Economía Matemática -...

Programa 2017 Bibliografía Modalidad de enseñanza y Sistema de evaluación Problemas de Optimización: comentarios iniciales Tema 1: Optimización con restricciones de igualdad Tema 2: Optimización con restricciones de desigualdad

Economía Matemática

Martín Brun - Mijail Yapor

Facultad de Ciencias Económicas y de Administración - UdelaR

Agosto - Diciembre, 2017

Mijail Yapor Economía Matemática


Índice

1 Programa 2017

2 Bibliografía

3 Modalidad de enseñanza y Sistema de evaluación

4 Problemas de Optimización: comentarios iniciales

5 Tema 1: Optimización con restricciones de igualdad

6 Tema 2: Optimización con restricciones de desigualdad



Programa 2017 (resumido)

Objetivo general del curso: comprensión de las herramientasfundamentales de optimización estática y dinámica (en tiempocontinuo y discreto), y de los conceptos de equilibrio yconvergencia. Se busca introducir los conceptos matemáticosapropiados, y muy especialmente se pretende abordar dichosconceptos a la luz de la teoría económica más moderna.



Programa 2017 (resumido), cont.

Parte I: Optimización Estática:

Tema 1: Problemas de Optimización Estática.

Optimización con restricciones de igualdad.Optimización con restricciones de desigualdad.Aplicaciones.

Tema 2: Estática Comparativa.

Naturaleza y objetivos de la estática comparativa.Conceptos introductorios necesarios para el análisis.Análisis estático-comparativo de modelos con funcionesgenerales.Aplicaciones.




Parte II: Optimización Dinámica

Tema 3: Ecuaciones diferenciales.

De�nición general.Ecuaciones Diferenciales lineales de primer y segundo orden.Conceptos de equilibrio y convergencia.Análisis Cualitativo: Diagrama de Fases y Tipos de Equilibrio.Sistemas de Ecuaciones Diferenciales.Linealización de sistemas no lineales y Análisis de Estabilidad.Aplicaciones.

Tema 4: Control óptimo.

Introducción general a los problemas de Control Óptimo.El principio del máximo e interpretación económica delprincipio del máximo.Problemas con horizonte in�nito.Problemas con más de una variable de estado y control.Aplicaciones.




Tema 5: Ecuaciones en diferencias.

De�nición.Ecuaciones en Diferencias lineales de primer orden.Ecuaciones en Diferencias lineales de orden superior.Conceptos de equilibrio y convergencia en tiempo discreto.Sistemas de Ecuaciones en Diferencias lineales.Aplicaciones.

Tema 6: Programación dinámica.

Introducción a la programación dinámica, principalesconceptos.Formulación recursiva.Formulación secuencial y ecuación de Bellman.Aplicaciones.



Bibliografía (*Obligatoria, **Recomendada)

*Chiang, A. & Wainwright,K. (2006). Métodos Fundamentalesde Economía Matemática.*Chiang, A. (1992). Elements of Dynamic Optimization.*Lomeli, H. & Rumbos, B. (2001). Métodos Dinámicos enEconomía.**Bray, M, Razin, R & Sarychev, A (2014). Mathematicaleconomics.**LeVan, C. & Dana, R.A. (2003). Dynamic Programming inEconomics.**Ljungquist, L. & Sargent, T. J. (2004). RecursiveMacroeconomic Theory.**Obstfeld, M. & Rogo�, K. (1996). Foundations ofInternational Macroeconomics.**Simon, C. & Blume, L. (1994). Mathematics for Economists.**Sydsaeter, K., Strom, A. & Berck, P. (2005). Economists'Mathematical Manual.**Weber, T. A. (2011). Optimal Control Theory withaplications in economics.



Modalidad de enseñanza y Sistema de evaluación

Modalidad de cursado: Teórico - Práctico, con 5 horas de clasesemanales.

Evaluaciones: 2 revisiones (85 puntos) + 3 pruebas en EVA(15 puntos).

Requisitos de exoneración: mínimo 40% de cada revisión y50% del total acumulado.

Examen libre con 50% de mínimo de aprobación.

Programa completo enhttp://eva.fcea.edu.uy/course/view.php?id=29


http://eva.fcea.edu.uy/course/view.php?id=29


Problemas de Optimización: comentarios iniciales

Fundamentos:

La economía como el estudio de la asignación óptima derecursos escasos.

