Ecuacin paramtrica

Puede describirse una hlice con la ecuacin paramtricaf(t) = (5\cos(t), 5\sin(t), t/5). Al variar el valor de t, se obtienen los distintos puntos de la curva.

En matemticas, una ecuacin paramtrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parmetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemtica, es cuando se usa un parmetro de tiempo (t) para determinar la posicin y la velocidad de un mvil.

ndice1 Descripcin 1.1 Ejemplo

1.2 Otro ejemplo

2 Curvas notables 2.1 Circunferencia

2.2 Elipse

2.3 Otras curvas

3 Representacin paramtrica de una curva

4 Vase tambin

5 Notas y referencias

6 Enlaces externos

DescripcinEn el uso estndar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de sta siendo equivalente al de la imagen de la funcin cuando los restantes valores son sus parmetros. As por ejemplo la expresin de un punto cualquiera (x, y) equivale a la expresin (x, f(x)).Esta representacin tiene la limitacin de requerir que la curva sea una funcin de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y slo un valor correspondiente en y. No todas las curvas cumplen con dicha condicin. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una funcin, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma s sea funcin. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representacin grfica) conocida como parmetro.EjemploSea 3x - 2y - 5 = 0 la ecuacin general de una recta, entonces caben la ecuaciones paramtricas:1\begin{cases} x=& 2t +5 \\ y= & 3t+5 \end{cases} Otro ejemploDada la ecuacin y = x^2, una parametrizacin tendr la forma \begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}Una parametrizacin posible sera \begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde x e y equivaliesen a 2U y 4U^2 sera igualmente vlida. La diferencia sera que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parmetro sera diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecera en la primera parametrizacin cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1.Curvas notablesCircunferencia Ecuacin paramtrica de la circunferencia goniomtrica. La variable t es el ngulo y sus puntos son: (x, y) = (cost, sint).Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que x^2 + y^2 =r^2Una expresin paramtrica es \begin{cases} x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{cases}ElipseUna elipse con centro en el origen de coordenadas y que se interseque con el eje x en a y -a, y con el eje y en b y -b, verifica que \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1.Una expresin paramtrica es \begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}.Otras curvas Diferentes figuras variando kLa expresin paramtrica de una funcin permite la construccin de una gran variedad de formas, simplemente variando alguna constante. A continuacin se describe la funcin paramtrica:x = (a - b) \cos(t)\ + b \cos(t ((a / b) - 1)) y = (a - b) \sin(t)\ - b \sin(t ((a / b) - 1)) Dependiendo del ratio k = a/b pueden obtenerse formas muy diversas.En esta otra funcin se puede ver una gran variedad de formas en funcin de los exponentes j y k, variando los parmetros a,b,c y d.x = \cos(a t) - \cos(b t)^j y = \sin(c t) - \sin(d t)^k A continuacin ejemplos para j=3 k=3 y j=3 k=4.j=3 k=3

j=3 k=3

j=3 k=4

j=3 k=4

j=3 k=4

A continuacin se describe otra funcin donde puede obtenerse una gran diversidad de formas, variando el valor de las constantes: i,j,a,b,c,d,e.x = i \cos(a t) - \cos(b t) \sin(c t) y = j \sin(d t) - \sin(e t) i=1 j=2

Las ecuaciones paramtricas a menudo describen bellas figuras.Representacin grfica de tres funciones paramtricas.

Representacin grfica de dos funciones paramtricas.

Representacin grfica de dos funciones paramtricas.

Representacin paramtrica de una curvaLa representacin paramtrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parmetro (habitualmente se considera que t es un nmero real y que los puntos del espacio n-dimensional estn representados por n coordenadas reales), de la forma e_i=f_i(t),\,f_i:[a,b] \rightarrow {\mathbb R}, donde ei representa la i-sima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)Es comn que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto a \leq t < b le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramtricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva est compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.Es comn resumir las ecuaciones paramtricas de una curva en una sola ecuacin vectorial\vec{r}(t) = \sum_{i=1}^n f_i(t)\hat{e}_i = f_1(t)\hat{e}_1 + f_2(t)\hat{e}_2 + \dots + f_n(t)\hat{e}_n, donde i representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-sima. Por ejemplo, las funciones paramtricas de un crculo unitario con centro en el origen son x = cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuacin de la forma\vec{r}(t) = \cos(t)\hat{i} + \sin(t)\hat{j}. Vase tambinCannico (matemtica)

Geometra analtica

Notas y referencias

"Geometra Analtica" de Gordon Fuller (1991) pg. 223

Enlaces externosCmo parametrizar una lnea (en ingls - grficos interactivos)

