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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA

METROPOLITANA

UNIDAD IZTAPALAPA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE PROCESOS E HIDRÁULICA

LICENCIATURA EN INGENIERÍA EN ENERGÍA

SEMINARIO DE PROYECTOS I Y II

ECUACIÓN DE CALOR DE ORDEN FRACCIONAL EN

ESTADO TRANSITORIO

PRESENTADO POR:

RICARDO GÓMEZ ARRIETA

Vo. Bo. Asesor Vo. Bo. Coordinador

México D.F. Diciembre de 2008

UN

IVE

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IDA

D A

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ÓN

OM

A M

ET

RO

PO

LIT

AN

A - IZ

TA

PA

LA

PA

Dr. Gilberto Espinosa Paredes M.C. Eugenio Fabián Torijano Cabrera

A dios, por su infinita bondad. A mis padres, a quienes les debo todo lo que soy.

A mi mamá, por ser una mujer excepcional y apoyarme en cada momento de mi vida. A mi papá, por ser un hombre ejemplar y apoyarme en cada momento de mi vida. A mis hermanos, por compartir una infancia feliz y por todos los bellos momentos

que hemos pasado juntos. A mis abuelitas, por todo el cariño y admiración que les tengo.

A mi familia, con gratitud infinita por su gran corazón. A mis amigos, con quien he compartido momentos inolvidables.

A mis profesores, por brindarme su conocimiento. A ti, por haber coincidido en este maravilloso mundo.

Y a ti Don Pollito…

Mil Gracias.

“Por que solo tenemos una oportunidad, y se llama Vida…”

RGA

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio

Ingeniería en energía ii

CONTENIDO

RESUMEN v

LISTA DE FIGURAS vii

CAPITULO I: INTRODUCCIÓN 1

CAPITULO II: TRANSFERENCIA DE CALOR

II.1 Introducción 4

II.2 Transferencia de calor por conducción 6

II.2.1 Conductividad Térmica 11

II.3 Transferencia de calor por convección 13

II.4 Transferencia de calor por radiación 14

CAPITULO III: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO FRACCIONARIO

III.1 Introducción 16

III.2 Derivada fraccionaria de la función exponencial 18

III.3 Funciones trigonométricas: seno y coseno. 19

III.4 Derivadas de xα 20

III.5 Integrales iteradas 23

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA

Ricardo Gómez Arrieta iii

III.6 Derivada fraccionaria según Grünwald-Letnikov 28

III.7 Derivada fraccionaria según Caputo 29

III.8 Media derivada de una función simple 29

III.9 Derivada fraccionaria de una constante 31

III.10 Transformada de Laplace de la derivada fraccionaria 32

III.11 Transformada fraccionaria de Fourier 35

III.12 Convolución 36

III.13 Fórmula Integral de Cauchy 37

CAPITULO IV: ECUACIÓN DE CALOR DE ORDEN FRACCIONAL EN

ESTADO TRANSITORIO

IV.1 Introducción 39

IV.2 Ecuación de calor de orden fraccional 40

IV.3 Sub-difusión y Súper-difusión 41

IV.4 Sistemas coordenados 42

CAPITULO V: SIMULACIÓN NUMÉRICA

V.1 Introducción 43


Ingeniería en energía iv

V.2 Algoritmos Numéricos 45

V.3 Formas discretas de derivados fraccionarios 46

V.4 Método de diferencias finitas 48

V.5 Validación en coordenadas cartesianas 50

V.6 Simulación numérica 53

CAPITULO V: TRANSFERENCIA DE CALOR EN UN ELEMENTO

COMBUSTIBLE DE UN REACTOR NUCLEAR (PBMR)

VI.1 Introducción 56

VI.2 Descripción del sistema 56

VI.3 Modelo de orden fraccional 60

VI.4 Solución numérica 61

VI.5 Validación en coordenadas esféricas 65

VI.6 Simulación de transferencia térmica en un

elemento combustible (PBMR) 68

CONCLUSIONES 75

NOMENCLATURA 77

BIBLIOGRAFÍA 78


Ricardo Gómez Arrieta v

RESUMEN

La complejidad de los procesos térmicos en sistemas asociados con interacciones

complejas, tales como medios heterogéneos implica fenómenos de difusión térmica

no ideales que no pueden ser descritas apropiadamente por teorías clásicas basadas

en la ley de Fourier de la conductividad térmica. Por lo genera la necesidad de

desarrollar nuevas teorías que reflejen un comportamiento más apegado a la realidad,

las cuales pueden estar basadas en modelos de orden fraccional, para el tratamiento

de procesos de difusión anómala.

En este trabajo se presenta la ecuación de difusión térmica de orden fraccional

en el operador diferencial temporal, asociada a procesos de difusión térmica anómala

en estado transitorio para representar procesos sub-difusivos y súper-difusivos

asociada a las complejidades anteriormente señaladas. El modelo fraccional se obtiene

aplicando una ley constitutiva que no es del tipo Fourier y fue desarrollada para

describir procesos de transferencia de calor en coordenadas cartesianas, cilíndricas y

esféricas.

Se presenta el desarrollo de un modelo numérico de difusión térmica de orden

fraccional, basado en los operadores de Riemann-Liouville, Caputo y Grünwald-

Letnikov. El modelo numérico fue validado con la comparación de los resultados

obtenidos entre la solución analítica y la aproximación numérica cuando el exponente

de difusión anómala tiende a uno. Después de dicha validación, se presentan

resultados de simulación de procesos de difusión anómala tanto sub-difusivos como

súper-difusivo, para explorar la potencialidad del modelo fraccional.


Ingeniería en energía vi

El desarrollo y validación de la solución numérica fraccional se aplicó para

modelar la transferencia de calor en un elemento combustible en un reactor nuclear

de IV generación (PBMR). La característica de este tipo de combustibles es su

composición altamente heterogénea donde la hipótesis de trabajo para este tipo de

sistema fue que los procesos de transferencia de calor presentan difusión anómala de

tipo sub-difusivo, donde la ley clásica de Fourier de la conductividad térmica falla.

La simulación del modelo fraccional permitió entender los fenómenos de

transferencia de calor en dicho sistema permitiendo el análisis de procesos de

difusión térmica anómala de tipo sub-difusivos y súper-difusivos, con relación a las

interacciones moleculares características de cada uno de ellos y en particular el

entendimiento en un elemento de combustible PBMR.

Ricardo Gómez Arrieta

Asesor: Dr. Gilberto Espinosa Paredes

Diciembre 2008


Ricardo Gómez Arrieta vii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Volumen elemental para el análisis de la conducción de calor

unidimensional

Figura 2. Región de integración para integrales iteradas

Figura 3. Solución analítica al problema de difusión térmica, (Zill 1997)

Figura 4. Solución numérica del modelo fraccional

Figura 5. Difusión anómala para α =0.75




Figura 9. Sección vertical del núcleo del PBMR (Venter y Mitchell, 2007).

Figure 10. Sección horizontal del núcleo del PBMR (Venter y Mitchell, 2007).

Figura 11. Esquema del elemento esférico y micro-esférico de combustible

Figura 12. Validación entre la solución analítica y la aproximación numérica 1

Figura 13. Error relativo entre la solución analítica y la aproximación numérica 1

Figure 14. Procesos de difusión anómala para 3 seg. de simulación en un elemento de

combustible.

Figure 15. Procesos de difusión anómala para r = 3.0 cm en un elemento combustible

Figure 16. Proceso sub-difusivo ( 0.8) para diferentes coeficientes de difusión

anómala


Ricardo Gómez Arrieta 1

CAPITULO I

Introducción

Algunos aspectos de gran importancia relacionados con la ingeniería y

particularmente con los procesos que interfieren en esta disciplina, destacan los

procesos de transferencia de calor y como tal, la metodología para calcular la

velocidad con que éstos se producen, para así diseñar los componentes y sistemas

necesarios en los que tienen lugar dichos procesos.

Los sistemas energéticos que están siendo desarrollados actualmente, requieren

un conocimiento extenso de los procesos de diseño y control. La complejidad

asociada a estos sistemas requieren el uso de una gran variedad de herramientas

teóricas, técnicas, numéricas y de simulación para un entendimiento pleno. Estos

modelos se han basado y presentado como análisis simples de teorías clásicas, no

capturando de manera adecuada todos los fenómenos físicos significativos referentes

a estos procesos.

Por lo que los diseños térmicos requieren un conocimiento extenso de las

características de la transferencia de calor en una amplia gama de fenómenos

involucrados con este hecho. Como consecuencia directa dentro de los procesos

térmicos, se requieren las evaluaciones de los perfiles de temperatura, así como las

tasas del transporte de energía térmica, esenciales para un buen diseño, control y

funcionamiento propios de cada uno de ellos.

Como se menciono anteriormente la complejidad asociada al proceso de

transporte de energía térmica en estos sistemas, está asociado a interacciones


Ingeniería en energía 2

complejas y medios parcial o totalmente heterogéneos, implicando en este caso

procesos de difusión térmica no idealizados. Muchos investigadores han propuesto

modelos basados en formas lineales y no lineales de ecuaciones diferenciales (Morse y

Feshbach, 1953; Vernotte, 1958, 1961; Cattaneo, 1958). Tales modelos pueden simular

la difusión no idealizada sin embargo no reflejan su comportamiento verdadero. Por

lo que para modelar este tipo de difusión se han desarrollado nuevas teorías basadas

en modelos fraccionales.

En cálculo elemental aprendimos cómo encontrar la derivada Df(x) de una

función, también estudiamos cómo calcular su segunda derivada D2 f(x), su tercera

derivada D3f(x) y así sucesivamente. Más tarde también aprendimos cómo calcular

integrales (o derivadas de orden negativo), D−1f(x) y D−2 f(x). ¿Pero qué pasa si el

orden de la derivada (o integral) no es un entero sino una fracción, tal como D1/2 f(x),

o incluso un número real? Aquí es donde nace la idea de la idea conocida como

cálculo fraccional.

