Ecuacion de Bessel
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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
ANEXO
ECUACION DE BESSEL DE ORDEN CERO
Prof. Jaime Figueroa Nieto
Se llama ecuación de Bessel de orden cero a la ecuación diferencial ordinaria de coeficientes
variables:
x2 y '' HxL+ x y ' HxL + x2 yHxL = 0 , x > 0
Claramente x=0 es un punto singular regular (ver nota al final).
Sustituyendo
yHxL = a0 xr + ⁄n=1¶ an xn+r
se obtiene una solución denotada:
J0HxL = 1 +⁄m=1¶ H-1Lm x2m2 2m Hm! L2 , x > 0
llamada "función de Bessel de primera clase y de orden cero".
Se observa que la serie converge absolutamente para todo x. Además J0HxL no es singular en x=0
5 10 15 20
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Las primeras raíces de J0HxL = 0 son sucesivamente:
{2.40483, 5.52008, 8.65373, 11.7915, 14.9309, 18.0711, 21.2116}
La determinación de una segunda solución linealmente independiente con J0HxL es mas complicada.
La segunda solución es:
Y0HxL = 2
pBIg + lnI x
2MM J0HxL +⁄m=1¶ H-1Lm+1 Hm
22m Hm!L2 x2m F , x > 0
en que
Hm =1
m+
1
m-1+ ....+
1
2+ 1 ; g º 0,5772..... Constante de Euler
Esta solución es la "función de Bessel de segunda clase y orden cero". No es acotada en x=0, hecho
importante por el cual no puede ser usada para obtener solucioens accotadas.
2 4 6 8 10 12 14
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Observación.
Sea
PHxL y '' HxL + QHxL y ' HxL + RHxL yHxL = 0
Un punto x = x0 en que PHx0L = 0 se dice "singular". Se dirá "singular regular" si además:
limxØx9 Hx- x0LQHxLPHxL es FINITO
limxØx9 Hx- x0L 2 RHxLPHxL es FINITO
2 Ecuacion de Bessel.nb