ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

Ignacio Gracia Rivas 1, Narciso Roman-Roy 2

Departamento de de Matematica Aplicada IVC/ Jordi Girona 1. Edificio C-3, Campus Norte UPC

E-08034 Barcelona

October 3, 2008

1e-mail: [email protected]: [email protected]

Prefacio

Estos Apuntes de Ecuaciones Diferenciales constituyen una guıa personal a la asignatura de EcuacionesDiferenciales que se imparte en la E.T.S.E.T.B. en el curso 1-B de la carrera de Ingenierıa de Teleco-municacion (Plan de Estudios 1992). Por tanto, en ningun momento pretenden ser una guıa oficial, ni tansiquiera una pauta a seguir respecto a como debe ser impartida la asignatura.

Debemos agradecer la colaboracion de muchos companeros que han impartido esta asignatura y que,ademas de hacerme valiosas sugerencias, han detectado erratas y errores que han sido ya corregidos (aunquesomos conscientes de que todavıa pueden quedar otros muchos por detectar). Especialmente nuestro agradec-imiento a L.L. Andres Yebra, por permitirnos el uso y transcripcion de sus apuntes sobre el tema de latransformacion de Laplace.

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Contents

1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1

1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Definiciones, interpretacion geometrica y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.2 Interpretacion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Ejemplos de aplicaciones fısicas y matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Resolucion de ecuaciones de variables separables, lineales y homogeneas . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Ecuaciones integrables elementalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.3 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.4 Ecuaciones homogeneas: cambio de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.5 Ecuaciones de Bernouilli y de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Aplicaciones: familias de curvas, modelos matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Trayectorias ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2 Modelos de poblacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.3 Desintegracion radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Resultados de existencia y unicidad y de dependencia continua de soluciones . . . . . . . . . 13

1.5.1 Presentacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.3 Dependencia continua de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Metodos numericos de resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.1 Ideas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.2 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.3 Metodo de Euler modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.4 Metodo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Ecuaciones Diferenciales (Lineales) de Orden Superior 19

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Ecuaciones Diferenciales. iii

2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Nociones fundamentales. Ecuaciones lineales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Ecuaciones diferenciales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Estudio de las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Dependencia e independencia lineal de funciones. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2 Solucion de la ecuacion lineal homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3 Solucion de la ecuacion lineal completa: metodo de variacion de constantes . . . . . . 27

2.4 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1 Ecuaciones lineales homogeneas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.2 Ecuaciones lineales completas con coeficientes constantes. Metodo del anulador . . . . 32

2.5 Casos particulares y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.1 Caso particular: ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.2 Aplicaciones fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales 35

3.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Definiciones fundamentales. Teorema de existencia y unicidad de soluciones . . . . . . 35

3.2.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de orden superior . . . 36

3.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1 Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.2 Soluciones de los sistemas de primer orden lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.3 Dependencia e independencia lineal de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.4 Solucion del sistema lineal homogeneo. Matriz Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.5 Solucion del sistema lineal completo. Metodo de variacion de constantes . . . . . . . . 42

3.4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes . . . 42

3.4.1 Ideas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.2 Estudio del sistema homogeneo (con matriz del sistema diagonalizable) . . . . . . . . 43

3.4.3 Estudio del sistema homogeneo (con matriz del sistema no diagonalizable) . . . . . . . 45

3.4.4 Estudio del caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Estudio Cualitativo de Ecuaciones Diferenciales 49

4.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Ecuaciones Diferenciales. iv

4.2.2 Puntos de equilibrio. Estabilidad. Comportamiento asintotico . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.3 Espacio de fases. Orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.4 Estabilidad y estabilidad asintotica de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Estabilidad de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.1 Estabilidad de sistemas lineales homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.2 Estabilidad de sistemas lineales homogeneos con coeficientes constantes . . . . . . . . 56

4.3.3 Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.4 Estabilidad de sistemas lineales completos con coeficientes constantes . . . . . . . . . 60

4.4 Estabilidad de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4.1 Estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas autonomos no lineales . . . . . 62

4.4.2 Estabilidad respecto a variaciones del segundo miembro . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 La Transformacion de Laplace 65

5.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Definiciones basicas y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.1 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.2 Primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2.3 Transformadas de Laplace de algunas funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.4 Inversion (por descomposicion en fracciones simples) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3 Aplicacion a la resolucion de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3.1 Resolucion de problemas de valor inicial de ecuaciones y sistemas con coeficientesconstantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3.2 Excitaciones discontinuas: Funcion de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3.3 Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3.4 Convolucion y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales 79

6.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Ecuaciones en derivadas parciales y problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.1 Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.2 Problemas de contorno. Tipos de condiciones de contorno y de valor inicial . . . . . . 80

6.2.3 Clasificacion de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales . . . . 81

6.3 Series de Fourier y funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3.1 Series y coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3.2 Convergencia de series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.3.3 Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Ecuaciones Diferenciales. v

6.3.4 Extension a intervalos arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3.5 Funciones ortogonales: series de Fourier generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3.6 Convergencia en media cuadratica de series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.4 Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden y su resolucion . . . . . . . . 94

6.4.1 Metodo de separacion de variables. Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . 94

6.4.2 Ecuacion de ondas (o de la cuerda vibrante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.4.3 Ecuacion del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4.4 Ecuacion de Laplace. Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Chapter 1

Ecuaciones Diferenciales de PrimerOrden

1.1 Introduccion

En el estudio de un problema de Matematica Aplicada pueden distinguirse esencialmente tres etapas: laformulacion matematica del problema, la resolucion del problema matematico y, finalmente, la interpretacionde los resultados obtenidos. Las dos primeras etapas, que constituiran en principio nuestro objetivo, conducenhabitualmente al planteamiento y resolucion de ecuaciones diferenciales.

En este primer capıtulo se van a considerar las denominadas ecuaciones diferenciales de primer orden(expresadas en la forma normal).

En primer lugar se efectuara una presentacion general del tema que incluye definiciones basicas, ejemplosclasicos e interpretaciones geometricas. Se introduciran, a continuacion, los primeros metodos analıticosde resolucion para algunos tipos particulares de ecuaciones de primer orden; analizando, tambien, algunasaplicaciones de los casos estudiados, mediante la presentacion de modelos matematicos de ciertos fenomenos.Seguidamente se estudiaran los teoremas de existencia y unicidad de soluciones y su prolongacion analıticay, finalmente, se comentaran los primeros metodos numericos de resolucion.

1.2 Definiciones, interpretacion geometrica y ejemplos

1.2.1 Definiciones basicas

Comenzaremos con unas definiciones de caracter introductorio.

Definicion 1 Se denomina ecuacion diferencial a una relacion entre una funcion (suficientemente deriv-able), sus variables y una o varias derivadas sucesivas de la funcion.

Se denomina ecuacion diferencial ordinaria a una ecuacion diferencial en la que la funcion depende solode una variable. En este ultimo caso, se dice que la ecuacion esta expresada en forma normal o explıcita siila derivada de orden superior aparece despejada como funcion de todos los demas ingredientes de la ecuacion.En caso contrario se dice que la ecuacion esta expresada en forma implıcita 1 .

Dada una ecuacion diferencial (ordinaria o no):

1. Se denomina orden de la ecuacion al de la derivada de mayor orden que interviene en la ecuacion.1Es obvio que toda ecuacion en forma normal puede ser expresada en forma implıcita. Lo contrario no siempre es factible.

1

Ecuaciones Diferenciales. 2

2. Se denomina grado de la ecuacion al exponente de la derivada de mayor orden.

Si y = y(x) indica una funcion derivable hasta el orden que convenga, una ecuacion diferencial ordinariade orden n (n ∈ N) en forma implıcita es una expresion del tipo

F (x, y(x), y′(x), . . . , y(n)(x)) = 0

mientras que expresada en forma explıcita adopta la forma

y(n)(x) = f(x, y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x))

Comentario:

• Como ya se anuncio en la introduccion, en este tema solo se trataran las ecuaciones diferencialesordinarias de primer orden las cuales, si no se dice lo contrario, se supondran expresadas en formanormal.

No obstante, las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden expresarse tambien enforma diferencial

g(x, y)dx+ h(x, y)dy = 0

El paso de esta forma a la explıcita (y recıprocamente) se efectua simplemente poniendo f(x, y) =

− g(x, y)h(x, y)

.

Definicion 2 Dada una ecuacion diferencial ordinaria F (x, y(x), y′(x), . . . , y(n)(x)) = 0 (o bien y(n)(x) =f(x, y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x))):

1. Se denomina solucion particular (o tambien integral particular o curva integral) de la ecuacion en elintervalo I ⊂ R a una funcion y ≡ φ(x), derivable hasta el orden que convenga en I, tal que

F (x, φ(x), φ′(x), . . . , φ(n)(x)) = 0 o bien φ(n)(x) = f(x, φ(x), φ′(x), . . . , φ(n−1)(x)) ; ∀x ∈ I

2. Se denomina solucion general (o tambien integral general) de la ecuacion en el intervalo I ⊂ R alconjunto de las soluciones (o integrales) particulares de la ecuacion en dicho intervalo.

Comentario:

• Geometricamente hablando, las soluciones de las ecuaciones diferenciales son curvas en R2. Atendiendoa la definicion dada, si y = φ(x) es una solucion de una ecuacion, dicha curva es, obviamente, graf φ.No obstante, la curva en cuestion es, a menudo, difıcil e incluso imposible de expresar analıticamenteen forma explıcita y, por tanto, las soluciones de las ecuaciones diferenciales se presentan con frecuenciaen la forma de funciones definidas implıcitamente, Φ(x, y) = 0,

Ejemplos:

• Ecuacion: y′′ + 4y = 0.

Solucion particular: y = sin 2x− 3 cos 2x.

Solucion general: y = C1 sin 2x+ C2 cos 2x (C1, C2 ctes.).

• Ecuacion: y′ =y2

1− xy.

Solucion general: xy = ln y + C (C cte.).

Definicion 3 Dada una ecuacion diferencial de orden n (ordinaria o no):


1. Se tiene un problema de valor inicial cuando se conocen los valores de la funcion (variable dependiente)y de sus derivadas hasta orden n− 1 en un mismo punto.

2. Se tiene un problema de contorno cuando se conocen los valores de la funcion (variable dependiente)y/o de sus derivadas (como maximo hasta orden n− 1) en diferentes puntos.

Dar un problema de condiciones iniciales o de contorno para una ecuacion diferencial puede permitirobtener una solucion particular de la ecuacion.

Ejemplos: En el primero de los ejemplos anteriores:

• Problema de condiciones iniciales: y(0) = 0, y′(0) = 1.

Solucion: y = 12 sin 2x.

• Problema de contorno: y(0) = 1, y(π/2) = 2.

No tiene solucion.

• Problema de contorno: y(π/8) = 0, y(π/6) = 1.

Solucion: y =2√

3− 1(sin 2x− cos 2x) .

1.2.2 Interpretacion geometrica

Toda ecuacion diferencial de primer orden y grado 1, expresada en forma normal, y′ = f(x, y), se puedeinterpretar como una expresion que asocia a cada punto (x, y) ∈ R2 en el dominio de la funcion f , unadireccion o, mas concretamente, la pendiente de una recta: La tangente a la curva solucion en el punto (x, y)en cuestion. De esta manera, una solucion de la ecuacion, y = φ(x) o Φ(x, y) = 0, es una curva en R2, cuyapendiente en cada punto (x, y) ∈ R2 vale justamente f(x, y).

1.2.3 Ejemplos de aplicaciones fısicas y matematicas

Es facil comprender por que se presentan tan a menudo ecuaciones diferenciales en los problemas de Fısica:

si y = f(x) es una funcion que representa una magnitud escalar, entonces su derivadadfdx

representa la tasade cambio de y en relacion con x. En cualquier fenomeno natural, las variables que aparecen y sus tasasde cambio se relacionan entre sı segun los principios basicos que rigen el proceso y, cuando esta relacion seexpresa mediante sımbolos matematicos, el resultado es habitualmente una ecuacion diferencial.

Ejemplos:

1. 2a ley de Newton: La aceleracion a de un cuerpo de masa m es proporcional a la fuerza F que sobreel actua: F = ma.

Si la fuerza depende del tiempo t, de la posicion del cuerpo en cada instante y(t) y de su velocidad en

ese instantedydt

(t) , esta ley se expresa como

md2y

dt2= F

(t, y(t),

dydt

(t))

En el caso particular de un cuerpo cayendo libremente bajo la accion de la gravedad cerca de la superficiede la Tierra (g=cte.), se tiene

md2y

dt2= mg

Si, ademas, el aire presenta una resistencia al movimiento proporcional a la velocidad se tendra

md2y

dt2= mg − kdy

dt


2. Circuitos electricos: Considerese un circuito con las siguientes caracterısticas:

(a) Una fuerza electromotriz (fem) E, suministrada por un generador, que impulsa una carga electrica

produciendo una corriente de intensidad I (recuerdese que I =dQdt

) que, dependiendo de las

caracterısticas del generador, puede ser constante o funcion del tiempo (pero conocida en cualquiercaso).

(b) Un resistor de resistencia R que se opone a la corriente, reduciendo la fem en una cantidadER = RI (Ley de Ohm).

(c) Un inductor de inductancia L que se opone a los cambios de corriente, provocando una dismin-

ucion de la fem EL = LdIdt

.

(d) Un condensador de capacidad C que almacena una carga Q, la cual se opone a la entrada de carga

adicional, provocando una disminucion de la fem Ec =Q

C.

De acuerdo con las leyes de Kirchoff se tiene que

E −RI − LdIdt− Q

C= 0

y derivando de nuevo respecto al tiempo

dEdt−RdI

dt− Ld2I

dt2− I

C= 0

3. Ecuaciones de una familia de curvas: Las ecuaciones diferenciales, matematicamente hablando, de-scriben familias de curvas: sus soluciones.

Considerese, p. ej., la familia de parabolas que pasan por el origen, cuya ecuacion es y = Cx2,derivando respecto a la variable x se obtiene y′ = 2Cx, y eliminando el factor C de ambas ecuacionesse llega a la ecuacion

y′ = 2y

x

que expresa la propiedad que caracteriza a esta familia: la pendiente de la recta tangente en un puntocualquiera de estas curvas es el doble de la de la recta que une dicho punto con el origen.

En general, si g(x, y, C) = 0 representa una familia de curvas, eliminando C de esta ecuacion y de suderivada

dgdx

=∂g

∂x+∂g

∂yy′ = 0

se obtiene la ecuacion diferencial que caracteriza la familia.

1.3 Resolucion de ecuaciones de variables separables, lineales yhomogeneas

1.3.1 Ecuaciones integrables elementalmente

Es bien conocido que ciertas funciones como, p. ej.,√

cosx o ex2

no tienen una primitiva que pueda expresarsepor medio de una funcion elemental, es decir, una combinacion de funciones racionales, trigonometricas,exponenciales o inversas de estas. Por consiguiente, hay ecuaciones diferenciales del tipo y′ = f(x, y) paralas que, aun siendo f una funcion dependiente de x unicamente (como son los ejemplos mencionados), nosiempre es posible encontrar funciones elementales que sean soluciones de ellas. Entonces:

Definicion 4 Una ecuacion diferencial se dice que es integrable elementalmente sii tiene solucion y estaes expresable por medio de funciones elementales, o bien por primitivas de estas que no tienen por que sernecesariamente funciones elementales 2.

2Observese, por tanto, que toda ecuacion diferencial del tipo y′ = f(x), donde f es una funcion elemental, es integrableelementalmente


En los proximos apartados se van a analizar algunos tipos de ecuaciones diferenciales de primer ordenque pueden ser integradas elementalmente. Salvo en el caso de la ecuacion lineal, para la que se hara untratamiento mas preciso, se considerara siempre que todas las funciones son diferenciables con continuidadhasta el orden que convenga, por lo que no se efectuaran precisiones en ese sentido.

1.3.2 Ecuaciones de variables separadas

Definicion 5 Una ecuacion diferencial de variables separadas es una ecuacion de primer orden y′ = f(x, y)

en la que la funcion f puede expresarse en la forma f(x, y) = g(x)k(y) o bien f(x, y) =g(x)h(y)

(siendo

h(y) =1

k(y)).

De manera equivalente, es toda ecuacion diferencial de primer orden que en forma diferencial se expresacomo

h(y)dy = g(x)dx (1.1)

Resolucion:

Proposicion 1 La solucion de la ecuacion

dydx

=g(x)h(y)

(1.2)

esta dada porH(y(x)) = G(x) + C (1.3)

donde H(y) es una primitiva de h(y), G(x) es una primitiva de g(x) y C es una constante.

( Dem. ) Multiplicando por h(y) la ecuacion (1.2) se obtiene

h(y)dydx

= g(x)

y si H(y) es una primitiva de h(y), el primer miembro es justamented

dxH(y(x)) , por lo que, si G(x)

es, a su vez, una primitiva de g(x), la integral o solucion general de la ecuacion (1.2), expresada enforma implıcita, es justamente (1.3). Si es posible despejar de ahı la funcion y(x), se tendra la solucionen forma explıcita como

y = φ(x,C)

La manera practica de proceder consiste en “separar las variables”, escribiendo la ecuacion (1.2) en suforma diferencial (1.1) de la que, integrando ambos miembros, se obtiene la solucion (1.3) en la forma∫

h(y)dy =∫g(x)dx

Si se han especificado las condiciones iniciales, y(x0) = y0, es posible obtener la solucion particular quelas satisface del siguiente modo:

H(y0) = G(x0) + C

y eliminando C del sistema formado por esta ultima ecuacion y (1.3), se obtiene

H(y)−H(y0) = G(x)−G(x0)

o, lo que es lo mismo, ∫ y

y0

h(y)dy =∫ x

x0

g(x)dx

Ejemplos:

• Vease la coleccion de problemas.


1.3.3 Ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales constituyen uno de los tipos mas importantes de ecuaciones diferenciales.

Definicion 6 Una ecuacion diferencial lineal es una ecuacion en la que la derivada de orden superior esuna expresion lineal de la funcion y sus otras derivadas de orden inferior 3; esto es,

dnydxn

+ fn−1(x)dn−1y

dxn−1+ . . .+ f1(x)

dydx

+ f0(x)y + f(x) = 0

Se denomina ecuacion homogenea asociada a la ecuacion lineal (que se llama entonces completa) a

dnydxn

+ fn−1(x)dn−1y

dxn−1+ . . .+ f1(x)

dydx

+ f0(x)y = 0

En este capıtulo solo se van a analizar las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

dydx

+ g(x)y = f(x) (1.4)

Comentario:

• El apelativo lineal tiene la siguiente justificacion: el operador

L :=d

dx+ g(x)

que asocia a cada funcion y(x) la funcion L(y) := y′+g(x)y, es un operador lineal (como se compruebade inmediato) que actua entre los espacios vectoriales Cp(I) y Cp−1(I), con I ⊂ R. En este lenguajede operadores, la ecuacion (1.4) se expresa pues como

L(y) = f(x)

Resolucion:

Proposicion 2 El conjunto de soluciones de la ecuacion (1.4) esta dado por yP + Ker L, donde yPes una solucion particular cualquiera de la ecuacion completa y Ker L es, obviamente, el conjunto desoluciones de la ecuacion homogenea

dydx

+ g(x)y = 0 (1.5)

( Dem. ) Sea S el conjunto de soluciones de la ecuacion completa. Se va a probar que

S = yP + y1|L(y1) = 0

En primer lugar, yP + Ker L ⊂ S ya que, teniendo en cuenta la linealidad del operador L, ∀y1 ∈ Ker Lse tiene que

L(yP + y1) = L(yP ) + L(y1) = f + 0 = f

Recıprocamente, S ⊂ yP + Ker L puesto que, ∀y ∈ S solucion de la ecuacion completa, se tiene que

L(y − yP ) = L(y)− L(yP ) = f − f = 0

luego y − yP ∈ Ker L, de donde y = yP + Ker L.

Ası pues, para resolver una ecuacion lineal es preciso conocer la solucion general de la ecuacion ho-mogenea y una solucion particular de la completa. Veamos como se obtienen.

3Observese que los coeficientes funcionales son funciones de x unicamente.


Lema 1 El conjunto de soluciones de la ecuacion lineal homogenea de primer orden (1.5) es

y = Ce−∫g(x)dx ≡ Cφ(x) (C ∈ R)

por lo que dicho conjunto es un espacio vectorial unidimensional.

( Dem. ) Considerese la ecuacion homogenea (1.5), la cual, asumiendo que y 6= 0, se puede escribiren la forma

y′

y= −g(x)

que muestra claramente que es de variables separadas, luego integrando

ln |y| = −∫g(x)dx+K ⇒ y = Ce−

∫g(x)dx

donde C 6= 0. Sin embargo, al dividir por y se ha eliminado la posibilidad y = 0, que se recuperaponiendo que C ∈ R.

Lema 2 Una solucion particular de la ecuacion lineal completa de primer orden es

yP =(∫

f(x)φ(x)

dx)φ(x)

( Dem. ) Para obtener una solucion particular de la ecuacion homogenea se seguira el denominadometodo de variacion de las constantes (en este caso solo hay una), el cual permite, realmente, integrar laecuacion completa, conocida una solucion particular de la homogenea. El metodo consiste en suponerque la solucion de la ecuacion completa es de la forma y(x) = h(x)y1(x), donde y1(x) es la solucionconocida de la ecuacion homogenea. Se obtiene ası que

f(x) = L(y(x)) = h′(x)y1(x) + h(x)y′1(x) + g(x)h(x)y1(x)= h′(x)y1(x) + h(x)(y′1(x) + g(x)y1(x)) = h′(x)y1(x)

por tanto,

h(x) =∫

f(x)y1(x)

dx+K (K ∈ R)

y, dado que se busca una solucion particular, se pueden elegir y1(x) = φ(x) y K = 0, quedandofinalmente

h(x) =∫f(x)φ(x)

dx ⇒ yP (x) =(∫

f(x)φ(x)

dx)φ(x)

Como consecuencia de ambos lemas se concluye:

Proposicion 3 la solucion general de la ecuacion lineal de primer orden es

y =(∫

f(x)φ(x)

dx)φ(x) + Cφ(x) =

(∫f(x)

e−∫g(x)dx

dx+ C

)e−∫g(x)dx (C ∈ R)

Ejemplos:



1.3.4 Ecuaciones homogeneas: cambio de variables.

En algunos casos un cambio de variable, ya sea de la variable independiente, de la funcion o de ambas, puedeconvertir una ecuacion diferencial dada en otra de integracion mas simple.

Realmente, esta tecnica ya ha sido utilizada en el apartado anterior cuando, para integrar la ecuacionlineal completa por el metodo de variacion de las constantes, se ha tomado como nueva funcion incognitah(x) = y(x)/y1(x).

En el siguiente caso se muestra otra nueva situacion.

Definicion 7 Una funcion f(x, y) es homogenea de grado n sii f(tx, ty) = tnf(x, y), para todos x, y, tadecuadamente restringidos.

Ejemplos:

• f(x, y) ≡ x2 + xy es homogenea de grado 2.

• f(x, y) ≡√x2 + y2 es homogenea de grado 1.

• f(x, y) ≡ sin xy es homogenea de grado 0.

Definicion 8 Una ecuacion diferencial homogenea (de primer orden) es aquella en cuya expresion en formanormal, y′ = f(x, y), se tiene que f(x, y) es una funcion homogenea de grado 0 o, equivalentemente, aquellaque puede expresarse en forma diferencial

g(x, y)dx+ h(x, y)dy = 0

siendo g y h funciones homogeneas del mismo grado

Resolucion: La resolucion de este tipo de ecuaciones pasa por efectuar un cambio de variables que lasconvierte en ecuaciones de variables separadas.

