EcuacióN Cuadratica 1
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Ecuaciones Ecuaci´ on cuadr´ atica Contenidos En esta secci´ on se presenta un resumen del tema de ecuaciones cuadr´ aticas, o ecuaciones de segundo grado, en una variable. x 2 + px = S x 2 + px + 1 4 p 2 = S + 1 4 p 2 x =?? Definici´ on. Una ecuaci´ on cuadr´ atica en la variable x es una ecuaci´ on que puede ser escrita en la forma: ax 2 + bx + c =0 , donde a, b, c son constantes, a = 0. Ejemplos de ec. cuadr´ aticas en una variable, x: x 2 - 4x + 3 = 0, 3x 2 =5x,7x 2 - 2x = 5. Observaciones. Dada una ecuaci´ on cuadr´ atica ax 2 + bx + c = 0, (a = 0). • Las constantes a, b y c se denominan coeficientes de la ecuaci´ on. • Se considerar´ an s´ olo ecuaciones cuadr´ aticas con coeficientes reales. • Una soluci´ on o ra´ ız de la ecuaci´ on es un n´ umero tal que al sustituir la x por dicho n´ umero, se satisface la igualdad. • Resolver una ecuaci´ on cuadr´ atica en R, significa hallar todas las soluciones o ra´ ıces reales de la ecuaci´ on. • El conjunto de todas las soluciones reales de la ecuaci´ on, denotado por S , ser´ a llamado conjunto soluci´ on de la ecuaci´ on. S = {x ∈ R/ax 2 + bx + c =0} • Una ecuaci´ on cuadr´ atica con coeficientes reales puede tener a lo m´ as dos soluciones reales. 1
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Ecuaciones Ecuacion cuadratica Contenidos
En esta seccion se presenta un resumen del tema de ecuaciones cuadraticas,o ecuaciones de segundo grado, en una variable.
x2 + px = S
x2 + px +1
4p2 = S +
1
4p2
x =??
Definicion. Una ecuacion cuadratica en la variable x es una ecuacionque puede ser escrita en la forma:
ax2 + bx + c = 0 , donde a, b, c son constantes, a 6= 0.
Ejemplos de ec. cuadraticas en una variable, x:x2 − 4x + 3 = 0, 3x2 = 5x, 7x2 − 2x = 5.
Observaciones. Dada una ecuacion cuadratica ax2 + bx + c = 0, (a 6= 0).
• Las constantes a, b y c se denominan coeficientes de la ecuacion.
• Se consideraran solo ecuaciones cuadraticas con coeficientes reales.
• Una solucion o raız de la ecuacion es un numero tal que al sustituirla x por dicho numero, se satisface la igualdad.
• Resolver una ecuacion cuadratica en R, significa hallar todas lassoluciones o raıces reales de la ecuacion.
• El conjunto de todas las soluciones reales de la ecuacion, denotadopor S, sera llamado conjunto solucion de la ecuacion.
S = {x ∈ R/ax2 + bx + c = 0}
• Una ecuacion cuadratica con coeficientes reales puede tener a lomas dos soluciones reales.
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Ecuaciones - Ecuacion cuadratica Contenidos 2
Resolucion de una ecuacion cuadratica
Dada la ecuacion cuadratica ax2 + bx + c = 0, con a, b y c constantesreales, a 6= 0.
Metodo 1. Por Factorizacion.
Si ax2 + bx + c = a(x− r)(x− s), donde r y s son constantes, entonces:
la ecuacion cuadratica ax2 + bx + c = 0 es equivalente a:
a(x− r)(x− s) = 0
y las soluciones de la ecuacion son: x = r, x = s.
Metodo 2. Formula cuadratica.
Las raıces de la ecuacion cuadratica ax2 + bx + c = 0 estan dadas por laformula:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
Observaciones.
1. Resolver una ecuacion cuadratica por Factorizacion en muchos casoses muy efectivo, por ejemplo:
Ecuacion Ecuacion equivalente Soluciones
x2 − 4x + 3 = 0 (x− 3)(x− 1) = 0 x = 3, x = 1
3x2 − 5x = 0 x(3x− 5) = 0 x = 0, x = 5/3
2. Un metodo para resolver cualquier ecuacion cuadratica es la FormulaCuadratica.
3. El numero D = b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuacion cuadraticaax2 + bx + c = 0.
Valor de la discriminante Naturaleza de las raıces
b2 − 4ac > 0 las dos raıces son reales y distintas
b2 − 4ac = 0 las dos raıces son reales e iguales
b2 − 4ac < 0 no tiene raıces reales
Inst. de Matematica y Fısica Universidad de Talca
Ecuaciones - Ecuacion cuadratica Contenidos 3
4. La formula cuadratica para resolver la ecuacion ax2 + bx + c = 0 sederiva de la completacion de cuadrado, (ver ejercicio 7, de la seccionEjercicio resueltos).
5. Sean r y s las raıces de la ecuacion ax2 + bx + c = 0. Se tiene que:
suma de la raıces r + s = − b
a
producto de la raıces r · s =c
a
Inst. de Matematica y Fısica Universidad de Talca
