Ecuación del plano

Conociendo Nnx,ny,nz y la distancia n a la que se encuentra el plano del

origen de coordenadas ( medidaen la dirección del vectorN ), deberemos encontrar laexpresión del punto Px,y, z el cual es un punto cualquiera del plano, o sea Px,y, z∈

El vector OP por partir del origen tendrá como componentes OPx,y, z las cuales

coincidirán con las coordendas de P.Además, su proyección respecto de la direcciónde Nnx,ny,nz nos da como resultado n.

OP cos n

consideremos ahora el siguiente producto escalar N . OP

N .OP N . OP . cos

N .OP nxx nyy nzz nxx nyy nzz N . OP . cos

nxx nyy nzz N .n 1

A partir de esta expresión encontramos dos caminos distintos de desarrollo,primero

nxx nyy nzz − N .n 0

quedando la expresión de la forma General de la ecuación del plano

axbyczd0

"los coeficientes a,b y c de la forma General son las componentes del vectornormal al plano. A este vector se lo conoce como vector asociado al plano"

(nótese la diferencia con el vector asociado a la recta el cual era paralelo a lamisma)

si continuamos operandoax by cz −d

a−d x b

−d y c−d z 1 finalmente

x−da

y−db

z−dc

1

conocida como "Ecuación segmentaria del plano" en la cual los denominadores−da , −db y −dc representan los puntos en donde el plano corta los ejes X;Y y Z

respectivamente.

ejemplo

determinar la ecuación del plano perpendicular al vector S3,4,2 que pasa por el

punto Q1 − 1,3.los coeficientes de la ecuación del plano coincidirán con el del vector S .

3x 4y 2z D 0

para obtener d reemplazamos las coordenadas del punto Q

31 4−1 23 d 0 d −5finalmente el plano queda determinado por

→ 3x 4y 2z − 5 0

2

0 00

-2

xy

z-2

-2

-4 -4

-4 22

4

4 4

l

Ahora desde (1) procederemos a dividir ambos miembros por N para luegoigualar a 0.

nx

Nx ny

Ny nz

Nz − n 0

cos ∗ x cos ∗ y cos ∗ z − n 0

esta última expresión es conocida como Ecuación normal del plano, en la cualcos, cos y cos , son los cosenos directores del vector normal al mismo.

Del mismo modo que la ecuación normal de la recta en el plano a partir de esta

expresión podemos definir

Distancia de punto a plano

Cuando reemplacemos las coordenadas de un punto P0x0,y0, z0 cualquiera en la

ecuación normal de un plano pueden darse dos casos-) cos ∗ x0 cos ∗ y0 cos ∗ z0 − n 0 el punto verifica la

ecuación, luego pertenece al plano.

-) cos ∗ x0 cos ∗ y0 cos ∗ z0 − n d el punto NO verifica laecuación. El valor d obtenido corresponde a la distancia del punto al plano.

Veremos ahora cómo pasar de la forma General a la Normal .

dado el plano ax by cz d 0 dado en forma general , para pasarlo a la fomanormal bastará con dividir la expresión por - a2 b2 c2 ,donde el signo − respondeal signo opuesto al del término independiente.

ecuación general ax by cz d 0

ecuación Normal ax by cz d− a2 b2 c2

0

ejemplo

Calcular la distancia del punto R5,4,4 al plano 4x 4y 2z − 2 0Primero pasaremos a la forma normal la ecuación del plano

4x 4y 2z − 2 42 42 22

0

4x 4y 2z − 26 0

luego reempazamos el punto R5,4,4 en la ecuación obtenida.45 44 24 − 2

6 7

finalmente el punto R se encuentra a 7 unidades del plano

Distintos casos de obtención de la ecuación de un planoA partir de dos vectores coplanares al plano y un punto que le pertenezca

aax,ay,az , bbx,by,bz y P0x0,y0, z0Nuestro problema se reduce a encontrara ,a partir de los vectores , la dirección

perpendicular al plano buscado. Para ello procedemos a plantear el producto vectorialde los vectores dados ya que del mismo resultará un vector cuya dirección seráperpendicular a ambos y finalmente al plano.

a b

i j kax ay az

bx by bz

iay az

by bz− j

ax az

bx bz k

ax ay

bx by

a b Nnx,ny,nz

finalmente con este vector y el punto P0 obtendremos la ecuación del planobuscado.

ejemplo

Obtener la ecuación del plano paralelo a los vectores a3,4,2 y b5,1,2 y quepasa por el punto P02,2,2

