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Econometria I:Resumen y Conceptos basicos

Luca Gambetti

Tema 2. Modelo de regresion linear simple

Modelo de regresion lineal

I Modeloyi = β0 + β1xi + ui i = 1, .., n

dondeI y − variable dependiente.

I x − variable independiente.

I u − termino de error

I β0, β1 − son los parametros del modelo.

I Interpretacion:I β1 = ∆y

∆x. Si ∆x = 1 β1 nos dice cuanto varıa y por un cambio

unitario e x. Si y y x se miden en euros, la variable y cambia deβ1 euros cuando x aumenta en 1 euro.

I u − incluye todos los factores distintos de x que afectan a y.

Estimadores de los parametros

I Los parametros no se conocen. Tenemos que estimarlos.

I Utilizamos el estimador de Mınimos Cuadrados Ordinarios(MCO).

I Sean β0 y β1 los estimadores de β0 y β1.

I El residuo de regresion ui = yi − β0 − β1xi

I El valor ajustado es yi = β0 + β1xi

I Utilizamos el estimador de Mınimos Cuadrados Ordinarios(MCO): el estimador que minimiza la suma de los cuadrados delos residuos

∑ni=1 u

2i .

Estimadores de los parametros

I Solucionando el problema de minimizacon encontraremos

β1 =

∑ni=1(yi − y)(xi − x)∑n

i=1(xi − x)2

β0 = y − β1x

Ejemplo de estimacion

Queremos estudiar cul es el efecto sobre el salario (anos) de un anomas de educacion sobre el salario (euros por hora). Especificamos lasiguiente regresion

salarioi = β0 + β0educi + ui

Con una muestra de 526 individuos obtenemos las siguientesestimaciones

salarioi = −0,90 + 0,54educi

El valor estimado de la pendiente significa que un ano mas deeducacion hace que el salario aumente en 0,54 euros por hora. Elsalario horario predicho para un individuo con ocho anos de educaciones −0,90 + 0,54(8) = 3,42 euro por hora.

Interpretacion de las estimaciones

I Caso 1: log-nivelSupongamos que nuestro modelo de regresion sea el siguiente

log(yi) = β0 + β1xi + ui

β1 = ∆ log(y)∆x . Esto significa que 100β1 representa el cambio en

terminos porcentuales en y si x aumenta en una unidad.

Ejemplo Supongamos de especificar el siguiente modelo

log(salarioi) = β0 + β1educi + ui

Las estimaciones son

log(salarioi) = 0,58 + 0,08educi

β1 = 0,08 nos dice que un ano mas de educacion determina unaumento en el salario horario de un 8 %.


I Caso 2: nivel-logSupongamos que nuestro modelo de regresion ahora sea elsiguiente

yi = β0 + β1 log(xi) + u

β1 = ∆y∆ log(x) . Esto significa que β1/100 representa el cambio en

de y en terminos de su unidad de medida si x aumenta en un 1 %.

Ejemplo Ahora utilizando el archivo CEOSALES1 de la (bases dedatos Wooldridge) estimamos la siguiente regresion

salaryi = −898,93 + 262,9 log(salesi)

donde salaryi se refiere al salario de un ejecutivo de la empresa ien miles de dolares y sales las ventas de esta empresa en milionesde dlares. β1 = 262,9 nos dice que si la ventas aumentan en un1 %, el salario de un ejecutivo aumenta de 262,9/100 = 2,629miles de dolares.


I Caso 3: log-logSupongamos que nuestro modelo de regresion ahora sea elsiguiente

log(y) = β0 + β1 log(x) + u

Si ∆u = 0 entonces β1 = ∆ log(y)∆ log(x) . En este caso β1 tiene la

interpretacion de elasticidad y expresa de cuanto varia enterminos porcentuales y si x aumenta en un 1 %.Ejemplo Utilizando el mismo archivo del ejemplo anteriorCEOSALES1 estimamos la siguiente regresion

log(salaryi) = 4,82 + 0,25 log(salesi)

donde el par’ametro β1 = 0,25 ahora nos dice si la ventasaumentan en un 1 % es salario de un ejecutivo aumenta de 0,25 %.

Supuestos

1. La y y la x estan relacionadas en base al modelo anterior

2. yi y xi salen de un muestreo aleatorio

3. E(u|x) = 0, cero esperanza condicional.

4. Las observaciones de xi no son todas iguales.

5. ui ∼ N(0, σ2)

Propiedades algebraicas

1. ¯ui = 0 promedio del residuo es cero.