Dos conceptos:

óptimo: relacionado a algún tipo de problema de optimización.escasez: los recursos no son in�nitos, estamos sujetos a algúntipo de restricción.

Esta restricción implica una dependencia entre las variablesseleccionadas...

... por lo que el óptimo se realiza sobre un espacio restringido.



Optimización con restricciones de igualdad

El problema general:

Max ó Min f (x1, ..., xn)

s.a : g1(x1, ..., xn) = c1, ..., gm(x1, ..., xn) = cm ,

(1)

donde (x1, ..., xn) ∈ Rn, f es denominada la función objetivo yg1...gm se denominan funciones de restricción.

En economía suele suponerse, además, que xi > 0 ∀ i = 1, ..., n

Cómo encontrar los valores óptimos (o estacionarios)?



1 El método de los multiplicadores de Lagrange:

Consideremos un ejemplo de maximización sencillo, con dosvariables y una sola restricción. El problema ahora es:

Max f (x , y)s.a : g(x , y) = c

(2)

De�nimos el Lagrangeano o función lagrangiana (L) como:

L = f (x , y) + λ[c − g(x , y)] (3)

El problema de encontrar el máximo restringido de f respecto delas variables x e y es idéntico al de hallar el máximo libre de L,considerando a λ como una tercer variable de elección.



Teorema (1)

Sean f y g funciones con derivadas primeras continuas. Si existe

x∗ = (x∗, y∗), solución del problema:

Max f (x , y)s.a : g(x , y) = c

Si a su vez (x∗, y∗) no es punto crítico de g. Existe entonces un

número real λ∗ tal que (x∗, y∗, λ∗) es punto crítico del lagrangiano

L = f (x , y) + λ[c − g(x , y)]

Es decir, para (x∗, y∗, λ∗), la condición de primer orden será:

L1 =∂L∂x

= 0, L2 =∂L∂y

= 0, Lλ =∂L∂λ

= 0.



Desarrollando las tres condiciones de este teorema tenemos:

L1 = ∂L∂x = fx − λgx = 0

L2 = ∂L∂y = fy − λgy = 0

Lλ = ∂L∂λ = c − g(x , y) = 0

(4)

Donde como puede observarse la última condición no es más que larestricción del problema de optimización.



2 El método del diferencial total:

Tomemos z = f (x , y). El diferencial total de z es:

dz = fxdx + fydy (5)

Si trabajáramos sin restricciones, la condición de primer orden parahallar el extremo libre se da cuando:

dz = fxdx + fydy = 0 (6)

Sin embargo, al imponer una restricción de la forma g(x , y) = c , sedebe cumplir también que:

dg(x , y) = gxdx + gydy = dc (7)

Pero dado que c es constante, dc = 0, por lo que:

dg(x , y) = gxdx + gydy = 0 (8)



De las ecuaciones (6) y (8) se tiene que:

fxgx

=fygy

(9)

Por lo tanto, el problema de maximización (encontrar los valoresóptimos x∗, y∗) puede resolverse a partir del siguiente sistema deecuaciones:

fxgx

=fygy

g(x , y) = c

(10)

Notar: de comparar la ecuación (4) con la (10), se deduce que elpar (x∗, y∗) solución del problema que provee este método, coincidecon el de los multiplicadores de Lagrange.



Ejemplo 1:

Ejercicio 1 de la Práctica 1, partes 1 a 3:

Resolver el siguiente problema de maximización de la utilidad de unconsumidor por el método de los multiplicadores de Lagrange.

Max U(x , y) = xαy1−α

s.a : g(x , y) = pxx + pyy = B



3 El signi�cado del multiplicador:

Teorema (2)

Sean f y g funciones con derivadas primeras continuas. Para

cualquier valor �jo del parámetro c , sea (x∗(c), y∗(c)) la solución

del problema de optimización con el correspondiente λ∗(c).Suponiendo que x∗(c), y∗(c) y λ∗(c) son funciones con derivadas

continuas en c , y (x∗(c), y∗(c), λ∗(c)) es un punto crítico. Se tiene:

λ∗(c) =d

dcf (x∗(c), y∗(c)) =

dL∗

dc



Una demostración informal:

Recordemos la formulación del Lagrangeano:

L = f (x , y) + λ[c − g(x , y)]

