ECUACIONES CONSTITUTIVAS NO-LINEALES PARA UNA VIGA DE...

Mecánica de Laminados Compuestos UBA G. Kokubu, P. Mosquera

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ECUACIONES CONSTITUTIVAS NO-LINEALES PARA UNA VIGA DE LAMINADOS COMPUESTOS CONSIDERANDO ALABEO

Germán Kokubu, Pablo Mosquera M.

Julio 2008

Palabras Clave: Laminados Compuestos, Viga, Análisis No-lineal, diseño, Alabeo, Acoplamiento.

Resumen. El presente trabajo describe una formulación analítica de las ecuaciones constitutivas de una viga tridimensional de laminados compuestos, de sección rectangular, que exhiben acoplamiento en torsión, flexión, extensión y corte.

La formulación emplea un campo de desplazamientos basado en la teoría de vigas que permite considerar de manera sencilla la influencia de los esfuerzos de corte y torsión sobre los desplazamientos transversales de flexión mediante una teoría modificada de deformaciones de corte (MSDT) considerando los términos de alabeo obtenidos como solución de la teoría de la elasticidad (Tercer Problema de Saint Venant).

La ecuación constitutiva de la sección transversal anisótropa es obtenida a partir de la integración numérica de las ecuaciones constitutivas de la lámina ortótropa arbitrariamente orientada.

Se realizaron una serie de casos de prueba que permitieron caracterizar los acoplamientos para distintas secuencias de laminación. El objetivo final es brindar criterios de diseño para piezas esencialmente unidimensionales en materiales compuestos.


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1 INTRODUCCIÓN

La teoría clásica de laminados (CLT) fue desarrollada para elementos estructurales bidimensionales, como placas y, por lo tanto, al extender su uso a elementos unidimensionales esto es, vigas, se pasa por alto el fenómeno del alabeo de la sección transversal.

Esta monografía presenta una formulación analítica que pone de manifiesto los acoplamientos entre los distintos modos de deformación que aparecen como producto de contemplar el alabeo. El objetivo final es proveer al diseñador, de una herramienta que le permita comprender el comportamiento cualitativo de estructuras esencialmente unidimensionales de laminados compuestos. Para ello se obtiene una matriz que relaciona los esfuerzos aplicados a la viga con los grados de libertad asociados al eje medio de la misma.

2 REVISIÓN DE LAS PRINCIPALES TEORÍAS DE VIGAS LAMINADAS

Se reconocen tradicionalmente dos conjuntos de hipótesis cinemáticas, aplicables tanto a vigas como a placas. El primero se conoce bajo el nombre de Euler-Bernoulli y en el ámbito de los laminados compuestos se lo asocia a la teoría CLPT (Classical Laminate Plate Theory). El segundo se conoce bajo el nombre de Timoshenko y se asocia con la teoría FSDT (First-order Shear Deformation Theory). Las hipótesis de la teoría CLPT aplicadas a vigas son las siguientes:

1. Las secciones transversales se mantiene planas luego de la deformación. 2. Las secciones trasversales giran manteniéndose perpendiculares al eje medio deformado.

Estas hipótesis no contemplan deformaciones por corte ni alabeo de la sección. La teoría FSDT mantiene la primera hipótesis pero modifica la segunda:

1. Las secciones transversales se mantiene planas luego de la deformación. 2. La deformación por corte es uniforme en la sección.

Para contemplar el alabeo se agrega a la FSDT un término de corrección que puede obtenerse como la solución del

problema de la viga sometida a un par torsor en sus extremos (Tercer Problema de Saint-Venant), resultando en un conjunto de ecuaciones cinemáticas que pueden denominarse como MSDT (Modified Shear Deformation Theory). Como se verá en la sección 6 ésta no cumple con las hipótesis anteriores.

3 ECUACIONES CINEMÁTICAS El objeto de estudio es una viga cuya sección se compone de n láminas apiladas según el eje z y se muestra en la

Figura 1. Cada lámina debe poder considerarse homogénea en su espesor h, que debe ser mucho menor que el ancho b. Los ejes xyz corresponden a las coordenadas del problema.

Las expresiones (1) muestran los términos que conforman el campo de desplazamientos para esta formulación y son análogas a las propuestas por Verri [1], válidas para pequeños giros, es decir, siempre que θθ tg≅ .

x

x

xsvyz

yww

zvvx

zyuu

θ

θ

θχθθ

.

.

...

0

0

0

+=

−=∂∂

++−=

(1)

donde u0, v0, w0, corresponden a los desplazamientos del eje medio de la viga. Los desplazamientos v y w son idénticos a la FSDT. Los segundos términos en v y w corresponden a la torsión, como se muestra en la Figura 2, siendo xθ el giro de

torsión. El segundo y tercer término en u corresponden a la contribución por flexión siendo zθ y yθ los giros de la sección.

Finalmente el cuarto término de u pone de manifiesto el alabeo, que es proporcional a la variación del giro de torsión. Se

asume como hipótesis que ctex

x =∂∂θ

, lo que equivale a decir que los momentos torsores sólo se aplican en los extremos

de la viga. La constante de proporcionalidad del alabeo se expresa mediante una serie desarrollada por Saint-Venant, ecuación (2), que es función de las coordenadas de la sección transversal.


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∑∞

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

0 030

2.cosh.).(

2

).sinh()..sin(.)1(4.n

nn

nnn

sv

hkkbykykzyχ

0

).12(b

nknπ+

= (2)

Figura 1: Sistema de coordenadas del problema.

Figura 2: Desplazamientos transversales producto de la torsión.


- 4 de 38 -

El desarrollo de las deformaciones conduce a:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

∂∂

+=∂∂

∂∂

+∂∂

−∂∂

+−=

∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+−=∂∂

+∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

∂∂

+=∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=

∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+=∂∂

+∂∂

=

=∂∂

+∂∂

=

=∂∂

=

=∂∂

=

∂∂

+∂∂

−=∂∂

=

zyxyx

zxx

v

zxx

vxyx

vyu

yzxzx

yxx

w

yxx

wxzx

wzu

yw

zvzwyv

xz

xy

xu

svx

xy

svxx

xy

z

xxsvzxy

svx

xz

svxx

xz

y

xxsvyxz

yz

zz

yy

yzxxxx

χθγχθθθ

θθχθγ

χθγχθθθ

θθχθγ

γ

ε

ε

θθεε

γ

γ

0

0

0

0

0

0

0

0

0

.

.

.

.

0

0

0

43421

43421

donde se condensan dos términos que no son independientes, formando 0xyγ y 0

xzγ .

Por lo tanto, los giros de la sección se calculan como:

xvx

w

xyz

xzy

∂∂

+−=

∂∂

−=

00

00

γθ

γθ (4)

Figura 3: Interpretación geométrica de la relación entre distorsiones y giros del eje medio y la sección transversal

(3)


- 5 de 38 -

Es posible dar una interpretación geométrica a la ecuación (4), según muestra la Figura 3: los giros de la sección se pueden obtener sumando a la pendiente una distorsión 0γ .

