Econometria

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE ECONOMIA

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE ECONOMIA

.

CAPITULO I

MODELOS MULTIECUACIONALES 1. EVALUACIN DE MODELOS MULTIECUACIONALES

1.1. EXOGENEIDAD

En trminos generales:

1 Variable Endgena es aquella cuyo comportamiento pretendemos estimar.

2 Variable exgena es aquella cuyos valores se toman como datos para analizar

el comportamiento de las endgenas.

Para seleccionar variables exgenas se considera el criterio siguiente:

DEPARTAMENTAL Se consideran como exgenas aquellas que estn

total o parcialmente al margen del sistema (Clima,

poblacin, poltica, tecnologa)

CAUSAL Se consideran exgenas aquellas que no estn

influidas por las endgenas.

Segn Koopmans (1950) la definicin estadstica de exogeneidad debe ser

ms estricta que la definicin terica.

DEFINICIN I: En un sistema con variables retardadas se considera como estadsticamente exgenas adems de las anteriores las que

cumplan las siguientes condiciones:

1 Que slo intervengan en las ecuaciones estructurales con algn nivel de

retardo.

2 Que an interviniendo sin ningn nivel de retardo, ests slo dependan de

variables estrictamente exgenas o de variables retardadas.

DEFINICIN ESTADSTICA: Partimos de la definicin de un sistema completo como:

X X X X u

X X X X u

X X X X u

t t t rt rt t

it i t i t ri rt it

rt r t r t rr rt rt

1 11 1 21 2 1

1 1 2 2

1 1 2 2

D D DD D DD D D

* * ... *

* * ... *

* * ... *

2

y presentando una funcin de distribucin conjunta de las perturbaciones aleatorias

independiente para cada periodo t, as:

En un sistema sin variables retardadas se considera como estadsticamente

exgenas aquellas variables cuya funcin de distribucin es independiente de las

variables exgenas. Es decir:

1 El conjunto de variables endgenas no intervienen en las ecuaciones de las

endgenas.

2 Las funciones de distribucin de las perturbaciones aleatorias son

independientes.

3 El Jacobiano del conjunto de perturbaciones aleatorias con respecto al total de

variables presenta valores nulos en las perturbaciones correspondientes a las

variables exgenas con respecto a las variables endgenas.

Por lo general, se distinguen dos conceptos de exogeneidad:

1 Predeterminacin Una variable es predeterminada en una ecuacin

especfica si es independiente de los errores

contemporneo y futuro en tal ecuacin. Es decir: .0;0;0 z nttttmtt uXEuXEuXE

2 Exogeneidad Estricta Una variable es estrictamente exgena si es

independiente de los contemporneo, futuro y

pasado en la ecuacin relevante. Es decir: .0;0;0 nttttmtt uXEuXEuXE

Para explicar estos conceptos es preciso considerar un modelo con variables

rezagadas; as:

ttttt

ttttt

uXYYX

uXYXY

21221212

11121111

EEDEED

u t1 y u t2 son mutua y serialmente independientes.

En la primera ecuacin, si 02 D entonces tX est predeterminada para tY .

Considerando la segunda ecuacin, si 02 D y 021 E entonces tX es estrictamente exgena para tY . Si 021 zE entonces tX depende de 1,1 tu por medio

),,( 1 rit uuuf

3

de 1tY .

En los modelos no dinmicos y sin correlacin serial en los errores, no es

necesario hacer esta distincin.

Engle, Hendry y Richard sugieren tres conceptos adicionales:

1 Exogeneidad dbil.- una variable tX es dbilmente exgena para estimar un

conjunto de parmetros si la inferencia sobre condicional

en tX no supone una prdida de informacin. Es una

condicin requerida para la estimacin eficiente.

Ejemplo: tY y tX tienen una distribucin normal bivariada, existen cinco

parmetros: 12221121 ,,,, VVVuu . Es posible transformarlos mediante una transformacin unvoca en 2,, VED y 222 ,Vu . Ambos conjuntos son separados, por lo tanto, para estimar 2,, VED no es necesario informacin de 222 ,Vu .

2 Superexogeneidad.- Si tX es dbilmente exgena y los parmetros en la

distribucin conjunta de tY y tX permanecen sin cambios

ante las variaciones en la distribucin marginal de tX . Es

una condicin requerida para propsitos de poltica.

Ejemplo: Si modificamos 22u y 22V (parmetros en la distribucin marginal de tX se producen cambios en 2,, VED , entonces no es superexgena.

3 Exogeneidad fuerte.- Si tX es dbilmente exgena y no est precedida

por ninguna de las variables endgenas del

sistema.

Ejemplo: Se tiene el modelo:

tttt

ttt

uYXX

uXY

21211

1

DDE

tt uu 21 , se distribuye normal bivariada y son serialmente independientes, 1221222111 , VVV tttt uuCovatyuVatuVat .

