Elementos de la circunferencia y del círculo

Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo

punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no pertenece a la

circunferencia. La circunferencia  se nombra con la letra  del centro y  un radio.

Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área

interior

Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla

de un plato,  etc.

Perímetro de la circunferencia:      2  · r                 · d  

Elementos de la circunferencia

Rectas en la circunferencia

Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia 

con cualquier punto de ella.

El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos

extremos.

La medida del radio es constante.

Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la

circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la

circunferencia.

El diámetro es la cuerda de mayor medida.

El diámetro se nombra con la letra “d”.

El diámetro siempre es el doble  del radio: d = 2r       r = d/2 .

Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la

circunferencia.

Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos

puntos de ella.

Ángulos en una circunferencia

Ángulo del centro: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de

ella.

Figura Características Medida

Vértice en el centro de la circunferencia

Lados que contienen radios de ella

m (< AOB) =

m (arco AB)

Ejemplo:

(Debe leerse: arco SR es igual a un

tercio de la circunferencia. Calcular el

ángulo X))

Por definición del Teorema del ángulo del centro la medida del arco SR es igual a la medida del ángulo del

centro (x). Como la circunferencia en el sistema sexagesimal tiene 360º significa que el arco SR mide 1/3 de

360º, esto es dividir 360 en 3 partes y tomar 1 sola.

                      360º  :  3  =  120º              < SOR =  120º

Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para

todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. El ángulo inscrito es igual a

la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

Figura Características Medida

< ABC inscrito que

subtiende arco AC

< AOC del centro que

subtiende arco AC

Vértice en la

circunferencia.

Los lados son cuerdas de

ella.

<  ABC subtiende arco

AC.

El centro de la

circunferencia está en el

interior del ángulo.

m ( <ABC) =

½ m (<AOC)

(Debe

leerse:

medida del

ángulo

(ABC) es

igual a la

mitad del

ángulo

(AOC)

   Ejemplo:

Si ángulo y es igual a 54 grados

Entonces ¿cuánto mide el ángulo x ?

El ángulo “y” es un ángulo del centro; el ángulo “x” es un ángulo inscrito

que subtiende un arco común con el ángulo del centro (AB), por lo tanto,

se debe aplicar el Teorema del ángulo inscrito.

Por Teorema:  x  =  1/2  y        x  = 1/2   ·  54  =  54/2  =  27º

Caso Especial:                       

Si un ángulo inscrito subtiende

una semicircunferencia, entonces es recto.

α = 180º                           β  =  90º

CIRCULO O REGION CIRCULAR:  Es todo el espacio interior encerrado por una circunferencia..

REPRESENTACIONES MATERIALES DEL CIRCULO: Disco, plato, fondo de vaso, tapa de tarro, CD, etc

AREA DEL CIRCULO:          · r2

Elementos del círculo

Segmento circular: es cada una de las partes en que se

divide un círculo cuando se traza una cuerda (A - B). Si la

cuerda es un diámetro, cada parte será un semicírculo.

Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos

radios y un arco.

Corona circular: es la porción del plano comprendida

entre dos circunferencias concéntricas.

Ecuación de la circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un

punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es

respecto a éste que trabajamos).

Determinación de una circunferencia

Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:

Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.

El centro y el radio.

El centro y un punto en ella.

El centro y una recta tangente a la circunferencia.

También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma

distancia de otro punto, llamado centro.

Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la

circunferencia).

Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que

─para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r─, la

ecuación ordinaria es

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

¿Qué significa esto?

En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido

(coordenadas) en el plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la

podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.

Así la vemos Así podemos expresarla

Donde:

(d) Distancia CP = r

y

Fórmula que elevada al cuadrado nos da

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

También se usa como

(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2

Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la

circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use)

corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b).

Nota importante:

Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido.

Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia, a partir de ella podemos encontrar las coordenadas

de su centro y el valor de su radio para graficarla o dibujarla.

Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para encontrarlo, podemos

llegar a la ecuación de la misma circunferencia.

