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Aplicaciones de ecuaciones diferencialescon matematicas de bachillerato. Vol I

Dr. Daniel Gomez Garca

Universidad Autonoma de Coahuila

23 de agosto de 2012

TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS CONFORME A LA LEY

UNIVERSIDAD AUT ONOMA DE COAHUILACentro de Investigacion en Matematicas AplicadasBlvd. V. Carranza y Gonzalez Lobo s/nSaltillo, Coahuila.

CONSEJO ESTATAL DE CIENCIA Y TECNOLOGIAPaseo de las Arboledas s/nCol. ChapultepecSaltillo, Coahuila.

PortadaArq. Ana Berenice Gomez de Leon, 2012.

HECHO E IMPRESO EN M EXICO

ISBN: 9786077584445

Para:

Rebeca

Daniel y Mara JoseMara Ines y Daniela

Roco Maricela y Sergio Arturo

Ana Berenice

Presentacion

Desde su fundacion el Centro de Investigacion en Matematicas Aplicadas, se planteo como uno de susobjetivos llevar las matematicas a todos los ambitos de la sociedad, particularmente al medio academico yal sector productivo. Se pretende investigarlas, aplicarlas, ensenarlas y difundirlas.

Dentro de estos lineamientos el CIMA publica hoy este libro del Dr. Daniel Gomez Garca, que se suma aotros publicados por el; es una aportacion que contribuye a mejorar la ensenanza de las matematicas a travesde aplicaciones practicas a problemas que se presentan en variadas disciplinas y actividades productivas.

Se presentan aspectos historicos, elementos teoricos, algunos algoritmos para el calculo de races, as co-mo aplicaciones practicas.

El libro tiene un enfoque didactico, con explicaciones que lo hacen accesible al estudiante; se centraen la aplicacion y resolucion de ecuaciones polinomicas: aplicar dichas ecuaciones a problemas practicos,calcular sus races o soluciones como valores de respuesta al problema en cuestion.

Es un esfuerzo de integracion de experiencias academicas en varias instituciones universitarias que sig-nifican toda una vida dedicada a la academia universitaria, con resultados y productos que le han valido paraobtener premios y distinciones.

La vasta experiencia del Dr. Gomez como maestro por decadas en la Facultad de Ingeniera (a la queesta adscrito actualmente), la Maestra de Matematica Educativa y el propio CIMA de la UA de C; y laUniversidad Autonoma Agraria Antonio Narro, entre otras, le permiten ofrecernos sus conocimientos de esaamplia practica con alumnos y resolucion de problemas.

La publicacion es posible gracias al apoyo del FONCYT del Consejo Estatal de Ciencia y Tecnologaen el marco del proyecto para disenar un programa de posgrado en matematicas aplicadas.

Francisco Javier Cepeda Flores

Director

Centro de Investigacion en Matematicas Aplicadas

A manera de prologo

El autor ha estado hurgando en sus lejanos recuerdos de la epoca estudiantil, recordar es vivir ylas reminiscencias de gratsimas comunicaciones con sus inolvidables maestros universitarios: Dr. MarianoNarvaez Gonzalez, Ing. Benjamn Cantu Cavazos, Profr. Eutimio Alberto Cuellar Gorbar y Profr. GilbertoDuque Medina, le condujeron a desarrollar el contenido de este libro; en lo que el considera temas selectos1.Por lo menos, y dado que esto le representa una indudable fuente de diversion, espera sinceramente com-partirla con sus hijos. Desea que estas lecturas endilgadas sin autorizacion, pero apoyadas en la intencionpaternal mas noble, les proporcione una componente de esparcimiento, que les permita afrontar con alegralas expectativas de una vida que se avizora difcil, con retos y desafos complicados, y que para enfrentarloshan de nutrirse del espritu indomable del hombre.

Hijos:

Ojala que esto representela fascinacion y el encantoque una generacion deseaheredar a la siguiente...!

As iniciaron estos trabajos con una naturaleza familiar y domestica, pero posteriormente algunosamigos sugirieron exponerlo a la luz publica. Con esa advertencia y a guisa de disculpa, diremos que loabigarrado del material y lo diverso de su contenido se explica por la motivacion inicial manifestada arriba.

Este no es un libro de texto, ni tampoco una coleccion de acertijos, y ni siquiera esta disenado para leersesecuencialmente, porque no contiene un conjunto de temas organizados sistematicamente. Es un material noconvencional, y que por esas extranas travesuras de la vida ahora se ofrece a un publico mas amplio.

Por lo anterior, deseo que el lector me brinde su comprension e indulgencia, e incluso un guino compla-ciente; eso s, a cambio de mis mejores deseos de divertirlo, y si cabe, de ilustrarlo levemente.

Daniel Gomez Garca

1Son temas: (a) Que hubiera querido ver en sus textos. (b) O que mas le llamaron la atencion.(c) O que considera importantes. (d) O que simplemente, quiso compartir con respeto.

Indice general

1. Aplicaciones diversas 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Crecimiento ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Cultivo de levadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Desintegracion radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Decaimiento radiactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2. Desintegracion del radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3. Datacion de fosiles con carbono 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Ley de absorcion, de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Inversion del azucar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Ley de Newton, del enfriamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Apuesta en el cafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8. Problema de Agnew, de la barredora de nieve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.9. Fision nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.10. Ley de accion de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.11. Disolucion de azufre con benzol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.12. Problemas geometricos. Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.13. Problemas geometricos. Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.14. Curvas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.15. Ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.16. Reflexion de espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.17. Contaminacion de un lago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.18. Reposicion del aire en la galera de una mina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.19. Ley de Boyle-Mariotte para los gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

VIII INDICE GENERAL

1.20. Altura de la atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.21. Presion atmosferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.22. Ley de Fick de una celula en solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Dinamica 292.1. Movimiento uniformemente acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2. Fin del dramaturgo Esquilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Movimiento parabolico de un proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1. Alcance maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.2. El punto mas alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.3. Serie Mundial: Mickey Mantle contra Sandy Koufax . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.4. Parabola de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.5. Alcance de un proyectil en un plano inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4. Saltador de cuerda elastica bungee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5. Movimiento de un paracadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6. Aceleracion central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6.1. Rotor en un parque de diversiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6.2. Superficie parabolica de un lquido que gira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7. Aproximacion del movimiento de planetas y satelites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.8. Aproximacion de la tercera ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.9. Distancia de la Tierra a la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.10. Por que la Luna nos muestra siempre la misma cara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.11. Valor de g en la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.12. Apuntando a la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.13. Telescopio Hubble en orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.14. Tiempo de revolucion mnimo de un satelite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.15. Periodo de un satelite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.16. Satelite en orbita geosincronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.17. Masas de la Tierra, del Sol y de Marte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.18. Velocidad de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. Flujo permanente y cohetes 553.1. Principio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2. Flujo permanente de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.1. Avion de helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

INDICE GENERAL IX

3.2.2. Suspension de un helicoptero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.3. Turbina Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.4. Desviacion de un fluido en una paleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.5. Turbina en una central hidroelectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.6. Salto hidraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3. Movimiento de un cohete y propulsion a chorro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.1. Cohete en el espacio libre vaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.2. Cohete en movimiento radial, sin fuerza adicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.3. Cohete bajo la accion de un campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3.4. Propulsion a chorro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3.5. Nave experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3.6. Cohete de dos etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4. Curvas de remolque y de persecucion 774.1. El insecto en el minutero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2. Tractriz: curva de remolque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.1. Movimiento de una boya en aguas mansas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2.2. Derivadas de la tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.3. Familia de curvas ortogonales a la tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2.4. Ecuaciones parametricas de la tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.5. Evoluta de la tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.6. Radio de curvatura de la tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.7. Volumen de revolucion de la tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.8. Superficie de la seudoesfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.9. El gudermaniano y la tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3. Curvas de persecucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3.1. Ecuacion diferencial de la persecucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3.2. Problema de Frank Ayres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3.3. Velocidades diferentes de presa y depredador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3.4. El perro en pos del amo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3.5. Velocidades iguales de presa y depredador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.4. Persecucion en espiral de cuatro insectos en una mesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5. Electricidad e Hidraulica 995.1. Circuitos electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

X INDICE GENERAL

5.2. Circuito RL en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2.1. Fuerza electromotriz constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2.2. Fuerza electromotriz senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3. Circuito RC en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.1. Fuerza electromotriz constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3.2. Fuerza electromotriz senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3.3. Resistor variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.4. Marcapasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.5. Placas de un condensador variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.6. Movimiento de cerveza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.7. Expresiones utiles en el estudio de drenaje y canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.7.1. Areas superficiales de esferas, cilindros y conos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.7.2. Permetro mojado y circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.7.3. Area transversal de un cilindro horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.7.4. Superficie del casquete esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.7.5. Volumen encerrado en el casquete esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.8. Descarga de agua de un tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.8.1. Descarga en una pila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.8.2. Tanque esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.8.3. Tanque cilndrico vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.8.4. Dos tanques cilndricos verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.8.5. Tanque cilndrico horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.8.6. Tanque conico invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.8.7. Tanque conico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.9. Clepsidra, reloj de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.9.1. Diseno de una clepsidra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6. Cables y vigas en la ingeniera 1296.1. Cables suspendidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.1.1. Formulas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2. Cable parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.3. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.3.1. De otra forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.3.2. Notas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.4. Ecuacion natural de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