El cálculo fraccional ha tenido una larga historia, datando desde 1695 cuando

Leibniz discutió el significado de D1/2 f(x) en una carta a L’Hopital. Leibniz escribió

que su resultado era:”una aparente paradoja de la cual algún día se obtendrán

consecuencias útiles.” Muchos de los matemáticos distinguidos de generaciones

posteriores han contribuido a esta la teoría

El cálculo fraccional ha existido por más de tres siglos, fue estudiado

principalmente para propósitos teóricos, pero durante las últimas décadas han

aparecido muchas aplicaciones de esta rama de las matemáticas. Por ejemplo, se ha

demostrado que los modelos de orden fraccional son más apropiados que los de

orden entero para describir el estudio y la simulación en ciertos fenómenos como:



trasporte de contaminantes Guanhua y otros (2005), Flujos neutrónicos Espinosa-

Paredes (2008), la propagación en materiales porosos Fellah y Fellah (2008), la

difusividad dinámica de las moléculas Wu y Berland (2008), algoritmos genéticos,

diseños y modelos termales, entre otros. El concepto de una derivada fraccional

provee una herramienta útil para la descripción de varios procesos.

En el presente trabajo se presentan los conceptos básicos de transferencia de

calor y algunas notas introductorias del cálculo fraccional, con el objetivo de

introducir un modelo fraccional de difusión térmica anómala para el análisis de

dinámicas complejas y medios parcial o totalmente heterogéneos. Aplicando dichas

teorías a sistemas de un interés significativo para el desarrollo de nuevas tecnologías.



CAPITULO II

Transferencia de Calor

II.1.- Introducción

La Ingeniería Térmica trata de los procesos de transferencia de calor y la

metodología para calcular la velocidad con que éstos se producen para así diseñar los

componentes y sistemas en los que tiene lugar una transferencia de calor.

Un caso de particular interés, es aquel en el que participan un conjunto de

procesos con el objetivo de generación de algún tipo de energía A título de ejemplo,

ciertos casos de diseño requieren disminuir las cantidades de calor transferido

mediante un aislante térmico; otros implican procesos de transferencia de calor de un

fluido a otro mediante intercambiadores de calor; o la transferencia de calor generada

por un combustible a un fluido de trabajo, o a veces el problema de diseño es

controlar térmicamente un proceso manteniendo las temperaturas de funcionamiento

de los componentes sensibles al calor dentro de unos márgenes predeterminados, etc.

De todo esto se desprende que la transferencia de calor abarca una amplia gama

de fenómenos físicos que hay que comprender antes de proceder a desarrollar la

metodología que conduzca al diseño térmico de los sistemas correspondientes.

Siempre que existe una diferencia de temperatura, la energía se transfiere de la región

de mayor temperatura a la de temperatura más baja; de acuerdo con los conceptos

termodinámicos la energía que se transfiere como resultado de una diferencia de



temperatura, es el calor. Sin embargo, aunque las leyes de la termodinámica tratan de

la transferencia de energía, sólo se aplican a sistemas que están en equilibrio; pueden

utilizarse para predecir la cantidad de energía requerida para cambiar un sistema de

un estado de equilibrio a otro, pero no sirven para predecir la rapidez (tiempo) con

que puedan producirse estos cambios. La fenomenología que estudia la transmisión

del calor complementa los Principios Primero y Segundo de la Termodinámica

clásica, proporcionando métodos de análisis que permiten predecir esta velocidad de

transferencia térmica.

Para ilustrar los diferentes tipos de información que se pueden obtener desde

ambos puntos de vista, (termodinámico y transferencia de calor) consideraremos, a

título de ejemplo, el calentamiento de una barra de acero inmersa en agua caliente.

Los principios termodinámicos se pueden utilizar para predecir las temperaturas

finales una vez los dos sistemas hayan alcanzado el equilibrio y la cantidad de

energía transferida entre los estados de equilibrio inicial y final, pero nada nos dicen

respecto a la velocidad de la transferencia térmica, o la temperatura de la barra al

cabo de un cierto tiempo, o del tiempo que hay que esperar para obtener una

temperatura determinada en una cierta posición de la barra. Por otra parte, un

análisis de la transmisión del calor permite predecir la velocidad de la transferencia

térmica del agua a la barra y de esta información se puede calcular la temperatura de

la barra, así como la temperatura del agua en función del tiempo.

Para proceder a realizar un análisis completo de la transferencia del calor es

necesario considerar los aspectos básicos relacionados al tema y en particular los tres

mecanismos de transferencia de calor, conducción, convección y radiación. El diseño

y proyecto de los sistemas de intercambio de calor y conversión energética requieren

de cierta familiaridad con cada uno de estos mecanismos, así como de sus



interacciones; consideraremos, en esta parte solo los principios básicos de la

transmisión del calor, que pueden ser de utilidad en capítulos posteriores tomando

como base literatura clásica del tema (Bird, Stewart y Lightfoot, 2007; Çengel 2003;

Welty y otros 2000).

II.2.- Transmisión de calor por conducción

La conducción es el mecanismo de transmisión de calor posible en los medios

sólidos; cuando en estos cuerpos existe un gradiente de temperatura, el calor se

transmite de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura, siendo el

flujo de calor por unidad de área transmitida por conducción ( )q , proporcional al

gradiente normal de temperatura dT / dx , es decir:

q T

A x

en donde T es la temperatura y x la dirección del flujo de calor.

El flujo real de calor depende de la conductividad térmica k , que es una

propiedad física del cuerpo, por lo que la ecuación anterior se puede expresar en la

forma:

Tq kA

x

(II.1)

En la que el signo (-) es consecuencia del Segundo Principio de la

Termodinámica, según el cual, el calor debe fluir hacia la zona de temperatura más



baja. El gradiente de temperaturas, será negativo si la temperatura disminuye para

valores crecientes de x; si se considera que el calor transferido en la dirección positiva

debe ser una magnitud positiva, en el segundo miembro de la ecuación anterior hay

que introducir un signo negativo.

La Ec. (II.1) se llama ley de Fourier de la conducción de calor en honor al físico-

matemático francés Joseph Fourier, quien hizo contribuciones muy importantes al

tratamiento analítico de la transferencia de calor por conducción. Es importante

señalar que la Ec. (II.1) es la ecuación que define la conductividad térmica

Se plantea ahora el problema de determinar la ecuación básica que gobierna la

transferencia de calor en un sólido, haciendo uso de la Ec. (II.1) como punto de

partida. Si el sistema está en régimen estacionario, esto es, si la temperatura no varía

con el tiempo, entonces el problema es simple, y sólo es necesario integrar la Ec. (II.1)

y sustituir los valores apropiados para obtener la magnitud deseada. Sin embargo, si

la temperatura del sólido varía con el tiempo, o si en el interior del sólido hay fuentes

o sumideros de calor, el problema es más complejo.

Se considera el caso más general en el que la temperatura puede variar con el

tiempo y en el que pueden existir fuentes de calor en el interior del cuerpo. Con estas

condiciones, el balance de energía para un elemento de espesor dx resulta

Energía que entra

por conducción a

través de la cara

izquierda

+

Calor generado en

el interior del

elemento

= Variación de la

energía interna +

Energía que sale

por conducción

a través de la

cara derecha



Figura 1: Volumen elemental para el análisis de la conducción de calor

unidimensional

Estas cantidades de energía vienen dadas por:

Energía que entra por la cara izquierda: x

Tq kA

x

Energía generada en el interior del elemento: q Adx

Variación de la energía interna: p

TC A dx

t

Energía que sale de la cara derecha: x dxx dx

Tq kA

x

=

T TA k k dx

x x x

qx qx+dx

dx



donde

q = energía generada por unidad de volumen y por unidad de tiempo, W/m3

Cp = calor específico del material J/kgªC

ρ = densidad, kg/m3

la combinación de las relaciones anteriores proporciona:

p

dT dT T TkA qAdx C dx A k k dx

dx dt x x x

p

dT TC k q

dt x x

(II.2)

Ésta es la ecuación de la conducción de calor unidimensional. Para tratar el flujo

de calor no unidimensional, sólo se precisa considerar el calor introducido y extraído

por conducción por unidad de volumen en las direcciones de las tres coordenadas. El

balance de energía proporciona:

x y z gen x dx y dy z dz

dEq q q q q q q

dt

de modo que la ecuación general de la conducción de calor tridimensional es:

p

T T T TC k k k q

t x x y y z z

(II.3)



Y sii la conductividad térmica es constante, la Ec. (II.3) se escribe:

2 2 2

2 2 2p

T T T T q

t Cx y z

(II.3a)

donde p

k

C

se denomina difusividad térmica del material. Cuanto mayor sea a,

más rápidamente se difundirá el calor por el material.

Esto puede verse examinando las propiedades físicas que forman . Un valor

grande de α resulta o por un valor alto de la conductividad térmica, lo que indicaría

una transferencia rápida del calor, o por un valor bajo de la capacidad térmica pC . Un

valor bajo en la capacidad térmica podría significar que se absorbe menos cantidad de

energía de la que se mueve por el material y se usa para elevar la temperatura del

material; así se dispondrá de más energía para transferir. La difusividad térmica

tiene unidades de metros cuadrados por segundo.

En las ecuaciones anteriores, la expresión de la derivada en x + dx se ha escrito

en la forma de desarrollo de Taylor habiendo retenido sólo los dos primeros términos

de este desarrollo.

La Ec. (II.3a) puede transformarse a coordenadas cilíndricas o esféricas mediante

técnicas normales del cálculo. Los resultados son los siguientes:



Coordenadas cilíndricas:

2 2 2

2 2 2 2

1 1

p

T T T T T q

t r r Cr r z

(II.3b)

Coordenadas esféricas:

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1

p

T T T qrT sen

t r Cr r sen r sen

(II.3c)

II.2.1 Conductividad térmica

La Ec. (II.1) es la que define la conductividad térmica. Basándose en esta

definición pueden realizarse medidas experimentales para determinar la

conductividad térmica de diferentes materiales. Para gases, a temperaturas

moderadamente bajas, pueden utilizarse los tratamientos analíticos de la teoría

cinética de gases para predecir con precisión los valores observados

experimentalmente. En algunos casos, se dispone de teorías para la predicción de las

conductividades térmicas de líquidos y sólidos, pero, por lo general, cuando se trata

de líquidos y sólidos es preciso clarificar algunas cuestiones y conceptos estudiados.

El mecanismo de la conducción térmica en gases es muy simple. Se identifica la

energía cinética de una molécula con su temperatura; así, en una región de alta

temperatura, las moléculas poseen velocidades más altas que en una región de baja

temperatura. Las moléculas están en continuo movimiento aleatorio, chocando unas

con otras e intercambiando energía y cantidad de movimiento. Las moléculas tienen



ese movimiento aleatorio exista o no un gradiente de temperatura en el gas. Si una

molécula se mueve desde una región de alta temperatura a otra de menor

temperatura, transporta energía cinética hacia la zona del sistema de baja

temperatura y cede esta energía mediante los choques con las moléculas de menor

energía.