En efecto, tomando como punto de partida la ecuacion escrita en su forma normal, por ser f(x, y) unafuncion homogenea de grado 0 (por definicion), se tiene que f(tx, ty) = t0f(x, y) = f(x, y), para todo

t. Tomando, en particular, t = 1/x y denominando z(x) =y(x)x

, se tiene que

f(x, y) = f(tx, ty) = f(1, y/x)) ≡ f(1, z)

con lo que la ecuacion diferencial se expresa como

dydx

= f(1, z) ≡ F (z)

y, dado que y(x) = z(x)x, aplicando la regla de la cadena se tiene que

dydx

=dzdxx+ z

por lo que, en la nueva variable, la ecuacion es

dzdxx+ z = F (z) ⇔ dz

dx=F (z)− z

x

que es de variables separadas.

Ejemplos:



1.3.5 Ecuaciones de Bernouilli y de Riccati

Son sendos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden que se resuelven tambien mediante el metodode cambio de variables. (Veanse los problemas 7 y 3 de la coleccion).

La primera de ellas aparece relacionada con problemas de dinamica de fluidos, mientras que la segundalo hace en relacion a cuestiones de sıntesis en control optimo para procesos lineales con coste cuadratico,metodos de inclusion invariante en problemas de transporte, etc. Esta ultima constituye el ejemplo massencillo, e historicamente el primero, de ecuacion no integrable elementalmente.

1.4 Aplicaciones: familias de curvas, modelos matematicos

1.4.1 Trayectorias ortogonales

Como primera aplicacion de algunos de los conceptos y procedimientos relativos a ecuaciones diferencialesde primer orden que se han introducido hasta el momento, se va a considerar el problema de hallar lastrayectorias ortogonales a una familia de curvas dada.

El problema tiene su origen en algunas aplicaciones en las que aparecen dos familias de curvas (planas)que son mutuamente ortogonales; esto es, cada curva de una de las familias es ortogonal en todos sus puntosa cada curva de la otra familia. En tales casos, se dice que cada una de ellas es una familia de curvasortogonales a la otra.

Un ejemplo lo constituyen las curvas equipotenciales de un campo escalar, que son ortogonales a las lıneasde fuerza de dicho campo (el campo vectorial gradiente del anterior). Este ejemplo se presenta en multitudde sistemas en Fısica (p. ej., campos electrostatico, gravitatorio, etc.).

La resolucion de este problema es la siguiente:

Proposicion 4 La ecuacion diferencial de las trayectorias ortogonales a la familia de curvas que satisface

la ecuacion F (x, y, y′) = 0 es F(x, y,− 1

y′

)= 0 .

Como caso particular, si la ecuacion diferencial de la familia de curvas esta dada en forma explıcita,

y′ = f(x, y), la de sus trayectorias ortogonales es y′ = − 1f(x, y

)

( Dem. ) Inmediata, teniendo en cuenta que el que dos curvas sean ortogonales significa que las tangentesa dichas curvas en los puntos de corte son perpendiculares y, por tanto, si y′(x) es la pendiente de una deellas, la de la otra es −1/y′(x).

De esta manera, obtener las trayectorias ortogonales a una familia de curvas de las cuales se conoce suexpresion analıtica f(x, y, C) = 0, requiere los siguientes pasos:

1. Diferenciar la ecuacion f(x, y, C) = 0.

2. Eliminar C del sistema formado por la ecuacion y su derivada, para ası obtener la ecuacion diferencialde la familia.

3. Obtener la ecuacion diferencial de la familia de trayectorias ortogonales aplicando el resultado prece-dente.

4. Integrar la ecuacion resultante.

Ejemplo:


• Como ya se vio, la ecuacion diferencial de la familia de parabolas que pasan por el origen, y = Cx2, esy′ = 2

y

x. La de sus trayectorias ortogonales sera, por consiguiente y′ = − x

2y, que es una ecuacion de

variables separadas y tiene por solucion general y2 +x2

2= C ; esto es, elipses centradas en el origen.

1.4.2 Modelos de poblacion

El analisis del problema de tasar el crecimiento de una poblacion permite ilustrar las diferentes etapas quese presentan en el estudio de un problema de Matematica Aplicada.

1. Problema fısico: Se trata de obtener una ley que permita predecir el crecimiento de una poblacion p(t)que varıa con el tiempo.

2. Formulacion matematica: La primera dificultad que se encuentra al intentar formular matematicamenteel problema es que una poblacion solo toma valores enteros y, por lo tanto, considerada como funciondel tiempo, es una funcion discontinua. El problema se solventa observando que, si se trata de unapoblacion elevada, la variacion en una unidad es ınfima comparada con el numero de individuos queconstituye el valor de la poblacion y, por consiguiente, se puede considerar que esta varıa continua eincluso diferenciablemente con el tiempo.

3. Modelo matematico (Primera aproximacion): En primera aproximacion podrıa hacerse la hipotesisde que “el numero de individuos que nacen y que mueren por unidad de tiempo (un ano, por ejemplo) esproporcional a la poblacion existente”. Designando por β (tasa de natalidad) y γ (tasa de mortandad)a las correspondientes constantes de proporcionalidad, se obtiene pues que

∆p∆t

= βp− γp

que, en forma diferencial, conduce a la ecuacion

dpdt

= αp

donde α = β − γ es la tasa de crecimiento de la poblacion. Esta ecuacion es la denominada Ley deMaltus.

4. Resultados matematicos: Si se anade la condicion inicial de que en el instante t0 la poblacion es p0, lacorrespondiente solucion particular se la ecuacion es

p = p0eα(t−t0)

que expresa el hecho de que la poblacion crece exponencialmente con el tiempo.

5. Resultados experimentales. Comparacion e interpretacion: Tomemos el caso de la poblacion humana,que desde 1960 a 1970 paso de 3 · 109 a 3, 7 · 109. Estos datos suponen una tasa de crecimiento que secalcula del siguiente modo:

eα10 =p(1970)p(1960)

⇔ α =110

lnp(1970)p(1960)

= 0, 0209 ∼ 0, 02

con lo cual, tomando t0 = 1970 y p0 = 3, 7 · 109, se tiene

p(t) = 3, 7 · 109e0,02(t−1970)

Comparando los datos obtenidos a partir de esta expresion con los experimentales en los tiemposrecientes, se observa que hay gran concordancia entre ellos, por lo que parece acertado aceptar lavalidez de la ley y utilizarla para estimar la poblacion futura.

Sin embargo, aun cuando los datos estimados para un proximo futuro podrıan ser aceptables, veamosque sucederıa a mas largo plazo. Con la tasa de crecimiento tomada, el modelo prevee que la poblacionse dobla cada 35 anos; ya que

2p = peαT ⇔ T =1α

ln 2 ∼ 35


Ası pues, la poblacion se multiplica por 1000 (por 1024 exactamente) cada 350 anos y por 106 cada750 anos aproximadamente. Esto nos conduce a la intolerable cifra de densidad de poblacion de 30habitantes por metro cuadrado en el ano 2670.

6. Reformulacion matematica: El fallo en el modelo puede estar en que no se ha tenido en cuenta que elespacio disponible es limitado y que cuando esto ocurre, los individuos han de competir por los recursosdisponibles.

7. Modelo matematico (Segunda aproximacion): Para tener en cuenta este hecho, se puede corregir laecuacion inicial basandonos en la hipotesis de que en la disminucion del crecimiento de la poblacioninfluye tambien un factor que es proporcional al numero de encuentros entre dos individuos cuyo valormedio es, a su vez, proporcional a p2. Con ello se tendrıa que el crecimiento de la poblacion esta regidopor la ecuacion

dpdt

= ap− bp2

que se conoce con el nombre de ley logıstica, y en la que a es la denominada tasa de crecimiento naturalen un medio ilimitado.

8. Resultados matematicos: Integrando esta ecuacion (es de variables separadas) con la condicion inicialp(t0) = p0, se tiene

p(t) =ap0

bp0 + (a− bp0)e−a(t−t0)

Una primera consecuencia que se observa es que

limt→∞

p(t) =ap0

bp0=a

b

es decir, independientemente de cual sea la poblacion inicial p0, con el transcurso del tiempo lapoblacion tiende a estacionarse en el valor lımite a/b.

Para la poblacion humana se estima el valor a = 0, 029 y se puede calcular b utilizando la tasa realde crecimiento en 1970, α = 0, 02, esto es, comparando el modelo descrito mediante la ley de Maltus(cuyas predicciones para 1970 eran validas) con el modelo actual se tiene que

dpdt

∣∣∣t0=1970

= (a− bp0)p0 = αp0 ⇔ (a− bp0) = α

⇒ b =a− αp0

= 2, 43 · 10−12

Como comprobacion se puede evaluar la poblacion en el ano 1960, obteniendose p(1960) = 3, 003 · 109.La poblacion mundial crecerıa con el transcurso de t pero teniendo como poblacion lımite

a

b=

0, 0292, 43 · 10−12

= 1, 2 · 1010

Comentario:

• En ninguno de ambos modelos se han tenido en cuenta otros factores, como: fluctuaciones locales oglobales de las tasas de crecimiento, epidemias, catastrofes naturales, etc.

1.4.3 Desintegracion radiactiva

Experimentalmente se ha comprobado que el ritmo de desintegracion de los elementos radiactivos es propor-cional a la cantidad de elemento presente. Ası, si Q(t) designa dicha cantidad en cada instante de tiempo,se tiene que la ley de desintegracion es

dQdt

= KQ (K < 0)


ecuacion que tiene por solucion general

Q(t) = CeKt (K < 0)

Si se fija la condicion inicial Q(t0) = Q0 se obtiene que C = Q0, esto es, la solucion particular

Q(t) = Q0eK(t−t0) (K < 0) (1.6)

Si, ademas se conoce Q(t1) = Q1, entonces se puede determinar tambien K experimentalmente

Q1 = Q0eK(t1−t0) ⇔ K =

lnQ1 − lnQ0

t1 − t0

(y K < 0 ya que Q1 < Q0).

Para expresar el ritmo de descomposicion de un elemento radiactivo se utiliza el concepto de vida media,T , que se define como el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de materia presente en una muestradel elemento. El valor de T esta relacionado con K del siguiente modo: haciendo t− t0 = T , por definicion

se tiene que Q(t0 + T ) =12Q0 , luego de la ecuacion (1.6) se obtiene

K =ln Q0

2 − lnQ0

T=− ln 2T

⇔ KT = − ln 2

Una de las principales aplicaciones de esta ley es la datacion geologica o arqueologica, para las cuales seemplean elementos de vida media muy larga (como el U238 con T = 4, 5 · 109 anos, el K40 con T = 1, 4 · 109

anos o el Rb87 con T = 6·1010 anos). En este sentido, una de las tecnicas mas fiables y conocidas es la basadaen el C14 (que tiene una vida media T = 5568 anos), que fue desarrollada a finales de los anos 40 y principiosde los 50 por William Libby (premio Nobel en 1960) y que permite datar de forma fiable acontecimientoscon una antiguedad de hasta 50000 anos.

El metodo se utiliza para calcular la antiguedad de cualquier objeto de origen organico y se basa en lassiguientes leyes fısicas: el carbono radiactivo C14 se produce en la alta atmosfera por accion de los rayoscosmicos sobre el nitrogeno:

N147 + n1

0 −→ C146 + p1

1

Puesto que el carbono radiactivo se descompone, a su vez, de nuevo en nitrogeno,

C146 −→ N14

7 + e− + νe

desde hace muchos milenios se ha alcanzado un estado de equilibrio en la proporcion de carbono radiactivoy no radiactivo (uno de cada 1012 atomos de carbono es radiactivo). Ambos tipos se hallan presentesen la atmosfera en el dioxido de carbono, perfectamente mezclados por la accion de los vientos. De laatmosfera, el carbono radiactivo pasa a fijarse en los tejidos de los seres vivos en esa proporcion, ya quelas plantas toman dioxido de carbono de la atmosfera durante el proceso de la fotosıntesis, de ellas pasa alos animales vegetarianos y de estos a los carnıvoros. Mientras todos estos seres permanecen con vida estaproporcion permanece constante, pero al morir dejan de absorber carbono radiactivo y el que contienen sustejidos va desintegrandose, con lo que su cantidad va disminuyendo progresivamente. De este modo, si unamuestra de materia organica muerta contiene la mitad que la de una viva, se puede afirmar que vivio haceaproximadamente 5568 anos, y ası progresivamente.

Para efectuar los calculos, lo que se mide es el numero de desintegraciones por unidad de tiempo y demateria (p. ej., por minuto y por gramo). En el C14 se tiene K = −1, 2449 · 10−4, entonces, derivandola ecuacion (1.6) se tiene Q(t) = KQ0e

K(t−t0), de donde, para un tiempo fijado t0 resulta Q(t0) = KQ0,cantidad que se considera constante para la materia organica viva. Dividiendo queda

Q(t)Q(t0)

= eK(t−t0) ⇔ t− t0 =1K

lnQ(t)Q(t0)

Ası, p. ej., si una muestra muerta tiene 0, 97 desintegraciones por minuto y gramo y otra viva del mismomaterial presenta 6, 67, aplicando la formula anterior se obtiene una edad de 15500 anos, aproximadamente.


1.5 Resultados de existencia y unicidad y de dependencia continuade soluciones

1.5.1 Presentacion del problema

Dada una ecuacion diferencial (de primer orden), en las aplicaciones suele interesar determinar el valor dela solucion para algun valor de la variable, conocido el de la solucion para otro valor inicial de la variableindependiente. Ello es ası porque, habitualmente, la ecuacion rige la evolucion de un sistema cuyo estado esconocido en un instante inicial dado t0, y se desea conocerlo en un instante posterior t0 + T .

Tal como ya se ha visto, cuando la ecuacion diferencial puede ser integrada elementalmente, a partir de susolucion general y = φ(x,C) se determina la solucion particular que satisface la condicion inicial y(x0) = y0

para, posteriormente, calcular y(x0 + T ).

Todo ello presupone, dado un problema de valor inicial y′ = f(x, y), y(x0) = y0,

1. Que la ecuacion puede ser integrada elementalmente.

2. La existencia y unicidad de la solucion.

3. Que dicha solucion esta definida, al menos, en un intervalo [x0, x0 + T ].

Ello no siempre es cierto, como se ve en los siguientes ejemplos:

Ejemplos:

• La ecuacion (y′)2 + y2 = 0 solo admite la solucion y(x) = 0, por lo que existe una unica solucion quepasa por (x0, 0) y ninguna que pase por (x0, y0) con y0 6= 0.

• El problema de valor inicial y′ = y2/3, y(0) = 0, no tiene solucion unica, pues por lo menos y1(x) =(x/3)3 e y2(x) = 0 son soluciones del problema.

• La solucion general de la ecuacion xy′ = 2y(y − 1) es y(x) =1

1− Cx2junto con y(x) = 0.

Por cada punto (x0, y0), con x0 6= 0, y0 6= 0, pasa una unica solucion que corresponde al valor

C =1x2

0

(1− 1

y0

).

∀x0, por cada punto (x0, 0), pasa la unica solucion y(x) = 0.

Por el punto (0, 1) pasan infinitas soluciones, todas de la forma y(x) =1

1− Cx2.

Por los puntos (0, y0) (con y0 6= 0, 1) no pasa ninguna solucion.

Ası pues, ante un problema de valor inicial, el procedimiento a seguir habrıa de ser:

1. Comprobar que admite una unica solucion, definida, al menos, en todo el intervalo [x0, x0 + T ].

2. Si la ecuacion no es integrable elementalmente, aproximar el valor de y(x0+T ) (dada la imposibilidad decalcularlo exactamente) pues, en general, en las aplicaciones basta con disponer de un valor aproximadode y(x0 + T ).

En esta seccion se aborda el estudio del primer punto, mientras que el del segundo queda para la seccionsiguiente.

1.5.2 Teoremas de existencia y unicidad

El siguiente teorema garantiza la existencia y unicidad de la solucion de un problema de valor inicial.


Teorema 1 (de Picard de existencia y unicidad local): Considerese el problema de valor inicial

y′ = f(x, y) ; y(x0) = y0 (1.7)

y sea el rectangulo D = [x0 − a, x0 + a]× [y0 − b, y0 + b] ⊂ R2 (con a, b > 0). Si se verifican las condiciones

1. f(x, y) es una funcion continua en D.

2. (Condicion de Lipschitz) 4: Para todo par de puntos (x, y1), (x, y2) ∈ D, existe una constante L > 0tal que

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L|y1 − y2|

Entonces existe una unica solucion del problema, y(x), definida en un cierto intervalo (x0 − δ, x0 + δ) (con0 < δ ≤ a).

( Dem. ) En primer lugar, observese que, en virtud de la primera condicion, f(x, y) esta acotado en D (porser D compacto), luego ∃M > 0 tal que |f(x, y)| ≤M .

Teniendo esto en cuenta, la demostracion (cuyos detalles se omiten) sigue los siguientes pasos:

1. El problema de valor inicial (1.7) puede formularse en forma de ecuacion integral

y(x) = y0 +∫ x

x0

f(t, y(t))dt (1.8)

ya que, integrando desde x0 a x la ecuacion (1.7) escrita en la formadydt

= f(t, y(t)), se obtiene laecuacion

y(x)− y(x0) =∫ x

x0

f(t, y(t))dt

y como y(x0) = y0, de aquı se llega a la ecuacion (1.8). Recıprocamente, derivando la ecuacion integralse obtiene y′ = f(x, y(x)) y, por otra parte, dicha ecuacion, para x = x0, da y(x0) = y0.

2. Se define la sucesion funcional yn(x) (n ∈ 0 ∪ N), definida como

y0(x) = y0

y1(x) = y0 +∫ x

x0

f(t, y0(t))dt

...

yn+1(x) = y0 +∫ x

x0

f(t, yn(t))dt

cuyos elementos se denominan iterantes de Picard. Se demuestra que limn→∞

yn(x) = y(x) , funcion

lımite que esta definida en el intervalo (x0 − δ, x0 + δ), siendo δ el menor de los numeros a, b/M .

3. Se prueba que y(x) es solucion de la ecuacion (1.8).

4. Se prueba que esa es la unica solucion del problema ya que, si z(x) fuera otra solucion, llamandoφ(x) = y(x)− z(x), se tendrıa

|φ(x)| = |y(x)− z(x)| =∣∣∣ ∫ x

x0

(f(t, y(t)))− f(t, z(t)))dt∣∣∣

≤ L

∫ x

x0

|y(t)− z(t)|dt = L

∫ x

x0

φ(t)dt (1.9)

En este punto es necesario el siguiente resultado:4Toda funcion que satisfaga esta condicion se dice que es lipschitziana.


Lema 3 (de Gronwald): Sea φ(x) una funcion continua no negativa tal que satisface

φ(x) ≤ N +M |x− x0|+ L

∫ x

x0

φ(t)dt (1.10)

con N,M ≥ 0, L > 0. Entonces

φ(x) ≤ NeL(x−x0) +M

L

(eL(x−x0) − 1

)(1.11)

( Dem. ) Sea x > x0 (se razona igual si x < x0). Poniendo ψ(x) =∫ x

x0

φ(t)dt , la desigualdad (1.10)

se escribeψ′(x)− Lψ(x) ≤ N +M(x− x0)

multiplicandola por e−L(x−x0) resulta

(ψ′(x)− Lψ(x))e−L(x−x0) =ddt

(ψ(x)e−L(x−x0)) ≤ (N +M(x− x0))e−L(x−x0)

e integrandola desde x0 a x, al ser ψ(x0) = 0, se obtiene

ψ(x)e−L(x−x0) ≤ N

L(1− e−L(x−x0))− M

L(x− x0)e−L(x−x0) − M

L2(e−L(x−x0) − 1)⇔

ψ(x) =∫ x

x0

φ(t)dt ≤ N

L(e−L(x−x0) − 1)− M

L(x− x0) +

M

L2(e−L(x−x0) − 1)

de modo que, sustituyendo en la desigualdad (1.10), se llega a la desigualdad (1.11).

Y aplicando este lema con N,M = 0, de la desigualdad (1.9) se obtiene que φ(x) = 0.

Notese que para probar la unicidad de la solucion ha sido esencial la condicion de Lipschitz (observeseque en el segundo de los ejemplos del apartado anterior no se verifica, como cabe esperar del hecho de que∂f

∂y=

23y1/3

no existe en y = 0). Al respecto de esta condicion se puede dar el siguiente resultado (que

simplifica su evaluacion):

Proposicion 5 Sea una funcion f(x, y) y D una region compacta en su dominio. Si∂f

∂yexiste y es una

funcion continua en D, entonces se satisface la condicion de Lipschitz.

( Dem. ) En efecto, si y1 < y2, se tiene (teorema del valor medio)

f(x, y1)− f(x, y2) =∂f

∂y(x, ξ) (y1 < ξ < y2)

con lo que, tomando valores absolutos, se verifica la condicion con L = maxD

∣∣∣∂f∂y

(x, y)∣∣∣ .

El teorema de Picard es insuficiente para resolver el problema planteado (que es calcular y(x0 + T )),ya que solo asegura la solucion en un entorno Iδ(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) (que puede no contener al puntox0 +T ). No obstante, bajo ciertas condiciones, el intervalo de definicion de la solucion puede ser prolongadodel siguiente modo: considerese un punto (x1, y(x1)), con x1 ∈ Iδ. Si las condiciones del teorema vuelvena verificarse en un cierto rectangulo D1 centrado en ese punto, el teorema garantiza la existencia de unaunica solucion y1(x) que pasa por ese punto y esta definida en un intervalo Iδ1(x1) = (x1 − δ1, x1 + δ1).Pero como la anterior solucion tambien pasa por el punto (x1, y(x1)), ambas deben coincidir en Iδ ∩ Iδ1 . Six1 + δ1 > x0 + δ, la nueva solucion permite alargar el intervalo de definicion de la solucion hasta x1 + δ1. Sedice, en estos casos que se ha obtenido una prolongacion de la solucion.

Es adecuado introducir la siguiente nomenclatura:


Definicion 9 Dado un problema de valor inicial, se denomina solucion maximal del mismo a una solucioncuyo dominio de definicion no admite prolongacion alguna.

La cuestion esta, pues, en determinar cual es el maximo intervalo en R en el que existe una solucionmaximal. El siguiente resultado da condiciones que garantizan la respuesta.

Teorema 2 (de existencia y unicidad): Sea el problema de valor inicial (1.7). Si f(x, y) y∂f

∂y(x, y) son

funciones continuas en un dominio Ω abierto y conexo, y (x0, y0) ∈ Ω; entonces el problema admite unaunica solucion maximal y(x), que esta definida en un intervalo abierto I ⊂ R.

En efecto, si f(x, y) y∂f

∂y(x, y) son funciones continuas en un dominio Ω abierto y conexo, por cualquier

punto (x0, y0) ∈ Ω pasa una unica solucion de la ecuacion, pues basta tomar un rectangulo cerrado D ⊂ Ωcentrado en dicho punto, aplicar el teorema anterior (observar que la condicion de Lipschitz se cumple

en virtud de la proposicion 5, con L =∣∣∣maxD ∂f

∂y(x, y)

∣∣∣ ) y utilizar el procedimiento de prolongacion

anteriormente descrito.

Observese que siempre se tiene que I ⊆ x ∈ R | (x, y) ∈ Ω. En particular, lo mas interesante serıaque I = R. Por supuesto, para que se de este caso es necesario que Ω = R2.

Ejemplo:

• La ecuacion y′ =√

1− (x2 + y2) no puede tener soluciones definidas fuera del cırculo unidad y, conello, para cualquier solucion maximal se tiene que I ⊆ (−1, 1).

No obstante, Ω = R2 no es condicion suficiente para garantizar que I = R. En efecto:

Ejemplo:

• La ecuacion y′ = y2 (donde f(x, y) = y2 y∂f

∂y(x, y) = 2y son funciones continuas en R2), con la

condicion inicial y(0) = 1, tiene por solucion y(x) =1

1− xen (−∞, 1), y, ya que y(x) no esta definida

en x = 1, es imposible prolongarla fuera de ese intervalo.

En este ejemplo, el intervalo de definicion de la solucion maximal tiene un extremo finito α = 1 debido aque lim

x→α|y(x)| =∞ . El siguiente teorema (que no se demuestra) enuncia que esa es la unica opcion posible.