INDICE GENERAL XI

6.5. Deformaciones de vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.5.1. Viga en voladizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.5.2. Viga simplemente apoyada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7. Deformaciones elasticas de vigas 1497.1. Deformaciones por metodos geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.2. Fuerzas internas en vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.2.1. Criterio de signos para acciones internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.2.2. Fuerzas internas de tres vigas comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.3. Deformaciones en vigas por metodos geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.3.1. Significados de las derivadas sucesivas en vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.3.2. Viga simplemente apoyada con carga senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.4. Derivadas a integrales y viceversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.4.1. Deformaciones de tres vigas comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.5. Deformaciones en vigas complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.5.1. Deformaciones en una viga telescopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.5.2. Deformaciones en una viga de seccion variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8. Movimiento armonico simple 1738.1. Movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.2. Movimiento armonico simple de una manivela de gua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.3. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.4. El resorte vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.5. Movimiento libre del resorte, velocidad inicial nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788.6. Movimiento libre del resorte, velocidad inicial no nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.7. Senos y cosenos con angulos de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.8. Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958.9. Peso de una boya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.10. Movimiento hacia el origen con fuerza proporcional a la distancia . . . . . . . . . . . . . . 1988.11. Movimiento en un diametro terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.12. Viaje al centro de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.13. Sube y baja lquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.14. El problema del isocronismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.15. Metodos energeticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.15.1. Principio de conservacion de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

XII INDICE GENERAL

8.16. Saltador de cuerda elastica bungee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2048.17. Movimiento en una rampa cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

9. Leyes de Newton y de Kepler 2079.1. Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

9.1.1. Ley de Gravitacion Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089.1.2. Leyes del movimiento, de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089.1.3. Breve semblanza de Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.1.4. Verificacion de las hipotesis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9.2. Resultados matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.3. Demostracion de la ley de Gravitacion Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9.3.1. Segunda ley de Kepler y las fuerzas centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.3.2. Primera ley de Kepler y los movimientos elpticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2209.3.3. Tercera ley de Kepler y la constante de proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . 221

9.4. Demostracion de las leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.4.1. Segunda ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.4.2. Ecuacion diferencial del movimiento bajo una fuerza central . . . . . . . . . . . . . 2239.4.3. Primera ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.4.4. Tercera ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9.5. Movimiento con ley del cubo inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2259.6. Trayectorias segun las excentricidades y velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9.6.1. Trayectoria segun la excentricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.6.2. Expresiones para las velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.7. Transferencia de orbitas Hohmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.7.1. Satelite de comunicaciones en orbita geosincronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

. Bibliografa 235

Indice de figuras

1.1. Familia de curvas exponenciales crecientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Cultivo de levadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Familia de curvas exponenciales decrecientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Isotopo radiactivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Grafica del carbono 14 en fosiles organicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Temperatura de la esfera segun la ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7. Ley de accion de masas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8. Disolucion de azufre con benzol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9. Hiperbolas equilateras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10. Campanas de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11. Hiperbolas equilateras con triangulos isosceles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.12. Curvas ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.13. Reflexion en un espejo curvo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.14. Contaminacion de un lago. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.15. Contenido de acido carbonico en la galera de la mina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.16. Ley de Boyle-Mariotte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.17. Presion atmosferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1. Movimiento de un proyectil en un plano horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Cuadrangular de Mickey Mantle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3. Parabola de seguridad con diferentes angulos de disparo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Disparo de un proyectil en un plano inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5. Velocidad de descenso desde que se abre el paracadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6. Aceleracion: cada del paracaidista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7. Movimiento uniforme en una circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

XIV INDICE DE FIGURAS

2.8. Superficie parabolica en un lquido que gira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.9. Esferas de atraccion de la Tierra y de la Luna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.10. Velocidad de escape. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1. Principio de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2. Volumen de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3. Estela de aire formada por las aspas de un helicoptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4. Turbina Pelton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5. Fluido desviado por una paleta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.6. Alabe de tazon de doble cuenco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.7. Fuerzas y velocidades del salto hidraulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.8. Movimiento lineal de un cohete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.9. Cohete bajo la accion de la gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1. Movimiento de un insecto en el minutero de un reloj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2. Tractriz o curva de remolque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3. Tractriz: curva ortogonal a una familia de crculos de igual radio c. . . . . . . . . . . . . . . 814.4. La tractriz como evoluta de la catenaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5. Gudermaniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.6. Curva de persecucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.7. Problema de Ayres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.8. Persecucion del guepardo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.9. Curva de persecucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.10. Persecucion con igualdad de velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.11. Persecucion en la mesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.12. Tangente y diferencial de arco en coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.13. Trayectorias espirales de los insectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.14. Composicion de los movimientos de cuatro insectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1. Circuito RL en serie con E(t) = E0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2. Circuito RL en serie con E(t) = E0 sent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.3. Circuito RL en serie con E(t) = E0 sent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.4. Circuito RL en serie con dos fuerzas electromotrices constantes. . . . . . . . . . . . . . . . 1055.5. Carga de un circuito RC en serie con fem constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.6. Corriente de un circuito RC en serie con fem constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.7. Circuito RC en serie con E(t) = E0 sent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

INDICE DE FIGURAS XV

5.8. Circuito simplificado de un marcapasos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.9. Voltaje en un marcapasos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.10. Placas de un condensador variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.11. Contenido de alcohol en el tanque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.12. Porcentaje de alcohol en el tanque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.13. Relaciones de figuras circulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.14. Descarga de una pila. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.15. Descarga de una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.16. Descarga de un cilindro vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.17. Descarga de un cilindro horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.18. Descarga de un cono invertido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.19. Descarga de un cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.20. Diseno de una clepsidra dado rmax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.21. Diseno de una clepsidra dado r0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.1. Forma del cable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.2. Cable parabolico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.3. Claro central del puente suspendido George Washington. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.4. Problema de las dos parabolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.5. Tubera suspendida entre dos edificios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.6. Fuerzas en un cable sometido a su peso uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.7. Catenaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.8. Esfuerzo-deformacion en una viga elastica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.9. Deformaciones en una viga en voladizo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.10. Deformaciones en una viga simplemente apoyada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.1. Viga simple con carga concentrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.2. Viga simple con carga uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.3. Viga simple con carga distribuida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.4. Viga simple con carga senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.5. Viga telescopica de acero de seccion circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.6. Viga rectangular con acartelamiento recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.1. Yugo esces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.2. Resorte lineal en vibracion libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788.3. Ejemplo de movimiento armonico simple de un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

XVI INDICE DE FIGURAS

8.4. Ejemplo de movimiento armonico simple de un resorte con velocidad inicial. . . . . . . . . 1848.5. Senos y cosenos con angulos de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.6. Problema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.7. Problema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.8. Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.9. Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.10. Problema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.11. Pendulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958.12. Atraccion de m en la direccion radial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.13. Oscilador lquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.14. Movimiento de un grave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.15. Masa m en movimiento sobre una cicloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

9.1. Conica en coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.2. Crculo en coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2149.3. Elipse en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2149.4. Parabola en coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.5. Hiperbola en coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.6. Semiejes de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.7. El gato sobre la escalera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.8. Segunda ley de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.9. Conservacion del momentum angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.10. Orbitas de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Captulo 1Aplicaciones diversas

1.1. Introduccion

Se sabe que las funciones exponenciales juegan un papel importante en muchas areas de las matematicaspuras y aplicadas. As por ejemplo, un buen numero de fenomenos se explican como razones de cambioinstantaneas que son directamente (inversamente) proporcionales a una de las variables implicadas. Cuan-do se traducen a lenguaje matematico resultan ecuaciones diferenciales1 ordinarias, que en los casos massimples toman la forma generica:

dy

dt= k1 y,

dy

dt= k2 y (1.1)

siendo k1, k2 > 0 constantes de proporcionalidad. Separando las variables e integrando entre lmites tambien pueden ser integrales indefinidas, y considerando que en t = 0, y = y0, se obtienen sendasexpresiones: y

y0

dy

y= k1

t0

dt

yy0

dy

y= k2

t0

dt

[ ln y ]yy0

= k1 [ t ]t0 [ ln y ]

yy0

= k2 [ t ]t0

ln y ln y0 = k1 (t 0) ln y ln y0 = k2 (t 0)

lny

y0= k1 t ln

y

y0= k2 t

se obtienen2y(t) = y0 e

k1 t. y(t) = y0 ek2 t. (1.2)

Las funciones exponenciales (1.2) son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales (1.1).La solucion general o primitiva de una ecuacion diferencial es el conjunto de todas las soluciones.

Una solucion particular de una ecuacion diferencial es una solucion cualquiera, y se obtiene para un punto1Una ecuacion diferencial es una que contiene derivadas o diferenciales.

Una ecuacion diferencial que contiene una sola variable independiente, se denomina ecuacion diferencial ordinaria.El orden de una ecuacion diferencial es el de la derivada mas elevada que aparezca en ella.

2Para A,B > 0, e = 2.718 281 828 459 046, se usan las propiedades de los logaritmos: ln e = 1, ln 1 = 0lnAB = lnA+ lnB, ln

A

B= lnA lnB, lnAn = n lnA, 1

nlogA = logA1/n, elnx = x, e lnx =

1

x.

