ecuaciones diferenciales

Ecuaciones DiferencialesUniversidad del Magdalena - Facultad Ingenierías

Febrero 2011

TALLER 1 ECUACIONES DIFERENCIALES

CINDY BANQUEZ CAMARGO 2005217005LEIDYS PALACIO GONZALEZ 2005217052JORGE GARCIA ROSADO 200521702

ALEXIS MERCADO 20061170CARLOS BARRAZA 20061170

Profesor:DEUD SOTO PALOMINO

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENAFACULTAD DE INGENIERIA

ECUACIONES DIFERENCIALESGRUPO 2

SANTA MARTA D.T.C.H2011


Febrero 2011

TALLER 1: ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Compruebe que la familia de funciones y=e−x2∫0

x

et2

dt+c1 e−x2 es una solución de

la E.D dydx

+2 xy=1

Solución:

dydx

=−2 xe− x2∫0

x

e t2

dt+e−x2 ddx (∫

0

x

e t2dt)+c1 e−x2 (−2 x )

dydx

=−2 xe− x2∫0

x

e t2dt−2x c1 e−x2+e−x2 .e x2

dydx

=−2 x(e−x2∫0

x

et2

dt+c1 e−x2)+e0

dydx

=−2 x y+1

dydx

+2 xy=1

2. Encuentre una E.D correspondiente a cada relación, con las constantes arbitrarias indicadas.

a. y=c1Sen 4 x+c2cos 4 x

Solución:

y=c1Sen 4 x+c2cos 4 x

y '=4c1cos 4 x−4c2Sen4 x

y ' '=−4 c1Sen4 x (4 )−4 c2cos 4 x (4 )

y ' '=−16 (c1Sen4 x−c2cos 4 x )

y ' '=−16 y

y ' '+16 y=0


Febrero 2011

b. y=A e−3 x+Be2x+Ce4 x

Solución:

y=A e−3 x+Be2x+Ce4 x

y '=−3 Ae−3x+2B e2x+4Ce4 x

−2 y=−2 Ae−3x−2 Be2 x−2C e4x

y '−2 y=−5 Ae−3 x+2Ce4 x

y ' '−2 y=15 Ae−3 x+8C e4x

y '−2 y2−4 y2+3 y=25 A e−3x

y ' '−c y3+8 y=35 A e−3x

y ' ' '−6 y ' '+8 y '=−105 Ae−3x

y ' ' '−6 y ' '+2 y '=−3 ( y ''−3 y '+8 y )

y ' ' '−6 y ' '+3 y−3 y '−18 y '−24 y=0

y ' ' '−3 y ' '−10 y '−24 y=0

3. Resolver las siguientes E.D.O’s

a .dydx

= x+ y+1x+2

−ex + y+1x+2

Solución:

dydx

= x+ y+1❑

x+2−e

x+ y+1❑

x+2

Haciendo X = x+2 ; Y = x+y+1

x = X-2

y = Y-x-1 = Y-(X-2)-1 = Y-X+2-1

y = -X+Y+1


Febrero 2011

dx = dX

dy = -dX+Dy

dx+dY❑

dX = YX

- eYX

-1 + dYdX

= YX

- eYX

u= YX

→ Y = u*X → dYdX

= u + XdudX

-1 + u + XdudX

= u - eu

XdudX

= 1 - eu

∫ du

1−eu = ∫ dX

X → ∫ 1−eu+eu

1−eu du = ∫ dXX

∫(1+ eu

1−eu ¿)¿du = Ln X + c

u + ∫ eu

1−eudu = Ln X + c

t = 1−eu → -dt = eudu

u - ∫ dtt

= Ln X + c

u - Ln t = Ln X + c → u = Ln t + Ln X + c

YX

= Ln [ X( 1 - eYX ¿¿+c

eYX = e ln [X (1−e

YX )]*ec → e

YX=c∗X (1−e

YX )

ex + y+1❑

x+2 =c∗(x+2)(1−ex+ y+1❑

x+2 )

b . (sin x sin y−xe y )dy=(e y+cos x cos y )d x


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Solución:

( sen x sen y−xe y)dy=¿

¿

M(x,y) = ey+cos x cosy

∂M∂Y

=ey−cosxseny

N(x,y) = xey−sen x sen y→

∂N∂ X

=e y−cosxseny

∂M∂Y

=∂ N∂ X

Esexacta‼

Existe U(x,y) = c

∂U∂ x

=M ( x , y )→U ( x , y )=∫M ( x , y )dx+f ( y)

U ( x , y )=∫(e¿¿ y+cos x cosy)dx+ f ( y )¿

U ( x , y )=xey+sen x cosy+f ( y)

∂U∂ y

=N (x , y )

xe y−sen x seny+ f ´ ( y )=xe y−sen x sen y

f ´ ( y )=0 y f ( y )=c

Luego la solucionU ( x , y )=ces :

xe y+sen x cosy=c

4. Haciendo los cambios de variables u=12x2 , v=1

2y2, resolver la E.D.O

(2 x2+3 y2−7 ) xdx−(3 x2+2 y2−8 ) ydy=0

Solución:

(2 x2+3 y2−7 ) xdx−(3 x2+2 y2−8 ) ydy=0


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u=12x2→du=xdx

v=12y2→dv= ydy

(4 u+6v−7 )du−(6u+4 v−8 )dv=0

(4 u+6v−7 )du=(6u+4 v−8 )dv

dvdu

=(4u+6v−7 )(6u+4 v−8 )

Sea U=μ+hV=v+k dU=dμ y dV=dv

dVdU

=4 (U−h )+6 (V−k )−76 (U−h )+4 (V−k )−8

dVdU

=4U+6V−(4 h+6k+7)6U+4 V−(6h+4k+8)

Donde

4 h+6k+7=0 4 h+6k=−7

6h+4k+8=0 6h+4k=−8

h=|−7 6−8 4||4 66 4|

=−28+4816−36

= 20−20

=−1

k=|4 −76 −8|−20

=−32+42−20

= 10−20

=−12

dVdU

=4U+6V6U+4 V

dVdU

=4+6( VU )6+4( VU )

Z=VU

→V=ZU→dVdU

=Z+U dZdU


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Z+U dZdU

=4+6 Z6+4 Z

→UdZdU

=4+6Z6+4Z

−Z

UdZdU

=4+6Z−6Z−4 Z2

6+4 Z→U

dZdU

=4−4 Z2

6+4 Z

6+4 Z4 (1−Z2)

dZ=dUU

→∫ 6+4 Z4(1−Z2)

dZ=∫ dUU

32∫

dZ

1−Z2+∫ ZdZ

1−Z2=∫ dU

U

32×12ln|1−Z1+Z |−12∫−2ZdZ

1−Z2=∫ dU

U

34ln|1−Z1+Z |−12 ln|1−Z2|=lnU+C1

32ln|1−Z1+Z |−ln|1−Z2|=2 lnU+2C1

ln (1−Z1+Z )

32−ln|1−Z2|=lnU 2+2C1

ln( 1−Z1+Z )

32

(1−Z2 )=ln(U 2. e

2C1)

(1−Z )32

(1+Z )32 (1+Z )(1−Z)

=K U 2 K=e2C1

(1−Z )12

(1+Z )52

=K U 2→ (1−Z )=K 2 .U 2 . (1+Z )5

1− VU

=K2 .U 4 .(1+VU )

5

U−VU

=K2 .U 4 (U+V )5

U 5

U−V=K2 (U+V )5


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U=u+h=u−1 yV=v+k=v−12

u−1−v+ 12=K2(u−1+v−12 )

5

12x2−1

2y2−1

2=K2(12 x2+ 12 y2−32 )