Si 012 D entonces tX es dbilmente exgena debido a que la distribucin marginal de tX no involucra a E ni a 11V .

Pero la segunda ecuacin demuestra que tY precede a tX , es decir, tX

4

depende de 1tY ; por lo tanto, tX no es fuertemente exgena.

La definicin de Engle, Hendry y Richard es en trminos de un

concepto llamado causalidad de Granger. As:

"Si tX es dbilmente exgena y no es causada en el sentido de Granger por

ninguna de las variables endgenas del sistema, entonces se define como

fuertemente exgena".

1.2. PRUEBA DE EXOGENEIDAD

El enfoque de la Fundacin Cowles para ecuaciones simultneas sostiene el

punto de vista de que no es posible probar la causalidad y la exogeneidad.

Tenemos un modelo de ecuaciones simultneas con tres variables endgenas

321 ,, YYY y tres variables exgenas 321 ,, ZZZ .

Supongamos que la primera ecuacin del modelo es:

ttttt uZYYY 11133221 DEE

se quiere probar si es posible tratar a 32 YyY como exgenas para la estimacin de

esta ecuacin.

Para probar esta hiptesis seguimos el siguiente procedimiento:

1 Obtenemos los valores predichos de 32 YyY , a partir de las ecuaciones en la

forma reducida para estas ltimas.

2 Luego se estima el modelo:

ttttttt uYYZYYY 133221133221 JJDEE

empleando mnimos cuadrados ordinarios.

3 Se realiza la prueba de Wald para probar la hiptesis:

0:

0:

321

320

zz

JJJJ

H

H

si se acepta la hiptesis nula entonces 32 YyY si pueden tratarse como

exgenas en la estimacin de la ecuacin; y si se rechaza la hiptesis nula

entonces 32 YyY no pueden tratarse como exgenas en la estimacin de la

ecuacin.

Se tiene el modelo siguiente:

5

tttt

tttt

ttttt

uCINDDINF

uINFDDI

uDDENCIDD

3321

2321

114321

GGGEEE

DDDD

Verificaremos que las variables DD e INF se pueden tratar cono exgenas en

la segunda ecuacin, se tiene el procedimiento siguiente:

1 Estimamos la forma reducida de DD e INF y obtenemos los valores predichos

estticos de DD e INF, nos da:

Dependent Variable: DD

Method: Least Squares

Sample: 1992:02 1997:12

Included observations: 71

============================================================

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

============================================================

C 37.82578 11.54381 3.276716 0.0017

DD(-1) 0.686693 0.087386 7.858146 0.0000

ENC -0.400755 0.206661 -1.939190 0.0567

CIN 0.038788 0.010386 3.734700 0.0004

============================================================

R-squared 0.848166 Mean dependent var 207.9296

============================================================

DDF

================================================================================

Modified: 1992:02 1997:12 // frdd.fit ddf

1992:01 NA 144.7520 146.4577 147.9097 153.1752 151.2739

1992:07 155.2140 164.7869 156.9519 154.5775 156.8674 157.9472

1993:01 171.6747 164.1451 170.1863 164.5127 158.1686 153.1212

1993:07 164.9365 178.5399 164.1107 167.7566 173.7750 173.9148

1994:01 194.8023 180.7786 182.7720 188.9755 178.1305 179.3825

1994:07 185.6961 219.4566 196.9213 200.7219 201.4028 200.8673

1995:01 239.0520 215.7034 224.6584 236.4655 225.9911 219.8976

1995:07 225.4408 247.7038 230.3212 234.5356 234.8269 230.6908

1996:01 258.3213 233.7957 230.7273 237.7114 241.8207 242.2752

1996:07 236.4521 250.4778 238.3640 235.9629 235.6657 237.1514

1997:01 260.8767 241.0755 244.8116 257.7485 259.6422 261.2410

1997:07 253.4000 279.0850 267.5338 260.7541 266.3076 261.8484

================================================================================

Dependent Variable: INF


Sample: 1992:02 1997:12


============================================================


============================================================

C 5.239088 0.542312 9.660657 0.0000

DD(-1) -0.019710 0.004105 -4.801078 0.0000

ENC 0.053570 0.009709 5.517762 0.0000

CIN -0.001711 0.000488 -3.507769 0.0008

============================================================


============================================================

6

INFF

================================================================================

Modified: 1992:02 1997:12 // frinf.fit inff

1992:01 3.500000 4.008865 3.872067 3.424886 3.545896 3.490536

1992:07 2.875449 3.159742 3.740656 3.466783 3.676729 2.952576

1993:01 3.270704 2.953143 3.007627 3.047820 3.690561 3.643172

1993:07 2.353319 2.372938 2.984426 2.271774 2.434575 1.733955

1994:01 1.423582 1.805801 1.524053 1.334873 1.867048 1.901173

1994:07 2.005350 0.926592 1.317732 1.282110 1.420033 1.150795

1995:01 0.215221 0.944469 0.608405 0.371529 1.193807 1.102860

1995:07 1.269565 0.729651 1.096230 1.045941 1.129630 1.238353

1996:01 0.811535 1.334264 1.524015 0.831504 0.646067 0.558532

1996:07 1.241294 0.626075 1.364197 0.873296 1.130797 1.108127

1997:01 0.471394 1.091477 1.313852 0.135472 -0.091280 -0.022570

1997:07 0.575497 -0.462633 0.228249 0.256949 0.207520 0.663370

================================================================================

2 Se estima el modelo extendido, obtenindose:

Dependent Variable: I


Sample: 1992:02 1997:12


============================================================


============================================================

C 26.54475 15.14426 1.752793 0.0843

DD 0.003468 0.050426 0.068765 0.9454

INF 2.088850 1.073380 1.946050 0.0559

DDF -0.042697 0.076812 -0.555866 0.5802

INFF 2.607720 2.241078 1.163601 0.2488

============================================================


============================================================

3 Realizamos la prueba de Wald para probar la hiptesis:

0:

0:

541

540

zz

JJJJ

H

H

El Eviews da el resultado siguiente:

Wald Test:

Equation: MEI

====================================================

Null Hypothesis C(4)=0

C(5)=0

====================================================

F-statistic 2.252994 Probability 0.113108

Chi-square 4.505988 Probability 0.105084

====================================================

se realiza la comparacin:

66,2,95.01357193449.3252994.2 FF

se acepta la hiptesis nula, es decir, las variables DD e INF pueden tratarse

como exgenas en la segunda ecuacin.

7

1.3. CAUSALIDAD DE GRANGER

En algunas oportunidades es importante determinar si cambios en una variable

causa cambios en otra variable.

El test de causalidad de Granger nos ayuda a determinar si de acuerdo a los

datos (no la teora) existe una variable cuyos cambios anteceden cambios en otra

variable. Es importante que las series sean estacionarias para evitar el riesgo de

obtener relaciones espurias, y en caso de no cumplir con esta caracterstica es

necesario aplicar alguna transformacin para convertirlas en estacionarias,

asumiendo que al hacerlo se mantienen las relaciones de causalidad.

Granger se basa en la premisa de que el futuro no puede provocar el presente o

el pasado.

Si un evento A ocurre despus de un evento B, se sabe que A no puede

provocar a B. Al mismo tiempo, si A ocurre antes de B, esto no necesariamente

implica que A provoque a B.

Consideremos dos series de tiempo tt XyY , la serie tX fracasa en la causalidad de Granger de tY si en una regresin de tY sobre las Y rezagadas y las X

rezagadas los coeficientes de esta ltima son cero. Es decir, la hiptesis es: 0:

,...,2,10:

1

0

z

i

i

H

kiH

EE

y se estima el siguiente modelo:

k

i

titi

k

i

itit uXYY11

ED si se acepta la hiptesis nula, entonces tX fracasa en causar a tY , siendo K arbitrario.

Si se rechaza la hiptesis nula, es decir X causa Y, entonces cambios en X deben

preceder en el tiempo a cambios en Y.

La prueba de causalidad de Granger asume que la informacin relevante para

la prediccin de las variables tY y tX est contenida nicamente en los datos de

series de tiempo sobre estas variables.

El test depender de m (el # de rezagos) y este es arbitrario, es decir uno

puede especificar el nmero de rezagos. Y el resultado de pronto se vera afectado.

Entonces uno debera efectuar los tests con diferentes rezagos y asegurarse que la

conclusin del test no se afecte por el nmero de rezagos.

Para ver lo que hace la prueba de Granger, consideremos el siguiente modelo:

8

ttttt

ttttt

uXYYX

uXYXY

21221212

11121111

EEDEED

escribamos la forma reducida del modelo:

tttt

tttt

vXYX

vXYY

2122121

1112111

SSSS

para la no causalidad de Granger se requiere que 021 S . En cambio, para que tX sea predeterminada de tY debe cumplirse que 02 D . Para que tX sea estrictamente exgena para tY se requiere que 02 D y 021 E .

Sabemos que:

21

21112

211 DD

EEDS

entonces 021 S no implica que 02 D y 021 E . Por lo tanto, la prueba de causalidad de Granger no equivale a la prueba de predeterminacin ni a la prueba de

exogeneidad estricta.

1.4. EVALUACIN

Mucho de lo establecido para modelos uniecuacionales es directamente

aplicable con la inmediata generalizacin que supone trabajar con g ecuaciones en

lugar de con una sola.

La diferencia conceptual al analizar los errores en modelos multiecuacionales,

respecto al caso de ecuacin nica, reside en que ahora los errores en la variable

endgena de una ecuacin no pueden asignarse directamente a un defectuoso

funcionamiento de la misma, sino que frecuentemente vendrn inducidos por errores

en otras ecuaciones conexas con la que estamos estudiando.

