ECUACIONES · Curso 2018/2019 Unidad 3. Ecuaciones 5 Ecuaciones lineales (Ecuaciones de primer...

Matemáticas Académicas 3ºESO

Unidad 3

ECUACIONES

2

CONTENIDOS

RESULTADO DE APRENDIZAJE

IMPRESCINDIBLE

o Ecuaciones. Solución de una ecuación. Ecuaciones equivalentes.

o Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

o Resolución de ecuaciones de grado superior a 2 mediante factorización.

o Planteamiento y resolución de problemas mediante ecuaciones valorando la coherencia del resultado.

1.Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado.

2. Plantea y resuelve problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado utilizando diferentes procedimientos, realizando los cálculos necesarios con las herramientas tecnológicas adecuadas y comprobando e interpretando las soluciones obtenidas en el contexto de la situación.

3º ESO - Ecuaciones

Ecuaciones

Identidades y ecuaciones

Solución. Ecuaciones equivalentes

Ecuaciones lineales – (Actividad 1)

Soluciones algebraicas de ecuaciones lineales

La propiedad distributiva

Ecuaciones racionales

Ecuaciones de segundo grado – (Actividad 2)

Ecuaciones cuadráticas completas

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Número de soluciones de una ecuación cuadrática

Resolver ecuaciones por factorización – (Actividad 3)

Generalizando la aritmética

Convertir en expresión algebraica – (Actividad 4)

Formar ecuaciones - (Actividad 5)

Resolver problemas utilizando ecuaciones – (Actividad 6)

I.E.S. Mata Jove Matemáticas Académicas 3ºESO Curso 2018/2019 Unidad 3. Ecuaciones

3

Ecuaciones

Identidades y ecuaciones

Una igualdad no es lo mismo que una identidad. Hay igualdades de dos diferentes tipos: ecuaciones e identidades. Identidades y ecuaciones tienen dos lados o miembros, donde el signo igual separa la expresiones matemáticas, el miembro de la derecha y el miembro de la izquierda.

En Álgebra una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores que puedan tomar sus variables. Por ejemplo: (a+b)2=a2+2ab+b2.

Una ecuación es una igualdad que expresa una relación entre cantidades dadas, las incógnitas, que deben ser determinadas. ¿Conoces alguna?

Ejemplos:

1) Determina si estas igualdades son ciertas para los valores indicados.

2) Indica si estas igualdades son identidades o ecuaciones.

3) Escribe dos igualdades que sean identidades y otras dos que sean ecuaciones.

4

4) Determina los diferentes elementos de las siguientes ecuaciones.

Solución. Ecuaciones equivalentes

Los valores de las incógnitas que hacen cumplir la igualdad son llamadas soluciones. Resolver una ecuación es encontrar la solución o soluciones.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Ejemplos:

1) ¿Cuál de los siguientes valores es solución de la ecuación 5x – 9 = 4(x-5)?

2) Escribe dos ecuaciones que tengan como solución x = 1.

3) Escribe dos ecuaciones que:

a. Tengan dos soluciones. b. No tenga solución.


5

Ecuaciones lineales (Ecuaciones de primer grado)

Una ecuación lineal es una ecuación algebraica en la que cada término es una constante, o el producto de una contante por una variable Se escribe, en general, como ax + b = 0, siendo a y b números reales, y a≠0.

Este tipo de ecuaciones tienen una única solución: a

bx

Solución algebraica de resolución de ecuaciones lineales Reglas para obtener ecuaciones equivalentes.

Transposición de términos.

Los siguientes pasos son seguidos para resolver ecuaciones lineales:

Paso 1: Observa cómo se ha construido la expresión que contiene la variable.

Paso 2: Realiza las operaciones inversas, en ambos términos, para “deshacer” la construcción de la ecuación. En este sentido, lo que estamos haciendo es “aislar” la incógnita.

Paso 3: Comprueba la solución encontrada por sustitución en la expresión inicial.

Ejemplos:

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

6

La propiedad distributiva.

En situaciones en las que la incógnita aparece más de una vez, necesitamos expandir paréntesis, agrupar términos semejantes, para después resolver la ecuación.

