mitjµa ¹x10 = 1;01. Sabemque aquest ¶es el valor observat de la variable ¹X10 que segueix una llei normal N(m; 1=

p10).

En la hipµotesi m = 0, la probabilitat d'observar un valor mitjµa no menor que 1;01 en valorabsolut ¶es

P (j ¹X10j ¸ 1;01) = 1¡ P (¡1;01 · ¹X10 · 1;01) == 1¡ P (¡1;01

p10 ·

p10 ¹X10 · 1;01

p10) ' 0;002:

A la vista d'aquest valor, l'enginyer ha de decidir si la desviaci¶o de ¹x10 respecte del valor quehauria de tenir pot ser deguda a l'atzar o ¶es tan improbable que resulta m¶es sensat descartarla hipµotesi m = 0.

Per prendre aquesta decisi¶o, s'estableix un nivell de signi¯caci¶o ® del test (habitualment ® =0;05 o ® = 0;01) de manera que si la probabilitat del valor observat, en la hipµotesi que formulem,¶es inferior a ® aleshores rebutgem la hipµotesi. Per exemple, en el cas anterior, amb un nivell

6.2 Tests paramµetrics 111

de signi¯caci¶o ® = 0;01, rebutjar¶³em la hipµotesi que m = 0. En canvi, amb un nivell ® = 0;05l'acceptar¶³em.

El nivell de signifaci¶o ¶es la probabilitat que rebutgem la hipµotesi si ¶es certa. Aquest tipus d'errors'anomena error de tipus I. L'altra mena d'error que es pot cometre ¶es acceptar la hipµotesi si ¶esfalsa, que s'anomena error de tipus II. Dos tests d'hipµotesi al mateix nivell de signi¯caci¶o podentenir diferents errors de tipus II, i entre tots els tests possibles del mateix nivell de signi¯caci¶ocal escollir aquell que minimitza l'error de tipus II.

Per exemple, suposem que ¯xem un nivell de signi¯caci¶o ® = 0. Aleshores, sempre s'acceptariala hipµotesi de manera que l'error de tipus I ¶es zero. En l'altre extrem podem posar un nivellde signi¯caci¶o ® = 1, cas en el qual es rebutja la hipµotesi amb probabilitat 1 i l'error de tipusII ¶es zero. ¶Es clar que cap de les dues opcions proporciona una bona tµecnica de decisi¶o (enparticular, no cal ni observar una mostra) de manera que un bon test requereix un comprom¶³sentre els dos tipus d'error.

En el llenguatge dels tests d'hipµotesi, la hipµotesi que es vol contrastar s'anomena hipµotesi nul¢lai es denota per H0. Aleshores:

² El nivell de signi¯caci¶o ¶es ® = P (refusar H0jH0), ¶es a dir, la probabilitat de refusar lahipµotesi si ¶es certa.

² L'error de tipus II ¶es P (acceptar H0j ¹H0), ¶es a dir, la probabilitat d'acceptar H0 si ¶es falsa.

L'elecci¶o d'un nivell de signi¯caci¶o es fa normalment de manera convencional (sovint ® = 0;01o ® = 0;05) i permet controlar el disseny del test. Aixµo simplement assegura que la probabilitatde refusar la hipµotesi H0 si ¶es certa ¶es petita, de manera que el resultat del test ¶es ¯able quanes refusa H0.

Aquest aspecte ¶es bo de tenir en compte en el disseny del test per tal de formular com a H0una hipµotesi de la qual ens preocupa m¶es acceptar si ¶es falsa que no pas descartar si ¶es certa.

Exemple 6.1 S'estµa provant un nou sistema de producci¶o de xips en el qual la durada Xde funcionament dels xips segueix una distribuci¶o normal N(¹; ¾). Suposem que en el sistemaactual la durada segueix una llei normal N(2000; 200). Com que canviar el sistema de producci¶osuposa una inversi¶o considerable que nom¶es serµa rendible si realment el nou sistema augmentasigni¯cativament la vida mitjana dels xips, ens interessa estar segurs que nom¶es rebutjarem lahipµotesi

H0 : ¹ = 2000

si realment la seva probabilitat ¶es molt petita. Per tant, m¶es que dissenyar un test per a lahipµotesi ¹ = 2300, per exemple, en dissenyar¶³em un, amb nivell de signi¯caci¶o petit ®, en elqual la hipµotesi que es contrasta ¶es H0: ¹ = 2000. 2


6.3 Exemples de tests paramµetrics

Tot i que es poden dissenyar tests d'hipµotesi per a la majoria de parµametres d'una poblaci¶o,aqu¶³ en considerarem alguns exemples usuals que il¢lustren la tµecnica. En aquests exemplesobviarem l'anµalisi de l'error de tipus II, que sol ser m¶es complex.