Cuadrado del binomio

Aquí haremos una pausa para recordar el cuadrado del binomio ya que es muy importante para lo que sigue:

El binomio al cuadrado de la forma (a ─ b)2 podemos desarrollarlo como (a ─ b) (a ─ b) o convertirlo en un

trinomio de la forma a2 ─ 2ab + b2.

Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 (que en forma matemática representa

una circunferencia).

De la ecuación ordinaria a la ecuación general

Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos

cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los

términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:

x2 ─ 2ax + a2 + y2 ─ 2by + b2 ─ r2 = 0 ecuación que ordenada sería

x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0

Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:

─ 2a = D,

─ 2b = E,

a2 + b2 ─ r2 = F

la ecuación quedaría expresada de la forma:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual debe cumplir las

siguientes condiciones para serlo:

No existe término en xy

Los coeficientes de x2 e y2 son iguales.

Si D = ─ 2a entonces

Si E = ─ 2b entonces

Si F = a2 + b2 ─ r2 entonces

Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:

a2 + b2 ─ F > 0 (a2 + b2 ─ F debe ser mayor que cero)

Nota:

Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0) algunos

textos o docentes utilizan otra convención y hacen:

─ 2a = A,

─ 2b = B,

a2 + b2 ─ r2 = C para tener finalmente

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

A modo de recapitulación

Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion

ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la

ecuación de la circunferencia.

Ecuación reducida de la circunferencia

Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 , debemos consignar que si el centro de la

circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

(x ─ 0)2 + (y ─ 0)2 = r2

x2 + y2 = r2

Obtener la ecuación de la circunferencia conocida su gráfica

Para lograrlo debemos conocer dos elementos importantes:

- el centro de la circunferencia (C), dado por sus coordenadas

- el radio (r) de la misma circunferencia

Definido esto, tendremos dos posibilidades:

A) Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)

B) Y circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas; expresado, por ejemplo, como C (3,

2).

Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)

A continuación analizaremos cuatro casos

Caso 1

Veamos la gráfica siguiente:

Los datos que nos entrega son:

Centro: C (0, 0), el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y

radio: r = 3, lo indica el 3 en cada una de las coordenadas.

Recordar esto:

Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x2 + y2 = r2 para expresar dicha

circunferencia en forma analítica (Geometría analítica). Esta ecuación se conoce como ecuación reducida.

Para la gráfica de nuestro ejemplo, reemplazamos el valor de r en la fórmula x2 + y2 = 32

y nos queda x2 + y2 = 9 como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba.

Ojo:

Si nos dieran la ecuación x2 + y2 = 9 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y

diremos que representa una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y

cuyo radio es 3 (32 = 9 y la raíz cuadrada de 9 es 3)

Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)

Caso 2

Veamos la gráfica siguiente:

Los datos que nos entrega son:

Centro: C (0, 0), el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y

radio: r, lo desconocemos, pero tenemos un dato: el punto P (3, 4) ubicado en la circunferencia.

Recordemos de nuevo:

Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x2 + y2 = r2 para expresar dicha

circunferencia en forma analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación reducida.

Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula x2 + y2 = r2 , pero resulta

que no lo conocemos.

Entonces, a partir del dato P (3, 4) podemos calcular el valor del trazo que une este punto con el centro C (0,

0) (trazo PC con línea punteada en la figura), el cual corresponde al radio de la circunferencia dada.

¿Cómo calculamos el valor de la distancia (d) entre P y C (el radio de la circunferencia)?

Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:

No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos; por lo mismo,

debemos saber que en ella

(x2 ─ x1)2 representa al punto 1, y ese punto 1 (P1) lo haremos corresponder con el punto que pasa por el

centro C (0, 0)

(y2 ─ y1)2 representa al punto 2, y ese punto 2 (P2) lo haremos corresponder con el punto que pasa por P (3,

4).

