Eclipses

Nueva Teora de Eclipses

Francisco Javier Gil Chica

2011

Prologo a la Nueva Teora de

Eclipses

A lo largo del ano 1991, se cumplen ahora 20 anos, termine de escribirun libro sobre teora de eclipses, ocultaciones y transitos usando una anti-gua maquina Olivetti en la oficina del Grupo de Prediccion y Vigilancia enel Centro Meteorologico Territorial de Valencia. En esta primera copia lasexpresiones matematicas estaban escritas a mano, en los espacios habilitadosentre el texto; las figuras estaban hechas a mano alzada, por supuesto. Loscalculos fueron realizados con una calculadora programable Casio, modeloFX-850P y los programas escritos en BASIC en primer lugar sobre papel yluego fatigosamente introducidos desde el teclado de la calculadora, que aunconservo en funcionamiento.

Esta primera copia fue reescrita usando WordPerfect (la version 5.1 per-mita formulas matematicas) . Las figuras fueron rehechas con Drawperfect yel libro finalmente publicado por la Universidad de Alicante, donde en aquelentonces yo era profesor asociado, en 1996, tras dormir durante cinco anosen un cajon.

Unos anos despues, el libro fue digitalizado y as permanece desde en-tonces: con todas sus erratas y la perdida de un par de figuras en el tallereditorial.

Desde que el correo electronico es herramienta comun, he recibido mu-chas consultas. Unas advertan de erratas, otras pedan explicaciones, o bi-bliografa, o solicitaban las figuras perdidas. Me convenc pronto de que lasfaltas de aquella edicion me acompanaran durante mucho tiempo y termi-naran obligandome a escribir una version nueva y mejor, maxime cuandodesde entonces parece que sigue siendo la unica referencia en espanol sobreel tema. No en ingles, ya que en 1991 yo me haba basado en los textos deGreen, Smart y Chauvenet. El azar haba puesto en mis manos, en 1989, unapublicacion del Observatorio de Madrid, fechada en 1907, sobre el eclipseque haba tenido lugar ese ano. Esta obra segua la rutina de calculo del librode Chauvenet y anada una cartografa en color de las zonas afectadas en el

i

ii 0. Prologo a la Nueva Teora de Eclipses

norte de Espana.En fin, veinte anos despues entrego a la red esta segunda version con la

esperanza no solo de que remedie las carencias de la primera, sino tambien deque sirva de algun modo de reparacion a las personas que me hicieron llegarsu interes o sus dudas respecto a la primera version y a las cuales, dedicadocomo he estado (y estoy) a otras muchas tareas, siento no haber atendidoadecuadamente.

Parte del material contenido en esta edicion proviene del pequeno tratadosobre relojes de sol que compuse en 2006. He eliminado algunas secciones,que tras el paso del tiempo considero ahora excesivamente farragosas y deinteres menor. Tambien ha desaparecido el captulo dedicado al calculo deleclipse de 1985, debido a que el procedimiento de calculo trigonometricoes farragoso comparado con el cartesiano, que ahora puede acometerse sinproblemas mediante el computador.

Captulo 1

Trigonometra esferica

Sea una esfera de radio unidad. La interseccion de cualquier plano con esaesfera es una circunferencia, y de todas las circunferencias que son intersec-cion de un plano con una esfera dada, son maximas aquellas que pertenecena un plano que contiene al centro de la esfera.

Llamaremos crculo maximo 1 a aquel que proviene de la interseccion deun plano que contiene el centro de la esfera con esta.

Un triangulo esferico es la superficie de esfera delimitada por tres arcosde crculo maximo, de manera que ninguno de ellos exceda radianes. Puesbien, la trigonometra esferica se ocupa de las relaciones que existen entrelos lados y los angulos de un triangulo esferico. A diferencia de los triangulosde la geometra plana, donde los lados tienen medidas lineales y los angulosmedidas angulares, en un triangulo esferico tanto los lados como los angulostienen medidas angulares. Respecto a los lados, su medida es el angulo queforman las dos lneas que unen el centro de la esfera con los extremos dellado en cuestion. Respecto a los angulos en los vertices del triangulo esferico,su medida es el angulo formado por las tangentes a los crculos en el verticeque se considere. Se acostumbran a nombrar los vertices mediante letrasmayusculas y cada lado con la misma letra, en minuscula, que el verticeopuesto a ese lado.

1.1. Relacion de los cosenos

Con relacion a la Figura 1.1,O es el centro de la esfera yABC un trianguloesferico. Las lneas AD y AE son tangentes a los arcos de crculos maximosAB y AC, respectivamente, de forma que el plano determinado por ADE es

1en rigor, circunferencia maxima, pero el uso ha consagrado la denominacion crculomaximo

1

2 1. Trigonometra esferica

O

A

B C

D E

a

c b

Figura 1.1 Triangulo esferico

tangente a la esfera en el vertice A del triangulo esferico. Para el trianguloDAE se cumple:

DE2 = AD2 + AE2 2(AD)(AE) cos(DAE) (1.1)mientras que para el triangulo DOE:

DE2 = OD2 +OE2 2(OD)(OE) cos(DOE) (1.2)Tomando radio unitario para la esfera, tenemos que DA = tan c, AE =

tan b, OD = sec c, OE = sec b, cos(DOE) = cos a y cos(DAE) = cosA.Igualando las dos expresiones para DE2, sustituyendo las relaciones, ante-riores y reordenando (teniendo en cuenta que tan2 x = sec2 x 1), se llegaa

cos a = cos b cos c+ sen b sen c cosA (1.3)

y como es obvio que este razonamiento puede hacerse para cualquiera delos vertices:

cos a = cos b cos c+ sen b sen c cosA

cos b = cos a cos c+ sen a sen c cosB

cos c = cos a cos b+ sen a sen b cosC (1.4)

1.2. Relacion de los senos 3

1.2. Relacion de los senos

Tomamos la primera de las relaciones de los cosenos y la escribimos en laforma

sen b sen c cosA = cos a cos b cos c (1.5)Elevando al cuadrado, escribiendo en el primer miembro cos2 A = 1

sen2 A y en el segundo sustituyendo de igual forma los cosenos al cuadrado,despues de simplificar obtenemos

sen2 b sen2 c sen2 A = sen2 a+ sen2 b+ sen2 c 2 + 2 cos a cos b cos c (1.6)

El primer miembro contiene dos lados y el angulo que determinan. El se-gundo miembro contiene los tres lados, y por tanto es igual para cualesquieraotros dos lados y el angulo que determinan en el primer miembro, es decir:

sen2 b sen2 c sen2 A = sen2 a sen2 b sen2 C = sen2 a sen2 c sen2 B (1.7)

Ahora bien, como los lados del triangulo esferico no exceden de , el senoes siempre positivo, luego podemos escribir finalmente:

sen a

senA=

sen b

senB=

sen c

senC(1.8)

1.3. Tres lados y dos angulos

Las relaciones de los cosenos involucran tres lados y un angulo, mientrasque las relaciones de los senos involucran dos lados y dos angulos. Podemosobtener facilmente relaciones que incluyan los tres lados y dos angulos a partirde las formulas de los cosenos. En efecto, si tomamos la primera relacion delos cosenos y sustituimos en el segundo miembro cos b por la expresion queda la segunda de las relaciones de los cosenos, tras simplificar:

sen b cosA = cos a sen c sen a cos c cosB (1.9)y por rotacion, analogamente:

sen a cosC = cos c sen b sen c cos b cosAsen c cosB = cos b sen a sen b cos a cosC (1.10)


C

A

B

bc

aFigura 1.2 Formula de cuatro partes

1.4. Dos lados y dos angulos

Estas formulas se conocen como formulas de cuatro partes, porque in-volucran cuatro elementos consecutivos de un triangulo esferico. En efecto,en relacion con la Figura 1.2, consideremos los elementos B, a, C y b.

Al lado a, que se encuentra entre los angulos B y C se le llama ladointerno y al angulo C, que se encuentra entre los lados a y b se le llamaangulo interno. Si tomamos las expresiones de los cosenos para los lados by c y sustituimos cos c en la expresion para cos b:

cos b sen2 a = sen a sen b cos a cosC + sen c sen a cosB (1.11)

dividiendo por sen a sen b y usando la relacion del seno, segun la cual

sen c

sen b=

senC

senB(1.12)

llegamos a

cot b sen a = cos a cosC + senC cotB (1.13)

Analogamente, por rotacion:

cot a sen c = cos c cosB + senB cotA

cot c sen b = cos b cosA + senA cotC (1.14)

1.5. Formulas diferenciales 5

1.5. Formulas diferenciales

Estamos interesados en el pequeno cambio que sufren algunos elementoscuando otro u otros son alterados ligeramente. Partimos de la relacion de loscosenos:

cos a = cos b cos c+ sen b sen c cosA (1.15)

Diferenciamos, agrupamos terminos y vemos que los coeficientes para db ydc pueden simplificarse mediante las formulas para tres lados y dos angulos.Usando la relacion de los senos para simplificar el termino en dA tenemosfinalmente:

da cosCdb cosBdc = sen b senCdA (1.16)con relaciones analogas a partir de las otras dos relaciones de los cosenos.

En definitiva:

da cosCdb cosBdc = sen b senCdA cosCda+ db cosAdc = sen c senAdB cosBda cosAdb+ dc = sen a senBdC (1.17)

Relaciones que involucran los tres angulos y los tres lados. Eliminandoda:

senCdb cos a senBdc = sen b cosCdA+ sen adB cos a senCdb+ senBdc = sen c cosBdA+ sen adC (1.18)

y tenemos la relacion entre las variaciones de dos angulos y dos lados. Side aqu eliminamos db tenemos:

sen a senBdc = cos bdA+ cos adB + dC (1.19)

y si eliminamos dA

cos b senCdb cos c senBdc = sen c cosBdB sen b cosCdC (1.20)

Captulo 2

Coordenadas y Tiempo

2.1. Coordenadas polares

Si observamos el cielo en una noche estrellada, los cuerpos celestes pare-cen distribuidos sobre una esfera de radio indefinido. La distancia a la que seencuentran los cuerpos celestes es, en principio, desconocida. En los casos enque puede calcularse por metodos geometricos, este calculo se basara en aque-llas cantidades mensurables directamente: las coordenadas polares respectoa algun sistema de referencia adecuado.

X

Y

Z

O

A

B

Figura 2.1 Coordenadas polares

En relacion con la Figura 2.1, adoptamos como plano principal aquelque contiene a los ejes x e y. La interseccion de este plano con la esferaceleste determina un crculo. Los planos perpendiculares al plano principalque contienen al origen de coordenadas intersectan tambien con la esferaceleste en crculos secundarios.

Para aquellos casos en que la distancia finita a la que se encuentran los

7

8 2. Coordenadas y Tiempo

astros tiene relevancia, es preciso indicar tambien cual es el origen del sis-tema de referencia. As, hablamos de coordenadas heliocentricas cuando elsistema de referencia tiene su origen en el Sol, geocentricas cuando el origense encuentra en el centro de masas de la Tierra y topocentricas cuando elorigen del sistema de referencia coincide con la posicion del observador.

Pues bien, la direccion en que aparece un astro sobre la boveda del cieloqueda determinada por los angulos = XOB y = AOB. Estos angulosreciben nombres especficos y se designan con letras convenidas segun cualsea el plano principal que se elija y la direccion del eje x en ese plano.