2.∑ni=1 xiui = 0 el regresor y el residuo tienen correlacion igual a

creo.

Propiedades estadisticas

1. E(β1) = β1, E(β0) = β0, los estimadores son insesgados.

2. V ar(β1) = σ2∑ni=1(xi−x)2 . La varianza del estimador nos

proporciona informacion sobre la precision de las estimaciones.

3. El estimador MCO es ELIO (estimador lineal insesgado optimo).Es el estimador de minima varianza entre los estimadores lineales(es una combinacion de la y, vease la formula) y insesgados.

Estimador de σ2

I La varianza del termino de error no se conoce. Tenemos queestimarla.

I El estimador es σ2 =∑n

i=1 u2i

n−2

I Ası podemos tambien estimar la varianza de β1

V ar(β1) =σ2∑n

i=1(xi − x)2

Bondad de ajuste, R2

I Empezamos definiendo la Suma Total de los Cuadrados (STC) laSuma Explicada de los Cuadrados (SEC) y la Suma de losCuadrados de los Residuos (SCR) de la siguiente manera:

STC ≡n∑i=1

(yi − y)2

SEC ≡n∑i=1

(yi − y)2

SCR ≡n∑i=1

u2i

I R2 = 1− SCRSTC = SEC

STC , nos dice la proporcion de variana de y queexplica la x.

Modelo en forma matricial

I Escribimos el modelo en forma matricial

y =

y1

y2

...yn

un vector (n× 1) de todas las observaciones de la variabledependiente

I

X =

1 x1

1 x2

......

1 xn

una matriz (n× 2) con todas las observaciones en las filas y lasvariables independientes en las columnas

Modelo en forma matricial

I

u =

u1

u2

...un

un vector (n× 1) de errores y

I

β =

(β0

β1

)un vector (2× 1). Entonces podemos escribir el modelo como

y = Xβ + u (1)

Otra formula para los estimadores

I Estimadores MCO

β =

(β0

β1

)= (X ′X)−1X ′y

vector 2× 1.

I La varianza esV ar(β) = σ2(X ′X)−1

matriz 2× 2. Y su estimador es

V ar(β) = σ2(X ′X)−1

Las partes de la forumla

I Acuerdate que

X ′X =

(1 1 . . . 1x1 x2 . . . xn

)1 x1

1 x2

......

1 xn

=

(n

∑ni=1 xi∑n

i=1 xi∑ni=1 x

2i

)

y que

X ′y =

(1 1 . . . 1x1 x2 . . . xn

)y1

...yn

=

( ∑ni=1 yi∑ni=1 yixi

)

Tema 3. Inferencia

Inferencia

I Queremos averiguar determinadas afirmaciones sobre losparameteros.

I Queremos averiguar que la variable x sea un factor relevante paray.

I Como lo hacemos?

I 1) Contraste t

I 2) Intervalos de confianza.

Contraste t

I Dados nuestros supuestos

β1 ∼ N(β1, σ2(X ′X)−1

22 )

entonces si la estandardizamos

β1 − β1√σ2(X ′X)−1

22

∼ N(0, 1)

I Si substituimos σ2 con su estimador σ2obtenemos una variabletn−2

β1 − β1√σ2(X ′X)−1

22

∼ tn−2

donde los grados de libertad son el numero de observacionesmenos el numero de parametros.

Contraste t

I Hipotesis nula H0: hipotesis que se supone ser cierta al principiode la prueba.

I Hipotesis alternativa H1: hipotesis que vale si no vale la nula.

I H0 : β1 = 0 (que significa? que el x no es importante para y)

I H1 : β1 6= 0 (contraste a dos colas).

I H1 : β1 > 0 o H1 : β1 < 0 (contraste a una cola).

Contraste t a dos colasI H0 : β1 = 0 (que significa? que el x no es importante para y)

I H1 : β1 6= 0 (contraste a dos colas).

I Selecciono un nuvel de significacion α

I Calculo

t =β1 − β1√σ2(X ′X)−1

22

como bajo la hipotesis nula β1 = 0 entonces

t =β1√

σ2(X ′X)−122

I Rechazo si |t| > tn−2,α/2 donde tn−2,α/2 es el valor crıtico.

