Economía Matemática -...

Economía Matemática

Martín Brun – Mijail Yapor

Facultad de Ciencias Económicas y de Administración – UdelaR

Agosto – Diciembre 2017


Programa 2016 Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales


Contenido

o Introducción

o Ecuaciones Diferenciales Lineales

o Análisis Cualitativo: Diagrama de Fase y Tipos de Equilibrio

o Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

o Linealización de sistemas no lineales y Análisis de Estabilidad

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Introducción

o El término “dinámica económica” describe un tipo de análisis cuyos objetivosson rastrear y estudiar las trayectorias temporales específicas de las variableseconómicas, así como determinar si, dado un tiempo suficiente, estasvariables tenderán a converger a ciertos valores (equilibrio).

o El tiempo se introduce en el análisis de dos maneras:

• De forma continua: implica considerar que a la variable de interés leestá ocurriendo algo en cada instante del tiempo. En este caso nosconcentramos en el estudio de ecuaciones diferenciales.

• En tiempo discreto: la variable de interés experimenta un cambiosolamente una vez dentro del período (por ejemplo, el cambio ocurre alfinal de períodos semestrales). En este caso, nos concentramos en elestudio de ecuaciones en diferencias.


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Definición General


Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de laforma 𝐹𝐹 𝑦𝑦′,𝑦𝑦, 𝑡𝑡 = 0.

Si la ecuación no involucra explícitamente al tiempo 𝑡𝑡, decimos que es unaecuación autónoma.

En general, una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝒏𝒏 es unaecuación de la forma 𝐺𝐺 𝑦𝑦 𝑛𝑛 , … . ,𝑦𝑦′′,𝑦𝑦′,𝑦𝑦, 𝑡𝑡 = 0 que involucra a lasprimeras 𝑛𝑛 derivadas de la función 𝑦𝑦.

Definición de Ecuación Diferencial

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Definición General


Comentarios:

o Notación: omitiremos al tiempo como variable dependiente, por lo queutilizaremos simplemente 𝑦𝑦,𝑦𝑦′(𝑜𝑜 ⁄𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑡𝑡, �̇�𝑦, para referirnos a la derivada), enlugar de las expresiones 𝑦𝑦 𝑡𝑡 ,𝑦𝑦′ 𝑡𝑡

o El orden de una función diferencial se refiere al orden más alto de las derivadasque aparecen en la ecuación diferencial

o La potencia más alta a la que está elevada la derivada de la ecuación diferencial sedenomina grado de la ecuación diferencial

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Ecuaciones Diferenciales Lineales


Una ecuación diferencial lineal de una variable es una ecuación de laforma:

𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑡𝑡 𝑦𝑦(𝑛𝑛) + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑡𝑡 𝑦𝑦(𝑛𝑛−1) + ⋯+ 𝑎𝑎1 𝑡𝑡 𝑦𝑦′ + 𝑎𝑎0𝑦𝑦 = 𝑏𝑏(𝑡𝑡)

A 𝑏𝑏(𝑡𝑡) se le denomina término independiente. Si 𝑏𝑏(𝑡𝑡) ≡ 0, se dirá que laecuación es homogénea. Dado una ecuación diferencial lineal, la ecuaciónhomogénea asociada es aquella que se obtiene al hacer el términoindependiente idéntico a cero, es decir:

𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑡𝑡 𝑦𝑦(𝑛𝑛) + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑡𝑡 𝑦𝑦(𝑛𝑛−1) + ⋯+ 𝑎𝑎1 𝑡𝑡 𝑦𝑦′ + 𝑎𝑎0𝑦𝑦 = 0

Definición

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Consideremos la ecuación de orden n:

𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑡𝑡 𝑦𝑦(𝑛𝑛) + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑡𝑡 𝑦𝑦(𝑛𝑛−1) + ⋯+ 𝑎𝑎1 𝑡𝑡 𝑦𝑦′ + 𝑎𝑎0𝑦𝑦 = 𝑏𝑏(𝑡𝑡)

Entonces 𝑦𝑦(𝑡𝑡) es una solución a la ecuación si y sólo si 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑦𝑦𝑝𝑝 , endonde 𝑦𝑦𝑐𝑐 es la solución a la ecuación homogénea asociada y 𝑦𝑦𝑝𝑝 escualquier solución particular de la ecuación original.

Proposición

En general, las ecuaciones lineales tienen una propiedad que las hace manejables, donde la solución consiste en la suma de dos términos:

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Cada uno de estos términos tiene una interpretación económica importante:

Dada la solución de la ecuación diferencial 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑦𝑦𝑝𝑝 , 𝑦𝑦𝑝𝑝 , denominadala integral particular, define el valor de equilibrio de la variable; mientras que𝑦𝑦𝑐𝑐 , denominada la función complementaria, revela, para cada instante, ladesviación de la trayectoria 𝑦𝑦 𝑡𝑡 respecto al equilibrio.