Se definen a continuación las curvaturas de flexión y el giro específico,

x

x

x

xx

yz

zy

∂∂

≡

∂∂

−≡

∂∂

≡

θϕ

θκ

θκ

0

0

0

(5)

La convención utilizada para las mismas, que sigue a Gere y Timoshenko [2] se muestra en la Figura 4.

Luego,

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+=

==

=

−−=

zy

yz

zy

sv

xxyxy

sv

xxzxz

yz

zz

yy

zyxxxx

χϕγγ

χϕγγ

γε

ε

κκεε

00

00

000

00

0

..

(6)

En los pasos algebraicos siguientes, se ordena (6) en forma matricial y según la notación de Voigt. Inicialmente se

plantean las 6 componentes del tensor de deformaciones para poder utilizar la matriz constitutiva de 6x6.

Figura 4: Se muestran las curvaturas y giros positivos


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[ ] 0

0

0

0

0

0

0

000000

ˆ

10000

01000

0000000000000000000001

100000

010000

0000

00000

00000

000001

εε

γγϕκκε

χ

χ

γγγεεε

γγϕ

χ

χκκε

γγγεεε

Λ=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧−

+

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧−

+

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

xy

xz

x

z

y

xx

sv

sv

xy

xz

yz

zz

yy

xx

xyxzx

sv

svzyxx

xy

xz

yz

zz

yy

xx

zy

yz

zy

zy

yz

zy

(7)

donde ε indica que se trata de coordenadas del problema y 0ε son los grados de libertad de la viga, asociados al eje medio.

En el caso más general, ε contiene las del tensor de deformaciones en un punto cualquiera de la viga, es decir, es

función de x, y, y z, la matriz [ ]Λ es función de y y z y el vector 0ε es función sólo de x.

4 ECUACIONES DE EQUIVALENCIA El paso siguiente es el planteo de las Ecuaciones de Equivalencia entre las tensiones en una sección cualquiera y los

esfuerzos que la solicitan. El sentido correcto de cada esfuerzo puede obtenerse de la Figura 5. En las siguientes expresiones se integra en el área de la sección transversal de la viga, es decir, en el plano “yz”.

[ ]

∫∫∫∫∫∫

=

=

+−=

=

−=

=

A xyy

A xzz

A xzxyx

A xxy

A xxz

A xxx

dAQ

dAQ

dAyzM

dAzM

dAyM

dAN

.

.

).().(

..

..

.

τ

τ

ττ

σ

σ

σ

(8)

Con la convención de signos asumida, que corresponde a la de Gere y Timoshenko [1], un zM positivo produce una

curvatura 0yκ positiva pero un yM positivo produce una curvatura 0

zκ NEGATIVA.


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Nuevamente reorganizando en forma matricial:

[ ] ∫

∫

Γ=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

A

A

xy

xz

yz

zz

yy

xx

y

z

x

y

z

x

dAN

dAzy

zy

QQMMMN

σ

τττσσσ

ˆ.

.

100000010000

00000000000000000001

(9)

Se plantea ahora la Ley de Hooke generalizada [3],

[ ] ( )CT CTC ααεσ ˆ.ˆ.ˆˆˆ Δ−Δ−= (10)

donde TΔ y CΔ son los gradientes temperatura y humedad respectivamente y Tα y Cα son los coeficientes de dilatación térmica e higroscópica respectivamente. Considerando por ahora que 0 0 =Δ∧=Δ CT y combinando primero (9) y (10) y luego con (7): [ ][ ] [ ][ ][ ] ∫∫ ΛΓ=Γ=

AAdACdACN 0.ˆ.ˆ.ˆ. εε

En forma expandida:

∫

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

A

xy

xz

x

z

y

xx

sv

sv

y

z

x

y

z

x

dA

zy

yz

zy

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

zyzy

QQMMMN

0

0

0

0

0

0

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

10000

01000

0000000000000000000001

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

100000010000

00000000000000000001

γγϕκκε

χ

χ

(11)

Llegado este punto se debe hacer notar que las matrices [ ]Γ y [ ]Λ tiene columnas y filas de ceros. Se han mantenido

Figura 5: Vista del 1º cuadrante de la sección transversal, para el planteo de las ecuaciones de equivalencia.


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hasta aquí para poder utilizar la matriz constitutiva completa. Si se integrara (11), la matriz resultante sería singular. Esto proviene del hecho de que tres deformaciones son nulas y tres tensiones no intervienen en los esfuerzos planteados. Para saber qué filas y columnas deben eliminarse en [ ]C se redefinen [ ]Γ y [ ]Λ de la siguiente manera:

[ ] 0

0

0

0

0

0

0

ˆ

10000

01000

0001

100010000000000001

εε

γγϕκκε

χ

χ

γγε

γγε

γγγεεε

Λ=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

xy

xz

x

z

y

xx

sv

sv

xy

xz

xx

xy

xz

xx

xy

xz

yz

zz

yy

xx

zy

yz

zy (12)

En forma similar:

[ ] ∫

∫

Γ=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

A

A

xy

xz

xx

y

z

x

y

z

x

xy

xz

yz

zz

yy

xx

xy

xz

xx

dAN

dAzy

zy

QQMMMN

σ

ττσ

τττσσσ

ττσ

ˆ.

.

100010

00000001

100000010000000001

(13)

Por lo tanto:

∫

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

A

xy

xz

x

z

y

xx

sv

sv

y

z

x

y

z

x

dA

zy

yz

zy

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

zyzy

QQMMMN

0

0

0

0

0

0

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

10000

01000

0001

100010000000000001

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

100000010000000001

100010

00000001

γγϕκκε

χ

χ(14)

Lo que resulta una matriz constitutiva de 3x3, si bien no se trata de un problema plano.

∫

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

A

xy

xz

x

z

y

xx

sv

sv

y

z

x

y

z

x

dA

zy

yz

zy

ccccccccc

zyzy

QQMMMN

0

0

0

0

0

0

665616

565515

161511

10000

01000

0001

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

100010

00000001

γγϕκκε

χ

χ (15)

Para obtener [ ]C se transforma la matriz constitutiva de coordenadas materiales a coordenadas del problema, y se extraen las componentes indicadas en (15),


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[ ] [ ][ ][ ]TTCTC .ˆ = y [ ] [ ] 1−= SC

Con [ ]S , la matriz de compliancia para un material ortótropo, definida como:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

12

13

23

32

32

1

31

3

23

21

21

3

13

2

12

1

100000

010000

001000

0001--

000-1-

000--1

G

G

G

EEE

EEE

EEE

S

υυ

υυ

υυ

(16)

donde 12υ , 13υ y 23υ son los coeficientes de Poisson mayores, E es el módulo de Young y G el módulo de corte, con la siguiente matriz de transformación, que puede obtenerse de la literatura clásica, como Barbero [4]:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

=

θθθθθθθθθθ

θθθθθθθθ

22

22

22

sincos000.cos.cos0cossin0000sincos000000100.cos2000cossin.cos2000sincos

sensen

sensen

T (17)

Luego, como las deformaciones no dependen de z ni de y:

[ ][ ][ ] [ ] )(.)(.),(.)(ˆ.),()( 00 xxdAzyzCzyxN

Aεε Ω=ΛΓ= ∫ (18)

donde [ ]Ω es la matriz de rigidez de la viga.