Para expandir los paréntesis utilizamos la propiedad distributiva.

Así, si la incógnita aparece en ambos miembros de la ecuación y es necesario:

Se expanden los paréntesis existentes y se agrupan términos semejantes.

Se mueven los términos con incógnita a una lado de la ecuación y el resto de términos al otro lado.

Se simplifica y se resuelve la ecuación.

Ejemplos. Resuelve las siguientes ecuaciones:

Ejercicio 1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x+9 =4 b) 2x+5 = 17

c) 5x = 45

d) 3x -2= -14

e) -24 = -6x

f) 3 – 4x = -17

g) 3-x =12

h) 8 = 9 - 2x


7



a) 𝑥

4= 12 b)

𝑥+3

5= −2

c) 1

2𝑥 = 6 d)

1

3(𝑥 + 2) = 3

e) 5 =𝑥

−2 f)

2𝑥−1

3= 7

g) 𝑥

3+ 4 = −2 h)

1

2(5 − 𝑥) = −2

a) 2(𝑥 + 8) + 5(𝑥 − 1) = 60

b) 2(𝑥 − 3) + 3(𝑥 + 2) = −5

c) 3(𝑥 + 3) − 2(𝑥 + 1) = 0

d) 4(2𝑥 − 3) + 2(𝑥 + 2) = 32

e) 3(4𝑥 + 1) − 2 ⋅ (3𝑥 − 4) = −7

f) 5(𝑥 + 2) − 2(3 − 2𝑥) = −14

8


a) 2𝑥 − 3 = 3𝑥 + 6

b) 4(2𝑥 − 3) + 2(𝑥 + 2) = 32

c) 3𝑥 − 4 = 5 − 𝑥

d) 3(4𝑥 + 1) − 2(3𝑥 − 4) = −7

e) 3(𝑥 + 3) − 2(𝑥 + 1) = 0

f) 5(𝑥 + 2) − 2(3 − 2𝑥) = −14

Ejercicio 5. Resuelve las siguientes ecuaciones y comenta el resultado:

a) 2(3𝑥 + 1) − 3 = 6𝑥 − 1

b) 3(4𝑥 + 1) = 6(2𝑥 + 1)

Ecuaciones racionales


9

Ejemplos. Resuelve las siguientes ecuaciones:


a) 𝑥

2=

4

7

b) 5

8=

𝑥

6 c)

𝑥

2=

𝑥−2

3

d) 𝑥+1

3=

2𝑥−1

4 e)

2𝑥

3=

5−𝑥

2 f)

3𝑥+2

5=

2𝑥−1

2

g) 2𝑥−1

3=

4−𝑥

6 h)

4𝑥+7

7=

5−𝑥

2 i)

3𝑥+1

6=

4𝑥−1

−2

Ejercicio 7. Resuelve las siguientes ecuaciones, ¡ojo! No son de primer grado pero para resolverlas se transforman en otras que si lo son, algunas soluciones pueden no ser válidas:

a) 5

𝑥=

2

3

b) 6

𝑥=

3

5 c)

4

3=

5

𝑥

10

Ejercicio 8: Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 𝑥

2−

𝑥

6= 4 b)

𝑥

4− 3 =

2𝑥

3 c)

𝑥

8+

𝑥+2

2= −1

d) 𝑥+2

3+

𝑥−3

4= 1 e)

2𝑥−1

3−

5𝑥−6

6= −2 f)

𝑥

4= 4 −

𝑥+2

3

g) 2𝑥−7

3− 1 =

𝑥−4

6 h)

𝑥+1

3−

𝑥

6=

2𝑥−3

2 i)

𝑥

5−

2𝑥−5

3=

3

4

j) 𝑥+1

3+

𝑥−2

6=

𝑥+4

12 k)

𝑥−6

5−

2𝑥−1

10=

𝑥−1

2 l)

2𝑥+1

4−

1−4𝑥

2=

3𝑥+7

6

Actividad 1 – Ecuaciones lineales

Ejercicio 9. Determina si las siguientes igualdades algebraicas son identidades o ecuaciones.