N a b

N

i j k3 4 25 1 1

7j − 17k 2i

el plano tendrá la forma → 2x 7y − 17k D 0reemplazando las coordenadas de P0

→ 22 72 − 172 d 0 → d 16

finalmente → 2x 7y − 17k 16 0

-4 42-2 00

-2

-4

x

z

y0-2 2-4 4

4

2

A partir de tres puntos que pertenezcan al plano

Dados Axa,ya, za, Bxb,yb, zb, y Cxc,yc, zc puntos pertenecientes al plano

buscado consideremos un cuarto punto Px,y, z cualquiera representativo del plano.Podemos ahora conformar los siguientes vectores :

PA , PB , y PC

y sus componentes serán :

PAxa − x,ya − y, za − z

PBxb − x,yb − y, zb − z

PCxc − x,yc − y, zc − z

Ahora bien , por ser coplanares su producto mixto deberá ser igual a 0 , luego

PA ∗ PB ∗ PC 0

PA ∗ PB ∗ PC xa − x ya − y za − zxb − x yb − y zb − zxc − x yc − y zc − z

0

al último determinante le agregaremos convenientemente una fila y una columna

x y z 1xa − x ya − y za − z 0xb − x yb − y zb − z 0xc − x yc − y zc − z 0

0

finalmente sumamos a la 2°,3° 4° fila la primera .Finalmente

x y z 1xa ya za 1xb yb zb 1xc yc zc 1

0

Este último determinante representa la ecuación del plano que pasa por trespuntos.

ejemplo

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A3,−1,2, B4,−1,−1, yC2,0,2

la ecuación del plano se obtendrá de

x y z 13 −1 2 14 −1 −1 12 0 2 1

0 3x 3y z − 8 0

-4 2

4

2

-2

-4

-4

-2z

yx -2

200 0

4

4

Ángulo entre dos planos.Si consideramos los coeficientes de la ecuación General del plano sabemos que

los mismos son las componentes de un vector (N normal al mismo . Ahora bien,podemos tomar dicho vector como representativo de la "orientación " del plano.

"el ángulo que determinan dos planos coincide con el que determinan los vectoresnormales representativos de cada uno de ellos "

Si consideramos dos planos distintos → ax b c d 0 y

→ a x b c d 0

sus vectores normales serán : N → a,b,c y N → a,b,crespectivamente.

su producto escalar estará dado por las siguientes expresiones

N.N a.a b.b c.c o bien N.N |N ||N |. cos (donde representa el ángulo determinado por ellos)

igualando|N ||N |. cos a.a b.b c.c

finalmente despejando cos y reemplazando los módulos

cos a.a b.b c.ca2 b2 c2 . a2 b2 c2

consideraciones

Si los planos son paralelos (// sus componentes serán proporcionales , NN

k

ab

bb

cc k

Si los planos son perpendiculares ( )el producto escalar de sus vectoresnormales será nulo

a.a b.b c.c 0

ejemploHallar el ángulo que forman los planos → 2x − y z 7 y

→ x y 2z − 11 0

N 2,−1,1N 1,1,2

cos 2 ∗ 1 −1 ∗ 1 1 ∗ 222 −12 12 . 12 12 22

cos −12 luego

120°

Ejercitación

1. Hallar y graficar la ecuación del plano :

a. Paralelo al plano XY y situado a 3 unidades debajo de él.(rta. z −3

b. paralelo al plano YZ y que corta al eje X en el punto de abscisa 4rta.x 4

2. Hallar y graficar la ecuación del plano paralelo al eje Z y cuya traza conel plano XY es la recta x y − 2 0 rta. x y − 2 0

3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P−1,2,4 y esparalelo al plano 2x − 3y − 5z 6 0. ( rta. 2x − 3y − 5z 28

4. Hallar la ecuación del plano paralelo al plano 6x − 6y 7z − 44 0 y quese encuentra a dos unidades del origen ( rta. 6x − 6y 7z 66 0)

5. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P3,−2,4 y esperendicular a los planos 7x − 3y z − 5 0 y 4x − y − z 9 0. (rta.4x 11y 5z − 10 0

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P1,3,−2 yQ3,4,3 y es perpendicular al plano 7x − 3y 5z − 4 0 (rta.20x 25y − 13z − 121 0

7. Hallar la distancia del punto P7,3,4 al plano 6x − 3y 2z − 13 0.(rta. d4)

8. Hallar el ángulo que forman los planos x 2y − z 12 yx − 2y − 2z − 7 0. (rta. 82°10,7′

9. Hallar la distancia entre los planos paralelos 2x − 3y − 6z − 14 0 y2x − 3y − 6z 7 0 rta. 3

10. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntosP3,4,1,Q−1,−2,5yR1,7,1. (rta. 3x 2y 6z − 23 0

Ecuación de la recta en R3

Partiendo de un punto y un vector paralelo

Sabemos que P0x0,y0,z0 ∈ r y que Aax,ay,az//r y tomamos Px,y, z comopunto genérico de la recta.