2 Aplicaciones diversas

en particular de la solucion general. La denominacion de primitiva de una solucion general se debe a quederivandola o diferenciandola se obtiene la ecuacion diferencial, es decir, ella origina la ecuacion diferencial.Por ejemplo, derivando (1.2) con respecto a t, se obtienen (1.1):

dy

dt= k1 y0 e

k1 t = k1 y,dy

dt= k2 y0 ek2 t = k2 y.

Con procesos de sustitucion de la primitiva y sus derivadas en la ecuacion diferencial, se verifica su solucioncuando producen expresiones equivalentes al lado derecho de la ecuacion diferencial.

Las ecuaciones diferenciales que se presentaran aqu son ordinarias casi exclusivamente de pri-mer orden y primer grado y es deseo del autor que su esfuerzo para simplificar el tratamiento,le permita a un estudiante de bachillerato entender su contenido.

Ojala el lector se divierta tanto como el autor: Buen provecho!.

1.2. Crecimiento ideal

El economista ingles Thomas Malthus propuso su modelo de crecimiento demografico en 1798: la razonde cambio de una poblacion es proporcional a la poblacion misma, siempre y cuando no haya factores querestrinjan su crecimiento.

Sea P la poblacion en un tiempo t, y P0 la poblacion inicial en t = 0.La solucion de la ecuacion diferencial, de variables separables, se detalla a continuacion:

dP

dt= k P,

PP0

dP

P= k

t0

dt, [lnP ]PP0 = [k t]t0

lnP lnP0 = k (t 0), ln PP0

= k t,P

P0= ek t

P = P0 ek t (1.3)

En la Fig. 1.1 se presentan estas curvas exponenciales crecientes.

1.2.1. Cultivo de levadura

En un cultivo de levadura la cantidad de fermento activo aumenta con una rapidez proporcional a lacantidad presente. Si una cantidad se duplica en una hora, mostrar de dos formas diferentes que al cabo detres horas habra ocho veces la cantidad inicial.

Si y = y0 en el tiempo t = 0, y y = 2y0 cuando t = 1 hora; se desea encontrar y(t).

dy

dt= k y,

2y0y0

dy

y= k

10

dt, [ln y]2y0y0

= [k t]10, ln

2y0y0

= k, k = ln2

1= ln 2

yy0

dy

y= ln 2

t0

dt, lny

y0= ln 2 t, y = y0 e

t ln 2 = y0 eln 2t = y0 2

t, y(t) = 2t y0.

Una expresion exponencial creciente del tipo (1.3), con una grafica similar a la Fig. 1.1.Aplicando la formula obtenida:

y(3) = 23 y0 = 8 y0.

1.2 Crecimiento ideal 3

Figura 1.1: Familia de curvas exponenciales crecientes: P = P0 ek t, (k > 0) es una constante de creci-miento.

Ahora utilizando un razonamiento muy simple. Si al inicio hay y0, y se duplica cada hora, al termino de unahora habra 2y0, que a su vez se duplica en una hora mas (a las dos horas habra 4y0), y esta se duplica en otrahora, por lo que a las tres horas habra 8y0.

Este comportamiento es tpico de las funciones exponenciales. En este caso, dentro de los lmites deeste fenomeno en estudio si una cantidad dada esta presenta a una hora dada, a la hora siguiente habra eldoble y a las dos horas el cuadruple, y as sucesivamente. Igualmente, una hora antes habra la mitad y doshoras antes habra la cuarta parte, y as sucesivamente.

t 0 h 1 h 2 h 3 hy y0 2 y0 4 y0 8 y0

Por ejemplo, para este fenomeno, se calculany(0.5) = 20.5 y0 =

2 y0, y(3.25) = 2

3.25 y0 = 842 y0.

y con ellos se forman facilmente las tablas de resultados siguientes:

t (h) 0.5 1.5 2.5 3.5y (y0)

2 2

2 4

2 8

2

t (h) 0.25 1.25 2.25 3.25y (y0)

42 2 4

2 4 4

2 8 4

2

La Fig. 1.2 muestra este comportamiento graficamente.

Para las condiciones de este problema, se observa que dado cualesquier punto de la curvaexponencial creciente (t1, y1):Por cada hora de avance su duplica el valor de la levadura. y(t1 + 1) = 2 y1Por cada hora de retroceso se reduce a la mitad el valor de la levadura. y(t1 1) = 0.5 y1.En una curva exponencial decreciente ocurre exactamente lo contrario.


Figura 1.2: Cultivo de levadura.

1.3. Desintegracion radiactiva

La intensidad o velocidad de desintegracion de una sustancia radiactiva es proporcional, en cualquierinstante, a la cantidad de sustancia que se encuentre presente.

Sea y la cantidad de sustancia presente en un tiempo t, y sea y0 la cantidad inicial (t = 0). Del enunciadosurge la ecuacion diferencial de variables separables dy

dt= k y, la cual enseguida se resuelve completa-

mente con fines ilustrativos:

dy

dt= k y,

yy0

dy

y= k

t0

dt, [ln y]yy0

= [k t]t0

ln y ln y0 = k (t 0), ln yy0

= k t, yy0

= ek t

y = y0 ek t. (1.4)

Las sustancias radiactivas no se desintegran, solo cambian de forma.El comportamiento real de las sustancias radiactivas corresponde a procesos discretos. Susgraficas aunque escalonadas, se aproximan bien a curvas exponenciales como (1.4).Cada elemento radiactivo es un miembro de esa familia de curvas exponenciales decrecientes,Fig. 1.3. cuyas ordenadas tienden a cero al aumentar los valores de las abscisas.

1.3 Desintegracion radiactiva 5

Figura 1.3: Familia de curvas exponenciales decrecientes: P = P0 ek t, (k < 0) es una constante dedecaimiento o declinacion.

1.3.1. Decaimiento radiactivo

Un cierto isotopo radiactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente y encualquier tiempo t y tiene una vida media de una hora. Si a las tres horas hay un gramo, demostrar de dosformas diferentes que inicialmente haba 8 gramos.

Si y = y0 en el tiempo t = 0, y y = 12y0 cuando t = 1 hora; se desea encontrar y(t).

dy

dt= k y,

12y0

y0

dy

y= k

10

dt, [ln y]12y0

y0= [k t]

10, ln

12y0

y0= k, k = ln

1

2= ln 2

yy0

dy

y= ln 2

t0

dt, lny

y0= ln 2 t, y = y0 et ln 2 = y0 eln 2

t

= y0 2t, y(t) = 2t y0.

Una expresion exponencial decreciente del tipo (1.4), con una grafica similar a la Fig. 1.3.Aplicando la formula obtenida:

y(3) = 23 y0 = 1 g, y0 = 8 g, y = 2t (8) = 2t (2)3, y(t) = 2(3t).

Ahora utilizando un razonamiento muy simple. Si a las tres horas hay 1 g, y se reduce a la mitad cada hora,y cada hora antes se duplica, entonces a las dos horas habra 2 g; que a su vez se duplica una hora antes (a laprimera hora habra 4 g), y esta se duplica una hora antes, por lo que al inicio habra 8 g.

Este comportamiento es tpico de las funciones exponenciales. En este caso, dentro de los lmites deeste fenomeno en estudio si una cantidad dada esta presenta a una hora dada, a la hora siguiente habra lamitad y a las dos horas habra la cuarta parte, y as sucesivamente. Igualmente, una hora antes habra el dobley dos horas antes habra el cuadruple, y as sucesivamente.

t 0 h 1 h 2 h 3 hy 8 g 4 g 2 g 1 g


Por ejemplo, para este fenomeno, se calculany(0.5) = 2(30.5) = 4

2 g, y(3.25) = 2(33.25) = 0.5 4

2 g.

y con ellos se forman facilmente las tablas de resultados siguientes:

t (h) 0.5 1.5 2.5 3.5y (g) 4

2 2

2

2 0.5

2

t (h) 0.25 1.25 2.25 3.25y (g) 4 4

2 2 4

2 4

2 0.5 4

2

La Fig. 1.4 muestra este comportamiento graficamente.

Figura 1.4: Isotopo radiactivo.

Para las condiciones de este problema, se observa que dado cualesquier punto de la curvaexponencial decreciente (t2, y2):Por cada hora de avance se reduce a la mitad el valor de la levadura. y(t2 + 1) = 0.5 y2Por cada hora de retroceso se duplica el valor de la levadura. y(t2 1) = 2 y2.En una curva exponencial creciente ocurre exactamente lo contrario.

1.3.2. Desintegracion del radio

El radio es una sustancia radiactiva, que en 12 anos desaparece el 0.5%.Para calcular la constante de proporcionalidad k, usaremos esta informacion en (1.4):y = y0 e

k t, 0.995 y0 = y0 ek (12), ln 0.995 = ln ek (12) = k(12) ln e = k (12) (1) = k (12)

k = ln 0.99512

= 0.0004177.

1.3 Desintegracion radiactiva 7

As, la ecuacion que rige la desintegracion del radio es

y = y0 e0.0004177 t.

1. Que porcentaje desaparecera en 1 000 anos?En 1 000 anos desaparecera

y0 y0 e0.0004177(1000) = 0.3414 y0el 34.14% de la sustancia inicial.

