Universidad san pedroFacultad de ingeniería

Escuela profesional de ingeniería civil

Ing: Dante Salazar Sanchez

Ines Durand Ruidias .

Jorge Coral Falcon.

ANALISIS DIMENSIONAL

Magnitudes fisicas En nuestra vida cotidiana todos tenemos la

necesidad de medir longitudes , contar el tiempo o pesar cuerpos, por ejemplo podemos medir la longitud de una tubería, el volumen de un barril , la temperatura del cuerpo humano, la velocidad del bus, etc. todas estas son magnitudes o cantidades físicas , luego

Magnitud es todo aquello que podemos medir directa o indirectamente y asignarle un numero y unidad .

Existe una gran cantidad de magnitudes , en forma general se clasifican a su origen y de acuerdo a su naturaleza.

Por su Origen: Magnitudes fundamentales . Magnitudes derivadas.

Por su naturaleza Magnitudes escalares . Magnitudes vectoriales.

Magnitudes fundamentalesLas magnitudes fundamentales son aquellas que no se pueden expresar en funcion de otras , estas se toman arbitrariamente y sirven de base para el desenvolvimiento de la ciencia. En funcion de estas magnitudes fundamentales pueden escribirse muchas otras magnitudes como : el area , la velocidad , la densidad , la presion, etc.

La siguiente tabla muestra las unidades del sistema internacional ( SI).

Cuando se mezclan las magnitudes

fundamentales se obtienen

otras magnitudes denomidas DERIVADAS

Tambien se emplean magnitudes auxiliares:

Ecuaciones DimensionalesEmpleando las magnitudes fundamentales se pueden escribir otras magnitudes denominadas derivadas , las ecuaciones dimensional muestra simplemente la relacion que existe entre la magnitud derivadas y las fundamentales , matematicamente :

[M . DERIVADA] =

Las ecuaciones dimensionales tienen el siguiente objetivo : Escribir las magnitudes derivadas en funcion de las

magnitudes fundamentales Demostrar la validez de una formula Determinar formulas empiricas

1) ecuacion dimensional de la Velocidad [V]:

V=[v]=

2) Acerelacion [a]:a= luego [a] =

3)Area [A]:A= b.h , luego [A] =L.L

4) Volumen [V]= largo . Ancho. Espesor

[v] = L.L.L

[V] =L

[ A ]=𝐿2

[V] =

[ a ]=𝐿𝑇− 2

5)Fuerza [f] =m.a, luego [F]= M.L

6) Densidad [ρ]= , luego [ρ]= m/

7)Trabajo (w) = f.d , luego [W] = (LM

8)Potencia [P]=, luego [P]=

9)Presion (p) =, Luego [p]

10 ) Frecuencia [F], luego [F]

11)Carga electrica [q] =[I].[T]

12)Iluminacion (Y)=, [Y] =

LM

𝐿−3𝑀

𝐿2𝑀𝑇− 2

𝐿2𝑀𝑇− 3

𝐿−1𝑀𝑇− 2

𝑇 −1

IT

𝐿−2 𝐽

REGLAS DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES:

REGLA N° 1La adición o sustracción no se aplican a las ecuaciones dimensionales, sino que sumando o restando las magnitudes de la misma naturaleza obtendremos otra de la misma naturaleza;ejemplo:

* L + L = L (no se cumple al suma)* M --- M = M (observe que no da cero)

REGLA N° 2Las leyes de la multiplicación y la división son aplicables a las ecuaciones dimensionales; ejemplo:* = LM * L . LT = L²T * = M³T³

REGLA N° 3Las constantes matemáticas (números) son aquellas que carecen de unidades ; luego:

Ejemplos:

a) La «función trigonométrica» es un numero:

b) La «función logarítmica» es un numero:

como «N» también es un numero tendremos [N] = 1

c) La «exponentes» son numero: Dado y = tendremos que:

La ecuación dimensional de un numero es la unidad. [Numero] = 1

[cos] = 1

[logN] = 1

[X] = 1

d) La «constantes matemáticas» en sus diferentes formas son adimensionales (no tienen unidades) * [] = 1 * [√2] = 1 * [50] = 1

e) Los «ángulos» son considerados cantidades adimensionales: * [rad] = 1 * [40°] = 1

PROBLEMA 01LA ENERGÍA EN EL S.I , SE MIDE EN JOULE (J). SI LA ENERGÍA CINÉTICA (E) DE UN CUERPO ESTA DEFINIDA MEDIANTE :

EC = 0,5 M X V2

DONDE M ES MASA Y V ES EL MODULO DE VELOCIDAD¿CUÁL DE LOS SIGUIENTES GRUPOS DE UNIDADES EQUIVALE A JOULE?A) KG M2S-1 B) KG M-1S-2 C) KG M2S2 D) KG M2S-2 E) KG M3S-2

RESOLUCIÓN :

EC = 0,5 M X V2 [E

C ]= [0,5] [M] [ V2]

=1

[EC ]= M(LT-1)2 = M.L2T-2

[EC ]= M.L2T-2

[EC ]= KG.M2S-2

PROBLEMAS 01

En la siguiente ecuación, ¿Qué magnitud puede representar Y?, se sabe que P es presión, A es área y m es masa.

YSOLUCION :

[YRecordemos que:[P] : M........ presión[A] : L²……………. área[m] : M …………… masa[] : 1 …………….. constante matemática[: 1 ………….. función trigonométrica

Reemplazando en (1)[Y] = (1)

[Y] = L…... (2)Sabemos que para la aceleración:

[a] = L…….. (3)Luego:

[Y] : aceleración

PROBLEMAS 02

Si la ecuación cumple con la regla de la homogeneidad, halle [X] y [Y].

DX= - D : densidad y : aceleraciones y : fuerzasT : tiempo

SOLUCIÓN:* La resta de dos aceleraciones debe dar otra aceleración ():

- = ………. (1)

* La resta de dos fuerzas debe otra fuerza ():- = ……… (2)

Reemplazando en la ecuación dada:

=

* Igualando el 1° y 2° términos:

[D][X] = M[X] =

* Igualando el 1° y 2° términos:

= =

[X] = :

[Y] = :

PROBLEMAS 03

En la ecuación dimensionalmente correcta halle la ecuación dimensional de Y.

m : masa

P : potencia xy = W : trabajo

V : velocidad

 SOLUCION:

Dentro de la raíz cuadrada hay una suma y podemos usar el principio de homogeneidad.

[mP] = [Wx]

[m][P] = [W][x]M . = [x]

[x] = ……………… (1)

Reemplazamos en la misma ecuación:xy =

[x][y] =

. [y] =

. [y] =

. [y] =

[y] =

[y] =

PROBLEMAS 04La energía cinética de un móvil de masa «m» y velocidad «v» es:

E = kSi k es una constante matemática, halle los exponentes a y b.SOLUCION:

[E] = [k][[L²M = (1)

L²M =

Comparando la base L:

Comparando la base M:

b = 2

a = 1

GRACIAS…