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Vamos a ver los siguientes casos:

o Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

• Con coeficientes constantes y términos independiente constantes• Con coeficientes variables y término independiente variable

o Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden:

• Con coeficientes constantes y términos independiente constantes• Con término independiente variable


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Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

Con coeficiente constante y término independiente constante (caso autónomo)

Ecuación diferencial lineal de primer orden: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑏𝑏

El caso homogéneo: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 0

Solución:

1𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= −𝑎𝑎 , Integrando respecto a t en ambos lados: ∫ 1𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = ∫−𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡

Resolviendo: ln(𝑦𝑦) = −𝑎𝑎𝑡𝑡 + 𝑐𝑐

Aplicando la exponencial se tiene: 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑑𝑑 , (y definiendo 𝐴𝐴 = 𝑒𝑒𝑐𝑐), se obtiene la solución:

𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑑𝑑 (solución general)


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La constante A queda determinada si algún valor inicial de 𝑦𝑦 está dado. Típicamente conocemos el valor 𝑦𝑦 0 = 𝑦𝑦0 , de esta forma, 𝑦𝑦 0 = 𝐴𝐴𝑒𝑒0 = 𝐴𝐴 = 𝑦𝑦0 , y por lo tanto obtenemos:

𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦0𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑑𝑑 (solución particular)

Observaciones:1) Hay un número infinito de soluciones particulares, una para cada posible valor de A.2) La solución no es un valor numérico sino una función (una trayectoria en el tiempo)3) La solución está libre de cualquier expresión de derivada o diferencial





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El caso no homogéneo: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 (ecuación completa)

Solución:

Por proposición vista (𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑦𝑦𝑝𝑝), y la solución del caso homogéneo anterior, tenemos:

𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑑𝑑 (solución de la llamada ecuación reducida: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 0 )

Respecto a 𝑦𝑦𝑝𝑝 , como esta es una solución particular de la ecuación completa,podríamos intentar primero el tipo más simple posible de solución, a saber, considerar𝑦𝑦 como una constante (𝑦𝑦 = 𝑘𝑘).


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Como 𝑦𝑦 una constante, entonces 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= 0 y

𝑦𝑦𝑝𝑝= 𝑏𝑏𝑎𝑎

(𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛 𝑎𝑎 ≠ 0)

Por lo tanto:

𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑎𝑎

(𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛 𝑎𝑎 ≠ 0) (solución general, caso de 𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎)

Para determinar una solución definida necesitamos una condición inicial. Consideremos que 𝑦𝑦 0 = 𝑦𝑦0, entonces, al hacer t=0 en la ecuación general obtenemos: 𝑦𝑦0 = 𝐴𝐴 + 𝑏𝑏

𝑎𝑎𝑦𝑦 𝐴𝐴 = 𝑦𝑦0 − 𝑏𝑏/𝑎𝑎 , y por último:

𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦0 − 𝑏𝑏/𝑎𝑎 𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏/𝑎𝑎 (solución definida por condición inicial, caso 𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎)


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Si 𝑎𝑎 = 0, entonces la ecuación diferencial queda 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑏𝑏

y la solución es por integración directa:

𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴 + 𝑏𝑏𝑡𝑡 (solución general, caso de 𝒂𝒂 = 𝟎𝟎)

𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑦𝑦0 + 𝑏𝑏𝑡𝑡 (solución definida por condición inicial, caso de 𝒂𝒂 = 𝟎𝟎)


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Análisis de estabilidad

Una vez hallada la trayectoria en el tiempo de nuestra variable, nos interesará saber si converge a su valor de equilibrio, 𝑦𝑦𝑝𝑝 , cuando 𝑡𝑡 → ∞.

Dada la solución hallada, 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦0 − 𝑏𝑏/𝑎𝑎 𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏/𝑎𝑎 , si iniciamos el proceso desde una posición de no equilibrio, la convergencia de 𝑦𝑦 𝑡𝑡 al equilibrio (𝑏𝑏/𝑎𝑎 en este caso) dependerá de que 𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑑𝑑 → 0 cuando 𝑡𝑡 → ∞. Y esto puede suceder si y sólo si 𝑎𝑎 > 0.

De este modo, concluimos que dado 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 , entonces:

𝑦𝑦 𝑡𝑡 converge al equilibrio ↔ 𝑎𝑎 > 0

𝑦𝑦 𝑡𝑡 diverge del equilibrio ↔ 𝑎𝑎 < 0


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Con coeficiente variable y término variable (caso no autónomo)

Ecuación diferencial lineal de primer orden: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑟𝑟(𝑡𝑡)𝑦𝑦 = 𝑤𝑤(𝑡𝑡)

El caso homogéneo: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑟𝑟(𝑡𝑡)𝑦𝑦 = 0

Solución:

𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑒𝑒− ∫ 𝑟𝑟(𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑 donde 𝐴𝐴 ≡ 𝑒𝑒−𝑐𝑐 (solución general)

La solución particular se obtiene de forma análoga al caso autónomo


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El caso no homogéneo: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑟𝑟(𝑡𝑡)𝑦𝑦 = 𝑤𝑤(𝑡𝑡)

Al multiplicar ambos lados por el factor 𝑒𝑒∫ 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 , se obtiene una expresión integrable ya que la ecuación se convierte en:

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑒𝑒∫ 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑟𝑟(𝑡𝑡)𝑦𝑦 𝑒𝑒∫ 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑤𝑤(𝑡𝑡) 𝑒𝑒∫ 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

