UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

Mg. Valverde Sandoval, Oscar

APLICACIONES GEOMÉTRICAS

CÁLCULO DE LOS SEGMENTOS

0 0 0 0 0

0

1: ' :

'T y y f x x x N y y x x

f x

000 0

0 0

0 0 0 0 0 0

: 0 ' '

: 0 x= ' '

f xyT Si y x x x

f x f x

N Si y y f x x f x f x x

0

0

0

0 0 0

;0'

C= ' ;0

f xA x

f x

f x f x x

20

0 0

0

2

0 0 0

:

t=d ; 1 ''

n=d ; 1 '

Por consiguiente

f xA P f x

f x

C P f x f x

0

t

0

n 0 0

:

S =d ;'

S =d ; '

Además

f xA B

f x

B C f x f x

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

3

2

EJEMPLO 1. Determine las ecuaciones de la recta tangente y de la normal en el

punto 2;1 de la curva descrita por:

1

3 1

12 2

tx

t

yt t

3

2

SOLUCIÓN:

12.......... 1

Hallamos el valor de t resolviendo las ecuaciones: 3 1

1 1.......... 22 2

t

t

t t

3

De la ecuación 2 , se obtiene : 1 , solo 1 satisface 14

t t t

71

7225 10

1

dydy dt

dxdx

dt

0 0

0 0

7:

10Por consiguiente :

10:

7

T y y x x

N y y x x

2 2

1;2 12

dy dy

dx y dx

2 20

0

0

2 2

0 0

0

t

0

n 0 0

2t= 1 ' 1 1 2 2

' 1

n= 1 ' 2 1 1 2 2

2S 2

' 1

S ' 2 1 2

f xf x

f x

f x f x

f x

f x

f x f x

; 1 cos en cada ;x t a t sen t y t a t x y

SOLUCIÓN: Calculamos y'

1 cos1 cos

dyt asen t sen tdy dtt t

dxdx ta tt

dt

2

2 1Tenemos: 1+ y' 1

1 cos

2

sen tt

t tsen

2

Ahora la longitud del segmento de tangente es:

1 cosy 1t= 1+ y' 2 tan

y' 2 2

21 cos

a tt t tt asen

sen t ttsen

t

2

Y la longitud del segmento de normal es:

1n= y 1+ y' 1 cos 2

2

2

tt t a t asen

tsen

2

t

La longitud de la subtangente es:

1 cosyS = 2 tan

y' 2 2

1 cos

a tt t tasen

sen tt

t

n

La longitud de la subnormal es:

yS = 1 cos 2

y' 1 cos

t sen ta t asen t

t t

0 0 0

00

0

2 2 2

0 0 0 0

Vamos a calcular la longitud del segmento normal

a la hiperbola en el punto: P = x ;y

Por derivación implícita se obtiene : 2 2 ' 0

Por lo tanto : '

Luego : 1 '

x yy

xy

y

n y y x y

0 0 0

2 2

0 0 0

Pero la distancia del punto P = x ;y al origen es

precisamente :

P ; 0;0d x y

2 2

0 0 0Por consiguiente: n P ; 0;0d x y

Determinar las trayectorias ortogonales a la

familia de curvas

Primero de la ecuación dada se obtiene:

Luego se deriva la ecuación dada en (1):

Entonces según la condición de perpendicularidad, para la nueva familia de curvas se tiene:

TRAYECTORIAS ORTOGONALES

2.... 1y Cx

2, 0

yC x

x

2' 2 ' 2 2

y yy Cx y x

x x

'2

xy

y

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL

Quizás uno de los problemas sobre los cuales se

han realizados mas estudios son aquellos que

involucran la predicción del crecimiento o

decrecimiento de una población. Este tipo de

problema se consigue comúnmente en las

ciencias de la salud, con el estudio de

crecimiento de bacterias, células, plantas, entre

otros, pero también los demógrafos al estudiar la

cantidad de población en una zona determinada.

CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIE.

MEZCLAS

TRAYECTORIAS ISOGONALES