El proceso de evolucin se realiza ecuacin por ecuacin y siguiendo los

mismo criterios que en la evaluacin de un modelo multiecuacional; es decir, el

criterio econmico, criterio estadstico y criterio economtrico.

1.4.1. CRITERIO ECONMICO

Consiste en contrastar si los resultados de la estimacin cumplen con las

restricciones impuestas por la teora econmica.

La evaluacin consiste en verificar si las categoras de signo y tamao son los

que la teora exige. Por lo tanto, existen slo dos alternativas:

A.- Los parmetros estimados tengan el tamao y el signo que la teora seala, o

9

B.- los parmetros estimados no posean las caractersticas que la teora espera.

Tenemos el modelo de determinacin de la renta siguiente:

tttt

ttttt

ttt

GGIBCPPBI

uTIBPBIPBIIB

uPBICP

22110

110

EEEDD

La teora econmica determina que:

0010 211 ! EED

Los resultados economtricos de la estimacin del modelo son:

Dependent Variable: CP

Method: Two-Stage Least Squares

Sample(adjusted): 1950:2 1985:4

Included observations: 143 after adjusting endpoints

Instrument list: C PBI(-1) TIB GG

============================================================


============================================================

C -142.1103 10.13736 -14.01848 0.0000

PBI 0.673290 0.004185 160.8802 0.0000

============================================================


Adjusted R-squared 0.994549 S.D. dependent var 484.8804

S.E. of regression 35.79936 Sum squared resid 180704.8

F-statistic 25882.43 Durbin-Watson stat 0.165631

Prob(F-statistic) 0.000000

============================================================

Dependent Variable: IB

Method: Two-Stage Least Squares

Sample(adjusted): 1950:2 1985:4

Included observations: 143 after adjusting endpoints

Instrument list: C PBI(-1) TIB GG

============================================================


============================================================

C 61.22132 48.49890 1.262324 0.2089

PBI-PBI(-1) 7.496991 1.826459 4.104659 0.0001

TIB 35.78810 5.098588 7.019217 0.0000

============================================================

R-squared -1.225633 Mean dependent var 385.1077

Adjusted R-squared -1.257428 S.D. dependent var 130.6596

S.E. of regression 196.3126 Sum squared resid 5395412.

F-statistic 29.63298 Durbin-Watson stat 1.342052

Prob(F-statistic) 0.000000

============================================================

La funcin consumo personal presenta correcto el signo y tamao del

parmetro, mientras la funcin inversin bruta presenta un signo correcto y el otro

cambiado.

10

1.4.2. CRITERIO ESTADSTICO (CRITERIO DE PRIMER ORDEN)

Consiste en someter a los parmetros estimados a una serie de test o exmenes

para determinar su grado de confiabilidad o certeza.

La investigacin aplicada ha centrado todos estos exmenes en el uso del

siguiente procedimiento:

A.- Test o Prueba de Hiptesis: Pueden ser pruebas individuales o conjuntas,

dentro de las cuales se encuentran las pruebas de significancia. La regla de

decisin es: Si el estadstico calculado supera al valor de la tabla se rechaza la

hiptesis nula, es decir, el estadstico calculado cae en la regin crtica.

B.- Test de Bondad de Ajuste: de un modelo estimado a travs del coeficiente de

determinacin (R2): El coeficiente de determinacin nos indica la proporcin

o porcentaje de variacin total en la variable dependiente que ha sido

explicada por los cambios de las variables explicativas del modelo.

PRUEBA DE SIGNIFICANCIA INDIVIDUAL:

En la funcin de consumo personal, la propensin marginal a consumir es

significativa al 5% (0.0000); mientras que en la funcin de inversin bruta, el

acelerador y el coeficiente de la tasa de inters son significativos al 5 % (0.0001 y

0.0000 respectivamente).

PRUEBA DE SIGNIFICANCIA GLOBAL:

La funcin de consumo personal e inversin bruta en conjunto son estadsticamente

significativas al 5 % (0.000000 y 0.000000 respectivamente).

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE:

En la funcin de consumo personal es aceptable y significa que el 99.4587 %

de la variancia del consumo personal es explicada por las variaciones del PBI y en la

funcin de inversin bruta no se puede interpretar el resultado porque nos sale

negativo.

TEST DE BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO MULTIECUACIONAL

Conceptualmente, no es fcil disponer de una medida nica integradora de la

bondad de un modelo multiecuacional en su conjunto. Se ha propuesto el coeficiente

de Determinacin de Dhrymes, que se define:

G

h

y

yG

h

h

h

hRR

1

2

2

1

22

VV

11

La crtica a este coeficiente se sustenta en que un modelo multiecuacional no

es simplemente una unin de ecuaciones individuales, sino que cobra un carcter

unitario que exige una evaluacin tambin global.