El lado izquierdo no es más que la derivada con respecto a t del producto de:

𝑦𝑦 𝑡𝑡 . 𝑒𝑒∫ 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑


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La justificación intuitiva es que para convertir el lado izquierdo de la ecuación en laderivada de un producto, es necesario multiplicarlo por 𝑒𝑒−𝑢𝑢 (denominado factor deintegración) , donde 𝑢𝑢 es la antiderivada de 𝑟𝑟 (coeficiente de 𝑦𝑦(𝑡𝑡)), y si 𝑟𝑟(𝑡𝑡) es unafunción del tiempo, por el teorema fundamental del cálculo, la expresión ∫ 𝑟𝑟 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡tiene como derivada a 𝑟𝑟(𝑡𝑡).

Integrando ambos lados obtenemos:

𝑦𝑦(𝑡𝑡) 𝑒𝑒∫ 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 + ∫𝑤𝑤(𝑡𝑡) 𝑒𝑒∫ 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡

Por lo que:

𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒− ∫ 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴 + ∫𝑤𝑤(𝑡𝑡) 𝑒𝑒∫ 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 (solución general de la ecuacióncompleta)


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Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden

Con coeficientes constantes y término independiente constante (caso autónomo)

Ahora analizamos la siguiente ecuación: 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎1𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡) + 𝑎𝑎2𝑦𝑦 = 𝑏𝑏

La integral particular : 𝒚𝒚𝒑𝒑

Como la integral particular puede ser cualquier solución, es decir, cualquier valor de 𝑦𝑦que satisfaga la ecuación no homogénea, se intenta siempre el caso más sencilloposible: 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒.

Si 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒, entonces, 𝑦𝑦′′ 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 0

Por lo que: 𝒚𝒚𝒑𝒑 = 𝒃𝒃𝒂𝒂𝟐𝟐

(𝒆𝒆𝒏𝒏 𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝟎𝟎)

Si 𝑎𝑎2 = 0, entonces intentamos 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑡𝑡 (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑒𝑒 𝑦𝑦′ 𝑡𝑡 = 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑦𝑦′′ 𝑡𝑡 = 0)

Por lo que: 𝒚𝒚𝒑𝒑 = 𝒃𝒃𝒂𝒂𝟏𝟏𝒕𝒕 (𝒆𝒆𝒏𝒏 𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝒚𝒚 𝒂𝒂𝟏𝟏 ≠ 𝟎𝟎)


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Si 𝑎𝑎1 = 0 𝑦𝑦 𝑎𝑎2 = 0 , la ecuación queda 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑏𝑏

entonces intentamos 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑡𝑡2 (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑒𝑒 𝑦𝑦′ 𝑡𝑡 = 2𝑘𝑘𝑡𝑡 𝑦𝑦 𝑦𝑦′′ 𝑡𝑡 = 2𝑘𝑘)

Por lo que: 𝒚𝒚𝒑𝒑 = 𝒃𝒃𝟐𝟐𝒕𝒕𝟐𝟐 (𝒆𝒆𝒏𝒏 𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝒚𝒚 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝟎𝟎)

La función complementaria: 𝒚𝒚𝒄𝒄 (solución a la ecuación 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎1𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡) + 𝑎𝑎2𝑦𝑦 = 0)

Una pregunta natural que surge es si las soluciones de las ecuaciones homogéneas delcaso de primer orden (𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑) aplican para este caso.

Para verificarlo, obtenemos primero 𝑦𝑦′ = 𝑟𝑟𝐴𝐴𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑 y 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑟𝑟2𝐴𝐴𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑 , y sustituyendo:

𝐴𝐴𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑟𝑟2 + 𝑎𝑎1𝑟𝑟 + 𝑎𝑎2 = 0 , lo que se verifica si 𝑟𝑟2 + 𝑎𝑎1𝑟𝑟 + 𝑎𝑎2 = 0(ya que A viene dada por las condiciones iniciales y no podemos elegirla)


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A la ecuación 𝑟𝑟2 + 𝑎𝑎1𝑟𝑟 + 𝑎𝑎2 = 0 se la conoce como la ecuación característica de laecuación homogénea o de la ecuación completa.

Esta ecuación tiene dos raíces características: 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2 =−𝑎𝑎1± 𝑎𝑎12 −4𝑎𝑎2

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Un examen de los valores que pueden adoptar las raíces indica que pueden surgir tresposibles casos:

Caso 1: raíces reales diferentes (𝑎𝑎12 > 4𝑎𝑎2)

En este caso habrá dos soluciones a la ecuación 𝑦𝑦1 = 𝐴𝐴1𝑒𝑒𝑟𝑟1𝑑𝑑 y 𝑦𝑦2= 𝐴𝐴2𝑒𝑒𝑟𝑟2𝑑𝑑

Como queremos una única solución y esta debe contener 2 constantes arbitrarias(dado que al derivar 𝑦𝑦(𝑡𝑡) se “pierden” dos constantes), debemos combinar lassoluciones, tomando finalmente la suma de ambas.