El mecanismo físico de la conducción de la energía térmica en líquidos es

cualitativamente el mismo que en gases; no obstante, la situación es

considerablemente más compleja, ya que las moléculas están más próximas y el

campo de fuerzas moleculares ejerce una gran influencia en el intercambio de energía

en el proceso de colisionar.

La energía térmica en los sólidos puede transferirse por conducción mediante

dos mecanismos: por vibración de la red y por transporte de electrones libres. En

buenos conductores eléctricos se mueve un número bastante grande de electrones

libres en la estructura reticular. Así como esos electrones pueden transportar carga

eléctrica, también pueden transportar energía térmica desde una región de alta

temperatura a otra de baja temperatura como en el caso de los gases. De hecho, se

hace referencia a estos electrones como gas de electrones.

La energía puede también transmitirse como energía de vibración en la

estructura reticular del material. Sin embargo, este último modo de transferir energía

no es, por lo general, tan efectivo como el de transporte de electrones, y por esta

razón, los buenos conductores eléctricos son casi siempre buenos conductores del

calor, como el cobre, el aluminio y la plata, y los aislantes eléctricos son

corrientemente buenos aislantes térmicos.



II.3 Transferencia de calor por convección

Cuando un fluido a una temperatura T f se pone en contacto con un sólido cuya

superficie de contacto está a una temperatura distinta Tp , el proceso de intercambio

de energía térmica se denomina transmisión de calor por convección.

Existen dos tipos de convección:

a) Convección libre o natural

b) Convección forzada

En la convección libre, la fuerza motriz procede de la variación de densidad en

el fluido como consecuencia del contacto con una superficie a diferente temperatura,

lo que da lugar a unas fuerzas ascensionales; ejemplos típicos de tal convección libre

son la transmisión de calor entre la pared o el tejado de una casa en un día sin viento,

la convección en un tanque que contiene un líquido en el que se encuentra sumergida

una bobina de calefacción, o el calor transferido desde la superficie de un colector

solar en un día en calma, etc.

La convección forzada tiene lugar cuando una fuerza motriz exterior mueve un

fluido con una velocidad uf sobre una superficie que se encuentra a una temperatura

Tp , mayor o menor que la del fluido T f . Como la velocidad del fluido en la

convección forzada uf es mayor que en la convección libre, se transfiere, por lo tanto,

una mayor cantidad de calor para una determinada temperatura.



Independientemente de que la convección sea libre o forzada, la cantidad de

calor transmitida q, se puede escribir por la Ley de Enfriamiento de Newton:

( )p fq Ah T T (II.4)

donde:

h : es el coeficiente de transmisión del calor por convección en la interfase líquido-

sólido

A : es el área superficial en contacto con el fluido

Tp : es la temperatura de la superficie

T f : es la temperatura del fluido

La ecuación anterior sólo sirve como definición del coeficiente de convección; su

valor numérico se tiene que determinar analítica o experimentalmente.

II.5 Transferencia de calor por radiación

Mientras que la conducción y la convección térmicas tienen lugar sólo a través

de un medio material, la radiación térmica puede transportar el calor a través de un

fluido o del vacío, en forma de ondas electromagnéticas que se propagan a la

velocidad de la luz. Existen muchos fenómenos diferentes de radiación

electromagnética pero en Ingeniería Térmica sólo consideraremos la radiación

térmica, es decir, aquella que transporta energía en forma de calor.

La cantidad de energía que abandona una superficie en forma de calor radiante

depende de la temperatura absoluta a que se encuentre y de la naturaleza de la

superficie.



Un cuerpo negro emite una cantidad de energía radiante de su superficie q,

dada por la ecuación:

4bq AT AE (II.5)

en la que Eb es el poder emisivo del cuerpo negro, y σ es la constante dimensional de

Stefan-Boltzman en unidades SI:

8

2 45.67 10

Wx

m K

La ecuación anterior dice que toda superficie negra irradia calor

proporcionalmente a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. Aunque la

emisión es independiente de las condiciones de los alrededores, la evaluación de una

transferencia neta de energía radiante requiere una diferencia en la temperatura

superficial de dos o más cuerpos entre los cuales tiene lugar el intercambio



CAPITULO III

Introducción al Cálculo Fraccionario

III.1 Introducción

Estamos familiarizados con la idea de las derivadas. La notación usual

( )df x

dx o ( )Df x ,

2

2

( )d f x

dx o 2 ( )D f x

se comprende fácilmente. Estamos también familiarizados con propiedades tales

como:

( ) ( ) ( ) ( )D f x f y Df x Df y

Pero, ¿cuál sería el significado de 1/ 2

1/ 2

( )d f x

dx o 1/ 2 ( )D f x ?

En 1695 L’Hôpital le preguntó a Leibnitz: - ¿Qué ocurre si el orden es 1/ 2 ?

Leibnitz responde -“De esta paradoja se extraerán, algún día, consecuencias muy

útiles”

Lacroix, en 1819, menciona, por primera vez la derivada de orden arbitrario.

Más tarde Euler y Fourier trataron el tema, pero sin aplicaciones. En 1823, Abel lo

aplicó a la ecuación integral relacionada con el problema de las isócronas. Esto



motivó a Liouville (1832) al primer gran intento de una definición formal y

consistente de la derivada fraccionaria. En 1847 Riemann escribió un artículo

modificando la definición de Liouville del operador fraccionario que se conoce hoy

como la Integral de Riemann – Liouville.

En A. V. Letnikov escribió el artículo “Theory of differentiation of fractional

order”.

Desde 1695 – 1974 muchos científicos han contribuido: Lagrange, Laplace, de

Morgan, Heaveside, Riesz, Weyl. En 1974 aparece el primer texto dedicado al cálculo

fraccionario Oldham y Spanier (1974).

Hasta la fecha existe una vasta literatura sobre el tema llamado Cálculo

Fraccionario, Cálculo Fraccional o Cálculo Generalizado (Oldham y Spanier, 1974;

Podlubny , 1999; Ayala y Tuesta, 2007) entre otros y una gran variedad de artículos

científicos aparecen día a día en el mundo (Meerschaert y otros, 2006; Tadjeran y

otros, 2006). Mostrando las más variadas aplicaciones, entre estas aplicaciones

actualmente se encuentran en la Reología, Biología Cuántica, Electroquímica, Teoría

de la Dispersión, Difusión, Teoría del Transporte, Probabilidad y Estadística, Teoría

del Potencial, Elasticidad, Viscosidad y Teoría de Control Automático.

Antes de usar algunas definiciones formales o teoremas exploraremos la idea de

la derivada fraccionaria echando una ojeada a algunos ejemplos de derivadas bien

conocidas, de orden n, tales como n ax n axD e a e y cambiaremos el número natural n

por otros números, por ejemplo, ½. En este sentido, como detectives, trataremos de

ver qué estructura matemática se esconde en esta idea. Evitaremos una definición



formal de la derivada fraccionaria mientras no exploremos las posibilidades de varias

aproximaciones a esta noción.

III.2 Derivada fraccionaria de la función exponencial

Comencemos examinando las derivadas de la función exponencial axe debido a

su simplicidad.

1 2 2, ,...,ax ax ax ax n ax n axD e ae D e a e D e a e

donde n es un entero.

Podríamos remplazar n por ½ y escribir 1/ 2 1/ 2ax axD e a e , ¿Por qué no?, ¿Por qué

no podemos ir más allá y hacer n un número irracional como, por ejemplo, 2 o un

número complejo tal como ( 1)i ?

Escribiendo

ax axD e a e (III.1)

para cualquier valor de α, entero, irracional o complejo. Es interesante considerar el

significado de (III.1) si α fuera un entero negativo. No hay dudas que si α fuera un

entero negativo –n, se trataría de la n-ésima integral iterada. De manera que si es

un número real positivo se trata de la derivada y de la integral si es un número

real negativo.



Notemos que aún no hemos dado una definición para la derivada fraccionaria

de una función general. Pero, si esta definición se encuentra, querríamos comprobarla

en la función exponencial. Es bueno comentar que Liouville comenzó por ahí.

III.3 Funciones trigonométricas: seno y coseno.

También estamos familiarizados con las derivadas de la función seno:

0 ( ) ( )D sen x sen x , 1 ( ) cos( )D sen x x , 2 ( ) ( )D sen x sen x

Esta función no presenta un patrón claro para encontrar, por

ejemplo: 1/ 2 ( )D sen x . Sin embargo, trazando la gráfica de esta función se descubre un

patrón. Cada vez que derivamos resulta un gráfico del ( )sen x desplazado 2

a la

izquierda. De manera que derivando ( )sen x , n veces, se desplaza la gráfica 2

n

a la

izquierda, es decir,

( )2

nD sen x sen x n

cos( ) cos2

nD x x n

reemplacemos el entero positivo n por un número α arbitrario. Así, obtendremos una

expresión de la derivada general de la función seno y, de manera similar, podríamos

tratar el coseno.

( )2

D sen x sen x

cos( ) cos

2D x x

(III.2)



después de ver esto, es natural preguntarnos si lo que hemos hecho es consistente con

el resultado que obtuvimos para la exponencial.

Para esto consultaremos Euler,

cos( ) ( )ixe x isen x

y usando (III.1) podemos calcular

22 cos2 2

i xiix ix ixD e i e e e e x isen x

que corrobora (III.2).

III.4 Derivadas de xα

Veamos ahora las derivadas de las potencias de x. Comencemos con px (p

entero).

0 p pD x x , 1 1p pD x px , 2 2( 1)p pD x p p x , …

( 1)( 2)...( 1)n p p nD x p p p p n x (III.3)

multiplicando numerador y denominador de (III.3) por (p-n)! se obtiene

0 ( 1)( 2)...( 1)( )( 1)

( )( 1)...1

p np p p p p n p n p n x

D xp n p n



!

( )!

n p p npD x x

p n

(III.4)

esta es la expresión general de n pD x

Para reemplazar el entero positivo n por un número arbitrario α usamos la

función Gamma. Ésta nos da un significado para p! y para !p n en (III.4), cuando

p y n no sean números naturales.