Incluso aunque todas las ecuaciones individuales se ajusten bien a los datos y

sean estadsticamente significativos, no tendremos la garanta de que en su conjunto,

cuando sea simulado, reproduzca aquellas mismas series en forma ajustada.

En el ejemplo del modelo de determinacin de la renta, el coeficiente de

determinacin del modelo es positivo aunque el coeficiente de determinacin de la

funcin de inversin bruta es negativo, el coeficiente de determinacin de Dhrymes

se obtiene de la siguiente forma:

844284.0

6596.1308804.484

6596.130225633.1

6596.1308804.484

8804.484994587.0

2

22

2

22

22

R

R

1.4.3. CRITERIO ECONOMTRICO (CRITERIO DE SEGUNDO ORDEN)

Corresponde a determinar si todos los supuestos del modelo se han cumplido

de manera satisfactoria. Hay que detectar si existe un alto grado de multicolinealidad,

heterocedasticidad, autocorrelacin, observaciones atpicas, normalidad y estabilidad

parametrica.

MULTICOLINEALIDAD:

La multicolinealidad es una cuestin de grado, no de existencia. La decisin

importante no es entre presencia y ausencia, sino entre los distintos grados de

multicolinealidad.

La regla de Klein en su versin de correlaciones indica que existe un alto

grado de multicolinealidad si:

YXX Rr ji !

donde ji XX

r es el coeficiente de correlacin simple entre dos regresores cualquiera y

YR es el coeficiente de correlacin mltiple de la ecuacin, o la raz cuadrada de su

coeficiente de determinacin. O en su versin ms empleada, si al menos una

correlacin entre regresores supera a una correlacin de uno de los regresores con la

endgena.

La matriz de correlaciones de las variables del modelo son:

12

Correlation Matrix

================================================

PBI-PBI(-1) IB TIB

================================================

PBI-PBI(-1) 1.000000 0.210195 -0.043968

IB 0.210195 1.000000 0.821177

TIB -0.043968 0.821177 1.000000

================================================

La funcin de consumo personal no presenta multicolinealidad. La primera y

segunda versin de Klein no se puede aplicar para la funcin de inversin bruta por

tener un coeficiente de determinacin negativo. La tercera versin de Klein nos

indica que existe un bajo grado de multicolinealidad.

HETEROCEDASTICIDAD:

La hiptesis nula es la existencia de homocedasticidad, es decir no existencia

de heterocedasticidad. Esta hiptesis se verificar en los siguientes tests:

1 WHITE SIMPLIFICADO.- No requiere especificar la forma que puede

adoptar la heterocedasticidad. Abrimos la estimacin del modelo original

(para cada una de las ecuaciones), luego ejecutamos la siguiente instruccin:

View Residual Tests White Heteroskedasticity (no cross terms) y el computador nos muestra el resultado.

En nuestro caso para la primera ecuacin es:

White Heteroskedasticity Test:

============================================================


Obs*R-squared 8.595526 Probability 0.013599

============================================================

Para la segunda ecuacin da:


============================================================



============================================================

Segn la probabilidad del estadstico TR2 se acepta la hiptesis

alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 5 %; es decir, existe

heterocedasticidad en la funcin de consumo personal e inversin bruta.

2 WHITE GENERAL.- No requiere especificar la forma que puede adoptar la

heterocedasticidad. Se abre la estimacin del modelo original (para cada una

de las ecuaciones), luego ejecutamos la siguiente instruccin:

View Residual Tests White Heteroskedasticity (cross terms) y el

13

computador nos muestra para la primera ecuacin:


============================================================



============================================================

Para la segunda ecuacin da:


============================================================



============================================================

Observando la probabilidad del estadstico TR2 se acepta la hiptesis


heterocedasticidad en la funcin de consumo personal e inversin bruta.

3 HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL AUTORREGRESIVA.- Se ha

elegido que el modelo autorregresivo de heterocedasticidad es de primer

orden. Despus de abrir la estimacin del modelo original ejecutamos la

siguiente instruccin:

View Residual Tests Arch LM Test 1 OK y se obtiene para la primera ecuacin:

ARCH Test:

============================================================



============================================================

El resultado de la segunda ecuacin es:

ARCH Test:

============================================================



============================================================


alternativa en la primera ecuacin a un nivel de significancia del 1 %; es decir,

existe heterocedasticidad condicional autorregresiva de orden uno en la

funcin de consumo personal. En la funcin de inversin bruta existe

homocedatsicidad.

Ahora, se comprobar heterocedasticidad de segundo orden; siendo los

resultados de la primera ecuacin:

14

ARCH Test:

============================================================



============================================================

En la segunda ecuacin se obtiene:

ARCH Test:

============================================================



============================================================

De acuerdo a la probabilidad del estadstico TR2 se acepta la hiptesis


heterocedasticidad condicional autorregresiva de orden dos en ambas

funciones.