Su valor óptimo se obtiene al sustituir las variables x ,y y λ por susvalores óptimos x∗(c), y∗(c) y λ∗(c). De forma que:

L∗ = f (x∗(c), y∗(c)) + λ∗(c)[c − g(x∗(c), y∗(c))]

Diferenciando totalmente L∗ respecto a c , se tiene:

dL∗dc = fx

dx∗(c)dc + fy

dy∗(c)dc + dλ∗(c)

dc [c − g(x∗(c), y∗(c))]+

+λ∗(c)[1− gxdx∗(c)dc − gy

dy∗(c)dc ]



Por simpli�cación omitamos (c). Si re-ordenamos términos...

dL∗

dc= (fx −λ∗gx)

dx∗

dc+ (fy −λ∗gy )

dy∗

dc+ [c−g(x∗, y∗)]

dλ∗

dc+λ∗

Recordando las ecuaciones vistas en (4), se tiene que los tresprimeros términos de la derecha son cero, por lo que:

dL∗

dc= λ∗

Finalmente, como nos encontramos en el óptimo, la restricción estáactiva, es decir, c = g(x∗, y∗). Por lo que L∗ = f (x∗(c), y∗(c)). Ensuma:

dL∗

dc=

d

dcf (x∗(c), y∗(c)) = λ∗(c)



λ∗ proporciona una medida de la sensibilidad de L∗ (o def (x∗, y∗)) frente a un cambio en la restricción.

Es decir, constituye una medida del efecto que tiene sobre elóptimo de la función objetivo una relajación de la restricción(vía el parámetro c).

Como resultado, es posible a�rmar que λ∗ nos da una medidadel valor por los recursos escasos en los problemas demaximización.

Es una medida del cambio derivada del propio proceso deoptimización, motivo por el cual suele denominarse a esteparámetro como valor interno, valor imputado o precio sombra.



Ejemplo 1 (cont.)

Partes 5 y 6 del Ejercicio 1:

Retomando el ejemplo anterior muestre el resultado asociado a lainterpretación del multiplicador. Gra�car el problema y su solución.



4 Condición su�ciente de segundo orden:

Teorema (3)

Sean f y g funciones con derivadas primeras y segundas continuas.

Dado el problema de Max. de f s.a. g(x , y) = c , el Lagrangeano es:

L(x , y , λ) = f (x , y) + λ[c − g(x , y)]

Suponiendo que (x∗, y∗, λ∗) satisface:

(a)∂L∂x

= 0,∂L∂y

= 0,∂L∂λ

= 0

(b) |H̄| = det

0 ∂g∂x

∂g∂y

∂g∂x

∂2L∂x2

∂2L∂x∂y

∂g∂y

∂2L∂y∂x

∂2L∂y2

> 0

Entonces, (x∗, y∗) es un máximo local de f sujeto a g(x , y) = c .



Ejemplo 1 (cont.)

Parte 4 del Ejercicio 1:

A partir de la solución (x∗, y∗) encontrada, mostrar que se cumplela condición su�ciente.



5 Generalización al caso de n variables y m restricciones

múltiples

Teorema (4: el método de multiplicadores de Lagrange)

Sean f y g1, ..., gm funciones con derivadas primeras continuas. Si

existe x∗ = (x∗1 , ..., x∗n ), máximo local del problema

Max f (x1, ..., xn)

s.a : g1(x1, ..., xn) = c1, ..., gm(x1, ..., xn) = cm .

Si a su vez x∗ no es punto crítico de g1, ..., gm. Existen entonces

λ∗1, ..., λ∗m tales que (x∗1 , ..., x

∗n , λ

∗1, ..., λ

∗m) = (x∗, λ∗) es punto

crítico del lagrangiano

L = f (x) + λ1[c1 − g1] + λ2[c2 − g2] + ...+ λm[cm − gm]



Teorema (4 cont.)