2. Cual es el periodo de semidesintegracion, o vida media del radio?

0.5 y0 = y0 e0.0004177 t, ln 0.5 = 0.0004177 t, t = ln 0.50.0004177 = 1 659 anos.

El radio va disminuyendo atomo por atomo en forma discontinua. No obstante, los resultadosobtenidos en forma continua corresponden a la realidad cuando se tienen cantidades de radiorelativamente grandes. No es posible aplicar el procedimiento mostrado a un solo atomo deradio.

1.3.3. Datacion de fosiles con carbono 14

El isotopo carbono 14 vida media aproximada de 5 600 anos se produce en la atmosfera por laaccion de la radiacion cosmica sobre el nitrogeno. El cociente de la cantidad de C-14 y la cantidad decarbono ordinario presente en la atmosfera es una constante. Cuando un ser vivo muere, cesa la absorcionde C-14. De esta manera, si se compara la proporcion de C-14 que hay en un fosil con la proporcion constanteencontrada en la atmosfera, se puede hacer una determinacion aproximada de su edad.

Usando la vida media en (1.4):

y = y0 ek t, 0.5 y0 = y0 e

k (5 600), ln 0.5 = k(5 600), k = ln 0.55 600

y = yo eln 0.55 600

t = y0 eln(0.5)t/5 600 = y0 (0.5)

t/5 600 = y0(21

)t/5 600la desintegracion del carbono 14, Fig. 1.5, es:

y = 2t/5 600 y0.

En la Fig 1.5, del tipo exponencial decreciente (1.3), se incluye el punto de la vida media.Observe que para antiguedades superiores a los 40 mil anos la cantidad remanente de car-bono 14 es muy pequena, lo que dificulta su medicion.Las pruebas son destructivas por lo que el avance del tema esta fuertemente relacionado conla posibilidad de registrar y cuantificar efectivamente muestras cada vez mas pequenas delmaterial en estudio.

Si p = yy0

es el carbono 14 remanente en un fosil, entonces

p = 2t/5 600, ln p = t5 600

ln 2


Figura 1.5: Grafica del carbono 14 en fosiles organicos.

t(p) =5 600 ln p

ln 2, p =

y

y0(1.5)

una formula para obtener la antiguedad de fosiles mediante carbono 14, a partir de la cantidad remanentedel mismo.

1. En las cavernas de Lascaux en Francia, se encontro que algunas muestras haban disminuido su con-tenido de C-14, hasta el 14.5% del contenido inicial. En que tiempo estuvieron habitadas?

estuvieron habitadas hace t = 5 600 ln pln 2

=5 600 ln 0.145

ln 2= 15 600 anos.

2. Entre 1960 y 1967, el arqueologo noruego Helge Ingstad excavo en varios sitios sobre la costa nortede Terranova. En estos lugares se encontraron utensilios escandinavos antiguos. Al analizar el carbonque haba en utensilios de cocina se encontro que el carbono 14 remanente era el 88.6%. En que fechaestuvo ocupada esta colonia vikinga en Terranova?

estuvo ocupada hace t = 5 600 ln pln 2

=5 600 ln 0.886

ln 2= 978 anos.

Esta fecha coincide con los datos de la leyenda groenlandesa sobre los viajes de Leif Eiriksson y otrosa Vinland.

1.4 Ley de absorcion, de Lambert 9

El qumico norteamericano Willard Libby diseno este metodo alrededor de 1950, que tieneun rango de aplicacion hasta de 100 000 anos. Por su trabajo, gano el premio Nobel deQumica en 1960.Actualmente se usan tambien otras tecnicas isotopicas a partir de potasio 40 y argon 40, parahacer dataciones de varios millones de anos. Otros metodos no isotopicos se basan en elempleo de aminoacidos.Usando otras sustancias radiactivas se descubrio la falsedad de pinturas apocrifas realizadaspor el notable falsificador holandes H. A. Van Meegeren. Disgustado por la falta de reconoci-miento de los crticos, los puso en ridculo cuando dieron por autenticas pinturas suyas quese vendieron como si fuesen de los grandes maestros holandeses del siglo XVII: seis de JanVermeer y dos de Hoogs. El 29 de mayo de 1945 fue arrestado y el 12 de julio del mismo anosorprendio al mundo al declararar que eran obras suyas. Estando en prision murio el 30 dediciembre de 1947.

1.4. Ley de absorcion, de Lambert

La absorcion de luz en una capa transparente muy delgada es proporcional al espesor de la capa y a lacantidad de luz que incide sobre la misma. Establecer lo anterior en terminos de una ecuacion diferencial yresolverla. Si

A = cantidad de luz incidentedA = luz absorbidadx = espesor

entonces,

dA = k Adx, dAA

= k dx, AA0

dA

A= k

x0

dx, [lnA]AA0

= [k x]x0

lnA lnA0 = k (x 0), ln AA0

= k x, AA0

= ek x, A = A0 ek x.

Una expresion exponencial decreciente del tipo (1.4), con una grafica similar a la Fig. 1.3.

1.5. Inversion del azucar

Los experimentos demuestran que la rapidez de inversion del azucar de cana en solucion diluida esproporcional a la concentracion y(t) del azucar que se encuentra inalterada.

Si la concentracion es 1/100 en el instante t = 0, y 1/250 cuando t = 5 horas; hallar y(t).

dy

dt= k y,

1/2501/100

dy

y= k

50

dt, [ln y]1/2501/100 = [k t]

50, ln

1/250

1/100= 5k, k =

1

5ln

2

5= 0.1832

y1/100

dy

y= 0.1832

t0

dt, [ln y]y1/100 = 0.1832 t, ln

y

0.01= 0.1832 t, y = 0.01 e0.1832 t.

Una ecuacion exponencial decreciente del tipo (1.4) con una grafica similar a la Fig. 1.3.


1.6. Ley de Newton, del enfriamiento

Se ha comprobado que la razon de cambio de la temperatura T de un cuerpo es proporcional a la diferen-cia entre T y la temperatura del medio circundante. Si se calienta una esfera metalica hasta una temperaturade 100 grados centgrados; y a continuacion, en el instante t = 0, se sumerge en agua que se mantiene a unatemperatura de 30 grados centgrados, y luego de que transcurrieron 3 minutos, la temperatura de la esferase reduce a 70 grados centgrados. Encontrar en que tiempo la temperatura de la esfera es de 32 gradoscentgrados, T (t), y la temperatura luego de 34 minutos.

La formulacion matematica es:

dT

dt= k (T 30),

70100

dT

T 30 = k 30

dt, ln [T 30]70100 = [k t]30, ln70 30100 30 = k(3)

k = ln(4/7)3

= 0.1865386

La temperatura de 32 grados centgrados:

ln [T 30]32100 = [k t]t10 , ln32 30100 30 =

ln(4/7)

3t1, t1 =

3 ln(1/35)

ln(4/7)= 19 minutos.

La temperatura en cualquier tiempo:

ln [T 30]T100 = [k t]t0, lnT 3070

= 0.1865386 t, T 3070

= e0.1865386 t

T = 30 + 70 e0.1865386 t = 30 + 70 exp(t

3ln

4

t

)= 30 + 70 exp

(ln(4/7)t/3

)= 30 + 70

(4

7

)t/3.

T (t) = 30 + 70

(7

4

)t/3

30 + 70 e0.1865386 t. Fig. 1.6.

Temperatura a los 34 minutos:

T (23) = 30 + 70 e0.1865386 (23) = 30.12 grados centgrados.

La ecuacion de Newton es una primera aproximacion, y sin embargo proporciona una buenaidea del fenomeno del enfriamiento.Si el medio enfriador circundante es suficientemente amplio, su temperatura es una asntota ala que se aproxima el valor de la temperatura de la sustancia o cuerpo que se esta enfriando.

1.7. Apuesta en el cafe

El profesor y el alumno piden cafe caliente y reciben inmediatamente dos tazas a la misma temperaturay deciden agregarle porciones de crema que se mantiene a la temperatura ambiental del restaurante. En elmomento de recibirlo el profesor agrega una porcion de crema al cafe pero no se lo toma hasta cinco minutosdespues. El alumno espera cinco minutos y luego anade su porcion de crema y comienza a tomarse su cafe.Como cada uno piensa que el cafe que se toma a los cinco minutos es el mas caliente, y no se ponen deacuerdo, deciden apostar. Quien gano?

1.8 Problema de Agnew, de la barredora de nieve 11

Figura 1.6: Temperatura de la esfera segun la ley de Newton.

Vamos a suponer ciertas temperaturas para hacer calculos con la ley de Newton del enfriamiento. Si lacrema y el restaurante se mantienen a 21 C y el cafe se los sirven a 80 C, entonces el cafe del profesorreduce grados su temperatura Tp al agregarle la crema en el tiempo t = 0, es decir:

dTpdt

= k (Tp 21), Tp = 21 + C ekt, Tp(0) = 80 = 21 + C ek(0) = 21 + C, C = 59

Tp(t) = 21 + (59 ) ekt, Tp(5) = 21 + (59 ) e5k, Tp5 = 21 + (59 ) e5k

Por otra parte, el cafe del alumno:

dTadt

= k (Ta 21), Ta = 21 + c ekt, Ta(0) = 80 = 21 + c ek(0) = 21 + c, c = 59

Ta(t) = 21 + 59 ekt, Ta(5) = 21 + 59 e

5k, Ta5 = 21 + 59 e5k

el cafe del alumno reduce su temperatura grados al agregarle la crema en t = 5. Ahora, como

Tp5 Ta5 =[21 + (59 ) e5k] [21 + 59 e5k ] = [1 e5k] > 0.