La función Gamma fue introducida por Euler en el siglo XVIII para generalizar

la noción de z! para valores no enteros de Z. Su definición es

1

0

( ) t zz e t dt

y tiene la propiedad de que 1 !z z .

podemos ahora arreglar (III.4)

( 1)

( 1)

p nn p p x

D xp n

que tiene sentido si n no es entero, de manera que podríamos escribir

( 1)

( 1)

pp p x

D xp

(III.5)

para cualquier .



Con (III.5) podemos extender la idea de la derivada fraccionaria de un gran

número de funciones.

Dada cualquier función que pueda ser expandida en serie de Taylor en

potencias de

0

( ) nn

n

f x a x

si asumimos que podemos derivar término a término, obtendremos

0 0

( 1)( )

( 1)

n nn n

n n

nD f x a D x a x

n

(III.6)

esta expresión obtenida es una candidata a constituir una definición de la derivada

fraccionaria de una amplia variedad de funciones, aquéllas que pueden ser

expandidas en serie de Taylor en potencias de x.

escribamos la derivada fraccionaria de xe según

x xD e e (III.7)

Comparemos ahora (III.7) con (III.6) para ver si armonizan. De la serie de Taylor

se sabe que

0

1

!

x n

n

e xn



aplicando (6) se obtiene

0 ( 1)

n

x

n

xD e

n

(III.8)

pero (III.7) y (III.8) no pueden armonizar a menos que α sea un número entero. Si α es

un número entero la parte derecha de (III.8) será la serie de xe , con diferente

indexado. Sin embargo, si α no es un número entero tenemos dos funciones

completamente diferentes. Hemos descubierto una contradicción que históricamente

causó grandes problemas. Tal parece que nuestra expresión (III.1) para la derivada

fraccionaria de la exponencial es inconsistente con nuestra fórmula (III.6) para la

derivada fraccionaria de una potencia.

III.5 Integrales iteradas

Hemos estado tratando con derivadas repetidas. Las integrales también pueden

repetirse. Pudiéramos escribir

1 ( ) ( )D f x f x dx

pero la integral no tiene límites. En lugar de eso, escribiremos

1

0

( ) ( )

x

D f x f t dt , 2

21 1 2

0 0

( ) ( )

tx

D f x f t dt dt

La región de integración es el triángulo de la figura 2. Si intercambiamos el

orden de integración, la parte derecha de la figura 2 muestra que

1

21 2 1

0

( ) ( )

x x

t

D f x f t dt dt



Figura 2: Región de integración para integrales iteradas

Puesto que f(t1) no es función de t2, puede ser extraída de la integral, de manera

que

1

21 2 1 1 1 1

0 0

( ) ( ) ( )( )

x x x

t

D f x f t dt dt f t x t dt

o también

2

0

( ) ( )( )

x

D f x f t x t dt

usando el mismo procedimiento podemos demostrar que

3 2

0

1( ) ( )( )

2

x

D f x f t x t dt 4 3

0

1( ) ( )( )

2 3

x

D f x f t x t dt

y, en general,

1

0

1( ) ( )( )

( 1)!

xn nD f x f t x t dt

n



ahora, como hemos hecho antes, cambiemos n por una arbitraria y el factorial por

la función gamma. Obtenemos

10

1 ( )( )

( ) ( )

xf t

D f x dtx t

(III.9)

a esta integral llegó Liouville, motivo por el cual recibe su nombre.

Esta es una expresión general (usando una integral) para derivadas fraccionarias

que se puede usar como definición. Pero hay un problema. Si 1 la integral es

impropia. Esto ocurre debido a que cuando t x , 0x t . La integral diverge para

toda 0 . Cuando 1 0 , la integral impropia converge, de manera que si es

negativa no hay problemas. Puesto que (III.9) converge sólo para negativa, se trata

entonces de una verdadera integral fraccionaria.

Riemann, siendo estudiante, modifica o generaliza la Integral de Liouville

cambiando el límite 0 por b , dando paso a la Integral de Riemann – Liouville

1

1 ( )( )

( ) ( )

x

b

f tD f x dt

x t

Para 0 (III.10)

Pero, esta expresión sólo permite calcular integrales fraccionarias, no derivadas.

Riemann plantea primero aplicar la Integral fraccionaria y luego derivar de forma

entera, es decir,

( ) ( )n nb x b xD f x D D f x ( ) 1n R



Que significa encontrar la derivada de orden α con los límites de b a x. Ésta

constituye la primera expresión para la derivada fraccionaria de orden real.

Ejemplo.- Se quiere encontrar la derivada de orden α = 6.2

n = [R(6.2)] + 1 = [6.2] + 1 = 7

Por tanto, primero se deriva con orden:

α – n = 6.2 – 7 = -0.8

y luego se deriva con orden entero e igual a 7.

Poco tiempo después Riemann - Liouville cambiaron α por -α y aparece una

nueva definición de la derivada fraccionaria con orden fraccionario positivo

11( ) ( ) ( ) ( )

( )

x

b x b x

b

D f x J f x x t f t dt

α > 0, t > 0

¡La derivada fraccionaria tiene límites, pues resulta de una integral!

Pensamos en la derivada como una propiedad de la función. La derivada

fraccionaria, simbolizada por D incorpora ambas: derivadas ( positiva) e

integrales ( negativa). Las integrales tienen límites. Esto quiere decir que la

derivada fraccionaria tiene también límites.



Cuáles son los límites que trabajarán para la exponencial en (III.1).

1 1x

ax ax axb x

b

D e e dx ea

(III.11)

¿Qué valor de b nos permitirá obtener esa respuesta? Dado que la integral

(III.11) es realmente una integral

1 1x

ax ax ab

b

e dx e ea a

obtendríamos la respuesta que queremos cuando 1

0abea

Esto es así cuando ab . De manera que si a es positivo entonces b . Este

tipo de integral, con el límite inferior de , es denominada derivada fraccionaria de

Weyl. En la notación (III.10) podemos escribir (III.1) como

ax axxD e a e

ahora, qué límites servirán para la derivada de px en (III.5). Tenemos

1 11

1 1

x p pp p

b x

b

x bD x x dx

p p

otra vez queremos 1

01

pb

p



Esto es el caso en que b = 0. Concluimos que (III.5) se debe escribir de una forma

más clara

0

( 1)

( 1)

pp

x

p xD x

p

De manera que la expresión (III.5) para pD x tiene el límite inferior cero

incorporado. Sin embargo, la expresión (III.1) para axD e tiene como límite

inferior.

III.6 Derivada fraccionaria según Grünwald-Letnikov

En 1868, Grünwald-Letnikov dieron otra definición de Derivada Fraccionaria

partiendo de la definición formal de derivada entera.

se conoce que

1

0

( ) ( )( ) lim

h

f x h f xD f x

h

generalizando

0

0

( 1) ( )

( ) lim

nm

n mnh

nf x mh

mD f x

h

donde

!

!( )!

n n

m m n m



sustituyendo n por α y sabiendo que ( 1) !z z

00

( 1)( ) lim ( 1) ( )

! ( 1)

x a

hm

a xh

m

D f x h f x mhm m

para 0

existe otra definición para 0 .

por suerte se puede probar que los resultados de Riemann Liouville y Grunwald-

Letnikov son equivalentes.

III.7 Derivada fraccionaria según Caputo (1967).

Caputo invierte el orden de la derivación en el resultado de Riemann – Liouville

y aparece otra alternativa para la derivada fraccionaria

( )

1

1 ( )( ) ( )

( ) ( )

x nn n

b x nb

f t dtD f t D D f x

n x t

1 ;n n n N

III.8 Media derivada de una función simple

Como hemos visto, se pudiera calcular la derivada de

( ) nf x x



según

( 1)

( 1)

n nd nx x

ndx

Calculemos ahora la derivada de orden 1

2 de ( )f x x , es decir, 1.n

11/ 2 1/ 211/ 22

1/ 2

(1 1) (2) 2

1 3(1 1)

2 2

d xx x x

dx

de manera que

1/ 2

1/ 2

2d xx

dx

obtengamos la primera derivada repitiendo este proceso

1/ 2

1/ 2

3

2 2 21

(1)

d x

dx

era el resultado esperado, es decir,

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2( ) 1

d dx

dx dx



III.9 Derivada fraccionaria de una constante

Pudiéramos encontrar, por ejemplo, la derivada fraccionaria de f(x) = 1.

ya conocemos que ( 1)

( 1)

n nd nx x

ndx

supondremos ( ) nf x x con 0n .

0 0(0 1)( ) (1)

(0 1) (1 )

d d xx x

dx dx

Si se quisiera encontrar, por ejemplo, la derivada de orden 1

2 de ( ) 1f x ,

sería

1/ 2 1/ 2 1/ 21/ 2

1/ 2

(1) 1(1)

1 1(1 ) ( )

2 2

d x xx

xdx

Derivada de una constante C

ahora la derivada de orden 1

2 de C sería

1/ 2 1/ 20

1/ 2 1/ 2( ) (1)

d d CCx C

xd dx



III.10 Transformada de Laplace de la derivada fraccionaria de una función

Las transformadas de Fourier y Laplace, que permiten transformar del dominio

tiempo al dominio frecuencia, pueden ser usadas para obtener generalizaciones de la

derivada válida para funciones que siguen tales transformaciones.

La Transformada de Laplace se define según

0

( ) ( ) ( ) stL f t F s f t e dt

La Transformada Inversa

1 1( ) ( ) ( )

2

jst

j

L F s f t F s e dsj

Una importante propiedad de la Transformada de Laplace se refiere a la n –

ésima derivada de la función f(t).

1

1 ( )

0

( ) ( ) (0)n

n n n i i

i

L D f t s L f t s f

Si las condiciones iniciales son nulas (los términos de la sumatoria son cero) se

obtiene una expresión simple

( ) ( ) ( )n n nL D f t s L f t s F s

generalizando

( ) ( )L D f t s F s



De manera que la derivada generalizada se puede ahora expresar como

1( ) ( ( )D f t L s L f t

un resultado muy interesante, pues aparece una nueva expresión para la derivada

fraccionaria de una función f(t).

Teniendo en cuenta el resultado de la derivada fraccionaria de la exponencial

at atD e a e

se puede comprobar la generalización de la derivada anterior.