Es decir,

∂L∂x1

(x∗, λ∗) = 0, ..., ∂L∂xn (x∗, λ∗) = 0

∂L∂λ1

(x∗, λ∗) = 0, ..., ∂L∂λm (x∗, λ∗) = 0



Teorema (5: el signi�cado de los multiplicadores)

Sean f y g1, ..., gm funciones con derivadas primeras continuas. Sea

c = (c1, ..., cm) la m-tupla de parámetros exógenos y x∗(c) la

solución del problema de optimización, con el correspondiente

λ∗(c).Suponiendo que x∗(c), y λ∗(c) son funciones diferenciables en c, y

x∗(c), λ∗(c) es un punto crítico. Entonce, para cada j = 1, ...,m, se

cumple que:

λ∗j (c1, ..., cm) =∂

∂cjf (x∗1 (c1, ..., cm), ..., x∗n (c1, ..., cm))



Teorema (6: condición su�ciente de segundo orden)

Sean f y g1, ..., gm funciones con derivadas primeras y segundas

continuas. Dado el problema de Max. de f s.a.

g1 = c1, ..., gm = cm, cuyo Lagrangeano es:

L = f (x) + λ1[c1 − g1] + λ2[c2 − g2] + ...+ λm[cm − gm]

Suponiendo que (x∗, λ∗) satisface:

(a)∂L∂x1

= 0, ...,∂L∂xn

= 0,∂L∂λ1

= 0, ...,∂L∂λm

= 0

(b) El Hessiano de L respecto a x∗ en (x∗, λ∗) (sujeto al conjunto

de restricciones) es de�nido negativo, o alternativamente...



Teorema (6 cont.)

el Hessiano orlado (H̄):

0 . . . 0 | ∂g1

∂x1. . . ∂g1

∂xn...

. . .... |

.... . .

...

0 . . . 0 | ∂gm

∂x1. . . ∂gm

∂xn− − − − − − −∂g1

∂x1. . . ∂gm

∂x1| ∂2L

∂x21

. . . ∂2L∂xn∂x1

.... . .

... |...

. . ....

∂g1

∂xn. . . ∂gm

∂xn| ∂2L

∂∂x1∂xn. . . ∂2L

∂x2n

alterna el signo de los últimos (n-m) menores principales directores,

siendo el signo del determinante de Hn igual a (−1)n.

Entonces, x∗ es un máximo local de f sujeto a

g1 = c1, ..., gm = cm.



Observaciones sobre el Hessiano orlado (1):

H̄ es una matriz de dimensión (m + n)× (m + n).

los menores principales directores se de�nen como lassubmatrices cuyo último elemento de su diagonal principal esuno de los elementos de la diagonal de H̄ a partir de ∂2L

∂x21

. Así,

podemos de�nir H̄1 como la matriz de dimensiones(m + 1)× (m + 1) cuyo último elemento de la diagonal

principal es justamente ∂2L∂x2

1

. Si agremamos una �la y una

columna, de modo que aparezca ∂2L∂x2

2

, tenemos H̄2.

siguiendo el razonamiento anterior, H̄n = H̄.



Observaciones sobre el Hessiano orlado (2):

la condición su�ciente implica determinar el signo deldeterminante de los últimos (n-m) menores principalesdirectores, como se a�rma en el teorema anterior. Es decir, elsigno de |H̄m+1|, |H̄m+2|, . . . , |H̄n|(= H̄).

por ejemplo, si tenemos 4 variables (n = 4) y 2 restricciones(m = 2), la condición su�ciente implica determinar el signo delos siguientes 2 determinantes (4-2=2): H̄3 y H̄4. Como(−1)n = (−1)4 = 1, |H̄4| debe ser positivo y |H̄3| negativo.si el problema es de minimización, la condición su�cienteimplica que el determinante de los (n-m) menores principalestengan el mismo signo, el de (−1)m. En el ejemplo anterior,|H̄3| y |H̄4| deben tener signo positivo, pues(−1)m = (−1)2 = 1 (positivo).



Ejemplo 2:

Ejercicio 8 de la Práctica 1: el caso de dos restricciones

Dado el siguiente problema:

Max p1f1(K1, L1) + p2f

2(K2, L2)

s.a : K = K1 + K2

L = L1 + L2

i) Formular el Lagrangeano, ii) desarrollar las condiciones de primerorden y resolver, iii)analizar la racionalidad económica de la mismaen un marco de competencia perfecta, iv) plantear el Hessianoorlado y la condición su�ciente, dado el número de variables yrestricciones de este caso puntual.



Optimización con restricciones de desigualdad

Pertinencia:

1 la gran mayoría de los problemas de optimización conrestricciones aplicados a la economía tienen sus restriccionesde�nidas por desigualdades.