Dos planos importantes son el plano que contiene al ecuador terrestre yel plano de la orbita de la tierra, llamado eclptica. Ambos planos no sonparalelos, sino que forman entre s un angulo de unos 23o.

E

Ecuador

P

Figura 2.2 Coordenadas ecuatoriales

La Figura 2.2 representa el ecuador terrestre y un crculo secundario quecontiene a un astro E. Las coordenadas de ese astro son la ascension recta que se mide a partir de un punto sobre el ecuador en sentido antihorariohasta el punto A que es la interseccion entre el ecuador y el crculo secundarioque contiene al astro E y la declinacion , que se mide desde el ecuador hastael astro sobre el crculo secundario que lo contiene. Al conjunto (, ) se lellama coordenadas ecuatoriales. La ascension recta se mide en horas, minutosy segundos, y la declinacion en grados, minutos y segundos de arco 1. La lnea

1Se divide la circunferencia en 24 horas, lo que hace que cada hora conste de 15 grados.Cada minuto tiene 15 minutos de arco y cada segundo 15 segundos de arco.

2.1. Coordenadas polares 9

perpendicular al ecuador intersecta a la esfera celeste en el punto P , llamadopolo norte celeste. Como se elige el punto ?. Se ha dicho que ecuador yeclptica forman entre s un angulo, y por tanto se cortan en dos puntos. es uno de ellos. Concretamente aquel a partir del cual la ascension rectadel Sol pasa a encontrarse en el primer cuadrante. La Figura 2.3 muestra larelacion entre ecuador y eclptica y la eleccion del punto . La inclinacion dela eclptica = MN .

Ecuador

M

NEcliptica

Figura 2.3 Inclinacion de la eclptica

La Figura 2.4 muestra un sistema de referencia que toma como planoprincipal el de la eclptica. Las coordenadas eclpticas son los angulos (, ).La primera se llama longitud celeste y la segunda latitud celeste. Ambas semiden en grados, minutos y segundos de arco.

Junto con los sistemas de referencia ecuatorial y eclptico tienen relevanciados sistemas mas: el horizontal y el horario. El sistema horizontal toma comoplano fundamental el plano del horizonte del observador. En la Figura 2.5puede apreciarse como, para un observador situado en un punto O, el polonorte (interseccion con la esfera celeste del eje de rotacion de la Tierra)aparece sobre el horizonte con una elevacion igual a la latitud geografica delobservador, es decir, HOP = OCA 2.

La interseccion de la lnea perpendicular en el punto O a la superficiede la Tierra corta a la esfera celeste en un punto que llamamos cenit. Alcrculo secundario que contiene al polo norte y el cenit se le llama meridiano

2La Tierra no es perfectamente esferica, de manera que la lnea que une el centro de latierra con el observador y la lnea perpendicular a la superficie terrestre en el punto delobservador no son paralelas. Por eso es preciso distinguir entre la latitud geografica y lalatitud geodesica. Omitiremos aqu esta discusion, irrelevante para nuestro proposito


E

Ecliptica

Figura 2.4 Coordenadas eclpticas

local. El meridiano local corta al horizonte en dos puntos, que son los puntoscardinales norte y sur.

Los astros parecen girar alrededor del polo norte. En la Figura 2.6 puedenverse punteadas dos de estas trayectorias. Si el astro esta lo suficientementecerca del polo, siempre se mostrara sobre el horizonte. Es la trayectoria quehemos nombrado como e. Si llamamos a la latitud del observador y z = 90 al complemento de la declinacion, llamado distancia polar, esta claro que unastro se encuentra siempre sobre el horizonte si su distancia polar es inferiora la latitud del observador: z

2.2. Relacion entre los distintos sistemas 11

C A

O

H P

Figura 2.5 Altura del polo en el sistema horizontal

plano que contiene al polo y al cenit. Se mide en horas, minutos y segundosen sentido horario, a partir del sur. En la Figura 2.7 se muestran las coordenashorarias. El angulo horario del astro D es el arco AC = ZPD, mientras quela declinacion es = AD.

En este punto de nuestra discusion, podemos considerar que la Tierra giracon velocidad angular uniforme, y que el punto es un punto fijo en la esferaceleste. De esta forma, podemos usar el angulo horario del punto , comouna medida del tiempo. Cada vez que el punto pase por el meridiano local,comienza un nuevo da para el observador. Ahora bien, A es la ascensionrecta del astro D, y se deduce de la Figura 2.7 la relacion fundamental

T = H (2.1)

donde T se denomina tiempo sidereo y H y son respectivamente elangulo horario y la ascension recta del astro D.

2.2. Relacion entre los distintos sistemas

Aunque existe un metodo matricial compacto y habitual para expresar lastransformaciones de coordenadas entre sistemas de referencia girados uno res-pecto al otro, aprovechamos la deduccion de las relaciones de la trigonometraesferica para escribir de forma directa las relaciones entre las coordenadas enlos sistemas horizontal, horario, ecuatorial y eclptico.


Horizonte

N S

E

W

Z

P

e

a

b

c

O

Figura 2.6 Trayectorias aparentes de los astros

2.2.1. Relacion entre coordenadas horizontales y hora-

rias

Consideremos de nuevo la Figura 2.7, donde P es el Polo, Z el cenit y Dun astro. El lado PZ es 90, el lado ZD es 90h y el lado PD es 90 .El angulo en P es H , y el angulo en Z es A. Partiendo de las relacionesdel seno, coseno y seno por coseno:

sen a senB = senA sen b

cos a = cos b cos c+ sen b sen c cosA

sen a cosB = cos b sen c sen b cos c cosA (2.2)

Nombrando los lados y angulos del triangulo PZD de forma que, enrelacion con las ecuaciones anteriores, las coordenadas horizontales quedenen el primer miembro, es decir, haciendo A = P , B = Z y C = D, se siguesin mas que sustituir:

cosh senA = cos senH

sen h = sen sen + cos cos cosH

cosh cosA = sen sen+ cos cos cosH (2.3)

Si ahora tomamos A = Z y B = P , quedan en los primeros miembros lascoordenadas horarias:

2.2. Relacion entre los distintos sistemas 13

N S

Z

P

e

Meridiano local

Horizonte

Ecuador C

Q

A

D

Ecuador

O

W

E

Figura 2.7 Relacion entre coordenadas horizontales y horarias

cos senH = senA cosh

sen = sen senh cos cosh cosAcos cosH = sen h cos+ cosh sen cosA (2.4)

En la aplicacion de estos conjuntos de formulas, se tendra en cuenta quecuando 0


cos cos = cos cos

sen = sen cos cos sen sencos sen = sen sen + cos cos sen (2.6)

90

P

Q

9090

90+

D

Figura 2.8 Relacion entre coordenadas ecuatoriales y eclpticas

Una vez resuelto el problema del paso de coordenadas horizontales a hora-rias y viceversa y el problema del paso de ecuatoriales a eclpticas, y viceversa,queda la conexion entre las coordenadas horarias y ecuatoriales, ya que deesta forma tenemos una ruta que permite pasar de cualquier sistema de coor-denadas a cualquier otro. Esta conexion se establece a partir de la relacionfundamental T = H . Ahora bien, este T es el tiempo sidereo, del que,de momento, desconocemos su relacion con el tiempo medido por nuestrosrelojes, lo que motiva la discusion de las secciones siguientes.

2.3. Tiempo sidereo y tiempo solar

Como es sabido, las ecuaciones dinamicas de Newton de un sistema mecani-co son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden respecto al tiem-po. Si se dispone de una solucion, quiere decirse que son funciones conocidasdel tiempo las variables que determinan la configuracion del sistema. Fijandoun instante inicial como origen de tiempos, y con la condicion de que esassoluciones sean invertibles, podramos obtener un valor de t para cada valorde alguna de las variables dinamicas. Cuando alguna de estas variables pue-de medirse, el sistema puede usarse como reloj. Un caso conveniente ocurrecuando la relacion entre el tiempo t y una variable x es lineal

t = ax+ b (2.7)

2.3. Tiempo sidereo y tiempo solar 15

El problema practico se plantea entonces en los siguientes terminos: en-contrar un sistema (o construirlo a proposito) alguna de cuyas variables deestado x dependa linealmente del tiempo t, que sea estable y reproducible,de tal forma que las distintas copias que se construyan puedan sincronizar-se entre s. La historia de un sistema de estas caractersticas es la historia,fascinante, de la cronometra mecanica. Sin embargo, en lugar de que distin-tos observadores dispongan cada uno de un reloj sincronizado con otro quese adopte como patron existe la alternativa de que todos los observadoresusen el mismo sistema fsico para medir el tiempo. Y el mas obvio de talessistemas, accesible para todos los observadores, es la Tierra.

Al aceptar que la Tierra gira con velocidad angular constante, solo espreciso elegir un punto fijo en el cielo. Cada vez que ese punto atravieseel meridiano local, comenzara un da. El punto elegido es el punto , y alintervalo entre dos pasos sucesivos de por el meridiano local se llama dasidereo. El angulo horario de es entonces la medida numerica del tiemposidereo: 150 equivalen a una hora siderea.

Sin embargo, es el Sol la referencia mas evidente para acompasar la vidade los individuos y de las sociedades. Porque no elegir el paso del Sol porel meridiano local para medir el tiempo? El problema es que la duracion deeste da solar no es constante, sino que vara a lo largo del ano. En efecto,en relacion con la Figura 2.9, sea S el centro del Sol, O el centro de laTierra al inicio de un da sidereo y P el centro de la Tierra al inicio delda sidereo siguiente. Eligiendo la direccion OS como direccion fija en elespacio vemos que en el transcurso de una rotacion terrestre la Tierra se hadesplazado al punto P de su orbita. Se ha cumplido un da sidereo pero aunresta una fraccion de rotacion igual al angulo RPQ para que se cumpla elda solar. Sabemos que aproximadamente el ano tiene 365 das, que en unda la Tierra recorre por termino medio 3600/365 y que esto equivale a unoscuatro minutos. El da solar es por tanto unos cuatro minutos mas largo queel da sidereo.

Ahora bien, el movimiento de la Tierra en su orbita no es uniforme. Elangulo RPQ es mayor cerca del periapsis y menor en el apoapsis, de acuerdocon la ley de las areas y esto hace dificultosa la conversion de hora solar ahora siderea. Mientras que el tiempo sidereo es uniforme 3 el tiempo solar nolo es.