Se sabe que

1( ) ( ( )f t L s L f t

por tanto

1

0

1( ) ( ( )

2

jst st

j

D f t D L s L f t D e e dtdsj

0 0

1 1( ) ( )

2 2

j jst st st st

j j

D e e f t dtds s e e f t dtdsj j

1( ) ( ( )D f t L s L f t



Transformada de Laplace de la derivada fraccionaria de una función con

condiciones iniciales no nulas

habíamos escrito

1

1 ( )

0

( ) ( ) (0)n

n n n i i

i

L D f t s L f t s f

Generalizando este resultado para cualquier orden 0 . Sea m el menor

número natural mayor o igual a α.

11 ( )

1 0

( ) ( ( )) ( ( )) ( )m

m m m m m i i m

i t

L D f t L D D f t s D f t s D D f t

1 1( ) 1 ( ) 1 ( )

1 1

( ) (0) ( ) (0)m m

m m m i i m m i i m

i i

s s F s s D f s F s s D f

finalmente

11 ( )

1

( ) ( ) (0)m

m i i m

i

L D f t s F s s D f

Con este resultado se pueden generalizar los teoremas del valor inicial y final

1(0) lim ( )s

f s F s

Re( ) 0s

1

0(0) lim ( )

sf s F s

Re( ) 0s



III.11 Transformada fraccionaria de Fourier

Se conoce que la transformada entera de Fourier tiene la forma

( ) ( ) ( )j tF f t F e f t dt

y la Transformada inversa

1 ( ) ( )j tF F e F d

esta transformada tiene una propiedad análoga para la n – ésima derivada

( ) ( ) ( )n nF D f t j F f t

Y la derivada puede generalizarse, de manera que esta propiedad se mantiene

para un cierto orden no entero m . Entonces

( ) ( ) ( )F D f t j F f t

por tanto aparece una nueva definición de derivada fraccionaria

1( ) ( ) ( )D f t F j F f t

Se pudiera demostrar esta nueva definición de la Derivada Fraccionaria de la

misma forma que con la transformada de Laplace.



En estas dos generalizaciones se pueden determinar los límites de la derivada.

En el caso de la Transformada de Laplace se trata de una derivada generalizada de

Riemann – Liouville con el límite inferior 0. Mientras en el caso de la transformada de

Fourier se trata de una derivada fraccionaria de Weyl.

III.12 Convolución

Lo visto hasta ahora sugiere que la derivada fraccionaria sea formulada en

términos de convolución. El siguiente desarrollo muestra cómo, después de todo, la

derivada fraccionaria de una función es su convolución con cierta función

1

( )( )

xx

La convolución de Laplace de esta función con f(x) nos resulta la derivada de

Liouville de orden α.

1

0 0

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

x xx t

x f x x t f t dt f t dt D f x

Esto permite encontrar resultados de forma muy simple. Por ejemplo, si se

quiere encontrar

1

( 1)( )L t

s

1

( )( )

tL t L s



y, como la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones es el

producto de las transformadas de Laplace de estas dos funciones, en el caso de que

f(x) cumple los requerimientos conocidos, pudiéramos encontrar, de otra forma, la

expresión de la derivada fraccionaria de una función f(x).

1

0 0

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

x xx t

x f x x t f t dt f t dt D f x

entonces la transformada de la función ( )x

1

( 1)( )L x

t

1

( )( )

xL x L t

III.13 Fórmula Integral de Cauchy

A través de la Fórmula Integral de Cauchy también se puede arribar a la

Derivada Fraccionaria, pues ésta permite realizar integraciones sucesivas.

1,

1( ) ( ) ( )

( 1)!

tn

a n

a

F t t f dn

1;t a n

La Fórmula de Cauchy es una integral de Convolución donde el núcleo de la

convolución es

1

( )( 1)!

n

n

tt

n



1, ,

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 1)!

tn

a n a n

a

F t t f t t f dn

generalizando, si 0 se puede definir

1

0

1( ) ( ) ( )

( )

t

D f t t f d



CAPITULO IV

Ecuación de Calor de Orden Fraccional

IV.1.- Introducción

La complejidad asociada a los procesos de transferencia de calor en una gran

variedad de sistemas, se asocia a interacciones complejas y medios parcial o

totalmente heterogéneos, lo que implica un proceso de difusión térmica no ideal

asociada a procesos de difusión anómala.

Actualmente el fenómeno de difusión anómala es observado en baños caóticos

del calor, la difusión a través de los materiales porosos, los semiconductores amorfos,

la dinámica de la partícula dentro de una red polimérica, entre muchas otras

disciplinas. Investigadores han propuesto modelos basados en formas lineales y no

lineales de ecuaciones diferenciales. Tales modelos pueden simular la difusión

anómala pero no reflejan su comportamiento verdadero.

El objetivo en el presente trabajo es obtener una expresión de la ecuación de

difusión de calor de orden fraccional con el propósito de modelar y simular procesos

de difusión anómala y de esta forma cubrir el espectro completo del comportamiento

del transporte térmico, es decir, efectos relacionados con modelos basados en

ecuaciones clásicas como Fourier y no-Fourier (Espinosa-Paredes G., Espinosa-

Martínez, E.-G., 2009).



El tratamiento del transporte de energía térmica como producto de un proceso

de difusión calor basado en ecuaciones clásicas solamente es validado para limitados

procesos que comprenden comportamientos simples, o en su caso idealizados, por lo

que para predecir las distribuciones de perfiles de temperatura para procesos en los

que los sistemas son complejos, fallan.

IV.2 Ecuación de calor fraccional

Se pretenden identificar algunos fenómenos anómalos de la difusión debido a la

configuración altamente heterogénea en algunos sistemas, planteando un modelo

fraccionario de difusión de calor. El modelo fraccionario de la difusión desarrollado

en este trabajo puede ser aplicado para diferentes configuraciones donde los sistemas

no cumplan con el comportamiento del uso de las ecuaciones clásicas de la difusión.

En el capítulo II hemos analizado la ecuación de difusión clásica basada en la ley

de Fourier (Ec. II.1), sin embargo, estas ideas pueden ser extendidas aplicando

herramientas del cálculo fraccionario.

Tomando las consideraciones antes mencionadas con respectos a los sistemas

heterogéneos, se presenta la ecuación parcial de difusión térmica de orden fraccional

en el operador diferencial temporal en estado transitorio unidimensional

2

2( , ) ( , ) ,

C

p

qu x t K u x t

Ct x

0,t x R (IV.1)



donde u(x,t) es la variable del campo (la densidad de la probabilidad de dislocaciones

difusivas x en un tiempo t), C

t

es el derivado fraccionario temporal, es el

operador de orden fraccional, K es un coeficiente de difusión (anómala)

generalizada [m2/sα].

Con respecto Ec. (IV.1) podemos observar que obtenemos la ecuación de tipo

parabólica de difusión clásica para 1 , por otra parte en el caso en que 2 se

reproduce la ecuación de onda.

IV.3 Sub-difusión y súper-difusión

En un proceso de transferencia de energía térmica como en tantos otros, los

fenómenos físicos tanto a nivel microscópico como macroscópico son de gran

relevancia para el entendimiento pleno del fenómeno, sin embargo la complejidad

asociada a fenómenos moleculares hasta cierto punto no son totalmente

comprendidos, por lo que en este caso asumimos las variaciones del parámetro a en el

intervalo 0 2 .

De tal modo podemos analizar el comportamiento del parámetro a en Ec. (IV.1),

notando un proceso de la relajación cuando 0 1 , en este caso podemos hablar de

que el proceso es considerado sub-difusivo. Para cuando se encuentra dentro del

intervalo 1 2 se observa un proceso de la oscilación y relajación considerado en

este caso un proceso súper-difusivo.



IV.4 Sistemas coordenados

Hemos presentado la ecuación de difusión de calor de orden fraccional en

estado transitorio en la Ec. (IV.1), sin embargo, esta idea se puede extender de manera

análoga a los sistemas coordenados cilíndricos y esféricos de la ecuación de difusión

Ecs. (II.3b, II.3c), con objeto de presentar para estos sistemas coordenados la ecuación

de orden fraccional correspondiente y de esta forma tener un panorama más amplio

en cuanto a los sistemas de estudio.

Coordenadas cilíndricas:

2 2 2

2 2 2 2

1 1

p

u u u u u qK

r r Ct r r z

(IV.1b)

Coordenadas esféricas:

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1

p

u u u qK ru sen

r Ct r r sen r sen

(IV.1c)

De la misma forma que con la ecuación (IV.1), la variable de campo es (u) como

función del las variables espaciales y el tiempo, C

t

es el derivado fraccionario

temporal, es el operador de orden fraccional, K es un coeficiente de difusión

(anómala) generalizado /m s .



CAPITULO V

Análisis Numérico

V.1.- Introducción

En esta sección consideramos la ecuación diferencial parcial fraccionaria en la

forma siguiente

2

2( , ) ( , ),

C

T x t K T x tt x

0,t x R (V.1)

Con respecto Ec. (V.1) obtenemos la ecuación clásica de la difusión para 1 , la

ecuación del traspaso térmico. Por otra parte si 2 , se reproduce la ecuación de

onda. Por lo tanto asumimos las variaciones del parámetro en el intervalo 0 2 .

Analizamos el comportamiento del parámetro en Ec. (V.1) notando un

proceso de sub-difusión cuando 0 1 . Si 1 2 notamos un proceso súper-

difusión.

El cálculo fraccionario implica diversas definiciones del operador fraccionario

como el derivado fraccionario de Riemann-Liouville, el derivado de Caputo, el

derivado de Grünwald-Letnikov, el derivado de Riesz y también el derivado de

Weyl-Marchaud (Podlubny, 1999).



Introducimos la definición del operador 0

CD

como el derivado de Caputo

(1967) y para N tenemos

1

1

0

0

( )1

( ) ( )( 1 ) ( )

m

C mC

mD d

m

(V.2)

donde m , y denota la parte entera de .

y donde el operador 0 D

define en derivado fraccionario en el sentido de Riemann-

Liouville como

1

0 10

1 ( )( ) ( )

( 1 ) ( )

m

m mD d

m

(V.3)

El modelo matemático basado en la difusión anómala conduce a las ecuaciones

diferenciales de orden fraccionario y a la necesidad de la formulación de condiciones

iníciales a estas ecuaciones. Para la ecuación estándar de la difusión ( 1 ), que es la

ecuación en la forma parabólica, una función inicial es suficiente, mientras que para la

ecuación de onda ( 2 ) se agrega una más, que es la ecuación en la forma

hiperbólica, el derivado en función del tiempo. En el fraccionario intermedio

(1 2 ), necesitamos dos funciones iníciales como en el caso de 2 .