Teorema 3 (de prolongacion): Sea el problema de valor inicial (1.7). Si f(x, y) y∂f

∂y(x, y) son funciones

continuas en todo R2 y el intervalo de definicion de una solucion maximal tiene un extremo α, entonceslimx→α|y(x)| =∞ .

Concluyendo, nuestro interes es garantizar que el problema de valor inicial tenga solucion definida, almenos, en [x0, x0 + T ]. Bajo las anteriores hipotesis (negando la conclusion de este teorema) se tienegarantizado que ello acurrira, en particular, si la solucion, caso de estar definida, esta acotada en dichointervalo, ya que entonces no puede presentarse la anterior situacion.

(Vease un ejemplo de aplicacion en: J.L. Andres Yebra: Ecuaciones Diferenciales: Notas y Problemas,CPET (1995)).

1.5.3 Dependencia continua de las soluciones

En las aplicaciones, los datos del problema de valor inicial son frecuentemente datos experimentales y, portanto, conocidos con cierta inexactitud. Esto acontece directamente con el valor y0, que puede ser el resultado


de alguna medida del estado del sistema para cierto valor x0, pero tambien sucede con la propia funcionf(x, y) cuando, p. ej., esta depende de ciertos parametros que se determinan experimentalmente (p. ej., a, ben la ley logıstica). Por otra parte, en los metodos numericos solo se trabaja con soluciones aproximadas.

Para poder garantizar la validez de los calculos, se ha de poder conocer y(x0 +T ) con la precision deseadasi se aproximan suficientemente y0 y f(x, y). En tal caso, se dice que la solucion depende continuamente delos datos. (Se considera T finito. Si T → ∞, la propiedad involucrada es la estabilidad del sistema y/o delas soluciones; tema que sera tratado posteriormente).

El siguiente resultado muestra que, bajo las hipotesis del teorema de existencia y unicidad, se satisfaceel anterior requisito.

Teorema 4 (de dependencia continua): Sea el problema de valor inicial (1.7) con (x0, y0) ∈ Ω, donde Ωes un dominio abierto y conexo, y tal que f(x, y) es continua y lipschitziana (con constante L) en Ω. Para|x− x0| ≤ T , sean y(x) la solucion exacta y Y (x) una solucion aproximada en el siguiente sentido

|Y ′(x)− f(x, y(x))| ≤ ε , |Y (x0)− y0| ≤ ε0

(para ε, ε0 suficientemente pequenos). Entonces se satisface la desigualdad fundamental

|Y (x)− y(x)| ≤ ε0eL|x−x0| +ε

L(eL|x−x0| − 1)

o,lo que es lo mismo,|Y (x0 + T )− y(x0 + T )| ≤ ε0eLT +

ε

L(eLT − 1) (1.12)

( Dem. ) Sea x > x0 (se razona igual si x < x0). La solucion exacta y(x) satisface la ecuacion integral(1.8), mientras que Y (x) satisface

−ε ≤ Y ′(x)− f(x, y(x)) ≤ ε

de donde integrando se obtiene

−∫ x

x0

εdt ≤∫ x

x0

(Y ′(x)− f(x, y(x)))dt ≤∫ x

x0

εdt ⇔

−ε(x− x0) ≤ Y (x)− Y (x0)−∫ x

x0

f(x, y(x))dt ≤ ε(x− x0)

por lo que restando la ecuacion integral anterior se tiene

−ε(x− x0) ≤ Y (x)− y(x)− Y (x0) + y0 −∫ x

x0

(f(x, Y (x))− f(x, y(x)))dt ≤ ε(x− x0)

es decir,

|Y (x)− y(x)− Y (x0) + y0 −∫ x

x0

(f(x, Y (x))− f(x, y(x)))dt| ≤ ε(x− x0)

o tambien, utilizando que |α− β| ≥ |α| − |β|,

|Y (x)− y(x)| − |Y (x0)− y0| −∣∣∣ ∫ x

x0

(f(x, Y (x))− f(x, y(x)))dt∣∣∣ ≤ ε(x− x0) ⇔

|Y (x)− y(x) | ≤ ε0 + ε(x− x0) +∣∣∣ ∫ x

x0

(f(x, Y (x))− f(x, y(x)))dt∣∣∣

≤ ε0 + ε(x− x0) + L

∫ x

x0

|Y (x)− y(x)|dt

y, usando la desigualdad de Gronwald, se obtiene el resultado deseado, ∀x.

Comentario:


• Puede observarse que la expresion (1.12) da una acotacion a la diferencia entre el valor aproximado dela prediccion, Y (x0 + T ), y el valor real, y(x0 + T ), en funcion de las cotas ε, ε0; de tal manera que, siestos valores son pequenos y el intervalo en la medida, T , no es muy grande, dicha diferencia tampocova a ser muy grande.

(Vease un ejemplo de aplicacion en: J.L. Andres Yebra: Ecuaciones Diferenciales: Notas y Problemas,CPET (1995)).

1.6 Metodos numericos de resolucion

1.6.1 Ideas fundamentales

En anteriores secciones se ha visto como resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales por metodosanalıticos. Desgraciadamente esto no siempre es posible para todos los tipos de ecuaciones diferenciales quese presentan en la practica.

En estos casos, al igual que sucede en otras ramas de la Matematica (como es el caso, p, ej., del calculo deintegrales definidas mediante el metodo de Simpson), hay ciertos metodos numericos que permiten calcular,con el grado de exactitud que se desee, la solucion numerica de todas las ecuaciones diferenciales de primerorden con una condicion inicial dada. Dichos metodos se pueden aplicar independientemente de que laecuacion sea o no integrable analıticamente, en terminos de funciones elementales conocidas.

Los metodos numericos mas usados son el metodo de Euler, el metodo de Euler modificado y el metodode Runge-Kutta.

1.6.2 Metodo de Euler

(Se explica en las sesiones de Laboratorio. Vease, por tanto, el guion de Practicas.).

1.6.3 Metodo de Euler modificado


1.6.4 Metodo de Runge-Kutta


Chapter 2

Ecuaciones Diferenciales (Lineales) deOrden Superior

2.1 Introduccion

Si en el capıtulo anterior se ha comenzado el estudio de las ecuaciones diferenciales con el analisis de las deprimer orden, en este se van a tratar las ecuaciones diferenciales de orden superior.

Comenzaremos dando las nociones fundamentales sobre las ecuaciones diferenciales de orden superior(en particular, las lineales), tales como definiciones basicas, teoremas de existencia y unicidad, etc. A con-tinuacion se estudiaran las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales (homogeneas y completas),incluyendo la exposicion del metodo de variacion de constantes para encontrar soluciones particulares dela ecuacion completa. Despues se considerara el problema de obtener la solucion general de las ecuacioneslineales con coeficientes constantes, para lo cual se analizaran, primero, las de tipo homogeneo (estudiandoselos diversos casos posibles) y, despues, el caso general (incluyendo el metodo del anulador para hallar unasolucion particular). Tras presentar brevemente algun caso de especial interes (ecuacion de Euler), se con-cluira, finalmente, comentando las principales aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo ordenen Fısica.

Igual que en el capıtulo anterior, siempre que no se haga alguna precision mas concreta, se asumira quetodas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.

2.2 Nociones fundamentales. Ecuaciones lineales de orden supe-rior

2.2.1 Ecuaciones diferenciales de orden n

Definicion 10 Una ecuacion diferencial de orden n es toda ecuacion que, expresada en forma implıcita, esdel tipo

F (x, y(x), y′(x), . . . , y(n)(x)) = 0

o bien, expresada en forma explıcita,

y(n)(x) = f(x, y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x))

La solucion general de estas ecuaciones es una familia de curvas cuya expresion analıtica depende de nconstantes arbitrarias; escribiendose y = y(x;C1, . . . , Cn) en forma explıcita, o f(x, y;C1, . . . , Cn) = 0 enforma implıcita. Dichas constantes se determinan una vez dado un conjunto de condiciones iniciales

x0 , y(x0) = y0 , y′(x0) = y′0 , . . . , y(n−1)(x0) = y(n−1)0

19


o bien el correspondiente problema de contorno.

El primer resultado fundamental es el que relaciona las ecuaciones diferenciales de orden superior con lossistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden:

Proposicion 6 Toda ecuacion diferencial de orden n (expresada en forma normal)

y(n)(x) = f(x, y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x))

es equivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden

dydx

= y1(x)

dy1

dx= y2(x)

...dyn−2

dx= yn−1(x)

dyn−1

dx= f(x, y1(x), . . . , yn−1(x)) (2.1)

donde y(x), y1(x), . . . , yn−1(x) son funciones desconocidas.

( Dem. ) Inmediata.

De este modo, resolver la ecuacion diferencial de orden n equivale a resolver el sistema anterior, esto es,a buscar las n funciones y(x), y1(x), . . . , yn−1(x). Cada una de ellas contendra una constante arbitraria y eltotal de estas se determinara a partir de las condiciones iniciales, que ahora se escribiran

x0 , y(x0) = y00 , y1(x0) = y0

1 , . . . , yn−1(x0) = y0n−1

La cuestion que se plantea ahora es la de la existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferen-ciales de orden superior en general. En virtud de la proposicion precedente ello es equivalente a estudiar laexistencia y unicidad de soluciones para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden 1.

Teorema 5 (de existencia y unicidad local para sistemas de 1er orden): Considerese el sistema de ecuacionesde primer orden

dy1

dx= f1(x, y1(x), . . . , yn(x))

...dyndx

= fn(x, y1(x), . . . , yn(x))

con las condiciones iniciales

x0 , y1(x0) = y01 , . . . , yn(x0) = y0

n

y sea el rectangulo

D = [x0 − a, x0 + a]× [y01 − b1, y0

1 + b1]× . . .× [y0n − bn, y0

n + bn] ⊂ Rn+1

(con a, b1, . . . , bn > 0). Si se verifican las condiciones

1. fi(x; y1, . . . , yn) (i = 1, . . . , n) son funciones continuas en D.

1Aunque los sistemas de ecuaciones seran objeto de estudio en el proximo capıtulo, adelantamos este resultado por razonesobvias.


2. Cada una de estas funciones satisface la condicion de Lipschitz; es decir, para todo par de puntos(x, y0

1 , . . . , y0n), (x, y1

1 , . . . , y1n) ∈ D y ∀i existe una constante L > 0 tal que

|fi(x, y11 , . . . , y

1n)− fi(x, y0

1 , . . . , y0n)| ≤ L

n∑j=1

|y1j − y0

j |

Entonces existe una unica solucion del problema, y1(x), . . . , yn(x), definida en un cierto intervalo (x0 −δ, x0 + δ) (con 0 < δ ≤ a).

( Dem. ) Sigue los mismos pasos que la del teorema de Picard:

1. fi estan acotadas en D (por ser D compacto), luego ∃Mi > 0 tales que |fi(x, y1, . . . , yn)| ≤Mi, ∀i.

2. Se construyen las n sucesiones funcionales yni (x) (con n ∈ 0 ∪ N e i = 1, . . . , n), definidas como

y0i (x) = y0

i

y1i (x) = y0

i +∫ x

x0

fi(t, y01(t), . . . , y0

n(t))dt

...

yn+1i (x) = y0

i +∫ x

x0

fi(t, yn1 (t), . . . , ynn(t))dt

Se demuestra que limn→∞

yni (x) = yi(x) , funciones lımite que estan definidas en un intervalo (x0 −δ, x0 + δ) (δ depende de todas las constantes involucradas en el teorema).

3. Se prueba que yi(x) constituyen la solucion del sistema.

4. Se prueba que esa es la unica solucion del problema (usando la condicion de Lipschitz).

Comentarios:

• Analogamente al resultado para funciones de dos variables, se tiene ahora el siguiente:

Sea una funcion f(x, y1, . . . , yn) y D ⊂ Rn+1 una region compacta en su dominio. Si, ∀i (i = 1, . . . , n),∂f

∂yiexisten y son funciones continuas en D, entonces f satisface la condicion de Lipschitz.

• En el caso de las n− 1 primeras ecuaciones del sistema (2.1), los segundos miembros, fi(x, y1, . . . , yn),son funciones continuas que tienen derivadas parciales continuas en D; por consiguiente para que severifiquen las hipotesis del teorema de existencia y unicidad en este caso, basta con que las cumplanla funcion f del segundo miembro de la ultima ecuacion.

• Los resultados sobre prolongacion de soluciones y de existencia y unicidad de solucion maximal seestablecen de manera analoga a como se estudio en el capıtulo anterior para las ecuaciones de primerorden.

• Tambien se pueden extender estos resultados a ecuaciones diferenciales de variable compleja y la funcionf analıtica.

2.2.2 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n

Dentro del conjunto de las ecuaciones diferenciales de orden superior, prestaremos especial atencion a laslineales.


Definicion 11 Una ecuacion diferencial lineal de orden n es una ecuacion de orden n que es una expresionlineal de la funcion y sus derivadas 2; por tanto, tiene la forma

fn(x)dnydxn

+ fn−1(x)dn−1y

dxn−1+ . . .+ f1(x)

dydx

+ f0(x)y + f(x) = 0

Se denomina ecuacion lineal homogenea de orden n (asociada o no a una ecuacion lineal completa) atoda ecuacion lineal en la que f(x) = 0; esto es,

fn(x)dnydxn

+ fn−1(x)dn−1y

dxn−1+ . . .+ f1(x)

dydx

+ f0(x)y = 0

Si fn(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b], entonces la ecuacion se puede expresar en forma normal

dnydxn

= −fn−1(x)fn(x)

dn−1y

dxn−1− . . .− f1(x)

fn(x)dydx− f0(x)fn(x)

y − f(x)fn(x)

= 0

que habitualmente escribiremos

dnydxn

+ Fn−1(x)dn−1y

dxn−1+ . . .+ F1(x)

dydx

+ F0(x)y = F (x) (2.2)

Los puntos en los que fn(x) = 0 se denominan puntos singulares de la ecuacion lineal.

Al igual que ya se hizo con la ecuacion lineal de primer orden, se puede traducir la ecuacion lineal allenguaje de operadores. Ası, si se considera el espacio de las funciones en R infinitamente derivables, C∞(R),se puede definir el operador de derivacion

D : C∞(R) −→ C∞(R)y 7→ y′

y se puede escribir y = D0(y) ≡ I(y), y′ = D1(y), y′′ = D2(y), . . . ,y(n) = Dn(y). A partir de aquı, seintroduce el operador

L := Dn + Fn−1Dn−1 + . . .+ F0I

del cual puede probarse con facilidad que es lineal, y que permite escribir la ecuacion (2.2) como

L(y) = F (x)

(con lo que el nombre dado queda justificado).

Se plantea ahora la cuestion de la de la existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferencialeslineales de orden superior. Aun cuando sigue vigente el teorema 5, en este caso concreto se puede precisaralgo mas.

Teorema 6 (de existencia y unicidad para ecuaciones lineales): Considerese la ecuacion (2.2) con lacondicion inicial

y(x0) = y0 , y′(x0) = y1 , . . . , y(n−1)(x) = yn−1

y tal que las funciones F (x), F0(x), . . . , Fn−1(x) son continuas en un cierto intervalo I = (x0 − a, x0 + a)(con 0 < a). Entonces existe una unica solucion y = y(x) definida en el intervalo I, que es derivable concontinuidad hasta el orden n.

( Dem. ) Expresando la ecuacion lineal en forma normal

dnydxn

= −Fn−1(x)dn−1y

dxn−1+ . . .− F1(x)

dydx− F0(x)y + F (x) ≡ G(x, y, y′, . . . , yn−1)

2Observese que los coeficientes funcionales son funciones de x unicamente.


dado que las funciones Fi(x) (i = 0, 1, . . . , n− 1) son continuas por hipotesis, tambien lo son G y∂G

∂y(i)= Fi

, por lo que son aplicables los teoremas generales de existencia y unicidad, concluyendose, pues, que elproblema de valor inicial dado tiene una unica solucion maximal y(t) definida en un cierto intervalo abierto.Ahora se trata de comprobar que dicho intervalo es I.

Por simplicidad, se hara la demostracion para el caso de la ecuacion lineal de primer orden. Se comienzacomprobando que, dado T > 0, la solucion esta definida para todo x ∈ [x0, x0 + T ]. En efecto, a partir dela expresion (1.8), que en este caso es

y(x) = y0 +∫ x

x0

(−g(t)y(t) + f(t))dt

se obtiene|y(x)| ≤ |y0|+

∫ x

x0

|g(t)||y(t)|dt+∫ x

x0

|f(t)|dt

por lo que, llamando φ(x) = |y(x)| y con L = maxI |g(x)|, M = maxI |f(x)|, se tiene

φ(x) ≤ |y0|+ L

∫ x

x0

φ(t)dt+M(x− x0)

y utilizando el lema de Gronwald,

φ(x) = |y(x)| ≤ |y0|eL(x−x0) +M

L

(eL(x−x0) − 1

)= |y0|eLT +

M

L

(eLT − 1

)acotacion que prueba que la solucion maximal esta definida en el intervalo [x0, x0 +T ] y como esto vale paracualquier T , se ha demostrado que y(x) esta definida para todo x ≥ x0 en I. De igual manera se probarıa quelo esta tambien para todo x ≤ x0 en I, luego se concluye que existe solucion maximal en I y, en particular,en todo R, si I = R.

Comentario:

• Es importante resaltar que, si los coeficientes funcionales son continuos en todo R, entonces la existenciade la solucion esta garantizada tambien en todo R.

Sobre la resolucion de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se tiene el mismo resultadoque para las de primer orden:

Proposicion 7 El conjunto de soluciones de la ecuacion (2.2) esta dado por yP + yH , donde yP es unasolucion particular cualquiera de la ecuacion completa e yH es la solucion general de la ecuacion homogeneaasociada.

( Dem. ) Analoga a la de la proposicion 2.

2.3 Estudio de las soluciones de las ecuaciones diferenciales lin-eales de orden n

2.3.1 Dependencia e independencia lineal de funciones. Wronskiano

Antes de tratar el estudio de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, es precisointroducir algunos conceptos y resultados sobre dependencia e independencia lineal de funciones.

Definicion 12 Dado un conjunto de funciones y1(x), . . . , yn(x) definidas en el mismo dominio D ⊆ R,estas funciones son linealmente independientes en D sii se cumple que, ∀x ∈ D,

α1y1(x) + . . .+ αnyn(x) = 0 ⇐⇒ α1 = . . . = αn = 0

con α1, . . . , αn ∈ R.


Enunciaremos, a continuacion, algunas condiciones suficientes para garantizar la independencia lineal defunciones.

Dado el conjunto de funciones y1(x), . . . , yn(x) en D, se observa, en primer lugar que, si se verifica que,∀x ∈ D,

α1y1(x) + . . .+ αnyn(x) = 0

para algunos α1, . . . , αn ∈ R, entonces tambien se cumplen las siguientes relaciones, ∀x ∈ D,

α1y1(x) + . . .+ αnyn(x) = 0α1y

′1(x) + . . .+ αny

′n(x) = 0

...α1y

(n−1)1 (x) + . . .+ αny

(n−1)n (x) = 0 (2.3)

Definicion 13 Sea un conjunto de funciones y1(x), . . . , yn(x) definidas en el mismo dominio D ⊆ R. Lamatriz asociada al sistema (2.3)

y1(x) . . . yn(x)y′1(x) . . . y′n(x)

......

y(n−1)1 (x) . . . y

(n−1)n (x)

se denomina matriz wronskiana del conjunto y su determinante en cada punto x ∈ D, que denotaremos porW (x) = W (y1(x), . . . , yn(x)), recibe el nombre de wronskiano.

Con esta nomenclatura el primero de los resultados anunciados, que se obtiene como consecuencia directade lo expuesto, es el siguiente:

Proposicion 8 Sea el conjunto de funciones y1(x), . . . , yn(x) en D. Si W (y1(x), . . . , yn(x)) 6= 0 paraalgun x ∈ D, entonces las funciones y1(x), . . . , yn(x) son linealmente independientes en D.

Equivalentemente, si y1(x), . . . , yn(x) son linealmente dependientes en D entonces W (y1(x), . . . , yn(x)) =0, para todo x ∈ D.

( Dem. ) En efecto, si W (y1(x), . . . , yn(x)) 6= 0 para algun x ∈ D, entonces la unica solucion posible delsistema (2.3) en ese punto es que α1 = . . . = αn = 0 y, por tanto, en cualquier otro punto de D se tendraque α1y1(x) + . . .+αnyn(x) = 0 con α1 = . . . = αn = 0, luego las funciones y1(x), . . . , yn(x) son linealmenteindependientes en D.

El recıproco de este enunciado no es cierto, en general (vease el ejemplo en el proximo comentario), amenos que se imponga alguna hipotesis adicional, tal como enuncia el siguiente resultado que relaciona elconcepto de independencia lineal con las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogeneas.

Teorema 7 Sea el conjunto de funciones y1(x), . . . , yn(x) en un intervalo I ⊂ R. Si y1(x), . . . , yn(x)son linealmente independientes en I y ademas son soluciones de una ecuacion diferencial lineal homogeneaL(y) = 0, cuyos coeficientes Fi(x) son funciones continuas, entonces W (y1(x), . . . , yn(x)) 6= 0, ∀x ∈ I,

( Dem. ) Supongase que W (y1(x0), . . . , yn(x0)) = 0 para algun x0 ∈ I. Entonces, se pueden elegir lasconstantes αi de manera que se satisfaga el sistema de ecuaciones (2.3) y tales que no todas ellas sean nulas(ya que al ser el determinante del sistema nulo en algun punto, existen soluciones no triviales del mismo).Para tales valores de las constantes, la combinacion lineal

y(x) = α1y1(x) + . . .+ αnyn(x)

es solucion de la ecuacion lineal homogenea dada (vease el teorema 8) y, en virtud de las ecuaciones (2.3),satisface ademas las condiciones iniciales

y(x0) = 0 , y′(x0) = 0 , . . . , yn−1(x0) = 0


Pero tambien estas condiciones iniciales son satisfechas por la solucion trivial y(x) = 0, luego, en virtud delteorema de existencia y unicidad, esta es la unica solucion posible y, por tanto

y(x) = α1y1(x) + . . .+ αnyn(x) = 0

por lo que y1(x), . . . , yn(x) han de ser linealmente dependientes, en contra de la hipotesis.

Comentario:

• Si las funciones y1(x), . . . , yn(x) linealmente independientes no son soluciones de una ecuacion linealhomogenea, pueden tener el wronskiano nulo, no solo en algunos puntos, sino identicamente en todo I.

Ejemplo: En I = [0, 2] considerense las funciones

y1(x) =

(x− 1)2 si 0 ≤ x ≤ 10 si 1 ≤ x ≤ 2 ; y2(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ 1

(x− 1)2 si 1 ≤ x ≤ 2

Evidentemente W (y1(x), y2(x)) = 0, ∀x ∈ I. Sin embargo, se trata de dos funciones linealmenteindependientes, ya que la igualdad α1y1(x) + α2y2(x) = 0, considerada en el segmento 0 ≤ x < 1, dacomo solucion α1 = 0; mientras que considerada en el segmento 1 < x ≤ 2, da como solucion α2 = 0;por consiguiente α1 = α2 = 0.

2.3.2 Solucion de la ecuacion lineal homogenea

Una vez aclarados los puntos precedentes, se puede iniciar ya el estudio de las soluciones de las ecuacionesdiferenciales lineales de orden n.

En primer lugar se tiene:

Teorema 8 (Principio de superposicion): Si y1(x), . . . , ym(x) son soluciones (particulares) de la ecuacionlineal homogenea L(y) = 0 en un dominio I ⊆ R, entonces cualquier combinacion lineal de ellas, y(x) =m∑i=1

ciyi(x) , es tambien solucion de dicha ecuacion.

( Dem. ) Es una consecuencia trivial de la linealidad del operador L.