3Prescindiremos de la prolija discusion sobre el movimiento del punto , que no essino aproximadamente fijo sobre la esfera celeste debido a los movimientos de nutacion yprecesion del eje de la Tierra y a otros efectos menores


O

P

S

R

Q

Figura 2.9 Tiempo sidereo y tiempo solar

2.3.1. Soles ficticios

Hemos dicho que de la observacion del Sol verdadero no puede obtenerseuna medida uniforme del tiempo debido a que el movimiento de traslacionde la Tierra en su orbita es irregular. Podramos entonces definir un Solmedio que se moviese por la eclptica con velocidad angular constante de talmanera que coincidiese en el punto con el Sol verdadero cada vez que estepasase por dicho nodo. De esta forma, la longitud eclptica del Sol medio Mse correspondera con la anomala media (salvo una constante que tuvieseen cuenta la latitud del periapsis ) del movimiento orbital de la Tierra,mientras que la longitud eclptica del Sol verdadero v se corresponderacon la anomala verdadera. Sabemos que la anomala media esta relacionadacon la excentrica a traves de la ecuacion de Kepler, y la excentrica con laverdadera v a traves de la ecuacion de la orbita 4

r =a(1 e2)1 + e cos v

= a(1 e cosE) (2.8)

Por tanto, es posible calcular en cada instante la diferencia v M .Ahora bien, existe una segunda causa que hace irregular el tiempo medio

medido a partir del Sol medio que acabamos de definir, y que llamaremosprimer Sol ficticio, y es que este se mueve en la eclptica, mientras que elangulo horario se mide sobre el ecuador, inclinado respecto a la primera. Espreciso por este motivo introducir un segundo Sol ficticio, que coincide con

4Vease cualquier tratado de Mecanica Celeste, o mi obrita sobre relojesde Sol, de donde proviene la mayor parte de este captulo introductorio, enhttp://www.dfists.ua.es/~gil/libros.html

2.3. Tiempo sidereo y tiempo solar 17

el Sol verdadero y con el primer Sol ficticio en el punto y que se mueve convelocidad angular constante sobre el ecuador, no sobre la eclptica. Es estesegundo Sol ficticio el que se emplea para fabricar los relojes que regulan lavida civil. El plan por tanto consiste en poner en relacion el Sol verdaderocon el segundo Sol ficticio.

2.3.2. Ecuacion de tiempo

Se define la ecuacion de tiempo como la diferencia entre los angulos ho-rarios de los soles medio y verdadero:

ET = HM Hv (2.9)De la relacion fundamental T = H + = HM + M = Hv + v se sigue

ET = v M = v M (2.10)que a su vez se puede escribir como

ET = (v M) + (v v) = (v M) + (v v) (2.11)Al primer termino se le llama ecuacion del centro C y al segundo reduccion

al ecuador R.

2.3.3. Reduccion al ecuador

De las relaciones (2.5) entre coordenadas ecuatoriales y eclpticas, tenien-do en cuenta que la latitud eclptica del Sol es cero:

tan = cos tan (2.12)

pero

cos = cos2

2 sen2

2(2.13)

o

cos

cos2 2

= 1 tan2 2

(2.14)

y por otra parte

1 = cos2

2+ sen2

2(2.15)

de donde


1

cos2 2

= 1 + tan2

2(2.16)

En resumen

cos =cos

1=

1 tan2 2

1 + tan2 2

(2.17)

Llamando

m = tan2

2(2.18)

tenemos finalmente

tan =1m1 +m

tan (2.19)

ecuacion que admite el desarrollo en serie

= m sen(2) + m2

2sen(4) m

3

3sen(6) + (2.20)

Si aplicamos esta relacion a la ascension recta y longitud eclptica del Solverdadero, tenemos para la reduccion al ecuador la expresion

v v = m sen(2v) +m2

2sen(4v)

m3

3sen(6v) + (2.21)

2.4. Ecuacion del centro

Partiremos de la ecuacion de Kepler, a la que aplicaremos un procedi-miento iterativo. En efecto, de

E = M + e senE (2.22)

tomando en primera aproximacion E(0) = M , las sucesivas aproximacio-nes se escriben

E(1) = M + e sen(E(0)) (2.23)

E(2) = M + e sen(E(1)) (2.24)

E(3) = M + e sen(E(2)) (2.25)

As, para E(2):

2.4. Ecuacion del centro 19

E(2) = M + e sen(M + e sen(M)) (2.26)

Al desarrollar la ecuacion anterior, advertimos que la excentricidad de laorbita terrestre es muy pequena y podemos tomar, en los terminos que lacontengan, el seno por su arco e igualar el coseno a la unidad

E(2) =M + e sen(M) + e2 sen(M) cos(M) = M + e sen(M) +e2

2sen(2M)

(2.27)El procedimiento puede extenderse, buscando sucesivas aproximaciones.

Hasta e3 se tiene

E =M+(e e3

8+ ) sen(M)+(e

2

2+ ) sen(2M)+(3

8e3+ ) sen(3M)+

(2.28)o mejor, agrupando los terminos que contienen potencias iguales de e:

E = M + e sen(M) +e2

2sen(2M)

+e3

3! 22 (32 sen(3M) 3 sen(M))

+e4

4! 23 (43 sen(4M) 4 23 sen(2M))

+e5

5! 24 (54 sen(5M) 5 34 sen(3M) + 10 sen(M))

+e6

6! 25 (65 sen(6M) 6 45 sen(4M) + 15 25 sen(2M))

+ (2.29)

Por otra parte, de (2.8)

dv =

1 e2dM

(1 e cosE)2 =1 e2

(dE

dM

)2dM (2.30)

Pero como ya disponemos de E(M), dada por (2.29), podemos calcularla derivada, elevar al cuadrado, multiplicar por el desarrollo de

1 e2,

agrupando potencias iguales de e, e integrar. El resultado final es el siguiente:

v = M + 2e sen(M) +5

4e2 sen(2M)


+e3

12(13 sen(3M) 3 sen(M))

+e4

96(103 sen(4M) 44 sen(2M))

+e5

960(1097 sen(5M) 645 sen(3M) + 50 sen(M))

+e6

960(1223 sen(6M) 902 sen(4M) + 85 sen(2M))

+ (2.31)Estas series son rapidamente convergentes cuando e es pequena, como es

el caso cuando hablamos de la orbita de la Tierra, pero divergen cuando eexcede el valor crtico de 0,6627, como demostro en primer lugar Laplace 5.

Volviendo a la ecuacion de tiempo, teniendo en mente la ecuacion del cen-tro podemos escribir la longitud verdadera del Sol en funcion de la longitudmedia:

v = m + 2e sen(m) +5

4e2 sen(2m) + (2.32)

Sustituyendo esta ecuacion en cada uno de los terminos del segundo miem-bro de la reduccion al ecuador, teniendo en cuenta que

m = +M 3600 (2.33)y sumando ya la reduccion al ecuador y la ecuacion del centro, es posible

escribir la ecuacion de tiempo en funcion de la anomala media M . Aunque aefectos practicos tanto la inclinacion de la eclptica, de donde se obtiene m,como la longitud del perihelio pueden tomarse como constantes, la realidades que varan lentamente. Posponemos hasta el final del presente captulolas expresiones que dan ambas cantidades en funcion del tiempo, pues espreciso antes hablar del periodo juliano. No obstante, nos adelantamos a esemomento y usamos las expresiones que aparecen all para calcular la ecuacionde tiempo, que representamos en la Figura 2.10

2.5. Tiempo civil

El segundo Sol ficticio por tanto nos proporciona un tiempo uniforme. Pa-ra un lugar dado, su angulo horario en horas, minutos y segundos representa

5F.R. Moulton An introduction to celestial mechanics

2.5. Tiempo civil 21

20

15

10

5

0

5

10

15

0 50 100 150 200 250 300 350 400

MIN

UTO

S

DIAFigura 2.10 Ecuacion de tiempo

el valor de la hora solar media. Esta hora solar media puede ser util para elastronomo, porque hace que las observaciones que se realicen a lo largo deuna misma noche pertenezcan todas al mismo da. Pero en la vida civil espreferible que el cambio de fecha se produzca de noche, as que se define unnuevo tiempo, el Tiempo Civil (TC) a partir del Tiempo Solar Medio (TSM)como

TC = TSM 12H (2.34)La siguiente cuestin a resolver es que tanto el tiempo sidereo como el

tiempo solar medio como el tiempo civil son tiempos locales. En un mismoinstante de tiempo, dos observadores situados en dos meridianos distintosmediran tiempos distintos. La solucion consiste en escoger un meridiano dereferencia: el angulo horario del punto respecto a dicho meridiano propor-ciona el tiempo sidereo para todos los observadores (todos los observadorescomparten el mismo reloj) y el angulo horario del sol medio (segundo Solficticio) respecto al meridiano de referencia, el que pasa por el Observatoriode Greenwich, proporciona el tiempo solar medio y por tanto la hora civil,que es la que marcan nuestros relojes de pulsera.

Pero en el diseno de un reloj de Sol es preciso conocer para cada instante(civil) el angulo horario local. Que relacion existe entre la hora local y lahora de referencia? Si g es la longitud geografica del lugar de observacion,expresada en horas, minutos y segundos, es claro que la primera se obtiene


sumando g a la segunda si la longitud del observador es Este, y restando sies Oeste.

2.6. El periodo Juliano

En primer lugar, es preciso no confundir el periodo o fecha juliana con elcalendario juliano, instaurado por Julio Cesar en el ano 46 a. de C. y vigentehasta 1582, cuando fue sustituido por el calendario gregoriano. En el origende estas reformas del calendario se encuentra el hecho de que el periodo derevolucion de la Tierra alrededor del Sol no se expresa como un numero enterode das medios, sino como un numero fraccionario: aproximadamente 365,25.

El uso del calendario gregoriano, donde se indican ano, mes, da y horatiene la desventaja desde el punto de vista del astronomo de que hace difcileslos calculos, y en particular el computo de los das transcurridos entre dosacontecimientos, mas aun si el periodo transcurrido abarca epocas historicasque incluyen reformas en el calendario. Por ejemplo, en 1582 se sustituyo elcalendario juliano por el gregoriano, suprimiendose diez das y modificandoseel computo de los anos bisiestos.

Por estos motivos, Jose Escaliger propuso computar los das simplementenumerandolos sucesivamente a partir de uno adoptado como da cero. El dajuliano 60 comenzo a las 12 horas del da 1 de enero de 4713 a. de C., fecha noarbitraria, pero cuya justificacion omitimos aqu. En definitiva, cada vez queel Sol medio cruza el meridiano, comienza un nuevo da juliano. Por tanto,existe un desfase de doce horas entre el inicio del da civil y el inicio delda juliano. Cuando se pretende identificar con un numero real un instantedeterminado en el periodo juliano, se anade al da juliano de la fecha quecorresponda la fraccion de da transcurrida. Pero debido al desfase indicado,es preciso considerar el caso en que esta fraccion es menor que medio da y elcaso en que es mayor. En el que caso de que hayan transcurrido menos de 12horas, es decir, si aun no se ha alcanzado el medioda civil de la fecha que seeste considerando, ese instante pertenece al da juliano anterior, y por tantohabra que sumarle al da juliano anterior medio da (la tarde anterior) mas lafraccion de da. En caso de que la hora sea posterior al medioda, sera precisorestarle a la fraccion las doce horas de la manana. En definitiva, en cualquierde los dos casos:

DJh = DJm + f 0,5 (2.35)6Jose Escaliger bautizo a su escala como periodo juliano en honor a su padre, Julio

Escaliger

2.7. Tiempo sidereo a 0h de tiempo universal 23

donde DJh es el da juliano para la hora h, DJm el da juliano a mediodade la fecha que se considere y f la fraccion de da transcurrida desde lamedianoche. Existen algoritmos, unos mas evidentes y otros menos, paracalcular el da juliano correspondiente a una fecha del calendario gregoriano.El mas sencillo haya en primer lugar el da juliano correspondiente al primerda del ano, y luego suma a esa cantidad el numero de das transcurridosdesde el comienzo del ano. Sin necesidad de entrar en detalles, y solo a ttuloinformativo, el siguiente codigo en lenguaje C calcula DJm para una fechadel calendario gregoriano:

int djm(int anio, int mes, int dia)

{

int DJM,a,y,m;

a=(14-mes)/12;

y=anio+4800-a;

m=mes+12*a-3;

DJM=dia+(153*m+2)/5+365*y+y/4-y/100+y/400-32045;

return(DJM);

}

Notese que usamos aritmetica entera y que suponemos que el tipo enteroes de un numero de bits suficiente para representar los valores de DJM . Elvalor devuelto por la funcion es el del da juliano que comienza a mediodade la fecha del calendario gregoriano 7. Esta rutina indexa los meses desde 1,al igual que los das; otras rutinas indexan desde 0. En definitiva, es precisosaber en cada caso que se esta calculando exactamente.

