Ecuación cuadráticaEsto es una ecuación cuadrática:

(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)

La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee

lasDefiniciones básicas de Álgebra)

Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque

el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:En esta a=2, b=5 y c=3

Aquí hay una un poco más complicada:

¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2"

b=-3 ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.

¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)

¿Qué tienen de especial?

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:

El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!

La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:

si es positivo, hay DOS soluciones

si es cero sólo hay UNA solución,

y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .

Solución

Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2aLos coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] / 2×5Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10Respuesta: x = -0.2 and -1(Comprobación:5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 05×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

Ecuaciones cuadráticas disfrazadas

Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:

Disfrazadas Qué hacerEn forma esytándar

a, b y c

x2 = 3x -1Mueve todos los términos a la izquierda

x2 - 3x + 1 = 0 a=1, b=-3, c=1

2(x2 - 2x) = 5 Desarrolla parêntesis 2x2 - 4x - 5 = 0 a=2, b=-4, c=-5

x(x-1) = 3 Desarrolla parêntesis x2 - x - 3 = 0 a=1, b=-1, c=-3

5 + 1/x - 1/x2 = 0 Multiplica por x2 5x2 + x - 1 = 0 a=5, b=1, c=-1

Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la

forma:  .

Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de   que cumplen con la

expresión, si es que existen.

g

Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera

forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle"

(ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).

Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza

Bruta").

Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones

cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que aprendemos (por

simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación

cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje

horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización"

(Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como

multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los

valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).

Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se

encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real").

El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula

General".

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:

Si   es menor que   los resultados de X serán dos valores con parte real y

parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.

Si   es mayor que   obtendremos dos valores distintos de X reales.

Y si   es igual que   obtendremos dos valores de X reales e iguales.

Al término   se le llama discriminante.

tomando en cuenta el orden de los terminos: "a","b"y"c"=x²-6x+9