Ecuacion Diferencial Homogenea de Primer Orden EjerciciosEcuacion Diferencial Ejercicios Resueltos

5/19/2015 EcuaciondiferencialhomogeneadeprimerordenejerciciosEcuacionDiferencialEjerciciosResueltos

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ECUACIONDIFERENCIALEJERCICIOSRESUELTOSResuelve eficazmente ejercicios de ecuaciones diferenciales mediante explicaciones detalladas que te inspiran

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CMO RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES CON EL MTODO DEL FACTOR INTEGRANTE. MTODO DE 4 PASOS

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INDICE DE ECUACION DIFERENCIAL EJERCICIOS RESUELTOS

Metodo de Euler para Ecuaciones Diferenciales con SAGE

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DE DONDE SALE EL FACTOR INTEGRANTE O FACTOR DE INTEGRACIN Y QU ES

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales

Teorema Fundamental del Calculo. Decifra el significado del Teorema

LA TCNICA PERFECTA. COMO APRENDER ECUACIONES DIFERENCIALES O CUALQUIER COSA

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

EcuacionDiferencialHomogeneadePrimerOrden OCTUBRE 16, 2014 BY MANUEL ALEJANDRO VIVAS RIVEROL



Ecuacion diferencial homogenea de primer orden

Una vez que hayas finalizado la lectura de este artculo podrs resolver cualquier ecuacin diferencialhomogenea de primer orden,mediante un mtodo eficaz y fcil de aplicar, con lo que rpidamentepodrsresolver tus ejercicios.

Segn la Doctora Barbara Oakley profesora de ingeniera en eldepartamento de ingeniera de sistemas eindustrial de la universidad de Oakland en Rochester, Michigan; una de las formas no solo derecordarinformacin si no tambin de comprenderla es realizando analogasy/o metforas que relacionen lainformacin que queremos aprender conconocimiento fcil de recordar para nosotros, por ejemplo cuandovisualizamosla corriente elctrica como flujo de agua.

O cuando hacemos las metaforas para relacionar los CAtIONES con el signo (+) ylos AnIONES con el signo (- ,n EGATIVO) utilizando sus propias letras.

Por este motivo, te propongo formular una analoga para recordar cmoidentificar una ED homognea deprimer orden. Puedes ver un ejemplo en la presentacin: Homogeneidad de una ecuacin diferencial deprimerorden. Utiliza el criterio de homogeneidad de una ED que a continuacinse describe.

Criterio de homogeneidad de una Ecuacin Diferencial

El criterio que determina la homogeneidad de una ED es el siguiente, cuandoveas una ED escrita de estaforma:

(1)

Para determinar su homogeneidad corrobora que la suma de losexponentes para las variables de cada unode sus trminos sea lamisma; es decir, supongamos que y ,entonces (1) se transforma en:

(2)

Donde A, B, C son funciones polinomiales tambin.

De tal manera de que si la suma TOTAL de los exponentes de cadatermino es la misma, es decir, siguiendocon la ecuacin anterior:

4 5 44 5 5

4

.

5

/

4

,

5

-

4

)

5

*

4 5 4

.

5

/

4

,

5

-

4

)

5

*

. / , -)*



Entonces la Ecuacin Diferencial es homognea.

Ver un ejemplo en este enlace: click aqu.

Ver un desarrollo mas detallado del criterio de homogeneidad en la presentacin: Homogeneidad de unaecuacin diferencial de primerorden.

Metodologa utilizada. Cmo resolver una ED homognea deprimer ordenen 4 pasos.

Para resolver ED homogneas utilizaremos los siguiente 4 pasos, quedescribimos a continuacin:

1. Determinamos Homogeneidad

a). Escribimos la ED en la forma:

o

b). Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos laconvierta en la forma:

o

2. Seleccionamos la sustitucin adecuada:

o

3. Desarrollamos la nueva ED (que ahora es separable y), que tiene la forma:

o

4. Integramos e inmediatamente despus de aplicar la formula deintegracin regresamos a lasvariables originales.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS

Resolver la siguiente Ecuacin Diferencial

Solucin

"4 5

5

4

"5 4

4

5

"

5

4

5

4

"

