3.2

2. Una solución de salmuera de sal fluye a razón constante de 6L/min. Hacia el interior de un depósito que inicialmente contiene 50L de solución de salmuera en la cual se disolvieron 0.5kg de sal. La solución contenida en el depósito se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior con la misma rapidez. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es de 0.05kg/L, determinar la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de t minutos. ¿Cuándo alcanzará la concentración de sal en el depósito el valor de 0.03kg/L?

dxdt

=6∗0.05−6 x50

x (0 )=0.5

dxdt

=0.3−6 x50

dxdt

=0.3−3 x25

dxdt

=7.5−3 x25

dx7.5−3 x

= dt25

∫ dx7.5−3 x

=∫ dt25

−13ln|7.5−3 x|= t

25+C

ln|7.5−3 x|=−3 t25

+C

50L

X (0)= 0.5 Kg6L/min

6L/min

0.05 Kg/L

7.5−3x=ce−3 t25

3 x=7.5+c e−3 t25

Como x (0 )=0.5

0.5=2.5+C

0.5−2.5=C−2=C

X (t )=2.5−2e−3 t25

Concentración de 0.03kg/L...

C ( t )= X (t )50

0.03=0.05−0.04e−3 t25

0.03−0.05=−0.04e−3 t25

−0.02=−0.04e−3 t25

−0.02−0.04

=e−3 t25

0.5=e−3 t25

ln 0.5=−3t25

−0.693=−3 t25

−0.693∗25−3

=t

5.78minutos=t

3.3

7. En una calurosa mañana de sábado, cuando las personas trabajan dentro del edificio, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior en 24°C. A mediodía, el aire acondicionado se apaga y las personas se van a casa. La temperatura exterior es constante e igual a 35°C durante el resto de la tarde. Si La constante de tiempo del edificio es de 4 horas, ¿cuál será la temperatura dentro del edificio a las 2:00 P.M.? ¿Y a las 6:00 P.M.? ¿En qué momento llegará la temperatura interior del edificio a 27°C?

T (t )=35+ce−k /t ley denewton

k=14constante de temperaturadel edificio

T (t )=35+ce−t /4

T (0 )=24

24=35+ce−k (0 )

24−35=C

−11=C

T (t )=35−11e−t4

A las 2 pm t=2

T (2 )=35−11 e−24 ≈28.3

A las 6 pm t=6

T (6 )=35−11e−64 ≈32.5

Cuando llega l temperatura a 27

T (t )=35−11e−t /4

27=35−11 e−t /4

11e−t /4=8

t=4 ln( 118 )≈1.27La temperatura será de 27 después de 1.27 horas después del medio día lo cual sería a la 1:16 p.m.

10. Un lunes temprano por la mañana, la temperatura en la sala de lectura ha descendido hasta 40°F, igual a la temperatura exterior. A las 7:00 A.M., el conserje enciende el calefactor con el termostato puesto en 70°F. La constante de tiempo para el edificio es 1/K = 2 horas y la constante de tiempo para el edificio junto con su sistema de calentamiento es 1/K1 =1/2 hora. Suponiendo que la temperatura exterior permanece constante, ¿cuál será la temperatura dentro de la sala de lectura a las 8:00 A.M.? ¿En qué momento llegará la temperatura dentro de la sala a 65°F?

A las 8:00 AM la temperatura será de 59.5

No, no podría alcanzar los 65

3.5

2. Un circuito RC con una resistencia de 1-Ω y un condensador 0,000001-F es impulsada por una tensión E ( t )=sin 100 t V . Si la tensión del condensador inicial es cero, determinar la subsiguiente resistencia y tensiones de los condensadores y la corriente.

Voltaje del condensador=¿

−10,000100,000,001

cos100 t+ 100,000,000100,000,001

sin 100t+ 10,000100,000,001

e−1,000,000 t V

Voltaje del Resistor=¿

10,000100,000,001

cos100 t+ 1100,000,001

sin100 t− 10,000100,000,001

e−1,000,000 t V

Corriente=¿10,000

100,000,001cos100 t+ 1

100,000,001sin100 t− 10,000

100,000,001e−1,000,000 t A

3. La trayectoria de una señal eléctrica binaria entre compuertas en un circuito integrado se puede modelar como un circuito RC, como en la figura 3.13 (b); la fuente de voltaje modela la compuerta de transmisión y el condensador modela la compuerta de recepción. Por lo general, la resistencia es 100 Ω, y la capacitancia es muy pequeño, por ejemplo, 10? 12 F (1 picofaradios, pF). Si el condensador es inicialmente descargado y la puerta de transmisión cambia instantáneamente de 0 a 5 V, ¿cuánto tiempo tomará para que la tensión en la puerta de recepción para llegar a (por ejemplo) 3 V? (Este es el tiempo que se tarda en transmitir un "1" lógico).