Ejercicio 10. Escribe una ecuación:

a) Con dos incógnitas y términos constantes 5 y -3.

b) Con una incógnita y una solución, 7.

c) Con una incógnita llamada z y 9 como solución.

Ejercicio 11. Encuentra cuál de las siguientes ecuaciones tiene como solución x = 6.

d) 3

2𝑥=

7

6

e) 3

2𝑥=

7

3 f)

7

3𝑥= −

1

6

g) 5

4𝑥= −

1

12

h) 4

7𝑥=

3

2𝑥 i)

−6

3𝑥=

2

−𝑥

j) 2𝑥+3

𝑥+1=

5

3

k) 2 +2𝑥+5

𝑥−1= −3 l)

4

𝑥−1=

3

𝑥−1


11

Ejercicio 12. Escribe una ecuación en cada caso:

a) Tenga como solución x = 3.

b) Tenga como solución a = -2.

c) Cuya solución sea y = 5.

d) Cuya solución sea x = -1.

Ejercicio 13. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones.

Ejercicio 14. Resuelve.


Ejercicio 16. Resuelve:

12

Ejercicio 17. Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores.

Ejercicio 18. Escribe una ecuación que tenga paréntesis, denominadores y x = -1 como solución.


Ejercicio 20. Resuelve:

Ejercicio 21. ¿Está bien resuelta esta ecuación? Si no fuera así, por favor, corrige los errores cometidos.

a) Se calcula el denominador común: M.C.M.(7,4) = 28.

b) Se multiplica por 28: 4(4x - 2) = 2x - 7(x - 1)

c) Se expanden los paréntesis 16x – 2 = 2x - 7x - 7

d) Se agrupan términos semejantes: 16x - 2x + 7x = -7 + 2

e) Se simplifica la expresión: 15x = -5

f) Se “aisla” la incógnita: 35

15x


13

Ecuaciones cuadráticas (Ecuaciones de segundo grado) En Álgebra elemental, una ecuación cuadrática es cualquier ecuación de la forma:

ax2 + bx + c = 0

Donde x representa una incógnita, y a, b y c son constantes, siendo a ≠ 0. Si a = 0, entonces la ecuación es lineal, no cuadrática. Las contantes a, b y c, son llamadas, respectivamente, coeficiente cuadrático, coeficiente lineal y término constante.

Si b y c no son nulos, la ecuación es llamada completa.

Si b o c es nulo, la ecuación es llamada incompleta.

Ecuaciones cuadráticas completas

Para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado completa, utilizamos la fórmula cuadrática:

2a

4acbbx

2

El doble signo, ±, quiere decir que pueden existir dos soluciones, x1 y x2:

2a

4acbbx

2

1

;

2a

4acb-bx

2

2

Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado completas.

14

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Caso 1. Si b = 0. Ecuaciones del tipo ax2 + c = 0

Si 0a

c, entonces hay dos soluciones:

a

cx .

Si 0a

c, entonces no hay solución.

Caso 2. Si c = 0. Ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0

Estas ecuaciones tienen dos soluciones: x1 = 0 and x2= a

b .

Caso 3. Si b = 0 y c = 0. Ecuaciones del tipo ax2 = 0

Estas ecuaciones tienen una única solución: x = 0.

Ejemplos. 1. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas.

2. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas.


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Número de soluciones de una ecuación cuadrática

En la fórmula cuadrática aparece la expresión 4acb2 . Esta raíz cuadrada solo existirá

si el radicando es positive o cero.

El número b2 – 4ac es llamado discriminante, y es representado con el (letra griega, “delta mayúscula“). El número de soluciones de la ecuación depende del signo de .

= b2 – 4ac > 0. La ecuación tiene dos soluciones diferentes.

2a

4acbbx

2

1

;

2a

4acb-bx

2

2

= b2 – 4ac = 0. La ecuación tiene una solución. Es una solución “doble”.

0

2 2

2b b 4acx

2a

b b

a a

= b2 – 4ac < 0. La ecuación no tiene solución, ya que la raíz cuadrada 4acb2

no existe.