4

5

4

5

1

5

4

2

4

5

4 1 1

1

4

5 2 2

2

4

45

5

4

4

5



Paso 1. Determinamos homogeneidad

a). Escribimos la ED en la forma: o

b). Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos laconvierta en la forma: o

Paso 2. Seleccionamos la sustitucin adecuada

o

Tenemos:

Por tanto:

"4 5

5

4

"5 4

4

5

45

5

4

5

4

4

5

4

5

45

"

5

4

5

4

"

4

5

4

5

5

4

5

4

4

5

45

4

4

4

4

5

4

45

4

5

4

5

4

1

5

4

2

4

5

1 5 14 1 4

5

4

5

4

1

4

5

4

1 4

1

4

4

1

4

5

4

5

4

1

1

1

1

1



Paso 3. Desarrollamos la nueva ED (que ahora es separable y), tiene laforma:

o

Tenemos:

Paso 4. Integramos e inmediatamente despus de aplicar la frmula deintegracin regresamos a lasvariables originales.

Tenemos:

Si entonces:

4 1 1

1

4

5 2 2

2

4

4

1

4

4

1

4

4

1

4

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

4

4

1 1

1

4

4

2 1

2 1 1

MO 1

MO 4

1

5

4



Por tanto, el resultado buscado es:

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.

Dennis G. Zill, Capitulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 1

Resolver la Siguiente Ecuacin Diferencial

Solucin



MO

5

4

MO

5

4

MO

5

4

5

4

5

4

5

4

5

5

MO 4

MO 4 MO

MO4

4

4

4

4 4

4

4

5 4

4

4 5 44 5

"4 5

5

4

"5 4

4

5





o

Tenemos:

Por tanto:

4 5 4 4 5

4 5 4

5

4

4

5

4

5

4

4 5

5 4

4

"

5

4

5

4

"

4

5

4

5

5

4

5 4

4

4

4

54

4

4

4

5

4

4

4

4

4

5

4

5

4

1

5

4

2

4

5

1 5 14 1 4

5

4

5

4

1

4

5

4

1 4

1

4

4

1

4

5

4

1

1 1



Paso 3. Desarrollamos la nueva ED (que ahora es separabley), tiene la forma:

o

Tenemos:

Paso 4. Integramos e inmediatamente despus deaplicar la frmula de integracin regresamos a lasvariables originales.

Tenemos:

Si , entonces:


_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.

4 1 1

1

4

5 2 2

2

4

4

1

4

4

1

4

1

1 1

4

4

1

1

1

4

4

4

4

MO 4

1

5

4

5

4

5

MO 4

4 MO 44

54 MO44




Resolver la siguiente ecuacin diferencial

Solucin:





o

Tenemos:

4 5 44 5

"4 5

5

4

"5 4

4

5

4 5 4 4 5

4 5 4

5

4

4

5

4

5

4

4 5

4 5

4

"

5

4

5

4

"

4

5

4

5

5

4

5

4

5

4

5

4

4 5

4

4

4

4

4

5

4

4

4

5

4

5

4

1

5

4

2

4

5

1 5 14 1 4

5

4

5

4

1

4



Por tanto:


o

Tenemos:


Tenemos:

,

Para entender mejor las tcnicas de integracin de funcionesracionales vase el artculo: Integracin defuncionesracionales.

Esto implica:

5

4

1 4

1

4

4

1

4

5

4

1

1 1

4 1 1

1

4

5 2 2

2

4

4

1

4

4

1

4

1

1

1 1

1 1

1

1

4

4

1

1

4

4

2 1 2 1



Si , entonces:


1

1

1

1

MO ] 1]

4

4

4

4

MO ]4]

1

5

4

MO

5

4

MO

5

4

MO

4 5

4

MO MO ]4]

4 5

4

MO 4

4 5

4

MO

4

4 5

4

MO

454

454

454

454

454

45

5

5

MO ]4]

MO ]4]

MO ]4]

!

4

4

4

4

4

5

4

4



_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.


Resolver la siguiente ecuacin diferencial





o

Tenemos:

4 454 5

"4 5

5

4

"5 4

4

5

4 4 5 4 5

4 5 4

5

4

5 4

5

4

5

4

4

4

5 4

"

5

4

5

4

"

4

5

4

5

5

4

4

5 4

4

4

4

4

5

4

4

4

5

4

1

5

4

2

4

5

5



Por tanto:


o

Tenemos:

Para entender mejor las tcnicas de integracin utilizadas der elartculo: Integracin de funcionesracionales.