Para poder integrar en la coordenada z es necesario subdividir el dominio en n partes, [ ] [ ][ ][ ]

[ ][ ][ ] dydzzyzCzy

dydzzyzCzy

b

n

kh

b h

k

.),()(ˆ),(

.),()(ˆ),(

∫ ∑∫

∫ ∫⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΛΓ=

ΛΓ=Ω

(19)

donde kh es el espesor de la lámina k-ésima.


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Como cada lámina de esta formulación puede considerarse homogénea en su espesor, cada una tiene un tensor constitutivo

[ ] )(ˆ kC constante. Por lo tanto,

:

[ ] [ ][ ] [ ] dydzzyCzyb

n

kh

k

k

.),(ˆ),()(

∫ ∑∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΛΓ=Ω (20)

La introducción de la función de alabeo de Saint-Venant agrega términos no lineales que no hacen factible la

integración analítica. Por ello se recurre a un esquema de integración numérica, proporcionado por el software Matemática.

5 DISCUSIÓN DE RESULTADOS

5.1 ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ En la presente sección se analizan los coeficientes de la matriz de rigidez, que relaciona los grados de libertad con los

esfuerzos. Luego se estudia cómo queda conformada la matriz para diferentes materiales y laminados. Resolviendo la ecuación (20) para cada componente se llega a que:

kij

n

kij hCb

)∑=

=Ω1

0 para 6,5,16,5,1

==

ji

06252262523213212 =Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=Ω

dzdyzCb

b

h

h

kN

k

k

k∫ ∫∑

− −=

−=Ω2/

2/

2/

2/

111

13

0

0

)

dzdyzCz

Csvb

b

h

h

N

k

k

k

)( 1615

2/

2/

2/

2/114

0

0

))−

∂∂

=Ω ∫ ∫∑− −=

χ

k

n

k

hCb 111

3022 12

1 )∑=

=Ω

dzdyyyz

Cb

b

h

h

svk

n

k

k

k

)( 22/

2/

2/

2/15

124

0

0

+∂∂

−=Ω ∫ ∫∑− −=

χ) (21)

13

2/

2/

2/

2/

111

31

0

0

Ω−==Ω ∫ ∫∑− −=

dzdyzCb

b

h

h

kN

k

k

k

)

dzdyzCb

b

h

h

kN

k

k

k∫ ∫∑

− −=

−=Ω2/

2/

2/

2/

211

133

0

0

)

dzdyzzy

Csv

kb

b

h

h

n

k

k

k

)( 216

2/

2/

2/

2/134

0

0

−∂∂

=Ω ∫ ∫∑− −=

χ)


- 11 de 38 -

dzdyzCb

b

h

h

kN

k

k

k∫ ∫∑

− −=

=Ω2/

2/

2/

2/15

135

0

0

)

dzdyzCb

b

h

h

kN

k

k

k∫ ∫∑

− −=

=Ω2/

2/

2/

2/16

136

0

0

)

dzdyzCb

b

h

h

kN

k

k

k∫ ∫∑

− −=

−=Ω2/

2/

2/

2/

611

41

0

0

)

k

n

khCb 15

1

3042 12

1 )∑=

−=Ω

dzdyzCb

b

h

h

kN

k

k

k∫ ∫∑

− −=

=Ω2/

2/

2/

2/

261

143

0

0

)

dzdyzy

zCyyz

Csvb

b

h

h

svn

k

k

k

)]()([ 266

22/

2/

2/

2/55

144

0

0∂∂

−++∂∂

=Ω ∫ ∫∑− −=

χχ )) (21)

dzdyzCb

b

h

h

kN

k

k

k∫ ∫∑

− −=

−=Ω2/

2/

2/

2/

651

45

0

0

)

dzdyzCb

b

h

h

kN

k

k

k∫ ∫∑

− −=

−=Ω2/

2/

2/

2/

661

46

0

0

)

dzdyzCb

b

h

h

kN

k

k

k∫ ∫∑

− −=

−=Ω2/

2/

2/

2/51

153

0

0

)

dzdyzy

Csv

kb

b

h

h

n

k

k

k

)(56

2/

2/

2/

2/154

0

0

−∂∂

=Ω ∫ ∫∑− −=

χ)

dzdyzCb

b

h

h

kN

k

k

k∫ ∫∑

− −=

−=Ω2/

2/

2/

2/61

163

0

0

)

dzdyzCy

C kb

b

h

h

svk

n

k

k

k

)( 66

2/

2/

2/

2/66

164

0

0

))∫ ∫∑

− −=

−∂∂

=Ωχ


- 12 de 38 -

La matriz de rigidez general tiene entonces la forma:

(22)

En la Figura 6 se presenta una interpretación gráfica (similar a una propuesta por Drechsler [5]) del acoplamiento entre

los distintos esfuerzos y grados de libertad implica cada componente de la matriz de rigidez.. En la sección siguiente se estudian las componentes que aparecen en distintos tipos de laminado. Con esta información se brinda una herramienta que puede asistir al diseñador en la selección de un esquema de laminado capaz de proveer el comportamiento buscado para una determinada estructura. Esto en general no es trivial, considerando la gran cantidad de combinaciones posibles. En otras palabras, esta formulación permite un diseño cualitativo de la estructura; el diseño cuantitativo puede resolverse luego con, por ejemplo, el método de los elementos finitos.

5.2 ANALISIS DE CASOS PARTICULARES

Habiendo obtenido los coeficientes de la matriz de rigidez estamos en condiciones ahora de estudiarla para diferentes materiales y secuencias de laminación.

5.2.1 Matriz de rigidez para una lámina isótropa

Si el material es isótropo la matriz constitutiva de 3x3 se reduce a:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

GsimG

E

ccccccccc

.000

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

665616

565515

161511

Volviendo a las ecuaciones (21) y reemplazando, la matriz de rigidez para la viga de material isótropo queda:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

−=Ω

∫

GG

GJJdAyz

EJEJ

EA

yzA

svz

y

0000000000

00000

000000000000000

χ (23)

Como era de esperarse, los coeficientes involucrados en cualquier tipo de acoplamiento son nulos.

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩ

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

0

0

0

0

0

0

5665646361

5655545351

464544434241

3635343331

2422

1615141311

00

00000

0

xy

xz

x

z

y

xx

z

y

z

y

x

x

QQMMMN

γγϕκκε


- 13 de 38 -

Figura 6: Interpretación gráfica del acoplamiento que implica cada componente de la matriz de rigidez.