2 un primer fundamento para esto está asociado a que, engeneral, las variables económicas asumen valores positivos ocero (restricciones de no negatividad, como ser xi ≥ 0)

3 además, no siempre se utilizan todo el ingreso o la cantidad derecursos disponibles, lo que implica que las restricciones debanser formuladas en términos de desigualdad (por ejememplop1x1 + p2x2 ≤ B)



El problema general de maximización:

Max f (x1, ..., xn)

s.a : g1(x1, ..., xn) ≤ r1...

...gm(x1, ..., xn) ≤ rm

x1 ≥ 0, ..., xn ≥ 0

(11)



1 Cómo resolver el problema: la formulación de

Kuhn-Tucker

Consideremos el caso de dos variables, las restricciones de nonegatividad y una restricción de desigualdad:

Max f (x , y)

s.a : g(x , y) ≤ r

x ≥ 0, y ≥ 0

(12)



El Lagrangeano de este problema se formula de forma similar al derestricciones con igualdad:

L = f (x , y) + λ1[r − g(x , y)] + λ2x + λ3y (13)

Observaciones:

notar que se incorporan las restricciones de no negatividad ysus correspondientes multiplicadores.

el signo positivo que precede λ1 surge de presentar larestricción de desigualdad como mayor o igual a cero(g(x , y) ≤ r → r − g(x , y) ≥ 0). De forma análoga, losmultiplicadores λ2 y λ3 también están precedidos de un signopositvo, pues corresponden a las restricciones de nonegatividad.



La condición de primer orden para las variables endógenas x e yson:

∂L∂x = fx − λ1gx + λ2 = 0

∂L∂y = fy − λ1gy + λ3 = 0

(14)

En el caso de la restricciones de desigualdad, el óptimo ahora puedeencontrarse en un punto que satisfaga la misma (g(x , y) = r) o enun punto interior (g(x , y) < r).

En el primer caso, la condición de primer orden es idéntica a lavista en los problemas de restricciones con igualdad. Es decir,∂L∂λ1

= r − g(x , y) = 0

En el segundo caso, el óptimo de f (x , y) se encuentra"dentro"del conjunto restricción, por lo que λ1 deber ser 0.



Es posible presentar las dos condiciones anteriores de formaconjunta como:

λ1(r − g(x , y)) = 0 o λ1∂L∂λ1

= 0 (15)

Un razonamiento similar puede hacerse para las restricciones de nonegatividad: o bien x = 0 y/o y = 0, o bien λ2 = 0 y/o λ3 = 0.

Así, la condición de primer orden se completa con las siguientescondiciones:

λ2x = 0 y λ3y = 0 (16)



En suma:

∂L∂x = fx − λ1gx + λ2 = 0

∂L∂y = fy − λ1gx + λ3 = 0

λ1(r − g(x , y)) = λ1∂L∂λ1

= 0

λ2x = 0

λ3y = 0

λ1, λ2, λ3 ≥ 0

g(x , y) ≤ r

x ≥ 0, y ≥ 0

(17)



El método propuesto por Kuhn y Tucker implica trabajar con unLagrangeano que no incluye las restricciones de no negatividad:L0 = f (x , y) + λ1[r − g(x , y)].

Notar que:

L = L0 + λ2x + λ3y (18)

Por lo que:

∂L∂x = ∂L0

∂x + λ2 = 0

∂L∂y = ∂L0

∂y + λ3 = 0(19)

y por tanto:

∂L0∂x = −λ2

∂L0∂y = −λ3

(20)



A partir de (17),(20) y que x ≥ 0, y ≥ 0, se tiene que:

∂L0∂x ≤ 0 y x ∂L0∂x = 0

∂L0∂y ≤ 0 y y ∂L0∂y = 0

(21)

Donde x ∂L0∂x = 0 y ∂L0∂y = 0 se denominan ecuaciones de holgura

complementaria.

A partir de (18) se tiene que:

∂L0∂λ1

=∂L∂λ1

= r − g(x , y) ≥ 0 (22)

Que resulta ser la restricción de desigualdad del problema.