Teniendo esto en cuenta, el siguiente paso es:

Teorema 9 Sea L(y) = 0 una ecuacion lineal homogenea de orden n cuyos coeficientes F0(x), . . . , Fn−1(x)son funciones continuas en un intervalo I ⊂ R. Entonces, el conjunto de soluciones de dicha ecuacion (estoes, ker L) es un espacio vectorial de dimension n.

( Dem. ) Evidentemente el nucleo de un operador lineal es un espacio vectorial. Hay que comprobar quesu dimension es n.

Sea x0 ∈ I. Considerense los siguientes problemas de valores iniciales

L(y(x)) = 0 y(x0) = 1, y′(x0) = 0, . . . , y(n−1)(x0) = 0L(y(x)) = 0 y(x0) = 0, y′(x0) = 1, . . . , y(n−1)(x0) = 0

...L(y(x)) = 0 y(x0) = 0, y′(x0) = 0, . . . , y(n−1)(x0) = 1

como se satisfacen las condiciones del teorema de existencia y unicidad, existe solucion unica para cadauno de ellos. Sean y1(x), . . . , yn(x) ∈ C∞(I) las soluciones respectivas, las cuales satisfacen obviamente queW (y1(x0), . . . , yn(x0)) = 1 6= 0, luego son linealmente independientes en I y, por tanto dim ker L ≥ n.


Probemos, seguidamente, que y1(x), . . . , yn(x) es una base de ker L. Sea y ∈ ker L; esto es, tal que

L(y) = 0, y supongase que y(x0) = λ1, y′(x0) = λ2, . . . , y

(n−1)(x0) = λn. La funcion y(x) =n∑i=1

λiyi(x)

tambien es solucion de L(y) = 0 y satisface las condiciones iniciales dadas, luego por el teorema de existencia yunicidad, es la solucion ∀x ∈ I. Ası pues, y1(x), . . . , yn(x) es base de ker L y, por consiguiente, dim ker L =n.

De este modo, hallar la solucion general de una ecuacion lineal homogenea con coeficientes continuos pasapor encontrar n soluciones particulares linealmente independientes. Ello da origen a la siguiente definicion:

Definicion 14 Se denomina sistema fundamental de soluciones de una ecuacion lineal homogenea de ordenn (cuyos coeficientes sean funciones continuas en un intervalo I = [a, b] ⊂ R) a cualquier conjunto de nsoluciones particulares linealmente independientes.

El conocimiento de un conjunto de n soluciones linealmente independientes define de manera unıvoca laecuacion diferencial lineal homogenea de la cual ese conjunto es un sistema fundamental de soluciones, yaque:

Teorema 10 Sean dos ecuaciones lineales homogeneas con coeficientes continuos en un intervalo I ⊂ R

L1(y) ≡ dnydxn

+ Fn−1(x)dn−1y

dxn−1+ . . .+ F1(x)

dydx

+ F0(x)y = 0

L2(y) ≡ dnydxn

+Gn−1(x)dn−1y

dxn−1+ . . .+G1(x)

dydx

+G0(x)y = 0

tales que tienen un mismo sistema fundamental de soluciones y1(x), . . . , yn(x). Entonces Fi(x) = Gi(x),∀x ∈ I (ambas ecuaciones son iguales).

( Dem. ) En efecto, si y1(x), . . . , yn(x) son soluciones de ambas ecuaciones tambien lo son de su diferencia

0 = L1(y)− L2(y) = (Fn−1(x)−Gn−1(x))dn−1y

dxn−1+ . . .+ (F1(x)−G1(x))

dydx

+ (F0(x)−G0(x))y

y si Fn−1(x) 6= Gn−1(x) se tendrıa una ecuacion lineal homogenea de orden n − 1 con n soluciones lin-ealmente independientes, en contradiccion con el teorema anterior, luego Fn−1(x) = Gn−1(x). Iterando elrazonamiento se llega al mismo resultado para el resto de coeficientes.

El procedimiento para hallar la ecuacion lineal homogenea definida por un sistema fundamental desoluciones es como sigue:

Sea y1(x), . . . , yn(x) un conjunto que es sistema fundamental de soluciones de una ecuacion homogeneaL(y) = 0 en I = [a, b] (por tanto son funciones derivables con continuidad hasta el orden que haga falta).Necesariamente (teorema 7) W (y1(x), . . . , yn(x)) 6= 0, ∀x ∈ I. Sea y(x) otra solucion cualquiera de laecuacion, entonces y1(x), . . . , yn(x), y(x) son linealmente dependientes en I y, por tanto, ∀x ∈ I,

W (y1(x), . . . , yn(x), y(x)) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1(x) . . . yn(x) y(x)y′1(x) . . . y′n(x) y′(x)

......

y(n−1)1 (x) . . . y

(n−1)n (x) y(n−1)(x)

y(n)1 (x) . . . y

(n)n (x) y(n)(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

(observese que la ultima columna es una combinacion lineal de las anteriores). Desarrollando el determinantepor la ultima columna se obtiene, por tanto, una ecuacion diferencial lineal homogenea

fn(x)dnydxn

+ fn−1(x)dn−1y

dxn−1+ . . .+ f1(x)

dydx

+ f0(x)y = 0


donde fn(x) = W (y1(x), . . . , yn(x)) 6= 0, ∀x ∈ I, y el resto de los coeficientes son los determinantes de lassubmatrices de orden n que aparecen en el desarrollo del determinante. Por tanto, dividiendo por fn(x)queda

dnydxn

+ Fn−1(x)dn−1y

dxn−1+ . . .+ F1(x)

dydx

+ F0(x)y = 0

que es una ecuacion diferencial lineal homogenea con coeficientes Fi(x) continuos, ya que son productos ysumas de las funciones yi(x).

A partir de aquı se obtiene el siguiente resultado:

Proposicion 9 Sea yp(x), y1(x), . . . , yn(x) un conjunto de funciones tales que:

1. yp(x) es una solucion particular de una ecuacion lineal con coeficientes continuos, L(y) = F (x) enI = [a, b].

2. y1(x), . . . , yn(x) es un sistema fundamental de soluciones de la ecuacion homogenea L(y) = 0 enI = [a, b].

Entonces dicho conjunto de funciones determina unıvocamente la ecuacion lineal completa L(y) = F (x)

( Dem. ) En efecto, el conjunto y1(x), . . . , yn(x) determina, de manera unıvoca, la ecuacion homogeneasegun el procedimiento descrito; esto es, el operador L(y). Entonces F (x) se determina haciendo L(yp) =F (x).

(Vease un ejemplo de aplicacion en la coleccion de problemas).

Comentario:

• En las condiciones de aplicacion de los anteriores teoremas, el conocimiento de una solucion particularde la ecuacion homogenea permite reducir el orden del problema en una unidad. Este procedimientose conoce con el nombre de metodo de D’Alembert, y se va a ilustrar con la ecuacion lineal homogeneade 2o orden

y′′ + f1(x)y′ + f0(x)y = 0

Si yp(x) es una solucion particular, haciendo el cambio de variable y = zyp se tiene que y′ = zy′p + z′ypy y′′ = zy′′p + 2z′y′p + z′′yp, luego sustituyendo en la ecuacion

0 = y′′ + f1(x)y′ + f0(x)y = zy′′p + 2z′y′p + z′′yp + f1zy′p + f1z

′yp + f0zyp

= z(y′′p + f1y′p + f0yp) + 2z′y′p + z′′yp + f1z

′yp = z′′yp + z′(2y′p + f1yp)

y esta es una ecuacion lineal homogenea de primer orden para la funcion u = z′.

2.3.3 Solucion de la ecuacion lineal completa: metodo de variacion de con-stantes

Analicemos, ahora, el problema de hallar la solucion de la ecuacion lineal completa. El metodo que vamosa presentar consiste en obtener dicha solucion a partir de n soluciones linealmente independientes conocidasde la ecuacion lineal homogenea asociada.

De acuerdo con lo expuesto anteriormente, si se tiene una ecuacion lineal de orden n (con coeficientescontinuos), L(y) = F (x), y un sistema fundamental de soluciones y1(x), . . . , yn(x), de la ecuacion linealhomogenea asociada L(y) = 0, la solucion general de esta ultima ecuacion es una combinacion lineal yH(x) =n∑i=1

ciyi(x) , por lo que para tener la solucion general de la ecuacion lineal completa basta con obtener una

solucion particular de la misma (proposicion 7). Entonces:


Proposicion 10 Sea una ecuacion lineal de orden n (con coeficientes continuos), L(y) = F (x), y seay1(x), . . . , yn(x) un sistema fundamental de soluciones de la ecuacion lineal homogenea asociada L(y) = 0.Entonces, una solucion particular de la ecuacion lineal completa es la combinacion lineal (con coeficientesfuncionales)

yP (x) =n∑i=1

Ci(x)yi(x)

donde las funciones Ci(x) son la solucion del sistema y1(x) . . . yn(x)...

...y

(n−1)1 (x) . . . y

(n−1)n (x)

C ′1(x)

...C ′n(x)

=

0...

F (x)

(2.4)

( Dem. ) La demostracion se basa en la aplicacion del metodo de variacion de constantes o de Lagrange.El metodo consiste en suponer que una solucion particular es yP (x) =

∑ni=1 Ci(x)yi(x); expresion que,

poniendo C(x) = (C1(x), . . . , Cn(x)) e Y(x) = (y1(x), . . . , yn(x)), se puede escribir en forma compacta como

yP (x) = 〈C(x),Y(x)〉 (2.5)

teniendose queL(Y(x)) ≡ L(y1(x), . . . , yn(x)) = (0, . . . , 0) ≡ 0

Derivando la expresion (2.5) se obtiene

y′P (x) = 〈C′(x),Y(x)〉+ 〈C(x),Y′(x)〉

y, dado que buscamos una solucion particular, se pueden, en principio, elegir las funciones Ci(x) demanera que 〈C′(x),Y(x)〉 = 0. A partir de aquı, derivando sucesivamente y tomando en cada paso〈C′(x),Y(i−1)(x)〉 = 0 se obtiene

y′P (x) = 〈C′(x),Y(x)〉+ 〈C(x),Y′(x)〉 con 〈C′(x),Y(x)〉 = 0y′′P (x) = 〈C′(x),Y′(x)〉+ 〈C(x),Y′′(x)〉 con 〈C′(x),Y′(x)〉 = 0

...y

(n)P (x) = 〈C′(x),Y(n−1)(x)〉+ 〈C(x),Y(n)(x)〉

Sustituyendo ahora en la ecuacion diferencial lineal resulta

L(yP (x)) ≡ dnyPdxn

+ Fn−1(x)dn−1yPdxn−1

+ . . .+ F1(x)dyPdx

+ F0(x)yP

= 〈C(x),Y(n)(x)〉+ 〈C′(x),Y(n−1)(x)〉+ Fn−1(x)〈C(x),Y(n−1)(x)〉+. . .+ F1(x)〈C(x),Y′(x)〉+ F0(x)〈C(x),Y(x)〉

= 〈C(x),Y(n)(x)〉+ Fn−1(x)〈C(x),Y(n−1)(x)〉+ . . .+ F0(x)〈C(x),Y(x)〉+ 〈C′(x),Y(n−1)(x)〉= 〈C(x),Y(n−1)(x)〉 = F (x)

luego para que yP (x) =∑ni=1 Ci(x)yi(x) sea solucion de la ecuacion lineal completa es suficiente con que se

satisfagan las siguientes condiciones

〈C′(x),Y(x)〉 = 0〈C′(x),Y′(x)〉 = 0

...〈C′(x),Y(n−1)(x)〉 = F (x)

Ası pues, el vector C(x) esta completamente determinado como solucion del sistema (2.4)

〈C′(x),Y(x)〉 ≡ C ′1(x)y1(x) + . . .+ C ′n(x)yn(x) = 0...

...〈C′(x),Y(n−1)(x)〉 ≡ C ′1(x)y(n−1)

1 (x) + . . .+ C ′n(x)y(n−1)n (x) = F (x)


(que es compatible y determinado, ya que y1(x), . . . , yn(x) es un sistema fundamental de soluciones de laecuacion homogenea y, por tanto, W (y1(x), . . . , yn(x)) 6= 0, ∀x ∈ I, luego existe solucion C′(x) y de aquıC(x)).

(Vease un ejemplo de aplicacion en la coleccion de problemas).

Llegados a este punto esta claro que lo unico que queda por hacer para tener la solucion general de unaecuacion lineal de orden n es conocer un sistema fundamental de soluciones de la ecuacion lineal homogeneaasociada. Obtener tal sistema no es, en general, un problema elemental, salvo cuando los coeficientes sonconstantes, tal como vamos a ver en la siguiente seccion.

Para finalizar, es conveniente senalar que tambien para las ecuaciones lineales completas se puede es-tablecer un principio de superposicion de soluciones, en el siguiente sentido:

Proposicion 11 Sean L(y) = F1(x), . . . , L(y) = Fn(x) ecuaciones diferenciales lineales. Si y1(x), . . . , yn(x)son soluciones respectivas de ellas, entonces y1(x) + . . . + yn(x) es solucion de la ecuacion lineal L(y) =F1(x) + . . .+ Fn(x)

( Dem. ) Trivial.

2.4 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

2.4.1 Ecuaciones lineales homogeneas con coeficientes constantes

Comenzaremos el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales (de orden n) con coeficientes constantes conel caso de las ecuaciones homogeneas. Se trata, pues, de resolver la ecuacion del tipo

dnydxn

+ an−1dn−1y

dxn−1+ . . .+ a1

dydx

+ a0y = 0

con a0, . . . an−1 ∈ R. En forma abreviada, y como ya es costumbre, escribiremos L(y) = 0, donde en estecaso el operador lineal L es

L := Dn + an−1Dn−1 + . . .+ a1D + a0I

Entonces se define:

Definicion 15 La ecuacion

p(x) := xn + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0 = 0

se denomina ecuacion caracterıstica y el polinomio p(x) es el polinomio caracterıstico de la ecuacion difer-encial lineal homogenea dada.

Y para hallar un sistema fundamental de soluciones de la ecuacion diferencial lineal se utiliza el siguienteteorema de Algebra lineal:

Teorema 11 (de la 1a descomposicion): Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo K y F :E → Eun endomorfismo. Sea p(x) ∈ K(X) un polinomio y p(x) = p1(x) . . . pr(x) una descomposicion tal quem.c.d. (pi(x), pj(x)) = 1, ∀i, j. Entonces

Ker p(F) := Ker p1(F)⊕ . . .⊕Ker pr(F)

donde los subespacios Ker pi(F) son invariantes por F .


En el caso que nos ocupa E = C∞(R), K = R, F = D y p(x) = xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 es un

polinomio que anula D en Ker L; es decir, p(D)(y) = 0, ∀y ∈ Ker L; o lo que es lo mismo, p(D)(y) = L(y).Entonces hay que distinguir los siguientes casos:

p(x) tiene n raıces reales simples

En este caso resulta:

Proposicion 12 Si la ecuacion caracterıstica de una ecuacion diferencial lineal homogenea de orden n tienen raıces reales distintas λ1, . . . , λn ∈ R, entonces

eλ1x, . . . , eλnx

es un sistema fundamental de soluciones de dicha ecuacion y, por tanto, la solucion general de la ecuaciones

y(x) =n∑i=1

cieλix

( Dem. ) En primer lugar se tiene la descomposicion

p(x) = (x− λ1) . . . (x− λn)

luego, aplicando el teorema de la 1a descomposicion,

Ker L = Ker p(D) = Ker (D− λ1I)⊕ . . .⊕Ker (D− λnI)

y ahora hay que calcular Ker (D− λiI); esto es, hallar y ∈ C∞(R) tal que solucione la ecuacion

(D− λiI)y = y′ − λiy = 0

que es de variables separadas y tiene como solucion

y(x) = C1eλix ⇔ Ker (D− λiI) = eλix

Por consiguienteKer L = Ker p(D) = eλ1x, . . . , eλnx

luego ese conjunto es un sistema fundamental de soluciones de la ecuacion homogenea y la proposicion quedaprobada.

(Observese que, efectivamente, se trata de un conjunto de funciones linealmente independientes, ya que,como puede comprobarse facilmente, W (eλ1x, . . . , eλnx) 6= 0. P. ej., el wronskiano en x = 0 es

W (0) = ((λ2 − λ1)(λ3 − λ2) . . . (λn − λn−1))((λ3 − λ2) . . . (λn − λn−1)) . . . (λn − λn−1) 6= 0

y recibe el nombre de determinante de Vandermonde).

p(x) tiene raıces reales multiples

En este caso se tiene:

Proposicion 13 Si la ecuacion caracterıstica de una ecuacion diferencial lineal homogenea de orden n tienem raıces reales λ1, . . . , λm ∈ R (1 ≤ m < n) con multiplicidades µ1, . . . , µm respectivamente (µ1 + . . .+µm =n); entonces

eλ1x, xeλ1x, . . . , xµ1−1eλ1x; . . . ; eλmx, xeλmx, . . . , xµm−1eλmx

es un sistema fundamental de soluciones de dicha ecuacion y, por tanto, la solucion general de la ecuaciones

y(x) =m∑i=1

(c1i eλix + c2ixe

λix + . . .+ cµi−1i xµi−1eλix)


( Dem. ) Se procede como en el caso anterior. En primer lugar se tiene la descomposicion

p(x) = (x− λ1)µ1 . . . (x− λm)µm


Ker L = Ker p(D) = Ker (D− λ1I)µ1 ⊕ . . .⊕Ker (D− λmI)µm

y ahora hay que calcular Ker (D − λiI)µi ; esto es, como dim (Ker (D − λiI)µi) = µi, se trata de hallar µifunciones yj(x) ∈ Ker (D − λiI)µi linealmente independientes. Unos simples (aunque largos y tediosos)ejercicios de calculo permiten comprobar que las funciones

y1i(x) = eλix, y2i(x) = xeλix, . . . , yµi(x) = xµi−1eλix

1. Son elementos de Ker (D− λiI)µi .

2. Son linealmente independientes (ya que W (y1i(x), . . . , yµi(x)) 6= 0); luego forman una base de Ker (D−λiI)µi .

Con lo cual queda probada la proposicion.

p(x) tiene n raıces complejas simples

En primer lugar debe observarse que, puesto que la ecuacion caracterıstica es de coeficientes reales, sitiene una raiz compleja λ = a+ bi ∈ C (a, b ∈ R), tambien lo es su conjugada λ = a− bi. Entonces:

Proposicion 14 Si la ecuacion caracterıstica de una ecuacion diferencial lineal homogenea de orden n tienealguna raız compleja λj = aj+bj i ∈ C, tambien tiene su conjugada λj = aj−bi ∈ C (con aj , bj ∈ R); entonces

Ker (D− λjI)⊕Ker (D− λjI) = eajx cos bjx, eajx sin bjx

( Dem. ) Es igual que en los casos anteriores. En primer lugar se tiene la descomposicion

p(x) = (x− λ1) . . . (x− λj)(x− λj) . . . (x− λm)


Ker L = Ker p(D) = Ker (D− λ1I)⊕ . . .⊕⊕Ker (D− λjI)⊕Ker (D− λjI)⊕ . . .⊕Ker (D− λmI)

Procediendo como en el caso de las raıces reales simples se obtiene que

Ker (D− λjI) = eλjx = e(aj+bj i)x = eajx(cos bjx+ i sin bjx)Ker (D− λjI) = eλjx = e(aj−bj i)x = eajx(cos bjx− i sin bjx)

Ahora se tiene que

Ker (D− λjI)⊕Ker (D− λjI) = K1eajx(cos bjx+ i sin bjx) +K2e

ajx(cos bjx− i sin bjx)= (K1 +K2)eajx cos bjx+ i(K1 −K2)eajx sin bjx

donde K1,K2 ∈ C son constantes arbitrarias. Ası pues

Ker (D− λjI)⊕Ker (D− λjI) = eajx cos bjx, eajx sin bjx

Finalmente queda por comprobar que las funciones halladas son linealmente independientes, para lo cualbasta con comprobar que W (eajx cos bjx, eajx sin bjx) 6= 0, para algun x.

p(x) tiene raıces complejas multiples

Notese, primero, que una raiz compleja y su conjugada tienen la misma multiplicidad. Entonces:

Proposicion 15 Si la ecuacion caracterıstica de una ecuacion diferencial lineal homogenea de orden ntiene alguna raız compleja λj = aj + bj i ∈ C y su conjugada λj = aj − bj i ∈ C (con aj , bj ∈ R), ambas conmultiplicidad µ; entonces

Ker (D− λjI)µ ⊕Ker (D− λjI)µ = ea1x cos b1x, xea1x cos b1x, . . . , xµ−1ea1x cos b1x;ea1x sin b1x, xe

a1x sin b1x, . . . , xµ−1ea1x sin b1x

( Dem. ) Es igual que en el caso de raıces reales multiples.


2.4.2 Ecuaciones lineales completas con coeficientes constantes. Metodo delanulador

Pasemos a analizar el caso general de la ecuacion lineal completa con coeficientes constantes

dnydxn

+ an−1dn−1y

dxn−1+ . . .+ a1

dydx

+ a0y = F (x)

con a0, . . . an−1 ∈ R (y F (x) continua). En forma abreviada, L(y) = F (x).

Tal como ya se vio en la seccion anterior, a partir de un sistema fundamental de soluciones de la ecuacionhomogenea asociada y aplicando el metodo de variacion de constantes, se puede encontrar una solucionparticular de esta ecuacion, con lo que se tendrıa su solucion general.

Sin embargo, cuando el termino independiente F (x) tiene la propiedad de que se anula bajo la accionde algun operador con coeficientes constantes, hay un metodo alternativo al de variacion de constantes quepermite obtener una solucion particular de la ecuacion lineal completa. Este procedimiento recibe el nombrede metodo del anulador o tambien de la conjetura prudente.

Proposicion 16 Sea L(y) = F (x) una ecuacion diferencial lineal con coeficientes constantes (y F (x) con-tinua). Si K ≡ K(D) es un operador diferencial con coeficientes constantes que anula F (x), entonces unasolucion particular de la ecuacion se obtiene resolviendo la ecuacion lineal homogenea

(K L)(y) = 0

( Dem. ) Basta observar que si K(F (x)) = 0 entonces

K(F (x)) = K(L(y)) = (K L)(y) = 0

A continuacion se muestran los resultados del procedimiento para algunos casos tıpicos en los que eltermino independiente F (x) tiene una forma particular.

Casos particulares:

1. F (x) = eαx(bpxp + . . .+ b1x+ b0).

Hay dos opciones:

(a) Si α no es raiz del polinomio caracterıstico entonces una solucion particular es de la forma

yP (x) = eαxPp(x)

donde Pp(x) es un polinomio de grado p.

(b) Si α es raiz del polinomio caracterıstico y tiene multiplicidad µ entonces una solucion particulares de la forma

yP (x) = xµeαxPp(x)

donde Pp(x) es un polinomio de grado p.

2. F (x) = cos αx(bpxp + . . .+ b1x+ b0) o F (x) = sin αx(bpxp + . . .+ b1x+ b0).

Hay dos opciones:

(a) Si αi no es raiz del polinomio caracterıstico entonces una solucion particular es de la forma

yP (x) = cos αxPp1 (x) + sin αxPp2 (x)

donde Pp1 (x),Pp2 (x) son polinomios de grado p.


(b) Si αi es raiz del polinomio caracterıstico y tiene multiplicidad µ entonces una solucion particulares de la forma

yP (x) = xµ(cos αxPp1 (x) + sin αxPp2 (x))


3. F (x) = eαx cos βx(bpxp + . . .+ b1x+ b0) o F (x) = eαx sin βx(bpxp + . . .+ b1x+ b0).

Hay dos opciones:

(a) Si α+ βi no es raiz del polinomio caracterıstico entonces una solucion particular es de la forma

yP (x) = eαx(cos βxPp1 (x) + sin βxPp2 (x))


(b) Si α+βi es raiz del polinomio caracterıstico y tiene multiplicidad µ entonces una solucion particulares de la forma

yP (x) = xµeαx(cos βxPp1 (x) + sin βxPp2 (x))


(Veanse ejemplos de aplicacion en la coleccion de problemas).