Ejemplos.

1. Determina el número de soluciones de las siguientes ecuaciones.

2. Determina el número de soluciones de las siguientes ecuaciones.

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Actividad 2 – Ecuaciones cuadráticas

Ejercicio 22. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la formula cuadrática.

Ejercicio 23. Encuentra cuántas soluciones tienen estas ecuaciones, sin resolverlas.

Ejercicio 24. Encuentra cuántas soluciones tienen estas ecuaciones, sin resolverlas.

Ejercicio 25. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.


17




18

Ejercicio 29. Escribe una ecuación cuadrática que tenga todos los coeficientes

distintos de cero y una solución doble.


Resolver ecuaciones por factorización

Para resolver la ecuación, podemos factorizas el polinomio P(x) = x2 + 3x y después igualar a 0. Esto es: x ( x+ 3) = 0. Las soluciones, por lo tanto, deben ser aquellos números que hacen que los factores valgan cero.

x = 0 y x = -3

De la misma forma, para resolver la siguiente ecuación, debemos primeros factorizarla. x5 + x4 – 60x3 – 4x2 + 224x = 0 x (x + 2 ) ( x – 2 ) ( x + 8 ) ( x – 7 ) = 0

Y después, encontrar la solución de cada factor:

7x07x

8x08x

2x02x

2x02x

0x

Soluciones = {-8, -2, 0, 2, 7}

Actividad 3 – Resolver ecuaciones por factorización

Ejercicio 31. Resuelve las siguientes ecuaciones expresadas como producto de

factores.

Ejercicio 32. Resuelve estas ecuaciones, realizando previamente su factorización.


19




Ejercicio 36. Resuelve las siguientes ecuaciones que aparecen como producto de

factores.

Generalizando la aritmética

Convertir en expresión algebraica

En Álgebra podemos convertir frases en expresiones algebraicas o ecuaciones. Por ejemplo:

El doble de un número aumentado en 7 unidades es 5 unidades menos que ese número

2x + 7 = x - 5

Muchas expresiones algebraicas contienen palabras como suma, diferencia, producto, y cociente.

Palabra Significado Ejemplo

Suma La suma de dos o más números se obtiene con la

adición

3+7, a+4, b+c+d son sumas

20

Diferencia La diferencia entre dos números se expresa con la

substracción

9-5, d-6 son diferencias

Producto El producto de dos números se obtiene multiplicándolos

3·6, 3b, xyz son productos

Cociente El cociente de dos números se obtiene dividiendo el

primero entre el segundo

El cociente de x e y es y

x

Media La media de un conjunto de números es su suma

dividido entre la cantidad de números

La media de a, b y c es

3

cba

Actividad 4 – Convertir en expression algebraica

Ejercicio 37. Traduce las siguientes frases en expresiones algebraicas.

a) x aumentado en 5 unidades

b) 7 más que x

c) 9 menos que a.

d) x disminuido en 2 unidades.

e) La suma de d y 8.

f) x dividido entre 4.

g) El producto de 2 y b.

h) Dobla x y suma 11.

i) 5 más que 3 veces s.


a) 3 menos que un número.

b) 4 más que un número.

c) El doble de un número.

d) La mitad de un número.

e) 10 menos un número.

f) Un tercio de un número.


21

g) 3 menos que el doble de un número.

h) 7 más que el triple de un número.

Ejercicio 39.Completa:

a) Dos números suman 8. Si uno de ellos es x, entonces el otro es …….

b) Dos números están en razón 1:3. Si el mayor es x, entonces el menor es .......

c) Dos números que están en razón 2:5 pueden estar representados como 2x y …….

d) Hay 30 miembros en un club de debate. Si x es el número de chicos, hay …… chicas.

e) Si el menor de dos números enteros consecutivos es x, el mayor es …….

f) Tres números enteros consecutivos en orden ascendente son x, ……., y …….

g) Si el número intermedio de tres enteros consecutivos es x, entonces los otros dos son ……. y …….

h) La diferencia de dos números es 7. Si el menor es x, el otro es …….