I Rechazo porque si β1 = 0 es muy poco probable observar lo queencontramos en los datos.

Contraste t a dos colas

Contraste t a dos colas para otras hipotesis

I H0 : β1 = β1 donde β1 es un determinado valor.

I H1 : β1 6= β1 (contraste a dos colas).


I Calculo

t =β1 − β1√σ2(X ′X)−1

22

I Rechazo si |t| > tn−2,α/2 donde tn−2,α/2 es el valor crıtico.

I Rechazo porque si β1 = β1 es muy poco probable observar lo queencontramos en los datos.

Contraste t a una cola (>)


I H1 : β1 > 0 (contraste a dos colas).


I Calculo

t =β1 − β1√σ2(X ′X)−1

22

I Rechazo si t > tn−2,α donde tn−2,α e el valor crıtico.

Contraste t a una cola (<)


I H1 : β1 < 0 (contraste a dos colas).


I Calculo

t =β1 − β1√σ2(X ′X)−1

22

I Rechazo si t < −tn−2,α donde tn−2,α es el valor crıtico.

Valor-p

I Contraste a dos colas:e valor-p es

valor − p = p(|tn−2| > |t|)

I Contraste a una colas:e valor-p es

valor − p = p(tn−2 > |t|)

I En el grafico el valor-p de una alternativa a dos colas es la sumade las dos areas. Pera una alternativa a una cola es solo 1 area (lamitad del valor-p para un contraste a dos colas).

Valor-p

Intervalos de confianza

I Intervalo de confianza al 1− α es

β1 ± se(β)tn−2,α/2

donde se(β) =√σ2(X ′X)−1

22

I Nos proporciona un intervalo de valores. Si hacemos un contrastede la hipotesis de que β1 es igual a cualquier de estos valores,sabemos la podemos rechazar.

Tema 4. Modelo de regresion con k varables

Modelo

I En muchas aplicaciones es natural pensar que una variableeconomica de interes pueda depender de mas de una variableexogena. Por esta razon veremos ahora como generalizar elmodelo estudiado en el capitulo anterior.

yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + ...+ βkxik + ui (2)

donde i, como antes, se refiere a la observacion i en nuestramuestra y

1. yi − es la variable variable dependiente.2. xij , j = 1, ..., k − son las k variables a traves de las cuales

queremos explicar y y reciben como antes el nombre de variablesindependientes.

3. ui − es el termino de error, es una variables aleatoria y representafactores non observables distintos a xj que afectan a y.

4. βj , j = 0, ..., k − son los parametros del modelo.

En forma matricial

I Podemos escribir el modelo en forma matricial

y =

y1

y2

...yn

un vector (n× 1) de todas las observaciones de la variabledependiente

X =

1 x11 x12 . . . x1k

1 x21 x22 . . . x2k

......

......

...1 xn1 xn2 . . . xnk

una matriz (n× k + 1) con todas las observaciones en las filas ylas variables independientes en las columnas

En forma matricialI

u =

u1

u2

...un

un vector (n× 1) de errores y

β =

β0

β1

...βk

un vector ((k + 1)× 1) donde el primer elemento es el coeficientedel termino constante y los demas son los coeficientes de lasvariables exogenas.

I El modelo esy = Xβ + u (3)

Estimador Mınimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

I Resultados y definiciones preliminares: β es un estimador de β,u = y −Xβ el vector de residuos de regresion y y = Xβ el vectorde valores ajustados.

I Como antes el estimador de MCO es el estimador que minimizala suma de los residuos al cuadrado u′u =

∑ni=1 u

2i .

Iβ = (X ′X)−1X ′y

Interpretacion

I βj mide el efecto de xj sobre y una vez que descontamos losefectos de las demas variables exogenas. Por eso podemosinterpretar βj como el efecto parcial de xj sobre y o sea el efectode xj cuando las demos variables se mantienen fijas.

I Ejemplo Extendemos el modelo utilizado anteriormente paraexplicar el salario horario incluyendo otro regresor: el tiempotrabajado en el actual puesto de trabajo. Utilizando el estimadorque acabamos de ver obtenemos las siguientes estimaciones

ˆlog(salarioi) = 0,216 + 0,097educ+ 0,010exper.

La interpretacion de β1 = 0,097 es que ahora un ano mas deeducacion produce un incremento del salario de 9.7 %, mientrasque un ano mas de experiencia laboral aumenta el salario en un1 %.

