AGUAS SUBTERRANEAS E HIDRAULICA DE POZOS

Una vez que se conoce la ley de Darcy que rige la dinámica del movimiento en medios porosos y sus ecuaciones fundamentales, estas pueden ahora ser aplicada a casos particulares. A fin de obtener una solución para un problema de aguas subterráneas, es preciso introducir hipótesis relativas a la permeabilidad, tipo de flujo y condiciones límites. Sin embargo, estas soluciones muchas veces apenas se aproximan, a las condiciones de campo, ellas proporcionan una percepción valiosa de la complejidad del flujo de las aguas subterráneas. El desarrollo extensivo del abastecimiento de aguas subterráneas, por medio de pozos de bombeo, hace que se torne importante la obtención de soluciones prácticas, para los problemas de flujo en pozos.

th

KbS

zh

yh

xh

2

2

2

2

2

2

02

2

xh

21 CxCh h1C 2C

0h 0xKv

xh

Kvx

h

Ecuación General para escurrimiento permanente e in permanente de aguas subterráneas en medios homogéneos e isotrópicos:

Flujo Permanente Unidireccional

Acuífero Confinado: Se supone un flujo de agua subterranea de velocidad v en la dirección x de un acuífero confinado:

que tiene como solución en el que es la carga sobre una referencia dada y son constantes de integración.y

Suponiendo cuando y por la ley de Darcy :

02

2

2

2

2

2

zh

yh

xh

Flujo permanente unidireccional en acuífero confinado

de espesor uniforme

dxdh

Khq

ChK

qx 2

2

20

2

2hh

xK

q

ACUIFERO NO CONFINADO (HIPOTESIS DE DUPOINT)

La velocidad del flujo es proporcional a la tangente del gradiente hidráulico en lugar del seno; y, el flujo es horizontal y uniforme a lo largo de toda la sección vertical. Entonces para flujo unidireccional:

, es el coeficiente de permeabilidad, es la altura del nivel del agua y es la dirección del flujo. Integrando:K h x

y, si cuando , entonces la ecuación de Dupoint queda:0hh 0x

Lo que indica que el nivel de agua, tiene forma parabólica, como se muestra en la figura:

Flujo permanente en un acuífero no confinado entre dos

volúmenes de agua con límites verticales

Flujo radial permanente para un pozo

Cuando un pozo es bombeado, el agua es removida del acuífero circunvecino para el pozo, existiendo un abatimiento del nivel de agua o la superficie piezométrica, dependiendo del tipo de acuífero.

Acuífero confinado

Suponiendo un flujo bidimensional, para un pozo que penetra en un acuífero homogéneo e isotrópico, en donde el flujo es siempre horizontal, las hipótesis de Dupoint, se aplican sin error y empleando coordenadas polares, con el pozo en el origen, se tiene:

drdh

rbKAvQ 2

Reagrupando e integrando para las condiciones límites en el pozo:ww rryhh y en el límite 00 rryhh

ww r

rKbQ

hh 00 ln

2

w

w

rrhh

KbQ0

0

ln2ó

Flujo radial permanente para un pozo que penetra en un acuífero confinado

En el caso mas general de un pozo que penetre en un acuífero confinado extenso, en donde no existe límite externo para r.

w

w

rr

hhKbQ

ln2

Esta es conocida como Ecuación de Equilibrio o Ecuación de Thiem, que posibilita la determinación de la permeabilidad de un acuífero; en esta muestra que h crece indefinidamente, para valores crecientes de r. Eliminando Q de las dos ecuaciones anteriores:

w

www

rr

rr

hhhh0

0

ln

ln

El coeficiente de permeabilidad está dada por

1

2

12

ln2 r

rhh

QK

Flujo radial para un pozo que penetra en un acuífero confinado extenso

Acuífero no confinado

La ecuación de flujo radial permanente, también puede ser deducido con el auxilio de la hipótesis de Dupoint. Entonces el caudal del pozo es:

drdh

KhQ 2

que integrada entre los límites 0hhyrryhh ww para

0rr , lleva a:

w

w

rrhh

KQ0

220

ln

Debido a los grandes componentes verticales del flujo, esta ec. no consigue describir con precisión la curva de abatimiento próxima al pozo; sin embargo, proporciona buenas estimaciones para Q, para cargas dadas.

Flujo radial para un pozo que penetra en un acuífero no confinado

Pozo en Flujo Uniforme

Las curvas de abatimiento para flujos de pozos, se han presentado hasta ahora, como una superficie inicial horizontal, un caso práctico es el bombeo de un pozo de un acuífero, que tiene un campo de flujo uniforme, que tiene una superficie piezométrica o un nivel de agua inclinado; en este caso también la ecuación de flujo radial de Dupoint, puede ser aplicada sin mayor error apreciable. La expresión resultante, es conocida como fórmula del gradiente:

dudu iihhrQ

K

2

Para un acuífero no confinado en el que Q es el caudal de bombeo, hu y hd, son los espesores saturados, e iu e id, son las inclinaciones de los niveles de agua a una distancia r del montante y yuzante, respectivamente del pozo.