Ejercicio 40. Expresa cada una de las siguientes cantidades como una expresión

algebraica utilizando la variable dada.

a) La suma de dos números es 7. Uno de los números es a. ¿Cuál es el otro?

b) El menor de dos números enteros consecutivos es b. ¿Cuál es el mayor?

c) c es el mayor de tres enteros consecutivos. ¿Cuáles son los otros dos?

d) El menor de dos enteros pares consecutivos es d. ¿Cuál es el mayor?

e) El número intermedio de tres enteros impares consecutivos es p. ¿Cuáles son los

otros dos?

f) Hay j caramelos en un bote, un número t de ellos son de limón. ¿Cuántos hay que

no sean de limón?


a) La suma de dos números enteros consecutivos.

b) El producto de dos números impares consecutivos.

c) El valor total de x monedas de 20 céntimos y (x-2) monedas de 50 céntimos.

d) La potencia total de x bombillas de 60 vatios y (x+5) de 80 vatios.

22

Formar ecuaciones

Las ecuaciones son frases matemáticas que indican que dos expresiones tienen el mismo valor. Siempre contienen el signo “=”.

Los siguientes pasos nos ayudan a convertir problemas descritos en un enunciado en una ecuación.

Paso 1: Decide cuál es la cantidad desconocida y elige una variable, por ejemplo x, para representarla.

Paso 2: Identifica las operaciones involucradas en el problema, por ejemplo:

Texto Traducción

Disminuido en, menor en… Restar

Más que Sumar

Doble Multiplicar por dos

Mitad Dividir entre 2

Paso 3: Forma la ecuación con el signo “=”. Todas estas muestras de frases indican igualdad: “la respuesta es”, “será”, “el resultado es”, “es igual a”, “es”…

Actividad 5 – Convertir en ecuación

Ejercicio 42. Traduce en ecuaciones lineales, pero no las resuelvas, los siguientes

textos.

a) Cuando un número es aumentado en 5 unidades, la respuesta es 7.

b) Cuando un número es disminuido en 3 unidades, el resultado es -1.

c) Cuando un número es aumentado en 5, y el número resultante es duplicado, la

respuesta es 33.

d) Un número es duplicado y luego se le suma 3. El resultado es 7.

e) Si duplicamos un número el resultado es 5 unidades menor que ese número.

f) 4 veces un número es igual a 35 unidades menos el número.

Ejercicio 43. Traduce en ecuaciones, pero no las resuelvas, los siguientes textos.

a) La suma de dos números enteros consecutivos es 21.

b) Las sumas de tres números enteros consecutivos es 162.


23

c) La suma de 2 números pares enteros consecutivos es 78.

d) La suma de 3 números impares enteros consecutivos es 123.

Ejercicio 44. Forma una ecuación para las siguientes situaciones:

a) Los plátanos cuestan 24 céntimos de euro cada uno, y los melocotones 46 céntimos cada uno. Si compro 3 plátanos más que melocotones, se paga en total 5,62 €.

Construye la ecuación utilizando n como el número de melocotones.

b) Pablo compra martillos a 8 € la unidad, y alicates a 6 € la unidad. Compra 11 herramientas en total, y paga por todo 80 €.

Utiliza como variable la letra h, que represente el número de martillos comprado.

c) Jésica tiene una colección de sellos de 2 y 5 céntimos, con un valor total de 1,23 €. Tiene 2 sellos más de 2 céntimos que de 5.

Utiliza la variable f, que represente el número de sellos de 5 céntimos.

Ejercicio 45. Forma una ecuación para las siguientes situaciones:

a) Un hombre tiene 3 veces la edad de su hijo. En 11 años tendrá el doble de la edad de su hijo.

Utiliza la variable s, que represente la edad actual del hijo.

b) En el momento actual una mujer tiene el doble de la edad de su hija. Hace 20 años tenía el triple de edad que su hija.

Utiliza la variable x, que represente la edad actual de la hija.

c) Wei es 10 años mayor que Bic. En tres años Wei tendrá el triple de la edad de Bic.

Utiliza la variable y, que represente la edad actual de Bic.