5

12

(x2− y2−1 )=K2( 12 )5

( x2+ y2−3 )5

24 (x2− y2−1 )=K2 (x2+ y2−3 )5

16 (x2− y2−1 )=K2 (x2+ y2−3 )5

(x2− y2−1 )=C (x2+ y2−3 )5 Con ( K2

16 )=C

5. Encuentre la solución general de la E.D.O ( yln ( y )−2 xy )dx+ (x+ y3e y )dy=0

Solución:

( ylny−2 xy )dx+( x+ y3 e y )dy=0

M (x , y )= y lny−2xy ∂M∂ y

=lny+ y1y−2x=lny+1−2 x

N ( x , y )=x+ y3 e y ∂ N∂ x

=1

∂M∂ y

≠∂ N∂ x

No es Exacta , pero :

∂ N∂x

−∂M∂ y

M (x , y )=1−(lny+1−2 x)

y lny−2 xy=1−lny−1+2 xy (lny−2x )

=−( lny−2 x)y (lny−2 x)

∂ N∂x

−∂M∂ y

M (x , y )=

−1y


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Luegoe∫−1

ydy=e−lny=e lny−1= 1

yEsun factor integrante de la ecuacion

diferencial .

1y

( y lny−2 xy )dx+ 1y

(x+ y3e y )dy=0

( lny−2x )dx+( xy + yz e y )dy=0

M ¿ ( x , y )=ln−2 x→ ∂M¿

∂ y= 1y

N ¿ ( x , y )= xy+ y2 e y→

∂N ¿

∂x=1yAhoraes Exacta .

Existe ∪ ( x , y )=CTalque

∂∪∂ x

=M ¿ ( x , y )→∪ ( x , y )=∫ (lny−2x )dx+¿ f ( y ) ¿

∪ ( x , y )=xlny−x2+ f ( y )

∂∪∂ y

= xy+ f ' ( y )=N ¿ ( x , y )

xy+ f ' ( y )= x

y+ y2 e y→f ' ( y )= y2 ey

f ( y )=∫ y2 ey dy

Derivadas Integralesy2 e y

2 y e y

2 e y


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0 e y

f ( y )= y2 ey−2 y e y+2ey

Así ∪ ( x , y )=C→x lny−x2+( y2−2 y+2 )ey=C

6. Resolver la ecuación diferencial (7 x4 y−3 y 4 )dx+ (2x5−9xy 7 )dy=0 sabiendo que

existe un factor integrante de la forma xm yn

Solución:

Sabiendo que el factor integrante es x2 y . Procedemos:

(7 x6 y2−3 x2 y9 )dx+(2 x7 y−9 x3 y8 )dy=0

∂M∂ y

=14 x6 y−27 x2 y8

∂N∂ x

=14 x6 y−27 x2 y8

∂M∂ y

=∂ N∂ x

U=∫ (7 x6 y2−3 x2 y9 )dx

U=x7 y2−x3 y9+ f ( y)

∂U∂ y

=2x7 y−9 x3 y9+ f ' ( y )=N=2x7 y−9 x3 y9

f ' ( y )=0

f ( y )=c

Por lo tanto la solución general está dada por

c=x7 y2−x3 y9


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7. Resolver la E.D.O y '+ y cot x=cosx

Solución:

y ,+ y cotx=cosx

e∫cotx dx=e ln|senx|=senx Factor integrante

senx. y ,+senx . ycotx=senx . cosx

senxdydx

+ y cosx=senx . cosx

dydx

( y . senx )=senx . cosx

∫ d ( y senx )=∫ senx . cosx .dx

μ=senx dμ=cosx dx

ysenx=∫ μdμ→ y senx=12μ2+C

y senx=12

(senx )²+C→y=12senx+ C

senx

Resolver los siguientes problemas:

8. Un objeto de masa m se deja caer desde el reposo en un medio que ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad. Demuestre que la distancia que recorre en t segundo esta dada por:

x=mgk

t−m2gk2

(1−e−km

t)

Solución:

FG=mg

F r=∝ϑ⇒F r=kϑ


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segunla segundaley de Newton