AUTOCORRELACION:

La hiptesis nula es la no existencia de autocorrelacin de orden p, es decir

ausencia de autocorrelacin de orden p. Esta hiptesis se comprobar en los

siguientes tests:

1 DURBIN - WATSON.- Comprobamos ausencia de autocorrelacin de primer

orden, por lo tanto, utilizamos el estadstico Durbin-Watson que se tiene en la

estimacin de la primera ecuacin, luego buscamos en la tabla de Durbin -

Watson a un nivel de significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 143

observaciones y una variable explicativa (excluyendo el intercepto); a

continuacin aplicamos la regla correspondiente:

, 2647.172.1165631.00 UL ddDW

Como el DW es inferior a la cota inferior entonces se rechaza la

hiptesis nula, es decir, existe autocorrelacin positiva de primer orden.

Para la segunda ecuacin utilizamos el estadstico Durbin-Watson de la

estimacin, luego buscamos en la tabla de Durbin - Watson a un nivel de

significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 143 observaciones y dos

variables explicativas; a continuacin aplicamos la regla correspondiente:

, 267.1706.1342052.10UL

ddDW

El valor del DW es inferior a la cota inferior entonces se rechaza la

15

hiptesis nula, es decir, existe autocorrelacin positiva de primer orden.

2 BREUSCH - GODFREY (LM).- Comprobaremos que no existe

autocorrelacin de primer orden. Abrimos la estimacin del modelo original y

se ejecuta la siguiente instruccin:

View Residual Tests Serial Correlation LM Test 1 OK y el EVIEWS nos muestra el siguiente resultado de la primera ecuacin:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:

============================================================



============================================================

Y nos muestra el siguiente resultado para la segunda ecuacin:


============================================================


============================================================

Segn la probabilidad del estadstico TR2 se acepta la hiptesis

alternativa en ambas funciones a un nivel de significancia del 1 %; es decir,

existe autocorrelacin de primer orden en la funcin de consumo personal y

en la funcin de inversin bruta.

A continuacin, se verificar autocorrelacin de segundo orden;

obtenindose para la primera ecuacin:


============================================================



============================================================

Obtenemos para la segunda ecuacin:


============================================================


============================================================


alternativa en ambas funciones a un nivel de significancia del 1 %; es decir,

existe autocorrelacin de segundo orden en las funciones de consumo e

inversin bruta.

3 BOX PIERCE.- Verificaremos que no existe autocorrelacin de primer

orden y segundo orden. Abrimos la estimacin del modelo original y se

ejecuta el siguiente comando:

16

View Residual Tests Correlogram Q- Statistics 2 OK y el EVIEWS y el computador nos da el siguiente resultado para la primera

ecuacin:

Correlogram of Residuals

==============================================================

Sample: 1950:2 1985:4


==============================================================

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

==============================================================

.|*******| .|*******| 1 0.899 0.899 118.09 0.000

.|****** | *|. | 2 0.778-0.160 207.14 0.000

==============================================================

Se tiene:

0:

0:

11

10

z

UU

H

H

comparamos:

2 1,95.02 84.3572743.115899.0*143 F ! BPQ

Se rechaza la hiptesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir,

existe autocorrelacin de primer orden en la funcin de consumo personal.

Para verificar segundo orden, tenemos:

0:

0:

211

210

zz

UUUU

H

H

calculamos: 2 2,95.022 99.5128355.202778.0899.0*143 F ! BPQ


existe autocorrelacin de segundo orden en la funcin de consumo personal.

A partir de la segunda ecuacin se obtiene:

Correlogram of Residuals

==============================================================

Sample: 1950:2 1985:4


==============================================================

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

==============================================================

.|** | .|** | 1 0.327 0.327 15.655 0.000

.|* | .|. | 2 0.117 0.011 17.665 0.000

==============================================================

17

Se tiene:

0:

0:

11

10

z

UU

H

H

comparamos:

2 1,95.02 84.3290847.15327.0*143 F ! BPQ


existe autocorrelacin de primer orden en la funcin de inversin bruta.

Para verificar segundo orden, tenemos:

0:

0:

211

210

zz

UUUU

H

H

calculamos: 2 2,95.022 99.5248374.17117.0327.0*143 F ! BPQ


existe autocorrelacin de segundo orden en la funcin de inversin bruta.

NORMALIDAD:

Se plantea la siguiente hiptesis:

1z1|

uH

uH

:

:

1

0

se utiliza el estadstico Jarque - Bera, cuya frmula es:

22 3

4

1

6KS

KNJB

se tiene la siguiente regla de decisin:

2 2,95.099.5 F JB

entonces, a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una

distribucin normal.