A partir de las ecuaciones (17), (21) y (22) se obtienen lascondiciones de primer orden en términos de la formulación dekuhn-Tucker:

∂L0∂x≤ 0,

∂L0∂y≤ 0

∂L0∂λ1

≥ 0

x∂L0∂x

= 0, y∂L0∂y

= 0 λ∂L0∂λ

= 0

(23)



2 Generalización al caso de n variables y m restricciones

de desigualdad:

Recordando el problema (11):

Max f (x1, ..., xn)

s.a : g1(x1, ..., xn) ≤ r1...

...gm(x1, ..., xn) ≤ rm

x1 ≥ 0, ..., xn ≥ 0



El Lagrangeano del problema (en términos de Kuhn-Tucker) es:

L0 = f (x1, ..., xn) + λ1[r1 − g1(x1, ..., xn)] + . . .. . .+ λm[rm − gm(x1, ..., xn)]

(24)

O en forma reducida:

L0 = f (x1, ..., xn) +m∑i=1

λi [ri − g i (x1, ..., xn)] (25)

Las condiciones de Kuhn-Tucker serán:

∂L0∂x1≤ 0, . . . ,

∂L0∂xn≤ 0

∂L0∂λ1

≥ 0, . . . ,∂L0∂λm

≥ 0

x1∂L0∂x1

= 0, . . . , xn∂L0∂xn

= 0 λ1∂L0∂λ1

= 0, . . . , λm∂L0∂λm

= 0

(26)



3 El problema de minimización:

Si el problema es de minimización, a saber:

Min f (x1, ..., xn)

s.a : g1(x1, ..., xn) ≥ r1...

...gm(x1, ..., xn) ≥ rm

x1 ≥ 0, ..., xn ≥ 0

La formulación del Lagrangeano es la misma.



Las condiciones de Kuhn-Tucker se transforman a:

∂L0∂x1≥ 0, . . . ,

∂L0∂xn≥ 0

∂L0∂λ1

≤ 0, . . . ,∂L0∂λm

≤ 0

x1∂L0∂x1

= 0, . . . , xn∂L0∂xn

= 0 λ1∂L0∂λ1

= 0, . . . , λm∂L0∂λm

= 0

(27)Observar que:

las condiciones de holgura complementaria se mantienenincambiadas,

se invierten los signos de las desigualdades en las ecuacionesque involucran las derivadas parciales del Lagrangeanorespecto de las varaibles endógenas y los multiplicadores.



4 Cali�cación de la restricción:

Para que las condiciones de Khun-Tucker sean necesarias, en casode que el candidato obtenido se encuentre en la frontera delconjunto factible formado por las restricciones, se debe cumplir lacondición llamada cali�cación de la restricción.

Esta condición implica observar si existen o no ciertasirregularidades en dicha frontera.

De�namos x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) como un punto frontera de la región

factible y posible candidato para solución del problema.



a) Sea dx = (dx1, . . . , dxn), una dirección particular a partir delpunto frontera x∗. Si se cumple que:

i.- dxj ≥ 0 si x∗j = 0

ii.- dg i (x∗) = g i1dx1 + . . .+g i

ndxn

{≤ 0 (max)≥ 0 (min)

si g i (x∗) = ri

Entonces dx se denomina vector de prueba.

Si asociado a este vector se puede de�nir un arco cali�cador,como aquel que: (1) emana de x∗; (2) está contenido en laregión factible y (3) es tangente a dicho vector; entonces larestricción cali�ca y las condiciones de K-T son necesarias.



b) Una forma alternativa de ver este problema, es observar si x∗

es punto crítico o no de las restricciones:

- si no lo es, entonces el determinante del Jacobiano de lasrestricciones activas es distinto de cero (evaluado en x∗) y K-Tserá condición necesaria.

- si es punto crítico, entonces el Jacobiano de las restriccionesactivas es cero y K-T no será condición necesaria.

c) Por otro lado, si las restricciones son lineales, la cali�cación derestricción se cumple automáticamente y las condiciones deK-T son necesarias.



5 Interpretación de los multiplicadores:

Teorema (1)

Sean f y g1, ..., gm funciones con derivadas primeras continuas. Sea

r = (r1, ..., rm) la m-tupla de parámetros exógenos y x∗(r) la

solución del problema de optimización con restricciones de

desigualdad, con el correspondiente λ∗(r).Suponiendo que x∗(r), y λ∗(r) son funciones diferenciables en r, y

x∗(r), λ∗(r) es un punto crítico. Entonces, para cada j = 1, ...,m,

se cumple que:

λ∗j (r1, ..., rm) =∂

∂rjf (x∗1 (r1, ..., rm), ..., x∗n (r1, ..., rm))



Ejemplo 3:

Ejercicio 10 de la Práctica 1

Resolver el siguiente problema de maximización de la utilidad delconsumidor aplicando las condiciones de Kuhn-Tucker.

