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ECUACIN DE CAUCHY-EULERCuando una ecuacin diferencial tiene coeficientes variables, lo mejor que podemos esperar, usualmente es encontrar una solucin en forma de serie infinita. Sin embargo, el tipo de ecuacin diferencial que consideramos en esta seccin es una excepcin a esta regla esta es una ecuacin lineal con coeficientes variables cuya solucin general siempre se puede expresar en trminos de potencia de x, senos, cosenos y funciones logartmicas. Adems este mtodo de solucin es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes en los que se debe resolver una ecuacin auxiliar.

Hay tres casos distintos a considerar que dependen de si las races de esta ecuacin cuadrtica son reales y distintas, reales e iguales o complejas. En el ltimo caso las races aparecen como un par conjugado.

Races complejas conjugadasSi las races de (1) son el par conjugadoM1= + i,m2 = i donde y >0 son reales, entonces una solucin es

Pero cuando las races de la ecuacin auxiliar son complejas, como en el caso de las ecuaciones con coecientes constantes, se desea escribir la solucin solo en trminos de funciones reales. Observemos la identidad

que, por la formula de Euler, es lo mismo que

De forma similar,

Si se suman y restan los dos ltimos resultados, se obtiene

y

Respectivamente. Del hecho de que Es una solucion para la cualquier valor de las constantes, note, a su vez, para Que

y

y

Tambin son soluciones. Como

En el intervalo se concluye que

YConstituye un conjunto fundamental de soluciones reales de la ecuacin diferencial

As la solucin general es