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𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2 = 𝐴𝐴1𝑒𝑒𝑟𝑟1𝑑𝑑 + 𝐴𝐴2𝑒𝑒𝑟𝑟2𝑑𝑑 (solución general)

Esta es la solución general, para determinar el valor de las constantes y encontrar lasolución definida, debemos contar con dos condiciones iniciales.

Caso 2: raíces reales repetidas (𝑎𝑎12 = 4𝑎𝑎2)

Ahora tenemos una única raíz r , 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴1𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑 pero como necesitamos dos constantesnecesitamos otro término independiente del anterior y que satisfaga la ecuacióndiferencial, encontrando: 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴2𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑

𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2 = 𝐴𝐴1𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑 + 𝐴𝐴2𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑 (solución general)


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Caso 3: raíces complejas (𝑎𝑎12 < 4𝑎𝑎2)

Las raíces características son el par de números complejos conjugados:

𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2 = ℎ ± 𝑣𝑣𝑖𝑖

Donde ℎ = −12𝑎𝑎1 y 𝑣𝑣 = 1

24𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎12 e 𝑖𝑖 ≡ −1 , es un número imaginario

Por lo que: 𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝐴𝐴1𝑒𝑒(ℎ+𝑣𝑣𝑣𝑣)𝑑𝑑 + 𝐴𝐴2𝑒𝑒(ℎ−𝑣𝑣𝑣𝑣)𝑑𝑑 = 𝑒𝑒ℎ𝑑𝑑(𝐴𝐴1𝑒𝑒𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑 + 𝐴𝐴2𝑒𝑒−𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑)

Utilizando las relaciones de Euler: (𝑒𝑒𝑣𝑣𝜃𝜃 ≡ cos𝜃𝜃 + 𝑖𝑖 sin𝜃𝜃 , 𝑒𝑒−𝑣𝑣𝜃𝜃 ≡ cos𝜃𝜃 − 𝑖𝑖 sin𝜃𝜃 )

𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝑒𝑒ℎ𝑑𝑑(𝐴𝐴1 cos 𝑣𝑣𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 sin𝑣𝑣𝑡𝑡) (solución general)

(donde 𝐴𝐴2 ≡ 𝐶𝐶. 𝑖𝑖 incluye el número imaginario)


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Con coeficientes constantes y término variable (caso no autónomo)

Ahora analizamos: 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎1𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡) + 𝑎𝑎2𝑦𝑦 = 𝑏𝑏(𝑡𝑡) donde 𝑏𝑏(𝑡𝑡) es función del tiempo

Solamente debemos modificar 𝑦𝑦𝑝𝑝 respecto a nuestro análisis anterior, ya que 𝑦𝑦𝑐𝑐 tieneque ver sólo con la ecuación reducida.

Método de los coeficientes indeterminados

La idea del método es “adivinar” una solución particular que tenga la misma formageneral de la función 𝑏𝑏 𝑡𝑡 , sustituirla en la ecuación y determinar los coeficientes demanera que la ecuación sea válida. Este método puede aplicarse a la mayoría de lasfunciones 𝑏𝑏 𝑡𝑡 que aparecen comúnmente y cuyas derivadas son combinacioneslineales de un número finito de soluciones posibles (polinomios, funcionesexponenciales, trigonométricas).


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Ejemplo: se quiere encontrar la integral particular, 𝑦𝑦𝑝𝑝 , de 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑦𝑦′ − 2𝑦𝑦 = 4𝑡𝑡2 + 1.

La solución de la ecuación homogénea asociada es: 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴1𝑒𝑒2𝑑𝑑 + 𝐴𝐴2𝑒𝑒−𝑑𝑑

Para encontrar la integral particular suponemos que esta tiene la forma de la función𝑏𝑏 𝑡𝑡 . Así, proponemos una solución particular dada por combinaciones lineales de𝑡𝑡2, 𝑡𝑡, 1 , es decir, 𝑦𝑦𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑡𝑡2 + 𝐵𝐵𝑡𝑡 + 𝐶𝐶 , donde debemos determinar los valoresespecíficos de las constantes A, B, C. Obtenemos 𝑦𝑦𝑝𝑝′ y 𝑦𝑦𝑝𝑝′′ y sustituimos en la ecuaciónoriginal:

2𝐴𝐴 − 2𝐴𝐴𝑡𝑡 + 𝐵𝐵 − 2(A𝑡𝑡2 + 𝐵𝐵𝑡𝑡 + 𝐶𝐶) =

−2𝐴𝐴𝑡𝑡2 − 2 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 𝑡𝑡 + 2𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 − 2𝐶𝐶 = 4𝑡𝑡2 + 1

Los términos en ambos lados de la ecuación deben ser idénticos


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−2𝐴𝐴 = 42 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 0

2𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 − 2𝐶𝐶 = 1

Obteniendo 𝐴𝐴 = −2,𝐵𝐵 = 2,𝐶𝐶 = ⁄−72 , con lo cual la solución particular queda

determinada y la solución general es:

𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴1𝑒𝑒2𝑑𝑑 + 𝐴𝐴2𝑒𝑒−𝑑𝑑 − 2𝑡𝑡2 + 2𝑡𝑡 − ⁄7 2

El método tiene que modificarse si la función 𝑏𝑏(𝑡𝑡) o alguna de sus derivadas essolución de la ecuación homogénea. En este caso, la solución particular es unacombinación lineal del conjunto

𝑡𝑡𝑘𝑘𝑏𝑏 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡𝑘𝑘𝑏𝑏′ 𝑑𝑑 , … , 𝑡𝑡𝑘𝑘𝑏𝑏(𝑛𝑛) 𝑡𝑡 donde k es el mínimo exponente tal que ningúnelemento del conjunto es solución de la ecuación homogénea.