2.7. Tiempo sidereo a 0h de tiempo universal

Lo importante es que tanto el tiempo sidereo como el da juliano, que sebasa en el Sol medio (segundo Sol ficticio) son escalas uniformes de tiempo8. Por consiguiente, la relacion entre ellas es una relacion lineal. Dicho deotra forma, para cualquier intervalo fsico de tiempo la medicion del mismomediante la escala de tiempo sidereo y la medicion mediante la escala detiempo medio estan siempre en una proporcion constante. Si denominamos

7La aclaracion es pertinente, porque otros algoritmos lo que ofrecen es el instantejuliano en el comienzo (0 horas) del da del calendario gregoriano, y por tanto difiere delque calculamos en la funcion djm() en medio da

8A efectos practicos.


IS al intervalo sidereo e IM al intervalo medio, se deduce de las observacionesque

IS = 0,99726957 IMIM = 1,00273790 IS (2.36)

As que es el tiempo sidereo a 0h de tiempo universal el que nos permi-te pasar de coordenadas ecuatoriales a coordenadas horarias. Puesto que eltiempo sidereo y el tiempo medio se relacionan linealmente (al ser ambas es-calas de tiempo uniforme), una relacion lineal sera la que proporcione el valorque necesitamos. De las observaciones se deduce la expresion siguiente, quecontiene un termino cuadratico debido a que, en rigor, el punto no es unpunto fijo sobre la esfera celeste, sino que esta afectado por los movimientosde precesion y nutacion:

0 = 990,6909833 + 360000,7689 U + 00,00038708 U2 (2.37)

con

U =DJh 2415020,0

36525(2.38)

Parece necesario terminar esta seccion con un ejemplo numerico. Calcu-laremos el tiempo sidereo de Greenwich y el tiempo sidereo local de un puntode longitud geografica = 3701244 Oeste a las 14h 33m 27s de hora civildel da 1 de enero de 1971.

En primer lugar, es preciso tener en cuenta que la rutina djm() propor-ciona el da juliano que comienza a las 12 horas de la fecha gregoriana que seconsidere. En la ecuacion (2.38), por tanto, DJh = DJm 0,5. Con esta pre-caucion, de (2.37) obtenemos un valor para 0, que reducimos restando 360

0

tantas veces como sea preciso hasta que 00

2.7. Tiempo sidereo a 0h de tiempo universal 25

T = 21,183898 (2.40)

equivalente a 21h 11m 2s. Respecto al punto de longitud geografica =370,212222, teniendo en cuenta que la tierra gira en 24 horas sidereas, trans-formando la longitud en tiempo: = 2,480815 horas sidereas, que hemos derestar (longitud Oeste) de la hora siderea en Greenwich para obtener su horalocal, que resulta ser de T = 18,703083 horas sidereas, o 18h 42m 11s.

Resumiendo, para un lugar de longitud geografica dada, a hora civil dada(la hora del reloj de pulsera) podemos calcular la hora siderea local, y a partirde ella y la ascension recta del astro su angulo horario. La transformacionentre coordenadas horarias y horizontales nos proporciona la altura y acimutdel astro.

Para finalizar damos a modo de referencia las expresiones para la incli-nacion de la eclptica y la longitud del perihelio, usadas en el calculo de laecuacion de tiempo y que pospusimos hasta este momento porque era precisohablar del periodo juliano. Son estas:

= 230,452294 00,130125 101U 00,163889 105U2 + = 2810,220833 + 10,719175U + 00,452778 103U2 + (2.41)

Captulo 3

Condiciones generales de los

eclipses de Sol

3.1. Geometra basica

La Figura 3.1 muestra la geometra basica de cualquier eclipse. Hemosrepresentado por S el centro del Sol y por L el centro de la Luna, consideradoscomo cuerpos esfericos. Puesto que el fenomeno tiene simetra de revolucionen torno al eje que une ambos centros, podemos razonar sobre el plano.Las circunferencias que representan al Sol y a la Luna tienen dos pares detangentes: dos tangentes externas y dos tangentes internas. Las tangentesexternas tocan en puntos como m y n y determinan un vertice V que seencuentra fuera del segmento que une los centros de ambos cuerpos. Estastangentes generan un cono llamado cono de sombra. Las tangentes interiorestocan en puntos como c y d y determinan un vertice W que se encuentraentre los centros del Sol y la Luna. Generan un cono que se llama cono depenumbra.

Un observador situado sobre el eje, en un punto intermedio entre L yV , observara un eclipse total de Sol. Si se encuentra sobre el eje pero a unadistancia del centro de la Luna mayor que la de V , observara un eclipse anularde Sol, puesto que el tamano aparente de este sera entonces mayor que el dela Luna. Si el observador se encuentra en cualquier punto interior al cono desombra, a una distancia de la Luna inferior a la del vertice V , observara uneclipse total de Sol. Finalmente, desde un punto interior al cono de sombrapero a una distancia superior al centro de la Luna de la que se encuentra elvertice, observara un eclipse anular asimetrico, puesto que los centros del Soly la Luna no se le apareceran alineados.

Cuando el vertice V toca a la Tierra exactamente en un punto, desde ese

27

28 3. Condiciones generales de los eclipses de Sol

S L VW

m

n

c

d

A

B

K

XFigura 3.1 Geometra basica

punto, y solo desde el, se observara un eclipse total de Sol. Pero si el conode sombra intersecta a la esfera terrestre de tal forma que V sea interior aesa esfera, la interseccion del cono con la esfera determinara un area sobre lasuperficie terrestre desde la que el eclipse sera observado. Esto no ocurrira sila longitud del segmento LV fuese tal que V nunca llegase a tocar al menosa la esfera terrestre.

S L V

Rrb

a

Figura 3.2 Longitud del cono de sombra

De acuerdo con la Figura 3.2, si R es el radio del Sol y r el radio de laLuna, y si llamamos a a la longitud del segmento LV y b a la longitud delsegmento SL, es claro que

r

a=

R

a + b(3.1)

de donde

3.1. Geometra basica 29

a =rb

R r (3.2)

valor que resulta ser un poco menor que la distancia exacta a la queel vertice V tocara la superficie de la esfera terrestre. Pero debido a lasexcentricidades de las orbitas de Tierra y Luna, ocasionalmente se produceeste contacto, y aun la interseccion del cono con la superficie terrestre.

Es obvio que si los centros del Sol y la Luna coinciden estamos ante uneclipse total o anular. Si estan separados una distancia angular inferior a lasuma de los semidiametros respectivos estaremos ante un eclipse parcial, ysi esta separacion es superior a la suma de los semidiametros no habra su-perposicion entre los discos del Sol y la Luna y no se producira un eclipse.Formalizaremos estas ideas y para ello razonamos sobre la Figura 3.3.

ST

LQ

P

Figura 3.3 Contacto del cono de penumbra con la Tierra

Sean T , L y S los centros respectivamente de la Tierra, la Luna y elSol. Llamaremos d a la distancia Tierra-Luna y D a la distancia Tierra-Sol. R es el radio del Sol y r el radio de la Luna. Sin que pueda existirambiguedad, llamamos tambien S = R/D al semidiametro del Sol y s = r/dal semidiametro de la Luna. Finalmente, sea rT el radio de la Tierra y seanP = rT/D el paralaje del Sol y p = rT/d el paralaje de la Luna. Los puntosQ y P son las tangentes de la generatriz del cono de penumbra con el Sol y laTierra y suponemos que la lnea TP es perpendicular a la lnea TS. Tomamosla primera como eje z de nuestro sistema de referencia, y la segunda comoeje x. La separacion angular entre los centros de la Luna y el Sol, observadosdesde el punto T , es .

La lnea z(x) que pasa por los puntos P y Q tiene ecuacion


z(x) =R rTD

x+ rT (3.3)

Una vez establecidos todos estos puntos, se ve que la condicion para queel disco de la Luna oculte al menos parcialmente al disco del Sol es que sea

d sen r

3.2. Lmites de latitud eclptica 31

geocentricas del Sol y la Luna respectivamente, vemos que = Z z. Sillamamos j al angulo PLT , siendo QPL el semidiametro de la Luna:

j = z (2 s) (3.8)

Por otra parte, como la lnea PM es perpendicular a PL, el angulo T PMes precisamente el semidiametro de la Luna. Entonces:

j sen j tan j = rT cos sd

sen p cos s (3.9)As pues (razonando de igual forma respecto al Sol)

z =

2 s sen1(sen p cos s)

Z =

2 S sen1(senP cosS) (3.10)

de donde finalmente,

= Z z = s S + sen1(senP cosS) sen1(sen p cos s) (3.11)

T

PL

S

Q

M

Figura 3.5 Contacto del cono de penumbra con la Tierra

3.2. Lmites de latitud eclptica

Si el plano de la orbita de la Luna fuese el mismo plano que el de la orbitade la Tierra, se dara un eclipse de Sol en cada revolucion lunar (y uno de


Luna). Pero ocurre que el plano de la orbita de la Luna se encuentra inclina-do respecto al de la Tierra, de manera que cuando coinciden las longitudeseclpticas de la Luna y el Sol la latitud eclptica de la Luna puede ser tal quesu disco no se superponga con el disco solar. Esto motiva un estudio de entreque lmites de latitud eclptica de la Luna pueden darse los eclipses solares,y es el motivo de esta seccion.

N

A

B

S

L

Figura 3.6 Conjuncion en longitud eclpitca del Sol y la Luna

En la Figura 3.6, el crculo que contiene a NA es la eclptica, y el crculoque contiene a NB es la orbita de la Luna. N es el nodo de dicha orbita,y en la figura se representa el instante en que los centros del Sol, S, y laLuna, L, tienen la misma longitud eclpitca, pero distinta latitud. Es claroque el eclipse solo se puede producir en las cercanas del nodo N , y nuestroproposito es establecer cuantitativamente esas cercanas.

En el triangulo esferico NSL, siendo i la inclinacion del plano de la orbitalunar respecto a la eclpitca (es decir, i es igual al angulo en N), de lasrelaciones de la trigonometra esferica que involucran tres lados y dos angulosse sigue:

senNL cos i = cos sen (3.12)

y aplicando la relacion del seno

senNL sen i = sen (3.13)

se sigue que

sen = tan cot i (3.14)

3.2. Lmites de latitud eclptica 33

Presuponiendo razonablemente que el triangulo esferico NSL es pequenoy que con buena aproximacion se puede asimilar a uno plano, consideremosla situacion de la Figura 3.7.