Para un acuífero confinado, las inclinaciones piezométricas, sustituyen a las inclinaciones del nivel de agua y (hu+hd), es sustituido por 2b, en el que b es el espesor del acuífero.

Flujo para un pozo que penetra en un acuífero confinado de superficie plana inclinada (a) corte vertical y (b) planta

En la fig. se está indicando la divisoria de aguas subterraneas, que marca el límite de la región que produce el flujo para dentro del pozo. Para un bombeo del pozo en un tiempo infinito, el límite se extendería por encima hasta el límite del acuífero. Admitiendo la hipótesis de Dupoint, la expresión para los límites de la región, es:

yQKbi

xy 2

tg

Los límites se aproximan asintóticamente cuando :

KbiQ

y2

El límite del área contribuyente se extiende al yuzante hasta un punto de la estagnación en el que:

KbiQ

x

2

x

Esta dos últimas ecuaciones, se aplican también a acuíferos no confinados, sustituyendo b por el espesor uniforme del acuífero saturado h0, suponiendo que el abatimiento sea pequeño.

Flujo permanente con reabastecimiento uniforme

Un pozo que penetra en un acuífero no confinado, que es reabastecido uniformemente con una cantidad W de agua de lluvia, de exceso de riego, ode otras fuentes de agua superficial; el flujo Q en la dirección del pozo aumenta a medida que se aproxima al pozo, alcanzando un máximo Qw en el pozo. El aumento del flujo dQ, a través de un cilindro de espesor dr y radio r:

CWrQndoIntedrWdQ 2gra2 Pero en el pozo , de forma que:wQQyr 0

wQWrQ 2sustituyendo en la ec. de flujo para un pozo:

wQWrdrdh

Kh 22

Integrando y observando que h = h0 para r = r0, se tiene la ec. de abatimiento:

rr

KQ

rrKW

hh w 020

2220 ln

2

Flujo permanente para un pozo que penetra en un acuífero no confinado de reabastecimiento uniforme

Del análisis de la última ec., puede conducir un paso más adelante, para la determinación del radio de influencia r0, independiente de la permeabilidad K. Derivando esa ec.:

rKQ

KrW

drdhh w 1

2

si se trata de un acuífero extenso :00 rrydrdh

WrQw2

0Como ejemplo, supongamos los límites indicado en la fig. de dos cursos de agua infinitamente largos, paralelos, que penetran completamente en un acuífero no confinado, de reabastecimiento continuo W; se puede mostrar que el perfil permanente del nivel de agua se expresa por:

2222 xaKW

hh a

en el que h, ha, x y a están definidos en la fig. y K es la permeabilidad. De la simetría y la continuidad: , en el Qb es el flujo básico, que entra en el curso de agua por unidad de longitud.

aWQb 2

Flujo permanente para dos cursos de agua de un acuífero no confinado de reabastecimiento uniforme

Flujo radial no permanente para un pozo

Cuando un pozo que penetra en un acuífero extenso es bombeado a una velocidad constante, la influencia del caudal se extiende para los lados con el tiempo. La velocidad de reducción de la carga, a veces el coeficiente de acumulación integrada en toda el área de influencia, iguala al caudal.

La ec. diferencial que se aplica en este caso, es la que se definió en un inicio, transformada a coordenadas polares planas:

th

TS

rh

rrh

1

2

2

en el que T es el coeficiente de transmisibilidad (T = Kb, en el que b es el espesor del acuífero), S el coeficiente de almacenamiento y t el tiempo desde el inicio del bombeo. Theis, obtuvo una solución para esta ec. basado en la analogía entre el flujo de aguas subterráneas y la conducción de calor; admitió que el pozo sea sustituido por un sumidero matemático de resistencia constante (h=h0, en el inicio del bombeo y que h h0, cuando después del inicio del bombeo, )

r 0t

la solución es:

STSr

u

udue

TQ

hh4

024

STSr 42en el que u = y Q es el caudal constante del pozo. Esta ec. Es conocida como ecuación del desequilibrio o de Theis, ella puede ser expresada en una serie convergente:

...

!4.4!3.3!2.2ln5772.0

4

432

0

uuuuu

TQ

hh

Para esta serie, fueron desarrolladas soluciones aproximadas mas simples, que son suficientemente precisas para las finalidades de campo.