Interpretacion

I El ejemplo anterior evidencia una caracteristica muy importantedel modelo a k-variables. En general, si anadimos una variable almodelo las estimaciones de los para metros que ya eran incluidoscambian. Ejemplo en GRETL

I Hay dos excepciones a este resultado. Se consideren dos modelos,el primero con una sola variable dependiente,

y = β0 + β1xi1 + ui,

y el segundo con dos variables independientes

y = β0 + β1xi1 + β2xi2 + ui

.

1. Si β2 = 0 entonces el estimador de β1 coinciden en los dosmodelos.

2. Un segundo caso en que β1 coincide en los dos modelos es cuandox1 y x2 no estan correlacionadas.

Error estandard de la regresion

I Para la varianza del error, el estimador insesgado queutilizaremos es parecido al anterior. La unica diferencia es queahora hay que normalizar por el numero de observaciones menosel numero total de parametros. Ası que en el modelo dek-variables el estimador de la varianza del error es

σ2 =u′u

n− k − 1(4)

Supuestos

1. Modelo de regresion con k variables.

2. Las variables yi, x1i, ..., xki salen de un muestreo aleatorio.

3. Zero esperanza condicional E(u|x1, ..., xk) = 0.

4. No hay perfecta multicolinalidad. Perfecta multicolinealidadsignifica que una o mas variables se pueden escribir comocombinacıon lineal de las demas variables. Por ejemplox1 = 2 + 0,5x2 + 0,8x3 es un caso de perfecta multicolinealidad.

5. ui ∼ N(0, σ2), u tiene distribucion Normal.

Propiedades algebraicas

1.∑ni=1 ui = 0

2. X ′u = 0 (vector de ceros). Esto quiere decir

n∑i=1

xi1ui = 0, ...,

n∑i=1

xikui = 0

Propiedades estadisticas

1. Los estimadores MCO son insesgados E(β) = β.

2.V ar(β)) = σ2(X ′X)−1

es una matrix (k + 1)× (k + 1) de varianzas (en la diagonal

principal) y covarianzas. La varianza del elemento j de β, o sea,

βj es σ2(X ′X)−1jj donde (X ′X)−1

jj es el elemento j, j de (X ′X)−1.

3. La distribucion del vector β es

β ∼ N(0, σ2(X ′X)−1)

4. (Teorem de Gauss Markov) El estimador β es el estimador linealinsesgado optimo (ELIO). Es significa que es el estimador, entretodos los estimadores insesgados, que tiene varianza minima. Enpras palabras es el estimador mas preciso.

Bondad del ajuste

I Como antes definimos

STC ≡n∑i=1

(yi − y)2 (5)

SEC ≡n∑i=1

(yi − y)2 (6)

SCR ≡n∑i=1

u2i

I El coeficiente de determinacion es

R2 =STC

SEC

= 1− SCR

STC(7)

Coeficiente de determinacion ajustado

I Se puede demostrar que el R2 aumenta si incluyimos masvariables exogenas en el modelo.

I Como la suma total de cuadrados es constante, con mas variablesindependientes con una varianza muestral distinta de cero, lasuma de los residuos al cuadrado tiene que disminuir y por estarazon el coeficiente de determinacion tiene que aumentar.

I Esto implica que no podemos utilizar el R2 como una medida debondad del ajuste para comparar modelos con un numerodiferente de regresores.


I Por esta razon en el modelo de k-variables definimos elR2-corregido que es otra medida de bondad del ajuste del modelo.

I La idea es que corregimos el R2 de manera que si incluyimos unregresor mas queremos que este aumente solo si la nueva variableexogena es util para explicar la variable dependiente.

I Definimos el coeficiente de determinacion corregido como

R2 = 1− n− 1

n− k(1−R2)


I Podemos ver que cuando anadimos un regresor:I R2 aumenta y R2 tambien.

I k aumenta y R2 disminuye.

I El efecto total sobre R2 depende si la vaiable que anadimos esimportante para explicar y. En este caso R2 aumenta. Si nodisimuira.

I La correccion esta en el denominador del segundo elemento a laderecha del igual. Cuando inlcuimos un regresor mas k aumenta.Esto hace aumentar n−1

n−k (1−R2) y disminuir R2 contrastando el

efecto opuesto debido al aumento de R2.

