Ecuacion Euler

8/10/2019 Ecuacion Euler

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Ecuacin de Euler

En la fgura de a lado (fg. 1.3)tenemos esquematizado el rodete deuna turbomquina con su sistema de labes mviles queintercambian trabajo con el uido.Como indicado en las fguras que

siguen (fg 1.(a) ! fg 1. (b))" el caudal que atraviesa los labesmvilesa

m es distinto de lo que entra o sale de la mquina m !

esto de#ende de la di$erencia de #resin entre la salida ! laentrada a los labes.

%a fgura 1.(a) se refere al caso en que la #resin a lasalida de los labes mviles es menor que la #resin a laentrada de los labes.En este caso el caudal que atraviesalos labes es menor que el caudal que entra o sale de lamquina.Este caso se da #ara las turbinas.

%a fgura 1.(b) se refere al caso en que la #resin a lasalida de los labes es ma!or que a la entrada de loslabes.En este caso el caudal que atraviesa los labes esma!or que el caudal que entra o sale de la mquina" debidoa que &a! un caudal de recirculacin.Este caso se da #aralas bombas ! com#resores.

Fig.1.3

Fig.1.4(b)

Fig.1.4(a)


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' continuacin vamos a deducir la ecuacin de Euler"a#licando la ecuacin del momento de la cantidad demovimiento al volumen de control como defnido en lafgura de a lado (fg. 1.) #or la lnea #unteada.

Como se #uedea#reciar" la corriente que entra ! sale del volumen decontrol es la que est sujeta a la accin de los labes"%as

secciones ! estn ubicadas res#ectivamente a la

entrada ! a la salida de los labes mviles.

%a ecuacin de Euler establece una relacin entre trabajo

intercambiado ! cam#o de velocidad.Como !a sabemos delcurso de *ecnica de +luidos" la ecuacin del momento dela cantidad de movimiento se e,#resa como sigue-

El momento de la cantidad de movimiento que en launidad de tiem#o sale del volumen de control/ el momentode la cantidad de movimiento que en la unidad de tiem#oentra al volumen de control0 *omento resultante de todaslas $uerzas e,ternas que actan sobre el volumen decontrol2

ic&a ecuacin vale #ara el estado #ermanente" #ara uidoideal ! #ara uido real (o sea con rozamiento). %osmomentos se calculan res#ecto a un #olo gen4rico" #ara elcual #odemos tomar un #unto del eje giratorio.

Caudal msico de la corriente que atraviesa los labes.

5elocidad absoluta del uido en el #unto en que lalnea mediana de ujo cruza la seccin .

Fig.1.5

Lnea mediada de fujo


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5elocidad absoluta del uido en el #unto en que la

lnea mediana de ujo cruza la seccin .

6on res#ectivamente los vectores que unen el #olocon el #unto ! con el #unto .

5ector velocidad angular del rodete.

7enemos-

(5elocidad #eri$4rica o velocidad de arrastre del

#unto #ensado como solidario al rodete)

'nlogamente-

Entonces-

tiene el mismo valor a lo largo de " luego #or ser

constante #uede ser llevado $uera del signo de integral8 lomismo #ara .


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' continuacin vamos a analizar el t4rmino

7enemos-

" siendo el momento de la gen4rica $uerza

que acta sobre el volumen de control.

9rimero" consideremos el a#orte a de los momentos

de las $uerzas de gravedad que acta sobre cada masaelemental dentro del volumen de control.%as masas dentrodel volumen de control tienen una distribucin sim4tricares#ecto al eje giratorio"luego las $uerzas de gravedad queactan sobre dos masa en #osicin sim4trica res#ecto al ejedan dos momentos iguales ! o#uestos" #or lo que el a#orte

a es nulo.Entonces las $uerzas de gravedad no dan

a#orte a .

5eamos a&ora el a#orte debido a las $uerzas que actansobre la su#erfcie del volumen de control. Cada una de las$uerzas de la fgura de a lado (fg. 1.:) da un momento que

es #er#endicular a " #or lo que es nulo el a#orte a .

%as $uerzas de la fgura que sigue (fg. 1.;) dan un a#orte a

que generalmente es des#reciable ! se des#recia.

Fig.1.6

Fig.1.7


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Entonces se debe

sustancialmenteal momento que se ejercesobre el volumen decontrol a la base de los labes mviles" de tal manera que

resulta ser la #otencia transmitida al volumen decontrol donde la su#erfcie de controlcorta la base de los labes mviles (fg.1.


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que ingresa o sale del es#acio barrido #or los labesmviles.Entonces-

(Ecuacin de Euler)

re#resenta el trabajo cedido #or el uido.

re#resenta el trabajo cedido al uido.

6ubra!amos el &ec&o de que la ecuacin de Euler vale #arauido ideal ! #ara uido real (con rozamiento)" de acuerdoa la ecuacin del momento de la cantidad de movimiento a#artir de la cual justamente &a sido deducida la ecuacin deEuler.