El profesor lo tomo mas caliente.

1.8. Problema de Agnew, de la barredora de nieve

En el texto de Ralph Palmer Agnew Differential Equations (McGraw-Hill, New York, 1960) aparece elproblema de la barredora de nieve: una manana empezo a nevar y la nieve siguio cayendo continuamente


durante todo el da. Al medioda, una barredora de nieve comenza a limpiar una carretera a un ritmo cons-tante. La barredora de nieve limpio dos millas la primera hora y 1 milla la segunda hora, cuando comenzo anevar?

Como la cantidad de nieve K que se barre en una hora es constante, el producto de la profundidadinstantanea h(t) de la nieve por la anchura constante b millas de barrido por el desplazamiento lineal de labarredora x millas es constante. As, en un instante cualquiera la rapidez lineal es inversamente proporcionala la profundidad de la nieve; la cual a su vez es directamente proporcional al tiempo en que ha estado nevando(suponiendo que la intensidad de la nevada es constante).

K = bhdx

dt

Si se toma como origen del tiempo el momento en que se inicia la nevada t = 0, y H es la tasa constante enmillas por hora en que se incrementa h,

K = bhdx

dt, K = b (Ht)

dx

dt,

dx

dt=k

t,

x0

dx = k

t0

dt

t

siendo k una constante de proporcionalidad. En t horas despues del medioda la barredora de nieve avanzauna distancia de x millas de carretera; para establecer la relacion entre las distancias barridas, sea T elnumero de horas transcurridas desde que se inicia la nevada hasta el medioda:

T+1T

kdt

t= 2

T+2T+1

kdt

t

la constante de proporcionalidad se cancela ya que aparece como factor en ambos miembros de la ecuacion.Integrando

ln tT+1T

= 2 ln tT+2T+1

, lnT + 1

T= 2 ln

T + 2

T + 1= ln

(T + 2

T + 1

)2,

T + 1

T=

(T + 2

T + 1

)2

expandiendo, se obtiene la ecuacion cuadratica

T 2 + T 1 = 0

con soluciones T = 1.6180, 0.6180, y como solo tiene sentido la raz positiva, empezo a nevar 0.6180 horasantes del medioda (37.08 minutos), aproximadamente a las 11 : 23 de la manana (11 : 23 A.M.)

Curiosamente, las soluciones de esta ecuacion cuadratica involucran a la seccion aurea:

5 + 1

2= ,

5 12

= 1 = 1.

1.9. Fision nuclear

Debido a la fision nuclear, los neutrones de una pila atomica aumentan a una intensidad proporcional alnumero de neutrones presentes en cada instante.

Si inicialmente hay N0 neutrones, expresar la cantidad de neutrones en cualquier tiempo t.

dN

dt= k N,

NN0

dN

N= k

t0

dt, [lnN ]NN0

= [k t]t0,

1.10 Ley de accion de masas 13

lnN

N0= k t,

N

N0= ek t, N = N0 e

k t.

Una expresion exponencial creciente del tipo (1.3), con una grafica similar a la Fig. 1.1.

1.10. Ley de accion de masas

Dos sustancias qumicas A y B se combinan para formar otro compuesto. Supongase que a gramosde sustancia A se combinan con b gramos de sustancia B. Si hay M partes de A y N partes de B en elcompuesto formado, entonces las cantidades remanentes de las sustancias A y B en un instante cualquierason, respectivamente,

a MM +N

X, y b NM +N

X.

Si la rapidez de la reaccion es proporcional a las cantidades de A y B remanentes, es decir

dX

dt= k1

[a M

M +NX

][b N

M +NX

]

= k1 [

M

M +N

{aM +N

MX

}][

N

M +N

{bM +N

NX

}]

= k1 MN(M +N)2

{aM +N

MX

}{bM +N

NX

}

o seadX

dt= k (X)( X), = a (M +N)

M, =

b (M +N)

N(1.6)

Los qumicos denominan Ley de accion de masas a las reacciones que se describen con esa ecuacion. Pararesolverla, se separan las variables y se integra:

dX

( X)( X) = kdt

utilizando fracciones parciales

1

(X)( X) =A

X +B

X =(A+ B) (A+B)X

( X)( X)al igualar coeficientes, y resolver por cualquier metodo

1 = A+ B A = 1 A =

1

0 = AB B = A B = 1

y la integral es ahora [

1

1

X +1

1

X]dX = k

dt

1

ln |X | 1

ln | X | = k t

1

lnX X

= k t+ C


la constante de integracion se calcula con la condicion inicial X(0) = 0:

1

ln = k(0) + C, C = 1 ln

y la integral se transforma sucesivamente:

1

lnX X

= k t+ 1 ln , 1

{ln

X X ln

}

= k t

ln

XX

= ( )k t, ln(X)( X)

= ( )k t, ln( X)( X)

= ( )k t(X)( X) = e

()k t, X = e()k tXe()k t, [1 e()k t

]=[ e()k t

]X

con solucionX(t) =

[1 e()k t]

e() k t , =a (M +N)

M, =

b (M +N)

M(1.7)

k > 0, ya que X(t) es una funcion creciente, y sin perdida de generalidad, se supone que < 0, y elvalor lmite es

lmt

X(t) = lmt

[1 e()k t]

e()k t =

=

Nota: Cuando > , el lmite es .

Ejemplo

Dos sustancias qumicas A y B se combinan para formar un compuesto C. La reaccion que resulta entrelas dos sustancias qumicas es tal que por cada gramo (g) de A se usan 4 g de B. Se observa que se forman30 g del compuesto C en 10 minutos. Determine la cantidad de C en un instante cualquiera si la rapidez dela reaccion es proporcional a las cantidades de A y B restantes y si en un principio hay 50 g de A y 32 g deB. Que cantidad de compuesto C hay despues de 15 min? Interprete la solucion cuando t.

Se tiene la informacion

a = 50, M = 1, =50(1 + 4)

1= 250, X(0) = 0

b = 320, N = 4, =32 (1 + 4)

4= 40, X(10) = 30

Observe que a diferencia de (1.7) > , y se tendran que hacer ajustes

X(t) =250(40)

[1 e(25040) k t]

40 250e210k t =1000

[1 e210k t]

4 25e210k t

la constante de proporcionalidad se calcula con X(10) = 30

30 =1000

[1 e210k (10)]

4 25e210k (10) , 120 750 e2100k = 1000 1000 e2100k, 250 e2100k = 880

e2100k =880

250= 3.52, 2100k = ln 3.52, 210k =

ln 3.52

10= 0.1258.

1.11 Disolucion de azufre con benzol 15

Figura 1.7: Ley de accion de masas.

Ajuste de la solucion

X(t) =1000

[1 e210k t]

4 25 e210k t =1000

[1 e0.1258t]

4 25 e0.1258t (e0.1258 te0.1258 t

)=

1000[1 e0.1258 t]

25 4 e0.1258 t

La cantidad de compuesto C a los 15 minutos

X(15) =1 000

[1 e0.1258 (15)]

25 4e0.1258 (15) =1 000

[1 e1.887]

25 4 e1.887 = 34.78 g

La cantidad de compuesto C para un valor grande de tiempo

lmt

X(t) = lmt

1 000[1 e0.1258 t]

25 4 e0.1258 t = 40 g

observese que el lmite es , y no como en (1.7). Finalmente quedaran

a MM +N

X = 50 11 + 4

40 = 42 g de sustancia A

b NM +N

X = 32 41 + 4

40 = 0 g de sustancia B.

1.11. Disolucion de azufre con benzol

Un material inerte esta mezclado con azufre y se desea retirar este disolviendolo con benzol.


El material contien 6 gramos de azufre y se usan 100 gramos de benzol. que si se saturaran disolveran11 gramos de azufre. Suponiendo que luego de 50 minutos se disuelve la mitad del azufre que contiene elmaterial, que cantidad se habra quitado en 6 horas?

Sea x el numero de gramos de azufre no disuelto en el tiempo t. En la solucion habra a = 6 x100

. Como

se requieren 11 gramos para saturar 100 gramos de benzol s = 11100

= 0.11. La rapidez de disolucion esdx

dt= k x (s a) = k x

(0.11 6 x

100

)=

k x

100(x+ 5). Usando fracciones parciales

1

x (x+ 5)=A

x+

B

x+ 5=

(A+ B)x+ 5A

x (x + 5)=

1/5

x 1/5x+ 5

AB = 0 B = 1/55A = 1 A = 1/5

1

5

36

[1

x 1x+ 5

]dx =

k

100

500

dt,

36

[1

x 1x+ 5

]dx =

k

20

500

dt, lnx

x+ 5

3

6

=k

20t

50

0

ln3

8 ln 6

11= 2.5 k, k = 0.4 ln

11

16= ln

(11

16

)0.4, ln

x

x+ 5

x

6

=0.4 ln

11

1620

t

t

0

lnx

x+ 5= ln

6

11+ln

(11

16

)t/50,

x

x+ 5=

6

11

(11

16

)t/50, x(t) =

30

(11

16

)t/50

11 6(11

16

)t/50 . Ver la Fig. 1.8.

Figura 1.8: Disolucion de azufre con benzol.