Es muy importante conocer o designar este orden ya que

Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer la

distancia (d) entre los dos puntos que nos interesan, la cual será nuestro radio:

El 5 nos indica la distancia entre los dos puntos, el centro de la circunferencia y uno de sus puntos, lo cual

corresponde al radio.

Recapitulemos:

Para expresar u obtener la ecuación de una circunferencia cuyo centro está en el origen, necesitamos

conocer el centro, ya sabemos que es C (0, 0), y conocer el radio, que ahora sabemos que es 5.

¿Se acuerdan cuál es la fórnula?

Esta: x2 + y2 = r2

Reemplazamos en ella el valor del radio

x2 + y2 = 52 y nos queda

x2 + y2 = 25 como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba (en la cual nos indicaron un

centro y un punto en ella).

Ojo:

Si nos dieran la ecuación x2 + y2 = 25 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y

diremos que representa una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y

cuyo radio es 5 (52 = 25 y la raíz cuadrada de 25 es 5).

Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)

Caso 3

Tenemos la gráfica de una circunferencia cuyo centro (C) es el origen de las coordenadas (0, 0), y nos dan

dos puntos opuestos en la circunferencia, , A (-3, -2) y B (3, 2), los cuales unidos corresponden al diámetro

de la misma.

Recordemos de nuevo:

Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x2 + y2 = r2 para expresar dicha

circunferencia en forma analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación reducida.

Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula x2 + y2 = r2 , pero resulta

que no lo conocemos.

Pero tenemos identificados dos puntos opuestos en la circunferencia, los cuales unidos entre sí (la línea

punteada entre A y B en la gráfica) representan al diámetro de la misma. Entonces, a partir de esos puntos, A

(-3, -2) y B (3, 2), podemos calcular el valor del trazo que los une (trazo AB con línea punteada en la figura), el

cual corresponde al diámetro de la circunferencia dada.

¿Cómo calculamos el valor de la distancia (d) entre A y B (el diámetro de la circunferencia)?

Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:

No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos; por lo mismo,

debemos saber que en ella

(x2 ─ x1)2 representa al punto 1, y ese punto 1 (P1) lo haremos corresponder con el punto A (-3, -2)

(y2 ─ y1)2 representa al punto 2, y ese punto 2 (P2) lo haremos corresponder con el punto B (3, 2).

Es muy importante conocer o designar este orden ya que

Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer la

distancia (d) entre los dos puntos que nos interesan, la cual será nuestro diámetro

El 7,2 (valor aproximado) nos indica la distancia entre los dos puntos, A y B, la cual corresponde al diámetro

de la circunferencia.

Para conocer el valor del radio, simplemente dividimos por 2 dicho diámetro, y nos queda r = 3,6 ≈

Conocido el radio lo reemplazaremos en la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen de las

coordenadas, que es:

x2 + y2 = r2

la cual nos queda

x2 + y2 = (3,6)2.

x2 + y2 = 13 ≈ como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba (en la cual nos indicaron un

centro y dos puntos opuestos en ella).

Esta ecuación también podía obtenerse haciendo el cálculo para la distancia entre uno de los puntos dados y

el centro, como se vio en el caso 2

Ojo:

Si nos dieran la ecuación x2 + y2 = 13 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y

diremos que representa una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y

cuyo radio es 3,6 (3,6)2 = 13 y la raíz cuadrada de 13 es 3,6 ≈).

Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)

Caso 4

Tenemos la gráfica de una circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0), no hay otro

dato sobre coordenadas, pero se me indica que tiene un área de 10 u2 (diez unidades cuadráticas).

Recordemos de nuevo:

Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x2 + y2 = r2 para expresar dicha

circunferencia en forma analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación ordinaria.

Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula x2 + y2 = r2 , pero resulta

que no lo conocemos.

Pero conocemos el área de la circunferencia (10 u2) y a partir de este dato podemos calcular el radio de la

misma.

¿Cómo calculamos el radio de la circunferencia si conocemos su área?