OP OP0 P0Pno podemos obtener OP debido a que P puede estar en cualquier lugar a lo largo

de la recta , de todos modos sabemos queAax,ay,az es paralelo a ella. Luego

P0P A

finalmente

OP OP0 A

esa expresión es conocida como forma vectorial de la recta

del mismo modo que en el plano , apartir de quí podemos obtener distintas formas.

x,y, z x0,y0,z0 ax,ay,az

x x0 ax

y y0 ay

z z0 az

forma paramétrica

despejando e igualando llegamos a la forma simetrica

x − x0ax

y − y0ay z − z0

az

En este punto debemos destacar el hecho que no siempre será posible expresar larecta de esta forma debido a la la existencia de componentes nulas respecto dealguna/s de las direcciones.

Es decir que ax , ay o az pueden ser 0.

en ese caso deberemos expresar dos variables en función de la tercera.

x − x0ax

y − y0ay

z − z0az y − y0

ay

operando adecuadamente

x axayy − y0 x0

z azayy − y0 z0

forma reducida de la recta

es evidente que , en este caso , puede consderarse nula la componente en X (

ax 0 o la correspondiente a Z ( az 0 ya que finalmente quedaría:

x x0

z azayy − y0 z0

o bienx ax

ayy − y0 x0

z z0

veamos un ejemplo

Sea el punto Q3,2,5 y el vector v 3,0,2.Hallaremos la recta que pasando por elpunto Q es paralela al vector v .

es evidente que no podemos expresarla en forma simétrica dado que en el término

correspondiente a la variable Y quedaría una división por 0 lo cual no es correcto.Utilizaremos la forma reducida

x axazz − z0 x0

y y0

x − 33 z − 5

2y 2

Partiendo de dos puntos

Sabemos que P0x0,y0, z0 ∈ r y P1x1,y1, z1 ∈ r. y tomamos Px,y, z comopunto genérico de la recta.

OP OP0 P0P

y no podemos obtener OP debido a que P puede estar en cualquier lugar a lo largo

de la recta , asimismo sabemos queP0P P0P1

finalmente

OP OP0 P0P1

como anteriormente hicimosx,y, z x0,y0,z0 x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0

x x0 x1 − x0

y y0 y1 − y0

z z0 z1 − z0

forma paramétrica

despejando e igualando llegamos a la forma simetricax − x0x1 − x0

y − y0

y1 − y0 z − z0z1 − z0

Veamos un ejemplo

Hallar la recta que pasa por los puntos P2,3,4 y S4,5,1

aplicando la forma simétricax − 24 − 2 y − 3

5 − 3 z − 41 − 4

x − 24 − 2 y − 3

5 − 3 z − 41 − 4

x − 22 y − 3

2 z − 4−3

Recta intersección de dos planos

Dadas las ecuaciones de los planos → ax b c d 0 y → a x b c d 0 los puntos que perenezcan ala recta intersección de losmismos deberán satisfacer ambas expresiones .Luego la expresión que representa elhaz de planos que pasa por la recta interseción buscada será:

ax b c d ka x b c d

siendo K un parámetro del cual dependerá la acuación de cada plano.

ejemploHallar la ecuación de la recta intersección de los planos 2x − 3y 3z − 4 0 y

x 2y − z 3 0.

para obtenerla eliminaremos 2 de las variables en ambas ecuaciones

-) eliminamos Z ( k −3

2x − 3y 3z − 4 −3 x 2y − z 3

5x 3y 5 0 1

-) eliminanos Y (k −32

(22x − 3y 3z − 4 −3x 2y − z 3

7x 3z 1 0 2

-) Finalmente despejamos X en (1) y (2) y luego igualamos obteniendo laecuación de la recta buscada

x 3y 5−5 3z 1

−7

x y 5

3−53

z 1

3−73

x3

y 53

−5 z 1

3−7

Luego es la ecuación de una recta que pasa por el punto P0,− 53 ,− 1

3 y esparalela al vector de componentes 3,−5,−7

2x − 3y 3z − 4 0

-4-2

-4-2

0 00

xy 22

4

4-4

z-2

2

4

Ángulo entre rectas

Del mismo modo que en el plano tomaremos los vectores ascociados a las rectascomo representativos y obtendremos el ángulo que ellos determinan.