Azufre no disuelto a las tres horas: x(360) = 0.19 gramos.

1.12 Problemas geometricos. Tangentes 17

1.12. Problemas geometricos. Tangentes

Ejemplo 1

Encontrar las ecuaciones de las curvas tales que los segmentos de cada tangente comprendidos entre losejes de coordenadas queden divididos en dos partes iguales por el punto de tangencia.

Sea P (x, y) un punto sobre la curva y MN la tangente en ese punto. El enunciado del problema estableceque NP = PM . Entonces, de la figura, la pendiente es negativa, cuando las coordenadas son positivas:

dy

dx= ON

OM= 2y

2x= y

x,

dy

y=

dx

x, ln y = lnx+ ln c = ln c

x, x y = c.

Figura 1.9: Hiperbolas equilateras: NP = PM .

Las curvas buscadas son hiperbolas equilateras, con asntotas en los ejes de coordenadas, Fig. 1.9.

Ejemplo 2

Determinar las curvas tales que su pendiente en n puntos, es igual a menos el doble del producto de suscoordenadas.

Sean x, y las coordenadas del punto. Del enunciado del problema resulta una ecuacion diferencial, cuyodesarrollo produce:

dy

dx= 2xy,

dy

y= 2

x dx, ln y = x2 + c1, y = ex

2+c1 = ec1ex2

, y = c ex2

.

la solucion representa una familia de curvas de campana o tambien campanas de Gauss, de una gran im-portancia en Estadstica, en la funcion normal de probabilidades. En la Fig. 1.10 los valores de la constante


c corresponden a las ordenadas al origen.

Figura 1.10: Campanas de Gauss.

1.13. Problemas geometricos. Normales

Sabiendo que la normal en cada punto de una curva y la recta que une ese punto con el origen formanun triangulo isosceles cuya base esta en el eje de las x, hallar la ecuacion de la curva.

Sea P (x, y) un punto sobre la curva, PT la tangente y PN la normal a la curva en ese punto.El triangulo OPN es isosceles con angulos t iguales en O y N . El triangulo TPN es un triangulo

rectangulo, y por lo tanto, y t son angulos complementarios.

dy

dx= tan = cot t =

x

y,

y dy =

x dx,

y2

2=x2

2+ c1, y

2 x2 = c.

Las curvas son hiperbolas equilateras, Fig. 1.11.

1.14. Curvas ortogonales

Encontrar la ecuacion de la curva que corta a las parabolas

x2 = 4 p y (1.8)

en angulos rectos, para todos los valores del parametro p.

1.14 Curvas ortogonales 19

Figura 1.11: Hiperbolas equilateras, con triangulos isosceles: OPN .

Esas curvas se denominan trayectorias ortogonales del sistema de parabolas. Derivando (1.8) con respectoa x, se obtiene 2x = 4p dy

dx,

dy

dx=

x

2p, pero de (1.8) se obtiene p = x

2

4y, y colocada en la anterior:

dy

dx=

x

2p=

x

2 x2

4y

=2y

xque es la pendiente de la parabola en P (x, y) . Su recproca con signo cambiado,

es la pendiente de la curva ortogonal a ella:dy

dx= x

2y,

x dx = 2

y dy, x2 = 2y2 + c, x2 + 2y2 = c.

Esta familia de elipses y la familia de parabolas dada (1.8), son ortogonales entre s. (Fig. 1.12).

Figura 1.12: Curvas ortogonales.

Las trayectorias ortogonales juegan un papel muy importante en hidrodinamica y en conduccion delcalor.

Los meridianos de la Tierra son las trayectorias ortogonales de los paralelos.


Las trayectoria ortogonales a las curvas de nivel en un mapa son las pendientes mas pronunciadas.Los mapas con isobaras, o curvas de presion barometrica constante, tienen trayectorias ortogonales que

indican la direccion del viento desde las areas de baja presion hasta las areas de alta presion.Las lneas equipotenciales en electrostatica son ortogonales a las lneas de fuerza electrica.

1.15. Ecuaciones integrales

Encontrar la ecuacion de una curva tal que el area limitada por el eje de las abscisas x, un arco de lacurva, una ordenada fija, y una ordenada variable sea proporcional al arco comprendido entre esas ordenadas.

Recuerdese que la longitud de arco esta dada por xa

dx2 + dy2, mientras que el area se evalua con

la integral k xa

y dx. Sea PQ, un arco de la curva buscada, entonces del enunciado:

s = kA,

xa

dx2 + dy2 = k

xa

y dx,

xa

1 + (dy/dx)2 dx = k

xa

y dx (1.9a)

diferenciando3 con respecto a x1 +

(dy

dx

)2= k y

despejandody

dx=

k2y2 1 (1.9b)

separando variables y multiplicando por kk dyk2y2 1

=

k dx (1.9c)

ln[k y +

k2y2 1

]= k x+ ln c = ln(ek x c)

k y +k2y2 1 = cek x,

k2y2 1 = cek x k y, k2y2 1 = c2e2k x 2ck y ek x + k2y2

y =c2e2k x + 1

2c k ek x=

1

2k(c ek x +

1

cek x

)(1.9d)

con c = ec1/k1 , k =1

k1, y =

k12

(ec1/k1ex/k1 + ec1/k1ex/k1

)= k1

(e

x+c1k1 + e

x+c1k1

2

)

3Se puede suprimir el signo integral en

A =

xa

f(x) dx al transformar en dAdx

= f(x)

tambienA =

ax

f(x) dx al transformar en dAdx

= f(x).

La supresion de integrales por diferenciacion, as como la supresion de radicales, puede introducir soluciones extranas. La soluciondebe, pues, comprobarse por sustitucion en la ecuacion para verificar que cumpla las condiciones exigidas.

1.16 Reflexion de espejos 21

y = cosh

(x+ c1k1

)

que es la forma estandar de la catenaria.Si el divisor

k2y2 1 es nulo, el paso de (1.9b) a (1.9c) no se puede realizar. Veamos

k2y2 1 = 0

y =1

k(1.9e)

es una solucion, ya que al sustituir en (1.9a) produce la identidad x0

dx =

xa

dx.

La solucion completa esta formada por dos partes:1) La solucion general (1.9d) que representa una familia de curvas.2) La solucion (1.9e) que no contiene constantes arbitrarias.

En este caso las soluciones son distintas, pues (1.9e) no puede deducirse de (1.9d) dandole un valor definidoa c.

En muchos casos son iguales, y en otros no se obtiene una solucion al igualar el divisor a cero.

Al dividir una ecuacion diferencial entre un divisor que contiene la variable, existe la posibilidadde perder una solucion.

1.16. Reflexion de espejosEncuentre la forma de un espejo curvo tal que la luz de una fuente en el origen se refleje en un haz de

rayos paralelos al eje x, y viceversa.Parece obvio que el espejo tendra la forma de una superficie de revolucion generada al hacer girar una

curva APB en torno al eje x,Fig. 1.13.

Figura 1.13: Reflexion en un espejo curvo.


1. Los angulos y son iguales, por ser correspondientes.

2. De acuerdo a la ley de Snell, de la reflexion, los angulos y son iguales.

3. La suma de los angulos internos del triangulo CPO:

pi/2 = + + (pi/2 ), = + = + = 2

al extraer la tangente de ambos lados, y usar una identidad trigonometrica para el angulo doble

tan = tan 2 =2 tan

1 tan2 ,y

x=

2 dy/dx

1 (dy/dx)2 ,[1 (y)2] y = 2xy, y(y)2 + 2xy y = 0

resolviendo esta cuadratica para dy/dx, para preparar una ecuacion diferencial:

dy

dx=x

x2 + y2

y, x+ y

dy

dx=

x2 + y2, x dx+ y dy

x2 + y2= dx

sustituyendo el miembro del lado izquierdo por su significado4 e integrar y manipular las expresiones:

d(x2 + y2) =

dx,

x2 + y2 = x+c, x2+y2 = (x+c)2 = x2+2 c x+c2, y2 = 2 c x+c2

que es la ecuacion de una familia de parabolas horizontales con foco en el origen. El giro de la parabola entorno al eje x, proporciona un paraboloide de revolucion. Con frecuencia se demuestra en Calculo, que todaslas parabolas tienen la llamada propiedad focal.5 La conclusion en este ejemplo es la inversa: las parabolasson las unicas curvas que tienen esta propiedad.

Evidentemente, en este principio se basa un buen numero de aplicaciones: el telescopio de reflexion queinvento Newton como el de Monte Palomar, de 10 pies de diametro, y los radiotelescopios comoel de Arecibo, Puerto Rico, de 300 m de diametro; las antenas parabolicas, y los hornos solares que hanpermitido fundir sin escoria metales como el aluminio; as como muchos reflectores utilizados en lamparas,faros, radiocomunicaciones, etc.

4La diferencial total del radical:d (x2 + y2) =

x dx+ y dyx2 + y2

.

5Sin perdida de generalidad se encontrara la tangente en el punto P1(x1, y1) de la parabola y2 = 4px.

con geometra analtica m1 =y1

x1 p ; con calculo y2 = 4p x, 2yy = 4 p, y =

2p

y, m2 =

2p

y1

y sustituyendo en la formula tan (1 2) = m1 m21 +m1 m2 :

tan =

y1x1 p

2p

y1

1 +y1

x1 p 2p

y1

=y21 2p x1 + 2p2x1y1 p y1 + 2p y1 =

4p x1 2p x1 + 2p2x1 y1 + p y1

=2p (x1 + p)

y1(x1 + p)=

2p

y1

tan =

2p

y1 0

1 +2p

y1 0

=2p

y1, por lo tanto, = , que es lo que se quera demostrar.