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La estabilidad dinámica

La convergencia de la trayectoria de tiempo de una variable (o estabilidad dinámica delequilibrio intertemporal) dependerá de los signos que adopten las raícescaracterísticas:

Caso 1: raíces reales diferentes: 𝑟𝑟1 < 0 𝑦𝑦 𝑟𝑟2 < 0

Caso 2: raíces reales repetidas: 𝑟𝑟 < 0

Caso 3: raíces complejas: ℎ < 0 (𝑑𝑑𝑜𝑜𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 ℎ 𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑖𝑖𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐)


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Análisis Cualitativo: Diagramas de Fase


Estudiaremos ahora el análisis gráfico-cualitativo para un sistema de ecuacionesdiferenciales no lineales.

𝑥𝑥′ = 𝑓𝑓 𝑥𝑥,𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 𝑔𝑔(𝑥𝑥,𝑦𝑦)

Como t no interviene en las funciones 𝑓𝑓 y 𝑔𝑔 como argumento separado, se denominasistema autónomo al sistema, y es un prerrequisito para la aplicación de esta técnica.

Para la construcción del diagrama se requiere establecer:

1. Curvas de demarcación: la curva “ ⁄𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0" que proporciona la ubicación del(los)equilibrio(s), y separa al espacio en dos regiones (región ⁄𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑡𝑡 > 0 y región⁄𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑡𝑡 < 0).

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Curvas de demarcación:

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1. Líneas de corriente: sirven para mapear el movimiento dinámico del sistema desdecualquier punto inicial

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Tipos de Equilibrio:

Hay cuatro tipo de equilibrios:

1. Nodos: Cuando todas las trayectorias de la variable asociadas al equilibrio fluyendirectamente (no cíclica) hacia el, estamos en presencia de un nodo estable (figuraanterior); por el contrario, si las trayectorias se alejan del equilibrio de forma no cíclicaestamos frente a un nodo inestable.

Nodo inestable

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2. Punto silla. Se corresponde con aquel punto que es estable para ciertas trayectoriase inestable en otras. A las primeras se las llama ramas estables y a las segundas ramasinestables.

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3. Foco: En este tipo de equilibrio las trayectorias fluyen de forma cíclica hacia el (focoestable) o fluyen cíclicamente alejándose (foco inestable).

Foco estable





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4. Vórtice: Es aquel punto en el que las trayectorias orbitan alrededor del equilibrioen movimiento perpetuo. Es decir, al igual que un foco, es un movimiento cíclico,pero el equilibrio es inalcanzable independientemente del punto inicial. Es por tantoun equilibrio inestable.

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Sistemas de Ecuaciones Diferenciales


Gran parte de lo que hemos aprendido para ecuaciones diferenciales individualespuede ampliarse a sistemas de ecuaciones.

En este sentido, un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo de primer ordenadopta la forma general:

𝑎𝑎11𝑦𝑦1′ 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎12𝑦𝑦2′ 𝑡𝑡 + ⋯+ 𝑎𝑎1𝑛𝑛𝑦𝑦𝑛𝑛′ 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏11𝑦𝑦1 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏12𝑦𝑦2 𝑡𝑡 + ⋯+ 𝑏𝑏1𝑛𝑛𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑡𝑡 = 𝑤𝑤1(𝑡𝑡)

𝑎𝑎21𝑦𝑦1′ 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎22𝑦𝑦2′ 𝑡𝑡 + ⋯+ 𝑎𝑎2𝑛𝑛𝑦𝑦𝑛𝑛′ 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏21𝑦𝑦1 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏22𝑦𝑦2 𝑡𝑡 + ⋯+ 𝑏𝑏2𝑛𝑛𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑡𝑡 = 𝑤𝑤2(𝑡𝑡)

⋮ ⋮𝑎𝑎𝑛𝑛1𝑦𝑦1′ 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎𝑛𝑛2𝑦𝑦2′ 𝑡𝑡 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑦𝑦𝑛𝑛′ 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑛𝑛1𝑦𝑦1 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑛𝑛2𝑦𝑦2 𝑡𝑡 + ⋯+ 𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑡𝑡 = 𝑤𝑤𝑛𝑛(𝑡𝑡)

En notación matricial: 𝐴𝐴𝐴𝐴′ 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 𝑊𝑊(𝑡𝑡)

Donde 𝐴𝐴′ 𝑡𝑡 , 𝐴𝐴 𝑡𝑡 𝑦𝑦 𝑊𝑊 𝑡𝑡 son vectores 1 × 𝑛𝑛, y A y B matrices 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛

Nuevamente la solución adoptará la forma: 𝒀𝒀 𝒕𝒕 = 𝒀𝒀𝒄𝒄 + 𝒀𝒀𝒑𝒑

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Nuestra análisis se limitará sólo a ecuaciones lineales con coeficientes constantes.

