Ecuación de Flujo de Calor

7/23/2019 Ecuacin de Flujo de Calor

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CURSO: CLCULO 4

Tema: ECUACIN DE FLUJO DE CALOR

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1. Problemas de campo.

En fsica e ingeniera existen multitud de problemas que estan gobernados por ecuaciones

de difusion conveccion, algunos de ellos son:

Distribucion de temperaturas a lo largo de un medio continuo en regimen estacionario,cuando se estudia una situacion de equilibrio en la que las temperaturas en todos los puntosdel dominio son constantes; o transitorio, en el caso en que se produzca una variaci on detemperaturas en alguno de los contornos y el sistema reaccione readactando su temperaturahasta alcanzar la situacion de equilibrio.

Filtracion a traves de medios porosos (analogamente al caso de temperaturas se distingueentre el regimen estacionario y transitorio).

Problemas de torsion de barras prismaticas.

Problemas de transporte, en los que se estudia el desplazamiento de partculas en medio;por ejemplo, transporte de iones, o partculas en disolucion en un fluido, etc.

Todos estos problemas, pese a tratarse de fenomenos fsicos diferentes, se caracterizan por tenerun comportamiento analogo de forma que la ecuacion que los caracteriza es la misma y sedenomina ecuacion de difusion- conveccion

Q+ (D) =c

t (1)

cuyos parametros tienen un significado diferente dependiendo del problema de que se trate, taly como se muestra en la Tabla 1

Facultad de Ingeniera Departamento de Ciencias

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TABLA 1. Valores de los distintos parametros de la ecuacion difusion-conveccion en funciondel problema fsico estudiado.

Ecuacion difusion-conveccion: Q + (D) = c tProblema D Q q Ley fenomenologica

Flujo de calor Temperatura Conductividad Calor Flujo de Ley de FourierT termica generado calor q= kT

k Q

Filtracion de Potencial Coeficiente de Fuente de Flujo de Ley de Darcyfluidos en total permeabilidad agua volumen q= kmedios porosos k

Difusion Concentracion Matriz Fuente Flujo de Ley de Fickde iones constitutiva para de iones iones q= kc

Funcion deTorsion tension de 1G 2 Ley de Hooke

Prandtl

2. Transmision de calor.

La transferencia de calor en un medio continuo se produce de tres formas distintas:

ConduccionLa conduccion termica es la transferencia de calor producida por la colisiony vibracion de las moleculas del continuo en la que no se produce transporte de masaalguno. Este fenomeno se debe a la tendencia de las partculas a igualar su temperaturao estado de exitacion termica. La conductividad termica se define a traves de la Ley deFourier de conduccion de calor.

q= k Tx

= kT (2)

donde qes el vector flujo de calor por unidad de area y por unidad de tiempo, y k es eltensor de conductividad termica (tensor de segundo orden). En el caso de que el materialsea ortotropo,kviene dado a traves de sus componentes cartesianas de la siguiente manera:

kx 0 0

0 ky 0

0 0 kz

(3)


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dondekx,kyy kzson las conductividades termicas en las direcciones de los ejes coordenadosx, y y z respectivamente.

As, las componentes del flujo de calor vienen dadas por la siguiente expresion:

q=

kx 0 0

0 ky 0

0 0 kz

Tx

Ty

Tz

=

kxTx

kyTy

kzTz

(4)

La cantidad de calor que pasa a traves de una superficie por unidad de area y por unidadde tiempo, se denomina flujo (qn), que es una magnitud escalar. Si n es el versor (vectorunitario) segun la direccion normal a la superficie, tal como se muestra en la Figura 1, elflujo viene dado por la siguiente expresion:

qn= qTn= qxnx+qyny+qznz, (5)

donde sustituyendo las componentes del vector flujo por su valor segun (4), se obtiene:

qn= kxT

xnx ky

T

yny kz

T

znz (6)

Comentario 1.- La expresion (6) establece que el flujo de calor a traves de una superficie esdirectamente proporcional al gradiente de temperatura cambiado de signo, es decir, que elflujo de calor se produce de zonas con mayor temperatura a zonas con menos temperatura.

Conveccion.- Cuando el calor se transmite por medio de un movimiento real de la materiaque forma el sistema, se dice que hay una propagacion del calor por conveccion. Esta seproduce a traves del desplazamiento de materia entre regiones con diferentes temperaturas.

La conveccion de produce unicamente en fluidos. Un ejemplo claro son los radiadores deagua caliente y las estufas de aire.

El fenomeno de conveccion termica viene gobernado por laLey de Newton del enfriamiento,dada por la siguiente expresion:

q= (T Text) (7)

donde qes el flujo convectivo, es el coeficiente de transferencia de calor convectivo porunidad de area, T es la temperatura en la superficie del cuerpo, y Text es la temperaturaexterna al medio continuo.

Radiacion.- Todos los cuerpos emiten y absorven radiacion de su entorno.


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Figura 1: Flujo de calor a traves de la superficie S.

Figura 2: Sentido del flujo de calor.

Si un cuerpo esta mas caliente que su entorno, este se enfra, ya que la rapidez con queemite energa excede la rapidez con que la absorve. Cuando se alcanza el equilibrio termico,la rapidez de emision y de absorcion de energa son iguales. Del mismo modo, dos cuerposque se encuentran en el vaco y a distintas temperaturas, tienden a llegar al equilibriodinamico a traves de la radiacion.