6.3.1 Test per al valor mitjµa d'una distribuci¶o normal

Suposem queX segueix una distribuci¶o normal N(m;¾) amb valor mitjµa desconegut i formulemla hipµotesi:

H0 : m = m0:

Per estimar el valor de m a partir d'una mostra de mida n fem servir el valor mitjµa mostral ¹Xn,que segueix una distribuci¶o normal N(m;¾=

pn). Donat que el parµametre que ens interessa

¶es el valor mitjµa, suposarem de moment que el valor de ¾ ¶es conegut. Aleshores, Z = ( ¹Xn ¡m0)=(¾=

pn) segueix una llei normal N(0; 1).

Fixat el nivell de signi¯caci¶o ®, determinem el valor d® que satisfµa:

P (¡d® · Z · d®)) = 1¡ ®;que pot obtenir-se de les taules de la distribuci¶o normal. Si el valor observat ¹xn cau a l'interval:

I0 = [m0 ¡ (¾=pn)d®;m0 + (¾=

pn)d®];

acceptem la hipµotesi H0 i, en cas contrari, la rebutgem. Aix¶³:

P (rebutjar H0jH0) = P ( ¹Xn 62 I0jH0) = P (Z62 [¡d®; d®]) = ®;¶es a dir, que el test t¶e efectivament nivell de signi¯caci¶o ®. Observeu que la manera de construirl'interval I0 ¶es similar a la dels intervals de con¯an»ca.

Exemple 6.2 El temps T d'execuci¶o d'un proc¶es segueix una llei normalN(m;¾). El proveÄ³dordel sistema mant¶e que el temps mitjµa de proc¶es ¶es de 8 segons. D'una mostra de 25 execucionsdel proc¶es se n'ha obtingut un valor mitjµa mostral de ¹x25 = 8;7 segons. Suposem que ¾ = 1.Es pot admetre que aquesta variaci¶o no ¶es signi¯cativa (¶es a dir, que cau dins els marges del'aleatorietat) i que la informaci¶o del proveÄ³dor ¶es correcta?

En aquest cas, formulem la hipµotesi:H0 : m = 8:

En aquesta hipµotesi, el valor mitjµa mostral segueix una llei normal N(8; 1=5). Per tant, a unnivell de signi¯caci¶o ® = 0;01, la regi¶o d'acceptaci¶o de H0 ve donada per l'interval [8¡d; 8+d],amb

® = P (j ¹X25 ¡ 8j ¸ d) = 1¡ P (¡5d · 5( ¹X25 ¡m) · 5d);

6.3 Exemples de tests paramµetrics 113

que d'acord amb les taules de la distribuci¶o normal s'assoleix aproximadament per 5d = 2;58o d = 2;58=5 ' 0;51. Com que la diferµencia observada ¶es de 0;7, que cau fora de la regi¶od'acceptaci¶o, la diferµencia ¶es signi¯cativa amb el nivell de signi¯caci¶o considerat i la hipµotesiH0 s'hauria de rebutjar. 2

En general, en els problemes de test del valor mitjµa d'una poblaci¶o normal resulta poc realistasuposar que el valor de ¾ ¶es conegut. Aleshores se sol prendre com a ¾ la desviaci¶o t¶³picacorregida S. Per a valors grans de n (a la prµactica se sol suposar su¯cient n ¸ 25), resulta m¶essimple seguir suposant que el valor mitjµa mostral segueix una distribuci¶o normal N(m;S).

6.3.2 Test per a la diferµencia de valors mitjans

Un problema molt com¶u de tests d'hipµotesi ¶es la del contrast de dos valors mitjans de dis-tribucions normals independents. Un cas t¶³pic ¶es el segÄuent. Suposem que es vol veri¯carl'e¯cµacia d'un medicament per al tractament d'insomni. A una poblaci¶o A se li administra elmedicament i a una altra un preparat inofensiu. Denotem X el nombre addicional d'hores deson dels individus de la poblaci¶o A i Y la variable corresponent a la poblaci¶o B. Per acceptarl'e¯cµacia del tractament, el valor mitjµa de X hauria de ser signi¯cativament m¶es gran que elde Y . Per tant, dissenyem un test en el qual la hipµotesi que s'analitza ¶es H0: mX = mY , ¶es adir, nom¶es ens deixarem convµencer que el tractament ¶es e¯ca»c si la diferµencia entre mX i mY

¶es signi¯cativament poc probable en la hipµotesi H0.