Repasemos el cálculo del área (A) de una circunferencia:

A = π • r2

A = 10 (dato conocido),

entonces 10 = π • r2 y

, este dato podría ser suficiente para reemplazar el valor de r2 en la fórmula, pero podemos avanzar

un poco y hacemos

Volvamos a nuestra fórmula inicial

x2 + y2 = r2

Como ahora conocemos el radio:

x2 + y2 = (1,78)2

x2 + y2 = 3,18 ≈

También pudimos hacer

Ojo:

Si nos dieran la ecuación x2 + y2 = 3,18 ≈ y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido

inverso y diremos que representa una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas

(0, 0) y cuyo radio es 1,78 (1,78)2 = 3,18 y la raíz cuadrada de 3,18 es 1,78 ≈).

Obtener la Ecuación de la circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas

Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra

en la figura

Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos:

Método por desarrollo y

Método con las fórmulas conocidas.

Método por desarrollo

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso

corresponde a C (2, ─3)

entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como

(x ─ 2)2 + (y ─ ─ 3)2 = 52

(x ─ 2)2 + (y + 3)2 = 52

(x ─ 2)2 + (y + 3)2 = 25

Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h)2 + (y ─ k)2

Sigamos.

Tenemos nuestra ecuación ordinaria

(x ─ 2)2 + (y + 3)2 = 25

y desarrollamos sus dos binomios:

(x ─ 2) (x ─ 2) + (y + 3) (y + 3) = 25

(x2 ─ 2x ─ 2x + 4) + (y2 + 3y + 3y + 9) = 25

(x2 ─ 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 25

Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general:

x2 + y2 ─ 4x + 6y + 4 + 9 ─ 25 = 0

x2 + y2 ─ 4x + 6y ─ 12 = 0

que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2, ─3 y cuyo radio es 5.

Método con las fórmulas conocidas

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas

Si entonces D = ─ 2a

Si entonces E = ─ 2b

Si entonces F = a2 + b2 ─ r2

Recordemos que C (2, ─3) corresponde a C (a, b)

Entonces, hacemos:

F = 4 + 9 ─ 25 = ─12

Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos

x2 + y2 + ─4x + 6y + ─12 = 0

x2 + y2 + ─4x + 6y ─12 = 0

obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del

desarrollo.

Ahora, hagamos algunos ejercicios

Ejercicio 1

Encuentre la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está en las coordenadas y que

tiene un radio igual a

.

Resolución por desarrollo

En este caso podemos usar las fracciones o convertirlas a decimales:.

Como el centro no está en el origen vamos a usar la fórmula ordinaria para llegar a la desarrollada:

Para hacerlo, partamos de aquí:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Nota:

Debemos recordar que x e y corresponden a las coordenadas de cualquier punto en la circunferencia, P

(x, y), distante un radio desde el centro.

Volvamos a la fórmula:

Reemplacemos los valores en las coordenadas del centro, C (a, b):

y aquí tenemos la ecuación ordinaria (formada por dos cuadrados de binomio) la cual ahora desarrollaremos

para llegar a la ecuación general:

Recordemos el cuadrado del binomio:

a2 + 2ab + b2

Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el segundo término 2(x)

(0,5), más el cuadrado del segundo término (0,5)2

Pongamos los valores de nuestros binomios al cuadrado:

(x)2 + 2(x)(0,5) + (0,5)2 + (y)2 + 2(y)(─1,25) + (─1,25)2 = 3

x2 + x + 0,25 + y2 ─2,50y + 1,56 = 3

ahora acomodamos los términos e igualamos a cero, para obtener la ecuación general:

x2 + y2 + x ─ 2,50y + 0,25 + 1,56 ─ 3 = 0

x2 + y2 + x ─ 2,50y ─ 1,19 = 0

Resolución por el sistema de fórmulas conocidas

Tenemos:

Centro de la circunferencia (coordenadas)

Radio

r =

Y las fórmulas

D = ─2a

E = ─2b

F = a2 + b2 ─ r2

Recuerde que la ecuación general de la circunferencia tiene esta estructura:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Por lo que solo debemos calcular D, E y F

Ahora que ya conocemos D, E y F los acomodamos en la fórmula general y tendremos:

x2 + y2 + x + ─2,50y + ─1,19 = 0

x2 + y2 + x ─ 2,50y ─ 1,19 = 0 fórmula general de la circunferencia dibujada arriba.