Colinealidad

I Colinealidad se refiere a un problema que surge por el hecho deque las variables independientes estan correlacionadas.

I Se considere la regresion

yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + ui, ui ∼ N(0, σ2)

I Ahora considera la regresion

xi1 = α0 + α1xi2 + ui

o sea la regreson del primero regresor sobre el segundo.Llamamos el coeficiente de determinacion de esta segundaregresion R2

x. Cuanto mas alta la correlacion entre xi1 y xi2 tantomas alto es el R2

x,. Intuitivamente tanto mas la xi2 explica xi1.

Colinealidad

I Ahora volvamos a la primera regresion. La varianza de β1 sepuede escribir (no lo vamos a derivar) como

V ar(β1) =σ2∑n

i=1(xi1 − x1)2(1−R2x)

(8)

I Veis que cuato mas alto es R2x (cuato mas grande es la

correlacion entre xi1 y xi2), tanto mas GRANDE sera la varianzadel estimador y menos precisas seran nuestras estimaciones. Si lacorrelacion es cero, entonces R2

x = 0 y la varianza sera

V ar(β1) =σ2∑n

i=1(xi1 − x1)2(9)

que corresponde a la varianza que vimos en el modelo simple

Colinealidad

I Esto quiere decir que cuand anadimos variables al modelo queestan correlacionadas, tanto menos precisas seran nuestrasestimaciones.

I Esto nos aclara porque no podemos anadir variables que soncombinaciones lineales de las otras. Si quiere la correlacion entrexi1 y xi2 fuese 1, entonces R2

x = 1 y la varianza de β1 seriainfinita.

I El termino 11−R2

xSe llama Factor de Inflacion de Varianza (FIV).

Sesgo de variable omitida

I Anadiendo una variable que esta correlacionada con las otrashace menos precisas las estimaciones.

I Tenemos que quitarla del modelo?

I Si es una variable no-relevante (su coeficiente es cero) entones si.

I Pero si es una variable (su coeficiente no es cero) relevante NO,no debemos. La razon es que si quitamos una variable relevantetendremos un sesgo en los estimadores.


I Para ver esto utilizamos un modelo con dos regresores.Elverdadero modelo es

yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + ui

x1 y x2 son dos variables relevantes (β1 6= 0, β2 6= 0).

I Decidimos de no incluir x2 y estimamos

yi = β0 + β1xi1 + ui


I Estimamos con MCO y encontramos

β1 =

∑ni=1(xi1 − x1)yi∑ni=1(xi1 − x1)2

(10)

I Substituyendo

β1 =

∑ni=1(xi1 − x1)(β0 + β1xi1 + β2xi2 + ui)∑n

i=1(xi1 − x1)2

= β1 +β2

∑ni=1(xi1 − x1)xi2∑ni=1(xi1 − x1)2

+

∑ni=1(xi1 − x1)ui∑ni=1(xi1 − x1)2


I Tomando el valor absoluto

E(β1|x1, x2) = β1 +β2

∑ni=1(xi1 − x1)xi2∑ni=1(xi1 − x1)2

+

+

∑ni=1(xi1 − x1)E(ui|x1, x2)∑n

i=1(xi1 − x1)2

= β1 +β2

∑ni=1(xi1 − x1)xi2∑ni=1(xi1 − x1)2

(11)

I Entonces E(β1) 6= β1

I Si nos olvidamos u omitimos una variable relevante tendremos unestimador sesgado.

I El signo del sesgo depende de β1 y la correlacion entre las dosvariables.

Tema 5. Inferencia en el modelo con k variables

Inferencia

I Queremos averiguar determinadas afirmaciones sobre losparameteros.

I Contraste de una sola hipotesis (contraste t).

I Contraste de mas de una hipotesis (contraste F ).

Contraste t

I Dados nuestros supuestos

βj ∼ N(βj , V ar(βj))

donde V ar(βj) = σ2(X ′X)−1j+1,j+1 entonces si la estandardizamos

βj − βj√V ar(βj)

∼ N(0, 1)

I Si substituimos σ2 con su estimador σ2obtenemos una variabletn−k−1 (DIFEFERNCIA RESPECTO AL MODELO SIMPLE:los grados de libertad son n− 1− k porque ahora los parametrosson k + 1)

βj − βjse(βj)

∼ tn−k−1

donde se(βj) =√σ2(X ′X)−1

j+1,j+1 los grados de libertad son el

numero de observaciones menos el numero de parametros.