En general, si prenem una mostra de mida n1 per a la primera poblaci¶o i una de mida n2 per ala segona, i suposem que les dues poblacions s¶on independents, la diferµencia Z = ¹X¡ ¹Y segueixuna llei normal N(mX ¡mY ;

q¾2Xn1+

¾2Yn2). En la hipµotesi H0: mX = mY , l'interval que de¯neix

la regi¶o de rebuig I1 a un nivell de signi¯caci¶o ® ve donat per la desigualtat P (jZj ¸ d) · ®.El valor de d, com en el cas anterior, es localitza amb les taules de la distribuci¶o normal.

Exemple 6.3 A l'exemple anterior, suposem que prenem una mostra de mida 10 de cadascunade les poblacions. El valor que observem ¶es, doncs, Z = ¹X10 ¡ ¹Y10. Suposem que els valorsobservats s¶on ¹x10 = 2;33 i ¹y10 = 0;75. Suposem que les desviacions poblacionals s¶on ¾2X =36;1=10 i ¾2Y = 28;9=10. Com que se suposa que les poblacions s¶on independents, la variable Z

segueix, en la hipµotesiH0: mX = mY , una llei normal N(0;

q¾2X+¾

2Y

10). A un nivell de signi¯caci¶o

® = 0;05, l'interval de rebuig de la hipµotesi H0 es troba, doncs, de

® = P (jZj > d) = 1¡ P (¡d · Z · d) = 1¡ P (¡d=¾ · Z=¾ · d=¾);

on ¾ =p¾2X + ¾

2Y ' 2 !55. De les taules de la normal resulta, per a ® = 0;05, d = 1;96¾ ' 4:99.

Aix¶³, la diferµencia observada 1;58 cau dins de la regi¶o d'acceptaci¶o de la hipµotesi H0. En altres


paraules, l'evidµencia de les dades ¶es insu¯cient, amb el nivell de signi¯caci¶o ¯xat, per admetreque el medicament ¶es e¯ca»c. 2

6.3.3 Tests d'hipµotesi i intervals de con¯an»ca

Els intervals de con¯an»ca proporcionen tamb¶e una eina per al disseny de tests d'hipµotesiparamµetrics. La idea ¶es la segÄuent. Suposem que volem contrastar la hipµotesi H0 que elvalor d'un parµametre µ de la distribuci¶o poblacional pren un valor µ0:

H0 : µ = µ0:

Fem servir un estimador mostral µ̂ de µ. Amb el valor d'aquest estimador per a una mostraespec¶³¯ca, determinem un interval de con¯an»ca [a; b] amb nivell de con¯an»ca 1 ¡ ® per aµ, ¶esa dir:

P (µ 2 [a; b]) ¸ 1¡ ®:Si el valor µ0 cau fora de l'interval (cosa que succceix amb probabilitat ® si H0 ¶es certa)aleshores rebutgem la hipµotesi H0. En cas contrari, la hipµotesi no es rebutja. La diferµencia,doncs, respecte dels casos anteriors ¶es que allµa es de¯neix una regi¶o d'acceptaci¶o per al valorde l'estimador. En els intervals de con¯an»ca s'inverteix la relaci¶o: la regi¶o d'acceptaci¶o es creaa partir de l'estimador i es contrasta si el valor de l'hipµotesi cau o no dins l'interval.

Exemple 6.4 En un proc¶es de producci¶o es fabriquen resistµencies de 20 − amb una desviaci¶ot¶³pica de 0,5 −. El proc¶es es pot desajustar, i per detectar si estµa desasjustat, s'examina unamostra de cinc unitats que d¶ona un valor mitjµa ¹x5 = 20;8. ConstruÄ³m un interval de con¯an»caper al valor mitjµa m de la poblaci¶o a partir de la mostra amb un nivell de con¯an»ca del 95%. Lavariable ¹X5 segueix una distribuci¶o normal N(20;8; 0;5=

p5), i obtenim l'interval [20;4 ; 21;2].