Max U(x , y) = xy

s.a : x + y ≤ 100

x ≤ 40

x , y ≥ 0



Ejemplo 4:

Ejercicio 1, primera revisión 2015:

Formule las condiciones de primer orden del siguiente problema yencuentre las condiciones que deben cumplir k y c para sercandidato a máximo del problema.

Max u(c)

s.a : c ≤ f (k)− δkc ≥ 0k ≥ 0



6 Condición su�ciente de segundo orden:

Teorema (2)

Sean f y g1, ..., gm funciones con derivadas primeras y segundas

continuas. Considere el problema de maximización de f sujeto a:

g1 ≤ r1, ..., gm ≤ rm. Para el Lagrangeano

L = f (x) + λ1[r1 − g1] + λ2[r2 − g2] + ...+ λm[rm − gm]

(a) Suponiendo que (x∗, λ∗) satisface las condiciones de primer

orden.

(b) Sólo a los efectos de simpli�car la notación, suponga que se

satisfacen las primeras g1, . . . , ge condiciones para (x∗), y que no lo

hacen las restantes ge+1, . . . , gm. Sea (g1, . . . , ge) = gE . ElHessiano de L respecto a x∗ en (x∗, λ∗), sólo para las gErestricciones activas, es de�nido negativo...

...o alternativamente...



Teorema (2 cont.)

...el Hessiano orlado (H̄):

0 . . . 0 | ∂g1

∂x1. . . ∂g1

∂xn...

. . .... |

.... . .

...

0 . . . 0 | ∂g e

∂x1. . . ∂g e

∂xn− − − − − − −∂g1

∂x1. . . ∂g e

∂x1| ∂2L

∂x21

. . . ∂2L∂xn∂x1

.... . .

... |...

. . ....

∂g1

∂xn. . . ∂g e

∂xn| ∂2L

∂∂x1∂xn. . . ∂2L

∂x2n

alterna el signo de los últimos (n-e) menores principales, siendo el

signo del determinante de Hn igual a (−1)n.

Entonces, x∗ es un máximo local de f sujeto a g1 ≤ r1, ..., gm ≤ rm.



En el caso de minimización, se deben tener en cuenta los siguientescambios:

se debe invertir el sentido de las restricciones de desigualdad:g i ≥ ri ,

la condición para el Hessiano orlado es que los últimos (n-e)menores principales deben tener todos igual signo: (−1)e .



Teorema (3.- Teorema de su�ciencia de Kuhn-Tucker: laprogramción cóncava)

Dado el problema de maximización de f sujeto a:

g1 ≤ r1, ..., gm ≤ rm y xi > 0 para i = 1, . . . , n.

Si se satisfacen las condiciones:

a) f (x1, . . . , xn) es diferenciable y cóncava en el cuadrante no

negativo,

b) cada función de restricción g i (x1, . . . , xn) es diferenciable y

convexa en el cuadrante no negativo,

c) x∗ satisface las condiciones de máximo de Kuhn-Tucker.

Entonces x∗ es un máximo global de f (x).



Comentarios al teorema anterior de su�ciencia:

otra forma de interpretar este resultado podría ser: si secumplen las condiciones a) y b), y se satisface la cali�caciónde la restricción, entonces las condiciones de K-T sonnecesarias y su�cientes,

en particular, lo anterior se cumple si las restricciones sonlineales,

si el problema es de minimización, el teorema se aplicaintercambiando las palabras cóncavo y convexo en lascondiciones a) y b) y ajustando las condiciones de K-T paravalores mínimos.



Teorema (4.- Teorema de su�ciencia de Arrow-Enthoven: laprogramción cuasicóncava)

Dado el problema de maximización con restricciones, si se

satisfacen las condiciones:

a) f (x) es diferenciable y cuasicóncava,

b) cada función de restricción g i (x) es diferenciable y

cuasiconvexa,

c) x∗ satisface las condiciones de máximo de Kuhn-Tucker,

d) se satisface cualqueira de los siguientes requerimientos:

d-i) fj(x∗) < 0 para al menos una variable xj ,

d-ii) fj(x∗) > 0 para alguna variable xj que sea positiva sin oponerse

a las restricciones,

d-iii) las n derivadas fj(x∗) no son todas igual a 0 y existen sus

derivadas parciales de segundo orden en x∗,

d-iv) f (x) es cóncava.