N S

L

R

QP

M

X

Figura 3.7 Mnima distancia angular Sol-Luna

Cuando la Luna se encuentra en el nodo N el Sol se encuentra en el puntoM . En un momento posterior, la Luna se ha movido en su orbita hasta elpunto P y el Sol ha avanzado hasta R. Finalmente, cuando Sol y Luna tienenla misma longitud eclptica, el primero se encuentra en S y la segunda en L.Puesto que estamos interesados en las posiciones relativas de Sol y Luna, lasituacion es equivalente a la que tendramos si el Sol se encontrase fijo en elpunto S y la Luna no se desplazase a lo largo de la lnea NPL que forma unainclinacion i con la eclptica, sino a lo largo de la lnea RQL de inclinacioni, de tal forma que la distancia RS es la misma que la distancia NM . Pero

tan i =LS

NS(3.15)

mientras que

tan i =LS

RS(3.16)

de donde

tan i =NS

RStan i (3.17)

Ahora bien


NS

RS=

NS

NS MS =q

q 1 (3.18)con

q =NS

MS(3.19)

Pero veamos que NS y MS son los incrementos respectivos en longitudeclpitca de la Luna y el Sol, incrementos que se adquieren en el mismo inter-valo de tiempo, luego q es la razon entre las velocidades de los movimientosen longitud de la Luna y el Sol.

Por otro lado, se ve en la Figura 3.7 que la mnima distancia entre el Soly la Luna se da cuando esta se encuentra en el punto X de la trayectoriarelativa RQL, siendo SX perpendicular a RL. Pero de la semejanza entrelos triangulos RXS y SRL es claro que el angulo XSL es precisamente i yque la distancia mnima SX es

= cos i (3.20)

que combinada con (3.5) para un eclipse parcial nos da

3.3. El Saros 35

sinodico, luego se encuentra en el intervalo de los 36o54 al menos una vezcuando coincide en longitud eclptica con la Luna. En los casos favorables,la conjuncion se producira dos veces. Ocurrira igual en el otro nodo, luegoen el periodo en que el Sol pasa dos veces por el mismo nodo se produciranentre dos y cuatro eclipses.

Ahora bien, el Sol se mueve en sentido directo y el nodo en sentidoretrogrado, por lo que el periodo antedicho es inferior al ano, aproxima-damente de 346 das. Por tanto, en condiciones favorables aun podra darseun quinto eclipse antes de que finalice el ano.

En resumen, cada ano se produciran un mnimo de dos eclipses y unmaximo de cinco.

3.3. El Saros

El perodo Saros fue ya conocido por los astronomos caldeos. Hemos di-cho que la condicion para que se produzca un eclipse es que el Sol y la Lunase encuentren cerca del nodo. Supongamos que en un momento dado Sol yLuna se encuentran justamente en el nodo. A partir de ese momento, el Solse mueve en sentido directo, completando una revolucion siderea en 365.25das medios. Por su parte, los nodos de la orbita lunar retrogradan com-pletando una revolucion en 6798.3 das medios. Por tanto, el Sol volvera acoincidir con el nodo al cabo de 346.26 das medios. El periodo entre doslunas nuevas consecutivas es de 29.53 das. Diecinueve pasos del Sol por elnodo que hemos tomado como referencia son 6585.8 das, mientras que 223lunaciones son 6585.3 das. Quiere decir esto que al cabo de 6585 das y unpoco mas se repetira la situacion de partida, coincidiendo el Sol y la Luna enel nodo en una situacion muy similar a la inicial, reproduciendose el eclipseque tuvo lugar 6585 das antes aproximadamente, que son 18 anos y 11 das(aproximadamente).

Si anotamos las fechas y circunstancias de los eclipses producidos a partirde uno dado durante los 18 anos y 11 das siguientes, obtendremos una serieque se reproducira aproximadamente durante los siguientes perodos Saros.As, el eclipse del 17 de abril de 1912 fue la repeticion de los que ocurrieronel 5 de abril de 1894, el 25 de marzo de 1876, el 15 de marzo de 1858... yas hasta el 25 de mayo de 1389, en que ocurrio por primera vez.

Estas reproducciones no son en numero indefinido debido a que el pasodel Sol por el nodo y la lunacion no son perodos exactamente conmensu-rables. Ademas, intervienen cantidades como paralajes y semidiametros quevaran con perodos distintos que tampoco son conmensurables. Sucede queocurre un cierto eclipse de Sol para unas determinadas posiciones de Sol y


Luna respecto a un nodo. Al cabo de un Saros dicha posicion se repite, peromas cercana al nodo, y as sucesivamente en Saros siguientes, hasta llegar alnodo y rebasarlo. El eclipse continua repitiendose en Saros sucesivos, pero elpaulatino alejamiento de los astros del nodo termina por hacer imposible eleclipse.

Cada serie de eclipses comienza con un eclipse parcial y de escasa dura-cion, siendo solo visible en las inmediaciones de un polo terrestre. En los Sarossiguientes los eclipses de esa serie van siendo de mayor duracion, aun par-ciales, y se extienden a latitudes mas bajas. Mas tarde se manifestara comototal o anular y a partir de ese momento se producira hacia latitudes cadavez mas cercanas al polo opuesto en cuyas inmediaciones se origino la serie.Los ultimos eclipses de la serie son parciales y de escasa duracion. Un eclipsepuede repetirse 60 o 70 veces en otros tantos Saros sucesivos.

Captulo 4

Ecuaciones fundamentales

Mas adelante trataremos las circunstancias en que un eclipse sera obser-vado en un punto dado, respondiendo a preguntas como cual sera la horade comienzo y final, en que puntos se tocaran los limbos del Sol y la Luna,que fraccion del disco solar se vera oscurecida, cuanto durara el eclipse y aque hora se producira el maximo, etc. Pero aqu no nos interesaremos por uneclipse como fenomeno local, sino como un suceso a escala planetaria, y deesta manera nos plantearemos y daremos respuesta a preguntas tales como:en que punto de la Tierra se producira el contacto con el cono de sombrao penumbra, y a que hora; en que zona se prodra observar el eclipse en unmomento dado; en que parte de la superficie de la Tierra se podra observaren algun momento, en que puntos se observara el primer o ultimo contactoal orto o al ocaso del Sol, que trayectoria sobre la superficie seguira la inter-seccion del eje de sombra con la Tierra, cuales seran las lneas lmite norte ysur entre las cuales en algun momento se podra observar el eclipse, etc.

4.1. Posicion del eje de sombra

El eje de sombra, que es aquel que une los centros de la Luna y el Sol,corta a la esfera celeste en el punto en que un observador situado en elcentro de la Luna observara el centro del Sol. Sea S el centro del Sol, Lel centro de la Luna y T el centro de la Tierra. En relacion con la Figura4.1, consideremos un sistema ecuatorial rectangular geocentrico, tal que eleje x de dicho sistema se dirige hacia el punto , el eje y hacia el punto delecuador cuya ascension recta es del 90o y el eje z perpendicular a ambos.En este sistema, las coordenadas esfericas de la Luna son (L, L, r), y lascoordenadas esfericas del Sol (, , R), de donde se siguen las coordenadasrectangulares:

37

38 4. Ecuaciones fundamentales

xL = r cos L cosL

yL = r cos L senL

zL = r sen L (4.1)

X = R cos cos

Y = R cos sen

Z = R sen (4.2)

z

x

y

L

T

S

Figura 4.1 Interseccion del eje de sombra con la esfera celeste

Sea un sistema rectangular selenocentrico, paralelo al anterior. En estesistema, las coordenadas esfericas del Sol son (a, d,G), de forma que lascoordenadas rectangulares del Sol en el sistema selenocentrico son

u = G cos d cos a

v = G cos d sen a

w = G sen d (4.3)

Es claro entonces que

4.1. Posicion del eje de sombra 39

G cos d cos a = R cos cos r cos L cosLG cos d sen a = R cos sen r cos L senL

G sen d = R sen r sen L (4.4)

Aprovechamos ahora el hecho de que, en el eclipse, la diferencia entrela direccion en que aparece la Luna (o el Sol) y el eje de sombra (dada por(a, d)) es pequena. Multiplicando la primera por sen, la segunda por cos yrestando, y multiplicando despues la primera por cos, la segunda por seny sumando:

G cos d sen(a ) = r cos L sen(L )G cos d cos(a ) = R cos r cos L cos(L )

G sen d = R sen r sen L (4.5)

Llamando g = G/R y b = r/R

g cos d sen(a ) = b cos L sen(L )g cos d cos(a ) = cos b cos L cos(L )

g sen d = sen b sen L (4.6)

De las dos primeras se sigue que

tan(a ) = n sen(L )1 n cos(L )

(4.7)

que admite el desarrollo en serie hasta segundo orden 1

a = (

n

sen 1sen(L ) +

n2

2 sen 1sen 2(L )

)(4.8)

donde

n = bcos Lcos

(4.9)

y el divisor sen 1 reduce los valores a segundos de arco.Por otro lado, de las ecuaciones segunda y tercera de (4.6), teniendo en

cuenta que cos(a ) 1 y que cos(L ) 1:1Ver Schaum: Manual de formulas y tablas matematicas


g cos d = cos b cos Lg sen d = sen b sen L (4.10)

Multiplicando la primera por sen , la segunda por cos y restando:

g sen(d ) = b sen(L ) (4.11)Multiplicando la primera por cos , la segunda por sen y sumando:

g cos(d ) = 1 b cos(L ) (4.12)De donde

tan(d ) = b sen(L )1 b cos(L )

(4.13)

que admite el desarrollo en serie:

d = (

b

sen 1sen(L ) +

b2

2 sen 1sen 2(L )

)(4.14)

4.2. Distancia del observador al eje de som-

bra

La Figura 4.2 representa nuestro sistema de referencia geocentrico funda-mental. Este sistema viene determinado por el eje de sombra, cuya direccion(a, d) hemos calculado anteriormente. EL plano es perpendicular al eje desombra y contiene a los ejes x e y. De todos los infinitos planos que contie-nen al eje de sombra, elegimos aquel que contiene tambien al polo norte delsistema ecuatorial, de forma que el eje z es paralelo al eje de sombra y el ejey se encuentra en la interseccion entre el plano y este segundo plano quecontiene al eje de sombra y el polo. El eje x completa un sistema de referenciadirecto.

El plano QQ es el plano del ecuador, sobre el que hemos representado elpunto , origen de las ascensiones rectas. La posicion de la Luna viene dadapor L. Como es facil de ver, la ascension recta del punto X es 90o + a. De larelacion del coseno para el triangulo esferico PLX:

cosLX = cosLP cosPX + senLP senPX cosLPX (4.15)

4.2. Distancia del observador al eje de sombra 41

X

Z

P

L

pi

Q

Q

O

r

Y

Figura 4.2 Sistema fundamental celeste

Pero LP = 90o L, PX = 90o y LPX = 90o + a L. La coordenadax de la Luna es entonces:

x = r cosLX = cos L sen(L a) (4.16)De la misma forma, la coordenada y es

y = r cosLY (4.17)

pero

cosLY = cosLP cosPY + senLP senPY cosLPY (4.18)

donde LP = 90o L, PY = d y LPY = 180o (L a), con lo que

cosLY = sen L cos d cos L sen d cos(L a) (4.19)Finalmente

z = r cosLZ (4.20)

pero

cosLZ = cosLP cosPZ + senLP senPZ cosLPZ (4.21)


y como es facil de ver LP = 90o L, PZ = 90o d y LPZ = L a,luego

cosLZ = sen L sen d+ cos L cos d cos(L a) (4.22)En resumen

x = r[cos L sen(L a)]y = r[sen L cos d cos L sen d cos(L a)]z = r[sen L sen d+ cos L cos d cos(L a)] (4.23)

A O

O

pi

T

S

Figura 4.3 Posicion del observador

En la Figura 4.3, T es el centro de la Tierra y el plano fundamental, taly como ha sido definido. El segmento SA determina el eje de sombra, siendoA la proyeccion de dicho eje sobre el plano fundamental. Finalmente, O esun punto de observacion sobre la superficie de la Tierra y O su proyeccionsobre el plano fundamental.

