Ecuacion de segundo grado factorizacion
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Solución de la Solución de la expresión expresión
cuadrática por cuadrática por factorizaciónfactorización
¿Qué es una ecuación ¿Qué es una ecuación cuadrática?cuadrática?
• Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita.
La ecuación cuadrática se La ecuación cuadrática se expresa de la manera expresa de la manera
siguiente:siguiente:
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c
es el término independiente.
HistoriaHistoria• La ecuación de segundo grado y su solución
tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto.
• En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.
• La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
Clasificación: Clasificación:
La ecuación de segundo grado se La ecuación de segundo grado se
clasifica de la siguiente manera:clasifica de la siguiente manera:• Incompleta pura
• Incompleta mixta
• Completa
Incompleta PuraIncompleta PuraPara resolver una ecuación cuadrática pura, basta
con despejar la variable y sus raíces serán iguales y de signo contrario.
ax² + C = 0 despejando tenemos ax² = -C Por lo tanto : x² = - C a x = √ -C a
Ejemplo ecuación Ejemplo ecuación cuadrática Puracuadrática Pura
Forma: ax² + c = 0 SustituciónCon valores: 3x² - 9 = 0 3x² - 9 = 0Despejando :3x² = 9 3(1.732…) ² -9= 0 x² = 9/3 3(3) -9 = 0 x² = 3 9 – 9 = 0 x = ± √ 3 0 = 0Resultado: x1 = + 1.73205… x2 = - 1.73205 …
Ecuación cuadrática Ecuación cuadrática PuraPura
Forma: ax² + c = 0
Con valores: 8x² + 24 = 0
x² =24/8
x² =3
x = ± √3
Resultado: x1 = + 1.7320
Resultado: x1 = - 1.7320
EjerciciosEjercicios2x² + 8 = 0 8x² + 16= 0
10x² + 100 = 0 3x² + 24 = 0
4x² + 24 = 0 8x² +48 = 0
x² + 20 = 0 2x² + 24 = 0
5x² + 45 = 0
4x² - 40 = 0 8x² - 80= 0
x² - 12 = 0 3x² - 39 = 0
2x² - 88 = 0 6x² -48 = 0
x² - 20 = 0 15x² - 300 = 0
6x² - 66 = 0
Incompleta MixtaIncompleta MixtaLas ecuaciones cuadráticas mixtas se resuelven por
factorizacion simple. Una de sus raíces es igual a cero y la otra tendrá un valor real.
ax² + bx = 0 factorizamos: x (ax + b) = 0
La primera raíz es: x1= 0
Del paréntesis : ax + b = 0
Despejando: ax = - b
Luego la segunda raíz es : x2 = -b a
Ejemplo ecuación Ejemplo ecuación cuadrática mixtacuadrática mixta
Forma: ax² + bx = 0
Con valores: 2x² - 6x = 0Factorizando: 2x( x – 3) = 0La primera raiz es: 2x = 0Por lo tanto: x1 = 0Igualando a cero: x – 3= 0La segunda raiz es: x2= 3
Ecuación cuadrática Ecuación cuadrática mixtamixta
Sustituyendo : 2x² - 6x = 0x1 = 0 x2= 3
2(0) ² -6(0)= 0 2(3) ² - 6(3) = 02(0) – 6 (0) = 0 2(9) – 18 =0
0 – 0 = 0 18 – 18 = 0 0 = 0 0 = 0
• Forma: ax² + bx = 0
• Con valores: 2x² - 8x = 0• Factorizando: 2x( x – 4) = 0• La primera raiz es: 2x = 0• Por lo tanto: x1 = 0• Igualando a cero: x – 4= 0• La segunda raiz es: x2= 4
• Forma: ax² + bx = 0
• Con valores: x² - 4x = 0• Factorizando: x( x – 4) = 0• La primera raiz es: x = 0• Por lo tanto: x1 = 0• Igualando a cero: x – 4= 0• La segunda raiz es: x2= 4
EjerciciosEjercicios2x² + 8x = 0 8x² + 16x= 0
10x² + 100x = 0 3x² + 24x = 0
4x² + 24x = 0 8x² +48 x= 0
x² + 20x = 0 2x² + 24x = 0
5x² + 45x = 0
4x² + 40x = 0 8x² + 80x= 0
x² + 12x = 0 3x² + 39x = 0
2x² + 88x = 0 6x² +48 x= 0
x² + 20x = 0 15x² + 300x = 0
6x² + 66x = 0
Ecuación cuadrática Ecuación cuadrática completacompleta
Las ecuaciones cuadráticas de la forma completa pueden resolverse por distintos métodos como son
por factorizacion, por formula general o completando el trinomio del cuadrado perfecto.
Su forma es:
Solución por Solución por factorizacionfactorizacion
• Este metodo consiste en:
• Factorizar el trinomio en el producto de dos binomios
• Para que este producto se anule es necesario que se anule uno de los factores, es decir, se iguala a cero el producto
• Se despeja la variable (por lo general “x”)
Ejemplo por Ejemplo por factorizacionfactorizacion
Forma : Ax² + Bx + C = 0Con valores: x² + 5x + 6 = 0Factorizamos el trinomio: (x + 2) (x + 3) = 0
• x² + 6x + 8 = 0
xx² + 10x + 21 = 0² + 10x + 21 = 0
xx² + x - 6= 0² + x - 6= 0
• x² + 12x + 36= 0
• x² + 14x + 40 = 0
• x² - 5x - 6 = 0
• x² + 7x + 6 = 0
4x4x² - 12x + 6 = 0² - 12x + 6 = 0
6x6x² - 19x + 10 = 0² - 19x + 10 = 0
12x12x² -17x + 6 = 0² -17x + 6 = 0
Solución por formula Solución por formula generalgeneral
• La formula general se aplica empleando los coeficientes de la ecuación cuadrática completa:
• Ax² + Bx + C = 0 • La formula general es: x= -B ± √ B² - 4 AC• 2A
Ejemplo por formula Ejemplo por formula generalgeneral
Los coeficientes son : A = 3, B = 4, C = -4La ecuación: 3x² + 4 x – 4 = 0Los sustituimos: x = -4 ± √ (4) ² - 4 (3) (-4)
2(3)Multiplicando dentro del x = -4 ± √ 16 + 48 Radical. 6Sumando: -4 ± √ 64 6 La primera solución es: x1 = -4 + 8 = 4 = 2 6 6 3La segunda solución es: x2 = -4 – 8 = -12 = -2 6 6
Ecuación Ecuación cuadrática cuadrática completacompleta3x² + 4 x – 4 = 0
x1= 2/3 x2= -23(2/3) ² + 4(2/3) – 4 = 0 3(-2) ² + 4(-2) – 4 = 0 3(4/9) + 4(2/3) – 4 = 0 3(4) + 4 (-2) – 4 = 0 4/3 + 8/3 – 4= 0 12 -8 -4 = 0 12/3 -4 = 0 12 -12 =0 4 -4 = 0 0 = 0