ECUACIONES

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ECUACIONES

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Las ecuaciones de primer grado, que también se llaman lineales, son de la forma:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

Resolución

Para resolver la ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 basta con despejar la x de la siguiente forma:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 → 𝑎𝑥 = −𝑏 → 𝑥 =−𝑏𝑎

Con frecuencia, la ecuación aparecerá con mas términos. Para resolverla se realizan las siguientes transformaciones para llegar a su forma general:

1. Se quitan los paréntesis. 2. Se suprimen los denominadores. 3. Se hace la transposición de términos. 4. Se reducen los términos semejantes. 5. Se despeja la incógnita.

3(2𝑥 + 1)4

−3𝑥10

− 5 =2(3𝑥 − 1)

5−11𝑥20

Se quitan los paréntesis:

6𝑥 + 34

−3𝑥10

− 5 =6𝑥 − 25

−11𝑥20

Se quitan los denominadores aplicando el mínimo común múltiplo:

𝑚. 𝑐.𝑚(4,10,1,5,20) = 20

30𝑥 + 15 − 6𝑥 − 10020

=24𝑥 − 8 − 11𝑥

20

30𝑥 + 15 − 6𝑥 − 100 = 24𝑥 − 8 − 11𝑥

Se hace la transposición de términos:

30𝑥 − 6𝑥 − 24𝑥 + 11𝑥 = −8 − 15 + 100

Se reducen los términos semejantes:

11𝑥 = 77 → 𝑥 =7711

→ 𝑥 = 7

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma:

𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Si 𝑏𝑦𝑐 son números distintos de cero, se dice que la ecuación es completa.

Si 𝑏 = 0𝑜𝑐 = 0, la ecuación se denomina incompleta.

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Ecuación de segundo grado completa

Sea la ecuación de segundo grado completa: 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 sus soluciones son:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏! − 4𝑎𝑐

2𝑎→

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑥" =

−𝑏 + √𝑏! − 4𝑎𝑐2𝑎

𝑥! =−𝑏 − √𝑏! − 4𝑎𝑐

2𝑎

El discriminante de una ecuación de segundo grado es: Δ = 𝑏! − 4𝑎𝑐

Según el signo de la discriminante la ecuación puede tener 2,1 o ninguna solución.

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS

Cuando el coeficiente 𝑏 o el termino independiente 𝑐 de la ecuación general de segundo grado:

𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 son nulos, su resolución es mas directa.

𝒃 = 𝒄 = 𝟎 La ecuación es de la forma: 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎

Se resuelve despejando la incógnita 𝑥. La única solución es: 𝑥 = 0.

3𝑥! = 0 → 𝑥 = 0

𝒃 = 𝟎 La ecuación es de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

Se resuelve despejando la incógnita 𝑥. Tiene como soluciones:

𝑥 = ±F−𝑐𝑎

3𝑥! − 6 = 0 → 3𝑥! = 6 → 𝑥! = 2 → G 𝑥" = √2𝑥! = −√2

𝒄 = 𝟎 La ecuacion es de la forma: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

Se resuelve sacando factor común la incógnita 𝑥, e igualando a cero los dos factores.

𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 = 0 → 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 → H𝑥" = 0

𝑥! = −𝑏𝑎

2𝑥! + 3𝑥 = 0 → 𝑥(2𝑥 + 3) = 0 → H𝑥 = 0

2𝑥 + 3 = 0 → 𝑥 = −32

Factorización de la ecuación de segundo grado

Podemos factorizar la ecuación general de segundo grado de la siguiente forma:

𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥")(𝑥 − 𝑥!)

Siendo 𝑥"𝑦𝑥! las soluciones de la ecuación de segundo grado.

2𝑥! − 8𝑥 − 42 = 0 → 𝐿𝑎𝑠𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑑𝑒𝑒𝑠𝑡𝑎𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑠𝑜𝑛 → S𝑥" = −3𝑥! = 7

La factorización, por tanto,

2𝑥! − 8𝑥 − 42 = 2(𝑥 + 3)(𝑥 − 7)

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ECUACIONES BICUADRADAS

Una ecuación bicuadrada es una ecuación que se puede expresar de la forma:

𝑎𝑥$ + 𝑏𝑥! + 𝑐 = 0

Se resuelven sustituyendo 𝑥! por otra variable y se resuelve la ecuación de segundo grado resultante.

𝑥$ − 25𝑥! + 144 = 0

Sustituimos 𝑥! por la variable 𝑡, quedando la ecuación:

𝑡! − 25𝑡 + 144 = 0 → 𝑡 =−25 ±T(−25)! − 4(1)(144)

2(1)→ 𝑡 = S𝑡" = 16

𝑡! = 9

Deshaciendo la sustitución 𝑥! = 𝑡, tenemos que:

𝑥! = 𝑡" → 𝑥! = 16 → 𝑥 = √16 → 𝑥 = ±4

𝑥! = 𝑡! → 𝑥! = 9 → 𝑥 = √9 → 𝑥 = ±3

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS

Para resolver una ecuación de grado mayor que dos, se saca factor común y después se factoriza por el método de Ruffini.

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ECUACIONES RACIONALES

Para resolver ecuaciones que tienen fracciones algebraicas eliminamos denominadores multiplicando por su mínimo común múltiplo y después resolvemos la ecuación resultante.

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ECUACIONES IRRACIONALES

Una ecuación con radicales o ecuación irracional, son aquellas en las que aparece la variable bajo el signo de la raíz.

Resolución de ecuaciones con radicales

1. Se aísla un radical en un miembro de la igualdad y se pasan los restante términos al otro miembro.

2. Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación. 3. Si existen todavía algún radical, se repite el proceso anterior. 4. Se resuelve la ecuación resultante y se comprueba cuales de las soluciones obtenidas

verifican la ecuación con radicales dada.

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ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

El conjunto de soluciones de una ecuación con valor absoluto viene dado por la siguiente relación:

|𝑥| = 𝑎 ↔ 𝑥 = 𝑎ó𝑥 = −𝑎

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ECUACIONES EXPONENCIALES

Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece en el exponente.

Propiedades de las ecuaciones exponenciales

1. La función exponencial es siempre positiva 𝑎% > 0𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜𝑑𝑜𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑟𝑒𝑎𝑙𝑥

2. Si dos potencias de la misma base son iguales, los exponentes son iguales 𝑠𝑖𝑎% = 𝑎& → 𝑥 = 𝑦

3. Si 𝑥𝑒𝑦 son números reales y 𝑎𝑦𝑏 son números reales positivos, entonces se verifican las siguientes igualdades.

𝑎% ∙ 𝑎& = 𝑎%'& (𝑎%)& = 𝑎%∙&

𝑎)% =1𝑎%

(𝑎 ∙ 𝑏)% = 𝑎% ∙ 𝑎%

\𝑎𝑏]%=𝑎%

𝑏%

𝑎%

𝑎&= 𝑎%)&

Resolución de ecuaciones exponenciales: 3 CASOS

CASO 1:

CASO 2:

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CASO 3:

ECUACIONES LOGARITMICAS

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece sometida a la operación logarítmica.

log*𝐴 = log* 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