2.5 Casos particulares y aplicaciones

2.5.1 Caso particular: ecuaciones de Euler

Un caso particularmente interesante de ecuacion diferencial lineal son las denominadas ecuaciones de Euler,que tienen la siguiente expresion general:

an(bx+ c)ndnydxn

+ an−1(bx+ c)n−1 dn−1y

dxn−1+ . . .+ a1(bx+ c)

dydx

+ a0y = f(x)

con a0, . . . an, b, c ∈ R. En el caso en que f(x) = 0 se tienen las ecuaciones de Euler homogeneas.

Estas ecuaciones se transforman en ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes haciendoel cambio de variable bx+ c = et.

En el caso particular de ecuaciones de Euler homogeneas con b = 1, c = 0; esto es, las ecuaciones de laforma

anxn dny

dxn+ an−1x

n−1 dn−1y

dxn−1+ . . .+ a1x

dydx

+ a0y = 0

se pueden probar directamente soluciones particulares del tipo y = xk. En efecto, pues, si con el cam-bio x = et se transformara en una ecuacion diferencial lineal homogenea con coeficientes constantes cuyasolucion particular fuese de la forma y = ekt, entonces una solucion como la propuesta, y = xk, conducirıadirectamente a y = xk = ekt.

2.5.2 Aplicaciones fısicas

El estudio analıtico del comportamiento de muchos sistemas en Fısica conduce a ecuaciones lineales.

Un ejemplo tıpico en Mecanica son los osciladores armonicos:

1. El oscilador armonico simple: su ecuacion es

my′′ + ky = 0


2. El oscilador armonico amortiguado: su ecuacion es

my′′ + βy′ + ky = 0

3. El oscilador armonico (amortiguado) forzado: su ecuacion es

my′′ + βy′ + ky = F (t)

En todos los casos se trata de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. (Su resolucion ha sido tratadaen los cursos de Fısica).

El estudio analıtico del comportamiento de muchos sistemas electricos conduce tambien a ecuacioneslineales. Un ejemplo tıpico son los circuitos electricos RCL, cuya ecuacion es:

LI ′′ +RI ′ +1CI =

dEdt

que es, tambien, una ecuacion lineal con coeficientes constantes. (Su resolucion ha sido tratada en los cursosde Fısica).

Chapter 3

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

3.1 Introduccion

En este capıtulo se va a tratar del estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden y, enparticular, de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Se comenzara dando una serie de conceptos y resultados sobre sistemas de ecuaciones diferenciales deprimer orden en general para, inmediatamente, entrar en el estudio de los del tipo lineal. Concretamentese investigaran las soluciones de los sistemas lineales homogeneos y posteriormente de los no homogeneos,donde se incluira la exposicion del metodo de variacion de constantes para encontrar soluciones particularesde la ecuacion completa. Despues se considerara el problema de obtener la solucion general de los sistemaslineales con coeficientes constantes, para lo cual se analizaran, primero, los de tipo homogeneo (estudiandoselos dos casos posibles: matriz del sistema diagonalizable y no diagonalizable) y, despues, el caso general(incluyendo el metodo del anulador para hallar una solucion particular).

Igual que en los capıtulos anteriores, siempre que no se haga alguna precision mas concreta, se asumiraque todas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.

3.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden

3.2.1 Definiciones fundamentales. Teorema de existencia y unicidad de solu-ciones

Definicion 16 Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es un sistema de n ecuaciones difer-enciales de primer orden que, expresado en forma implıcita, es

F1(t, x1(t), . . . , xn(t), x′1(t), . . . , x′n(t)) = 0...

Fn(t, x1(t), . . . , xn(t), x′1(t), . . . , x′n(t)) = 0

o bien, expresado en forma explıcita 1,

dx1

dt= f1(t, x1(t), . . . , xn(t))

...dxndt

= fn(t, x1(t), . . . , xn(t))

1Que es como se daran en adelante.

35


Se denomina solucion del sistema a cualquier familia de funciones x1(t) . . . , xn(t) diferenciables en I ⊂ Rque satisfaga identicamente las ecuaciones del sistema

Es muy habitual utilizar la notacion vectorial: introduciendo los vectores

x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) , x′(t) = (x′1(t), . . . , x′n(t)) , f(t,x(t)) = (f1(t,x(t)), . . . , fn(t,x(t)))

el sistema se puede escribir en forma compacta como

x′(t) = f(t,x(t))

Escrito de esta manera, un sistema de ecuaciones de primer orden tiene un aspecto analogo a las ecuacionesde primer orden.

Esta analogıa no es meramente formal. En efecto; lo que interesa es hallar la solucion al problema devalor inicial

dx1

dt= f1(t, x1(t), . . . , xn(t))

...dxndt

= fn(t, x1(t), . . . , xn(t))

x1(t0) = x01, . . . , xn(t0) = x0

n

que, expresado en forma vectorial, es

x′(t) = f(t,x(t)) ; x(t0) = x0 (3.1)

Entonces, el teorema de existencia y unicidad de soluciones (teorema 5) se establece en los mismos terminosque para una sola ecuacion. Con esta notacion su enunciado serıa:

Teorema 12 (de existencia y unicidad local para sistemas de 1er orden): Considerese el problema de valorinicial (3.1) y sea un rectangulo D ⊂ R×Rn con centro en (t0,x0). Si f1, . . . , fn son funciones continuas y

lipschitzianas en D (para lo cual es suficiente con que fi,∂fi∂xj

(i, j = 1, . . . , n) sean funciones continuas en

D), entonces existe una unica solucion del problema, x(t), definida en un cierto intervalo (t0− δ, t0 + δ) ⊂ R

Comentario:

• A partir de aquı los teoremas relativos a prolongacion de las soluciones se establecen tambien de maneraanaloga al caso de una sola ecuacion.

La solucion x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) del problema de valor inicial determina en el espacio euclıdeo R×Rn,de coordenadas t, x1, . . . , xn, una curva diferencial que es la curva integral del sistema. Cuando se cumplenlas condiciones del teorema de existencia y unicidad, por cada punto de dicho espacio pasa una sola curvaintegral del sistema, el conjunto de las cuales forma una familia de curvas dependiente de n parametros queconstituyen la solucion general del sistema.

3.2.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de ordensuperior

Como ya se vio (proposicion 6), toda ecuacion diferencial de orden n (expresada en forma normal)

x(n)(t) = f(t, x(t), x′(t), . . . , x(n−1)(t))


es equivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden

dxdt

= x1(t)

...dxn−2

dt= xn−1(t)

dxndt

= f(t, x1(t), . . . , xn(t))

y, dado un conjunto de condiciones iniciales de la ecuacion lineal,

t0 , x(t0) = x0 , x′(t0) = x10 , . . . , x(n−1)(t0) = xn−1

0

se tienen como condiciones iniciales para el sistema

t0 , x(t0) = x0 , x1(t0) = x10 , . . . , xn−1(t0) = xn−1

0

Este resultado se puede generalizar a sistemas como sigue:

Proposicion 17 Todo sistema de n ecuaciones diferenciales de ordenes r1, . . . , rn (expresado en formanormal)

x(r1)1 (t) = f1(t;x1(t), . . . , x(r1−1)

1 (t); . . . , xn(t), . . . , x(rn−1)n (t))

...x(rn)n (t) = fn(t;x1(t), . . . , x(r1−1)

1 (t); . . . , xn(t), . . . , x(rn−1)n (t))

es equivalente a un sistema de r1 + . . .+ rn ecuaciones diferenciales de primer orden.

( Dem. ) Basta aplicar la proposicion 6 y reducir cada ecuacion del sistema inicial a un subsistema de riecuaciones de primer orden.

Tambien se puede plantear el problema recıproco; es decir, si es posible , a partir de un sistema de necuaciones de primer orden, obtener una ecuacion de orden n equivalente, cuya integracion permita resolverel sistema. La respuesta es afirmativa (bajo ciertas condiciones) y el proceso constituye, ademas, uno de losmetodos fundamentales de integracion de sistemas ecuaciones diferenciales.

El metodo, en lıneas generales serıa el siguiente:

1. Se construye un sistema formado por las ecuaciones del sistema inicial y derivadas de estas.

2. Se excluyen (por sustitucion) todas las funciones incognita salvo una, que aparecera como la unicaincognita de una ecuacion de orden superior.

3. Se integra esta ultima ecuacion (si es posible), determinando dicha funcion incognita.

4. Se determinan (en lo posible) las restantes funciones incognita sin integrar, utilizando las ecuacionesdel sistema original y sus derivadas.


3.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales

3.3.1 Conceptos generales

Definicion 17 Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal es un sistema de n ecuacionesdiferenciales lineales de primer orden, que, expresado en forma explıcita, es

dx1

dt= g1

1(t)x1(t) + . . .+ gn1 (t)xn(t) + f1(t)


...dxndt

= g1n(t)x1(t) + . . .+ gnn(t)xn(t) + fn(t)

o en forma vectorial,

x′(t) = A(t)x(t) + f(t) o bien x′(t)−A(t)x(t) = f(t)

donde se han introducido las funciones vectoriales

x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) , x′(t) = (x′1(t), . . . , x′n(t)) , f(t)) = (f1(t), . . . , fn(t))

y la matriz A(t) =

g11(t) . . . gn1 (t)...

...g1

1(t) . . . gn1 (t)

El sistema es un sistema lineal homogeneo sii f(t) = 0.

Al igual que ya se hizo con las ecuaciones lineales, se puede traducir la ecuacion lineal al lenguaje deoperadores. Ası, si se considera I ⊆ R, se puede definir el operador vectorial

L : C∞(I,Rn) −→ C∞(I,Rn)x(t) 7→ x′(t)−A(t)x(t)

esto es,L(x(t)) := x′(t)−A(t)x(t)

del cual puede probarse con facilidad que es lineal y permite escribir la ecuacion (2.2) como

L(x(t)) = f(t) (3.2)

o en el caso homogeneoL(x(t)) = 0 (3.3)

(con lo que el nombre dado queda justificado).

La cuestion de la de la existencia y unicidad de soluciones para estos sistemas tiene la siguiente respuesta:

Teorema 13 (de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones lineales): Considerese el sistema (3.2)con la condicion inicial x(t0) = (x0

1, . . . , x0n) ≡ x0 y tal que las funciones fi(t), g

ji (t) son continuas en un

cierto intervalo I = (x0 − a, x0 + a) (con 0 < a). Entonces existe una unica solucion x(t) definida en elintervalo I, que es derivable con continuidad hasta el orden n.

(En particular, si los coeficientes funcionales son continuos en todo R, entonces la existencia y unicidadde la solucion esta garantizada tambien en todo R).

( Dem. ) Se basa en los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para sistemas de ecuaciones deprimer orden (teorema 12) y para ecuaciones diferenciales lineales (teorema 6).

3.3.2 Soluciones de los sistemas de primer orden lineales

Comenzaremos el estudio de las soluciones de los sistemas de primer orden lineales con el siguiente resultado:

Proposicion 18 Sea el sistema de primer orden lineal (3.2) y x1(t) ∈ C∞(I,Rn) una solucion. Entoncesx2(t) ∈ C∞(I,Rn) es solucion del sistema si, y solo si, x2(t)−x1(t) ∈ Ker L; esto es, es solucion del sistemalineal homogeneo asociado L(x(t)) = 0.


( Dem. ) Si L(x1(t)) = f(t) y L(x2(t)) = f(t) entonces

L(x2(t)− x1(t)) = L(x2(t))− L(x1(t)) = f(t)− f(t) = 0

Recıprocamente, si x2(t)− x1(t) ∈ Ker L entonces

0 = L(x2(t)− x1(t)) = L(x2(t))− L(x1(t)) ⇒ f(t) = L(x2(t)) = L(x1(t))

Corolario 1 La solucion general del sistema de primer orden lineal (3.2) esta dada por x(t) = xP (t)+Ker Ldonde xP (t) es una solucion particular cualquiera del sistema y Ker L designa la solucion general del sistemalineal homogeneo asociado.

( Dem. ) Inmediata. (Vease tambien la demostracion de la proposicion 2).

Teniendo en cuenta que Ker L es un subespacio vectorial de C∞(I,Rn), es inmediato probar el siguienteresultado:

Proposicion 19 Sea el sistema de primer orden lineal homogeneo (3.3). Entonces cualquier combinacionlineal de soluciones del sistema es tambien solucion.

Y para finalizar este estudio preliminar se tiene:

Proposicion 20 Sea el sistema de primer orden lineal homogeneo (3.3). Sea la funcion vectorial complejaz(t) ∈ C∞(I,Cn), que se puede expresar como z(t) = u(t) + iv(t), donde u(t),v(t) ∈ C∞(I,Rn) (sonfunciones vectoriales reales). Entonces z(t) es una solucion compleja del sistema si, y solo si, u(t),v(t) sontambien soluciones (reales); es decir, las partes real e imaginaria de la solucion son soluciones por separado.

( Dem. ) Evidente ya que

0 = L(z(t)) = L(u(t) + iv(t)) = L(u(t)) + iL(v(t)) ⇔ L(u(t)) = 0 , L(v(t)) = 0

puesto que u(t),v(t) son funciones vectoriales reales.

3.3.3 Dependencia e independencia lineal de soluciones

Se van a introducir, a continuacion, algunos conceptos y resultados sobre dependencia e independencia linealde soluciones de sistemas de primer orden lineales.

Definicion 18 Dado un conjunto de funciones vectoriales x1(t), . . . ,xn(t) ⊂ C∞(I,Rn), estas funcionesson linealmente independientes sii, ∀t ∈ I, se cumple que, si α1, . . . , αn ∈ R,

α1x1(t) + . . .+ αnxn(t) = 0 ⇐⇒ α1 = . . . = αn = 0

Como primer resultado se tiene:

Proposicion 21 Sea el conjunto de funciones vectoriales de C∞(I,Rn)

x1(t) = (x11(t), . . . , x1

n(t))...

xn(t) = (xn1 (t), . . . , xnn(t))


y el determinante

det (x1(t), . . . ,xn(t)) ≡ det

x11(t) . . . xn1 (t)...

...x1n(t) . . . xnn(x)

Si det (x1(t), . . . ,xn(t)) 6= 0 para algun t ∈ I, entonces las funciones x1(t), . . . ,xn(t) son linealmente inde-pendientes en I.

Equivalentemente, si x1(t), . . . ,xn(t) son linealmente dependientes en I entonces det (x1(t), . . . ,xn(t) =0, ∀t ∈ I.

( Dem. ) Evidente, ya que el sistema α1x1(t) + . . .+αnxn(t) = 0 ha de tener solucion α1, . . . , αn no trivialpara todo t ∈ I.

El recıproco de este enunciado no es cierto, en general, a menos que se imponga alguna hipotesis adicional,tal como se vera posteriormente.

Ejemplo:

• En R, considerense las funciones

x1(t) = (0, cos t) ; x2(t) = (0, sin t)

se tiene que det (x1(t),x2(t)) = 0, ∀t ∈ R y, sin embargo, se trata de dos funciones linealmenteindependientes, ya que

α1x1(t) + α2x2(t) =(

0α1 cos t

)+(

0α2 sin t

)=(

0α1 cos t+ α2 sin t

)y el resultado es nulo ∀t ∈ R si, y solo si, α1 = α2 = 0.

3.3.4 Solucion del sistema lineal homogeneo. Matriz Fundamental

Teniendo en cuenta lo expuesto en los apartados precedentes, ahora se puede probar que:

Proposicion 22 Para cualquier operador L (de orden n) con coeficientes continuos se tiene quedim (Ker L) = n.

( Dem. ) Sea e1, . . . , en una base de Rn y t0 ∈ R. Considerense los siguientes problemas de valoresiniciales

L(x(t)) = 0x(t0) = e1

; . . . ;

L(x(t)) = 0x(t0) = en

y sean x1(t), . . . ,xn(t) ∈ C∞(I,Rn) las soluciones unicas respectivas. Entonces

det (x1(t0), . . . ,xn(t0)) = det (e1, . . . , en) 6= 0

ya que e1, . . . , en son vectores constantes y linealmente independientes, luego tambien x1(t), . . . ,xn(t) loson. Solo queda probar que son tambien un sistema generador. Para ello considerese cualquier solucion x(t)del sistema; sera

x(t0) = λ1e1 + . . .+ λnen

lo que significa que x(t) es solucion del problema de valor inicialL(x(t)) = 0x(t0) = λ1e1 + . . .+ λnen

pero tambien λ1x1(t) + . . . + λnxn(t) es solucion de dicho problema, por tanto, como la solucion es unica,se concluye que

x(t) = λ1x1(t) + . . .+ λnxn(t)


luego x1(t), . . . ,xn(t) es un sistema generador de dim (Ker L) y, por consiguiente, forman base, con locual dim (Ker L) = n.

Como corolario inmediato de esta proposicion se tiene:

Teorema 14 Sea el sistema de primer orden lineal homogeneo con coeficientes continuos (3.3) y seanx1(t), . . . ,xn(t) ∈ C∞(I,Rn) soluciones linealmente independientes del mismo. Entonces la solucion generales una combinacion lineal de ellas (con coeficientes constantes)

xH(t) = λ1x1(t) + . . .+ λnxn(t)

Finalmente, se puede enunciar el resultado analogo al del teorema 7:

Teorema 15 Sea el conjunto de funciones vectoriales x1(t), . . . ,xn(t) ⊂ C∞(I,Rn). Si x1(t), . . . ,xn(t)son linealmente independientes en I y ademas son soluciones de un sistema lineal homogeneo, L(x(t)) = 0,con coeficientes continuos, entonces det (x1(t), . . . ,xn(t)) 6= 0, ∀t ∈ I.

( Dem. ) Supongase que ∃t0 ∈ I tal que det (x1(t0), . . . ,xn(t0)) = 0, entonces existen λ1, . . . , λn ∈ R, notodos nulos, tales que λ1x1(t0) + . . . + λnxn(t0) = 0 y, en consecuencia, x(t) = λ1x1(t) + . . . + λnxn(t) essolucion del problema de valores iniciales

L(x(t)) = 0x(t0) = 0

Pero x(t) = 0 es tambien solucion, y como esta ha de ser unica, hay que concluir que, ∀t ∈ I,

λ1x1(t) + . . .+ λnxn(t) = 0

con los λi no todos nulos; en consecuencia x1(t), . . . ,xn(t) son linealmente dependientes, contra lahipotesis. La contradiccion proviene de suponer que ∃t0 ∈ I tal que det (x1(t0), . . . ,xn(t0)) = 0; luegodet (x1(t), . . . ,xn(t)) 6= 0, ∀t ∈ I.

Teniendo presentes estos resultados, el siguiente concepto es el sımil para sistemas de ecuaciones difer-enciales lineales homogeneos de la nocion de sistema fundamental de soluciones de una ecuacion linealhomogenea.

Definicion 19 Una matriz fundamental de un sistema de n ecuaciones de primer orden lineal homogeneocon coeficientes constantes (3.3) es toda matriz de orden n cuyas columnas son soluciones linealmente inde-pendientes del sistema:

V (t) =

x11(t) . . . xn1 (t)...

...x1n(t) . . . xnn(x)

Las propiedades mas relevantes de las matrices fundamentales (cuya demostracion es inmediata tras lo

expuesto en este apartado) son las siguientes:

Proposicion 23 Sea V (t) una matriz fundamental de un sistema de primer orden lineal homogeneo (3.3).Entonces

1. detV (t) 6= 0, ∀t.

2. La solucion general de L(x(t)) = 0 es x(t) = V (t)c con c ∈ Rn.

3. Si M es cualquier matriz constante tal que detM 6= 0, entonces V (t)M es tambien una matriz funda-mental.


3.3.5 Solucion del sistema lineal completo. Metodo de variacion de constantes

Analicemos, ahora, el problema de hallar la solucion general del sistema lineal completo. Como en el caso deuna ecuacion diferencial lineal completa, el metodo consiste en partir de una matriz fundamental del sistema;es decir, de n soluciones linealmente independientes conocidas del sistema lineal homogeneo asociado (estoes, su solucion general), de modo que para tener la solucion general del sistema lineal completo basta conobtener una solucion particular del mismo. Entonces:

Proposicion 24 Sea un sistema lineal completo de n ecuaciones diferenciales de primer orden (con coefi-cientes continuos), L(x(t)) = f(t), y sea x1(t), . . . ,xn(t) un sistema de soluciones linealmente indepen-dientes del sistema lineal homogeneo asociado L(x(t)) = 0. Entonces, una solucion particular del sistemalineal completo es la combinacion lineal (con coeficientes funcionales)

xP (t) =n∑i=1

Ci(t)xi(t) =

x11(t) . . . xn1 (t)...

...x1n(t) . . . xnn(x)

C1(t)

...Cn(t)

≡ V (t)C(t)

donde las funciones Ci(x) se obtienen a partir de la solucion del sistema V (t)C′(t) = f(t); esto es, x11(t) . . . xn1 (t)...

...x1n(t) . . . xnn(t)

C ′1(x)

...C ′n(x)

=

f1(t)...

fn(t)

(3.4)

( Dem. ) La demostracion se basa nuevamente en la aplicacion del metodo de variacion de constantes o de

Lagrange. El metodo consiste en suponer que una solucion particular es xP (t) =n∑i=1

Ci(t)xi(t) . Derivando

esta expresion y sustituyendo en la expresion del sistema lineal completo resulta

L(xP (t)) = x′P (t)−A(t)xP (t) =n∑i=1

C ′i(t)xi(t) +

n∑i=1

Ci(t)xi′(t)−

n∑i=1

Ci(t)A(t)xi(t) = f(t)

Pero L(xi(t)) = 0, ∀i, luego xi′(t) = A(t)xi(t) y, por tanto, para que xP (t) =∑ni=1 Ci(t)x

i(t) sea solucionde la ecuacion lineal completa es suficiente con que

L(xP (t)) =n∑i=1

C ′i(t)xi(t) = f(t)

expresion que, en forma explıcita es el sistema (3.4), el cual es compatible y determinado, ya quex1(t), . . . ,xn(t) es un conjunto de soluciones linealmente independientes del sistema homogeneo y, portanto, det (x1(t), . . . ,xn(t)) 6= 0, ∀t ∈ I, luego existe solucion C ′i(t) y de aquı Ci(t).

3.4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer ordencon coeficientes constantes

3.4.1 Ideas generales

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal con coeficientes constantes es un sistema de necuaciones diferenciales lineales de primer orden que, expresado en forma explıcita, es

dx1

dt= a1

1x1(t) + . . .+ an1xn(t) + f1(x)

...dxndt

= a1nx1(t) + . . .+ annxn(t) + fn(x)


con aij ∈ R (y fj ∈ C∞(R)). En forma vectorial se tiene

x′(t) = Ax(t) + f(t) o bien x′(t)−Ax(t) = f(t)

donde la matriz de coeficientes es constante

A =

a11 . . . an1...

...a1n . . . an1

(3.5)

Tambien se puede traducir al lenguaje de operadores poniendo L(x(t)) := x′(t)−Ax(t), con lo que el sistemase expresa igual que en el caso general

L(x(t)) = f(t)

El sistema es un sistema lineal homogeneo sii f(t) = 0; esto es,

L(x(t)) = 0

Los resultados expuestos para el caso general siguen siendo validos, por supuesto. En concreto, la soluciongeneral de un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden lineal con coeficientes constantes estadada por x(t) = xP (t)+Ker L donde xP (t) es una solucion particular cualquiera del sistema y Ker L designala solucion general del sistema lineal homogeneo asociado. Como, ademas, para el operador L del sistemase tiene que dim (Ker L) = n, dicha solucion general sera del tipo

x(t) = xH(t) + xP (t) = λ1x1(t) + . . .+ λnxn(t) + xP (t)

En general la forma mas sencilla de integrar un sistema de esta ındole suele ser convertirlo en una solaecuacion de orden superior, que sera necesariamente lineal con coeficientes constantes; siguiendo el metodoexpuesto en el apartado 3.2.2. Sin embargo, existen metodos para calcular una matriz fundamental (esto es,un sistema fundamental de soluciones) del sistema homogeneo asociado a un sistema lineal con coeficientesconstantes. De aquı se obtiene directamente la solucion general del sistema homogeneo y, por aplicacion delmetodo de variacion de las constantes, una solucion particular del sistema completo. Estudiaremos dichosmetodos a continuacion.