Si las coordenadas del punto de observacion son (, , ), la distancia delobservador al eje de sombra es

2 = (x )2 + (y )2 (4.24)siendo (x, y) las coordenadas de A sobre el plano fundamental. Esta ecua-

cion puede escribirse en forma parametrica de la forma

4.2. Distancia del observador al eje de sombra 43

senQ = x cosQ = y (4.25)

Para encontrar las coordenadas del punto de observacion tendremos encuenta la Figura 4.4 y llamaremos (, , ) a las coordenadas del punto deobservacion, a la latitud geodesica del punto de observacion, a la latitudgeocentrica, al radio del elipsoide terrestre en el punto de observacion y al tiempo sidereo. O es el cenit del observador, y del triangulo esferico OPXse sigue que

= cosOX = (cosOP cosPX + senOP senPX cosP ) (4.26)

siendo OP = 90o y PX = 90o. El angulo en P es la diferencia entrelas ascensiones rectas de O y X. Como = H (angulo horario del lugarde observacion) y O con P define el meridiano del lugar, H = 0 y = que es la ascension recta del lugar. Por tanto, y como la ascension recta delpunto X es 90 + a, cosP = cos( a 90) = sen( a)

= cos sen( a) (4.27)

X

Z

P

pi

O

Y

Figura 4.4 Posicion del observador


Meridiano

1

a

Meridianode Greenwich

local

Punto Z

Figura 4.5 Relacion entre algunos angulos

Considerando igualmente el triangulo OPY :

= cosOY (4.28)

De la relacion del coseno, teniendo en cuenta que OP = 90o, PY = dy OPY = 180o + a :

= (sen cos d cos sen d cos( a)) (4.29)Finalmente, en el triangulo OPZ

= cosOZ (4.30)

y teniendo en cuenta que PZ = 90o d, OP = 90o y ZPO = a:

= (sen sen d+ cos cos d cos( a)) (4.31)En resumen

= cos sen( a) = (sen cos d cos sen d cos( a)) = (sen sen d+ cos cos d cos( a)) (4.32)

Si ahora definimos A y B mediante las ecuaciones

A senB = sen

A cosB = cos cos( a) (4.33)

4.3. Radios de los conos de sombra y penumbra 45

Podemos escribir

= cos sen( a) = A sen(B d) = A cos(B d) (4.34)

Finalmente, observando la Figura 4.5, a es el angulo horario delpunto Z. Si para un instante dado HZ es el angulo horario de Z respecto almeridiano origen y es la latitud oeste del lugar de observacion, entonces elangulo horario de Z para el observador es

= a = HZ (4.35)

4.3. Radios de los conos de sombra y penum-

bra

Llamaremos:

D distancia Tierra-Sold distancia Tierra-LunaS semidiametro del Sols semidiametro de la LunaR radio del Solr radio de la LunarT radio de la TierraP paralaje del Solp paralaje de la Lunac distancia del vertice del cono al plano principalk razon entre los radios de la Luna y del ecuador terrestrel radio del cono de sombra o penumbra en plano principalL radio del cono de sombra o penumbra en el plano z = f angulo del cono de sombra o penumbra

En la Figura 4.6, que representa el cono de sombra, l = EF , L = CD,c = V F . Tambien tenemos senP = rT/D y sen p = rT/d, de donde d/D =senP/ sen p. Llamando P0 al paralaje medio del Sol y tomando como unidadla distancia media Tierra-Sol, se tiene

d =senP0sen p

(4.36)


R = senS (4.37)

y

r = k senP0 (4.38)

S N A

B

V

C D

E F pi

M

Figura 4.6 Radio del cono de sombra

Entonces

sen f =SN

MS=SA AN

MS=

senS k senP0gd

(4.39)

donde hemos introducido g como la razon entre las distancias Luna-Sol yTierra-Luna. Si con la misma notacion razonamos ahora sobre la Figura 4.7para el cono de penumbra, tenemos que

sen f =SN

MS=

SA+ AN

MS=

senS + k senP0gd

(4.40)

4.3. Radios de los conos de sombra y penumbra 47

pi

AN

S

VB

D

F

C

E

M

Figura 4.7 Radio del cono de penumbra

Si tomamos ahora como unidad el radio terrestre, tanto para el cono desombra como para el de penumbra

sen f =MB

MV(4.41)

Para el cono de sombra

c = V F = z MV = z ksen f

(4.42)

y para el cono de penumbra

c = V F = z +MV = z +k

sen f(4.43)

De aqu que el radio del cono en el plano fundamental sea

l = V F tan f = z tan f k sec f (4.44)


donde el signo menos se refiere al cono de sombra y el signo mas al depenumbra. A la altura del observador, el radio del cono es

L = (c ) tan f = l z tan f (4.45)Para el cono de penumbra, c es siempre positivo, y por tanto tambien

L es siempre positivo. Para el cono de sombra, c es negativo si el verticecae por debajo del plano del observador. En este caso se produce un eclipsetotal y L es una cantidad negativa. Cuando el vertice del cono de sombra caepor encima del plano del observador, L es positivo, y en este caso el eclipsees anular. Por brevedad, llamaremos i = tan f .

4.4. Expresion analtica de la condicion de

principio o fin del eclipse

Comenzara o terminara un eclipse en un punto cuando su distancia al ejede sombra sea igual al radio del cono en el plano paralelo al fundamental quecontiene al punto, es decir, cuando

= L (4.46)

o lo que es igual

(x )2 + (y )2 = (l i)2 (4.47)que puede escribirse en la forma parametrica

x = (l i) senQy = (l i) cosQ (4.48)

(4.46) es la ecuacion fundamental de la teora de eclipses. Las cantidades(a, d, x, y, l, i) pueden ser calculadas mediante las formulas anteriores. Sonindependientes del lugar de observacion y es conveniente tabularlas a inter-valor desde unas horas antes hasta unas horas despues de la conjuncion enlongitud del Sol y la Luna. A partir de esta tabla, por interpolacion, puedencalcularse para cualquier instante intermedio. A estos elementos se les conocecomo elementos Besselianos del eclipse y son publicados, por ejemplo, en laEfemerides del Observatorio de San Fernando (donde en lugar de la ascensionrecta del punto Z se da el angulo horario para Greenwich).

Captulo 5

Prevision general de eclipses

solares

5.1. Interseccion del cono con la superficie te-

rrestre

5.1.1. Tratamiento clasico

La lnea de interseccion del cono con la superficie de la Tierra contiene atodos los puntos desde los cuales pueden verse los limbos del Sol y la Lunaen contacto. Notese que esto es valido tanto para el cono de sombra comopara el cono de penumbra.

La distancia de tales puntos al eje de sombra es igual al radio del conoen el plano paralelo al fundamental que contiene al observador. Tendremospor tanto:

(l i) senQ = x (l i) cosQ = y (5.1)

siendo = a = HZ , recordemos que

= cos sen

= sen cos d cos sen d cos = sen sen d+ cos cos d cos (5.2)

Las cinco ecuaciones anteriores involucran a las seis variables (, , , , ,Q), una de las cuales puede ser tomada como parametro. Para cada valor

49

50 5. Prevision general de eclipses solares

del parametro, las ecuaciones anteriores determinan al resto de variables.Tomaremos Q como parametro. En la forma en que estan escritas, aparece lacantidad () 1 . Se puede despreciar el achatamiento tomando en primerainstancia = 1 y obteniendo de esta forma un valor aproximado de .Una vez conocida la latitud geocentrica volvemos al principio calculando con(). El procedimiento puede iterarse hasta que dos valores sucesivos de difieran en una cantidad inferior a una dada.

Este proceso puede evitarse siguiendo las transformaciones dadas por Bes-sel que permiten tener en cuenta el achatamiento desde el principio. Consistensimplemente en introducir los resultados conocidos:

cos = cos(1 e2 sen2 )1/2 sen = (1 e2) sen(1 e2 sen2 )1/2tan = (1 e2) tan (5.3)

donde se ha tomado como unidad el radio ecuatorial. Bessel introdujoalgunos cambios de variable que permitiesen escribir las ecuaciones en unaforma mas sencilla y simetrica. En primer lugar, introduciendo 1 a partirde

cos1 = cos(1 e2 sen2 )1/2 (5.4)se tiene

sen1 = (1 cos2 1)1/2 = (1 e2)1/2 sen(1 e2 sen2 )1/2 (5.5)con lo cual

cos = cos1

sen = (1 e2)1/2 sen1 (5.6)Las ecuaciones (5.2) se escriben ahora:

= cos1 sen

= sen1(1 e2)1/2 cos d cos1 sen d cos = sen1(1 e2)1/2 sen d+ cos1 cos d cos (5.7)

1Vease en el apendice la relacion entre latitud geocentrica, a la que estamos llamando, y latitud geodesica, definida a partir de la normal al elipsoide terrestre en el punto deobservacion y que aqu llamaremos

5.1. Interseccion del cono con la superficie terrestre 51

Introduzcamos ahora las variables (1, 2, d1, d2) mediante las ecuaciones

1 sen d1 = sen d

2 cos d2 = cos d

1 cos d1 = (1 e2)1/2 cos d2 sen d2 = (1 e2)1/2 sen d (5.8)

con lo cual

= cos1 sen

= 1 sen1 cos d1 1 cos1 sen d1 cos = 2 sen1 sen d2 + 2 cos1 cos d2 cos (5.9)

Pongamos ahora 1 = /1 y definamos 1 a partir de la ecuacion

2 + 21 + 21 = 1 (5.10)

o lo que es igual:

= cos1 sen

1 = sen1 cos d1 cos1 sen d1 cos 1 = sen1 sen d1 + cos1 cos d1 cos (5.11)

La cantidad 1 difiere tan poco de que puede sustituirse la una por laotra en el termino i . Pero si se desea mayor precision, puede recuperarse una vez conocido 1. En efecto, de la segunda y la tercera de (5.11)

cos1 cos = 1 sen d1 + 1 cos d1sen1 = 1 cos d1 + 1 sen d1 (5.12)

que sustituidos en dan

= 21 cos(d1 d2) 21 sen(d1 d2) (5.13)


El problema tiene ahora la forma:

(l i) senQ = x (l i) cosQ = y 2 + 21 +

21 = 1 (5.14)

que para un valor de Q determinan (, 1, 1). Una vez conocidos estos,las ecuaciones

cos1 sen =

cos1 cos = 1 sen d1 + 1 cos d1sen1 = 1 cos d1 + 1 sen d1 (5.15)

proporcionan (1, ) con los cuales se encuentran la latitud y longitud delpunto correspondiente al valor de Q mediante

tan = (1 e2)1/2 tan1 = HZ (5.16)