3. Ecuacion del flujo de calor.

La ecuacion de flujo de calor se puede formular partiendo del equilibrio energetico, de lasiguiente manera:


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Cuando se produce un aumento de la temperatura en un cuerpo, una parte de la energatermica es almacenada. Si se considera un elemento diferencial de volumen dV =dxdydz, comoel mostrado en la Figura 3, la energa almacenada en el mismo viene dada por la expresion:

cpT

tdxdydz (8)

donde y cp son la densidad y el calor especfico del material cuyas unidades son

kg/m3

y

[J/kgK], respectivamente; T es la temperatura del elemento (constante a lo largo de todo eldiferencial de volumen) y t es el tiempo.

La energa generada internamente por unidad de volumen debido a reacciones qumicas,electricas o nucleares u otros fenomenos, viene representada por Q.

Si se plantea el equilibrio energetico en ese elemento diferencial (ver Figura 3), se obtienela siguiente expresion:

qxdydz+qydxdz+qzdxdy+Qdxdydz

qx+

qxx

dx

dydz+

+

qy+ qyy

dy

dxdz+

qz+ qzz

dz

dxdy

= cp Tt

dxdydz (9)

donde los tres primeros terminos representan el calor que entra en el cuerpo, el cuarto terminoes el calor generado internamente, los terminos entre corchetes representan el calor que sale delcuerpo, y el ultimo termino es la energa almacenada.

Figura 3: Flujo de calor a traves de un elemento diferencial.


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La expresion anterior se puede simplificar, quedando de la siguiente manera:

Q

qxx

+ qy

y +

qzz

= cp

T

t (10)

sustituyendo el valor del flujo por el dado por la ley de Fourier (2), la expresi on anterior quedacomo:

Q+

x

kxT

x

+

y

kyT

y

+

z

kzT

z

= cpT

t (11)

que es la ecuacion de difusion- conveccion particularizada para el caso de flujo calorico.

En el caso de que la conductividad termica del cuerpo sea la misma en todas las direcciones(kx = ky = kz =k), la expresion (11) queda como:

Q

k +

2T

x2 +

2T

y2 +

2T

z2 =

1

T

t (12)

donde = kcp . La expresion (12) es la ecuacion generica que rige el problema de transmisionde calor de un cuerpo. Sin embargo, en funcion del tipo de problema que se este tratando deresolver, se puede realizar diversas simplificaciones:

En el caso de que se este tratando de un problema estacionarioen el que la temperaturaen todos los puntos ha alcanzado un equilibrio (distribucion de temperatura constante), eltermino de almacenamiento de energa en funcion del tiempo de la expresion (12) se anulaquedando la siguiente expresion:

Qk

+ 2T

x2 +

2Ty2

+ 2T

z2 = 0 2T = Q

k (13)

que se conoce con el nombre de ecuacion de Poisson.

Si ademas de ser un problema estacionario, no hay generacion interna de calor (Q= 0), laecuacion (12) queda como:

2T

x2 +

2T

y2 +

2T

z2 = 0 2T = 0 (14)


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que se conoce con el nombre de ecuacion de Laplace.

Comentario 2.- Las distintas ecuaciones en derivadas parciales que gobiernan el flujo caloricoa traves de un cuerpo se corresponden con distintos tipos de problemas desde un punto de vistamatematico, as, por ejemplo, la ecuacion (11) que permite el estudio de la transferencia decalor y su evolucion con el tiempo (regimen transitorio) es una ecuacion diferencialparabolica,mientras que las ecuaciones (12) y (13) que permiten el estudio de la transferencia de calor enregimen estacionario son ecuaciones diferenciales elpticas.

4. Condiciones de contorno.

Una vez establecida la ecuacion que rige la transferencia de calor en el cuerpo es necesarioplantear las condiciones de contorno del problema. Estas pueden ser de varios tipos:

1. Temperatura conocida en un contorno. En este caso se conoce la temperatura de unadeperminada parte del cuerpo S1:

T(x,y ,z ,t) =T0; (x,y ,z ,t) S1. (15)

donde T0 es el valor de la temperatura en ese contorno.

2. Flujo conocido en una superficie. En este caso se conoce el flujo de calor a traves deuna superficie del dominio S2. La expresion que define esta condicion de constorno es:

kxT

xnx+ky

T

yny+kz

T

znz = q0 (16)

donde n= (nx, ny, nz)T es el vector normal a la superficie S2 de flujo conocido, y q0 es el

valor del flujo.

3. Flujo convectivo conocido en una superficie. Alternativamente se puede conocer el

flujo convectivo de calor a traves de una superficie del dominio S3. En este caso el valordel flujo q0 de la ecuacion (16) se sustituye por la expresion:

(T Text) (17)

donde n = (nx, ny, nz)T es el vector normal a la superficie S3 de flujo conocido, es

el coeficiente de transmision de transmision de flujo convectivo y Text es la temperaturaexterna al medio continuo contigua al contorno S3.

Notar que las condiciones de contorno mostradas hasta el momento, se emplean tanto paraproblemas estacionarios como para transitorios, si bien en el caso de los estacionarios la variable

tiempo se elimina de las ecuaciones y de las condiciones de contorno.


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Indice

1. Problemas de campo. 1

2. Transmision de calor. 2

3. Ecuacion del flujo de calor. 4

4. Condiciones de contorno. 7


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