Ecuaciones del desequilibrio para ensayos de bombeo

La ec. del desequilibrio permite la determinación de las constantes S y T. Se debe, observar las hipótesis necesarias para la aplicación de la ec., como es del caso que: el acuífero sea homogéneo e isitrópico y de infinita extensión en la superficie, el pozo penetra todo el acuífero, el diámetro del pozo es infinitesimal, el agua removida del almacenamiento es descargada instantáneamente con reducción de carga. Se obtiene valores medios de S y T en las vecindades del pozo bombeado, medido en uno o más pozos de observación.

Debido a las dificultades matemáticas, diversos investigadores desarrollaron soluciones aproximadas, para que puedan ser aplicadas sus ecs. o equivalentes y en este sentido, para obtener las respuestas deseadas, se propone la aplicación de tres métodos, los que son: método de Theis, Jacob y Chow.

Método de Theis

Empleando valores de campo, la ec. De desequilibrio o de Theis, puede expresarse como:

uWTQ

hh6,114

0

en el que h0 - h es el abatimiento en pies, Q es el caudal del pozo en gal/min, T es el coeficiente de transmisibilidad en gal/día/pie y W(u) es el integral exponencial denominada “función del pozo”. El argumento u, está dada por:

TtSr

u287,1

en el que S es el coeficiente adimensional de almacenamiento, r es la distancia en pies desde el pozo de descarga al pozo de observación y t es el tiempo en días desde el inicio del bombeo. Para obtener las constantes, el método sugiere una solución aproximada basada en un gráfico de superposición.

Procedimiento gráfico (método de Theis)

Se prepara un gráfico en papel logarítmico de W(u), en función de u, conocido como “curva típica”. La tabla (que se muestra), proporciona los valores de W(u), para un gran intervalo de u. Los valores del abatimiento h0 - h son puestos en función de r2/t, en un gráfico logarítmico de la misma escala que la de las curvas típicas. La curva construida con esos datos es superpuesta a las curvas típicas, conservando paralelos los ejes coordenados y ajustadas por tentativas hasta que la mayoría de los puntos de la curva de datos observados coincida en un segmento de la curva típica. Se escoge un punto arbitrario del segmento coincidente, anotandose sus coordenadas. Con los valores de W(u), u, h0 - h y r2/t, así determinados, se obtiene S y T por las ecuaciones antes descritas.

Método de superposición de Theis, para la solución de la ecuación del desequilibrio

Método de Jacob

Jacob, observó que para pequeños valores de r y elevados valores de t, u es pequeño, de forma que los términos de la serie expandida de la ec. de desequilibrio, se torna despreciable, después de los dos primeros términos. Como resultado, la ec. del abatimiento puede ser expresado por la asíndota:

TtSr

TQ

hh4

ln5772,04

2

0

reescribiendo como:

5772,0

4ln

4 20 SrTt

TQ

hh

, que se reduce a:

SrTt

TQ

hh 20

25,2log

430,2

En consecuencia, el gráfico del abatimiento h0 - h, en función del logaritmo de t, es una línea recta; así, por medio de medidas del abatimiento, en un pozo de observación, durante un período de bombeo, se conocería h0 - h y t, que pueden ser puestos en el gráfico.

La inclinación de la línea, que mejor ajusta a los datos, permitirá el cálculo de las constantes de formación, obteniendose soluciones rápidas a partir de:

hQ

T

264

en el que es la diferencia del abatimiento en pies por ciclo logarítmico del tiempo, t0 es la intersección del tiempo en el eje del abatimiento nulo, Q y T son nuevamente expresados en unidades de campo. La aproximación a una línea recta, por este método, debe ser restricta a los valores de u, menores de 0,01 a fin de evitar errores groseros.

203,0

rTt

S

h

Método de Jacob para la solución de la ecuación del desequilibrio

Método de ChowChow, desarrolló un método para la solución, que tiene la ventaja de evitar el ajuste de curvas y no presenta restricción para su aplicación. Nuevamente, se hacen medidas del abatimiento en pozos de observación, próximo a un pozo de bombeo. Los datos obtenidos de la observación, son colocados en un gráfico semilogarítmico, de la misma forma que en el método de Jacob. En la curva trazada, se escoge un punto arbitrario y se anota las coordenadas, t y h0 - h. Luego se traza una tangente a la curva, por el punto escogido y se determina la diferencia del abatimiento ( ), en pies por ciclo logarítmico del tiempo. Se calcula F(u) con: h

h

hhuF

0)(

y se determina los valores correspondientes de W(u) y u, con la siguiente figura y finalmente, se calcula las constantes de formación, T y S con las fórmulas del método de Theis. (Para F(u)>2,0, W(u)=2,30F(u) y u es obtenida de la tabla del método de Theis).

Relación entre F(u), W(u) y u (Chow)

Método de Chow para la solución de la ecuación del desequilibrio

DATOS DE ENSAYO DE BOMBEO

Calculado