El problema de condiciones iníciales se soluciona matemáticamente, pero estas

soluciones son inútiles prácticamente en el sentido del derivado de Riemann-

Liouville. Caputo que propuso la definición (V.2) permite las condiciones iníciales de

la misma forma que para las ecuaciones diferenciales de orden entero. Según el



cálculo fraccionario (Podlubny, 1999) entre el derivado de Caputo y los derivados de

Riemann-Liouville se expresa de la siguiente forma

0 0

0

( ) ( ) (0 )( 1)

k kmC

kk

D Dk

(V.4)

Aquí consideramos Ec. (V.1) en el dominio 1D : 0 x L con condiciones de

valores en la frontera de primera clase (condiciones de Dirichlet) como

0 :

:

x

x L

0(0, ) ( )

( , ) ( )L

T t g t

T L t g t

0t (V.5)

y condiciones iníciales

00

10

( , ) ( )

( , ) ( )

t

t

T x t p x

T x t p xt

, para 1 2 (V.6)

Para condiciones de valores en la frontera de otras clases (Von Neumann) se

permite que se trate la ecuación parcial fraccionaria de la manera similar como para

las ecuaciones clásicas que implican el segundo derivado espacial.

IV.2 Algoritmos Numéricos

En esta sección nos concentramos en la descripción de los métodos numéricos

usados para la solución de Ec. (V.1). En un problema de valores iníciales en los que

definimos dos clases de rejillas: espacial y temporal.



dividimos el dominio espacial 0, L en el acoplamiento uniforme con 1N

nodos,

xi ih para 0,...,i N

donde L

hN

El intervalo de tiempo 0, T se divide en F sub-intervalos donde cada uno es

igual a

Tt=

F

y los nodos de tiempo

tf = ft para f = 0,…,F.

V.3 Formas discretas de derivados fraccionarios

En esta sección consideramos la definición del derivado fraccionario en el

sentido de Grünwald-Letnikov (Spanier y Oldham, 1974) introducido en la sección

III, considerando la notación de este apartado

00

0

( ) lim ( ) ( 1) ( )t

GL j

tj

D t j tj

(V.7)

La definición del operador en el sentido de Grünwald-Letnikov (V.7) es

equivalente a la definición del operador en el sentido de Riemann-Liouville. Sin

embargo el operador de Grünwald-Letnikov es más flexible y directo en cálculos

numéricos.



Se aproximan al operador de Grünwald-Letnikov (V.7) dentro del intervalo [0,

τ] con un sub-intervalo t como:

( )0

0

( ) ( )t

GLj

j

D C j t

(V.8)

donde ( )

jC son los coeficientes de Grünwald-Letnikov definidos como

( )( ) ( 1) j

jC tj

para j=0,1,…. (V.9)

usando la relación ( )0 ( )C t

( ) ( )1

1( ) 1j jC t C

j

para j=1,2… (V.10)

se pueden de esta forma calcular de una manera simple dichos coeficientes. Para j = 1

tenemos que

( )1 ( )C t

Debe ser observado que el derivado fraccionario es representado por la suma

cargada sobre la serie.



V.4 Método de diferencias finitas

Considerando la Ec. (V.1), asumimos m = [α], e introduciendo las condiciones

iníciales (V.6), de esta manera podemos determinar directamente los valores de la

función T al inicio del paso del tiempo t = tf para f = 0,…,m para cada nodo xi y para

i = 1,..., N -1

0 0( , ) ( )iT x t p ih

1 0 1( , ) ( ) ( )iT x t p ih t p ih para m=1 (V.11)

Las condiciones límite de primera clase (V.5) se utilizan directamente para los

valores en los nodos límite (al primer y al último nodo) x0 y xN en cada momentos del

tiempo t = tf para f = 0,..., F

0 0( , ) ( )fT x t g f t

( , ) ( )N f LT x t g f t (V.12)

Usando expresión clásica para la derivada de segundo orden en el espacio,

ocurre que en el lado derecho de la Ec. (V.1) obtenemos

21 1

2 2

( , ) 2 ( , ) ( , )( , )

i

i i i

x x

T x t T x t T x tu x t

x h

(V.13)

Mientras que del lado izquierdo de Ec. (V.1) en cada momentos del tiempo t = tf

para 1,...,f m F , se substituye por el esquema diferencial fraccionario (V.8) que

incluyen las condiciones iníciales (V.6). Entonces tenemos



( )

0 0

( , ) ( , ) ( )1

f

i

kt tf m

f

i f j k ij

j kx x

tT x t C T x t p x

kt

(V.14)

escribimos ahora la Ec. (V.14) asumiendo un esquema explícito del tiempo 1ft t .

al sustituir (V.13) y (V.14) en la Ec. (V.1) obtenemos

1 1 1 1 1( )

20 0

( , ) 2 ( , ) ( , )( , ) ( )

1

kf m

f i f i f i fi f j k ij

j k

t T x t T x t T x tC T x t p x k

k h

(V.15)

al denotar ( , )f

i fiT T x t y , ( )k i k ip p x escribimos la Ec. (V.15) en la forma

( ) 1 1 1, 1 12

0 0

21

kf m

ff j f f fk ij i ii i

j k

t kC T p T T T

k h

(V.16)

desintegrando parcialmente en términos la primera suma en la Ec. (V.16) obtenemos

1 ( ) 1 1 1, 1 12

2 0

21

kf m

ff f f j f f fk ii i j i ii i

j k

t kt T T C T p T T T

k h

(V.17)

realizando algunos pasos algebraicos y reagrupando términos, finalmente tenemos



1 1 1 ( ),1 12 2

2 0

21

kf m

ff f f f f jk ii i j ii i

j k

tk kT t T T T C T p

kh ht

(V.18)

él coeficiente que del término 1f

iT debe ser positivo para asegurar la estabilidad

esquema explícito y por lo tanto obtenemos

22 0

kt

ht

(V.19)

por lo que

12

2

ht

k

(V.20)

Hasta aquí el desarrollo del método numérico para la solución del modelo

fraccional.

V.5 Validación en coordenadas cartesianas

En la sección previa se presento la ecuación de difusión de energía térmica de

orden fraccional (V.1), así como la solución numérica para este modelo (V.18), con el

objetivo llevar a cabo una validación de dicho modelo se presenta el problema clásico

unidimensional de transferencia de calor en coordenadas cartesianas de la siguiente

forma

2

2( , ) ( , ),T x t T x t

t x

0,t x R (V.21)



Considerando condiciones de frontera e inicial como:

C.F.1 (0, ) 0T t en 0x x (V.22)

C.F.2 ( , ) 0T L t en Rx x (V.23)

C.I. ( ,0) ( )T x f x en 0t (V.24)

Resultando como solución analítica (Zill 1997):

2 2

2

1 0

2, ( )

ntL

L

n

n nu x t f x sen xdx e sen x

L L L

(V.25)

Al considerar condiciones de frontera homogéneas y como condición inicial una

función ( )f x .

En esta sección presentamos la validación del modelo de difusión de orden

fraccional, al realizar la comparación entre la solución analítica del problema clásico y

la solución numérica para el modelo fraccional cuando el coeficiente fraccional 1 y

de esta forma recuperar la solución al problema (V.21).

En el caso particular en que ( ,0) 100T x , L , 1 y condiciones a la frontera

homogéneas, se muestra a continuación el grafico resultante de la ecuación de

difusión de calor



Figura 3. Grafica de la solución analítica al problema de difusión térmica V.22,

(Zill 1997).

A continuación presentamos la solución numérica al problema de difusión

térmica de orden fraccional (V.1) considerando en este caso el coeficiente fraccional

1 , considerando de igual forma un caso particular en el que

( ,0) 100T x , L , 1K .

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3

x

U(x,t)

t= 0.05

t= 0.35

t= 0.6

t= 1.0

t= 1.5

Figura 4. Solución numérica del modelo fraccional



Se lleva acabo la comparación entre el grafico 3 y 4 con el objetivo de realizar un

comparativo entre la solución analítica y la solución numérica, y de esta forma

realizar la validación del modelo de orden fracciona

Por lo que al considerar las mismas condiciones iníciales y de frontera, además

de la difusión térmica y anómala iguales, los resultados son reproducidos por la

solución del modelo fraccional cuando el coeficiente fraccional (α) es igual a 1

V.6 Simulación numérica

En base con el algoritmo desarrollado en función del modelo fraccional de

difusión de calor, son presentados algunos ejemplos de simulación de difusión

anómala. Las figuras (6-9) muestran los cálculos hechos para diversos valores del

coeficiente fraccional para el problema (V.1), considerando (α) iguales a 0.75, 1.25,

1.5, 1.75.

Considerando L=10 como dominio espacial, y un tiempo comprendido entre 0 y

2 segundos de simulación, coeficiente de difusión anómala Kα=1, condiciones

iníciales p0(x) = 0, p1(x)= 0 y valores constantes para las condiciones de frontera g0(t) =

40, gL(t) = 20 para cualquier tiempo.



α = 0.75

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10

x (m)

u (

°C)

t= 0.001

t= 0.01

t= 0.05

t= 0.1

t= 0.2

t= 2


α = 1.25

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10

x (m)

u (

°C)

t= 0.01

t= 0.05

t= 0.15

t= 0.25

t= 0.4

t= 2




α = 1.5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 2 4 6 8 10

x (m)

u (

°C)

t= 0.05

t= 0.15

t= 0.25

t= 0.4

t= 0.7

t= 2


α = 1.75

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10

Distancia radial (cm)

U (

ªC

)

t= 0.05

t= 0.15

t= 0.25

t= 0.4

t= 0.7

t= 2


Aquí presentamos la difusión de calor en función de la posición para diferentes

tiempos en los que esta se lleva a cabo, mostrando un proceso sub-difusivo en el

grafico de la figura No.5, y procesos súper-difusivos para los gráficos mostrados en

las figuras 6, 7, y 8.