Resolver problemas utilizando ecuaciones

Método de resolución de problemas

Paso 1 Identifica la incógnita y asigna una variable para representarla.

Paso 2 Decide qué operaciones están implicadas

Paso 3 Traduce el texto del problema a una ecuación y comprueba que la traducción es correcta.

Paso 4 Resuelve la ecuación

Paso 5 Comprueba que la solución encontrada satisface el problema enunciado.

24

Paso 6 Escribe la respuesta en una frase.

A continuación encontrarás varios ejemplos de problemas resueltos.

1) La anchura de un rectángulo es x cm. Su longitud es 5 veces su anchura. El área del rectángulo es 245 cm2. Encuentra las dimensiones del rectángulo.

Paso 1 La anchura es x. La longitud es 5 veces su anchura, 5x. Paso 2

Paso 3 El área del rectángulo es 245 cm2

x ·5x = 245

Paso 4

5x2 = 245

x2 = 495

245

x = 7 (La medida de una longitud no puede ser negativa)

Paso 5 Por lo tanto, la anchura es de 7 cm, y la longitud es 5 veces el valor de

anchura, 35 cm. El área del rectángulo es 7·35 = 245 cm2

Paso 6 Las dimensiones del rectángulo son: 7 cm de ancho y 35 cm de largo

2) Cuando se duplica un número y luego se le aumentan 7 unidades, la respuesta es 19. ¿De qué número se trata?

Paso 1 Estamos buscando un número, lo llamamos x.

Paso 2 Duplicamos el número, 2x; y luego le aumentamos 7 unidades, 2x+7

Paso 3 Cuando un número es duplicado y luego se le aumentan en 7 unidades, la

respuesta es 19 2x+7=19

Paso 4

2x=19-7 2x=12

x= 62

12

Paso 5 Cuando un número, 6, es duplicado, 12, y luego le sumamos 7 unidades,

obtenemos 19. OK.

Paso 6 El número es 6.

Anchura = x

Longitud = 5x


25

3) Cuando se resta un número a 11, el resultado es 6 unidades más que ese número. Encuentra el número.

Paso 1

Estamos buscando un número, lo llamamos x.

Paso 2

Restamos el número a 11, 11- x. El resultado es 6 unidades más que ese número, x + 6

Paso 3

Cuando a un número le restamos 11, el resultado es 6 unidades más que ese número.

11- x = x + 6

Paso 4

-2x = 6-11 -2x = -5

x= 2,52-

5-

Paso 5

Cuando un número, 2,5, es restado a 11, 8,5, entonces el número es 6 unidades mayor que el número, 8,5 = 2,5 +6

Paso 6

El número es 2,5.

4) Cuando un número es disminuido en tres unidades y luego duplicado, el resultado es igual al número original. Encuentra el número.

Paso 1

Estamos buscando un número, lo llamamos n.

Paso 2

El número es disminuido en tres unidades, n – 3; y luego duplicado, 2(n-3).

Paso 3

El número es disminuido en tres unidades, y luego duplicado, 2(n-3), el resultado es igual al número original.

2(n-3) = n

Paso 4

2n-6 = n 2n-n = 6

n = 6

Paso 5

Cuando un número, 6, es disminuido en tres unidades, 3; y luego duplicado, 6; el resultado es el número original, 6. OK.

Paso 6

El número es 6.

5) Cuando a la mitad de un número le sumamos la tercera parte, la respuesta es 30. Encuentra el número.

Paso 1

Estamos buscando un número, lo llamamos a.

Paso 2

La mitad de un número, 2

a. La tercera parte de un número,

3

a.

Paso 3

Cuando a la mitad de un número, 2

a, le sumamos la tercera parte,

3

a, la

respuesta es 30.

26

303

a

2

a

Paso 4

MCM(2,3) = 6 3a+2a = 180

5a = 180

365

180a

Paso 5

Cuando a la mitad de un número, 18, le sumamos la tercera parte, 12, la respuesta es 30. OK.

Paso 6

El número es 36.

6) La diferencia entre un número y su cuadrado es 42. Encuentra el número.