Aplicacin web para dibujar curvas parametrizadas en el plano

Diseo paramtrico

Se denomina diseo paramtrico a un proceso de diseo basado en un esquema algortmico que permite expresar parmetros y reglas que definen, codifican y aclaran la relacin entre los requerimientos del diseo y el diseo resultante1 2El diseo paramtrico es un paradigma de diseo en el cual la relacin entre los elementos se utiliza para manipular y comunicar el diseo de geometras y estructuras complejas.
El trmino "paramtrico" proviene de las matemticas y se refiere al uso de parmetros o variables que permiten manipular o alterar el resultado final de una ecuacin o sistema. Entre las fuerzas que interactan con el modelo se cuentan los vientos, tormentas, nevadas, precipitaciones y cargas ssmicas, adems factores asociados a la cultura (por ejemplo el uso de determinadas formas), y el uso que se dar a la estructura, tambin forman parte del proceso de diseo3 4El texto que sigue es una traduccin defectuosa o incompleta.
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Existen dos tipos principales de sistemas de modelado paramtrico:Los sistemas de propagacin basados en calcular a partir de determinados datos las incgnitas utilizando un modelo de flujo de datos.

Los sistemas de restriccin que resuelven conjuntos de restricciones continuas y discretas. 4

Constraint systems which solve sets of continuous and discrete constraintsEl formulario de investigacin, es una de las estrategias de aplicacin de un sistema basado en la propagacin. La idea detrs de la forma de investigacin es optimizar ciertos objetivos de diseo teniendo en cuenta un conjunto de restricciones o condiciones de contorno que deben ser satisfechas por el diseo.4

ndice1 Primeros usos 1.1 Diseo paramtrico analgico

1.2 Propiedades del mtodo

1.3 Block de dibujo

2 Arquitectura

3 Diseo urbano

4 Software 4.1 Catia

4.2 Autodesk 3DS Max

4.3 Grasshopper 3d

4.4 Autodesk Revit

4.5 Autodesk Dynamo

5 Enlaces externos

6 Referencias

Primeros usosDiseo paramtrico analgico Un modelo de fuerza invertida de la Colnia Gell, Museo de la Sagrada Familia.Uno de los primeros ejemplos de uso de diseo paramtrico fueron los modelos invertidos de iglesias utilizados por Antonio Gaud. En su diseo de la Cripta de la Colonia Gell cre un modelo invertido de cuerdas cargadas con bolsas con perdigones para crear complejos techos abovedados y arcos. Mediante el ajuste de la posicin de los pesos o la longitud de las cuerdas Gaudi analiz cmo alterar la forma de cada arco y tambin cmo este cambio influye en los arcos conectados a l. Despus de completar el modelo, Gaudi tomaba fotografas del mismo para su posterior estudio.Propiedades del mtodoEste mtodo tiene todas las propiedades de un modelo paramtrico:La longitud de cada cadena, el peso de perdigones y la ubicacin del punto de anclaje de las mismas forman los parmetros de entrada independientes

Las ubicaciones de los vrtices de los puntos de las cadenas son los resultados del modelo

Los resultados se derivan de las funciones explcitas, en este caso la gravedad y las leyes del movimiento de Newton.