Una vez establecido el plan, procedemos en primer a resolver (5.14). Dela primera y la segunda

= x l senQ+ i1 senQ1 =

y

1 l cosQ

1+i11

cosQ y1 l cosQ

1+ i1 cosQ (5.17)

Si introducimos las variables y a traves de las ecuaciones

a = x l senQ = sen sen b =

y

1 l cosQ

1= sen cos (5.18)

tenemos

= sen sen + i1 senQ

1 = sen cos + i1 cosQ (5.19)


que sustituimos en la tercera de (5.14) para encontrar

211 2 21 = cos2 2i1 sen cos(Q ) i221 (5.20)de donde

1 =2i sen cos(Q )

2(1 + i2)(2i sen cos(Q ))2 + 4(1 + i2) cos2

2(1 + i2)(5.21)

y si despreciamos terminos en i2

1 = (cos i sen cos(Q )) (5.22)Para eliminar la ambiguedad en el signo, vemos que la generatriz del

cono corta a la superficie de la Tierra en dos puntos, uno por encima y otropor debajo del plano fundamental. Pero si observamos un eclipse lo hacemospor encima del plano fundamental, con lo cual habremos de tomar el valorpositivo. y vienen determinados por (5.18). Conocidos ambos, (5.22)proporciona 1 y (5.19) (, 1). El problema se acaba de resolver usando(5.15) y (5.16)

De los puntos pertenecientes a la lnea que hemos encontrado, en unos eleclipse estara comenzando y en otros acabando. Si en un instante T un puntose encuentra sobre la superficie del cono, en un instante posterior T + dT seencontrara dentro o fuera del mismo segun que el eclipse este comenzando oterminando. Es decir, segun que la derivada

d

dT[(x )2 + (y )2 (l i)2] (5.23)

sea negativa o positiva. Si llamamos P a la derivada:

P = (x )[dx

dT ddT

]+(y )

[dy

dT ddT

] (l i)

[dl

dT i d

dT

](5.24)

y teniendo en cuenta (5.1)

P = (l i) [(x ) senQ+ (y ) cosQ (l i )] = LP (5.25)

La cantidad P sera positiva o negativa segun que L y P tengan signosiguales u opuestos. Para eclipses anulares, L es positivo, y por tanto el eclipsecomienza o termina segun que P sea negativo o positivo. Para eclipses totales


L es negativo, y el eclipse comienza o termina segun que P sea positivo onegativo.

(x, y, l) se deducen de la tabla de elementos Besselianos, pero (, , )han de encontrarse a partir de (5.2). En efecto, de la segunda y tercera setiene que

cos d sen d = cos cos (5.26)y que

sen d+ cos d = sen (5.27)

A partir de las cuales, derivando la tercera

= d cos d (5.28)y usando las ecuaciones parametricas (5.1)

= d [y (l i) cosQ] + [(l i) senQ cos d x cos d] (5.29)

y de la misma forma calculamos las derivadas de y . En definitiva:

= [y sen d+ cos d+ (l i) sen d cosQ] = [x sen d (l i) sen d senQ] d = [(l i) senQ cos d x cos d] + d [y (l i) cosQ] (5.30)

Sustituyendo en P , despreciando terminos en i2 e id:

P = a b cosQ+ c senQ ( cos d senQ d cosQ) (5.31)

con

a = l ix cos db = y + x sen dc = x + y sen d+ il cos d (5.32)

En la practica, cuando se dibujan sobre el mapa las intersecciones del conocon la superficie de la Tierra, se advierte inmediatamente en que puntosel eclipse esta comenzando y en que puntos terminando. La condicion decomienzo o fin del eclipse puede ponerse en forma mas compacta llamando


e senE = b

e cosE = c

f senF = d

f cosF = cos d (5.33)

con lo cual

P = ae sen(Q E) f sen(Q F ) (5.34)Puesto que solo nos interesa el signo de P y como a y F son cantidades

muy pequenas, poniendo 1 en lugar de encontramos que, para eclipsesanulares o parciales

e sen(Q E) < 1f senQ (5.35)cuando el eclipse esta empezando, y

e sen(Q E) > 1f senQ (5.36)cuando el eclipse esta terminando. Para eclipses totales las condiciones

son las inversas:

e sen(Q E) < 1f senQ (5.37)cuando el eclipse esta terminando y

e sen(Q E) > 1f senQ (5.38)cuando el eclipse esta comenzando.

5.1.2. Metodo iterativo

Los numerosos cambios de variable pueden oscurecer una idea que enesencia es sencilla. Por ese motivo presentamos en este apartado y en elsiguiente dos metodos basados en las ecuaciones fundamentales. Partimos de

(l i) senQ = x (l i) cosQ = y cos sen =

sen cos d cos sen d cos = sen sen d+ cos cos d cos = (5.39)


En primera aproximacion, supondremos que la Tierra es esferica y toma-remos = 1:

(l i) senQ = x (l i) cosQ = y 2 + 2 + 2 = 1 (5.40)

Iniciamos el procedimiento iterativo tomando como valores iniciales, pues-to que i es pequeno:

0 = x l senQ0 = y l cosQ0 = (1 20 20)1/2 (5.41)

Con estos valores de partida:

n = x (l in1) senQn = y (l in1) cosQn = (1 2n 2n)1/2 (5.42)

El procedimiento converge rapidamente hacia la solucion. Una vez obte-nida esta:

= cos sen


de donde

cos sen =

sen = cos d+ sen d

cos cos = sen d+ cos d (5.44)

que proporcionan una primera aproximacion de y de y por tanto de y mediante


tan = (1 e2) tan = HZ (5.45)

donde e2 = 1 b2/a2 (a es el semieje mayor del elipsoide terrestre y b elsemieje menor). Conocida , obtenemos en segunda aproximacion el radioterrestre:

=1 e2

1 e2 + e2 sen2 (5.46)

Esto nos permite encontrar en segunda aproximacion las coordenadas delpunto de la curva partiendo de

(l i) senQ = x (l i) cosQ = y 2 + 2 + 2 = 2 (5.47)

Para ello, iniciamos la iteracion con unos valores iniciales:

0 = x l senQ0 = y l cosQ0 = (

2 20 20)1/2 (5.48)

siguiendo el esquema de calculo

n = x (l in1) senQn = y (l in1) cosQn = (

2 2n 2n)1/2 (5.49)

que conduce a una terna (, , ) que satisface ahora

= cos sen


de donde


cos sen =

sen =

cos d+

sen d

cos cos = sen d+

cos d (5.51)

y obtenemos una segunda aproximacion de y y por consiguiente y, con las que puede calcularse una nueva aproximacion para y reiniciar elproceso. En segunda aproximacion sin embargo el resultado es ya satisfacto-rio, teniendo en cuenta que estamos despreciando el efecto de la refraccionatmosferica. Un valor de Q proporciona uno de los puntos de la curva. Si to-da generatriz del cono intersecta a la superficie de la Tierra, obtenemos unacurva cerrada y el proceso descrito anteriormente converge para todo valor deQ. Si el cono es intersectado parcialmente por la Tierra, habra valores de Qpara los que el procedimiento no converja. En ese caso, la curva intersecciones abierta.

5.1.3. Metodo analtico cartesiano

Planteemos el problema, de nuevo, desde el punto de vista de las ecua-ciones basicas. La lnea de sombra es perpendicular al plano fundamental,de forma que para cada constante queda determinado un plano paralelo alfundamental que puede cortar o no a la lnea que es interseccion del cono desombra con el elipsoide terrestre.

Si partimos de

(x )2 + (y )2 = (l i)22 + 2 + 2 = 2 (5.52)

y tomamos como parametro, el sistema anterior determina y . Enefecto, llamando n2 = 2 2, y m2 = (l i)2, 2 = n2 2, de donde

2 A +B = 0 (5.53)con

= x2 + y2 + n2 m2 (5.54)

5.2. Curva de contacto en el horizonte 59

A =y

x2 + y2(5.55)

y

B =2 4x2n24(x2 + y2)

(5.56)

Se produce interseccion entre el plano =constante y la interseccion delcono con el elipsoide si el discriminante de la ecuacion de segundo grado en es mayor o igual a cero. En ese caso, existen dos soluciones = n2 2.De las cuatro soluciones, solo son validas aquellas que satisfacen las ecuacio-nes originarias, donde en primera aproximacion podemos tomar = 1. Unavez conocidas (, , ), a partir de (5.2) obtenemos la latitud y longitud dela interseccion teniendo en cuenta

cos sen =

cos cos = cos d sen d sen = cos d+ sen d (5.57)

donde, siendo siempre cos > 0, las dos primeras determinan sin am-biguedad el cuadrante de . Estos valores nos permiten recalcular , queusamos en las ecuaciones anteriores para encontrar una mejor aproximacion.Todo el proceso puede programarse sin dificultad.

5.2. Curva de contacto en el horizonte


Esta curva esta formada por aquellos puntos para los cuales el eclipsecomienza o termina cuando el Sol se encuentra en el horizonte. Dado queen este caso el efecto de la refraccion atmosferica es notable, sera suficientetomar 1 = 0 como la condicion que han de satisfacer todos esos puntos sintemor a cometer un error mayor que el ya asumido al despreciar la refraccion.Entonces (5.1) adopta la forma simple

l senQ = x l cosQ = y (5.58)

Llamando


m senM = x

m cosM = y

p sen =

p cos = (5.59)

obtenemos

l senQ = m senM p sen l cosQ = m cosM p cos (5.60)

de donde

l2 = m2 + p2 2mp cos(M ) (5.61)o bien

l2 (m p)22mp

= 1 cos(M ) = 2 sen2 12(M ) (5.62)

Finalmente, poniendo = M o bien = M

sen

2=

((l +m p)(l m+ p)

4mp

)1/2(5.63)

/2 ha de tomarse siempre menor que 90o y el doble signo permite calcularlos dos puntos de la superficie de la Tierra que satisfacen la condicion enun instante dado. En (5.48) conocemos (l,m,M), pero desconocemos p. Sinembargo, de

2 + 21 = 1

p sen =

p cos = (5.64)

se deduce que ha de ser p 1. Tomando en primera aproximacion p = 1en (5.62) obtenemos un valor de que puede mejorarse de la siguiente forma:poniendo = sen , de 2 + 21 = 1, 1 = cos

, y como = 11:

p sen = sen

p cos = 1 cos (5.65)

5.2. Curva de contacto en el horizonte 61

de donde

tan =1

1tan (5.66)

y

p =sen

sen =1 cos

cos (5.67)

Este nuevo valor de p puede usarse en (5.62) para obtener una mejoraproximacion de y a partir de ah un que puede tomarse como definitivo.De (5.15):

cos1 sen = sen

cos1 cos = cos sen d1sen1 = cos

cos d1 (5.68)

que junto con (5.16) resuelven el problema.El Sol esta en el orto o en el ocaso segun que el angulo , que es el angulo

horario del punto Z, se encuentre entre 180o y 360o o entre 0o o 180o. Quedapor determinar si el eclipse esta empezando o terminando. Como = 0 y a

es pequena, a efectos practicos basta conocer el signo de sen(Q E). As,para eclipses anulares o parciales tenemos que el eclipse esta comenzando si

m sen(M E) < p sen( E) (5.69)y terminando si

m sen(M E) > p sen( E) (5.70)

5.2.2. Tratamiento cartesiano

Nuevamente, los cambios de variable pueden oscurecer una idea sencilla,y si bien tenan pleno sentido cuando los medios de calculo eran limitados,tienen menos justificacion cuando los ordenadores han puesto potencia decalculo al alcance de cualquiera y es preferible la simplicidad en el procesode calculo a la velocidad a que este puede hacerse.