Paso 1

Estamos buscando un número, lo llamamos t.

Paso 2

El cuadrado de ese número, t2

Paso 3

La diferencia entre un número, t, y su cuadrado, t2, es 42. t2 – t =42

Paso 4

t2- t - 42 = 0 La ecuación de Segundo grado tiene dos soluciones: t1= -6, t2= 7.

Paso 5

Dos posibles soluciones para el problema a) Para t1= -6; (-6)2- (-6) = 42. OK. b) Para t2= 7; (7)2-(7) = 42. Ok.

Paso 6

Hay dos números: -6 and 7.

7) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 cm y 7 cm, respectivamente, menos que su hipotenusa. Encuentra la longitud de cada lado del triángulo, aproximando al milímetro más cercano.

Paso 1

La longitud de la hipotenusa es h. Las longitudes de los catetos son h-2 y h-7, respectivamente.

Paso

2 El Teorema de Pitágoras

Paso 3

La relación entre las longitudes de los lados es: h2 = (h - 7)2 + (h - 2)2

Paso 4

h2 = h2 – 14h + 49 + h2 - 4h + 4 h2 - h2 + 14h - 49 - h2 + 4h – 4 = 0

- h2 + 18h - 53 = 0 h2 - 18h + 53 = 0

Esta ecuación de Segundo grado tiene dos soluciones:

h

h-2

h-7


27

h1= 2

11218=14.29 , h2=

2

11218 =3.71

Paso 5

El problema tiene dos posibles soluciones: c) Para h1= 14.29; las longitudes de los catetos son 12.29 and 7.29

respectivamente: 14.292 = 12.292+7.292; 204.2041 = 151.0441 + 53.1441. ~OK

d) Para h2= 3.71; las longitudes de los catetos 1.71 and -3.29 respectivamente. Pero la longitud de un lado no puede ser negativa. Sólo hay una solución.

Paso 6

Las longitudes de los lados son, aproximadas al milímetro más cercano: La hipotenusa: 14.29 cm ~ 14.3 cm Los catetos: 12.29 cm ~ 12.3 cm and 7.29 cm ~ 7.3 cm, respectivamente.

8) Un corral rectangular tiene de perímetro 600 m y área de 21600 m2. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Paso 1

Un corral rectangular tiene de perímetro 600 m. Si la longitud de la anchura es w, y de longitud mide l, entonces 2w + 2l = 600. De esta forma,

w + l = 300, l = 300 -w

Paso 2

El área del rectángulo es de 21600 m2

Paso 3

w (300 – w ) = 21600

Paso 4

300 w - w2 = 21600 -w2 + 300 w - 21600 = 0 w2 -300 w + 21600 = 0

Esta ecuación de Segundo grado tiene dos soluciones:

w1= 2

3600300=180 , w2=

2

3600300=120

Paso 5

Hay dos posibles soluciones del problema: a) Para w1= 180; Las medidas de la longitud y la anchura son 180 y 120,

respectivamente. 180 + 120 = 300; 180 · 120 = 21600. OK b) Para w2= 120; Las medidas de la longitud y la anchura son 120 y 180,

respectivamente. 120 + 180 = 300; 120 · 180 = 21600. OK

Paso 6

Las dimensiones del corral son (dos posibilidades):

Anchura = w

Longitud = l = 300 - w

Anchura = 180

m

Longitud = 120

m

Anchura = 120

m

Longitud = 180

m

28

9)

Un gallinero rectangular está construido contra una pared de un edificio. Se han utilizado 30 m de valla para cerrar el gallinero de 108 m2 de superficie. Encuentra las dimensiones del gallinero.