3.4.2 Estudio del sistema homogeneo (con matriz del sistema diagonalizable)

Se va a analizar el problema de hallar la solucion general de un sistema de n ecuaciones diferenciales linealhomogeneo con coeficientes constantes

L(x(t)) ≡ x′(t)−Ax(t) = 0 (3.6)

donde A es una matriz de constantes como (3.5).

Comenzaremos considerando el caso en que la matriz A del sistema es diagonalizable. Esta situacionse presenta cuando todas las raıces λ del polinomio caracterıstico de A tienen multiplicidad algebraica(multiplicidad de la raız) es igual a la dimension del subespacio de vectores propios asociados a ese valorpropio; es decir, es igual a dim ker (A− λ Id).

El primer resultado es el siguiente:

Proposicion 25 Sea el sistema lineal homogeneo con coeficientes constantes (3.6) y sea v ≡ (v1, . . . , vn) ∈Rn un vector propio de A de valor propio real λ ∈ R. Entonces

x(t) = eλtv = eλt(v1, . . . , vn) ∈ C∞(I,Rn)

es solucion (real) del sistema.


( Dem. ) Basta con sustituir

L(eλtv) =ddteλtv −A(eλtv) = λeλtv − eλtAv = λeλtv − eλtλv = 0

Si el vector y el valor propio no son reales, el resultado se establece de forma similar.

Proposicion 26 Sea el sistema lineal homogeneo con coeficientes constantes (3.6) y sea v ≡ (v1, . . . , vn) ∈Cn un vector propio de A de valor propio λ = α+ iβ ∈ C, (α, β ∈ R). Entonces

x(t) = eλtv = eλt(v1, . . . , vn) ∈ C∞(I,Cn)

es solucion (compleja) del sistema.

( Dem. ) Igual que en el caso anterior.

Dado que el sistema de ecuaciones diferenciales es de coeficientes y funciones reales, tambien sus solucioneshan de poder expresarse por medio de funciones reales; luego en este ultimo caso hay que ver como obtenersoluciones reales a partir de la solucion compleja hallada. Entonces:

Proposicion 27 Sea el sistema lineal homogeneo con coeficientes constantes (3.6) y sea v ≡ (v1, . . . , vn) ∈Cn un vector propio de A de valor propio complejo λ = α+ iβ ∈ C, (α, β ∈ R). Entonces v ≡ v1 + iv2, conv1,v2 ∈ Rn, y

x1(t) = Re (x(t)) = eαt cos βtv1 − eαt sin βtv2 ∈ C∞(I,Rn)x2(t) = Im (x(t)) = eαt sin βtv1 + eαt cos βtv2 ∈ C∞(I,Rn)

son soluciones (reales) linealmente independientes del sistema.

( Dem. ) La primera parte es una consecuencia del resultado anterior y de la proposicion 20.

Veamos que son linealmente independientes.

Si λ = α+iβ es valor propio del vector propio v = v1 +iv2 (con v1,v2 ∈ Rn), tambien lo es su conjugadaλ = α− iβ, del vector propio v = v1 − iv2. En efecto, ya que

Av = λv ⇒ Av = Av = λv

(pues A = A por ser los coeficientes del sistema reales). Como λ 6= λ, entonces v y v son vectores linealmenteindependientes por ser vectores propios de autovalores diferentes, luego

0 6= det (v, v) = det (v1 + iv2,v1 − iv2) = det (v1,v1 − iv2) + det (iv2,v1 − iv2)= det (v1,v1)− i det (v1,v2) + i det (v2,v1) + det (v2,v2) = −2i det (v1,v2)

de donde det (v1,v2) 6= 0 y, por tanto, v1,v2 son linealmente independientes. Teniendo esto en cuentaresulta

det (x1(t),x2(t)) = det (eαt cos βtv1 − eαt sin βtv2, eαt sin βtv1 + eαt cos βtv2)= e2αt cos βt sin βtdet (v1,v1) + e2αt cos2 βtdet (v1,v2)−e2αt sin2 βtdet (v2,v1)− e2αt cos βt sin βtdet (v2,v2)

= e2αtdet (v1,v2)(sin2 βt+ cos2 βt) = e2αtdet (v1,v2) 6= 0

luego x1(t),x2(t) son linealmente independientes.

Teniendo todo esto en cuenta, para obtener la solucion general de un sistema de n ecuaciones diferencialeslineal homogeneo con coeficientes constantes hara falta unicamente disponer de n vectores propios de Alinealmente independientes. Entonces:


Teorema 16 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homogeneo con coeficientes constantes(3.6). Sea v1, . . . ,vn una base de vectores (en Rn o en Cn) formada por vectores propios de A y λ1, . . . , λnsus valores propios respectivos, (que pueden ser reales o complejos, distintos o repetidos). Entonces lasfunciones

x1(t) = eλ1tv1, . . . ,xn(t) = eλntvn

forman una base de ker L (quizas en C) y, por consiguiente, det (x1(t), . . . ,xn(t)) 6= 0, ∀t.

( Dem. ) Se obtiene como consecuencia inmediata de los anteriores resultados.

Observacion:

• En el caso en que la base de la proposicion anterior no sea real, es posible hallar una base de funcionesreales aplicando la proposicion 27. En efecto, considerese el vector propio vi y su conjugado vi, cuyosautovalores son λi ∈ C y su conjugado λi, respectivamente. Tomando la parte real e imaginaria deeλitvi se obtienen dos funciones reales linealmente independientes, mientras que si se toman la partereal e imaginaria de eλitvi se obtienen dos funciones reales linealmente independientes entre si, perolinealmente dependientes de las dos anteriores (de este modo, el numero final de funciones solucion esel mismo).

Concluyendo, la solucion general de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogeneo con coefi-cientes constantes se obtiene del siguiente modo:

1. Se calculan los valores y vectores propios de la matriz A del sistema.

2. Para cada vector propio vi se construye la funcion xi(t) = eλitvi (y si es complejo, a partir de el o suconjugado, las funciones reales xi1(t) = Re (xi(t)), xi2(t) = Im (xi(t))).

3. Si se tienen n vectores propios linealmente independientes (esto es, la matriz A es diagonalizable), seconstruye la solucion general como una combinacion lineal (con coeficientes constantes) de las anterioresfunciones.

3.4.3 Estudio del sistema homogeneo (con matriz del sistema no diagonalizable)

En el caso en que la matriz A de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogeneo con coeficientesconstantes no sea diagonalizable, no va a ser posible hallar una base de Rn o Cn formada por vectores propiosde la misma y, por consiguiente, no es aplicable el teorema 16 para encontrar la solucion general del sistema.

Esta situacion se presenta cuando hay alguna raız λ del polinomio caracterıstico de A cuya multiplicidadalgebraica (multiplicidad de la raız) es mayor que la dimension del subespacio de vectores propios asociadosa ese valor propio; es decir, mayor que dim ker (A− λ Id).

Para resolver este problema se intentara seguir un metodo analogo al caso de las ecuaciones diferencialesde orden superior cuando habıa alguna raız del polinomio caracterıstico con multiplicidad mayor que 1. En

tal caso, se tratara de encontrar soluciones del tipo x(t) =n−1∑i=0

vitieλt .

En primer lugar se tiene:

Lema 4 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homogeneo con coeficientes constantes (3.6)tal que el polinomio caracterıstico de A tiene una o varias raıces λ de multiplicidad µ ≥ 1. Entoncesdim ker (A− λ Id)µ = µ.

( Dem. ) Por simplicidad, se demostrara para el caso en que el polinomio caracterıstico de A tiene unasola raız λ de multiplicidad µ = n. El polinomio caracterıstico de la matriz A, P(A) = (−1)n(x−λ)n, anuladicha matriz (teorema de Cayley-Hamilton), luego (A− λ Id)n = 0 y de aquı

dim ker (A− λ Id)n = n− rg (A− λ Id)n = n


En el caso en que haya mas de una raız la demostracion se generaliza de manera inmediata.

Como ya se ha dicho, la situacion de partida es que no existe una base de Rn o Cn formada por vectorespropios, ya que dim ker (A− λ Id) < µ. Como

ker (A− λ Id) ⊆ ker (A− λ Id)2 ⊆ . . . ⊆ ker (A− λ Id)m ⊆ . . . ⊆ ker (A− λ Id)µ

resulta que las respectivas dimensiones de estos subespacios verifican las desigualdades

d1 < d2 < . . . < dm = dm+1 = . . . = dµ = µ

Entonces, el procedimiento se basa en hallar una base de ker (A − λ Id)µ, para lo cual se puede seguir elsiguiente procedimiento:

1. Hallar una base de ker (A− λ Id).

2. Completar la base hallada hasta obtener una de ker (A− λ Id)2.

3. Iterar el proceso hasta obtener una base de ker (A− λ Id)µ.

Entonces la obtencion de la solucion general se basa en el siguiente resultado:

Proposicion 28 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homogeneo con coeficientes constantes(3.6). Sea λ una raız del polinomio caracterıstico de la matriz del sistema A, de multiplicidad µ > 1, y seanv1, . . . ,vr vectores de una base de ker (A−λ Id)µ pero que no pertenecen a ker (A−λ Id)µ−1. Entonces, paracada vector vj (j = 1, . . . , r), las funciones

xj1(t) = eλt(A− λ Id)µ−1vj

xj2(t) = eλt(t(A− λ Id)µ−1vj + (A− λ Id)µ−2vj)

xj3(t) = eλt(t2

2!(A− λ Id)µ−1vj + t(A− λ Id)µ−2vj + (A− λ Id)µ−3vj

)...

xjm(t) = eλt(

tm−1

(m− 1)!(A− λ Id)µ−1vj + . . .+ t(A− λ Id)vj + vj

)son linealmente independientes y, ademas, son la soluciones del sistema homogeneo.

( Dem. ) En primer lugar, estas funciones son linealmente independientes, pues

det(xj1(0), . . . ,xjm(0)) = det((A− λ Id)µ−1vj , . . . , (A− λ Id)vj ,vj) 6= 0

pues los vectores columna son linealmente independientes. En efecto,

α1(A− λ Id)µ−1vj + . . .+ αµ−1(A− λ Id)vj + αµvj = 0 =⇒0 = (A− λ Id)µ−1(α1(A− λ Id)µ−1vj + . . .+ αµ−1(A− λ Id)vj + αµvj) = αµ(A− λ Id)µ−1vj

y como (A−λ Id)µ−1vj 6= 0 esto implica que αµ = 0. Repitiendo el razonamiento multiplicando por el factor(A− λ Id)µ−2 se obtendrıa que αµ−1 = 0 e iterando el proceso lo mismo para el resto de coeficientes αi.

Ademas son soluciones del sistema homogeneo, pues

xji′(t) = λxji (t) + xji−1(t) y (A− λ Id)xji (t) = xji−1(t)

de dondeAxji (t) = λxji (t) + xji−1(t) = xji

′(t)

De esta manera, el calculo de n soluciones linealmente independientes de un sistema de ecuacionesdiferenciales lineal homogeneo con coeficientes constantes en el caso en que la matriz A del sistema no esdiagonalizable se resuelve aplicando los siguientes pasos:


1. Hallar todos los valores propios de A. Entonces, para cada valor propio λ (con multiplicidad µ > 1):

2. Se buscan todos los vectores propios de A, esto es, los vectores vj0 (j0 = 1, . . . , d1) de una base deker (A− λ Id). Si A tiene solo d1 < n vectores propios linealmente independientes, de acuerdo con losresultados del apartado anterior, se dispone de d1 soluciones linealmente independientes del tipo

eλtvj0

3. Se buscan todos los vectores vj1 (j1 = 1, . . . , d2 − d1) de una base de ker (A− λ Id)2 tales que

(A− λ Id)2vj1 = 0 pero (A− λ Id)vj1 6= 0

De acuerdo con la anterior proposicion, para cada uno de estos vectores hay una solucion del tipo

eλt(t(A− λ Id)vj1 + vj1)

y todas ellas (d2−d1) son linealmente independientes entre si y en relacion a las d1 del punto anterior.

4. Si aun no se tienen n soluciones linealmente independientes, se buscan todos los vectores vj2 (j2 =1, . . . , d3 − d2 − d1) de una base de ker (A− λ Id)3tales que

(A− λ Id)3vj2 = 0 pero (A− λ Id)2vj2 6= 0

De acuerdo con la anterior proposicion, para cada uno de estos vectores hay una solucion del tipo

eλt(t2

2!(A− λ Id)2vj2 + t(A− λ Id)vj2 + vj2

)y todas ellas (d3 − d2 − d1) son linealmente independientes en relacion a las de los puntos anteriores(segun se ha probado en la proposicion precedente).

5. Se itera el proceso hasta completar las n soluciones linealmente independientes 2.

Comentario:

• Otra manera equivalente de proceder serıa la siguiente: se buscan todos los vectores vj (j = 1, . . . , µ)de una base de ker (A−λ Id)µ (que obviamente contendra vectores vj0 ,vj1 ,vj2 . . . de bases de ker (A−λ Id), ker (A− λ Id)2, . . . respectivamente). Entonces, para cada uno de esos vectores hay una soluciondel tipo

eλt(

vj + t(A− λ Id)vj +t2

2!(A− λ Id)2vj + . . .

)y todas ellas son linealmente independientes. Observese que cuando vj coincide con alguno de losvectores vj0 ,vj1 ,vj2 . . . se van obteniendo, en particular, las soluciones anteriores de manera sucesiva.

3.4.4 Estudio del caso general

Finalmente, se va a analizar el problema de encontrar la solucion general de un sistema de n ecuacionesdiferenciales lineal no homogeneo con coeficientes constantes

L(x(t)) ≡ x′(t)−Ax(t) = f(t) (3.7)

donde A es una matriz de constantes como (3.5).

La unica cuestion es como hallar una solucion particular del sistema. Para ello se puede utilizar el metodode variacion de constantes. Sin embargo, al igual que ya se hizo en el caso de la ecuacion diferencial linealcon coeficientes constantes, tambien se puede emplear el metodo del anulador o de la conjetura prudente,cuando el termino independiente f(t) tiene la propiedad de que se anula bajo la accion de algun operadorvectorial con coeficientes constantes.

Daremos, a continuacion, el resultado de la aplicacion de dicho metodo en un caso particular:2A este respecto, existe un resultado de Algebra lineal que garantiza que este algoritmo siempre funciona, dando ademas

una cota superior del numero de pasos que se requiere para alcanzar el objetivo (vease M. Braun, Ecuaciones Diferenciales ysus Aplicaciones, Grupo Ed. Iberoamerica (1990))


Proposicion 29 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal no homogeneo con coeficientes con-stantes (3.7). Si

f(t) = eλt(vptp + . . .+ v1t+ v0)

donde λ no es valor propio de la matriz del sistema A y vi ∈ Rn (0 ≤ i ≤ p), entonces una solucionparticular del sistema es

xP (t) = eλt(uptp + . . .+ u1t+ u0)

donde

up = (λ Id−A)−1vp

up−1 = (λ Id−A)−1(vp−1 − pup)up−2 = (λ Id−A)−1(vp−2 − (p− 1)up−1)

...u0 = (λ Id−A)−1(v0 − u1)

(observese que (λ Id−A) es inversible ya que λ no es valor propio de A).

( Dem. ) Es una mera cuestion de calculo (algo tedioso).

(Veanse ejemplos en la coleccion de problemas).

Chapter 4

Estudio Cualitativo de EcuacionesDiferenciales

4.1 Introduccion

En este capıtulo se va a abordar el estudio cualitativo de los sistemas de ecuaciones diferenciales (de primerorden).

Se comenzara dando una serie de conceptos generales que incluyen el planteamiento del problema ylas primeras nociones y resultados de puntos de equilibrio, estabilidad y comportamiento asintotico desoluciones, asi como los conceptos de espacio de fases, orbitas y curvas integrales de un sistema. Se estudia,a continuacion, el problema de la estabilidad. Tras establecer con todo rigor la definicion y un resultadode caracter general, se analiza primero la estabilidad de los sistemas lineales y, en particular, la de lossistemas lineales homogeneos con coeficientes constantes, para pasar a investigar la de los sistemas linealescompletos. Finalmente, se considera la estabilidad de sistemas autonomos en general y se da un resultadosobre estabilidad cuando se efectuan pequenas variaciones del segundo miembro de una ecuacion diferencial.


4.2 Conceptos generales

4.2.1 Planteamiento del problema

En este capıtulo se va a comenzar considerando sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden de tipogeneral

x′(t) = f(t,x(t)) (4.1)

dondex(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) , f(t,x(t)) = (f1(t,x(t)), . . . , fn(t,x(t)))

siendo el segundo miembro una funcion vectorial, no necesariamente lineal, de las variables x1, . . . , xn.

Desgraciadamente, en general, no se conocen metodos analıticos de resolucion de estas ecuaciones. Afor-tunadamente, en la mayorıa de los casos practicos, no es necesario conocer explıcitamente las soluciones delsistema, sino que basta con obtener resultados de tipo cualitativo sobre el comportamiento del sistema.

Un ejemplo tıpico lo constituyen los modelos que describen la competencia entre especies (modelosdepredador-presa o similares). El problema se plantea en los siguientes terminos: sean x1(t) y x2(t) laspoblaciones (en funcion del tiempo) de dos especies que compiten entre si por los recursos existentes en su“habitat”, de tal manera que sus respectivas tasas de crecimiento-decrecimiento estan regidas por un sistema

49


de ecuaciones diferenciales del tipo (4.1). De modo general, no se va a estar interesado realmente en losvalores precisos de x1(t) y x2(t) en cada instante t sino, mas bien, en las propiedades cualitativas de estasfunciones. Concretamente, se intentara hallar respuesta a las siguientes cuestiones:

1. ¿Existen valores ξ1, ξ2 de x1(t) y x2(t) respectivamente para los que ambas especies coexisten en unestado estable? En otra palabras, ¿existen ξ1, ξ2 ∈ R tales que x1(t) = ξ1 y x2(t) = ξ2 es una solucionde (4.1)?

2. Suponiendo que en un instante dado ambas especies estan coexistiendo en equilibrio, ¿que sucede si seincrementa ligeramente el numero de miembros de una de ellas?: ¿continua habiendo equilibrio o unade ellas se impone sobre la otra?

3. Suponiendo que x1(t) y x2(t) tienen valores dados en t = 0; ¿que ocurre cuando t → ∞?: ¿prevaleceuna especie sobre la otra?, ¿se tiende a una situacion de equilibrio? o, como mınimo, ¿se tiende a unasolucion periodica?

4.2.2 Puntos de equilibrio. Estabilidad. Comportamiento asintotico

Comenzaremos establececiendo la siguiente nomenclatura:

Definicion 20 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales de la forma (4.1).

1. Se denominan puntos de equilibrio del sistema a los puntos ξ ≡ (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn tales que

x(t) ≡ (x1(t), . . . , xn(t)) = (ξ1, . . . , ξn) ≡ ξ

es solucion del sistema.

2. Se dice que las soluciones son estables sii, dada una solucion del sistema x1(t), para toda otra solucionx2(t) tal que para un valor inicial t0 y para todo i = 1, . . . , n, x1

i (t0) y x2i (t0) tienen valores muy

cercanos, se cumple que los valores x1i (t) y x2

i (t) permanecen proximos, para todo t > t0 y para todoi = 1, . . . , n.

3. Si x(t) es una solucion del sistema, se denomina comportamiento asintotico de la misma a su com-portamiento cuando t→∞; es decir, al resultado de hacer lim

t→∞x(t) .

Ası pues, nuestro interes sera estudiar las siguientes propiedades de las soluciones de (4.1):

1. Estudiar la existencia de los posibles puntos de equilibrio del sistema.

2. Estudiar la estabilidad de las soluciones.

3. Estudiar el comportamiento asintotico de las soluciones.

Es importante destacar, a este respecto que, a menudo, se puede encontrar una respuesta satisfactoria aestas cuestiones sin necesidad de resolver explıcitamente el sistema de ecuaciones. Ası, en lo referente a lacuestion de los puntos de equilibrio se tiene el resultado siguiente:

Proposicion 30 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (4.1) en I ⊆ R. x0 ∈ Rn esun punto de equilibrio del sistema si, y solo si, f(t,x0) = 0, ∀t ∈ I, (o bien f(x0) = 0, si f no dependeexplıcitamente de t).

( Dem. ) Basta observar que, considerada una solucion x(t), se tiene que x′(t) = 0 si, y solo si, x(t) = x0;esto es, es constante.

Comentario:


• Como consecuencia, observese que todo punto de equilibrio de un sistema es un punto crıtico de lasfunciones x(t) solucion (es decir, de las curvas integrales).

El estudio de la estabilidad de las soluciones constituye el problema central de la teorıa cualitativa delas ecuaciones diferenciales, ya que tiene una importancia capital en todas las aplicaciones fısicas, debido alhecho de que no es posible, casi nunca, poder medir con exactitud las condiciones iniciales del problema.Conviene, por tanto, saber si pequenas variaciones de estas alteran significativamente el comportamiento delas soluciones.

La cuestion de la estabilidad es usualmente muy difıcil de analizar, ya que no se conoce explıcitamentela solucion del sistema. El unico caso que es accesible al estudio es cuando la funcion vectorial f no dependeexplıcitamente de t. En tal caso:

Definicion 21 Un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (4.1) es un sistema autonomo sii lafuncion f no depende explıcitamente de la variable independiente t.

Incluso para sistemas autonomos, solo hay dos casos en los cuales se ha completado el estudio de laestabilidad:

1. Cuando f(x) = Ax; esto es, para sistemas lineales homogeneos y completos con coeficientes constantes.

2. Cuando, no siendo el sistema lineal homogeneo con coeficientes constantes, solo interesa el estudio dela estabilidad de las soluciones de equilibrio.

Estos seran los que se estudiaran en el resto del capıtulo.

Puesto que, de acuerdo con lo dicho, en adelante solo se van a considerar sistemas autonomos, es impor-tante destacar el siguiente resultado:

Proposicion 31 Todo sistema de n ecuaciones diferenciales no autonomo de la forma (4.1) puede trans-formarse en un sistema equivalente de n+ 1 ecuaciones diferenciales autonomo.

( Dem. ) Si el sistema no autonomo de partida es

dx1

dt= f1(t, x1, . . . , xn)

...dxndt

= fn(t, x1, . . . , xn)

basta con introducir la funcion x0(t) = t, con lo cual se puede escribir el sistema como

dx0

dt= 1

dx1

dt= f1(x0, x1, . . . , xn)

...dxndt

= fn(x0, x1, . . . , xn)

4.2.3 Espacio de fases. Orbitas

Considerese un sistema de n ecuaciones diferenciales de la forma (4.1), con condiciones iniciales dadas

x(t0) = x0 ≡ (x01, . . . , x

0n)


Si las funciones f1, . . . , fn no dependen explıcitamente de t (sistema autonomo), se puede dar una inter-pretacion de las soluciones x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) del problema que es particularmente comoda (y nece-saria) para abordar el estudio de la estabilidad. Ası, en el espacio euclıdeo Rn, de coordenadas rectangularesx1, . . . , xn, la solucion x1 = x1(t), . . . , xn = xn(t) determina la ley de movimiento de un punto quesigue una cierta trayectoria segun la variacion del parametro t, que en esta interpretacion se identificaracon el tiempo. De este modo, la derivada x′(t) representa la velocidad de un punto de la trayectoria yx′1(t), . . . , x′n(t) sus componentes. Esta es una interpretacion muy natural y comoda en ciertos problemas deFısica y Mecanica. Entonces:

Definicion 22 En la interpretacion anterior,:

1. El sistema x′(t) = f(t,x(t)) se denomina sistema dinamico.

2. El espacio E ⊆ Rn formado por todos los puntos que pueden ser condiciones iniciales de un sis-tema dinamico se denomina espacio de fases del sistema. (Sus coordenadas son, por consiguiente,x1, . . . , xn).