Com que el valor 20 no cau dins l'interval (cosa que, de ser cert que el valor mitjµa ¶es 20, passaamb una probabilitat del 0;05), prenem com a resultat del test que el proc¶es estµa realmentdesajustat.

6.4 Tests d'ajust d'una distribuci¶o

Una mena de tests d'hipµotesi importants s¶on aquells en els que el quals es pret¶en contrastar no¶es el valor d'un parµametre d'una distribuci¶o coneguda sin¶o la prµopia distribuci¶o de probabilitat.Per aixµo es contrasten les freqÄuµencies relatives observades en una mostra amb els valors teµoricsde la distribuci¶o de probabilitat que es contrasta.

El test m¶es simple d'ajust d'una distribuci¶o ¶es l'anomenat test Â2 de Pearson.

6.4 Tests d'ajust d'una distribuci¶o 115

Suposem primer que es vol ajustar la distribuci¶o d'una variable aleatµoria discreta X a una certadistribuci¶o de probabilitats teµorica. La variable aleatµoria pren valors que denotem, x1; : : : ; xk, i,segons la distribuci¶o que es vol contrastar, els valors es prendrien amb probabilitats p1; : : : ; pk.

Prenem una mostra de mida n de la poblaci¶o i denotem f1; : : : ; fk els valors de les freqÄuµenciesabsolutes amb quµe apareix cadascun dels valors x1; : : : ; xk. El test es basa en el fet que lavariable aleatµoria

X2 =

kXi=1

(fi ¡ npi)2npi

;

segueix, aproximadament, una distribuci¶o Â2 amb k ¡ 1 graus de llibertat. Si l'ajust ¶es bo, elvalor de l'estimador en una mostra tendirµa a ser petit (idealment 0). Aleshores, es pot obtenira les taules de la distribuci¶o Â2 un valor a tal que la probabilitat

P (X2 ¸ a) · ®;on ® ¶es el nivell de signi¯caci¶o del test. Si el valor de l'estimador cau fora de l'interval [0; a];aleshores el test decideix que l'ajust no ¶es correcte.

Exemple 6.5 Durant la Segona Guerra Mundial es va dividir el mapa de Londres en unaquadr¶³cula i es va comptar el nombre d'impactes a cada quadre durant un bombardeig. Elsresultats van ser

Impactes xi 0 1 2 3 4 5FreqÄuµencia fi 229 211 93 35 7 1

La hipµotesi que es volia contrastar ¶es que el nombre d'impactes segueix una distribuci¶o dePoisson, que correspon a la idea que el bombardeig era indiscriminat i no anava dirigit aobjectius militars.

En cas que la hipµotesi fos certa, el valor mitjµa de la variable que compta el nombre d'impactesen un quadre ¶es

¸ =

Pi xifiPi fi

= 0;929:

Amb aquest valor de ¸, les probabilitats teµoriques corresponents a la distribuci¶o de Poissonserien

pi =(0;929)i

i!e¡0;929

d'on s'obtenen els valors per a npi

Impactes xi 0 1 2 3 4 5Valors esperats npi 227.5 211 98 30 7 1,5


Aix¶³ doncs, per aquesta mostra:x2 = 1;27:

Consultant a les taules de la distribuci¶o Â2 amb 5 graus de llibertat, la probabilitat P (X2 ¸11) · 0;05, de manera que amb un nivell de signi¯caci¶o del 0;05 el valor observat cau dinsun valor acceptable i no hi ha motiu per refusar la hipµotesi que X segueix una distribuci¶o dePoisson. 2

A l'exemple anterior, el valor de ¸ ha estat estimat tamb¶e a partir de la mostra. Aixµo disminueixel nombre de graus de llibertat en la distribuci¶o deX2. En realitat, si en el cµalcul deX2 s'estimenr parµametres de la distribuci¶o (a l'exemple, r = 1) aleshores X2 segueix, aproximadament, unadistribuci¶o Â2 amb k¡ 1¡ r graus de llibertat. A l'exemple anterior, doncs, caldria contrastarla distribuci¶o de X2 amb la Â2 de 4 graus de llibertat, que segueix donant P (X2 ¸ 9;4) · 0;05i per tant raons per no desestimar la hipµotesi.

El test Â2 es fa servir tamb¶e per ajustar distribucions cont¶³nues, encara que en aquest cas es faun proc¶es de discretitzaci¶o.