1.17 Contaminacion de un lago 23

1.17. Contaminacion de un lago

Un lago que contiene un millon de metros cubicos de agua esta alimentado por corrientes, agua de lluviay agua pura a razon de 3 500 metros cubicos por da. Ademas, diariamente llega agua de desecho de unaplanta industrial recien construida a razon de 1 500 metros cubicos. El agua de desecho contiene el 2 % dematerias nocivas. Cuando el material nocivo en el lago alcance 0.5 % se producira un serio desequilibrioecologico. Esta amenazado el lago en un futuro cercano?

Se puede apreciar que:

Puesto que la cantidad de agua se mantiene constante, cada da entra y sale la misma cantidad,

3 500 + 1 500 = 5 000 metros cubicos.

Diariamente entran al lago el 2 % del agua de desecho, en forma de materias nocivas, es decir,

0.02(1 500) = 30 metros cubicos de materias nocivas.

Si y representa la cantidad de material nocivo en el tiempo t, (das), y se supone que se mezcla con elresto, entonces cada da salen del lago

5 000

1 000 000 y = y

200

El fenomeno se explica por la ecuacion diferencial lineal

dy

dt= 30 y

200.

Como esta ecuacion no es de variables separables, para resolverla se usara el cambio de variable:

y = uv,dy

dt= u

dv

dt+ v

du

dt

quedandoudv

dt+ v

du

dt= 30 u v

200, u

(dv

dt+

v

200

)+

(vdu

dt 30

)= 0

tomando cada sumando igual a cero, se resolveran dos ecuaciones diferenciales de variables separables

u

(dv

dt+

v

200

)= 0

dv

dt= v

200dv

v=

dt

200

ln v = t/200

v = et/200

vdu

dt 30 = 0

et/200du

dt= 30

du = 30 et/200 dt

du = 30(200)

et/200 (dt/200)

u = 6 000 et/200 + C

la solucion esy = u v = (6 000 et/200 + C) (et/200) = 6 000 + C et/200


y la constante de integracion se calcula con la condicion inicial, para t = 0, y = 0:

0 = 6 000 + C e0/200 = 6 000 + C, C = 6 000,finalmente:

y(t) = 6 000 (1 e0.005 t)cuya grafica se presenta en la Fig. 1.14.

La contaminacion grave ocurrira cuando

y = 0.5% de (1 000 000) = 0.005(1 000 000) = 5 000

es decir, para un tiempo de

5 000 = 6 000 (1 e0.005 t), e0.005 t = 16, 0.005 t = ln 1

6, t = 200 ln 1

6= 358 das

aproximadamente un ano.

Figura 1.14: Contaminacion de un lago.

En la Fig. 1.14, el punto crtico es el de la interseccion de la curva con la recta horizontal.

(358, 5 000).

1.18. Reposicion del aire en la galera de una mina

El aire de la galera de una mina con capacidad de diez mil metros cubicos, hasta contener 0.24 % envolumen de acido carbonico. Se dispone de un ventilador que suministra mil quinientos metros cubicos por

1.18 Reposicion del aire en la galera de una mina 25

minuto de aire del exterior. En cuanto tiempo se habra reducido el porcentaje de acido carbonico al 0.06 %,sabiendo que el aire del exterior contiene 0.04 % de dicho gas y considerando que el volumen de aire queentra es igual al volumen de aire que sale viciado?

Figura 1.15: Contenido de acido carbonico en la galera de la mina.

En el tiempo dt han entrado en la galera 1 500 m3 de aire y ha salido la misma cantidad. Sea p elporcentaje de acido carbonico que existe en la galera en el tiempo t (minutos). En los 1 500 dt m3 de aireviciado que salen, hay 1 500 p dt

100m3 de acido carbonico. En la misma cantidad de aire fresco que entra hay

1 500 0.04 dt100

m3 de acido carbonico. En el tiempo dt la cantidad de acido carbonico que existe en la galera

habra variado en 1 500 p dt 1 500 0.04 dt100

y el porcentaje de disminucion es

dp = 1 500 p dt 1 500 0.04 dt

10010 000

100 = 0.15 0.04 dt 0.15 p dt = (0.15 p 0.006) dt

separando variables e integrando

1

0.15

0.15 dp

0.15 p 0.006 = dt,

1

0.15ln (0.15 p 0.006) = lnC + ln et = lnC et

ln (0.15 p 0.006) = 0.15 lnC et = lnC e0.15 t, 0.15 p 0.006 = C e0.15 t

la constante de integracion se calcula sabiendo que p = 0.24 en t = 0:

C = e0.15 t (0.15 p 0.006) = e0 (0.15 (0.24) 0.006) = 0.03por tanto,

0.15 p 0.006 = 0.03 e0.15 t, p 0.04 = 0.2 e0.15 t

p(t) = 0.04 + 0.2 e0.15 t


El porcentaje de acido carbonico se ha reducido a 0.06 % en un tiempo de0.06 = 0.04 + 0.2 e0.15 t,

0.02

0.2= e0.15 t, ln 0.1 = 0.15 t, t = ln 0.10.15 = 15.35min.

La Fig. 1.15 representa graficamente la ecuacion p(t).Contiene los puntos (0, 0.24), (15.35, 0.06). La asntota horizontal se encuentra en p = 0.04.

1.19. Ley de Boyle-Mariotte para los gases ideales

Los experimentos demuestran que si se tiene un gas a baja presion p, y a temperatura constante, la razonde cambio del volumen V (p) es igual a V/p.

Resolver la ecuacion diferencial correspondiente.dV

dp= V

p,

dV

V=

dp

p, lnV = ln p+ ln c = ln c

p, V =

c

p, V p = c.

Esta es la ley establecida empricamente por Boyle6 en 1662; y por Mariotte7 en 1676.

Figura 1.16: Ley de Boyle-Mariotte.

La grafica de la ley de Boyle-Mariotte es una hiperbola equilatera, Fig. 1.16, con asntotas enlos ejes coordenados.

1.20. Altura de la atmosfera

Si el aire al moverse desde un nivel a otro, se dilata sin recibir o ceder calor, esto es, adiabaticamente, severifica

p = kn, n = 1.4

6Roberto Boyle (1627-1691), fsico ingles.7Edme Mariotte (1620-1684), fsico frances.

1.21 Presion atmosferica 27

en la que p es la presion, la densidad y k una constante. Si la densidad al nivel del mar es 1.28 kg/m3 yla presion es 1 kg/cm2, hallar la altura de la atmosfera.

Para calcular la constante de proporcionalidad, se evalua al nivel del mar:

p = k 1.4, k =p

1.4=

p01.40

, p =p0

1.4

1.40

La presion a cualquier nivel se debe al peso de la columna de aire. Si se pone el origen al nivel del mar,entonces a una altura y, una columna de seccion trasversal unitaria tendra una disminucion de presion iguala dy:

dy = dp = d(p0

1.4

1.40

)=

1.4 p0 0.4

1.40,

H0

dy = 1.4p01.40

00

0.6 d

[y]H0 =

1.4p00.4 1.40

[0.40

]00

= 1.4 p00.4 1.40

[0 0.40

], H =

3.75 p00

=3.75 (10 000 kg/m2)

1.28 kg/m3= 28 000m

altura de la atmosfera H = 28 000m = 28 km.

1.21. Presion atmosferica

Las observaciones demuestran que la razon de cambio de la presion atmosferica p con la altura h es proporcionala la presion. Suponiendo que la presion a 5 486m es igual a 1/2 de su valor p0 al nivel del mar, deducir laformula para la presion a una altura cualquiera.

Sea p la presion a la altura h, y p0 la presion al nivel del mar

dp

dh= k p,

pp0

dp

p= k

h0

dh, [ln p]pp0

= k [h]h0 , lnp

p0= k h

al nivel del mar:

k =ln

p

p0h

=

ln0.5p0p0

5 486=

ln0.5p0p0

5 486= 0.000126348

a cualquier nivel:

lnp

p0= 0.000126348 h, p

p0= e0.000126348h, p = p0 e

0.000126348 h.

Esta es una curva exponencial decreciente del tipo (1.4). Ver Fig. 1.17.En aplicaciones de ingeniera se le practican ajustes en terminos de la temperatura y de otrosfactores.

1.22. Ley de Fick de una celula en solucion

La ley de Fick8 establece que cuando una celula esta suspendida en una solucion que contiene un so-luto con una concentracion constante ys, la rapidez de cambio de la masa m del soluto es directamenteproporcional al producto del area constante A de la membrana permeable de la celula, por la diferencia

8Adolf Fick (1829-1901), fisiologo aleman.


Figura 1.17: Presion atmosferica

entre la concentracion constante del soluto ys y la concentracion del soluto en el interior de la celula y(t)en cualquier tiempo t. Suponga que el volumen constante de la celula es V.