CAPITULO VI

Transferencia de Calor en un Elemento Combustible

de un Reactor Nuclear (PBMR)

VI.1 Introducción

En esta sección presentamos la ecuación de difusión de calor de orden

fraccional temporal en el espacio unidimensional en coordenadas esféricas, con el

objetivo de analizar la transferencia de calor entre el combustible y refrigerante en un

elemento de combustible de un reactor PBMR (Pebble Bed Modular Reactor) por sus

siglas en ingles. Como motivación de considerar la transferencia de calor en este

medio como heterogénea y de esta manera extender la teoría clásica de difusión

térmica a un modelo fraccional, Muchos investigadores han propuesto análisis

basados en dinámica de fluidos computacional (Guardoa y otros, 2006; Jung y otros,

2007; Logtenberg y Nijemeisland, 1999) entre otros, obteniendo resultados de

simulación, sin embargo todos basados en teorías de difusión clásicas.

VI.2 Descripción del sistema

El análisis es realizado en un reactor (PBMR) como el que actualmente está

siendo desarrollado en colaboración con Sudáfrica (PBMR Ltd., 2000). El sistema

consiste en un núcleo anular como reflector de grafito que aloja en su interior

elementos esféricos de combustible, cada uno lleno con alrededor de 15 000 partículas



recubiertas de uranio que contiene el grafito incrustado en una matriz. El lecho de

esferas es de unos 11m de alto y se extiende radialmente desde 100 a 185cm como se

ilustra en las figuras 9 y 10 (Druska y otros, 2009).

Figura 10. Sección vertical del núcleo del PBMR (Venter y Mitchell, 2007).



El núcleo de helio se enfría a una presión de casi el 90 bar. Se entra en el núcleo

de la parte superior con una temperatura de alrededor de 500 °C y el núcleo en la

parte inferior después de haber sido calentada hasta aproximadamente 750-950 ◦ C.

Figure 10. Sección horizontal del núcleo del PBMR (Venter y Mitchell, 2007).

La unidad de combustible en la PBMR es una microesfera como se ilustra en la

Figura 11, que tiene en su centro un núcleo formado por alrededor de 1 mg de óxido

de uranio al 8% de U235 enriquecido. El núcleo está rodeado por una capa porosa de

carbono que puede absorber los gases, así como el calor, y una capa de carburo de

silicio, uno de los materiales más duros conocidos, para soportar altas presiones así

como altas temperaturas. La microesfera no es un equipo autónomo de reactor (no



hay suficiente uranio, entre otras razones), pero es la intención de ser un equipo

autónomo de estructura para el confinamiento de presión y temperatura y los gases

generados por la fisión

Una esfera del combustible PBMR se compone de entre 15000 y 100000

microesferas contenidas en una esfera de 60mm de diámetro aproximadamente,

ligeramente más pequeño que una pelota de tenis.

Figura 11. Esquema del elemento combustible y microesfera

Nuestro objetivo inmediato es establecer un modelo que represente la

temperatura radial durante el estado transitorio considerando la ecuación de difusión

de calor de orden fraccional y de esta forma validar la aproximación numérica. El

perfil de las temperaturas del elemento combustible se determina en función de la

temperatura del refrigerante y en términos de las condiciones de entrada del mismo,

así como del nivel de la fuente de calor en el interior del elemento.



VI.3 Modelo de orden fraccional

La formulación de la transferencia de calor se basa en las siguientes

suposiciones fundamentales:

Las variaciones de transferencia de calor se realizan únicamente en la dirección

radial de manera simétrica.

La tasa de generación de calor volumétrico en el combustible es constante.

Considerando un elemento esférico de combustible de radio R y bajo las

suposiciones anteriormente mencionadas se considera la ecuación (IV.1c) únicamente

en la dirección radial, la cual expresa de esta manera la difusión transitoria térmica de

orden fraccional en el combustible, no considerando la fuente de generación de calor

dentro del elemento esférico como primera aproximación.

2

2

2

p

KT T T qK

r r Ct r

(VI.1)

considerando condiciones de frontera:

C.F.1 0

(0, )r

T t T en 0r r (VI.2)

C.F.2 ( , )Rr

T R t T en Rr r (VI.3)

e iniciales

C.I.1 1( ,0) ( )T r T r en 0t (VI.4)



y para el caso en que 1 2 es necesaria otra condición inicial como par el caso de

la ecuación de onda.

C.I.2 2( ,0) ( )

dTr T r

dr en 0t (VI.5)

donde, r es la coordenada esférica radial, r0 es el punto central del combustible, y rR es

el radio hasta el encamisado del combustible.

De esta manera se establece un primer modelo fraccional para la distribución de

temperaturas en estado transitorio para un elemento combustible de un reactor

PBMR, como consecuencia de considerar al sistema altamente heterogéneo y una

fenomenología de proceso aun más compleja.

VI.4 Solución numérica

En esta sección consideraremos el problema planteado en las ecuaciones (V.1-

V.5), donde análogamente a lo realizado en el capitulo V se realiza el análisis

numérico para la ecuación de calor de orden fraccional, considerando en esta sección

coordenadas esféricas.

Dividimos el dominio espacial Ω= [0,R] en el acoplamiento uniforme con N+1

nodos,

ri = ih para i = 0,…,N

donde h = R/N.



El intervalo de tiempo [0, T] se divide en F sub-intervalos donde cada uno es

igual a

t = T/F

y los nodos de tiempo tf = ft para f = 0,…,F.

De la misma forma consideramos la definición del derivado fraccionario en el

sentido de Grünwald-Letnikov introducido en la sección III

00

0

( ) lim ( ) ( 1) ( )t

GL j

tj

D t j tj

(VI.6)

Se aproximan al operador de Grünwald-Letnikov (VI.6) dentro del intervalo [0,

τ] con un sub-intervalo t como:

( )0

0

( ) ( )t

GLj

j

D C j t

(VI.7)

donde ( )

jC son los coeficientes de Grünwald-Letnikov definidos como

( )( ) ( 1) j

jC tj

para j=0,1,…. (VI.8)

usando la relación

( )0 ( )C t

( ) ( )1

1( ) 1j jC t C

j

para j=1,2… (VI.9)



se pueden de esta forma calcular de una manera simple dichos coeficientes. Para j = 1

tenemos que

( )1 ( )C t

Asumiendo m = [α], e introduciendo las condiciones iníciales, podemos

determinar directamente los valores de la función T al inicio del paso del tiempo t = tf

para f = 0,…,m para cada nodo ri y para i = 1,…, N -1

0 0( , ) ( )iT r t T ih

1 0 1( , ) ( ) ( )iT r t T ih t T ih para m=1 (VI.10)

Las condiciones límite se utilizan directamente para los valores en los nodos

límite (al primer y al último nodo) r0 y rR en cada momentos del tiempo t = tf para f =

0,...,F

0 0( , ) ( )fT r t T f t

( , ) ( )N f LT r t T f t (VI.11)

Usando expresión clásica para la derivada de primer y segundo orden en el

espacio, ocurre que en el lado derecho de la Ec. (VI.1) obtenemos

12 2 ( , ) ( , )( , )

i

i i

ir r

K K T r t T r tT r t

r r r h

(VI.12)

21 1

2 2

( , ) 2 ( , ) ( , )( , )

i

i i i

r r

T r t T r t T r tK T r t K

r h

(VI.13)



Mientras que del lado izquierdo de Ec. (V.1) en cada momentos del tiempo t = tf

para f = m+1,...,F se substituye por el esquema diferencial fraccionario (VI.7) que

incluyen las condiciones iníciales. Entonces tenemos

( )

0 0

( , ) ( , ) ( )1

f

i

kt tf m

f

i f j k ij

j kx x

tT x t C T x t T x

kt

(VI.14)

rescribiendo la Ec. (VI.1) como

( )

0 0

( , ) ( )1

kf m

f

i f j k ij

j k

tC T r t T r

k

1 1 1

2

( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )2i f i f i f i f i f

i p i

T r t T r t T r t T r t T r tK qK

r h Ch

(VI.15)

asumiendo un esquema explícito del tiempo 1ft t , y denotando ( , )f

i fiT T r t y

, ( )k i k ip p r escribimos la Ec. (V.15) en la forma

( )

0 0

( )1

kf m

ff jk ij i

j k

tC T T r

k

1 1 1 1 11 1 1

2

2 2f f f f f

i ii i i

i p i

T T T T TK qK

r h Ch

(VI.16)



Desintegrando parcialmente en términos la primera suma en la Ec. (V.16)

obtenemos

1 ( )

2 0

( )1

kf m

ff f f jk ii i j i

j k

tt T T C T T r

k

1 1 1 1 11 1 1

2

2 2f f f f f

i ii i i

i p i

T T T T TK qK

r h Ch

(VI.17)

Realizando algunos pasos algebraicos y reagrupando términos, finalmente

tenemos

1 1 11 12 2 2

2 2 2 2f f f fi ii i

i i

K K K K K KT t T T T

r h r hh h t h

( )

2 0

( )1

kf m

ff jk ij i

pj k i

t qC T T r

k C

(VI.18)

VI.5 Validación en coordenadas esféricas

En esta sección se presenta la validación modelo de transferencia de calor de

orden fraccional en coordenadas esféricas, geometría característica del elemento

combustible que se analiza.

La validación de dicho modelo se realiza haciendo la comparación entre la

solución analítica de la ecuación de la difusión en coordenadas esféricas y los

aproximación numérica desarrollada anteriormente.



donde la solución analítica al problema (VI.1) está dada por (Carslaw y Jaeger 2003):

2 2

21

0

1

2 ( 1),

ntn

RR R

n

R nT r t T T T sen r e

r n R

(VI.18)

no considerando en este caso una fuente de calor 0q .

En la aproximación numérica Ec. (VI.18) se considera el coeficiente fraccional

1 , lo que implica la solución al problema clásico de difusión térmica. En la Figura

No. 12 se muestra la solución analítica y la aproximación numérica con 1 ,

considerando en ambos casos el coeficiente de difusión y el coeficiente de difusión

anómala como la unidad, en ambos casos las condiciones de frontera fueron

constantes (0, ) 1000T t C , ( , ) 500T R t , y a la condición inicial ( ,0) 0T r .

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5

Distancia Radial(cm)

Te

mp

era

tura

(°C

)

Solucón Analítica Aproximación numérica

Figura 12. Validación entre la solución analítica y la aproximación numérica 1 .



La aproximación numérica en relación a la solución analítica muestra una

pequeña desviación, la simulación para la validación se realiza tomando en cuenta

otro paso en el espacio temporal /h R N . Y los resultados son presentados a

continuación

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0 1 2 3 4 5

Erro

r re

lati

vo

Dis tancia radial(cm)

h=0.3

h=0.1

Figura 13. Error relativo entre la solución analítica y la aproximación numérica 1 .