Contraste t

I Hipotesis nula H0: hipotesis que se supene ser cierta al princioiode la prueba.

I Hipotesis alternativa H1: hipotesis que vale si no vale la nula.

I H0 : βj = 0 (que significa? que el x no es importante para y)

I H1 : βj 6= 0 (contraste a dos colas).

I H1 : βj > 0 o H1 : βj < 0 (contraste a una cola).


I H0 : βj = 0 (que significa? que el x no es importante para y)

I H1 : βj 6= 0 (contraste a dos colas).


I Calculo

t =βj

se(βj)

I Rechazo si |t| > tn−k−1,α/2 donde tn−k−1,α/2 es el valor crıtico.

I Rechazo porque si βj = 0 es muy poco probable observar lo queencontramos en los datos.

Contraste t a dos colas para otras hipotesis

I H0 : βj = βj donde βj es un determinado valor.

I H1 : βj 6= βj (contraste a dos colas).


I Calculo

t =βj − βjse(βj)

I Rechazo si |t| > tn−k−1,α/2 donde tn−k−1,α/2 es el valor crıtico.

I Rechazo porque si βj = βj es muy poco probable observar lo queencontramos en los datos.


I H0 : βj = 0 (que significa? que el xj no es importante para y)

I H1 : βj > 0 (contraste a dos colas).


I Calculo

t =βj

se(βj)

I Rechazo si t > tn−k−1,α donde tn−k−1,α e el valor crıtico.


I H0 : βj = 0 (que significa? que el xj no es importante para y)

I H1 : βj < 0 (contraste a dos colas).


I Calculo

t =βj

se(βj)

I Rechazo si t < −tn−k−1,α donde tn−k−1,α es el valor crıtico.

Valor-p

I Contraste a dos colas:e valor-p es

valor − p = p(|tn−k−1| > |t|)

I Contraste a una colas:e valor-p es

valor − p = p(tn−k−1 > |t|)

I En el grafico el valor-p de una alternativa a dos colas es la sumade las dos areas. Pera una alternativa a una cola es solo 1 area (lamitad del valor-p para un contraste a dos colas).

Contraste F

I Utilizamos el contraste F para contrastar restricciones linealesmultiples.

I Por ejemplo en el modelo

M1 : yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + β3xi3 + β4xi4 + ui (12)

queremos contrastar la H0 : β2 = 0, β3 = 0, o sea que x2 y x3 noson regresores relevantes

I En el contraste F se comparan dos modelos. El modelono-restringido y el modelo restringido.

I El modelo restringido es el modelo donde se cumplen lasrestricciones. En el ejemplo de antes el modelo restringido es

M2 : yi = β0 + β1xi1 + β4xi4 + ui (13)

Contraste F

I El contraste se basa en la comparacion de la suma de los residuosal cuadrado.

I SCR es la suma de los cuadrado de los residuos. En el ejemplo deantes es la suma de cuadrados obtenida en M1.

I SCRr es la suma de los cuadrado de los residuos en el modelorestringido. En el ejemplo de antes es la suma de cuadradosobtenida en M2.

I El estadistico de contraste es

F =(SCRr − SCR)/q

(SCR)/(n− k − 1)

donde q es el numero de restricciones. En el ejemplo anteriorq = 2.

Contraste F

I El contraste funciona ası:

1. Calculamos

F =(SCRr − SCR)/q

SCR/(n− k − 1)

donde q es el numero de restricciones. En el ejemplo anteriorq = 2.

2. Rechazamos la H0 si F > Fq,n−k−1,α donde Fq,n−k−1,α es el valorcrıtico de la distribucion F con q y n− k − 1 grados de libertad ycon un nivel de significacion α.

Restricciones a cero

I Supongamos que el modelos sea


I La H0 : β2 = 0, β3 = 0. La alternativa es que no sonconjuntamente iguales a cero.

I El modelo restringido es

M2 : yi = β0 + β1xi1 + β4xi4 + ui (15)

I Calculo

F =(SCRr − SCR)/q

SCR/(n− k − 1)

I Rechazamos la H0 si F > Fq,n−k−1,α donde Fq,n−k−1,α es el valorcrıtico de la distribucion F con q y n− k − 1 grados de libertadaly un nivel de significacion α.