El test de normalidad lo obtenemos de la siguiente forma para la primera

ecuacin:

Abris EQ1 View Residual Tests Histogram-Normality Test OK, obtenindose el siguiente resultado:

18

0

2

4

6

8

10

12

14

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Series: Residuals

Sample 1950:2 1985:4

Observations 143

Mean 1.02E-12

Median -3.450644

Maximum 101.6454

Minimum -73.31450

Std. Dev. 35.67308

Skewness 0.333192

Kurtosis 3.135286

Jarque-Bera 2.754957

Probability 0.252214

a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una distribucin

normal.

El test de normalidad se obtiene de la siguiente forma para la segunda

ecuacin:

Abris EQ2 View Residual Tests Histogram-Normality Test OK, obtenindose el resultado siguiente:

0

5

10

15

20

25

30

-600 -400 -200 0 200 400 600 800

Series: Residuals

Sample 1950:2 1985:4

Observations 143

Mean 4.84E-14

Median -9.054948

Maximum 764.3070

Minimum -643.3132

Std. Dev. 194.9253

Skewness 0.233754

Kurtosis 5.681904

Jarque-Bera 44.15825

Probability 0.000000

entonces, a un nivel de significancia del 1 % lo residuos no se aproximan a una

distribucin normal.

PRUEBA DE ESTABILIDAD DE LOS PARAMETROS:

Asumimos en el test de Chow como punto de quiebre 1995:2 y en la funcin

consumo personal nos da:

Chow Breakpoint Test: 1975:2

============================================================


============================================================

Observando la probabilidad, concluimos que rechazanos la hiptesis nula; es

decir, existe cambio estructural.

19

Consideramos como punto de quiebre 1980:2, en la funcin inversin bruta

resulta:

Chow Breakpoint Test: 1980:2

============================================================


============================================================

Observando la probabilidad, concluimos que aceptamos la hiptesis nula; es

decir, no existe cambio estructural.

2. SIMULACIN

Para simular los efectos de valores alternativos en diferentes variables o parmetros, es preciso disponer de una cierta solucin del modelo que la haga

factible en un contexto de simultaneidad de las diferentes ecuaciones.

La simulacin ms habitual es la que supone cuantificar los efectos sobre las

endgenas de valores alternativos para las variables exgenas del modelo. Si los

datos de las variables exgenas son histricos se tiene una simulacin ex - post o

histrica; en cambio, si los datos de las variables exgenas son supuestos para el

futuro se trata de una simulacin ex - ante.

Es posible realizar otras simulaciones que correspondan a variaciones en los

trminos de error de cada ecuacin (factores adicionales) o incluso retoques en

algunos de los parmetros (ajuste y afinado).

2.1. OBJETIVOS

Los objetivos de la simulacin pueden ser:

1 La evaluacin del modelo y la evaluacin de la capacidad predictiva del

modelo.

2 La prediccin, se trata de determinar los valores de las variables endgenas

del modelo en base a los valores de las variables exgenas.

3 La comparacin de polticas alternativas, en base a diferentes escenarios se

puede determinar los diferentes efectos de las polticas y poder elegir la ms

conveniente.

4 El anlisis de las condiciones dinmicas del modelo, consiste en determinar la

estabilidad del modelo.

20

2.2. TIPOS

Se tienen los siguientes tipos de simulacin:

1 Simulacin Residual.- Para cada ecuacin en forma aislada, se da tanto a las

exgenas como a las endgenas explicativas sus valores reales y se

comprueban los errores de cada ecuacin y las identidades. Es til realizarla

para comprobar que no existen errores de transcripcin, redondeo en los

valores de los parmetros, etc., en el modelo definitivamente seleccionado. Es

decir:

tttt xyyy 41132211 DDDD

2 Simulacin Esttica.- Se consideran valores reales en las variables

explicativas, excepto las endgenas corrientes de cada ecuacin, que se

determinan por el propio modelo en forma conjunta. Sirve para un anlisis del

funcionamiento perodo a perodo del modelo, puede conseguirse trabajando

simultneamente con todas las ecuaciones, pero sin conexin dinmica.

Tenemos:


Resultados satisfactorios no garantizan el que el modelo no se

desestabilice o presente errores importantes despus de varios periodos de

funcionamiento, ya que en este tipo de simulacin, en cada nuevo periodo se

sustituyen las endgenas desplazadas por sus valores reales y no por los de

solucin del modelo para periodos anteriores.

3 Simulacin Dinmica.- La solucin es simultnea para todas las ecuaciones y

slo se suministra datos (reales del pasado o supuestos) para las exgenas y el

valor inicial de partida de las endgenas. Esta es la que permite contrastar la

estabilidad del modelo y la calidad de sus predicciones. Sera:


4 Simulacin Estocstica.- Se trabaja con las distribuciones de probabilidad

tanto de los parmetros como del trmino de error. Nos permite establecer el

grado de incertidumbre sobre los efectos estimados de una determinada

poltica.

2.3. SOLUCIN DEL MODELO

La mayor o menor complejidad en la solucin del modelo depender de la

propia forma en que la simultaneidad se manifieste, de la inclusin o no de

ecuaciones dinmicas, de la posible coexistencia de relaciones no lineales junto a

otras lineales y del tamao del modelo.

