13 de Marzo de 2014

Impartida por

M. I. Juvenal Herrera Gama

Agenda:

• Introducción a las Ecuaciones Diferenciales (60 min.)

• Comentarios Generales. ( 5 min.)

Al término de la sesión usted obtendrá:

• Se tendrá conocimiento de la parte teórica de las ecuaciones

diferenciales, aprendiendo a reconocerlas de acuerdo a sus características.

• Adelanto de la siguiente clase.

Qué representan las Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas y que dependende una sola variable independiente.

Ejemplo:

Cuál es la función aquí?

Y

Cuál es la variable independiente ? X

Por que se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias?

R= Debido a que solo dependen de una sola variable independiente

De que depende el orden de una E.D.?

R= Depende del orden de la mayor derivada en la E.D

Como se clasifican las E.D.O. ?

R= Lineales y No lineales Homogéneas y No Homogéneas

Como saber si una ecuación diferencial es lineal?

R= *Si la variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece la variable dependiente es 1.

*Cada coeficiente depende solo de la variable independiente. *Caso contrario es NO Lineal.

Como saber si una ecuación diferencial es Homogénea?

Es homogénea sino contiene términos que dependen únicamente de su variableindependiente (x, por ejemplo), CASO contrario es NO HOMOGENEA

EJEMPLOS:

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3+3

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥+8xy= 2x

𝑥2𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+

8

𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥−y= 𝑒𝑥

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ y

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑒𝑥y= 0

1er. Paso .- Revisar cada término para determinar que grado es…..

2do. Paso .- Revisar cada término para determinar su clasificación, Lineal o No lineal, Homogénea o No Homogénea

Esta E.D. es lineal, de 3er. orden y NO homogénea

Esta E.D. es lineal, de 2do. orden y NO homogénea

Esta E.D. es NO lineal, de 2do. orden y homogénea

EJEMPLOS:

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ln(x+y)= 𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥+yln(x)= 𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑦𝑥=0

Esta E.D. es NO lineal, de 1er. orden y NO homogénea

Esta E.D. es NO lineal, de 1er. orden y NO homogénea

Esta E.D. es NO lineal, de 1er. orden y homogénea

𝑑3𝑥

𝑑𝑦3+x

𝑑2𝑥

𝑑𝑦2− 𝑦2

𝑑𝑥

𝑑𝑦= 𝑦𝑒

Esta E.D. es NO lineal, de 3er. orden y NO homogénea

A que se le llama grado de una E. D. ?

Se llama grado de una ecuación diferencial, al grado de la derivada de mayor orden queaparezca en ella.

A que se le llama solución general de una ecuación diferencial. ?

Se refiere a toda relación entre las variables, que libres de derivadas, satisfacen dichaecuación diferencial.

Por lo común, la solución general de una ecuación diferencial de orden n tiene n constantes.Integrar o resolver una ecuación diferencial es hallar su solución general.

Resolución de Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Las E.D. se pueden resolver los siguientes métodos de resolución:

Ecuaciones por variables separadas. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones exactas. Factores integrantes. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de Bernoulli.

Ecuaciones por variables separadas.

Ejercicio: E.D. por separación de variables

Ejercicio: E.D. por separación de variables y condición inicial