Mediante la modificacin de los parmetros de entrada individuales de estos modelos de Gaud, se pueden generar diferentes versiones de su modelo. El modelo permite obtener las posiciones de los diferentes elementos estructurales (arcos, columnas) a partir de las formas de las curvas de catenaria resultantes de la accin de la fuerza de gravedad sobre los perdigones, sin tener que resolver analticamente el engorroso y complejo sistema de ecuaciones paramtricas que lo representa.5 6Block de dibujoCuando Gaud utiliz leyes fsicas para acelerar su clculo de ecuaciones paramtricas, Ivan Sutherland mir la potencia de procesamiento de las computadoras digitales.Ivan Sutherland cre un programa de diseo asistido por ordenador interactivo llamado Sketchpad. Con un lpiz de luz, los usuarios podan dibujar lneas y arcos que podran estar relacionados entre s utilizando restricciones. Estas limitaciones contenan todas las propiedades esenciales de ecuaciones paramtricas. Los usuarios podran experimentar y explorar diferentes diseos mediante la alteracin de los parmetros de una entidad y dejar a Sketchpad hacer los clculos y volver a dibujar la geometra de acuerdo con las limitaciones que se imponan.5ArquitecturaLa naturaleza siempre ha servido de inspiracin para arquitectos y diseadores. La tecnologa informtica ha dado a los diseadores y arquitectos las herramientas para analizar y simular la complejidad observada en la naturaleza y aplicarla a formas estructurales de construccin y los mecanismos de organizacin urbana. En la dcada de 1980 los arquitectos y los diseadores comenzaron a usar las computadoras que ejecutan el software desarrollado para la industria aeroespacial y en movimiento industrias de imagen para "animar forma".3Uno de los primeros arquitectos y tericos que utilizan las computadoras para generar arquitectura era Greg Lynn. Su blob y arquitectura de pliegue es uno de los primeros ejemplos de la arquitectura generada por ordenador.Diseo urbanoUrbanismo paramtrico tiene que ver con el estudio y la prediccin de los patrones de asentamiento. El arquitecto Frei Otto distingue de ocupacin y de conexin ya que stos son los dos procesos fundamentales que estn involucrados con toda la urbanizacin. Estudios miran en producir soluciones que reducen longitud de la trayectoria global de los sistemas, manteniendo bajo el desvo promedio, factor de diferenciacin o fachada.SoftwareCatiaEl sistema CATIA (Computer Aided three-dimensional Interactive Application- en espaol "Sistema interactivo tridimensional ayudado por ordenador") fue utilizado por el arquitecto Frank Gehry para disear algunos de sus galardonados edificios curvilneos como por ejemplo el Museo Guggenheim de Bilbao. Gehry Technologies, la divisin de tecnologa de su empresa ha creado su propio software de diseo paramtrico basado en su experiencia con CATIA, el cual se denomina Digital Project.Autodesk 3DS Max3ds Max es un sofisticado software de modelado 3D paramtrico que proporciona modelado, animacin, simulacin y completa solucin de renderizacion para juegos, pelculas y artistas grficos en movimiento. 3ds Max ofrece nuevas herramientas eficientes, rendimiento acelerado y flujos de trabajo optimizados para ayudar a aumentar la productividad en general para trabajar con los activos complejos, de alta resolucin. 3ds Max utiliza el concepto de modificadores y parmetros de cable para controlar su geometra y le da al usuario la capacidad de escritura de su funcionalidad mediante el MAXScript como los lenguajes de programacin Python .Grasshopper 3d Grasshopper, lienzo de trabajo con algunos nodosGrasshopper 3d es un plugin para Rhinoceros 3D que brinda a los usuarios una interfaz de lenguaje de programacin visual para crear y editar geometra .Los componentes o nodos son arrastrados sobre un lienzo con el fin de construir una definicin saltamontes. Grasshopper se basa en diagramas que asignan el flujo de las relaciones de los parmetros, a travs de funciones definidas por el usuario (los nodos), concluyendo en la generacin de la geometra. Cuando el usuario modifica los parmetros o las causas de la geometra a los cambios se propaguen a travs de todas las funciones y la geometra se vuelva a dibujar.5Autodesk RevitAutodesk Revit es un software de tipo BIM ( Building Information Modeling ) utilizado por arquitectos y otros profesionales de la construccin. Revit permite crear modelos paramtricos tridimensionales a partir de informacin geomtrica y no geomtrica (sobre el diseo y la construccin). Cada cambio realizado en un elemento de Revit se propaga automticamente a travs del modelo de forma de mantener consistentes todos los componentes, opiniones y anotaciones. Esto facilita la colaboracin entre los equipos de diseo y garantiza que toda la informacin generada (reas de suelo, planillas, etc. ) se actualice dinmicamente cuando se realizan cambios en el modelo.Autodesk DynamoDynamo es un entorno de programacin de cdigo abierto para el diseo grfico . Dynamo se extiende el modelado de informacin con el entorno de datos y la lgica de un editor grfico algoritmo.Enlaces externosGrasshopper 3D

Designplaygrounds

Referencias

Jabi, Wassim (2013). Parametric Design for Architecture. London: Laurence King. ISBN9781780673141.

Woodbury, Robert (2010). Elements of Parametric Design. Routledge. ISBN0415779871.

Parametric Design: a Brief History. AIACC. Consultado el 5 de abril de 2014.

woodbury, Robert; Williamson, Shane; Beesley, Philip (2006). Parametric Modeling as a Design Representation in Architecture: a process account. Cumulative Index of Computer Aided Architectural Design.

Davis, Daniel. A History of Parametric. Consultado el 5 de abril de 2014.

Schumacher, Patrik (2009). Parametricism - A New Global Style for Architecture and Urban Design. AD Architectural Design. 79(4).