"el ángulo que determinan dos rectas coincide con el que determinan los vectoresparalelos representativos de cada una de ellas "

sean a → x − x0ax

y − y0ay

z − z0az

y b → x − x0bx

y − y0by

z − z0bz

cos ax.bx ay.by az.bz

ax2 ay

2 az2 . bx

2 by2 bz

2

Ejercitación de recta y plano

1. Hallar la forma Simétrica, paramétrica o reducida ( de ser necesario) de

la recta en los siguientes casos y graficar

a. Pasa por los puntos A2,3,5 y B1,6,−2

b. Pasa por el punto P2,3,−5 y es paralela al vector v 5,2,−3

c. Pasa por los puntos A3,3,4 y B1,2,4

d. Pasa por el punto P−3,2,−5 y es paralela a la recta de ecuaciónx − 8

2 y 23 z − 4

32. Determinar y graficar las formas simétrica o reducida de la recta

determinada por los puntos P y Q en los siguientes casos

a. P3;4;6,Q1;3;6

b. P3;2;2,Q3;2;1

c. P2;1;1,Q−2;−1;0

3. El pié de la perpendicular trazada desde el origen a un plano es elpunto P1;−2;1.Hallar la ecuación del plano.

(rta.x − 2y z − 6 0

4. Desde el punto P5;4;−7 se ha trazado una recta perpendicular a unplano. Si el pié de la perpendicular es el punto R2;2;−1.Hallar la ecuacióndel plano.(rta.3x 2y − 6z − 16 0

5. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P6;4;−2 y esperpendicular a la recta que pasa por los puntos M7;−2;3 yR1;4;−5.(rta.−6x 6y − 8z − 4 0

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P5,2,−3 y esperpendicular a cada uno de los planos → 2x − y 2z − 9 0 y → x 3y − 5z 3 0. rta.−x 12y 7z 2 0

7. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano XY y que pasa porlos puntos P1,5.−3y − 5,−4,11. rta. 3x − 2y 7 0

8. Dados A3,−2,1 y r → x − 14 y 2

−1 z.hallar la ecuación del planodeterminado por ambos.(rta.x 2y − 2z 3 0

9. Obtener y graficar la ecuación segmentaria del plano perpendicular alsegmento de extremos P6;1;−1 y Q8;−1;1 en su punto medio.(rta.2x − 2y 2z − 14 0

10. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta

r →x 2t 1y −3t 2z 2t − 3

y por el punto M21 − 2 − 1

(rta. 4x 6y 5z 1 0

11. Hallar las ecuaciones de los planos paralelos al plano 2x − 2y − z − 3 0que se encuentrana una distancia 5 de él.

(rta. → 2x − 2y − z 18 0 y → 2x − 2y − z − 12 0

12. Hallar la ecuación del plano que pasa por la rectax − 1

2 y 2−3 z − 2

2 y es perpendicular al plano → 3x 2y − z − 5 0.(rta. −x 8y 13z − 9 0

13. Dadas las rectas r →5x 5 10z5y − 10 20z

y s → x−12 y3

−5 z−14 . Hallar

la ecuación del plano tal que //s y r ⊂ .

(rta. x 12 y − 2

4 z

14. Ecuación del plano que pasa por los siguientes puntos.

a. P1;4;−4,Q2;5;3,R3;0;−2

b. P−3;2;4,Q1;5;7,R2;2;−1

15. Hallar la ecuación normal de los planos

a. → 8x − 4y − z 18 0

b. → 6x 6y 7z − 22 0

16. Hallar la distancia entre los planos → 3x 6y 2z 22 y → 3x 6y 2z 27.(rta. d 5

7

17. Hallar la ecuación del plano perpendicular a los planos y cuyadistancia al punto P0;0;0 sea igual a 2

→ −2x − 3y − z 8 0 → 2x − 2y 2z 7 0(rta.−8x 2y 10z − 2 168 0

18. Hallar en el eje OX un punto equidistante a los planos → 12x − 16y 15z 1 0 y → 2x 2y − 1 − z 0(rta. P 11

43 ,0,0

19. Hallar la ecuación en sus forma simétrica y paramétrica de la rectaintersección de los planos 3x 3y − 4z 7 0 y x 6y 2z − 6 0. (rta.

x6

y − 13

−2 z − 23 , x 6t,y 1

3 − 2t, z 2 3t

20. Hallar la ecuación del plano formado por las rectasx − 1

4 y 12 z − 2

3 y x − 15 y 1

4 z − 23

21. Hallar la acuación de la recta que pasa por el punto 1,4.−2 y esparalela a los planos 6x 2y 2z 3 0 y 3x − 5y − 2z − 1 0(rta. x − 1

1 y − 43 z 2

−6