Restricciones a cero: Ejemplo

I Considera las siguientes estimciones (n = 100).

yi = 3,2+0,54xi1+1,23xi2−0,61xi3, SCR = 200, STC = 300, R2 = 0,33.(16)

I y

yi = 4,1 + 0,74xi1 SCRr = 250, STC = 300, R2 = 0,16. (17)

I Contrasta H0 : β2 = β3 = 0.

F =(250− 200)/2

200/(100− 3− 1)= 12

I F2,96,0,005 = 3. F > 3 rechazamos la H0.

Otras restricciones

I Supongamos que el modelos sea


I La H0 : β2 = 1, β3 = 0,5.

I Cual es el modelo restingido? Sera

M2 : yi = β0 + β1xi1 + xi2 + 0,5xi3 + β4xi4 + ui (19)

I Como calculo la SCRr? El modelo restingido se puede escribircomo

M2 : yi − xi2 − 0,5xi3 = β0 + β1xi1 + β4xi4 + ui (20)

Estimo SCRr utilizando yi − xi2 − 0,5xi3 como nueva variabledependiente y xi1 y xi4 como variables independientes.

Otras restricciones

I Una vez calculado SCRr calculo

F =(SCRr − SCR)/q

SCR/(n− k − 1)

I Rechazamos la H0 si F > Fq,n−k−1,α.

Forma R2 del estadistico F

I En el caso de restricciones a cero podemos encontrar una formaequivalente del estadistico de contraste en terminos de R2.

I Acordemonos que R2 = 1− SCRSTC o SCR = (1−R2)STC. En el

modelo restrigido tenemos R2r = 1− SCRr

STC oSCRr = (1−R2

r)STC. STC es igual en los dos modelos porquecon restricciones a cero, la variable dependiente es la misma.


I Entonces podemos substituir y encontramos

F =((1−R2

r)STC − (1−R2)STC)/q

(1−R2)STC/(n− k − 1)

=((1−R2

r)− (1−R2))/q

(1−R2)/(n− k − 1)

=(R2 −R2

r)/q

(1−R2)/(n− k − 1)

(21)

donde R2r es el coeficiente de deteminacion del modelo restringido

I Rechazamos la H0 si F > Fq,n−k−1,α.


I En el ejemplo anterior:

yi = 3,2+0,54xi1+1,23xi2−0,61xi3, SCR = 200, STC = 300, R2 = 0,33.(22)

I y

yi = 4,1 + 0,74xi1 SCR = 250, STC = 300, R2 = 0,16. (23)

I Contrasta H0 : β2 = β3 = 0.

F =(0,33− 0,16)/2

(1− 0,33)/(100− 3− 1)= 12

I F2,96,0,005 = 3. F > 3 rechazamos la H0.

Estadistico F para la regresion

I En el modelo

yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + β3xi3 + β4xi4 + ui

quiero contrastar que todos los coeficientes sean cero, o seaH0 : β1 = β2 = ... = βk = 0. Hay k restricciones. En palabras,esta H0 nos dice que todos los regresores no son importantesconjuntamente.

I Cual es el R2r? Como en el modelo restringido no hay regresores,

R2r = 0. Entonces utilizando la forma R2 del contraste obtenemos

que

F =R2/k

(1−R2)/(n− k − 1)

I Rechazamos la H0 si F > Fk,n−k−1,α.

Tema 6. Extensiones

Variables dummy

I Ahora consideramos variables dummy. La variable Di es unavariable dummy si puede tomar dos valores. Por ejemplo Di = 1si i es hombre, Di = 0 si es mujer.

I Considera el modelo

yi = β0 + β1Di + ui

donde yi representa ingresos y Di = 1 si el individuo es mujer y 0si es hombre.

I Cual es nivel de ingresos esperado para una mujer? La respuestaes

E(yi|D1 = 1) = β0 + β1

I Y para un hombre? La respuesta es

E(yi|D1 = 1) = β0

Variables dummy

I Entonces el parametro β1 representa la diferencia esperada en lavariable endogena para las dos categorias, en este caso hombre ymujer.

I Un contraste de hipotesis β1 = 0 es un contraste spbre lahipotesis que en media el los ingresos esperados para hombres ymujeres son iguales.