∈F=mg⇒mg– kϑ=ma; a=dvdt

mdvdt

=−kv+mg⇒mdvdt

+kv=mg

dvdt

+ km

v=g

e∫ k

mdt=e

kmt⇒e

kmt dtdt

+ km

ekmt×v=ge

kmt

ddt

(ekmt×v)=ge

kmt⇒ e

kmt×v=∫ g e

kmtdt

ekmt×v=g×

mk×e

kmt+C

v (0 )=0 (Parte del Reposo )

ekm

(0)×0=mg

ke0+C⇒C=−mg

k

ekmt×v=mg

ke

kmt−mg

k

v (t )=mgk

−mgk

×e−km

t; v=dx

dt

dxdt

=¿ mgk

−mgk

×− kmt⇒dx=(mgk −mg

k×e

−km

t)dtx (t )=∫(mgk −mg

k×e

−km

t)dtx (t )=mg

kt−mg

k×e

−km

t(−mk )+C2

x (t )=mgk

t+m2gk2

×e−km

t+C2; x (0 )=0

0=mgk

(0 )+m2gk2

×e(0)+C2;C2=−m2gk2


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x (t )=mgk

t+m2gk2

×e−km

t−−m2g

k 2

La DistanciaenCualquier Instante t

x=mgk

t−m2gk2

×(1−e−km

t)

9. Un condensador de 5x10-3 faradios esta en serie con una resistencia de 25 ohmios y una Fem de 50 cos6t, t0. El interruptor se cierra en t=0. Asumiendo que la carga es cero en el condensador en t=0, determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.

Solución:

RI=Caída de voltaje en la resistencia.q/C=Caída de voltaje en el condensador.E(t)= 50cos6t fuente

RI+q/C=E(t) Ley de Kirchhoff

I= dqdt

Rdqdt

+ qc

= 60cos6t

dqdt

+ q

25∗5 x 10−3 = 6025

cos 6t

dqdt

+8q = 125

cos 6t factor integrante e∫8dt=e8 t

e8 tdqdt

+8e8 tq = 125

e8 t cos6 t

ddt

(e8 tq)=125

e8 t cos6 t e8 tq=125 ∫ e8 t cos6 t dt

Tabulación

Derivada Integral


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e8 t cos6 t

8e8 t 16

sen 6t

∫64 e8t - 136 cos 6 t

∫ e8 t cos 6 t dt=16e8 t sen6 t+ 8

36e8 t cos6 t−64

36∫ e8 t cos 6 t dt

∫ e8 t cos 6 t dt+ 169∫ e8 t cos6 t dt= e8 t

36(6 sen6 t+8cos6 t)

259

∫ e8 t cos 6 t dt= 136

e8 t (6 sen6 t+8cos6 t )

∫ e8 t cos 6 t dt= 925

136

e8 t (6 sen 6 t+8cos 6 t)

e8 tq=125

1100

e8 t (6 sen6 t+8cos6 t )+c

t=0; q=0

0= 3125

e0 (0+8 )+c ;c=−24125

e8 tq= 3125

e8 t (6 sen 6 t+8cos 6 t )− 24125

q(t) = 3125

e8 t (6 sen 6 t+8cos 6 t−8 ) carga

i= dqdt

i(t) = 24125

e8 t (6 sen 6 t+8cos 6 t−8 )+ 3125

e8 t ¿

i(t) = 1125

e8 t ¿

i(t) = 1125

e8 t ¿

i(t) = 4125

e8 t ¿ Corriente.


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10. Encuentre la constate “a” para que las familias y3= c1x y x2+ay2=c2 sean ortogonales.

Solución:

y3= c1x 3y2 y’ =c1 c1=y3

x

3y2 dydx

= y3

x 3x

dydx

= y ( dydx )c1 = y3x

X2+ay2=c2 2x + 2ayy’ =0 2aydydx

= -2x

(dydx

¿ c2= -xay

Para que sean ortogonales

(dydx

¿ c1 (dydx

¿ c2 = -1 y3x

¿)= -1

−13 a

=−1 a = 13

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