3. La curva (t,x(t)) = (t, x1(t), . . . , xn(t)) ⊂ R×E se denomina trayectoria de fases u orbita del sistema.

La curva x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) ⊂ E se denomina curva integral del sistema.

4. La representacion de las orbitas del sistema (en E) se denomina diagrama de fases del sistema.

Un sistema dinamico determina, pues, en el espacio Rn un campo de velocidades: x′(t).

• Si la funcion vectorial f = (f1, . . . , fn) depende explıcitamente de t, entonces este campo de velocidadescambia con el tiempo y las trayectorias de fases pueden intersectarse.

• Si, por el contrario, la funcion vectorial f = (f1, . . . , fn) no depende explıcitamente de t, entonces elcampo de velocidades es estacionario, es decir, no cambia con el tiempo. En este caso, se tiene elsiguiente resultado:

Proposicion 32 Sea un sistema dinamico autonomo cuyo espacio de fases es E ⊆ Rn y tal que se cumplenlas hipotesis del teorema de existencia y unicidad. Entonces por cada punto x0 ∈ E del espacio de fasespasa una sola trayectoria del sistema (es decir, las orbitas de un sistema autonomo no se cruzan en ningunpunto).

( Dem. ) Sean x1(t) y x2(t) sendas soluciones tales que x1(t0) = x0 y x2(t1) = x0. Entonces la primera essolucion del problema de valor inicial

x′(t) = f(x(t)) , x(t0) = x0

y la segunda lo es dex′(t) = f(x(t)) , x(t1) = x0

Entonces, teniendo en cuenta que el sistema es autonomo, resulta que x3(t) := x2(t + t1 − t0) es tambiensolucion del primer problema de valor inicial, por consiguiente se tendra que x3(t) = x2(t+ t1− t0) = x1(t),por lo que las orbitas de x1(t) y x2(t) han de ser las mismas.

Ejemplo:

• El sistema de ecuacionesdxdt

= −y ,dydt

= x

tiene la siguiente familia de soluciones

x(t) = a cos (t+ b) , y(t) = a sin (t+ b)


luego las curvas integrales del sistema son helices en R3

C(t) = (t, a cos (t+ b), a sin (t+ b))

y, como se cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad, por cada punto (t, x, y) pasauna sola curva integral.

Si se considera t como parametro, en el plano de fases R2 de coordenadas (x, y) se tiene como trayec-torias de fases una familia de circunferencias con centro en el origen,

c(t) = (a cos (t+ b), a sin (t+ b))

cada una de las cuales es la proyeccion de una curva integral del sistema. Como se cumplen las condi-ciones del teorema de existencia y unicidad estas curvas no se cortan. Si se fija a se obtiene una trayec-toria determinada, mientras que fijar b equivale a elegir el instante inicial; esto es, una parametrizaciondel movimiento en concreto. Observese que la ecuacion de la trayectoria, x2 + y2 = a2, no depende deb, lo cual significa que para una misma trayectoria todos los movimientos (parametrizaciones del tipot+ b) son equivalentes.

En el caso especial a = 0, la trayectoria se reduce a un punto que es un punto de reposo del sistema,dado que no evoluciona con t.

Una de las ventajas de trabajar con las trayectorias u orbitas de un sistema en vez de con la solucionmisma del sistema (esto es, las curvas integrales), es que, a menudo, es posible conocer aquellas sin necesidadde resolver el sistema; es decir, sin obtener las curvas integrales. En efecto, por simplicidad se va a mostrarel procedimiento en el caso particular de sistemas de dos ecuaciones (n = 2).

Proposicion 33 Las orbitas del sistema de ecuaciones diferenciales autonomo

dxdt

= f(x, y)

dydt

= g(x, y) (4.2)

son las curvas integrales de la ecuacion diferencial de primer orden

dydx

=g(x, y)f(x, y)

(4.3)

( Dem. ) Sea x = x(t), y = y(t) una solucion del sistema dado y, por tanto, (x(t), y(t)) una orbita delsistema. Sea t = t1 tal que x′(t1) 6= 0 entonces, de acuerdo con el teorema de la funcion implıcita, se puededespejar t como funcion de x en la primera ecuacion, t = t(x), en un entorno del punto x1 = x(t1). De estemodo, para todo t proximo a t1, la orbita de la solucion dada, expresada en forma explıcita, viene dada porla funcion y = y(t(x)) ≡ Y (x). Entonces, aplicando la regla de la cadena y el teorema de la funcion inversaa esta funcion resulta

dydx

=dydt

dtdx

=dydtdxdt

=g(x, y)f(x, y)

(4.4)

cuya solucion es, obviamente, y = Y (x)+C. Estas funciones, representadas en R2 son las curvas integrales dela ecuacion (4.4) que, por construccion, coinciden con las orbitas del sistema dado. Con ello queda probadoel resultado.

Ası pues, para hallar las orbitas del sistema autonomo de primer orden (4.2) basta con resolver la ecuaciondiferencial de primer orden (4.3). Esta ecuacion da la pendiente de la recta tangente a la trayectoria delsistema (4.2) que pasa por el punto (x, y), siempre que en dicho punto las funciones f y g no se anulensimultaneamente (si ası fuera el caso, el punto en cuestion serıa un punto crıtico y por el no pasarıa ningunaorbita).

Comentarios:

• Observese que hay una sutil diferencia entre las orbitas de (4.2) y las curvas integrales de (4.3),y es que, mientras que las primeras son curvas orientadas (con la orientacion natural dada por laparametrizacion), las segundas no lo son.


• De la ecuacion de las trayectorias obtenida de esta manera, que por tanto estan dadas, en general,en forma implıcita, podra obtenerse la solucion del sistema de partida solo si es posible hallar unaparametrizacion de dicha familia de curvas que satisfaga el sistema original.

4.2.4 Estabilidad y estabilidad asintotica de soluciones

En esta seccion se comienza a analizar el problema de la estabilidad de los sistema de ecuaciones diferenciales(autonomos).

x′(t) = f(x(t)) (4.5)

Empezaremos precisando algo mas la nocion de estabilidad establecida en la definicion 20.

Definicion 23 (Liapunov): Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales (autonomo o no) y una solucion(orbita) del sistema x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)).

1. x(t) es una solucion estable sii, para todo ε ∈ R+, existe δ ≡ δ(ε) ∈ R+ tal que, para cualquier soluciony(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) que en t0 satisfaga que |yi(t0)−xi(t0)| < δ, (para todo i = 1, . . . , n), se cumpleque |yi(t)− xi(t)| < ε, en cualquier t > t0.

2. x(t) es una solucion asintoticamente estable sii:

(a) Es una solucion estable.

(b) Existe δ ∈ R+ tal que, para cualquier solucion y(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) que en t0 satisfaga que|yi(t0)− xi(t0)| < δ, (para todo i = 1, . . . , n), se cumple que

limt→∞

|yi(t)− xi(t)| = 0

Observese que una solucion es asintoticamente estable si, y solo si, cualquier otra que en t0 permaneceproxima a la dada, para cualquier otro valor t > t0, no solo sigue permaneciendo proxima, sino que ademasse confunde con la inicial cuando t→∞.

Ejemplo: Considerese el sistema formado por el pendulo simple en el plano. Su ecuacion de movimientoes

d2θ

dt2+g

lsin θ = 0

que, poniendo x1 = θ, se transforma en el siguiente sistema de primer orden:

dx1

dt= x2 ;

dx2

dt= −g

lsinx1

Este sistema tiene dos soluciones de equilibrio que son

x1 = 0 , x2 = 0 y x1 = π , x2 = 0

las cuales tienen muy diferentes propiedades:

• Si se perturba ligeramente la primera de ellas (bien desplazando el pendulo de su posicion de equilibrio,bien imprimiendole una pequena velocidad), el pendulo ejecuta pequenas oscilaciones en torno a x1 = 0.

Se dice, entonces, que esta posicion es de equilibrio estable.

• Si se perturba ligeramente la segunda de ellas (de cualquiera de ambos modos), o bien el pendulo ejecutaoscilaciones de gran amplitud en torno a x1 = 0, o bien gira indefinidamente.

Se dice, entonces, que esta posicion es de equilibrio inestable.

En las siguientes secciones se analizara la estabilidad y la estabilidad asintotica de las soluciones de lossistemas de ecuaciones diferenciales lineales y, en particular, con coeficientes constantes, ya que en este casoes posible hallar la solucion analıticamente.


4.3 Estabilidad de sistemas lineales

4.3.1 Estabilidad de sistemas lineales homogeneos

Considerese un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogeneo

x′(t) = A(t)x(t) (4.6)

Un sistema de estas caracterısticas siempre tiene como solucion particular x0(t) = 0. Entonces, el siguienteteorema relaciona la estabilidad de cualquier solucion con la de esta.

Teorema 17 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogeneo del tipo (4.6).

1. Si la solucion x(t) = 0 es estable, entonces cualquier otra solucion es tambien estable.

2. Si la solucion x(t) = 0 es asintoticamente estable, entonces cualquier otra solucion es tambienasintoticamente estable.

3. Si la solucion x(t) = 0 es inestable, entonces cualquier otra solucion es tambien inestable.

4. Si la solucion x(t) = 0 es estable pero no asintoticamente estable, entonces cualquier otra solucion estambien estable pero no asintoticamente estable.

( Dem. )

1. Si la solucion x0(t) = 0 es estable, entonces, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, para toda solucion y(t) tal que|yi(t0)| < δ (∀i), se cumple que |yi(t)| < ε, ∀t > t0.

Sea x(t) cualquier otra solucion. Se ha de probar que es estable. Sea ε > 0 y cualquier solucion z(t)tal que |zi(t0)− xi(t)| < δ (∀i), entonces, tomando y(t) := x(t)− z(t) es tambien solucion (por ser elsistema lineal) y satisface las condiciones del parrafo anterior, luego se tiene que, ∀t > t0 y ∀i

|yi(t)| = |zi(t0)− xi(t)| < ε

2. Si la solucion x0(t) = 0 es asintoticamente estable entonces es estable por definicion y, por el apartadoanterior, cualquier solucion x(t) es tambien estable. Hay que ver que tambien lo es asintoticamente.Por serlo x0(t) = 0, ∃δ > 0 tal que, para toda solucion y(t) tal que |yi(t0)| < δ (∀i), se cumpleque lim

t→∞|yi(t)| = 0 . Sea cualquier solucion z(t) tal que |zi(t0) − xi(t)| < δ (∀i), entonces, tomando

y(t) := x(t)− z(t) es tambien solucion (por ser el sistema lineal) y satisface las condiciones del parrafoanterior, luego se tiene que

limt→∞

|yi(t)| = limt→∞

|zi(t0)− xi(t)| = 0

3. Se va a probar la negacion del enunciado; esto es, que si existe alguna solucion x(t) estable, entoncesx0(t) = 0 es estable.

Sea y(t) una solucion cualquiera proxima a x0(t) = 0 en t0, entonces z(t) = y(t)+x(t) es otra solucion(por ser el sistema lineal) proxima a x(t) en t0 y, por consiguiente, para todo t (ya que x(t) es estable).Por tanto, y(t) permanece proxima a x0(t) = 0 para todo t > t0, luego x0(t) = 0 es estable.

4. Analoga a la del apartado anterior.

Ası pues, para estudiar la estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogeneo bastacon analizar la de la solucion nula. En el siguiente apartado se hara este analisis para sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales homogeneos con coeficientes constantes.


4.3.2 Estabilidad de sistemas lineales homogeneos con coeficientes constantes

Considerese un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogeneo con coeficientes constantes (y, por tanto,autonomo)

x′(t) = Ax(t) (4.7)

Vamos a estudiar, por simplicidad, el caso en que A ∈ M2×2(R); es decir, sistemas de dos ecuacionesdiferenciales (a fin de poder hacer razonamientos sobre sus orbitas, que estan en el plano R2). Explıcitamenteescrito el sistema es

dxdt

= a11x(t) + a2

1y(t)

dydt

= a12x(t) + a2

2y(t)

y se pueden distinguir los siguientes casos:

1. A tiene valores propios reales, λ1, λ2 ∈ R, y detA 6= 0 (es decir, ninguno de ellos es nulo).

En este caso, el unico punto de equilibrio del sistema es (0, 0). Se pueden distinguir los siguientessubcasos:

(a) λ1 > λ2 > 0 (ambos son positivos y distintos).Si v1,v2 ∈ R2 son los vectores propios correspondientes, la solucion general es

x(t) = c1eλ1tv1 + c2e

λ2tv2 ≡(x(t)y(t)

)• Si t→ +∞ entonces x(t), y(t)→∞ (positivo o negativo).• Si t→ −∞ entonces x(t), y(t)→ 0.

Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucion inestable,luego toda solucion es inestable.Se dice, entonces, que el punto de equilibrio es un nodo inestable.

(b) λ1 < λ2 < 0 (ambos son negativos y distintos).Si v1,v2 ∈ R2 son los vectores propios correspondientes, la solucion general es


λ2tv2 ≡(x(t)y(t)

)• Si t→ +∞ entonces x(t), y(t)→ 0.• Si t→ −∞ entonces x(t), y(t)→∞ (positivo o negativo).

Entonces, del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucionasintoticamente estable, luego toda solucion es asintoticamente estable.Se dice, entonces, que el punto de equilibrio es un nodo estable.

(c) λ1 < 0 < λ2 (uno es positivo y otro negativo).Si v1,v2 ∈ R2 son los vectores propios correspondientes, la solucion general es


λ2tv2 ≡(x(t)y(t)

)Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucion inestable,luego toda solucion es inestable.Se dice, en este caso, que el punto de equilibrio es un punto de silla.

(d) λ1 = λ2 ≡ λ > 0 (ambos son positivos e iguales).Hay que distinguir dos posibilidades:

i. Hay dos vectores propios v1,v2 linealmente independientes; esto es, dim ker (A− λId) = 2.En este caso la solucion general es

x(t) = (c1v1 + c2v2)eλt ≡(x(t)y(t)

)


• Si t→ +∞ entonces x(t), y(t)→∞ (positivo o negativo).• Si t→ −∞ entonces x(t), y(t)→ 0.

Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucioninestable, luego toda solucion es inestable.El punto de equilibrio es un nodo inestable.

ii. Hay un solo vector propio v1 ∈ R2 linealmente independiente; esto es, dim ker (A−λId) = 1.Se completa una base de R2 con un segundo vector v2 por el metodo descrito en el capıtuloanterior, de modo que la solucion general es

x(t) = (c1v1 + c2(tv1 + v2))eλt ≡(x(t)y(t)

)• Si t→ +∞ entonces x(t), y(t)→∞ (positivo o negativo).• Si t→ −∞ entonces x(t), y(t)→ 0.

Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucioninestable, luego toda solucion es inestable.El punto de equilibrio es un nodo inestable.

(e) λ1 = λ2 ≡ λ < 0 (ambos son negativos e iguales).Hay que distinguir dos posibilidades:

i. Hay dos vectores propios v1,v2 linealmente independientes; esto es, dim ker (A− λId) = 2.En este caso la solucion general es

x(t) = (c1v1 + c2v2)eλt ≡(x(t)y(t)


Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucionasintoticamente estable, luego toda solucion es asintoticamente estable.El punto de equilibrio es un nodo estable.

ii. Hay un solo vector propio v1 ∈ R2 linealmente independiente; esto es, dim ker (A−λId) = 1.Se completa una base de R2 con un segundo vector v2 por el metodo descrito en el capıtuloanterior, de modo que la solucion general es

x(t) = (c1v1 + c2(tv1 + v2))eλt ≡(x(t)y(t)


Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucionasintoticamente estable, luego toda solucion es asintoticamente estable.El punto de equilibrio es un nodo estable.

2. A tiene valores propios complejos, α± iβ ∈ C, y detA 6= 0 (es decir, ninguno de ellos es nulo).

El unico punto de equilibrio del sistema sigue siendo (0, 0).

Sean v1± iv2 (con v1,v2 ∈ R2) los vectores propios correspondientes a ambos autovalores. La soluciondel sistema es

x(t) = eαt((c1 cos βt+ c2 sin βt)v1 + (c2 cos βt− c1 sin βt)v1) ≡(x(t)y(t)

)Hay que distinguir los siguientes subcasos:

(a) α > 0.

• Si t→ +∞ entonces x(t), y(t)→∞ (positivo o negativo).• Si t→ −∞ entonces x(t), y(t)→ 0.


Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucion inestable,luego toda solucion es inestable.Se dice que el punto de equilibrio es un foco inestable.

(b) α < 0.

• Si t→ +∞ entonces x(t), y(t)→ 0.• Si t→ −∞ entonces x(t), y(t)→∞ (positivo o negativo).

Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucionasintoticamente estable, luego toda solucion es asintoticamente estable.Se dice que el punto de equilibrio es un foco estable.

(c) α = 0.En este caso, la solucion del sistema es

x(t) = (c1 cos βt+ c2 sin βt)v1 + (c2 cos βt− c1 sin βt)v1 ≡(x(t)y(t)

)luego las soluciones son orbitas periodicas y, por tanto, son curvas cerradas 1. Del diagramade fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucion estable pero noasintoticamente estable, luego toda solucion es estable pero no asintoticamente estable.Se dice que el punto de equilibrio es un centro.

3. detA = 0. En este caso hay, al menos, un valor propio que es nulo.

Hay diversos casos a analizar:

(a) λ1 = 0, λ2 6= 0 (el segundo valor propio es no nulo).En este caso dim ker A = 1. Sea, entonces, v1 un vector base de ker A y sea v2 un vector propiocorrespondiente al valor propio λ2. Entonces la solucion general es

x(t) = c1v1 + c2eλ2tv2 ≡

(x(t)y(t)

)Se distinguen los dos siguientes casos:

i. λ2 > 0.Analizando en detalle la solucion se tiene que

x(t) = c1v11 + c2e

λ2tv21 , y(t) = c1v

12 + c2e

λ2tv22

Si c2 6= 0, eliminando el factor exponencial de ambas ecuaciones resulta

v12(y − c1v1

2) = v22(x− c1v1

1)

que es la ecuacion de una familia de rectas paralelas (cuyo vector director es v2. Observeseque, en este caso:• Si t→ +∞ entonces x(t), y(t)→∞ (positivo o negativo).• Si t→ −∞ entonces x(t)→ c1v

11 , y(t)→ c1v

12 .

Si c2 = 0 se obtienex(t) = c1v

11 , y(t) = c1v

12

que es una familia uniparametrica de puntos de equilibrio (inestable), los cuales se hallansobre la recta que pasa por el origen y tiene por vector director v1.Del diagrama de fases formado por estas trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucioninestable, luego toda solucion es inestable.Se dice que el punto de equilibrio es de equilibrio inestable.

ii. λ2 < 0.El analisis es analogo al del caso anterior salvo que ahora, cuando c2 6= 0,• Si t→ +∞ entonces x(t)→ c1v

11 , y(t)→ c1v

12 .

• Si t→ −∞ entonces x(t), y(t)→∞ (positivo o negativo).1Observese que no existen los lımites de x(t), y(t) cuando t→∞.


Entonces, del diagrama de fases formado por estas trayectorias se observa que x0(t) = 0es solucion estable pero no asintoticamente estable, luego toda solucion es estable pero noasintoticamente estable.Se dice que el punto de equilibrio es de equilibrio estable.

(b) λ1 = λ2 = 0 (ambos valores propios son nulos).Hay dos casos posibles:

i. dim ker A = 1.Sea, entonces, v1 un vector base de ker A y sea v2 un segundo vector que completa una basede R2. La solucion general es

x(t) = (c1 + c2t)v1 + c2v2 ≡(x(t)y(t)

)Si c2 6= 0, se trata de una familia de rectas paralelas (con vector director v1), para la cual• Si t→ +∞ entonces x(t), y(t)→∞ (positivo cuando c2 > 0 y negativo cuando c2 < 0).• Si t→ +∞ entonces x(t), y(t)→∞ (negativo cuando c2 > 0 y positivo cuando c2 < 0).

Si c2 = 0 es una familia de puntos de equilibrio (inestable), los cuales se hallan sobre la rectaque pasa por el origen y tiene por vector director v1.Del diagrama de fases formado por estas trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucioninestable, luego toda solucion es inestable.Se dice que el punto de equilibrio es de equilibrio inestable.

ii. dim ker A = 2.Sea, entonces, v1, v2 una base de ker A = R2. La solucion general es

x(t) = c1v1 + c2v2 ≡(x(t)y(t)

)que son todos los puntos del plano. Por consiguiente todos ellos son soluciones estables perono asintoticamente estables.Se trata de puntos de equilibrio indiferente.

A modo de resumen se tiene:

• Las soluciones son asintoticamente estables en todos los casos en que todos los valores propios tienenparte real negativa (casos 1.b, 1.e.i, 1.e.ii y 2.b).

• Las soluciones son estables pero no asintoticamente estables en todos los casos en que hay valorespropios que tienen parte real negativa y tambien los hay con parte real nula, pero en este ultimo casose cumple que dim ker (A− λId) = µ (multiplicidad de λ). (casos 2.c, 3.a.ii y 3.b.ii).

• Las soluciones son inestables en todos los casos en que hay algun valor propio que tiene parte realpositiva o nula, pero en este ultimo caso se cumple que dim ker (A − λId) < µ (multiplicidad de λ).(casos 1.a, 1.c, 1.d.i, 1.d.ii, 2.a, 3.a.i y 3.b.i).

Todo ello se puede generalizar a sistemas lineales homogeneos con coeficientes constantes de dn ecuaciones,enunciando el siguiente resultado:

Teorema 18 Sea un sistema lineal homogeneo con coeficientes constantes del tipo (4.7) con A ∈Mn×n(R).

1. Las soluciones del sistema son estables y asintoticamente estables si, y solo si, todos los valores propiostienen parte real negativa.

2. Las soluciones del sistema son estables pero no asintoticamnete estables si, y solo si, todos los valorespropios tienen parte real no positiva y hay alguno con parte real nula tal que dim ker (A − λId) = µ(multiplicidad del valor propio como raiz del polinomio caracterıstico).


3. Las soluciones del sistema son inestables si, y solo si, algun valor propio tiene parte real positiva onula pero, en este ultimo caso, dim ker (A − λId) < µ (multiplicidad del valor propio como raiz delpolinomio caracterıstico) 2.

Este teorema permite obtener resultados sobre la estabilidad de estos sistemas sin necesidad de hallar lasolucion: basta con estudiar las raıces de la ecuacion caracterıstica del sistema.

4.3.3 Criterio de Routh-Hurwitz

Segun se acaba de ver en el apartado anterior, el problema del estudio de la estabilidad de los sistemas deecuaciones lineales homogeneos con coeficientes constantes se ha reducido al analisis de los signos de laspartes reales de los valores propios o raıces de la ecuacion caracterıstica. Pero si esta es de grado elevado,su solucion puede ser muy difıcil. Es por ello que conviene disponer de metodos que permitan discernir elsigno de la parte real de las raıces sin necesidad de resolver la ecuacion caracterıstica. El mas significativode ellos es el siguiente teorema de Algebra lineal (que se enuncia sin demostrar):

Teorema 19 (de Hurwitz): Sea un polinomio de grado n con coeficientes reales

bnxn + bn−1x

n−1 + . . .+ b1x+ b0

con bn > 0. La c.n.s. para que todas sus raıces tengan parte real negativa es que todos los menores principales(∆i) de la siguiente matriz (de orden n) sean positivos

bn−1 bn 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0bn−3 bn−2 bn−1 bn 0 0 . . . 0 0 0 0 0bn−5 bn−4 bn−3 bn−2 bn−1 bn . . . 0 0 0 0 0

......