Tenemos:

Si , y , entonces:

1 5 14 1 4

5

4

5

4

1

4

5

4

1 4

1

4

4

1

4

5

4

1

1

1

4 1 1

1

4

5 2 2

2

4

4

1

4

1 1

1 1

11

1

11

1

1 1

1

4

4

1 1

1 1

4

4

2 1 1

2 1



Sabiendo que , si hacemos ,y , entonces:

NOTA: las tcnicas de integracin para funciones racionales laspodemos ver en el artculo: Integracin defuncionesracionales.

Si , entonces:

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1 1

4

4

4

4

4

4

4

4

1 11

2 1 2 1

1 1

1 1

1

1

MO ] 1 ]

1

1

4

4

MO ]4]

1

5

4




_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.



Solucin:



MO

5

4

5

4

5

4

MO

5

4

5

4

5

4

MO

455

4

4

45

4

MO

455

4

4

4

4 5

MO MO ]4]

455

4

4

MO

4 455

4

4

MO

455

4

MO

4 5

MO ]4 5]

4

4 5

MO ]4]

MO ]4]

MO ]4]

MO ]4]

4

4 5

4

4 5

4

4 5

4

4 5

MO ]4 5]

4

45

5 44 5 5

"4 5

5

4

"5 4

4

5





o

Tenemos:

Por tanto:


5 4

5

4

5

4

5

4 5 5

4 5

4 5

5

"

5

4

5

4

"

4

5

4

5

4

5

4

5

4

5

4

5

4 5

5

5

5

4

5

5

5

5

5

4

5

4

5

1

5

4

2

4

5

2 4 25 2 5

4

5

4

5

2

5

4

5

2 5

2

5

5

2

5

4

5

2

2 2

1 2



o

Tenemos:

Paso 4. Integramos e inmediatamente despus de aplicar la frmulade integracin regresamos a lasvariables originales.

Tenemos:

Si , entonces:

4 1 1

1

4

5 2 2

2

4

5

2

5

5

2

5

2

2

2 2

2 2

2

5

5

2

2

MO ]2 ]

5

5

MO ]5]

2

4

5




(3)

La representacin grfica de este resultado se muestra en la Figura 1 y Figura 2.

MO

4

5

MO MO ]5]

4

5

MO

4

5

5

MO

45

5

5

MO

4 5

5

4 5

5

4 5

5

4 5

4

MO ]5]

!

5

5

5

4 5

5



Figura 1.Perspectiva en Relieve de la Solucin General (3). Problema 4

La siguiente figura en 3D es manipulable. Para ver a detalle la figura, posicinate con el puntero del mousesobre ella y deja presionado el botn izquierdo (click izquierdo con el mouse) mientras lo mueves. Con estopodrs ver el detalle de la figura en 3D. Nota: es posible que necesites instalar el software para manejode CDF de Wolfram, da click aqu para instalarlo.



_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.



(4)

Solucin:



54 4 5 5

4

"4 5

5

4

"5 4

4

5





o

Tenemos:

Por tanto:

54 4 55

4

54 5

4

5

4

4

5

4

5

4

545

545

4

"

5

4

5

4

"

4

5

4

5

5

4

5

4

5

4

545

4

4

4

5

4

54

4

4

4

5

4

5

4

5

4

5

4

1

5

4

2

4

5

1 5 14 1 4

5

4

5

4

1

4

5

4

1 4

1

4

4

1

4

5

4

5

4

11

1 11




o

Tenemos:

Paso 4. Integramos e inmediatamente despus de aplicar la frmulade integracin regresamos a lasvariables originales.

Tenemos:

Integrando por fracciones parciales:

Esto implica:

4 1 1

1

4

5 2 2

2

4

4

1

4

4

1

4

4

1

4

4

1

4

1

11

1 11

1 11

11

11

4

4

1

11

1

11

4

4

4

4

11

1

1

1 1

1 1

11

1



E igualando coeficientes:

Esto implica:

Por tanto:

Es decir:

Si , entonces:

11

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

MO ]1] MO ]1 ]

4

4

4

4

MO ]4]

1

5

4




La representacin grfica de este resultado se muestra en la Figura 3, Figura 4 y Figura 5.