Sigui X una variable aleatµoria cont¶³nua amb funci¶o de distribuci¶o FX(x). Dividim la recta realen k intervals disjunts (a0; a1); [a1; a2); : : : ; [ak¡1; ak) (on, habitualment, a0 = ¡1 i ak = 1).De¯nim aleshores:

pi = P (X 2 [ai¡1; ai)) = FX(ai)¡ FX(ai¡1):Paral¢lelament, donada una mostra, considerem les freqÄuµencies absolutes fi del nombre de valorsde la mostra que estan a l'interval [ai¡1; ai). Aleshores, l'estad¶³stic:

X2 =

kXi=1

(fi ¡ npi)2npi

segueix tamb¶e (aproximadament) una distribuci¶o Â2 amb k ¡ 1 graus de llibertat. En aquestcas, perµo, el proc¶es de discretitzaci¶o introdueix m¶es ambigÄuitat, de manera que, per tal queel test sigui ¯able, cal que els valors de les freqÄuµencies absolutes no siguin petits. Una reglagenµerica sovint acceptada ¶es que el nombre esperat npi d'ocurrµencies a cada interval no siguiinferior a 10.

Exemple 6.6 Se sol acceptar que la variable aleatµoria T que d¶ona el temps de funcionamentsense avaries d'un dispositiu segueix una distribuci¶o exponencial. Volem fer un test per veri¯carque efectivament T segueix una llei exponencial de valor mitjµa 200 hores per a un dispositiudeterminat (el valor mitjµa es pot haver obtingut per estimaci¶o). Observem una mostra de 150dispositius i obtenim els resultats segÄuents:

0 · T < 100 100 · T < 200 200 · T < 300 300 · T47 40 35 28

6.5 Problemes 117

Les probabilitats corresponents en la hipµotesi que la distribuci¶o ¶es efectivament Exp(0;005) s¶on

0 · T < 100 100 · T < 200 200 · T < 300 300 · T0,39 0,24 0,15 0,22

D'aqu¶³ que l'estad¶³stic del test Â2 de Pearson ¶es x2 = 11:56. A les taules de la Â2 amb 3 grausde llibertat trobem que P (X2 > d) = 0;05, correspon a d = 7:8, de manera que si el nivell designi¯caci¶o del test ¶es ® = 0;05, rebutjarem la hipµotesi que T segueix aquesta llei exponencial.2

6.5 Problemes

1. En l'anµalisi de la probabilitat d'error d'un canal s'examina una mostra de 10 bits i esdetecten 3 errors. Sobre la base d'aquesta mostra un test rebutja la hipµotesi que laprobabilitat d'error ¶es 0;1. Quina ¶es la probabilitat que el test hagi donat una decisi¶oequivocada.

2. Es tira una moneda 100 vegades i s'obtenen 68 cares. Proveu la hipµotesi que la moneda¶es equilibrada, amb un nivell de signi¯caci¶o ® = 0;05.

3. Si preneu la darrera xifra dels n¶umeros de telµefon que apareixen a la pµagina d'una guiatelµefonica, ¶es raonable suposar que totes les xifres del 0 al 9 apareixen amb la mateixafreqÄuµencia. Obteniu una mostra de mida 200 i proveu la hipµotesi que la distribuci¶o de laxifra 9 segueix una llei de Bernouilli de probabilitat p = 1=10.

4. El temps T entre l'arribada de dos usuaris consecutius a un servidor es distribueix, per auna mostra, d'acord amb la taula segÄuent:

0 < T · 1 1 < T · 2 2 < T · 3 3 < T40 29 15 8

Proveu la hipµotesi que T segueix una llei exponencial amb un nivell de signi¯caci¶o ® = 0;1.

5. En un examen, les puntuacions dels estudiants van seguir la distribuci¶o segÄuent:

Puntuaci¶o [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10]Nombre d'estudiants 8 19 33 30 10

Proveu la hipµotesi que la distribuci¶o segueix una llei normal, amb un nivell de signi¯caci¶o® = 0;05.

APµENDIX 119

Apµendix

En aquest apµendix hi trobareu les taules de les distribucions normal, t de Student i Â2.