Para determinar y(t) tomese en cuenta que las moleculas del soluto se difunden por la membrana celular,saliendo de la celula hacia la solucion exterior que contiene al soluto con la concentracion constante ys.Entonces

m = V y(t), y(0) = y0y

dm

dt= k A (ys y), d(V y)

dt= k A (ys y), V dy

dt= k A (y ys)

dy

y ys = k A

V

dt, ln |y ys| = k A t

V+ ln c

para calcular la constante de integracion, se consideran las condiciones iniciales en esta expresion

ln |y0 ys| = k A(0)V

+ ln c, ln c = ln |y0 ys|

y se sustituye su valor

ln |y ys| = k A tV

+ ln |y0 ys| , ln y ysy0 ys

= k A tV , y ysy0 ys = ekA t/Vy(t) = ys + (y0 ys)ekA t/V

correspondiente a la concentracion del soluto en el interior de la celula en cualquier instante t.

Captulo 2Dinamica

La mecanica elemental se establecio sobre una base muy solida con la publicacion de Isaac Newton en1687 de Philosophiae naturalis principia mathematica en donde establece sus tres leyes del movimien-to:

1. Todo cuerpo permanece en estado de reposo o movimiento rectilneo y uniforme a no ser que existaalgun agente externo que lo modifique.Ley de inercia: un mago puede quitar de un fuerte tiron un mantel de una mesa, sin que que se caiganlos objetos que se encuentran sobre el mantel (los platos y copas tienden a continuar en reposo). Alfrenar un coche el cuerpo de una persona en su interior tiende a seguir moviendose hacia adelante.

2. La aceleracion producida en un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada y en su misma direccion,y en razon inversa de la masa del cuerpo.Ley de la fuerza: en unidades apropiadas

F = ma

3. A toda accion se opone una reaccion igual y de sentido contrario.Ley de accion y reaccion: una persona de pie oprime el piso hacia abajo con una fuerza igual a supeso w = mg, y experimenta una opresion hacia arriba en sus pies con una fuerza igual.

Ademas, establece su ley de gravitacion universal:Los cuerpos atraen a los cuerpos con una fuerza que es proporcional al producto de sus masas e inver-

samente poporcional al cuadrado de sus distancias.

F = Gm1m2y2

.

siendo G la constante de gravitacion universal cuyos valores obtenidos experimentalmente son:

G = (6.673 0.0039) 108)N m2/kg2 3.436 108 ft2/slug2.

El ingles Henry Cavendish (17311810) obtuvo el valor de G en 1798, experimentando conuna balanza de torsion, que difiere del valor aceptado actualmente en 0.6 %.

Ver la pagina 51.

30 Dinamica

2.1. Movimiento uniformemente acelerado

Si la aceleracion es constante se aplican las ecuaciones siguientes.Partiendo de la velocidad instantanea

v =ds

dt(2.1)

y de la aceleracion instantaneaa =

dv

dt=d2s

dt2(2.2)

se obtienen otras formulas utiles. Por integracion de esta vv0

dv = a

t0

dt

resulta la aceleracion media a = v v0t

, o sea

v = v0 + a t. (2.3)

Sustituyendo dt = dsv

de (2.1) en (2.2)a =

dv

dt=

dv

ds

v

se obtiene otra expresion fundamentala = v

dv

ds(2.4)

que al integrar vv0

v dv = a

s0

ds

producev2 = v20 + 2 a s.

Igualando (2.1) y (2.3)ds

dt= v0 + a t,

s0

ds =

t0

(v0 + a t) dt

resultas = v0 t+

1

2a t2. (2.5)

2.2. Fin del dramaturgo Esquilo

La leyenda establece que uno de lo tres mas grandes dramaturgos griegos, Esquilo, los otros fueronSofocles y Eurpides, murio cuando una aguila al confundir su calva con una piedra brillante, dejo caeruna tortuga sobre su cabeza a fin de romperla y abrirla (la tortuga, no la cabeza del dramaturgo).1

Para el caso, supondremos que el aguila dejo caer a la tortuga desde una altura de 70 m y tardo 4segundos en caer. Si Esquilo meda 1.80 m de altura, que tan rapido se encontraba ascendiendo el aguilaen el momento de dejar caer la tortuga?

1Esquilo se haba retirado a vivir en el campo, tratando de eludir el destino previsto en el oraculo, de que perecera aplastadopor su casa.

2.3 Movimiento parabolico de un proyectil 31

Si se coloca el origen en el suelo, en un tiempo t la altura sera y. Para un movimiento vertical, sinfriccion, como el que nos ocupa, la aceleracion estara dada por la gravedad g, que sera negativa, por tenersentido inverso al de la ordenada positiva:

a =dv

dt= g,

vv0

dv = g t0

dt, v v0 = gt

lo que produce la velocidad del movimiento:

v(t) =dy

dt= v0 gt,

yy0

dy =

t0

(v0 gt) dt, y y0 = v0t gt2

2

y la posicion del movil es

y(t) = y0 + v0 t g t2

2

En el caso del movimiento de la tortuga:

y0 = 70m, y = 1.8m, t = 4 s :

1.8m = 70m + v0(4 s) (9.8m/s2)(4 s)2

2, v0(4 s) = (1.8 70 + 78.4)m = 10.2m, v0 = 2.55 m/s.

Como el signo es positivo, la tortuga y el aguila estaban ascendiendo a 2.55m/s en elmomento de empezar a caer la tortuga.

2.3. Movimiento parabolico de un proyectil

Demostrar que un proyectil que se mueve, sin tomar en cuenta la friccion del aire, en un plano verticalsigue una trayectoria parabolica. Determnense las ecuaciones de la trayectoria, el alcance R en un planohorizontal y la altura maxima H alcanzada en su trayectoria, (Fig. 2.1).

Figura 2.1: Movimiento de un proyectil en un plano horizontal.

Sea v0 la velocidad inicial del disparo en un angulo con respecto a la horizontal. Al despreciar la resis-tencia del aire, la unica fuerza que actua sobre el proyectil es su peso y por tanto la aceleracion sera en todoinstante g, estando dirigida verticalmente hacia abajo. Si se descompone el movimiento en dos componentes,segun las direcciones de los ejes del plano cartesiano, el movimiento resultante es una superposicion de dosmovimientos rectilneos de aceleracion constante, ax = 0 y ay = g.

32 Dinamica

En la direccion x la aceleracion es nula y la distancia horizontal recorrida es igual al producto de lacomponente horizontal de la velocidad por el tiempo.

ax = 0dvxdt

= 0dvx = 0

vx = c1 = v0 cos dx

dt= v0 cos

dx =

v0 cos dt

x = v0 cos t+ k1

en t = 0, x = 0, k1 = 0

x = v0 cos t (2.6)

ay = gdvydt

= gdvy =

g dt

vy = gt+ c2c2 = vy + gt (c2 se evalua en t = 0)c2 = v0 sen + g 0 = v0 sen

vy = v0 sen gtdy

dt= v0 sen gt y

0

dy =

t0

(v0 sen gt) dt

y = v0 sen t g t2

2(2.7)

El movimiento del proyectil esta dado por las ecuaciones parametricas (2.6) y (2.7).Despejando t de (2.6) y colocandola en (2.7):

y = v0 sen t g2t2 = v0 sen

(x

v0 cos

) g

2

(x

v0 cos

)2y = tan x g

2 v20 cos2

x2. (2.8)

Lo que demuestra que el movimiento de los proyectiles es parabolico.

2.3.1. Alcance maximo

Si se anula y en la cuadratica (2.7):

v0 sen t gt2

2= (v0 sen gt/2) t = 0

2.3 Movimiento parabolico de un proyectil 33

resultan dos tiempos: t0 = 0 al inicio del movimiento, y el tiempo al final del movimiento:

tf =2 v0 sen

g. (2.9)

En este tiempo ocurre el alcance R = x(tf ), por lo que al colocarse en (2.6):

R = x (tf ) = v0 cos tf = v0 cos

(2v0 sen

g

)=v20g(2 sen cos )

R =v20g

sen 2 (2.10)

Para calcular el angulo que produce el alcance maximo:

dR

d=

2v20 cos 2 d

g= 0, cos 2 = 0, 2 = 90o = 45o

colocando este valor en (2.10):

R() =v20g

sen 2, R(45) = v20

gsen(2 45) = v

20 sen 90

g

el alcance maximo se logra para = 45, y vale:

Rmax =v20g. (2.11)

2.3.2. El punto mas alto

La altura maxima del proyectil se alcanza en donde la pendiente de (2.7) se anula:dy

dt= v0 sen g t = 0, tm = v0 sen

g

que es justamente la mitad del tiempo total (2.9), y que al ser colocado en (2.7):

H = y(tm) = v0 sen tm g2t2m = v0 sen

(v0 sen

g

) g

2

(v0 sen

g

)2=v20 sen

2

g v

20 sen

2

2g

H =(v0 sen )

2

2g(2.12)

proporciona la altura maxima del proyectil.

2.3.3. Serie Mundial: Mickey Mantle contra Sandy Koufax

Mickey Mantle le conecto un cuadrangular a Sandy Koufax en una Serie Mundial con una velocidadde 135 ft/s en un angulo de 35 sobre la horizontal a una altura de 3 ft. El jardinero pegado a la barda, a unadistancia de 425 ft tena un alcance de 7 ft por encima del suelo. Conteste las preguntas siguientes ignorandola friccion del aire.(a) A que altura h del guante del jardinero paso la pelota?

Colocando el origen de coordenadas en el punto de contacto, con (2.8)

y =

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