Importante

Los dos métodos utilizados aquí para encontrar la ecuación de la circunferencia nos indican que si nos

dan las coordenadas del centro de una circunferencia distintas de cero y el radio de la misma conviene

usar el método de las fórmulas.

No obstante, si alguien quiere saber exactamente cómo se procede, puede usar el sistema del desarrollo.

Ejercicio 2

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en C (1, 3) y radio r = 4.

Resolución

Sabemos que debemos obtener un ecuación de la forma

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

por lo que necesitamos saber cuánto valen D, E y F

Para ello, recordamos que

D = ─2a

E = ─2b

F = a2 + b2 ─ r2

Sustituyendo en D y E los valores que nos entregan las coordenadas del centro C (1, 3), donde

a = 1

b = 3

tendremos que

D = ─2(1) = ─2

E = ─2(3) = ─6

Y ahora sustituimos en

F = a2 + b2 ─ r2

F = (1)2 + (3)2 ─ (4)2

F = 1 + 9 ─ 16

F = ─6

Como ya tenemos los valores de

D = ─2

E = ─6

F = ─6

Los usamos para sustituir en la ecuación

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

para quedar

y llegar finalmente a

x2 + y2 ─ 2x ─ 6y ─ 6 = 0 como la fórmula general de la circunferencia dibujada arriba.

Ejercicio 3

Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto P (─3, 2) y cuyo centro es el punto C (1,

5)

Resolución

Debemos calcular el radio (ya que no lo conocemos), pero como tenemos las coordenadas de un punto y del

centro podemos calcularlo así:

El radio es la distancia de C a P, y como su fórmula para conocer dicha distancia es

Hacemos

Ahora tenemos ubicado el centro C (1, 5) y el radio r = 5

y acudimos a la fórmula ordinaria de la circunferencia

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Desarrollamos los cuadrados de los binomios

(x2 + ─x + ─x + 1) + (y2 + ─5y + ─5y + 25 = 25

x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 10y + 25 = 25

x2 + y2 ─ 2x ─ 10y + 1 + 25 ─ 25 = 0

x2 + y2 ─ 2x ─ 10y + 1 = 0

Nota importante:

En este ejercicio conocemos las coordenadas de uno de los puntos de la circunferencia, P (─3, 2) pero

ese dato nos sirvió solo para calcular el radio. Conocido éste, la fórmula general que obtendremos ahora

servirá para todos los puntos de la circunferencia equidistantes del centro, representados como P (x, y),

por eso en la fórmula ordinaria de la circunferencia reemplazaremos solo los valores de a y de b como las

coordenadas del centro C (1, 5)

Ejercicio 4

Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento entre los puntos A(2, 3) y B(─4,

─9)

Resolución

Como el segmento AB es el diámetro, el centro estará en la mitad de este (radio), y hacemos

Ahora calculamos el radio, que es la distancia desde C(─1, ─3) hasta el punto A(2, 3)

Conocemos ahora las coordenadas del centro C(─1, ─3) y el radio

Aplicamos la fórmula ordinaria

Desarrollamos los binomios

(x2 + x + x + 1)+ (y2 +3y + 3y + 9) = 45

(xsup>2 +2x +1) + (y2 + 6y + 9) = 45

x2 + y2 +2x +6y +1+ 9 ─45 = 0

x2 + y2 +2x +6y ─ 35 = 0 ecuación de la circunferencia graficada arriba.