TAULA DE LA DISTRIBUCIÓ NORMAL

P(0 < X < x)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0 0.003989 0.007978 0.011966 0.015953 0.019939 0.023922 0.027903 0.031881 0.035856

0.1 0.039828 0.043795 0.047758 0.051717 0.05567 0.059618 0.063559 0.067495 0.071424 0.075345

0.2 0.07926 0.083166 0.087064 0.090954 0.094835 0.098706 0.102568 0.10642 0.110261 0.114092

0.3 0.117911 0.12172 0.125516 0.1293 0.133072 0.136831 0.140576 0.144309 0.148027 0.151732

0.4 0.155422 0.159097 0.162757 0.166402 0.170031 0.173645 0.177242 0.180822 0.184386 0.187933

0.5 0.191462 0.194974 0.198468 0.201944 0.205401 0.20884 0.21226 0.215661 0.219043 0.222405

0.6 0.225747 0.229069 0.232371 0.235653 0.238914 0.242154 0.245373 0.248571 0.251748 0.254903

0.7 0.258036 0.261148 0.264237 0.267305 0.27035 0.273373 0.276373 0.27935 0.282305 0.285236

0.8 0.288145 0.29103 0.293892 0.296731 0.299546 0.302337 0.305105 0.30785 0.31057 0.313267

0.9 0.31594 0.318589 0.321214 0.323814 0.326391 0.328944 0.331472 0.333977 0.336457 0.338913

1 0.341345 0.343752 0.346136 0.348495 0.35083 0.353141 0.355428 0.35769 0.359929 0.362143

1.1 0.364334 0.3665 0.368643 0.370762 0.372857 0.374928 0.376976 0.379 0.381 0.382977

1.2 0.38493 0.386861 0.388768 0.390651 0.392512 0.39435 0.396165 0.397958 0.399727 0.401475

1.3 0.4032 0.404902 0.406582 0.408241 0.409877 0.411492 0.413085 0.414657 0.416207 0.417736

1.4 0.419243 0.42073 0.422196 0.423641 0.425066 0.426471 0.427855 0.429219 0.430563 0.431888

1.5 0.433193 0.434478 0.435745 0.436992 0.43822 0.439429 0.44062 0.441792 0.442947 0.444083

1.6 0.445201 0.446301 0.447384 0.448449 0.449497 0.450529 0.451543 0.45254 0.453521 0.454486

1.7 0.455435 0.456367 0.457284 0.458185 0.45907 0.459941 0.460796 0.461636 0.462462 0.463273

1.8 0.46407 0.464852 0.46562 0.466375 0.467116 0.467843 0.468557 0.469258 0.469946 0.470621

1.9 0.471283 0.471933 0.472571 0.473197 0.47381 0.474412 0.475002 0.475581 0.476148 0.476705

2 0.47725 0.477784 0.478308 0.478822 0.479325 0.479818 0.480301 0.480774 0.481237 0.481691

2.1 0.482136 0.482571 0.482997 0.483414 0.483823 0.484222 0.484614 0.484997 0.485371 0.485738

2.2 0.486097 0.486447 0.486791 0.487126 0.487455 0.487776 0.488089 0.488396 0.488696 0.488989

2.3 0.489276 0.489556 0.48983 0.490097 0.490358 0.490613 0.490863 0.491106 0.491344 0.491576

2.4 0.491802 0.492024 0.49224 0.492451 0.492656 0.492857 0.493053 0.493244 0.493431 0.493613

2.5 0.49379 0.493963 0.494132 0.494297 0.494457 0.494614 0.494766 0.494915 0.49506 0.495201

2.6 0.495339 0.495473 0.495604 0.495731 0.495855 0.495975 0.496093 0.496207 0.496319 0.496427

2.7 0.496533 0.496636 0.496736 0.496833 0.496928 0.49702 0.49711 0.497197 0.497282 0.497365

2.8 0.497445 0.497523 0.497599 0.497673 0.497744 0.497814 0.497882 0.497948 0.498012 0.498074

2.9 0.498134 0.498193 0.49825 0.498305 0.498359 0.498411 0.498462 0.498511 0.498559 0.498605

3 0.49865 0.498694 0.498736 0.498777 0.498817 0.498856 0.498893 0.49893 0.498965 0.498999

3.1 0.499032 0.499065 0.499096 0.499126 0.499155 0.499184 0.499211 0.499238 0.499264 0.499289

3.2 0.499313 0.499336 0.499359 0.499381 0.499402 0.499423 0.499443 0.499462 0.499481 0.499499

3.3 0.499517 0.499534 0.49955 0.499566 0.499581 0.499596 0.49961 0.499624 0.499638 0.499651