R=100Ω

C=10−12F

Q=q (0 )=0

V=5V

q (t )=CV + [Q−CV ] e−t /RC

q (t )=10−12(5)(1−e−t

100 . 10−12)

q (t )=5.10−12 ¿)

Ec ( t )=q (t )c

=5 (1−e−1010 t)

3=5(1−e−1010 t)

e−1010 t=0.4

t=(−ln 0.41010 )≈9.2∗10−11 Segundos . 4.2

17. z ´ ´−2 z ´−2 z=0 ;Z (0 )=0Z ´ (0 )=3

x2−2 x−2=0

Resolviendoel sistemax1=1−√3 x2=1+√3

Por lo tanto

Z (t )=c1 e(1−√3 ) t+c2 e

(1+√3) t

Z (0 )=c1 e0+c2 e

0

Z ´ (0 )=(1−√3 )c1 e0+(1+√3 )c2 e

0

0=c1+c2

3=(1−√3 ) c1+ (1+√3 )c2

Resolviendo el sistema

c1=−√32

c2=√32

Z (t )=−√32

e (1−√3) t+ √32

e (1+√3) t

Z (t )=√32

(−e (1−√3) t+e(1+√3 )t ¿

29. Y 1 (t )=t e2t ,Y 2 ( t )=e2 t

t e2 t≡ce2 t

t ≡ c en(0,1)

Es linealmente independiente

4.4

19. 4 y ´ ´+11 y ´−3 y=−2 t e−3 t

Y p ( t )=t s ( A1t+A0 )e−3 t

4 r2+11r−3=0ecuacion auxiliar

Resolviendo r = - 3

Tomamos s=1 y tenemos

Y p ( t )=t ( A1t+A0 )e−3 t=(A¿¿1 t2+A0t)e−3 t ¿

Y p ´ ( t )=[−3 A1 t2+(2 A1−3 A0 )t+A0]e

−3 t

Y p ´ ´ ( t )=[−9 A1 t2+(9 A0−12 A1 ) t+2 A1−6 A0]e−3t

Reemplazando en la ecuación los valores de Yp

[−26 A1t+ (8 A1−13 A0 ) ] e−3 t=−2 t e−3 t

−26 A1=−2

8 A1−13 A0=0

Resolviendo el sistema de ecuaciones

A1=113

A0=8169

Por lo tanto

Y p ( t )=( t13

+ 8169

)t e−3t

21. x ´ ´ (t )−4 ´ ( t )+4 x (t )=t e2 t

X p ( t )=t s (A1 t+A0) e2 t

r2−4 r+4=(r−2 )2=0 por lotanto r=2 y s=2

X p ( t )=t 2 ( A1t+A0 )e2t=(A1 t3+A0 t

2)e2 t

X ´ p ( t )=(3 A1t 2+2 A0) e2 t+2 (A1t 3+A0 t2 )e2 t

X ´ ´P ( t )=(6 A1 t+2 A0 )e2 t+4 (3 A1 t2+2 A0 t ) e2 t+4 (A1t 3+A0 t2 )e2 t

Reemplazando los valores de Yp en la ecuación

(6 A1t+2 A0 )e2 t+4 (3 A1t 2+2 A0t )e2t+4 (A1t 3+A0 t2) e2 t−4 (3 A1t 2+2 A0 )e2t−8 (A1t 3+A0 t2 ) e2 t+4 (A1t 3+A0 t

2 )e2 t=(6 A1t+2 A0 )e2t=t e2 t

Resolviendo A0 = 0 y A1= 1/6, por lo tanto

X p ( t )= t3 e2t

6

25. y ´ ´+2 y ´+4 y=111e2 t cos3 t

Y p (t )=t s ( A cos 3t+B sin 3t ) e2 t

r2+2 r+4=0resolviendo r=2+3 i , por lotanto s=0

Y p ( t )=(A cos3 t+B sin 3 t )e2 t

Y ´ p ( t )=[ (2 A+3B )cos 3t+(−3 A+2 B ) sin3 t ]e2t

Y ´ ´ p ( t )=[ (−5 A+12B )cos 3t+(−12 A−5 B ) sin 3t ]e2t

Reemplazando los valores de Yp

[ (3 A+18 B )+(18 A+3B )sin 3 t ]e2 t=111e2 t cos3 t

3 A+18 B=111

−18 A+3 B=0

Resolviendo A=1 B=6 por lo tanto

Y p ( t )=¿

31. y ´ ´+2 y ´+2 y=8 t3 e−t cos t

Y p ( t )=t s[( A3 t3+A2t2+A1t+A0 )cos t+(B3 t 3+B2 t2+B1 t+B0 )sin t ]e−t

r2+2 r+x=0 resolviendor=−1±i por lotanto tomamos s=1

Por lo tanto

Y p ( t )=t [(A3t 3+A2 t2+A1 t+A0 )cos t+(B3 t3+B2 t2+B1t+B0 )sin t ]e−t

EL ATRACTOR DE LORENTZ

Concepto introducido por Edward Lorenz en 1963, es un sistema

dinámico determinista tridimensional no lineal derivado de las ecuaciones

simplificadas de rollos de convección que se producen en las ecuaciones

dinámicas de la atmósfera terrestre.

Para ciertos valores de los parámetros el sistema exhibe un

comportamiento caótico y muestra lo que actualmente se llama un atractor

extraño; esto fue probado por W. Tucker en 2001. El atractor extraño en este caso

es un fractal de dimensión de Hausdorff entre 2 y 3. Grassberger (1983) ha

estimado la dimensión de Hausdorff en 2.06 ± 0.01 y la dimensión de

correlación en 2.05 ± 0.01.

El sistema aparece en láseres, en generadores eléctricos y en determinadas

ruedas de agua.

Donde a es llamado el Número de Prandtl y b se llama el número de

Rayleigh.

, pero es usualmente , y b es variado. El

sistema exhibe un comportamiento caótico para pero muestra

órbitas periódicas para otros valores de b; por ejemplo, con

se convierte en un nudo tórico llamado T (3,2).

La forma de mariposa del atractor de Lorenz puede haber inspirado el nombre del efecto mariposa en la Teoría del Caos.