As, si partimos de las ecuaciones fundamentales, tomando = 1 enprimera aproximacion:

2 + 2 = 1

(x )2 + (y )2 = l2 (5.71)


despejando de la primera y sustituyendo en la segunda tenemos para una ecuacion de segundo grado:

2 A +B = 0 (5.72)con

= x2 + y2 l2 + 1 (5.73)

A =y

x2 + y2(5.74)

y

B =2 4x24(x2 + y2)

(5.75)

De esta ecuacion obtenemos dos valores para , y (como = 1 2)cuatro valores de . Tenemos en total cuatro soluciones, de las cuales solo dosson validas: aquellas que satisfacen al sistema original (5.62). La identificacionde estas dos soluciones puede programarse de forma trivial, una vez hecho locual, de (5.42) con = 0:

cos sen =

sen = cos d

cos cos = sen d (5.76)se sigue

= sen1( cos d)

= tan1

sen d(5.77)

En una segunda aproximacion, calculamos (), en la primera de (5.62)sustituimos la unidad por 2 y una vez obtenidas (, ), recalculamos longitudy latitud tomando en (5.63) (/, /) en lugar de (, ).

5.3. Lmites temporales del eclipse


Para calcular, por un metodo u otro, las curvas de contacto en el horizonte,es preciso delimitar el intervalo en que la solucion es posible. Cuando la

5.3. Lmites temporales del eclipse 63

superficie del cono sea tangente al elipsoide, las dos soluciones se reduciran auna, lo que ocurre cuando (centrandonos en el metodo trigonometrico) = 0,es decir, cuandoM = . Pero si = 0, el numerador del segundo miembro de(5.63) tambien ha de anularse, con lo que tenemos las posibilidades l+mp =0 y l m+ p = 0.

Hay dos tangencias exteriores del cono con el elipsoide: la que da comienzoal eclipse, primer punto de la superficie de la Tierra desde el que se observacontacto, y la que le da fin, ultimo punto de la superficie que observa contacto.En ambos casos, el eje del cono se encuentra fuera de la Tierra, con lo queha de ser

m = (x2 + y2)1/2 = p+ l (5.78)

que es el valor mas alto de las dos condiciones anteriores. Los contactosinteriores ocurren cuando el eje intersecta al elipsoide, con lo que es

m = p l (5.79)Tenemos por tanto en el primer y ultimo contacto

(p+ l) senM = x

(p+ l) cosM = y (5.80)

Sea T el instante en que estas condiciones se satisfacen. Si T0 es un ins-tante intermedio, pongamos

T = T0 +

x = x0 + x

y = y0 + y (5.81)

Llamando

m0 senM0 = x0

m0 cosM0 = y0

n senN = x

n cosN = y (5.82)

las condiciones (5.80) se escriben


(p+ l) senM = m0 senM0 + n senN

(p+ l) cosM = m0 cosM0 + n cosN (5.83)

a partir de donde

(p+ l) sen(M N) = m0 sen(M0 N)(p+ l) cos(M N) = m0 cos(M0 N) + n (5.84)

y llamando = M N :

sen =m0 sen(M0 N)

p+ l

=p+ l

ncos m0

ncos(M0 N)

T = T0 + (5.85)

Dado sen, cos puede ser positivo o negativo, dando dos valores de y por ende los dos contactos exteriores.

Para los contacto interiores:

sen =m0 sen(M0 N)

p l =

p ln

cos m0n

cos(M0 N) (5.86)

Estos dos contactos no pueden ocurrir cuando p l < m0 sen(M0 N).Asumiremos que p = 1 en (5.71). Teniendo en cuenta que = M , y comoN =M+, = N+, valor con el que calculamos una nueva aproximacionde p mediante (5.50) y (5.51), que empleamos nuevamente en (5.71)


La condicion, expresada a partir de las ecuaciones fundamentales carte-sianas, es directa. Porque, tomando = 1, el contacto entre el elipsoide y elcono se expresa como que

x2 + y2 = (1 + l)2 (5.87)

5.4. Curva de maximo en el horizonte 65

Si tomamos un instante intermedio T0 en el que las coordenadas tomanvalores (x0, y0) y el radio del cono l0, en los instantes del contacto primeroy ultimo, que tienen lugar en T = T0 + ( podra tener signo positivo onegativo), se cumplira:

x = x0 + x

y = y0 + y

l = l0 + l (5.88)

Las derivadas se pueden calcular por interpolacion lagrangiana 2. Susti-tuyendo estas ultimas en la condicion (5.87) queda planteada una ecuacionde segundo grado en de la forma a 2 + b + c = 0 y coeficientes

a = x2 + y2 l2b = 2(x0x

+ y0y l(1 + l0))

c = x20 + y20 (1 + l0)2 (5.89)

Los instantes de comienzo y final vienen dadas entonces por T0 . Laprecision puede mejorarse tomando alternativamente un T0 un poco poste-rior al comienzo del eclipse y adoptando como instante de comienzo T0 ,descartando sin embargo T0 + como instante final, que se calculara toman-do ahora un T0 proximo al final y adoptando T0 + como hora del ultimocontacto.

5.4. Curva de maximo en el horizonte


Buscamos la curva que contiene a los puntos desde los que se observa elmaximo del eclipse con el Sol en el horizonte. Cuando un punto de la Tierrade coordenadas (, , ) no se encuentra en la superficie del cono sino a unadistancia de su eje, tenemos:

senQ = x cosQ = y (5.90)

2Vease apendice


El grado de oscurecimiento, que definimos como la fraccion del diametrosolar oculta por la Luna, depende de que distancia el lugar de observacionse encuentre inmerso en el cono, es decir, de la distancia L, siendo L elradio del cono de sombra en un plano paralelo al principal y que contiene alpunto de observacion. Para el maximo del eclipse se cumplira la condicion

dL

dT d

dT= 0 (5.91)

De (5.90)

d

dTsenQ+cosQ

dQ

dT= x

d

dTcosQsenQdQ

dT= y (5.92)

se sigue

d

dT= (x ) senQ+ (y ) cosQ (5.93)

y de L = l i :dL

dT= l i (5.94)

de forma que la condicion (5.91) no es otra que

(x ) senQ+ (y ) cosQ (l i ) = 0 (5.95)o

P = 0 (5.96)

Recordemos que

P = a b cosQ+ c senQ ( cos d senQ d cosQ) (5.97)

o de forma mas compacta segun (5.34)

P = a + e sen(QE) f sen(Q F ) (5.98)donde e, E, f y F fueron introducidas en (5.33). Como no necesitamos

gran precision, puesto que las observaciones del maximo en el horizonte noson especialmente importantes, bastara tomar = 0 y a = 0, con lo que lacondicion (5.98) se reduce a


sen(QE) = 0 (5.99)que se cumple si Q = E o si Q = E + 180o, de donde (5.90) queda

senE = x cosE = y (5.100)

que junto con

2 + 21 = 1 (5.101)

determinan los puntos de la curva requerida. El angulo E es conocidopara cada instante, pero no. Escribiendo

m senM = x

m cosM = y

p sen =

p cos = (5.102)

tenemos

senE = m senM p sen cosE = m cosM p cos (5.103)

de donde

0 = m sen(M E) p sen( E) = m cos(M E) p cos( E) (5.104)

y llamando = E:

sen =m sen(M E)

p

= m cos(M E) p cos (5.105)

La primera de estas ecuaciones da dos valores de , ya que podemostomar el coseno como positivo o negativo. Pero como satisfacen el problema


aquellos puntos que se encuentran dentro del cono, ha de ser < L. Portanto, el valor de para el cual > L ha de ser desechado. Por otra parte,p es un numero proximo a 1, y podemos tomar este valor para calcular unaprimera aproximacion de . Entonces, = +E y mediante (5.66) y (5.67)obtendremos un valor de con el que recalcular . A partir de este nuevovalor, , y de tan = 1 tan ,

. La longitud y latitud de un punto de lacurva buscada para un cierto valor de E la encontramos a partir de (5.16).

El intervalo temporal en que existe solucion a este problema esta incluidoen el intervalo determinado anteriormente al buscar las curvas de contactoen el horizonte.

Por otra parte, el grado de oscurecimiento se expresa como la fracciondel diametro aparente del Sol cubierto por la Luna. Cuando el punto deobservacion se encuentra inmerso en la penumbra hasta llegar al borde mismode la sombra, en cuyo momento se observara eclipse total, la distancia delpunto al borde de la penumbra es igual a la diferencia entre los radios de lapenumbra y de la sombra, que es la suma algebraica LL1, ya que L1, el radiode la sombra en el plano del observador, es negativo. En cualquier otro caso,la distancia del lugar de observacion a la penumbra es L , con lo que,aproximadamente, el grado de oscurecimiento es

D =LL L1

(5.106)

Como puede apreciarse en la Figura 5.1, el grado de oscurecimiento paraun observador situado en Q es

D =AB

AC(5.107)

que es aproximadamente

D =QL

L1L L

L+ L1(5.108)

Esta formula puede usarse si el eclipse es anular, en cuyo caso L1 espositivo. Incluso cuando = 0, y en consecuencia el eclipse es central, elvalor de D dado por (5.94) es menor que la unidad, como debe ser de acuerdocon el hecho de que el oscurecimiento no es total, ya que puede observarseun delgado anillo alrededor de la Luna. En nuestro caso, = 0 y

D =Ll + l1

(5.109)

siendo l y l1 los radios de penumbra y sombra en el plano principal.


Q LL1

BA S C

M

Figura 5.1 Grado de oscurecimiento


Volviendo una vez mas a las ecuaciones fundamentales, la condicion

d

dT( L) = 0 (5.110)

se expresa como

(x )(x ) + (y )(y ) l(l i ) = 0 (5.111)donde hemos tomado = 0. La otra condicion es que el punto buscado

pertenezca al elipsoide:

2 + 2 = 1 (5.112)

Por otro lado:

= sen d = sen d

= d cos d (5.113)


Sustituyendo (5.113) en (5.111) y llamando

a = sen db = cos d (5.114)

obtenemos la ecuacion

A B + C = 0 (5.115)con

A = ax y + lidB = x + ay + lbi

C = xx + yy ll (5.116)

de forma que tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incognitas

A B + C = 02 + 2 = 1 (5.117)

Las soluciones de este sistema son las intersecciones de la recta () re-presentada por la primera, que tiene ordenada en el origen p = C/A ypendiente q = B/A con la circunferencia determinada por la segunda, y son

= p+ q

=pq

p2q2 (1 + q2)(p2 1)

1 + q2(5.118)

Para discriminar cual de las dos es valida y cual no, vease que (x, y) y(, ) han de estar en el mismo cuadrant

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