Ecuación de la recta - Prof. Mónica Lordi

Ecuación de la recta

Prof. Mónica Lordi

Ecuación de la recta

Las ecuaciones del tipo

y = mx + b

representan rectas en el plano

2Prof. Mónica Lordi

Ecuación explícita de la rectaLlamaremos ecuación explícita de la recta a la expresión

y = mx + b

En esta ecuación se pueden distinguir los siguientes elementos:

Recuerda: las expresiones de la forma

y = mx + brepresentan rectas en el

plano

m = pendiente

b = ordenada al origen

x = variable independiente

y = variable dependiente

Ejemplos

• y= 3x+8

• y= x – 7 3

2


Pendiente

En las ecuaciones • y = 4x , la pendiente es m =

4

y = 4x

y = 3x , la pendiente es m = 3

y = 2x , la pendiente es m = 2

y = x . la pendiente es m = 1

y = 3x

y = 2x

y = x

Se puede observar que la pendiente m

determina la “inclinación” de la

recta respecto del eje X

Observa las siguientes gráficas


Ordenada al origenObserva, en la gráfica

La recta de ecuación

y= x + 2 , la ordenada al origen es b = 2

y = x + 2

2

1

0

-1

y = x + 1, la ordenada al origen es b = 1y = x + 1

y = x - 1

y = x – 1, la ordenada al origen es b = -1

La ordenada al origen b determina la

intersección de la recta con el eje Y


Determinar la pendiente y la ordenada al origen de las ecuaciones de siguientes rectas:

• y = 3x - 11m = 3

b = -11

• y = -5x + 20m = -5

b = 20

3

2• y = x m =

3

2

b = 0

Veamos un ejemplo:


Otros ejemplos de rectas

-4-3-2-1012345678910

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

-3-2-10123456789

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

y

• Recta creciente, ya que la pendiente es positiva.

• La recta crece dos unidades de y por cada unidad de x.

• Cuando x=0, la ordenada al origen es igual a 1.

• Recta decreciente, ya que la pendiente es negativa.

• La recta decrece una unidad de y por cada unidad de x.

• Cuando x=0, la ordenada al origen es igual 4.

xy 21 xy 4


Otras formas de ecuaciones lineales

• Forma implícita: Ax + By + C = 0

• Forma segmentaria: Si una recta corta a los ejes en los puntos P = (p,0) y Q = (0,q) su ecuación en forma segmentaria es:

1q

y

p

x


FORMA SEGMENTARIA

pq

1q

y

p

x


Si la recta está escrita de otra forma, podemos escribirla en forma explícita y

luego identificar m y bEjemplo 1:

Determinar la pendiente y la ordenada al origen en la ecuación 2x + y – 8 = 0

y = -2x + 8

Se despeja y (de la misma forma que se

despeja cualquier ecuación)

2x + y = 0 + 8

Luego, m = -2 y b = 8


Ejemplo 2:

Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación 4x – 8y + 16 = 0

y8

16

8

x4

Despejamos y

4x + 16 = 8y

y8

16

8

x4

y22

x1

m =

2

12

1

b = 2

4x – 8y + 16 = 0


Ejemplo 3:

Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación

y8

16

8

x4

2

1Despejamos y


Ejercicio 1: Encontrar la pendiente y la ordenada al

origen de las siguientes rectas:

012y3x9 )f

014y2x7 )e

04yx2 )d

08yx3 )c

1x5

2y )b

1x3y )a

012y3x9 )f

014y2x7 )e

04yx2 )d

08yx3 )c

1x5

2y )b

1x3y )a

g)13Prof. Mónica Lordi

Cálculo de la pendiente de una recta

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta

queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas

y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos,

es decir:

(x1, y1) y (x2 ,y2 )

la pendiente m


• Cuando se tienen dos puntos de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 )

(x2 , y2)

(x1 , y1)

y2 – y1

x2 – x1

m =y2 – y1

x2 – x1

la pendiente m queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadasy la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, es decir:

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(x2 , y2)

(x1 , y1)

x2 – x1

y2 – y1

Cálculo de la pendiente de una recta

x1 x2

y1

y2


Ejemplo 1 • Calcular la pendiente de la recta que

pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)

Identificamos los valores de x1 , y1 ,

x2 , y 2

x1 y1x2 y2

Reemplazamos estos valores en la

fórmula

m =y2 – y1 =x2 – x1

14 – 2

9 – 7 =

12

2= 6


Ejemplo 2• Calcular la pendiente de la recta que

pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)