Con re$erencia a los tringulos de velocidad a la entrada ! ala salida de los labes mviles (fg. 1.>)" #odemos escribir.

Como se #uede a#reciar" el trabajo intercambiado entreuido ! labes mviles se debe $undamentalmente a unadesviacin de la velocidad absoluta entre la entrada ! lasalida de los alabes"o sea $undamentalmente a la variacinde la com#onente de la velocidad absoluta segn ladireccin de la velocidad de arrastre" o sea se debe a la

variacin de .

Claramente el trabajo intercambiado de#ende tambi4n de

las velocidades de arrastre .

Velocidadrelativa

VelocidadrelativaFig.

1.9


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Entonces" como se #uede a#reciar" el trabajo intercambiadose debe a los cam#os de velocidades a la entrada ! a lasalida de los labes" de acuerdo a la defnicin deturbomquinas.

En el caso en que " resulta-

6egunda $orma de la ecuacin de Euler

%a ecuacin de Euler #uede ser #uesta en otra $orma en quea#arecen las velocidades relativas (fg. 1.1?). 7enemos-

UVvUvvr cos2cossin 222222 ++=

Entonces-9ara la entrada-


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9ara la salida-

En la ecuacin de Euler-

Otras ecuaciones de las turbomquinas

Consideramos la ecuacin:

( ) ( )12

2

1

2

212

2ZZg

VVhhwq +

+=

( ) ( ) wZZgVV

hhq ++

+= 12

2

1

2

212 .

2

Apliqumosla al volumen de control que coincide con los albes mviles (volumen de

control que hemos utilizado para la ecuacin de Euler).

( ) ( )

2

2

!!

2

!!"

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1r

2

2re

+

+

=

#ubstitu$endo esta ecuacin en la ecuacin anterior tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )

222.

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

212

2

1

2

212

UUVVVVZZg

VVhhq

rr +

+

++

+=

Al %inal resulta:


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( ) ( ) ( )

( )122

2

2

1

2

1

2

212

22ZZg

UUVVhhq rr +

+

+=

&e i'ual manera con respecto al mismo volumen de control podemos

escribir:

).(2

. 21

2

2

2

1

2

1

ZZgVV

dPvwwr

+

+=+

).(2

.222

)()(21

22

21

2

1

22

21

22

21

21

22 ZZgVVdPvwUUVVVV r

rr ++=+++

Al %inal resulta:

( ) ( )( ) .

22 21

2

1

2

2

2

2

2

12

1=+

+

+ r

rrwZZg

UUVVvdP


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*E#+E, &E -A# ECAC/,E# 0E,E*A-E#

(A) ( ) ( )

( )122

1

2

212 .

2ZZg

VVhhwq +

+=

() ).(2

21

2

2

2

1

2

1

ZZgVVdP

ww r +

+=+

v

1=

(C)

= 2211 .. UVUVWe

(&)( ) ( )

2

2

!!

2

!!"

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1r

2

2re

+

+

=

(E) ( ) ( ) ( )

( )122

2

2

1

2

1

2

212

22ZZg

UUVVhhq rr +

+

+=

()( ) ( )

( ) .22

21

2

1

2

2

2

2

2

12

1=+

+

+ r

rr wZZgUUVVdP

Es costumbre utilizar las ecuaciones antecedentes en otra forma

obtenida dividiendo todos los trminos por g


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Pongamos:

qg

q= ; w

g

w= ; r

rw

g

w= ; e

e Wg

W= ; h

g

h=

Claramente hWwwq er (((( son ma'nitudes re%eridas a la unidad de peso.

Entonces tenemos:

!"# ( ) ( ) ( )122

1

2

212

2ZZ

g

VVhhwq +

+=

$"# )(2

21

2

2

2

1

2

1

ZZg

VVdPww r +

+=+

;

v

g=

%"# )..(1

2211

= UVUVg

We

&"#( ) ( )

g

UU

g

VV

g

VVw rr

222

22

21

22

21

21

22 ++=

E"# ( ) ( ) ( ) ( )122

2

2

1

2

1

2

212

22ZZ

g

UU

g

VVhhq rr +

+

+=

'"#( ) ( )

( ) 22

21

2

1

2

2

2

2

2

12

1=+

+

+ r

rr wZZg

UU

g

VVdP

-os trminos de estas ecuaciones tienen la dimensin de una lon'itud.

En el caso de turbomquinas (idrulicas ) constante# las ecuaciones $"# * '"#

toman la siguiente forma

)(

2 21

2

2

2

121 ZZ

g

VVPPww r +

+

=+


12/12

( ) ( )( )

22 21

2

1

2

2

2

2

2

121 =+

+

+

rrr

wZZg

UU

g

VVPP

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