- 14 de 38 -

5.2.2 Matriz de rigidez para una lámina ortótropa Si el material es ortótropo la matriz constitutiva de 3x3 queda reducida a:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

66

55

11

665616

565515

161511

ˆ.0ˆ00ˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

csimc

c

ccccccccc

Reemplazando en las ecuaciones (1) se llega a la siguiente matriz de rigidez para una viga de material ortótropo:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++∂∂

−

=Ω∫

AcAc

JcJcdAyz

c

JcJc

Ac

yzA

svy

z

66

55

665555

11

11

11

ˆ000000ˆ0000

00ˆˆˆ000

000ˆ000000ˆ000000ˆ

χ (24)

Si bien las constantes elásticas son las mismas, la matriz de rigidez tiene la misma forma que la de la viga de material isótropo. Aquí tampoco hay acoplamiento de ningún tipo.

5.2.3 Matriz de rigidez para una lámina ortótropa angular Este es el caso de una lámina ortótropa en la que la dirección de las fibras forma un ángulo θ con el eje x. La matriz constitutiva de la lámina es en este caso:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

66

55

1611

665616

565515

161511

ˆ.0ˆˆ0ˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

csimc

cc

ccccccccc

Analizando las ecuaciones (1) llegamos a la siguiente matriz de rigidez para la viga:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++∂∂

−

−∂∂

−

=Ω

∫

∫

AcAcAc

JcJcdAyz

cJc

JcdAzy

cJc

JcAcAc

yzA

sv

y

yA

sv

y

z

6616

55

66555516

161611

11

1611

ˆ0000ˆ0ˆ0000

00ˆˆˆˆ00

00ˆˆˆ00

0000ˆ0ˆ0000ˆ

χ

χ

(25)

Al ser simétrico respecto del plano medio este tipo de laminado no presenta acoplamiento extensión-flexión. Eso se deduce de ver que 12Ω = 13Ω = 14Ω =0. Sin embargo la presencia de 23Ω y 34Ω indican la existencia de acoplamiento flexión-

torsión. Además los coeficientes 16Ω y 61Ω representan el acoplamiento extensión-distorsión.


- 15 de 38 -

5.2.4 Matriz de rigidez para laminado cruzado simétrico

Este tipo de laminado está formado por láminas con las fibras orientadas a 0° y 90° respecto del eje x. Cuando se analizó la matriz de rigidez para la lámina ortotrópica se llegó a:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΩΩ

ΩΩ

ΩΩ

=Ω

56

55

44

33

22

11

000000000000000000000000000000

(26)

Es de esperar entonces que un apilamiento de láminas ortotrópicas tenga la misma estructura. Los coeficientes pueden calcularse fácilmente con las ecuaciones (21). No existe acoplamiento de ningún tipo.

5.2.5 Laminados simétricos angulares

En este punto se consideran los laminados de láminas ortótropas angulares que son simétricos respecto del plano medio. En este tipo de secuencia para cada lámina existe otra de iguales propiedades mecánicas del otro lado del plano medio. Para la lámina ortótropa angular que también era simétrica respecto del plano medio se obtuvo una matriz de la siguiente forma:

(27)

Es de suponer que un apilamiento de láminas ortótropas angulares tenga la misma disposición. Al ser simétricos, estos laminados no presentan acoplamiento extensión-flexión. Eso se deduce de ver que 12Ω = 13Ω = 14Ω =0. Sin embargo la

presencia de 43Ω y 34Ω indican la existencia de acoplamiento flexión-torsión. Además la 16Ω y 61Ω representan al acoplamiento extensión-corte. Un caso especial de estos laminados son los simétricos angulares y regulares que se estudian a continuación.

5.2.6 Laminados simétricos angulares regulares

En estos laminados todas las láminas tienen espesores idénticos y orientaciones idénticas alternadas de la forma (α/- α /- α / α). Tiene las mismas características de los laminados simétricos angulares pero no presentan el acoplamiento extensión-corte. La matriz de rigidez tiene la siguiente forma:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩ

=Ω

5661

55

4443

3433

22

1611

0000000000000000000000

0000


- 16 de 38 -

(28)

5.2.7 Laminados antisimétricos angulares Supongamos que el laminado está formado por dos láminas. En estos laminados se cumple:

21

21

kk

kk zzθθ −=−=

Esto implica que las matrices constitutivas en coordenadas del problema se relacionen de la siguiente manera:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

661

551

161

111

661

551

161

111

ˆ.0ˆˆ0ˆ

ˆ.0ˆ

ˆ0ˆ

k

k

kk

k

k

kk

csimc

cc

csimc

cc

Teniendo en cuenta esto y reemplazando en las ecuaciones (21) se llega a la siguiente matriz de rigidez:

(29)

La presencia del coeficiente 14Ω indica la existencia de acoplamiento extensión-corte. 36Ω y 53Ω causan el acoplamiento flexión-corte.

5.2.8 Laminado cruzado antisimétrico En este caso la matriz de rigidez es de la forma:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΩΩ

ΩΩΩ

ΩΩΩ

=Ω

56

55

24

3331

22

1311

0000000000000000000000000000

(30)

13Ω y 31Ω indican la presencia de acoplamiento extensión-flexión.

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩ

=Ω

5653

55

4441

3633

22

1411

0000000000000

0000000000000

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩ

=Ω

5661

55

4443

3433

22

1611

0000000000000000000000

0000


- 17 de 38 -

5.3 RESULTADOS OBTENIDOS

En la presente sección se analizan diferentes problemas y se comparan las soluciones obtenidas correspondientes a la teoría clásica de laminados CLPT, a una teoría no lineal de deformaciones por corte de primer orden FSDT y por último al modelo del campo de deformaciones por corte modificado MSDT. Los cálculos fueron realizados mediante un programa generado con el Software Mathematica.

En nuestro primer problema se analiza una viga sometida a un estado de flexión pura. En el segundo problema se somete a la misma viga a un estado de flexión combinado con un par torsor. En el tercer problema se somete a la viga a flexión y corte. Para este último caso no es posible aplicar el modelo CLPT ya que no se trata de un problema plano.

Se evalúan los grados de acoplamiento flexión-torsión entre los distintos laminados comparando las curvaturas y los giros de torsión específicos. Se comparan a su vez los resultados obtenidos mediante los tres modelos con el fin de evaluar la influencia del alabeo de la sección.

En el problema con corte se estudia el acoplamiento flexión-corte junto con el comportamiento de los laminados antisimétricos. Cabe aclarar que en este problema el corte inducido por el acoplamiento es perpendicular al aplicado.

Por último se analizan las tensiones en cada lámina y se estudia el efecto que produce la consideración del alabeo en las mismas.

5.3.1 Ejemplos numéricos Problema 1. Viga sometida a flexión pura En la Tabla 1, se muestra la curvatura y el giro específico obtenidos para cinco elementos de viga de longitud unitaria y de igual sección transversal con diferentes secuencias de laminación, sometidos a un momento flector constante. Se comparan a su vez los tres niveles de análisis: CLPT, FSDT y MSDT.