Como un ejercicio probatorio de la efectividad de la fórmula analítica x2 + y2 +2x +6y ─ 35 = 0 reemplacemos

los valores de las coordenadas de los puntos A y B en x e y

Primero el A(2, 3) que sea x = 2, y = 3

22 + 32 + 2•2 + 6•3 ─ 35 = 0

4 + 9 + 4 + 18 ─ 35 = 0

Ahora el B(─4, ─9) que sea x = ─4, y = ─9

(─4)2 + (─9)2 + 2(─4) + 6(─9) ─ 35 = 0

16 + 81 ─ 8 ─ 54 ─ 35 = 0

Ejercicio 5

Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, ─2) y de radio 3.

Resolución

Recordemos nuestra ecuación ordinaria de la circunferencia:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Conocemos a y b (5, ─2) y el radio (r = 3)

Entonces reemplacemos

(x ─ 5)2 + (y ─ ─2)2 = 32

(x ─ 5)2 + (y + 2)2 = 9

Desarrollemos lo binomios cuadrados:

(x ─ 5) (x ─ 5) + (y + 2) (y + 2) = 9

(x2 ─ 10x + 25) + (y2 + 4y + 4) = 9

ordenamos e igualamos a cero

x2 + y2 ─ 10x + 4y + 25 + 4 ─ 9 = 0

x2 + y2 ─ 10x + 4y + 20 = 0

Ejercicio 6

Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (–2, 3).

Resolución:

Primero debemos conocer el radio

Entonces la ecuación ordinaria nos queda

x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 2y +1 = 13

x2 + y2 ─ 2x ─ 2y + 1 + 1 ─ 13 = 0

x2 + y2 ─ 2x ─ 2y ─ 11 = 0

Dada la ecuación general de una circunferencia, obtener su centro y el radio

Para entrar en materia, tenemos la siguiente ecuación general de una circunferencia:

x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0

a partir de ella podemos encontrar el centro y el radio de esa circunferencia.

Para hacerlo, existen dos métodos:

Primer método

La ecuación general dada la vamos a convertir en dos binomios al cuadrado igual a r2, que es la forma de

la ecuación ordinaria,

De nuevo conviene recordar que un binomio al cuadrado se escribe como

(a + b)2, que dasarrollado queda como

(a + b) + (a + b)

a2 + ab +ab + b2

a2 + 2ab + b2

Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el segundo término 2(x)

(0,5), más el cuadrado del segundo término (0,5)2

Aquí debemos fijar nuestra atención en el término 2ab, que está precedido por el 2 y tiene ab (sin elevar al

cuadrado), siendo a el primer término y b el segundo del binomio. Este término (b) será clave para poder

completar los 3 términos que genera el binomio al cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Volviendo a nuestra ecuación general, debemos saber que en ella la x corresponde al primer término −la a de

(a + b)2− y la ycorresponde al segundo −la b de (a + b)2−

Reiteramos nuestra ecuación general:

x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0 y vamos a separar sus términos para darle forma de dos binomios al cuadrado

desarrollados:

Deberíamos obtener algo como:

, entendido como la suma de dos binomios al cuadrado,

donde en cada binomio encontramos:

el cuadrado del primer término (del binomio) (x2 en uno e y2 en el otro)

el doble producto del primer término por el segundo (−3x en uno y +4y en el otro)

el cuadrado del segundo término (del binomio) (+/− ¿?) en ambos cuadrados y que es ese tercer término que

debemos deducir para cada cuadrado del binomio.

Este tercer término, lo obtendremos del −3x para un binomio y del +4y para el otro.

Respecto a −3x, sabemos que corresponde al segundo término del binomio desarrollado, generalizado

como 2ab.

Ahora, si tenemos vemos que la x (a) está al cuadrado en x2 (a2) y lineal en x (a), entonces el −3

corresponde a 2b (el segundo término lineal en 2ab).

Y hacemos

Ya conocemos b, entonces lo ponemos en nuestra fórmula

Hacemos lo mismo para el segundo binomio:

Si tenemos vemos que la y (a) está al cuadrado en y2 (a2) y lineal en y (a), entonces el +4

corresponde a 2b (el segundo término lineal en 2ab).

