ECUACIÓN DE 2º GRADOMÉTODO COMPLETACIÓN DE CUADRADOS

Prof. José Mardones Cuevas

E-Mail: cumarojo@yahoo.com

¿Recuerdas como completar un trinomio cuadrado perfecto?

222 2)( aaxxax Un ejemplo numérico:

96

332)3(2

222

xx

xxx

Lo primero es recordar que un trinomio cuadrado perfecto proviene del desarrollo del cuadrado de un binomio. Por ejemplo:

Lo segundo es recordar cómo se obtiene el tercer término del trinomio cuadrado perfecto.

22

2

)3(96

binomio de cuadrado como escribimos lo

96

trinomioel scompletamo

933cuadradosu calculamos Ahora32x

6x

xxx

xx

........62 xx

En el ejemplo anterior, este proviene de dividir el segundo término por 2x (el doble de la variable) y al resultado se calcula su cuadrado. Esto es:

Otro ejemplo:

22

2

)4(168

binomio de cuadrado como escribimos lo

168

trinomioel scompletamo

1644:cuadradosu calculamos Ahora42x

8x-

xxx

xx

........82 xx

Otro ejemplo:

22

2

)2

5(

4

255

binomio de cuadrado como escribimos lo4

255

trinomioel scompletamo4

25

2

5

2

5:cuadradosu calculamos Ahora

2

5

2x

5x-

xxx

xx

........52 xx

Otro ejemplo:

22

2

)3(29124

binomio de cuadrado como escribimos lo

9)2(64

trinomioel scompletamo

933:cuadradosu calculamos Ahora32

6

2(2x)

6(2x)-

xxx

xx

........124 2 xx

........)2(64

2x. es ahora variablela,24producto. como oloescribiénd

términosegundo el smodificamoy cuadrada raízsu obtenemos

1, de distinto cuadradoun es xde ecoeficient el caso esteen Como

2

2

2

xx

xx

Otro ejemplo:

22

2

)2(34129

binomio de cuadrado como escribimos lo

4)3(49

trinomioel scompletamo

422:cuadradosu calculamos Ahora22

4

2(3x)

4(3x)

xxx

xx

........129 2 xx

........)3(49

3x. es ahora variablela,39producto. como oloescribiénd

términosegundo el smodificamoy cuadrada raízsu obtenemos

1, de distinto cuadradoun es xde ecoeficient el caso esteen Como

2

2

2

xx

xx

Ahora estamos en condiciones de resolver una ecuación de

segundo grado con este método.

Considera la siguiente ecuación de segundo grado:

01582 xxPasamos el tercer término al otro lado de la igualdad, para completar el trinomio cuadrado perfecto con los dos primeros términos.

1582 xxPara obtener el tercer término del trinomio cuadrado perfecto dividimos el segundo término por 2x (el doble de la variable x) y al resultado le calculamos su cuadrado.

164442

8

2

8

x

x

Agregamos el cuadrado obtenido a ambos lados de la ecuación para no perder el equilibrio de esta.

Escribimos como cuadrado de binomio y reducimos.

Extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad

16151682 xx

1)4( 2 x

14 x

Despejamos x de la siguiente manera (Recomendado).

De aquí obtenemos dos valores para x:

El conjunto solución de esta ecuación es …

14 x

14 x

3141 x

5142 x

3,5 S

Ejemplo 2:

Considera la siguiente ecuación de segundo grado:

02452 xxPasamos el tercer término al otro lado de la igualdad, para completar el trinomio cuadrado perfecto con los dos primeros términos.

2452 xxPara obtener el tercer término del trinomio cuadrado perfecto dividimos el segundo término por 2x (el doble de la variable x) y al resultado le calculamos su cuadrado.

4

25

2

5

2

5

2

5

2

5

x

x

Agregamos el cuadrado obtenido a ambos lados de la ecuación para no perder el equilibrio de esta.

Escribimos como cuadrado de binomio y reducimos.

Extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad

4

2524

4

2552 xx

4

121)

2

5( 2 x

2

11

2

5x

Despejamos x de la siguiente manera (Recomendado).

De aquí obtenemos dos valores para x:

El conjunto solución de esta ecuación es … 8,3S

2

11

2

5x

2

11

2

5x

82

16

2

11

2

51 x

32

6

2

11

2

52

x

Ejemplo 3:

Considera la siguiente ecuación de segundo grado:

01544 2 xxPasamos el tercer término al otro lado de la igualdad, para completar el trinomio cuadrado perfecto con los dos primeros términos.

1544 2 xxEn este caso, como el coeficiente del primer término es un cuadrado distinto de 1 extraemos su raíz cuadrada y modificamos el segundo término.

2x es variablela ahora24 2 xx

Modificamos el segundo término escribiéndolo como producto:

Para obtener el tercer término del trinomio cuadrado perfecto dividimos el segundo término por el doble de la variable (que ahora es 2x) y al resultado le calculamos su cuadrado.

11112

2

)2(2

)2(2

x

x

15)2(24 2 xx

Agregamos el cuadrado obtenido a ambos lados de la ecuación para no perder el equilibrio de esta.

Escribimos como cuadrado de binomio y reducimos.

Extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad

16)12( 2 x

412 x

1151)2(24 2 xx

Despejamos 2x de la siguiente manera (Recomendado).

Despejamos x multiplicando cada término de la ecuación por el recíproco de 2:

412 x

2

1/412 x

2

4

2

1x

De aquí obtenemos dos valores para x:

El conjunto solución de esta ecuación es …

2

5,

2

3S

2

4

2

1x

2

5

2

4

2

11 x

2

3

2

4

2

12 x

Ejemplo 4:

Considera la siguiente ecuación de segundo grado:

0134 2 xxPasamos el tercer término al otro lado de la igualdad, para completar el trinomio cuadrado perfecto con los dos primeros términos.

134 2 xxEn este caso, como el coeficiente del primer término es un cuadrado distinto de 1 extraemos su raíz cuadrada y modificamos el segundo término.

2x es variablela ahora24 2 xx

Modificamos el segundo término escribiéndolo como producto:

Para obtener el tercer término del trinomio cuadrado perfecto dividimos el segundo término por el doble de la variable (que ahora es 2x) y al resultado le calculamos su cuadrado.

16

9

4

3

4

3

4

3

2

1

2

3

223

)2(2

)2(23

x

x

1)2(2

34 2 xx

Agregamos el cuadrado obtenido a ambos lados de la ecuación para no perder el equilibrio de esta.

Escribimos como cuadrado de binomio y reducimos.

Extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad

16

25)

4

32( 2 x

4

5

4

32 x

16

91

16

9)2(

2

34 2 xx

Despejamos 2x de la siguiente manera (Recomendado).

Despejamos x multiplicando cada término de la ecuación por el recíproco de 2:

4

5

4

32 x

2

1/

4

5

4

32 x

8

5

8

3x

De aquí obtenemos dos valores para x:

El conjunto solución de esta ecuación es …

4

1,1S

8

5

8

3x

4

1

8

2

8

5

8

31 x

18

8

8

5

8

32 x