Identificamos los valores de x1 , y1 ,

x2 , y 2

x1 y1 x2 y2

Reemplazamos estos valores en la

fórmula

m =y2 – y1 =x2 – x1

-3 – 1

9 – (-5) =

-4

14=

-2

7


Ejemplo 3 Encontrar la pendiente de la recta del gráfico:

En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta:

(5,0)

(0,4)( 0 , 4 ) y ( 5 , 0)

x1 y1 x2 y2

Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2

Reemplazamos estos valores en

la fórmula

m =y2 – y1

x2 – x1

0 – 4

5 – 0

-4

5= =


Ejercicio 2

I) Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

• A) (3 , -6) y (-2 , -2)• B) (7 , -9) y (0 , -1)• C) (-3 , -4) y el origen• D) (3 , -4) y ( 2 , -6)


II) Encontrar las pendientes de las rectas graficadas:

A) B)


Puntos que pertenecen a una recta

¿Cómo determinar cuando un punto pertenece

2

1

0

-1 -1 1 2 3

o no pertenece a una recta?


¡Muy sencillo!¡Se reemplaza las coordenadas del punto dado (x , y)

en la ecuación y = mx + b!

Ejemplo 1: Determinar si el punto (1,3)

pertenece a la recta y = -3x + 6

( 1 , 3 ) Reemplazamos x = 1 , y = 3 en la ecuación

3 = -3 • 1 + 6 y resolvemos las operaciones para verificar si hay equilibrio entre ambos miembros

3 = -3 + 6

3 = 3Por lo tanto, el punto (1,3) pertenece a la

recta y = -3x + 6 25

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( -1 , 3 ) Reemplazamos x = -1 , y = 3 en la ecuación

3 = 2 • (-1) + 1 y resolvemos las operaciones para verificar si hay equilibrio entre ambos miembros

Por lo tanto, el punto (-1,3) no pertenece a

la recta y = 2x + 1

Ejemplo 2:

Determinar si el punto (-1,3) pertenece a la recta y = 2x + 1

3 = -2 + 1

3 = -1


Ejercicio 3: Determinar si los puntos pertenecen a la

recta dada

• A) ( , 0) ; (-2 , 7) ; (0,1 ) a la recta y = -3x + 1

• B) (-3 , 1) ; (9,9) ; (-6,1) a la recta y = x + 3

• C) (4,2) ; (-6,-7) ; (-4,-4) a la recta 3x – 4y – 4 = 0

3

2

3

1


Ecuación de la recta a partir de dos puntos del plano

y = mx + b

(x1, y1)

(x2, y2)

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

• Sean P = (x1 ,y1) y Q = (x2 , y2 ) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de la recta, es posibledeterminar su ecuación.

P(x1 , y1)

• Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente, es decir

que también se puede expresar como:

Q(x2 , y2)

R(x , y)

• Tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta.

y

Entonces:


¿Y cómo usamos esta fórmula?

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , 4) y (5, 10)

Identificamos x1 , y1 , x2 , y2

x1 y1 x2 y2

Reemplazamos estos valores en la fórmulay – y1

x – x1

=y2 – y1

x2 – x1

y – 4

x – 2

10 – 4

5 – 2=

y – 4

x – 2=

6

3

y – 4

x – 2=

2

1

Efectuamos los “productos cruzados”

y – 4 = 2x - 4 ordenamos

y = 2x – 4 +4

y = 2x Y tenemos nuestra

ecuación

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Otra forma de enfrentar la misma tarea

• Se calcula la pendiente:

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , -4) y (6, 12)

Identificamos x1 , y1 , x2 , y2

x1 y1 x2 y2

y2 – y1

x2 – x1

=12 – (-4)

6 – 2=

16 4 = 4

• Se reemplaza m en la ecuación y = mx + b

y = 4x + b

• Se toman las coordenadas x e y de uno de los dos puntos y se reemplaza en la ecuación y = 4x + b

(2 , -4) -4 = 4•2 + b y despejamos b

-4 = 8 + b-4 – 8 = b

-12 = b

Finalmente reemplazamos b en

y = 3x + b , quedando y = 3x – 12

=m


Ejercicio 4 : I) Encontrar la ecuación de recta que

pasa por los puntos

• A) (3,5) y (2, 8)• B) (-2 , -3) y (5 , 3)• C) (3 , 5 ) y ( -4, 5)• D) (-1, 1) y el origen


II) Encontrar la ecuación de recta de los siguientes gráficos


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