MO MO

5

4

5

4

MO MO

5

4

5

4

MO

5

4

5

4

MO

5

4

54

4

+

'

*

*

MO

5

5 4

MO MO ]4]

5

5 4

MO 4

5

5 4

4

5

5 4

4

5

5 4

54

5 4

54

MO ]4]

MO ]4]

MO ]4]

MO ]4]

MO ]4]

!

5 4

5 5 44



Figura 3.Grfica de la familia de soluciones de la ED (4)



Figura 4.Vista en Relieve de la solucin general de la ED (4)

La siguiente figura en 3D es manipulable. Para ver a detalle la figura, posicinate con el puntero del mousesobre ella y deja presionado el botn izquierdo (click izquierdo con el mouse) mientras lo mueves. Con estopodrs ver el detalle de la figura en 3D. Nota: es posible que necesites instalar el software para manejode CDF de Wolfram, da click aqu para instalarlo.



El cdigo de MATHEMATICA para generar las figuras del Ejercicio 6, es elsiguiente:

Clear["Global`*"]eq6=y'[x]==(y[x]^2+y[x]x)/x^2Sn6=DSolve[eq6,y[x],x]//Simplifyt1=Table[Evaluate[Sn6[[1,1,2]]/.C[1]>i],{i,5,5}]ptot=Plot[Tooltip[t1],{x,3,3},PlotRange>{3,3}]

Sn6Parta=DSolve[{eq6,y[1]==1},y[x],x]//Simplifyp1=Plot[y[x]/.Sn6Parta,{x,3,3},PlotRange>{3,3},PlotStyle>{Green,Thick}]

Sn6Partb=DSolve[{eq6,y[1]==2},y[x],x]//Simplifyp2=Plot[y[x]/.Sn6Partb,{x,3,3},PlotRange>{3,3},PlotStyle>{Blue,Thick}]

Sn6Partc=DSolve[{eq6,y[3]==4},y[x],x]//Simplifyp3=Plot[y[x]/.Sn6Partc,{x,3,3},PlotRange>{3,3},PlotStyle>{Red,Thick}]Show[{ptot,p1,p2,p3}]

Sn6a=(2x)/(1+2x^2C[1])==y[x]Sn6b=Solve[Sn6a,C[1]]Sn6b[[1,1,2]]ContourPlot[Evaluate[Sn6b[[1,1,2]]/.{y[x]>y}],{x,50,50},{y,50,50}]Plot3D[Evaluate[Sn6b[[1,1,2]]/.{y[x]>y}],{x,50,50},{y,50,50}]



Nota: al pegar el cdigo, es necesario corregir los espacios y verificar que la variable independiente(en este caso x est de color verde, as como la variable independiente y f(x) est en azul).

Cada vez que te topes con conceptos abstractos que te parezcan difciles de entender realiza unaMETFORA en donde utilices conocimiento fcil de accesar para ti que de la idea del concepto que estsaprendiendo, OJO: No importa que la metfora sea exagerada (de hecho es recomendable que lo sea),tampoco es importante que la metfora refleje el concepto exacto de lo que se trata de aprender, mas bien,debe reflejar la idea que te traiga a la mente el cmo utilizar (o resolver) las matemticas (o conceptos engeneral). Dicha metfora, no necesariamente tendr que ser definitiva, puedes utilizar aproximaciones quete permitan utilizar los conceptos aunque estas aproximaciones no sean muy precisas; eventualmente,podrs afinar la metfora para que refleje de mejor manera el concepto estudiado.

Utiliza el cdigo de MATHEMATICA que te he proporcionado para que modeles y grafiques tus resultados yse afiance ms TU CONFIANZA y TU HABILIDAD.

Prepara tu mente para desarrollar tu intuicin y confianza, para esto es necesario, como ya sabemos, laprctica y el error, pero tambin es importante que conozcas cmo funciona el cerebro para sacar mayorpartido de l. Por ellote invito a leer el artculoLa tcnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales,da click aqu, y practicar con varios ejercicios.

Puedes descargar este mismo artculo en formato PDF, aqu (da click aqu)

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