Entonces x∗ es un máximo global de f (x).



Ejemplo 5:

Utilizando alguno de los teoremas de su�ciencia, veri�car que sesatisfacen las condiciones su�cientes para los dos ejemplosanteriores.



7 Teoremas de la envolvente:

Se denomina función de valor máximo a la función objetivo endonde a sus argumentos se les asignan los valores óptimos.

Los valores óptimos son, a su vez, funciones de varibales yparámetros exógenos.

La función de valor es por tanto una función indirecta de losparámetros (que operan a través de los valores óptimos).

Por ello a la función de valor se la denomina función objetivo

indirecta.

En estas condiciones, la función de valor rastrea todos los posiblesvalores máximos de la función objetivo a medida que varían losparámetros. Entonces, la función objetivo indirecta es una�envolvente� del conjunto de funciones objetivo optimizadas alvariar los parámetros.



El caso no restringido:

Para el caso de dos variables de elección, sea el siguiente problemade maximización:

Max f (x , y , φ)

La condición necesaria de primer orden es:

fx(x , y , φ) = fy (x , y , φ) = 0

Si se cumplen las condiciones su�cientes, la condición anteriordetermina implícitamente las soluciones:

x∗ = x∗(φ), y∗ = y∗(φ)

Sustituyendo estos valores en f se obtiene la función de valormáximo:

V (φ) = f (x∗(φ), y∗(φ), φ)



Diferenciando V respecto de φ tenemos:

dV

dφ= fx

∂x∗

∂φ+ fy

∂y∗

∂φ+ fφ

Pero por la condición de primer orden tenemos que fx = fy = 0,entonces:

dV

dφ= fφ

En el óptimo, solamente opera el efecto directo del parámetro sobrea función objetivo. Es decir, el cambio total de la función de valormáximo respecto del parámetro es igual al cambio parcial de lafunción objetivo respecto del parámetro (evaluada en el óptimo).



Ejemplo: la función de ganancia

π = Pf (K , L)− wL− rK

Las CPO son:

πL = PfL(K , L)− w = 0πK = PfK (K , L)− r = 0

y las soluciones óptimas (ecuaciones de demanda de los factores)

L∗ = L∗(w , r ,P) y K ∗ = K ∗(w , r ,P)

La función objetivo indirecta o función de valor máximo es:

π∗(w , r ,P) = Pf (K ∗, L∗)− wL∗ − rk∗

Aplicando el teorema de la envolvente, tenemos que:

∂π∗

∂w= −L∗(w , r ,P)



El caso restringido:

Max f (x , y , φ)s.a : g(x , y , φ) = 0

El Lagrangeano es:

L = f (x , y) + λ[0− g(x , y , φ)] (28)

Las CPO son:

∂L∂x = fx − λgx = 0

∂L∂y = fy − λgy = 0

∂L∂λ = −g(x , y , φ) = 0

(29)



Resolviendo este problema se obtienen x∗(φ), y∗(φ), λ∗(φ) y lafunción de valor máximo será:

V (φ) = f (x∗(φ), y∗(φ), φ)

Cuyo diferencial respecto de φ es:

dV

dφ= fx

∂x∗

∂φ+ fy

∂y∗

∂φ+ fφ

Pero no necesariamente fx = fy = 0. Tomemos la restricciónevaluada en el óptimo:

g(x∗(φ), y∗(φ), φ) = 0



Diferenciando respecto de φ:

dg

dφ= gx

∂x∗

∂φ+ gy

∂y∗

∂φ+ gφ

Si multiplicamos esta expresión por λ sigue siendo 0, por lo que sepuede restar al diferencial total de V respecto de φ sin altertar elresultado. Haciendo esto y reordenando términos:

dV

dφ= (fx − λgx)

∂x∗

∂φ+ (fy − λgy )

∂y∗

∂φ+ fφ − λgφ = Lφ

Por tanto, el teorema de la envolvente en el caso restringido implica:

dV

dφ= Lφ


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