Ecuación bidimensional de la honda

La ecuación unidimensional de calor es:

τ∂2Y∂ x2 = ρ

∂2Y∂ x2 o

∂2

∂ t 2=a2 ∂

2Y∂ x2 ……………(1)

Donde a2= τρ

y sale como resultado la velocidad. [ τ ]=MLT−2 y [ ρ ]=M L−1

a=MLT−2

M L−1 =L2T−2 ; a2=LT−1

Es también posible generalizar la ecuación de la cuerda vibrante (1). Por ejemplo suponga que tenemos una membrana o piel de tambor en la forma de un cuadrado en el plano (x , y ) cuyo contorno está fijo (ver Figura). Si la ponemos a vibrar, tal como ocurre cuando se golpea un tambor, cada punto (x , y ) del cuadrado se pone en movimiento en una dirección perpendicular al plano.

Figura 1

Si denotamos por Z el desplazamiento de un punto (x , y ) a partir del plano, el cual es la posición de equilibrio, en cualquier tiempo t, entonces la ecuación diferencial parcial para la vibración está dada por donde τ es la tensión por unidad de longitud a lo largo de cualquier curva en la piel de tambor la cual se asume constante, y ρ es la densidad (masa por unidad de área). Aquí Zes una función de (x , y , t) y se puede denotar por Z (x , y ,t ).

∂2Z∂ t 2

=a2( ∂2Z∂ x2 + ∂

2Z∂ y2 )………………. (2 )

En 2 tenemos la ecuación del bidimensional de la honda.

Ejemplo

Vibraciones en una piel de tambor cuadrada. La ecuación de estas vibraciones esta dada

por ∂2Z∂ t 2

=a2( ∂2Z∂ x2 + ∂

2Z∂ y2 ) donde Z ( x , y , t )es el desplazamiento de cualquier punto ( x , y )

de la piel de tambor desde su posición de equilibrio (en el plano xy) en cualquier tiempo ty a2 es una constante que depende de la tensión y densidad de la piel de tambor Asumiremos que la piel de tambor está situada como en la Figura 1 que las aristas están fijas y son de longitud unitaria. Asumamos también que la piel de tambor se pone a vibrar al darle alguna forma inicial, como se describe por ejemplo por la superficie con ecuación Z=f (x , y ) y luego se suelta.

S-N

∂2Z∂ t 2

=a2( ∂2Z∂ x2 + ∂

2Z∂ y2 )……… ..3

Condiciones de frontera Z (0 , y , t )=0………… ..4.1Z (1 , y , t )=0………….4 .2Z ( x ,0 ,t )=0………….4 .3Z ( x ,1 , t )=0………… 4.4

El hecho de darle a la piel de tambor una forma inicial especificada conduce a

Z ( x , y ,0 )=f ( x , y )…………5

Finalmente el hecho de soltar la piel de tambor después de haberle dado esta forma nos dice que

Z ( x , y ,0 )=0……… ..6

Estas condiciones se cumplen por su puesto para 0<x<1 ,0<1 , t>0además es claro que z debe estar acotada.

Asumiendo que la ecuación 3 tiene una solución separable de la forma

Z=XYT 0 Z=X ( x )Y ( y )T (t )…….7

∂2(XYT )∂ t2

=a2( ∂2(XYT )∂ x2 +

∂2(XYT )∂ y2 )

XY T ´=a2 ¿

Dividiéndolo entre a2XYT tenemos

T

a2T=X ´ ´X

+Y ´ ´Y

=− λ2…… ...8

T

a2T=−λ2 ,

X ´ ´X

+Y ´ ´Y

=− λ2…….9

De la segunda ecuación de 9 tenemos

X ´ ´X

=−λ2−Y ´ ´Y

0X ´ ´X

=−(λ¿¿2+Y ´ ´Y

)……… .10¿

A la segunda ecuación de 10 igualamos −μ2

X ´ ´X

=−( λ¿¿2+ Y ´ ´Y

)=−μ2………11¿

De 11

X ´ ´X

=−μ2………… ..12

Y ´ ´Y

=μ2−λ2=−v2…………13

De 13 tenemos μ2−λ2=−v2 , λ2=μ2+v2

Y ´ ´Y

=−v2………… .14

De 10.1, 12, ,14 tenemos

T−λ2a2T=0 , X ´ ´−μ2X=0 , Y ´ ´−v2Y=0

Solucionando estas ecuaciones lineales

X=c1cos ux+c2 sinux…………15

Y=c3cos vy+c4 sin vy…………17

T=c5 cosaλt+c6aλt…………18

De 4.1 y 4.2 condiciones de frontera encontramos que c1=0 y c3=0de modo que

Z=(c2 c4 sinux sin vy )(c5 cosaλt+c6aλt )

De la tercera condición de frontera