25.02.0

5.025/

12

223

21312

21

==

===

νEG

EGGEE

101

1.02.0

====

yMlhb

CLPT FSDT MSDT

zκ xϕ zκ xϕ zκ xϕ (0/0)S 0.02394 0 0.02384 0 0.02384 0 (0/90)S 0.0271148 0 0.0270811 0 0.0270811 0 (± 45)S 0.342446 0.0600056 0.130217 0.0755054 0.144995 0.0709251 (± 45/± 45)S 0.325299 0.0178824 0.0912886 0.0264666 0.0932569 0.0228085 (0/30/60/90)S 0.0369063 0.038558 0.0344735 0.0242356 0.0360381 0.0269664

Tabla 1

En la Tabla 1 figuran las matrices de rigidez Ω obtenidas según los modelos FSDT y MSDT. Problema 2. Viga sometida a flexión y torsión Se analizan los mismos laminados del problema anterior con el agregado de un par torsor actuando en ambos sentidos. Se comparan los resultados con el problema de flexión pura. Los valores de curvatura y giro específico para un par torsor negativo se encuentran en la Tabla 2 mientras que la Tabla 3 resume los valores para el par torsor actuando en sentido positivo.


- 18 de 38 -

10

10

−=

=

x

y

M

M

CLPT FSDT MSDT

zκ xϕ zκ xϕ zκ xϕ (0/0)S 0.02394 1.2 0.02384 0.24 0.02384 0.43759 (0/90)S 0.0271148 1.2 0.0270811 0.315789 0.0270811 0.55013 (± 45)S 0.402452 0.238703 0.205722 0.196289 0.244142 0.18438 (± 45/± 45)S 0.343181 0.124391 0.117755 0.111142 0.126021 0.09578 (0/30/60/90)S 0.0754643 0.476937 0.0587091 0.203646 0.0718561 0.226593

Tabla 2: Resultados obtenidos para flexión y torsión horaria

10

10

=

=

x

y

M

M

CLPT FSDT MSDT

zκ xϕ zκ xϕ zκ xϕ (0/0)S 0.02394 -1.2 0.02384 -0.24 0.02384 -0.43759 (0/90)S 0.027114 -1.2 0.0270811 -0.315789 0.0270811 -0.55013 (± 45)S 0.28244 -0.1186 0.054711 -0.04527 0.0458487 -0.04253 (± 45/± 45)S 0.307416 -0.0886 0.064822 -0.058209 0.060493 -0.05016 (0/30/60/90)S -0.001651 -0.39982 0.0102379 -0.155175 0.0002201 -0.17266

Tabla 3: Resultados obtenidos para flexión y torsión antihoraria

Problema3. Viga sometida a flexión y corte Se aplican a la viga un momento flector y un esfuerzo de corte constantes de sentidos opuestos. Dado que los laminados simétricos no tienen presentan acoplamiento flexión-corte sólo se analizan dos de ellos. Se estudian en lugar de los faltantes dos laminados antisimétricos. Los resultados pueden apreciarse en la Tabla 4.

1010

=

=

z

y

QM

FSDT MSDT

zκ xϕ 0xzγ 0

xyγ zκ xϕ 0xzγ 0

xyγ

(0/0)S 0.0238 0 0.001 0 0.0238 0 0.001 0 (± 45)S 0.1302 0.0755 0.00142 0 0.1449 0.0709 0.00142 0 (± 45)T 0.2020 0 0.00142 0.00476 0.2020 0 0.00142 0.00476 (± 45/± 45)T 0.0973 0 0.00142 0.00114 0.0973 0 0.00142 0.00114

Tabla 4


- 19 de 38 -

FSDT MSDT

(0/0)S

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

503356. 0. 0. 0. 0. 0.0. 1677.85 0. 0. 0. 0.0. 0. −419.463 0. 0. 0.0. 0. 0. 41.6667 0. 0.0. 0. 0. 0. 10000. 0.0. 0. 0. 0. 0. 10000.

y

zzzzzzzzzzzzzzz

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

503356. 0 0 0 0 00 1677.85 0 0 0 00 0 −419.463 0 0 00 0 0 22.8523 0 00 0 0 0 10000. 00 0 0 0 0 10000.

y

zzzzzzzzzzzzzzz

(0/90)S

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

262389. 0. 0. 0. 0. 0.0. 874.631 0. 0. 0. 0.0. 0. −369.262 0. 0. 0.0. 0. 0. 31.6667 0. 0.0. 0. 0. 0. 7000. 0.0. 0. 0. 0. 0. 10000.

y

zzzzzzzzzzzzzzz

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

262389. 0. 0. 0. 0. 0.0. 874.631 0. 0. 0. 0.0. 0. −369.262 0. 0. 0.0. 0. 0. 18.1775 0. 0.0. 0. 0. 0. 7000. 0.0. 0. 0. 0. 0. 10000.

y

zzzzzzzzzzzzzzz

(± 45)S

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

144550. 0. 0. 0. 0. 0.0. 481.834 0. 0. 0. 0.0. 0. −120.459 −75.302 0. 0.0. 0. 75.302 129.866 0. 0.0. 0. 0. 0. 7000. 0.0. 0. 0. 0. 0. 127839.

y

zzzzzzzzzzzzzzz

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

144550. 0. 0. 0. 0. 0.0. 481.834 0. 0. 0. 0.0. 0. −120.459 −105.265 0. 0.0. 0. 75.302 153.943 0. 0.0. 0. 0. 0. 7000. 0.0. 0. 0. 0. 0. 127839.

y

zzzzzzzzzzzzzzz

(± 45/± 45)S

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

144550. 0 0 0 0 00 481.834 0 0 0 00 0 −120.459 −37.651 0 00 0 37.651 129.866 0 00 0 0 0 7000. 00 0 0 0 0 127839.

y

zzzzzzzzzzzzzzz

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

144550. 0 0 0 0 00 481.834 0 0 0 00 0 −120.459 −54.0849 0 00 0 37.651 153.943 0 00 0 0 0 7000. 00 0 0 0 0 127839.

y

zzzzzzzzzzzzzzz


- 20 de 38 -

(0/30/60/90)S

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

218200. 0 0 0 0 52170.80 727.332 0 0 0 00 0 −320.516 −43.2967 0 00 0 43.2967 61.5867 0 00 0 0 0 7000. 052170.8 0 0 0 0 54189.6

y

zzzzzzzzzzzzzzz

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

218200. 0 0 0 0 52170.80 727.332 0 0 0 00 0 −320.516 −57.5088 0 00 0 43.2967 57.8622 0 00 0 0 0 7000. 052170.8 0 0 0 0 54189.6

y

zzzzzzzzzzzzzzz

(± 45)T

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

144550. 0. 0. 3012.08 0. 0.0. 481.834 0. 0. 0. 0.0. 0. −120.459 0. 0. −3012.083012.08 0. 0. 129.866 0. 0.0. 0. 0. 0. 7000. 0.0. 0. 3012.08 0. 0. 127839.