3.4 0.499663 0.499675 0.499687 0.499698 0.499709 0.49972 0.49973 0.49974 0.499749 0.499758

3.5 0.499767 0.499776 0.499784 0.499792 0.4998 0.499807 0.499815 0.499822 0.499828 0.499835

3.6 0.499841 0.499847 0.499853 0.499858 0.499864 0.499869 0.499874 0.499879 0.499883 0.499888

3.7 0.499892 0.499896 0.4999 0.499904 0.499908 0.499912 0.499915 0.499918 0.499922 0.499925

3.8 0.499928 0.499931 0.499933 0.499936 0.499938 0.499941 0.499943 0.499946 0.499948 0.49995

3.9 0.499952 0.499954 0.499956 0.499958 0.499959 0.499961 0.499963 0.499964 0.499966 0.499967

4 0.499968 0.49997 0.499971 0.499972 0.499973 0.499974 0.499975 0.499976 0.499977 0.499978

4.1 0.499979 0.49998 0.499981 0.499982 0.499983 0.499983 0.499984 0.499985 0.499985 0.499986

4.2 0.499987 0.499987 0.499988 0.499988 0.499989 0.499989 0.49999 0.49999 0.499991 0.499991

4.3 0.499991 0.499992 0.499992 0.499993 0.499993 0.499993 0.499993 0.499994 0.499994 0.499994

4.4 0.499995 0.499995 0.499995 0.499995 0.499996 0.499996 0.499996 0.499996 0.499996 0.499996

4.5 0.499997 0.499997 0.499997 0.499997 0.499997 0.499997 0.499997 0.499998 0.499998 0.499998

4.6 0.499998 0.499998 0.499998 0.499998 0.499998 0.499998 0.499998 0.499998 0.499999 0.499999

4.7 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999

4.8 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999

4.9 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

TAULA DE LA t DE STUDENT

P(-t < T < t)

g.ll. 80% 90% 95% 99% 99.50%

1 3.078 6.314 12.706 63.657 127.3212 1.8856 2.92 4.3027 9.9248 14.0893 1.63774 2.35336 3.18245 5.84091 7.453324 1.53321 2.13185 2.77645 4.60409 5.597575 1.47588 2.01505 2.57058 4.03214 4.773346 1.43976 1.94318 2.44691 3.70743 4.316837 1.41492 1.89458 2.36462 3.49948 4.029348 1.39682 1.85955 2.306 3.35539 3.832529 1.38303 1.83311 2.26216 3.24984 3.68966

10 1.37218 1.81246 2.22814 3.16927 3.5814111 1.36343 1.79588 2.20099 3.10581 3.4966112 1.35622 1.78229 2.17881 3.05454 3.4284413 1.35017 1.77093 2.16037 3.01228 3.3724714 1.34503 1.76131 2.14479 2.97684 3.325715 1.34061 1.75305 2.13145 2.94671 3.2860416 1.33676 1.74588 2.11991 2.92078 3.2519917 1.33338 1.73961 2.10982 2.89823 3.2224518 1.33039 1.73406 2.10092 2.87844 3.1965719 1.32773 1.72913 2.09302 2.86093 3.1737220 1.32534 1.72472 2.08596 2.84534 3.153421 1.32319 1.72074 2.07961 2.83136 3.1352122 1.32124 1.71714 2.07387 2.81876 3.1188223 1.31946 1.71387 2.06866 2.80734 3.10424 1.31784 1.71088 2.0639 2.79694 3.0905125 1.31635 1.70814 2.05954 2.78744 3.078230 1.31042 1.69726 2.04227 2.75 3.029840 1.30308 1.68385 2.02108 2.70446 2.9711750 1.29871 1.67591 2.00856 2.67779 2.9369660 1.29582 1.67065 2.0003 2.66028 2.9145580 1.29222 1.66412 1.99006 2.63869 2.88697

100 1.29007 1.66023 1.98397 2.62589 2.87065120 1.28865 1.65765 1.97993 2.61742 2.85986 inf 1.28155 1.64485 1.95996 2.57583 2.80703