La tendencia de la solución para el modelo fraccional mostrada en la Fig.12

tiende a la solución analítica, sin embargo como se menciono con anterioridad hay

una cierta variación entre ambas, la Fig. 13 muestra que hay un menor margen de

error para un paso temporal de 0.1h , en este caso menor a un 11% como desviación

máxima.



VI.6 Simulación de transferencia térmica en un el elemento combustible

En esta sección se presenta la simulación y el análisis de la difusión térmica en

un elemento combustible considerando el modelo fraccional desarrollado en la

sección VI.4, basados en la descripción del sistema además de considerar nuevos

parámetros necesarios para dicha simulación.

Los parámetros del núcleo del reactor y de los elementos esféricos de

combustible son dados en la tabla No. 1, donde la región en el interior de elemento

combustible es considerada como la composición de una mezcla de dos medios. El

medio que es representado por el combustible caracterizado por su densidad f y

calor especifico fCp . De manera similar el medio que representa a la matiz de grafito

caracterizado por g y gCp , considerados en este caso como constantes.

Parámetros PBMR

Potencia térmica 400 MW

Numero de esferas 451000

Diámetro de la esfera 0.06 m

Diámetro de la

microesfera 1 mm

f

Cp 3050656 J/m3K

g

Cp 2957500 J/m3K

Tabla 1. Parámetros del reactor y la esfera de combustible (Jung y otros, 2007).



En este caso la generación de calor por unidad de volumen es modelada en el

interior de la matriz, donde las partículas de combustible son mezcladas con el

grafito, por lo que puede ser avaluado de la siguiente manera.

q Potencia térmica del reactor/ Volumen total de combustible

En base al algoritmo generado por la aproximación numérica la simulación del

elemento combustible es presentada en esta sección, considerando al sistema como

altamente heterogéneo, lo que implica un proceso de difusión anómala.

LA figura No. 14 muestra diferentes procesos de difusión anómala en función

de la distancia radial, procesos representados por la variación del parámetro para

(0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8).

En este caso se asume un dominio especial de R =6 cm distancia característica

del elemento esférico combustible, un coeficiente de difusión anómala 1K 2 /m s ,

condiciones iníciales ( ,0) 0T r , 0dT

dt constantes en el espacio y condiciones de

frontera (0, ) 1500T t C , ( , ) 500T R t .



0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 1 2 3 4 5 6

Te

mp

erra

tura

(°C

)

Dis tanc ia radial (c m)

σ = 0.4

σ = 0.6

σ = 0.8

σ = 1.0

σ = 1.2

σ = 1.4

σ = 1.6

σ = 1.8

Figure 14. Procesos de difusión anómala para 3 seg. de simulación en un

elemento de combustible.

El grafico presentado en la figura 14, muestra los procesos de difusión de calor

en el interior del elemento combustible, la simulación se realizo para procesos de

sub-difusión y súper- difusión haciendo variar el coeficiente fraccional para cada uno

de los procesos, el proceso de difusión clásica basada en la ley de Fourier se

representa en el modelo de orden fraccional en el momento en que 1 ,el cual es

tomado como base para el análisis de los procesos de difusión anómala.

En este caso los procesos sub-difusivos ( 1) muestran la misma tendencia

que el proceso de difusión clásica, sin embargo se puede observar en dicho

comportamiento un proceso de relajación para un tiempo dado, en función de la

distancia radial de transferencia de calor.



Al identificar los procesos súper-difusivos ( 1) en el grafico mostrado, el

comportamiento también es muy similar, exceptuando aquel que se encuentra al

limite de ( 2) , en este caso ( 1.8) mostrando un proceso de acumulación en los

primeros instantes del proceso de transferencia de energía térmica.

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3

Te

mpe

rra

tura

(°

C)

Tiemp o (s)

α = 0.4

α= 0.6

α= 0.8

α= 1.0

α = 1.2

α = 1.4

α = 1.6

α = 1.8

Figure 15. Procesos de difusión anómala para r = 3.0 cm en un elemento

combustible.

La figura 15 muestra los procesos de difusión anómala en función del tiempo

para una determinada posición (r = 3 cm) en el dominio espacial. En este caso como

base del análisis consideraremos de igual forma el proceso de difusión clásica en el

modelo fraccional ( 1) , mostrando al inicio del proceso una tendencia lineal, al

considerar los procesos sub-difusivos ( 1) , estos muestran al inicio de dicho

proceso un gradiente de temperatura mayor, sin embargo al paso del tiempo se

observa que estos gradientes disminuyen en comparación al mismo.



Al considerar procesos de súper-difusión ( 1) se puede observar que los

gradientes al inicio del proceso son pequeños en comparación con el proceso clásico,

mientras que al paso del tiempo estos gradientes se incrementan de manera

considerable al incrementarse el orden fraccional del proceso ( ) , es decir a medida

que el proceso se vuelve mas súper-difusivo.

Considerando los principios básicos y los mecanismos por los cuales se lleva

acabo la transferencia de energía térmica, podemos hacer mención de algunas

hipótesis que surgen hasta este momento como consecuencia de los resultados y

análisis obtenidos de la simulación al sistema de estudio. Al considerar los

mecanismos físicos de conducción de energía térmica en este sistema, la situación es

considerablemente mas compleja, ya que las moléculas están más próximas y el

campo de fuerzas moleculares ejerce una gran influencia en el intercambio de energía

en el proceso de colisionar y de esta forma trasferir energía mediante vibración de

red y transporte de electrones libres para cada una de las características propias del

sistema en función del espacio y tiempo.

El modelo fraccional de difusión de energía térmica esta basado en el operador

diferencial temporal, de esta forma al considerar los mecanismos de transferencia de

calor podemos decir que a nivel molecular los procesos son propios del sistema en

un instante dado. Por lo que se perciben dos comportamientos de acuerdo al tipo de

proceso de difusión.

En lo que respecta a los procesos sub-difusivos se plantea la hipótesis de un

término de relajación al considerar un reacomodo molecular, característica física

propia del sistema en cuestión, considerado en este caso como un reacomodo

molecular lento por lo que la transferencia de calor se lleva acabo de forma



discontinua reflejo de un gradiente de temperatura menor. Sin embargo al considerar

un proceso de transferencia de calor súper-difusivo se considera un reacomodo

molecular de una manera más rápida observando gradientes de temperatura mayores

y como consecuencia directa de esto una rapidez de propagación de energía térmica

mayor mostrando términos de acumulación.

Como se menciono anteriormente la hipótesis fundamental para esta

implementación del modelo fraccional fue considerar al sistema de estudio, en este

caso el elemento combustible como un sistema altamente heterogéneo, en donde se

presentan procesos de transferencia de calor sub-difusivos. A continuación se

presentan los resultados de simulación para un proceso sub-difusivo ( 0.8) , con el

fin de realizar un análisis en función de las propiedades del sistema.

0

500

1000

1500

2000

0 1 2 3 4 5 6

Te

mp

era

tura

(°C

)

Distancia radial (cm)

Kα = 0.0005

Kα = 0.005

Kα = 0.1

Kα = 0.2

Kα = 0.4

Kα = 0.6

Kα= 0.8

Kα = 1.0

Figure 16. Proceso sub-difusivo ( 0.8) para diferentes coeficientes de difusión

anómala.



La figura 16 muestra un proceso sub-difusivo ( 0.8) en función de la

distancia radial para diferentes coeficientes de difusión anómala con fin de mostrar

aquella relación entre el proceso difusivo, en este caso sub-difusivo y las propiedades

del sistema en el que este ocurre, donde para Kα < 0.005 el proceso obedece el mismo

comportamiento.



CONCLUSIONES

En este trabajo se presentó la ecuación de difusión térmica de orden fraccional

para describir los procesos de difusión térmica anómala en estado transitorio, la cual

representa los procesos sub-difusivos y súper-difusivos relacionados a complejidades

del sistemas con interacciones complejas, tales como medios heterogéneos que

implican procesos de difusión de energía térmica no ideales que no pueden ser

descritas apropiadamente por teorías clásicas.

Se presentó las bases fundamentales del cálculo fraccional y se aplicaron estos

principios para proponer una solución numérica unidimensional y dependiente del

tiempo en cordeadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

Se desarrolló un modelo numérico para estudiar problemas de difusión de

orden fraccional, basado en los operadores de Riemann-Liouville, Caputo y

Grünwald-Letnikov. La validación del modelo numérico de difusión fraccional nos

indica que el modelo puede aplicarse con un error hasta del 10% cuando el exponente

de difusión anómala tiene a uno. Se exploró el alcance del modelo numérico

fraccional simulando procesos de difusión anómala tanto sub-difusivos como súper-

difusivo.

Se desarrolló y validó el modelo numérico fraccional para describir la

transferencia de calor en un elemento combustible en un reactor nuclear de IV

generación (PBMR), el cual representa un sistema altamente heterogéneo. La

simulación en dicho sistema permitió el análisis de procesos de difusión térmica

anómala de tipo sub-difusivos. En los procesos de difusión anómala del tipo sub-

difusivos, las interacciones moleculares son “lentas” dando lugar a que el fenómeno



de difusión térmica sea “discontinuo” debido al “reacomodo” de las moléculas

caracterizándose este reacomodo por un tiempo de retraso (a este tiempo también se

le conoce como tiempo de relajación). También se presentó el comportamiento del

combustible PBMR con un exponente de difusión anómala mayor que uno, es decir,

súper-difusivo con la idea de mostrar la diferencia respecto al comportamiento sub-

difusivo.

Los sistemas energéticos actualmente desarrollados requieren un conocimiento real y

extenso de los procesos para su diseño y control. La complejidad asociada a estos

sistemas requiere el uso de una gran variedad de herramientas teóricas, técnicas,

numéricas y de simulación para un entendimiento pleno, consideradas en este

trabajo.



Nomenclatura

A Área

Cp Calor especifico

h Coeficiente de trasferencia de calor

k Conductividad térmica Constante de Stefan Boltzman x Coordenada espacial cartesiana r Coordenada espacial radial Densidad

K Difusividad anómala

Difusividad térmica q Fuente de calor

L Longitud

bE Poder emisivo

R Radio T Temperatura t Tiempo

Subíndices y superíndices

C Caputo

f Combustible

g Grafito

GL Grünwald-Letnikov Orden fraccional p Pared

Funciones

Convolución F Fourier Gamma L Laplace



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