y

zzzzzzzzzzzzzzz

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

144550. 0. 0. 4069.42 0. 0.0. 481.834 0. 0. 0. 0.0. 0. −120.459 0. 0. −3012.083012.08 0. 0. 153.943 0. 0.0. 0. 0. 0. 7000. 0.0. 0. 3012.08 0. 0. 127839.

y

zzzzzzzzzzzzzzz

(± 45/± 45)T

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

144550. 0. 0. 1506.04 0. 0.0. 481.834 0. 0. 0. 0.0. 0. −120.459 0. 0. −1506.041506.04 0. 0. 129.866 0. 0.0. 0. 0. 0. 7000. 0.0. 0. 1506.04 0. 0. 127839.

y

zzzzzzzzzzzzzzz

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

144550. 0. 0. 2139.29 0. 0.0. 481.834 0. 0. 0. 0.0. 0. −120.459 0. 0. −1506.041506.04 0. 0. 153.943 0. 0.0. 0. 0. 0. 7000. 0.0. 0. 1506.04 0. 0. 127839.

y

zzzzzzzzzzzzzzz

Tabla 5: Matriz de rigidez para diferentes secuencias de laminación

- 21 de 38 -

5.4 Influencia del alabeo en las tensiones

En esta sección se analiza la influencia de la función de alabeo de Saint Venant en las tensiones en coordenadas materiales. Al igual que en el apartado anterior se toman las siguientes solicitaciones: flexión pura y flexión combinada con un par torsor aplicado en ambos sentidos. Este último caso se estudia solamente para las teorías FSDT y MSDT ya que la CLPT no considera las tensiones normales al plano del laminado. Por razones de espacio se comparan solo dos secuencias de laminación. Será suficiente, ya que el objeto es estudiar la influencia del alabeo.

Resolviendo: [ ] )()( 0 xxN εΩ= (31) obtenemos los grados de libertad. Luego estamos en condiciones de sacar las deformaciones en coordenadas del problema. [ ] 0ˆ εε Λ=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

0

0

0

10000

01000

0001

xy

xz

x

z

y

xx

sv

sv

xy

xz

xx

zy

yz

zy

γγϕκκε

χ

χ

γγε

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

xy

xz

xx

xy

xz

xx

xy

xz

yz

zz

yy

xx

γγ

ε

γγε

γγγεεε

000

100010000000000001

(32)

Con los grados de libertad podemos hallar las tensiones en coordenadas del problema si obtenemos primero las deformaciones: [ ] 0ˆ εε Λ=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

0

0

0

10000

01000

0001

xy

xz

x

z

y

xx

sv

sv

xy

xz

xx

zy

yz

zy

γγϕκκε

χ

χ

γγε

(33)


- 22 de 38 -

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

xy

xz

xx

xy

xz

xx

xy

xz

yz

zz

yy

xx

γγ

ε

γγε

γγγεεε

000

100010000000000001

Luego es posible obtener las tensiones en coordenadas del problema.

znzxy

xz

xx

nnxy

xz

yz

zz

yy

xx

csimccc

ccccccccc

=⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

γγ

ε

τττσσσ

000

ˆ.0ˆ0ˆˆˆ00ˆˆ00ˆˆˆ00ˆˆˆ

66

55

4544

3633

262322

16131211

(34)

Finalmente rotando alrededor del eje z obtenemos las tensiones en coordenadas materiales. [ ] σσσ )1−= T (35)

nxy

xz

yz

zz

yy

xx

nn θθsenθθsenθθθsenθsenθ

θsenθθθsenθsenθsenθ

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

τττσσσ

τττσσσ

]2cos[000][]cos[][]cos[0]cos[][0000][]cos[000000100

][]cos[2000]cos[][]2[000][]cos[

22

22

12

13

23

33

22

11

Se analizan a continuación algunos casos particulares.

5.4.1 Laminado (0/90)s sometido a flexión pura En la columna izquierda de la Tabla 6 se grafican las tensiones en coordenadas materiales en las distintas láminas obtenidas con el modelo FSDT. En la columna derecha se encuentran los mismos resultados obtenidos con el modelo MSDT. Los resultados son idénticos. Como se vio en el análisis de la matriz de rigidez no existe acoplamiento de ningún tipo y no hay presencia de alabeo.

Esto ocurre ya que no hay ni un par torsor aplicado ni giro de torsión inducido por acoplamiento que genere el alabeo de la sección. La ecuación cinemática (1), que repetimos aquí por comodidad, muestra claramente que al ser el giro específico de torsión nulo no hay alabeo de la sección.

xzyuu xsv

yz ∂∂

++−=θ

χθθ ...0


- 23 de 38 -

Tabla 6: Tensiones en laminado(0/90) sometido a flexión

FSDT

MSDT

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

Sigma1 rojo ,Sigma2 verde ,Tau13 azul ,Tau12 fucsia

Layer 1

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000


Layer 1

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50


Layer 2

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50


Layer 2

-0.1 -0.05 0.05 0.1

50

100

150

200

250

300

350


Layer 3

-0.1 -0.05 0.05 0.1

50

100

150

200

250

300

350


Layer 3


- 24 de 38 -

-0.1 -0.05 0.05 0.1

5000

10000

15000

20000

25000


Layer 4

-0.1 -0.05 0.05 0.1

5000

10000

15000

20000

25000


Layer 4

5.4.2 Laminado (0/90)s sometido a flexión y torsión Los gráficos de las tensiones se resumen en la Tabla 7. En este caso hay diferencia entre los dos modelos. Cuando se considera el alabeo se produce un aumento importante de las tensiones tangenciales pertenecientes al plano del laminado 12τ . Por otra parte, la forma de la distribución de las tensiones tangenciales pertenecientes al plano 13τ cambia pero los valores no varían demasiado. Las tensiones normales permanecen invariables. Al introducir un par torsor aparece un giro específico que genera el alabeo de la sección. El mismo se muestra en la Figura 7.

Alabeo de la secció n debido a Saint Venant

-0.1-0.05

0

0.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.001

0

0.001usv

1-0.05

0

0.05y

Figura 7: Alabeo de la sección para un laminado cruzado al aplicar un para torsor positivo

La magnitud del giro específico varía según se considere o no el alabeo de la sección. En la ecuación (33) se ve que el giro afecta a las distorsiones multiplicando a las derivadas parciales de la función de Saint Venant. Por esta razón la función del alabeo afecta directamente los valores de estas distorsiones. En la Tabla 8 se comparan las deformaciones obtenidas con las dos teorías. Puede verse en la ecuación (34) que al variar las distorsiones cambian las tensiones tangenciales. Por tratarse de un laminado formado por láminas ortótropas no hay influencia sobre las tensiones normales ya que los coeficientes 16c y 26c de las matrices constitutivas de las láminas son nulos.