Variables dummy

I Ahora, di = 1 si el individuo i es mujer y di = 0 si es hombre.Considera la regresion

salario = β0 + β1educi + δdi + ui

I El salario esperado para un hombre con 10 anos es β0 + β110 yβ0 + β110 + δ si es mujer. El parametro δ representa la diferenciaesperada entre hombre y mujer.

Variables dummy

I Como antes di = 1 si el individuo i es mujer y di = 0 si eshombre. Considera la regresion

salario = β0 + δdi + β1educi + β2dieduci + ui

el termino dieduci (multiplicaciion de la dummy por el regresor)se llama termino de interaccion.

I Cual es el efecto de un ano mas de educacion para un hombre (osea cuando di = 1)? El efecto es β1.

I Y para una mujer (o sea cuando di = 1)? El efecto es β1 + β2. Elparametro β2 representa la diferenci en el efecto sobre el salarioentre hombre y mujer de un ano de educacion.

Contraste de cambio estructural

I Como podemos contrastar la presencia de discriminacion degenero en el mercado del trabajo? Podemos considerar el modeloanterior

salario = β0 + δdi + β1educi + β2dieduci + ui

I Queremos contrastar la hipotesis nula que el modelo para hombrey mujer es lo mismo. esto implica contrastar la H0 : δ = 0, β2 = 0utilizando un contraste F . Si rechazamos la nula, entoncesrechazamos que NO haya discriminacion de genero.

I Este contraste se conoce como contraste de cambio estructural.

Contraste de cambio estructural

I En terminos generales

yi = β0 + δdi + β1xi1 + ...+ βkxik + βk+1dixi1 + ...+ β2kdixik + ui

donde di es una varible dummy.

I El contraste quiere averiguar que el modelo para los dos grupossea el mismo (NO haya cambio estrictural).

I Para esto se contrasta la hipotesis nula

H0 : δ = βk+1 = βk+2 = ... = β2k = 0

utilizando un contraste F . El numero de restricciones sera k + 1.

Efectos cuadraticos

I Vamos a estudiar ahora los efectos cuadraticos. Esto nos permitetener efectos que no son lineales.

I Consideramos el siguente modelo

yi = β0 + β1xi + β2x2i + ui

I El modelo se puede stimar con MCO utilizando el cuadradox2i como regresor adicional. x2

i .

I El valor ajustado es

yi = β0 + β1xi + β2x2i

Efectos cuadraticos

I El efecto aproximado de un cambio ∆x sobre ∆y es

β1 + 2β2xi

El efecto depende del valor de xi: el efecto de 1 a 2 es β1 + 2β22 yel efecto de un cambio de 2 a 3 es β1 + 2β23

I Alternativamente se puede estudiar el cambio directamenteutilizando la formula del valor ajustado y substituyendo losvalores.

Efectos cuadraticos: Ejemplo

I Considera las siguientes estimaciones

yi = 1 + 0,5xi + 0,1x2i

De 0 a 1 el efecto es 0,5 + 0,1 = 0,6, de 1 a 2 es(0,5)(2) + (0,1)(4)− (0,5)(1) + (0,1)(1) = 0,8. Los efectos de losincrementos unitarios de 1 a 4 son 0,6, 0,8, 1, 1,2. Los efectoscrecen.

I Considera ahora las siguientes estimaciones

yi = 1 + 0,5xi − 0,1x2i

Los efectos de los incrementos unitarios de 1 a 4 son0,4, 0,2, 0,−0,2.

Terminos de interaccion

I Otra forma de nonlinealidad se puede obtener con los temrinos deinteraccion. Considera el modelo

yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + β3xi2xi3 + ui

El el cuarto termino tenemos el producto de las dos variablesindependientes.

I El efecto de x1 sobre y es

∆y

∆x1= β1 + β3x2

I El efecto de x2 sobre y es

∆y

∆x2= β2 + β3x1

Terminos de interaccion: Ejemplo

I Considera las siguientes estimaciones

yi = 1 + 0,5xi1 + 0,1xi2 + 0,5xi2xi3

El el cuarto termino tenemos el producto de las dos variablesindependientes.

I El efecto de x1 sobre y cuando xi2 = 2 es

∆y

∆x1= 0,5 + 0,5(2) = 1,5

I El efecto de x2 sobre y cuando xi1 = 2

∆y

∆x2= 0,1 + 0,5(2) = 1,1

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