TAULA DE LA CHI-QUADRAT

P(X < x)

g.ll. 0.99 0.95 0.9 0.8 0.5 0.2 0.1 0.05 0.01

1 6.6349 3.84146 2.70554 1.64237 0.45494 0.06418 0.01579 0.00393 0.000162 9.21034 5.99146 4.60517 3.21888 1.38629 0.44629 0.21072 0.10259 0.02013 11.3449 7.8147 6.2514 4.6416 2.366 1.0052 0.5844 0.3518 0.11484 13.2767 9.4877 7.7794 5.9886 3.3567 1.6488 1.0636 0.7107 0.29715 15.0863 11.0705 9.2364 7.2893 4.3515 2.3425 1.6103 1.1455 0.55436 16.8119 12.5916 10.6446 8.5581 5.3481 3.0701 2.2041 1.6354 0.87217 18.4753 14.0671 12.017 9.8032 6.3458 3.8223 2.8331 2.1673 1.2398 20.0902 15.5073 13.3616 11.0301 7.3441 4.5936 3.4895 2.7326 1.64659 21.666 16.919 14.6837 12.2421 8.3428 5.3801 4.1682 3.3251 2.0879

10 23.2093 18.307 15.9872 13.442 9.3418 6.1791 4.8652 3.9403 2.558211 24.725 19.6751 17.275 14.6314 10.341 6.9887 5.5778 4.5748 3.053512 26.217 21.0261 18.5493 15.812 11.3403 7.8073 6.3038 5.226 3.570613 27.6882 22.362 19.8119 16.9848 12.3398 8.6339 7.0415 5.8919 4.106914 29.1412 23.6848 21.0641 18.1508 13.3393 9.4673 7.7895 6.5706 4.660415 30.5779 24.9958 22.3071 19.3107 14.3389 10.307 8.5468 7.2609 5.229316 31.9999 26.2962 23.5418 20.4651 15.3385 11.1521 9.3122 7.9616 5.812217 33.4087 27.5871 24.769 21.6146 16.3382 12.0023 10.0852 8.6718 6.407818 34.8053 28.8693 25.9894 22.7595 17.3379 12.857 10.8649 9.3905 7.014919 36.1909 30.1435 27.2036 23.9004 18.3377 13.7158 11.6509 10.117 7.632720 37.5662 31.4104 28.412 25.0375 19.3374 14.5784 12.4426 10.8508 8.260421 38.9322 32.6706 29.6151 26.1711 20.3372 15.4446 13.2396 11.5913 8.897222 40.2894 33.9244 30.8133 27.3015 21.337 16.314 14.0415 12.338 9.542523 41.6384 35.1725 32.0069 28.4288 22.3369 17.1865 14.848 13.0905 10.195724 42.9798 36.415 33.1962 29.5533 23.3367 18.0618 15.6587 13.8484 10.856425 44.3141 37.6525 34.3816 30.6752 24.3366 18.9398 16.4734 14.6114 11.52426 45.6417 38.8851 35.5632 31.7946 25.3365 19.8202 17.2919 15.3792 12.198127 46.9629 40.1133 36.7412 32.9117 26.3363 20.703 18.1139 16.1514 12.878528 48.2782 41.3371 37.9159 34.0266 27.3362 21.588 18.9392 16.9279 13.564729 49.5879 42.557 39.0875 35.1394 28.3361 22.4751 19.7677 17.7084 14.256530 50.8922 43.773 40.256 36.2502 29.336 23.3641 20.5992 18.4927 14.953531 52.1914 44.9853 41.4217 37.3591 30.3359 24.2551 21.4336 19.2806 15.655532 53.4858 46.1943 42.5847 38.4663 31.3359 25.1478 22.2706 20.0719 16.362233 54.7755 47.3999 43.7452 39.5718 32.3358 26.0422 23.1102 20.8665 17.073534 56.0609 48.6024 44.9032 40.6756 33.3357 26.9383 23.9523 21.6643 17.789135 57.3421 49.8018 46.0588 41.778 34.3356 27.8359 24.7967 22.465 18.508936 58.6192 50.9985 47.2122 42.8788 35.3356 28.735 25.6433 23.2686 19.232737 59.8925 52.1923 48.3634 43.9782 36.3355 29.6355 26.4921 24.0749 19.960238 61.1621 53.3835 49.5126 45.0763 37.3355 30.5373 27.343 24.8839 20.691439 62.4281 54.5722 50.6598 46.173 38.3354 31.4405 28.1958 25.6954 21.426240 63.6907 55.7585 51.8051 47.2685 39.3353 32.345 29.0505 26.5093 22.1643

[eBook] Edicions UPC - Probabilitat i a - Catala

Documents

Transcript of [eBook] Edicions UPC - Probabilitat i a - Catala