Paso 1

Un gallinero tiene de perímetro 30 m. Si la medida de la anchura es w, y la medida de la longitud es l, entonces 2w + l = 30. De esta forma,

2w + l = 30, l = 30 - 2w

Paso 2

El rectángulo tiene 108 m2 de área

Paso 3

w ( 30 – 2w) = 108

Paso 4

30 w - 2w2 = 108 -2w2 + 30 w - 108 = 0

w2 - 15 w + 54 = 0 Esta ecuación tiene dos soluciones: w1 = 9 , w2 = 6

Paso 5

El problema tiene dos posibles soluciones a) Para w1= 9; las medidas de la anchura y la longitud son 9 y 12,

respectivamente. 2·9 + 12 = 30; 9 · 12 = 108. OK.

b) Para w2= 6; las medidas de la anchura y la longitud son 6 y 18, respectivamente. 2·6 + 18 = 30; 6 · 18 = 108. OK.

Paso 6

Las dimensiones del corral son (dos posibilidades): 1) 9 m de ancho y 12 m de largo 2) 6 m de ancho y 18 m de largo

Ejercicio 46 Dos números suman 5. La suma de sus cuadrados es 73. ¿qué números son?

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Anchura =

w

Longitud = l = 30 -2 w


29

Paso 5

Paso 6

Ejercicio 47 La diferencia de dos números es 13 y la suma de sus cuadrados es 125. ¿Qué números son?

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

Paso 6

Ejercicio 48: Utilizando el método de resolución anterior, resuelve los siguientes problemas:

a)

Tres hermanos se reparten 1300 €. El mayor recibe doble que el mediano y este el cuádruple que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno?

Paso 1

Paso 2

30

Paso 3

Paso 4

Paso 5

Paso 6

b) Un padre tiene 47 años y su hijo 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea triple que la del hijo?

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

Paso 6

c) En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Paso 1

Paso 2


31

Paso 3

Paso 4

Paso 5

Paso 6

Ejercicio 49: Resuelve los siguientes problemas:

1. Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51. 2. Calcula el número que se triplica al sumarle 26. 3. La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el

número? 4. Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad se obtiene la edad de Andrea. ¿Cuál

es la edad de Rodrigo si Andrea tiene 24 años? 5. Dos ciclistas avanzan uno hacia el otro por una misma carretera. Sus velocidades

son de 20km/h y de 15 km/h. Si les separan 78 km. ¿Cuánto tardarán en encontrarse?

6. En un control de Biología había que contestar 20 preguntas. Por cada pregunta bien contestada dan tres puntos y por cada fallo restan dos. ¿Cuántas preguntas acertó Elena sabiendo que ha obtenido 30 puntos y que contestó todas?

7. Cada vez que un jugador gana una partida recibe 7 euros y cada vez que pierde paga 3 euros. Al cabo de 15 partidas ha ganado 55 euros. ¿Cuántas partidas ha ganado y cuántas ha perdido?

8. En un garaje hay 110 vehículos entre coches y motos y sus ruedas suman 360. ¿Cuántas motos y coches hay?

9. Un granjero lleva al mercado una cesta de huevos, de tan mala suerte que tropieza y se le rompen 2/5 partes de la mercancía. Entonces vuelve al gallinero y recoge 21 huevos más, con lo que ahora tiene 1/8 más de la cantidad inicial. ¿Cuántos huevos tenía al principio?

10. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será tres veces mayor que la del hijo?

11. Si al doble de un número le sumas su mitad resulta 90. ¿Cuál es el número? 12. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si

el perímetro mide 30 cm? 13. En una granja hay doble número de gatos que de perros y triple número de gallinas

que de perros y gatos juntos. ¿Cuántos gatos, perros y gallinas hay si en total son 96 animales?

14. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

15. En una librería Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un comic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?

32

16. Ana tiene 7 años más que su hermano Juan. Dentro de dos años la edad de Ana será el doble de la de Juan. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?

17. Un padre tiene 34 años y su hijo 12. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será el doble que la del hijo?

18. Se distribuyen 400 bolsas en tres urnas sabiendo que la primera tiene 80 menos que la segunda y esta tiene 60 menos que la tercera, averigua cuántas bolsas tiene cada una.

19. Un granjero tiene 12 caballos de 9 y 11 años. La suma de sus edades es de 122 años. ¿Cuántos caballos había de cada edad?

ECUACIONES · Curso 2018/2019 Unidad 3. Ecuaciones 5 Ecuaciones lineales (Ecuaciones de primer...

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