- 25 de 38 -

Tabla 7: Tensiones en laminado(0/90)s sometido a flexión y par torsor

FSDT

MSDT

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-20000

-10000

10000


Layer 1

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-20000

-10000

10000


Layer 1

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-2000

-1500

-1000

-500


Layer 2

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-6000

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000


Layer 2

-0.1 -0.05 0.05 0.1

500

1000

1500

2000Sigma1 rojo ,Sigma2 verde ,Tau13 azul ,Tau12 fucsia

Layer 3 -0.1 -0.05 0.05 0.1

1000

2000

3000

4000

5000

6000


Layer 3


- 26 de 38 -

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-10000

10000

20000


Layer 4

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-10000

10000

20000


Layer 4

Tabla 8: Comparación de deformaciones para laminado cruzado (0/90)s sometido a flexión y torsión

FSDT

MSDT

Epsilonx

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.001

0

0.001Epsilonx

1-0.05

00.05y

Epsilonx

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.001

0

0.001Epsilonx

1-0.05

00.05y

Gammaxz

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.020

0.02Gammaxz

1-0.05

00.05y

Gammaxz

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.04-0.02

00.020.04

Gammaxz

1-0.05

00.05y


- 27 de 38 -

Gammaxy

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.010

0.01Gammaxy

1-0.05

00.05y

Gammaxy

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.05-0.025

00.0250.05

Gammaxy

1-0.05

00.05y

5.4.3 Laminado (± 45)S sometido a flexión En la columna izquierda de la Tabla 9 se grafican las tensiones en coordenadas materiales en las distintas láminas obtenidas con el modelo FSDT. En la columna derecha se encuentran los mismos resultados obtenidos con el modelo MSDT. Puede verse que en las láminas 1 y 4 que corresponden a la de las caras inferior y superior, la consideración del alabeo incrementa las tensiones normales de manera considerable en los extremos y las disminuye en el parte central de la lámina. En las láminas centrales también se produce una variación de las tensiones pero de manera inversa a lo que sucede con las láminas exteriores; en la parte central se ven incrementadas y en los extremos disminuidas. Las demás tensiones sufren cambios menos significativos. Al haber acoplamiento flexión-torsión aparece un giro específico de torsión que genera el alabeo de la sección. En la Figura 8 puede apreciarse el alabeo de la sección.


-0.1-0.05

0

0.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.00010

0.0001usv

1-0.05

0

0.05y

Figura 8 Alabeo de la sección provocado por el acoplamiento flexión torsión


- 28 de 38 -

Por las razones explicadas en el punto anterior la aparición del giro específico hace que las distorsiones se vean afectadas por la función de Saint Venant a través de sus derivadas parciales. En la Tabla 10 se comparan las deformaciones. A diferencia del laminado cruzado, los coeficientes 16c y 26c de las matrices constitutivas de las láminas no son nulos. Este hecho además de variar las tensiones tangenciales produce el cambio importante en las tensiones normales.

Tabla 9: Tensiones en laminado (45/-45)s sometido a flexión

FSDT

MSDT

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000


Layer 1

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-70000

-60000

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000


Layer 1

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-30000

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000


Layer 2

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-40000

-30000

-20000

-10000


Layer 2

-0.1 -0.05 0.05 0.1

5000

10000

15000

20000

25000

30000


Layer 3

-0.1 -0.05 0.05 0.1

10000

20000

30000

40000


Layer 3


- 29 de 38 -

-0.1 -0.05 0.05 0.1

5000

10000

15000

20000

25000


Layer 4 -0.1 -0.05 0.05 0.1

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000Sigma1 rojo ,Sigma2 verde ,Tau13 azul ,Tau12 fucsia

Layer 4

Tabla 10: Comparación de deformaciones para laminado (45/-45)s sometido a flexión

FSDT

MSDT

Epsilonx

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.005

0

0.005Epsilonx

1-0.05

00.05y

Epsilonx

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.005

0

0.005Epsilonx

1-0.05

00.05y

Gammaxz

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.005

0

0.005Gammaxz

1-0.05

00.05y

Gammaxz

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.005-0.0025

00.00250.005

Gammaxz

1-0.05

00.05y


- 30 de 38 -

Gammaxy

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.0020

0.002Gammaxy

1-0.05

00.05y

Gammaxy

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.005

0

0.005Gammaxy

1-0.05

00.05y

5.4.4 Laminado (± 45)S sometido a flexión y torsión En este caso se estudia el efecto que produce un par torsor actuando en ambos sentidos. Ya vimos al analizar las curvaturas que según el sentido se produce una “rigidización” o “ablandamiento” de la viga sometida a flexión. Ahora veremos que consecuencias trae aparejado este cambio de comportamiento en las tensiones. Flexión y par torsor negativo Al estudiar las curvaturas y los giros específicos vimos que la aplicación de un par torsor negativo se producía un aumento de las curvaturas respecto del problema con flexión únicamente. En la columna izquierda de la Tabla 11 se grafican las tensiones en coordenadas materiales en las distintas láminas obtenidas con el modelo FSDT. En la columna derecha se encuentran los mismos resultados obtenidos con el modelo MSDT. Puede verse que en las láminas 1 y 4 que corresponden a la de las caras inferior y superior, la consideración del alabeo redistribuye las tensiones aumentándolas en la parte central y disminuyéndolas en los extremos. En las láminas centrales también se produce una variación de las tensiones pero de manera inversa a lo que sucede con las láminas exteriores; en la parte central se ven disminuidas produciéndose un cambio de signo y en los extremos incrementadas. Las demás tensiones sufren cambios menos significativos. En la Tabla 12 se grafican las distribuciones de las deformaciones en la sección para ambos modelos de análisis.


-0.1-0.05

0

0.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.0001-0.00005

00.000050.0001

usv

1-0.05

0

0.05y

Figura 9: Alabeo de la sección para laminado (45/-45)s sometido a flexión y par torsor negativo


- 31 de 38 -

Tabla 11: Laminado(45/-45)s sometido a flexión y par torsor negativo

FSDT

MSDT

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-40000

-30000

-20000

-10000


Layer 1

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000


Layer 1

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-1500

-1000

-500

500

1000

1500


Layer 2

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-6000

-4000

-2000

2000

4000


Layer 2

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-1500

-1000

-500

500

1000

1500


Layer 3

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-4000

-2000

2000

4000

6000


Layer 3


- 32 de 38 -

-0.1 -0.05 0.05 0.1

10000

20000

30000

40000


Layer 4 -0.1 -0.05 0.05 0.1

10000

20000

30000

40000

50000


Layer 4

Tabla 12 Comparación de deformaciones para laminado (45/-45)s sometido a flexión y par torsor negativo