Estudiemos con un ejemplo el caso de un sistema lineal de primer orden de dosecuaciones:

𝑥𝑥′ 𝑡𝑡 + 2𝑦𝑦′ 𝑡𝑡 + 2𝑥𝑥 𝑡𝑡 + 5𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 77𝑦𝑦′ 𝑡𝑡 + 𝑥𝑥 𝑡𝑡 + 4𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 61

En notación matricial: 𝐽𝐽𝑢𝑢 + 𝑀𝑀𝑣𝑣 = 𝑔𝑔

Donde: 𝐽𝐽 = 1 20 1 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥𝑦(𝑡𝑡)

𝑦𝑦𝑦(𝑡𝑡) 𝑀𝑀 = 2 51 4 𝑣𝑣 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡)

𝑦𝑦(𝑡𝑡) 𝑔𝑔 = 7761

Integrales particulares

Intentemos las soluciones constantes: 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = �̅�𝑥 , 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = �𝑦𝑦con lo cual: 𝑥𝑥′ 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦′ 𝑡𝑡 = 0 , y 𝑢𝑢 = 0

0 , reduciendo el sistema a 𝑀𝑀𝑣𝑣 = 𝑔𝑔

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Por lo tanto la solución para �̅�𝑥 e �𝑦𝑦 puede escribirse:�̅�𝑥�𝑦𝑦 = �̅�𝑣 = 𝑀𝑀−1𝑔𝑔

Para nuestro ejemplo:�̅�𝑥�𝑦𝑦 = 2 5

1 4−1 77

61 = 115

Funciones complementarias: buscamos la solución a 𝐽𝐽𝑢𝑢 + 𝑀𝑀𝑣𝑣 = 0

Considerando nuestra experiencia previa con ecuaciones individuales, debemosadoptar las soluciones de prueba:

𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝑖𝑖𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑, 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑛𝑛𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑 lo que implica 𝑥𝑥𝑦 𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑 , 𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑛𝑛𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑

Sustituyendo en la ecuación reducida: 𝐽𝐽 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑 + 𝑀𝑀 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑 = 0

Multiplicando por el escalar 𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑑𝑑 y factorizando: (𝑟𝑟𝐽𝐽 + 𝑀𝑀) 𝑖𝑖𝑛𝑛 =0

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(𝑟𝑟𝐽𝐽 + 𝑀𝑀) 𝑖𝑖𝑛𝑛 =0 es un sistema de ecuaciones lineales homogéneas en las variables

𝑖𝑖 y 𝑛𝑛 , si consideramos a 𝑟𝑟 como un parámetro por el momento. Como el sistema eshomogéneo, puede arrojar la solución trivial 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 = 0 si su matriz de coeficientes esno singular (recordar conceptos de álgebra lineal para sistemas de ecuaciones). En estecaso, ambas funciones complementarias serán idénticas a cero, lo que significa que𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 nunca se desvían de los valores de equilibrio intertemporal. Siendo este un casoespecial, descartamos la solución trivial requiriendo que la matriz de coeficientes delsistema sea singular. Es decir, se requiere:

𝑟𝑟𝐽𝐽 + 𝑀𝑀 = 0

El cálculo del determinante de está matriz arroja la llamada ecuación característica, apartir de las cuales obtenemos las raíces características (𝒓𝒓) del sistema de ecuacionesdiferenciales.

Al ser homogéneo el sistema habrá infinitas soluciones para (𝑖𝑖,𝑛𝑛), expresables en laforma de una ecuación 𝑖𝑖𝑣𝑣 = 𝑘𝑘𝑣𝑣𝑛𝑛𝑣𝑣 , una para cada raíz 𝑟𝑟𝑣𝑣.

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En nuestro ejemplo, la ecuación característica es:

𝑟𝑟𝐽𝐽 + 𝑀𝑀 = 𝑟𝑟 + 2 2𝑟𝑟 + 51 𝑟𝑟 + 4 = 𝑟𝑟2 + 4𝑟𝑟 + 3 = 0 con raíces 𝑟𝑟1 = −1, 𝑟𝑟2 = −3

Sustituyendo las raíces en el sistema obtenemos:

1 31 3

𝑖𝑖1𝑛𝑛1 = 0 𝑖𝑖𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑟𝑟1 = −1 𝑦𝑦 −1 −1

1 1𝑖𝑖2𝑛𝑛2 = 0 𝑖𝑖𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑟𝑟2 = −3

Por lo que 𝑖𝑖1= −3𝑛𝑛1 𝑦𝑦 𝑖𝑖2 = −𝑛𝑛2 , que también podemos expresar como:

𝑖𝑖1= 3𝐴𝐴1 , 𝑛𝑛1 = 𝐴𝐴1 , 𝑖𝑖2= 𝐴𝐴2 , 𝑛𝑛2 = −𝐴𝐴2

Habiendo encontrado 𝑟𝑟𝑣𝑣 ,𝑖𝑖𝑣𝑣 ,𝑛𝑛𝑣𝑣 , las funciones complementarias podemos escribirlascomo las siguientes combinaciones lineales de expresiones exponenciales:

𝑥𝑥𝑐𝑐𝑦𝑦𝑐𝑐 =

∑𝑖𝑖𝑣𝑣𝑒𝑒𝑟𝑟𝑖𝑖𝑑𝑑∑ 𝑛𝑛𝑣𝑣𝑒𝑒𝑟𝑟𝑖𝑖𝑑𝑑

(raices reales diferentes)

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Y la solución general:𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑦𝑦(𝑡𝑡) =

𝑥𝑥𝑐𝑐𝑦𝑦𝑐𝑐 + �̅�𝑥

�𝑦𝑦

En nuestro ejemplo la solución general queda:

𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 3𝐴𝐴1𝑒𝑒−𝑑𝑑 + 𝐴𝐴2𝑒𝑒−3𝑑𝑑 + 1

−𝐴𝐴1𝑒𝑒−𝑑𝑑 − 𝐴𝐴2𝑒𝑒−3𝑑𝑑 + 15

Si se nos dan las condiciones iniciales 𝑥𝑥 0 e 𝑦𝑦(0) podemos definir las constantesarbitrarias 𝐴𝐴1,𝐴𝐴2.

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Linealización de un sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales


Una técnica cualitativa para analizar un sistema de ecuaciones diferenciales no linealeses realizar una aproximación lineal del sistema, mediante una expansión de Taylor delsistema dado alrededor de su equilibrio.

En el punto de la expansión (el equilibrio intertemporal del sistema en nuestro análisis)la aproximación lineal puede localizar exactamente el mismo equilibrio que el sistemaoriginal no lineal, y en una vecindad lo suficientemente pequeña del punto, estaaproximación es una fuente adecuada de información para inferir resultados sobre laestabilidad del equilibrio.

Este análisis se denomina análisis local de estabilidad.

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Estudiamos el caso de dos variables. Dado el sistema no lineal:

𝑥𝑥′ = 𝑓𝑓 𝑥𝑥,𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 𝑔𝑔(𝑥𝑥,𝑦𝑦)

su linealización alrededor del punto de expansión (�̅�𝑥, �𝑦𝑦) puede escribirse como:

𝑥𝑥𝑦 ≈ 𝑓𝑓(�̅�𝑥, �𝑦𝑦) + 𝑓𝑓𝑥𝑥(�̅�𝑥, �𝑦𝑦)(𝑥𝑥 − �̅�𝑥) + 𝑓𝑓𝑑𝑑(�̅�𝑥, �𝑦𝑦)(𝑦𝑦 − �𝑦𝑦)𝑦𝑦𝑦 ≈ g(�̅�𝑥, �𝑦𝑦) + 𝑔𝑔𝑥𝑥(�̅�𝑥, �𝑦𝑦)(𝑥𝑥 − �̅�𝑥) + 𝑔𝑔𝑑𝑑(�̅�𝑥, �𝑦𝑦)(𝑦𝑦 − �𝑦𝑦)

Si se conocen las formas específicas de las funciones 𝑓𝑓 y 𝑔𝑔 podríamos resolver elsistema lineal de forma cuantitativa con los métodos vistos anteriormente.

Sin embargo, aun si las funciones 𝑓𝑓 y 𝑔𝑔 están dadas en forma general, el análisiscualitativo todavía es posible, considerando que los signos de 𝑓𝑓𝑥𝑥 , 𝑓𝑓𝑑𝑑 , 𝑔𝑔𝑥𝑥 , 𝑔𝑔𝑑𝑑 sepueden conocer.

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Dado que nuestro punto de expansión es el equilibrio, tenemos que

𝑓𝑓(�̅�𝑥, �𝑦𝑦) = g(�̅�𝑥, �𝑦𝑦) = 0

Considerando este resultado, y reordenando los términos, el sistema puede rescribirsede la forma:

𝑥𝑥′ − 𝑓𝑓𝑥𝑥(�̅�𝑥, �𝑦𝑦)𝑥𝑥 − 𝑓𝑓𝑑𝑑(�̅�𝑥, �𝑦𝑦)𝑦𝑦 ≈ −𝑓𝑓𝑥𝑥(�̅�𝑥, �𝑦𝑦)�̅�𝑥 − 𝑓𝑓𝑑𝑑(�̅�𝑥, �𝑦𝑦)�𝑦𝑦𝑦𝑦′ − 𝑔𝑔𝑥𝑥(�̅�𝑥, �𝑦𝑦)𝑥𝑥 − 𝑔𝑔𝑑𝑑(�̅�𝑥, �𝑦𝑦)𝑦𝑦 ≈ −𝑔𝑔𝑥𝑥(�̅�𝑥, �𝑦𝑦)�̅�𝑥 − 𝑔𝑔𝑑𝑑(�̅�𝑥, �𝑦𝑦)�𝑦𝑦

donde los términos de la derecha representan a constantes. Como estamos interesadosen la estabilidad del sistema (desviación del equilibrio), necesitamos analizar las raícescaracterísticas, las cuales dependen sólo de las ecuaciones reducidas del sistema,obteniendo:

Análisis local de estabilidad

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1 00 1

𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 −

𝑓𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑔𝑔𝑥𝑥 𝑔𝑔𝑑𝑑 (�̅�𝑥, �𝑑𝑑)

𝑥𝑥𝑦𝑦 = 0

0

El análisis de la estabilidad local se basa en la matriz jacobiana del sistema no linealcomo se verá a continuación, denotando a las misma:

𝐽𝐽𝐸𝐸 ≡𝑓𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑔𝑔𝑥𝑥 𝑔𝑔𝑑𝑑 (�̅�𝑥, �𝑑𝑑)

≡ 𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑑𝑑

Recordando nuestro análisis para sistemas lineales, teníamos: 𝑟𝑟𝐽𝐽 + 𝑀𝑀 = 0a partir del cuál se obtenía la ecuación característica, en nuestro caso:

𝑟𝑟 − 𝑎𝑎 −𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑟𝑟 − 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟2 − 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 𝑟𝑟 + 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑐𝑐 = 0 𝑑𝑑𝑜𝑜𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 = 𝑇𝑇𝑟𝑟𝐽𝐽𝐸𝐸 (traza)

𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑐𝑐 = 𝐽𝐽𝐸𝐸


(suponemos que las ecuaciones del sistema sonindependientes, por lo que 𝐽𝐽𝐸𝐸 ≠ 0)

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Por lo que las raíces características pueden expresarse: 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2 = 𝑑𝑑𝑟𝑟𝐽𝐽𝐸𝐸± (𝑑𝑑𝑟𝑟𝐽𝐽𝐸𝐸)2−4 𝐽𝐽𝐸𝐸2

Caso 1: raíces reales y diferentes (𝒕𝒕𝒓𝒓𝑱𝑱𝑬𝑬)𝟐𝟐 > 𝟒𝟒 𝑱𝑱𝑬𝑬

𝑖𝑖 𝑟𝑟1 < 0, 𝑟𝑟2 < 0 → 𝐽𝐽𝐸𝐸 > 0; 𝑡𝑡𝑟𝑟𝐽𝐽𝐸𝐸 < 0 → 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑏𝑏𝑖𝑖𝑒𝑒

𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑟𝑟1 > 0, 𝑟𝑟2 > 0 → 𝐽𝐽𝐸𝐸 > 0; 𝑡𝑡𝑟𝑟𝐽𝐽𝐸𝐸 > 0 → 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑏𝑏𝑖𝑖𝑒𝑒

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑟𝑟1. 𝑟𝑟2 < 0 → 𝐽𝐽𝐸𝐸 < 0; 𝑡𝑡𝑟𝑟𝐽𝐽𝐸𝐸≥≤

0 → 𝑖𝑖𝑢𝑢𝑛𝑛𝑡𝑡𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎

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Caso 2: raíces repetidas (𝒕𝒕𝒓𝒓𝑱𝑱𝑬𝑬)𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 𝑱𝑱𝑬𝑬

𝑖𝑖𝑣𝑣 𝑟𝑟 < 0 → 𝐽𝐽𝐸𝐸 > 0; 𝑡𝑡𝑟𝑟𝐽𝐽𝐸𝐸 < 0 → 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑏𝑏𝑖𝑖𝑒𝑒

𝑣𝑣 𝑟𝑟 > 0 → 𝐽𝐽𝐸𝐸 > 0; 𝑡𝑡𝑟𝑟𝐽𝐽𝐸𝐸 > 0 → 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑏𝑏𝑖𝑖𝑒𝑒

Caso 3: raíces complejas (𝒕𝒕𝒓𝒓𝑱𝑱𝑬𝑬)𝟐𝟐 < 𝟒𝟒 𝑱𝑱𝑬𝑬 fluctuación cíclica

𝑣𝑣𝑖𝑖 ℎ < 0 → 𝐽𝐽𝐸𝐸 > 0; 𝑡𝑡𝑟𝑟𝐽𝐽𝐸𝐸 < 0 → 𝑓𝑓𝑜𝑜𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑏𝑏𝑖𝑖𝑒𝑒

𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖 ℎ > 0 → 𝐽𝐽𝐸𝐸 > 0; 𝑡𝑡𝑟𝑟𝐽𝐽𝐸𝐸 > 0 → 𝑓𝑓𝑜𝑜𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑏𝑏𝑖𝑖𝑒𝑒

𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ℎ = 0 → 𝐽𝐽𝐸𝐸 > 0; 𝑡𝑡𝑟𝑟𝐽𝐽𝐸𝐸 = 0 → 𝑣𝑣𝑣𝑟𝑟𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑒𝑒

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Observaciones:

o El análisis de estabilidad que conduce a los casos recién vistos es aplicable a unsistema lineal

o Los elementos de la matriz jacobiana van a ser un conjunto de constantes dadas yno hay necesidad de evaluarlas en el equilibrio como el caso no lineal.

o Las inferencias de la estabilidad ya no tendrán el carácter “local”, sino validez global.

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