8/4/2019 EB_U3_PR_UROL

1/9

stadstica bsicaidad 3. Medidas de tendencia central y dispersin

tividad 7: Problemas

Problemas con medidas de tendencia

central y dispersin

Instruccin: Realiza lo siguiente para cada problema.

Elabora las tablas de frecuencias correspondientes para obtener las medidas de

tendencia central y dispersin.

Medias de tendencia central y dispersin por frecuencias simples, para el problema

1.

Medidas de tendencia central y dispersin por intervalos para el problema 2.

1. Un profesor de educacin fsica desea hacer un estudio sobre el desempeo de sus

alumnos(as) en la prueba de atletismo de 100 metros planos. Seleccion una muestra de

20 alumnos(as) y registr los tiempos que stos marcaron. Los tiempos, en segundos,

registrados fueron:

18.71, 21.41, 20.72, 28.1, 19.29, 22.43, 20.17, 23.71, 19.44, 20.55, 18.92, 20.33, 23.00,

22.85, 19.25, 21.77, 22.11, 19.77, 18.04, 21.12.

MEDIA ARITMTICA

Como se trata de una muestra, para calcular la media utilizaremos la frmula:

Como la frecuencia es la misma para todos los datos fi= 1 entonces la media ser igual a lasumatoria de todos los datos de i=1 hasta i=n entre el nmero total de datos n

frecuencia

18.04 1

18.71 118.92 1

19.25 1

19.29 1

FORMUL

A PARA

LA MODA

19.44 1

19.77 1

Educacin Superior Abierta y a Distancia Primer cuatrimestre 1

8/4/2019 EB_U3_PR_UROL

2/9

stadstica bsicaidad 3. Medidas de tendencia central y dispersin

tividad 7: Problemas

20.17 1

20.33 1

20.55 1

20.72 1 MODA = 21.0835

21.1 1

21.41 1

21.77 1

22.11 1

22.43 1

22.85 1

23 1

23.71 1

28.1 1

421.67

MEDIANA

Para la mediana se toma el valor que divide a la serie de datos a la mitad, pero como el totalde datos es par, entonces buscamos y promediamos los valores del centro:

1 18.04

2 18.71

3 18.92

4 19.25

5 19.296 19.44

7 19.77

8 20.17

9 20.33

10 20.55

11 20.72

12 21.1

13 21.41

14 21.77

15 22.1116 22.43

17 22.85

18 23

19 23.71

20 28.1

20.55+20.72/2=41.27 Me=41.27/2 Por lo tanto: Me=20.635

Educacin Superior Abierta y a Distancia Primer cuatrimestre 2

8/4/2019 EB_U3_PR_UROL

3/9

stadstica bsicaidad 3. Medidas de tendencia central y dispersin

tividad 7: Problemas

MODA

Como en la tabla de frecuencias todos los valores de la distribucin de datos tienen igualnmero de frecuencia, se dice que no hay moda.

PROBLEMA 1. MEDIDAS DE DISPERCIN

RECORRIDO

El recorrido no es otra cosa ms que el rango del grupo de datos que tenemos. Esto es:

28.01-18.04=9.97

Re = 9.97

VARIANZA

La frmula para calcular la varianza es:

VARIANZA

5.198371

32

Para nuestra muestra donde la media aritmtica es: 21.0835

18.04

18.71

18.92

19.25

19.29

19.44

19.77

20.17

20.33

Educacin Superior Abierta y a Distancia Primer cuatrimestre 3

8/4/2019 EB_U3_PR_UROL

4/9

stadstica bsicaidad 3. Medidas de tendencia central y dispersin

tividad 7: Problemas

20.55

20.72

21.1

21.41

21.77

22.11

22.43

22.85

23

23.71

28.1

Calculemos primero la sumatoria:

Entonces tenemos:

la varianza es 11.13 aprox.

DESVIACIN TPICA

La desviacin tpica la calculamos como el cuadrado de la varianza:

En nuestro caso se trata de una muestra:

como nuestra vairanza es igual a 11.13 elevamos al cuadrado esta cantidad para calcular ladesviacin tpica:

[pic] redondeando a 2 cifras la desviacin estandar es: 3.34

2. Un ambientalista est haciendo una investigacin sobre la cantidad de basura que segenera en su colonia. Para ello registr cuntos kilos de basura recolect el camin

durante veinte das consecutivos en su calle. Los resultados fueron:

227, 122, 172, 228, 217, 225, 182, 216, 229, 221, 192, 142, 152, 211, 192, 182, 203,

205, 187, 195.

PROBLEMA 2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Educacin Superior Abierta y a Distancia Primer cuatrimestre 4

8/4/2019 EB_U3_PR_UROL

5/9

stadstica bsicaidad 3. Medidas de tendencia central y dispersin

tividad 7: Problemas

Ordenamos los datos de menor a mayor:

122, 142, 152, 172, 182, 182, 187, 192, 192, 195, 203, 205, 211, 216, 217, 221, 225, 227,228, 229

Para elaborar la tabla por intervalos, procedemos a construir tales intervalos:

Primero calculamos el rango: R=229-122=107

Ahora tomaremos en cuenta la construccin de 10 intervalos, por lo que la amplitud deestos es: A= Rango/Nmero de intervalos

A=107/10=10.7

Entonces los intervalos quedaran:

121- 131 176- 186132- 142 187- 197

143- 153 198- 208

154- 164 209- 219

165- 175 220- 230

Elaboramos ahora la tabla de intervalos con su respectiva frecuencia y marca de clase

|INTERVALOS |FRECUENCIA |FRECUENCIA ACUMULADA |MARCA DE CLASE |

|121- 131 |1 | 1 | 126 |

|132- 142 |1 | 2 | 137 |

|143- 153 |1 | 3 | 148 |

|154- 164 |0 | 3 | 159 |

|165- 175 |1 | 4 | 170 |

|176- 186 |2 | 6 | 181 |

|187- 197 |4 | 10 | 192 |

|198- 208 |2 | 12 | 203 |

|209- 219 |3 | 15 | 214 |

|220- 230 |5 | 20 | 225 |

Educacin Superior Abierta y a Distancia Primer cuatrimestre 5

8/4/2019 EB_U3_PR_UROL

6/9

stadstica bsicaidad 3. Medidas de tendencia central y dispersin

tividad 7: Problemas

MEDIA

Para calcular la media en datos agrupados por intervalos utilizamos:

donde Mci es la marca de clase y fi la frecuencia de cada intervalo.

Entonces: el valor de multiplicar cada marca de clase por la frecuencia de cada intervalo

desde i hasta n, nos arroja los siguientes resultados:|INTERVALOS |(Mci)(fi) | |121- 131 |126 |

|132- 142 |137 | |143- 153 |148 |

|154- 164 |0 | |165- 175 |170 |

|176- 186 |362 | |187- 197 |768 |

|198- 208 |406 | |209- 219 |642 |

|220- 230 |1125 | 3884Siguiendo la frmula hacemos la sumatoria de los resultados anteriores y la dividimos entreel nmero total de datos de la muestra:

3884/20= 194.2 que es nuestra media aritmtica para datos agrupados por intervalos.

MEDIANA

La extensin para el clculo de la mediana en el caso de datos agrupados es realiza a

continuacin:

Educacin Superior Abierta y a Distancia Primer cuatrimestre 6

8/4/2019 EB_U3_PR_UROL

7/9

stadstica bsicaidad 3. Medidas de tendencia central y dispersin

tividad 7: Problemas

Donde:

Md= Mediana.

Li = Lmite inferior o frontera inferior de donde se encuentra la mediana, la forma de

calcularlo es a travs de encontrar la posicin . En ocasiones en el intervalo donde se

encuentra la mediana se conoce como intervalo mediano.

n = Nmero de observaciones o frecuencia total.

= frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano.

= Frecuencia del intervalo mediano.

A = Amplitud del intervalo en el que se encuentra la mediana .

Para encontrar el intervalo que contiene la mediana se hace dividiendo n/2 y viendo en cualclase qued este acumulado.

20/2=10 ; el intervalo es el 187- 197

Li= lmite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana; Li=187

Fi-1= frecuencia acumulada anterior al intervalo de la mediana; Fi-1=6

fi= frecuencia absoluta del intervalo de la mediana; fi=4

ai= amplitud del intervalo de la mediana: ai=10

Sustituyendo en la frmula nos queda: Por lo tanto; Me = 197

MODAPara calcular la moda utilizamos la siguiente frmula:

Primero localizamos la clase modal con la mayor densidad de frecuencia absoluta:

Educacin Superior Abierta y a Distancia Primer cuatrimestre 7

8/4/2019 EB_U3_PR_UROL

8/9

stadstica bsicaidad 3. Medidas de tendencia central y dispersin

tividad 7: Problemas

Este es el intervalo 220- 230 pues su frecuencia absoluta es 5.

Li= lmite inferior del intervalo modal; Li= 220

fi= frecuencia del dato modal; fi=5fi-1= la frecuencia del intervalo anterior al intervalo modal; fi-1=3

fi+1= la frecuencia del intervalo siguiente al intervalo modal; como el intervalo modal es elltimo, el intervalo que le seguira tiene frecuencia igual a 0, entonces; fi+1= 0

ai= es la amplitud del intervalo; ai= 10

Sustituimos estos valores en la ecuacin y nos queda:

Por lo tanto; Mo= 222.857 es la moda.

PROBLEMA 2. MEDIDAS DE DISPERCIN

RECORRIDO

El recorrido lo calculamos como el rango de nuestra serie de datos:

229-122=107

VARIANZA

Para calcular la varianza en este problema utilizaremos:

Donde = es nuestra media aritmtica = 194.2

Utilicemos una tabla para calcular los parmetros de la sumatoria de nuestra formula:

|INTERVALOS |fi |Mc ] |

|121- 131 |1 |126 |-68.2 | 4651.24 | 4651.24 |

|143- 153 |1 |148 |-46.2 | 2134.44 | 2134.44 |

|165- 175 |1 |170 |-24.2 | 585.64 | 585.64 |

|187- 197 |4 |192 | -2.2 | 4.84 | 19.36 |

Educacin Superior Abierta y a Distancia Primer cuatrimestre 8

8/4/2019 EB_U3_PR_UROL

9/9

stadstica bsicaidad 3. Medidas de tendencia central y dispersin

tividad 7: Problemas

|209- 219 |3 |214 |19.8 | 392.04 | 1176.12 |

Calculamos la sumatoria sumando los datos de la ltima columna de nuestra tabla:

=17085.2Entonces la varianza es: = 854.26

DESVIACIN TPICA

La desviacin tpica est dada por la raz de la varianza=

[entonces:854.26[Redondeando a 2 decimales: s = 29.23 = desviacin tpica.

Educacin Superior Abierta y a Distancia Primer cuatrimestre 9