21

La existencia de variables endgenas desplazadas en el modelo, la forma

reducida ya no nos permite una solucin inmediata del modelo, dado que la

simultaneidad afecta tambin a las variables endgenas desplazadas y no de todas las

variables predeterminadas como se hace en la forma reducida.

Theil y Boot propusieron a estos efectos la denominada Forma Final del

modelo, donde las variables endgenas corrientes quedan expresadas en funcin de

slo las exgenas (corrientes y desplazadas), mediante un proceso de eliminacin

repetitiva de todas las variables endgenas desplazadas en la forma reducida.

La forma reducida del modelo es:

ttY VXY

Descomponemos la forma reducida, considerando el desdoblamiento de de la forma siguiente:

0 trmino independiente. 0 endgenas desplazadas. 0 exgenas corrientes. 0 exgenas desplazadas.

Asumimos que slo existen variables desplazadas un perodo, entonces la

forma reducida se expresa:

ttttt VZZYY 132110 donde tZ slo incluye las exgenas corrientes del modelo.

Si no existen variables desplazadas, es decir:

ttt VZY 20 entonces la forma final del modelo y la forma reducida del modelo coinciden.

Reemplazando 1tY en la forma reducida nos da: tttttttt VZZVZZYY 1321231221010

simplificando, tenemos: 112311312222110 ttttttt VVZZZYIY

Repitiendo el proceso s veces, resulta: ststttstssts

ttst

ss

t

VVVVZZ

ZZYIY

12

2

111131

1

1312

131221

1

11

2

110

...

......

22

Cuando s crece indefinidamente supondremos que 01 o s . Luego se anula los coeficientes de 1stZ e 1stY .

La suma de matrices del trmino independiente es: sIS 1

2

11 ...

como se trata de una progresin geomtrica infinita, nos da igual:

111

fo

III

Slms

La forma final del modelo puede resumirse:

f

f

1

1

1

1

13122

1

10

r

rt

r

r

rt

r

tt VZZIY

Esta expresin recoge los siguientes efectos denominados:

1 Multiplicador de impacto.- recoge el efecto inmediato que cualquier cambio

en la variable exgena tiene sobre la variable endgena. En este modelo es

2 . .

2 Multiplicador dinmico.- recoge el efecto segn pasa uno, dos, ... , s perodos

que cualquier cambio en la variable exgena tienen sobre la variable

endgena. En este modelo son: ...;;; 213121312312

3 Multiplicador total a largo plazo.- viene a ser la suma de todos los

multiplicadores. Tenemos: ...2131213123122 MLP

sacando factor comn, nos queda: ...2113122 IMLP

reemplazando la suma del trmino independiente da:

113122 IMLP

simplificando tenemos:

1132 IMLP

23

En caso de trabajar con variaciones en porcentaje tanto de las variables

exgenas como de las variables endgenas, podemos hablar en forma equivalente de

elasticidad impacto, elasticidad dinmica y elasticidad total a largo plazo.

Si no existen variables rezagadas (endgenas y exgenas), los coeficientes de

la forma reducida son directamente los multiplicadores de impacto y son los nicos

multiplicadores en el tiempo y coinciden con los multiplicadores totales.

En modelos que incluyen relaciones no lineales o son de un tamao que

resulta incmodo seguir todo este proceso y se busca una solucin al modelo

mediante algn algoritmo de resolucin por tanteo de sistema de ecuaciones,

frecuentemente alguna variante del algoritmo de Gauss - Seidel.

2.4. CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE UN MODELO DINMICO

Para poder alcanzar la forma final es necesario que se cumplan ciertas

condiciones de convergencia en relacin con las matrices de parmetros de las

endgenas desplazadas.

La estabilidad del modelo la entendemos en el sentido de que tienda a una

nueva solucin de equilibrio despus de que se haya provocado un cambio inicial en

uno o varios de los valores de las exgenas.

Para el caso de un modelo de G ecuaciones simultneas con variables

endgenas retardadas hasta s periodos, podramos expresar el conjunto de ecuaciones

dinmicas fundamentales como una ecuacin en diferencias vectoriales con

coeficientes consistentes del tipo: tGYAYAYAYA STSTTT cccc .....22110

donde,

crtY vector de las variables endgenas (1xG) que se han transpuesto a efectos de post multiplicar la matriz de coeficientes.

rA matriz de los coeficientes de todas las variables endgenas (GxG) para cada retardo establecido r ( r = 0, 1, .., s) en las diferentes ecuaciones

del modelo.

tG incluye a todas las variables exgenas desplazadas, corrientes y trmino de error para las G ecuaciones.

Dhrymes comprob que la ecuacin en diferencias vectoriales de orden s

puede reducirse a una de slo primer orden; por lo tanto:

01 tt AYY

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