Y hacemos

Ahora completamos la fórmula

(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 1

Ahora, como en el lado izquierdo de la ecuación agregamos +2,25 y +4, para mantenerla equilibrada

debemos agregar lo mismo en el lado derecho:

(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 1 + 2,25 + 4

(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 7,25

Y ahora tenemos dos trinomios, los cuales nos generarán dos binomios al cuadrado, de la forma:

(x − 1,5)2 + (y + 2)2 = 7,25

Que es la ecuación ordinaria de la circunferencia, y de donde obtendremos las coordenadas del centro y

el valor del radio.

Recordemos la estructura de la ecuación ordinaria:

(x − h)2 + (y − k)2 = rsup>2

Reemplazamos y queda

(x − − 1,5)2 + (y − + 2)2 = r2

(x + 1,5)2 + (y − 2)2 = 7,25

Ecuación que nos dice lo siguiente:

La x y la y representan a las coordenadas de cualquier punto sobre la circunferencia equidistante del centro.

Los valores 1,5 y −2 representan las coordenadas del centro de la circunferencia anterior

El valor 7,25 representa a r2, por lo tanto

Entonces, la ecuación general x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0

corresponde a una circunferencia con centro C(1,5 , −2) cuyo radio es ≈ 2,69 como la que vemos en la

figura.

Ecuación general de la circunferencia de la izquierda:

x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0

Segundo método

Lo llamaremos método de fórmulas conocidas.

Para este método utilizaremos solo estas fórmulas (que debemos recordar o conocer):

Primero, recordemos la estructura de la ecuación ordinaria:

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Recordemos que en esta ecuación la x y la y representan las coordenadas de cualquier punto de la

circunferencia que equidiste un radio desde el centro, y que h y k representan las coordenadas del punto

central de la circunferencia (también se utiliza a y b para identificarlas)

Es a partir de esta ecuación que se obtienen las fórmulas que usaremos:

También tenemos que recordar que la estructura de la ecuación general de la circunferencia la podemos

expresar como

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Y si la comparamos con la ecuación dada tendremos

donde vemos que

D vale −3

E vale +4

F vale −1

y con estos datos y con las fórmulas de arriba vamos a conocer las coordenadas del centro:

Nuestra circunferencia tiene centro en las coordenadas (1,5, −2)

Nuestra circunferencia tiene un radio ≈ 2,69 y sus coordenadas del centro C(1,5, −2)

Ejercicio 1

Calcular el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0

Recordemos la estructura de la ecuación general:

x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0

Que sintetizada queda

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Desarrollemos la ecuación

x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0

x2 + y2 + 2x − 4y = 4

Busquemos los dos binomios al cuadrado

El tercer término que falta en el primer binomio se obtiene de

Y el tercer término que falta en el segundo binomio se obtiene de

Asi formamos:

Vemos que al lado izquierdo agregamos +1 y +4 (los terceros términos de los binomios) por ello agregamos

los mismos valores a la derecha de la ecuación, para equilibrarla.

Ahora partir de estos dos trinomios podemos definir dos binomios al cuadrado:

(x + 1)2 + (y − 2)2 = 9

que, como vemos, se asemeja a nuestra ecuación ordinaria de la forma

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Si comparamos, resulta que

h = +1

k = −2

Reemplazamos y tenemos

(x − +1)2 + (y − −2)2 = r2

(x − 1)2 + (y + 2)2 = 9

(x − 1)2 + (y + 2)2 = 3

Respuesta:

Las coordenadas del centro de la circunferencia dada son (─1, 2) y su radio es igual a 3.

Usemos el método de las fórmulas.

Conocemos la estructura de la ecuación ordinaria:

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Conocemos las fórmulas

Estructura de la ecuación general de la circunferencia:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

La comparamos con la ecuación dada, y tendremos

donde vemos que

D vale +2

E vale −4

F vale −4

Reemplacemos en las fórmulas:

Nuestra circunferencia tiene centro en las coordenadas (−1, 2)

Y su radio es

Nuestra circunferencia tiene un radio igual a 3