FSDT

MSDT

Epsilonx

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.002

0

0.002Epsilonx

1-0.05

00.05y

Epsilonx

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.005

0

0.005Epsilonx

1-0.05

00.05y

Gammaxz

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.004-0.002

00.0020.004

Gammaxz

1-0.05

00.05y

Gammaxz

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.0020

0.002Gammaxz

1-0.05

00.05y


- 33 de 38 -

Gammaxy

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.002-0.001

00.0010.002

Gammaxy

1-0.05

00.05y

Gammaxy

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.004-0.002

00.0020.004

Gammaxy

1-0.05

00.05y

Flexión y par torsor positivo Al estudiar las curvaturas y los giros específicos vimos que la aplicación de un par torsor positivo se producía un aumento de las curvaturas respecto del problema con flexión únicamente. En la columna izquierda de la Tabla 13 se grafican las tensiones en coordenadas materiales en las distintas láminas obtenidas con el modelo FSDT. En la columna derecha se encuentran los mismos resultados obtenidos con el modelo MSDT. Puede verse que en las láminas 1 y 4 que corresponden a la de las caras inferior y superior, la consideración del alabeo incrementa las tensiones normales de manera considerable en los extremos (más de 10 veces) y las disminuye en el parte central de la lámina produciendo un cambio de signo. En las láminas centrales también se produce una variación de las tensiones pero de manera inversa a lo que sucede con las láminas exteriores; en la parte central se ven incrementadas y en los extremos disminuidas. Sin embargo, la variación es menor que en las láminas externas. Las demás tensiones sufren cambios menos significativos. En la Tabla 14 se grafican las distribuciones de las deformaciones en la sección para ambos modelos de análisis.


-0.1-0.05

0

0.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.0005-0.00025

00.000250.0005

usv

1-0.05

0

0.05y

Figura 10: Alabeo de la sección para laminado (45/-45)s sometido a flexión y par torsor positivo


- 34 de 38 -

Tabla 13: Tensiones en laminado (45)s sometido a flexión y par torsor positivo

FSDT

MSDT

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-8000

-6000

-4000

-2000

2000

4000

6000


Layer 1

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-100000

-75000

-50000

-25000

25000


Layer 1

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-60000

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000


Layer 2

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-80000

-60000

-40000

-20000


Layer 2

-0.1 -0.05 0.05 0.1

10000

20000

30000

40000

50000

60000


Layer 3

-0.1 -0.05 0.05 0.1

20000

40000

60000

80000


Layer 3


- 35 de 38 -

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-6000

-4000

-2000

2000

4000

6000

8000


Layer 4

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-25000

25000

50000

75000

100000


Layer 4


- 36 de 38 -

Tabla 14: Comparación de deformaciones para laminado (45/-45)s sometido a flexión y par torsor positivo

FSDT

MSDT

Epsilonx

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.01-0.005

00.0050.01

Epsilonx

1-0.05

00.05y

Epsilonx

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.01

0

0.01Epsilonx

1-0.05

00.05y

Gammaxz

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.02-0.01

00.010.02

Gammaxz

1-0.05

00.05y

Gammaxz

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.01

0

0.01Gammaxz

1-0.05

00.05y

Gammaxy

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.01-0.005

00.0050.01

Gammaxy

1-0.05

00.05y

Gammaxy

-0.1-0.05

00.05

0.1

y-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

z

-0.010

0.01Gammaxy

1-0.05

00.05y

- 37 de 38 -

6 CONCLUSIONES

• A modo de resumen se presentan ahora las hipótesis hechas durante el desarrollo de esta formulación:

1. Los giros son pequeños. 2. El giro específico de torsión es constante en una longitud diferencial. Esto equivale a decir que no hay

momentos torsores distribuidos aplicados. 3. Los gradientes de temperatura y humedad son nulos. 4. Las láminas son ortótropas, elásticas y homogéneas.

• De la comparación de los distintos laminados surgen los siguientes comentarios:

1. Como era de esperarse, los laminados unidireccionales, los cruzados (0/90) y los antisimétricos no

presentan acoplamiento flexión-torsión. Para el problema de flexión pura no aparecen ángulos específicos de torsión. En el segundo problema, en el que se agrega un par torsor, la curvatura es indiferente al cambio de sentido del par.

2. El laminado que presentó mayor acoplamiento es el (± 45). En el primer problema puede verse que esa secuencia es la que presenta la mayor torsión. En el segundo caso, el mismo laminado es el que presenta mayor diferencia en la curvatura al aplicar el par en sentidos opuestos. Con el par en sentido negativo la curvatura aumenta considerablemente. Al aplicarlo en sentido positivo la curvatura disminuye. Se produce una “rigidización” a la flexión del laminado.

3. A medida que se aumenta la cantidad de láminas los acoplamientos de todo tipo disminuyen. Si comparamos los laminados (± 45) y (± 45/± 45) tanto simétricos como totales vemos que en el segundo laminado el acoplamiento flexión-torsión y flexión-corte es menor.

4. El acoplamiento flexión-corte genera distorsiones en el plano xy causadas por la flexión presente en el plano xz.

5. Si se comparan las curvaturas correspondientes a los laminados antisimétricos puede verse que un aumento de láminas disminuye el valor de las mismas.

• De la comparación de los tres modelos (CLPT, FSDT y MSDT) surgen los siguientes comentarios:

1. Para los laminados unidireccionales y cruzados (0/90)S las tres teorías dan curvaturas prácticamente

iguales. Sin embargo, presentan giros específicos distintos, siendo los mayores los correspondientes a la teoría clásica de laminados, seguidos por los obtenidos mediante la MSDT, quedando en último lugar los de la FSDT. La menor rigidez a la torsión que presenta la viga al ser analizada bajo la teoría CLPT se debe a la no consideración de las tensiones tangenciales perpendiculares al plano.

2. Para los demás laminados la teoría que acusa el menor acoplamiento, es decir el menor giro específico de torsión, es la CLPT seguida por la MSDT, quedando en primer lugar la FSDT.

3. Las curvaturas obtenidas con los tres modelos presentan un orden creciente inverso al de los giros específicos.

4. En el problema con corte no hubo diferencias al considerar el alabeo.

• Del análisis de las tensiones en el modelo MSDT surgen los siguientes comentarios:

1. En los laminados cruzados sólo se ven afectadas las tensiones tangenciales, respecto del modelo FSDT.

2. En los laminados angulares se ven afectadas tanto las tensiones tangenciales como las normales. Además la presencia del alabeo produce una redistribución de la tensiones en la sección.


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7 REFERENCIAS

1. Verri K., A. Análisis No-Lineal de Vigas Anisótropas de Laminados Compuestos según Una Teoría Modificada de Deformaciones por Corte. Mecánica de Laminados Compuestos. Universidad de Buenos Aires. 2007

2. Gere, James M. . Mecánica de Materiales. 5º Ed. Thomson Learning, México 2002. 3. Mendonça, P. T. Materiais Compostos & Estruturas Sanduíche. Manole. 2005. 4. Barbero, E.J. Introduction to Composite Materials Design. Taylor & Francis. 1998. 5. Klaus Drechsler. Leichtbauwerkstoffe. Institut für Flugzeugbau, Universität Stuttgart. 2005.

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