......

......

......

......

...0 0 0 0 0 0 . . . b0 b1 b2 b3 b40 0 0 0 0 0 . . . 0 0 b0 b1 b20 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 b0

Esta matriz se denomina matriz de Hurwitz.

Comentarios:

• Observese que ∆n = b0∆n−1, por lo que, si ∆n−1 > 0, entonces ∆n > 0 ⇔ b0 > 0.

• Para polinomios de grado alto la aplicacion de este criterio es complicada y existen otros alternativosy de mas facil ejecucion para estos casos.

4.3.4 Estabilidad de sistemas lineales completos con coeficientes constantes

Considerese ahora un sistema de ecuaciones diferenciales lineal completo con coeficientes constantes

x′(t) = Ax(t) + f(t) (4.8)

En lo que se refiere a la estabilidad de sus soluciones, se tiene el siguiente resultado:

Proposicion 34 Sea un sistema lineal completo. La estabilidad de sus soluciones es equivalente a la esta-bilidad de la solucion de equilibrio x0(t) = 0 del sistema lineal homogeneo asociado x′(t) = Ax(t).

2Este enunciado es equivalente al primero.


( Dem. ) En efecto, sean x1(t) y x2(t) dos soluciones del sistema completo proximas entre si en t0, entoncesx2(t)− x1(t) es solucion de x′(t) = Ax(t), y el resultado es inmediato.

A continuacion vamos a utilizar este y los anteriores resultados para analizar la estabilidad de las solu-ciones de una ecuacion diferencial lineal de orden n.

Proposicion 35 La estabilidad de las soluciones de una ecuacion diferencial lineal de orden n con coefi-cientes constantes

y(n)(t) + an−1y(n−1)(t) + . . .+ a1y

′(t) + a0y(t) = f(t)

depende de las raıces del polinomio caracterıstico de la ecuacion

p(λ) := λn + an−1λn−1 + . . .+ a1λ+ a0

En concreto, si A es la matriz del sistema lineal de primer orden con coeficientes constantes equivalente aesta ecuacion, se tiene que p(λ) = det(A− λId), y entonces:

1. Las soluciones de la ecuacion son estables y asintoticamente estables si, y solo si, todas las raıces tienenparte real negativa.

2. Las soluciones de la ecuacion son estables si, y solo si, todas las raıces tienen parte real no positiva yhay alguno con parte real nula tal que dim ker (A− λId) = µ (multiplicidad de la raız).

3. Las soluciones de la ecuacion son inestables si, y solo si, alguna raız tiene parte real positiva o nulapero, en este ultimo caso, dim ker (A− λId) < µ (multiplicidad de la raız) 3.

( Dem. ) La clave de la demostracion esta en convertir la ecuacion lineal de orden n en un sistema de necuaciones lineales de primer orden

dx0

dt= x1(t)

dx1

dt= x2(t)

...dxn−2

dt= xn−1(t)

dxn−1

dt= −an−1xn−1(t)− . . .− a1x1(t)− a0x0(t) + f(t)

donde x0 = y, x1 = y′, . . . , xn−1 = y(n−1); esto es, en forma vectorial,

x(t) = Ax(t) + f(t)

siendo

A =

0 1 0 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0...

......

......

0 0 0 . . . 0 1−a0 −a1 −a2 . . . −an−2 −an−1

; f(t) =

00...0f(t)

Entonces solo queda por probar que el polinomio caracterıstico de la matriz A y el de la ecuacion lineal dadason el mismo, con lo que el resultado es una consecuencia inmediata de la proposicion 34 y el teorema 18.Dicha prueba se hace por induccion:

• Si n = 2: Entonces

A =(

0 1−a0 −a1

)⇒ det (A− λId) = λ2 + a1λ+ a0 ≡ p(2)(λ)

3Este enunciado es equivalente al primero.


• Si es cierto para n− 1, entonces es cierto para n: Por hipotesis de induccion, para n− 1 se tiene

p(n−1)(λ) := λn−1 + an−2λn−2 + . . .+ a1λ+ a0

y para n, desarrollando el determinante de la matriz A− λId por la primera columna

det (A− λId) = −λ(−1)n(λn−1 + an−2λn−2 + . . .+ a1λ+ a0)

y de ahı el resultado.

4.4 Estabilidad de sistemas no lineales

4.4.1 Estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas autonomos no lin-eales

El estudio de la estabilidad de las soluciones de sistemas no lineales solo esta completado para las solucionesde equilibrio.

Para abordar el estudio de la estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas autonomos no linealesse consideran primero los sistemas “casi lineales” autonomos del tipo

x′(t) = Ax(t) + g(x(t)) (4.9)

con A ∈Mn×n(R) (matriz de constantes). Entonces:

Definicion 24 Dado un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo (4.9), se denomina sistema linealizadoasociado al mismo a

x′(t) = Ax(t)

Y se tiene el siguiente resultado (que se enuncia sin demostracion).

Teorema 20 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo (4.9), tal que

1. g(0) = 0.

2.g(x(t))‖x(t)‖

es una funcion continua y limx→0

g(x(t))‖x(t)‖

= 0 .

Entonces la solucion de equilibrio x0(t) = 0 del sistema linealizado es tambien una solucion de equilibrio delsistema y:

1. Si todos los valores propios de A tienen parte real negativa entonces la solucion de equilibrio x0(t) = 0del sistema es asintoticamente estable.

2. Si la matriz A tiene algun valor propio con parte real positiva entonces la solucion de equilibrio x0(t) = 0del sistema es inestable.

3. En el resto de los casos no se puede asegurar nada sobre la estabilidad de la solucion de equilibriox0(t) = 0 del sistema.

Teniendo esto en cuenta, el estudio de la estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas autonomosno lineales pasa por la “linealizacion” de los mismos.


Proposicion 36 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales autonomo (no lineal)

dx(t)dt

= f(x(t)) (4.10)

y sea x0 un punto de equilibrio cualquiera del sistema (esto es, tal que f(x0) = 0). Entonces, la estabilidadde la solucion de equilibrio xeq(t) = x0 es equivalente 4 a la estabilidad de la solucion de equilibrio z0(t) = 0del sistema

dz(t)dt

=(∂fi∂xj

) ∣∣∣x=x0

z(t) + g(z(t)) (4.11)

donde g es una funcion que contiene solo terminos cuadraticos o de orden superior en zk y verifica que

limz→0

g(z(t))‖z(t)‖

= 0 .

( Dem. ) Desarrollando f(x) por Taylor en un entorno de x0, y teniendo en cuenta que f(x0) = 0,

f(x) = f(z + x0) = f(x0) +(∂fi∂xk

) ∣∣∣x=x0

z(t) + g(z(t)) =(∂fi∂xj

) ∣∣∣x=x0

z(t) + g(z(t))

con limz→0

g(z(t))‖z(t)‖

= 0 , y como x) = z + x0, se tiene que

dz(t)dt

=dx(t)

dt= f(z + x0)

de donde la ecuacion (4.10) queda transformada en (4.11), y x = x0 es solucion de equilibrio de (4.10) si, ysolo si, z = 0 es solucion de equilibrio de (4.11). De ahı el resultado.

Por consiguiente, como corolario del teorema 20 y de esta proposicion se obtiene que el estudio de laestabilidad de las soluciones de equilibrio de un sistema autonomo se basa en el analisis del signo de la partereal de los valores propios de la matriz jacobiana de la funcion f en los puntos de equilibrio; esto es:

Proposicion 37 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales autonomo (no lineal)

dx(t)dt

= f(x(t))

y sea x0 un punto de equilibrio cualquiera del sistema (esto es, tal que f(x0) = 0). Entonces:

1. Si todos los valores propios de la matriz(∂fi∂xj

) ∣∣∣x=x0

tienen parte real negativa, entonces la solucion

de equilibrio xeq(t) = x0 del sistema inicial es asintoticamente estable.

2. Si la matriz(∂fi∂xj

) ∣∣∣x=x0

tiene algun valor propio con parte real positiva, entonces la solucion de

equilibrio xeq(t) = x0 del sistema inicial es inestable.

3. En el resto de los casos no se puede asegurar nada sobre la estabilidad de la solucion de equilibrioxeq(t) = x0 del sistema inicial.


4.4.2 Estabilidad respecto a variaciones del segundo miembro

En este ultimo apartado se va a analizar brevemente el problema de la estabilidad de las soluciones deecuaciones diferenciales cuando el segundo miembro de la ecuacion sufre pequenas variaciones. Se enunciael resultado para el caso de una sola ecuacion diferencial.

4En el sentido precisado en el teor. 20.


Teorema 21 Considerense los problemas de valores iniciales en D ⊆ R2

y′(t) = f(t, y(t)) ; y(t0) = y0

y′(t) = f(t, y(t)) + θ(t, y(t) ; y(t0) = y0 + ε0

tales que f y θ son funciones continuas y derivables, con derivadas continuas en D ⊆ R2 (con (t0, y0), (t0, y0+ε0) ∈ D). Sean ϕ(t) y ψ(t) soluciones respectivas de ambos problemas de valor inicial. Si existen M ∈ R+

y ε ∈ R+ (arbitrariamente pequeno) tales que∣∣∣∂f∂y

∣∣∣ ≤M y |θ(t, y(t)| < ε, para todo (t, y) ∈ D, entonces

|ψ(t)− ϕ(t)| ≤ ε0eM |t−t0| +ε

M(eM |t−t0| − 1)

para todo t tal que (t, ϕ(t)), (t, ψ(t)) ∈ D.

( Dem. ) Es una consecuencia del lema de Gronwald.

Chapter 5

La Transformacion de Laplace

5.1 Introduccion

La transformacion de Laplace es un metodo directo y muy potente para la resolucion de problemas devalor inicial de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Su uso permite transformaruna ecuacion diferencial (o un sistema) de esta ındole, junto con sus condiciones iniciales, en una ecuacionalgebraica. En particular se va a estudiar su aplicacion al caso de ecuaciones diferenciales con segundosmiembros discontinuos, que es cuando este metodo se muestra especialmente util.

El uso de la transformacion de Laplace en este contexto y, en particular su aplicacion a problemasde ingenierıa electrica, comenzo en los anos treinta (siglo y medio despues de que Laplace introdujese sutransformacion), como consecuencia de los trabajos de Van der Pool y Doestch que llevaron a abandonarel metodo operacional de Heaviside, de aplicacion mas restringida e incomoda y carente de una adecuadajustificacion en aquellos tiempos.

En la primera seccion del capıtulo se van a introducir los conceptos basicos y propiedades fundamentalessobre la transformacion de Laplace, que se utilizaran para calcular las transformadas de algunas funcioneselementales. Tambien se estudiara la cuestion de la inversion de la transformacion de Laplace por el metodode descomposicion en fracciones simples. En la segunda seccion se aplicaran las nociones anteriores parala resolucion de problemas de valor inicial planteados por ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferencialeslineales y ecuaciones ıntegro-diferenciales con coeficientes constantes. El analisis de algunos casos especiales(excitaciones discontinuas y excitaciones puntuales) conducira a la introduccion de la funcion de Heavisidey la delta de Dirac. Finalmente se estudiara el producto de convolucion y su aplicacion a la resolucion deproblemas de valor inicial con excitaciones en cuya expresion aparecen varios terminos de forma diversa.


5.2 Definiciones basicas y propiedades

5.2.1 Transformadas de Laplace

Comenzaremos definiendo formalmente la transformacion de Laplace.

Definicion 25 Sea f : [0,∞) ⊂ R → R. Se denomina transformada de Laplace de la funcion f(t) a lafuncion F : R→ R (si existe) definida del siguiente modo

F (s) :=∫ ∞

0

e−stf(t)dt := limx→∞

∫ x

0

e−stf(t)dt

65


En los ejemplos de calculo que se muestran en la seccion 5.2.3 puede observarse que la transformada deLaplace de una funcion dada puede no existir para algunos valores de s o, incluso, para ningun valor de s,tal como muestra el siguiente caso:

Ejemplo:

• La funcion f(t) = et2

no admite transformada de Laplace ya que, para cualquier s, se tiene que

e−stet2

= et(t−s) > et

para t > s+ 1, luego para x > s+ 1

limx→∞

∫ x

0

e−stet2dt > lim

x→∞

∫ x

s+1

etdt = limx→∞

(ex − es+1) = +∞

El siguiente resultado establece condiciones suficientes que garantizan la existencia de la transformadade Laplace y precisan su dominio de definicion (esto es, los valores de s para los que existe).

Teorema 22 (de existencia de la transformada de Laplace): Sea f : [0,∞) ⊂ R→ R tal que:

1. La restriccion de f a cualquier intervalo finito [0, x] ⊂ R es una funcion continua (por lo menos atrozos).

2. f es de orden exponencial γ; es decir, existe M ∈ R+ tal que |f(t)| ≤Meγt, ∀t ∈ [0,∞).

Entonces la transformada de Laplace F (s) de f(t) existe ∀s ∈ (γ,∞).

( Dem. ) La primera condicion garantiza la existencia de la integral∫ x

0

e−stf(t)dt para todo x > 0. Solo

es necesario, pues, garantizar la convergencia de la integral en el intervalo [0,∞); pero, por ser f(t) de ordenexponencial γ, se tendra que para s > γ∫ x

0

|e−stf(t)|dt ≤M∫ x

0

|e−(s−γ)t|dt ≤M∫ ∞

0

|e−(s−γ)t|dt =1

s− γ(5.1)

independientemente de x, por lo que la integral impropia es absolutamente convergente y, por tanto, con-vergente.

Definicion 26 f : [0,∞) ⊂ R→ R es una funcion admisible sii:

1. La restriccion de f a cualquier intervalo finito [0, x] ⊂ R es una funcion continua (por lo menos atrozos).

2. f es de orden exponencial γ.

Comentarios:

• La clase de funciones admisibles es suficientemente amplia para la mayorıa de las aplicaciones. Enella se incluyen las funciones polinomicas, las exponenciales, las logarıtmicas y las periodicas que seancontinuas a trozos en cada periodo.

• Es inmediato probar, ademas, que la combinacion lineal y el producto de funciones admisibles es otrafuncion admisible

El siguiente resultado (cuya demostracion se omite) permitira invertir la transformacion de Laplace enmuchas ocasiones, sin necesidad de recurrir a una formula general de inversion que requiere integracion enel campo complejo. Para ello bastara con descomponer la funcion F (s) en suma de funciones que seantransformadas de funciones conocidas, ya que:

Teorema 23 (de unicidad de la transformada de Laplace): Si f(t), g(t) son funciones admisibles y F (s) =G(s), para todo s grande, entonces f(t) = g(t) en cada punto donde ambas son continuas. En particular, sif y g son continuas para todo t ≥ 0, entonces f = g.


5.2.2 Primeras propiedades

Para estudiar las propiedades de la transformacion de Laplace resulta util introducir el operador

L : C∞([0,∞)) −→ C∞(R)f(t) 7→ F (s)

Entonces, como primeras propiedades de las transformadas de Laplace se pueden establecer las siguientes:

Proposicion 38 (Linealidad): L es un operador lineal; esto es, si f(t), g(t) son funciones admisibles, en-tonces af(t) + bg(t) (con a, b ∈ R) es tambien admisible y

L(af(t) + bg(t)) = aL(f(t)) + bL(g(t) ≡ aF (s) + bG(s)

( Dem. ) En efecto

L(af(t) + bg(t)) =∫ ∞

0

e−st(af(t) + bg(t))dt = a

∫ ∞0

e−stf(t)dt+ b

∫ ∞0

e−stg(t)dt

= aL(f(t)) + bL(g(t) ≡ aF (s) + bG(s)

La siguiente propiedad es el fundamento de la aplicacion de las transformadas de Laplace a la resolucionde ecuaciones diferenciales. Ası, teniendo en cuenta que si f(t) es una funcion derivable tal que f ′(t) esadmisible, entonces f(t) tambien lo es, se tiene:

Proposicion 39 (Derivacion): Sea f(t) una funcion derivable tal que f ′(t) es admisible, entonces

L(f ′(t)) = sL(f(t))− f(0) ≡ sF (s)− f(0) (5.2)

y, en general, si f(t) es derivable hasta el orden n y f (n)(t) es una funcion admisible, entonces

L(f (n)(t)) = snF (s)− sn−1f(0)− . . .− sf (n−2)(0)− f (n−1)(0)

( Dem. ) Integrando por partes resulta

L(f ′(t)) =∫ ∞

0

e−stf ′(t)dt = e−stf(t)∣∣∣∞0

+ s

∫ ∞0

e−stf(t)dt

= −f(0) + sL(f(t)) = sF (s)− f(0)

y, en general, procediendo por induccion

L(f (n)(t)) = sL(f (n−1)(t))− f (n−1)(0)= s(sn−1F (s)− sn−2f(0)− . . .− f (n−2)(0))− f (n−1)(0)= snF (s)− sn−1f(0)− . . .− sf (n−2)(0)− f (n−1)(0)

Comentario:

• En la anterior proposicion se asume que f(t) esta definida en t = 0. De no ser ası, al ser f(t) admisibley, por tanto, continua a trozos, ha de existir f(0+) = lim

t→0+f(t) y se tiene

L(f ′(t)) = limε→0+

∫ ∞ε

e−stf ′(t)dt = limε→0+

(e−stf(t)|∞ε + s

∫ ∞ε

e−stf(t)dt)

= −f(0+) + sL(f(t)) ≡ sF (s)− f(0+)

y lo mismo para el caso general.


La inversion de la transformacion de Laplace se vera facilitada en gran medida por las siguientespropiedades:

Proposicion 40 (Integracion): Si f(u) una funcion integrable y admisible (con transformada de Laplace

F (s)), entonces∫ t

0

f(u)du es admisible y

L(∫ t

0

f(u)du)

=F (s)s

( Dem. ) Poniendo g(t) =∫ t

0

f(u)du se tiene que g′(t) = f(t) con g(0) = 0, por lo que utilizando la

propiedad de derivacion

F (s) = L(g′(t)) = sL(g(t)) = sL(∫ t

0

f(u)du)

Proposicion 41 (Valores inicial y final): Si f(t) es una funcion admisible (con transformada de LaplaceF (s)) cuya derivada es admisible y existen los lımites de f(t) cuando t→ 0+ y t→ +∞, entonces

1. lims→+∞

F (s) = 0 .

2. limt→0+

f(t) = lims→+∞

sF (s) .

3. limt→+∞

f(t) = lims→0

sF (s) .

( Dem. ) En efecto.

1. Es una consecuencia inmediata de la acotacion |F (s)| ≤ M

s− γ, que se obtiene, a su vez, de la acotacion

(5.1).

2. Se parte de la propiedad de derivacion expresada como

L(f ′(t)) = sF (s)− limt→0+

f(t)

Haciendo s→ +∞ y teniendo en cuenta que, al ser f ′(t) admisible, se tiene que limt→0+

L(f ′(t)) = 0 , el

resultado es inmediato.

3. Se parte de nuevo de la propiedad de derivacion escrita ahora en la forma

L(f ′(t)) = limx→+∞

∫ x

0

e−stf ′(t)dt = sF (s)− f(0)

de donde, haciendo s→ +∞, se obtiene

lims→0

sF (s)− f(0) = lims→0

limx→+∞

∫ x

0

e−stf ′(t)dt = limx→+∞

lims→0

∫ x

0

e−stf ′(t)dt

= limx→+∞

∫ x

0

f ′(t)dt = limx→+∞

f(x)− f(0) = limt→+∞

f(t)− f(0)

(Se ha utilizado el hecho de que es posible intercambiar el orden de ejecucion de los lımites, por estarF (s) definida en un entorno de s = 0).


Proposicion 42 (Multiplicacion por t): Si f(t) es una funcion admisible (con transformada de LaplaceF (s)), entonces

L(tf(t)) = −dF (s)ds

( Dem. ) En efecto, pues

dF (s)ds

=dds

∫ ∞0

e−stf(t)dt = −∫ ∞

0

e−sttf(t)dt

Proposicion 43 (Division por t): Sif(t)t

es una funcion admisible, para lo cual, si f(t) es admisible (con

transformada de Laplace F (s)), es suficiente con que exista limt→0+

f(t)t

, entonces

L(f(t)t

)=∫ ∞s

F (u)du

( Dem. ) Si g(t) =f(t)t

se tiene que f(t) = tg(t), y utilizando la propiedad anterior

F (s) = −dG(s)ds

de donde∫ ∞s

F (u)du = limx→+∞

∫ x

s

F (u)du = limx→+∞

∫ x

s

−dG(u)du

du = limx→+∞

(G(s)−G(x)) = G(s) = L(f(t)t

)donde se ha utilizado la propiedad 1 de la proposicion 41.

Proposicion 44 (Multiplicacion por eat): Si f(t) es una funcion admisible (con transformada de LaplaceF (s)), entonces

L(eatf(t)) = F (s− a)


L(eatf(t)) =∫ ∞

0

e−steatf(t)dt =∫ ∞

0

e−(s−a)tf(t)dt = F (s− a)

Proposicion 45 (Traslacion): Si f(t) es una funcion admisible (con transformada de Laplace F (s)), en-tonces la funcion

f(t) =f(t− a) si t ≥ a

0 si t < a

es admisible yL(f(t)) = e−asF (s)


L(f(t)) =∫ ∞

0

e−stf(t)dt =∫ ∞a

e−stf(t− a)dt = (∗)

y haciendo t− a = u,

(∗) =∫ ∞

0

e−sue−saf(u)du = e−asF (s)


Proposicion 46 (Cambio de escala): Si f(t) es una funcion admisible (con transformada de Laplace F (s))y a > 0, entonces

L(f(at)) =1aF( sa

)( Dem. ) En efecto, haciendo at = u

L(f(at)) =∫ ∞

0

e−stf(at)dt =1a

∫ ∞0

e−sauf(u)du =

1aF( sa

)

Proposicion 47 (Funciones periodicas): Si f(t) es una funcion admisible periodica de periodo T ; es decir,f(t+ T ) = f(t), entonces

L(f(t)) =

∫ T0e−stf(t)dt

1− e−sT

( Dem. ) En efecto,

L(f(t)) =∫ ∞

0

e−stf(t)dt =∫ T

0

e−stf(t)dt+∫ ∞T

e−stf(t)dt = (∗)

y haciendo t = T + u en la ultima integral

(∗) =∫ T

0

e−stf(t)dt+∫ ∞

0

e−s(T+u)f(T + u)du

=∫ T

0

e−stf(t)dt+ e−sT∫ ∞

0

e−suf(u)du =∫ T

0

e−stf(t)dt+ e−sTF (s)

5.2.3 Transformadas de Laplace de algunas funciones elementales

Vamos a utilizar algunas de las propiedades expuestas para calcular, a modo de ejemplo, las transformadasde Laplace de algunas funciones elementales.

1. f(t) = 1.

L(1) :=∫ ∞

0

e−stdt = limx→∞

∫ x

0

e−stdt = limx→∞

1− e−sx

s=

1s

si s > 0, no existiendo si s ≤ 0.

2. f(t) = tn.

Para n = 1 se tieneL(t) :=

∫ ∞0

e−sttdt = limx→∞

∫ x

0

e−sttdt =1s2

si s > 0, no existiendo si s ≤ 0. (Tambien se obtiene a partir del primer resultado y usando la propiedadde multiplicacion por t).

Para n = 2, partiendo del anterior resultado y usando la propiedad de multiplicacion por t,

L(t2) = − dds

1s2

=2s3

Finalmente, por induccion

L(tn) = − ddsL(tn−1) = − d

ds(n− 1)!sn

=n!sn+1


3. f(t) = tneat.

Partiendo del resultado anterior y usando la propiedad de multiplicacion por eat:

L(tneat) =n!

(s− a)n+1

4. f(t) = eat.

L(eat) :=∫ ∞

0

e−steatdt = limx→∞

∫ x

0

e−(s−a)tdt =1

s− asi s > a, no existiendo si s ≤ a. (Tambien se obtiene a partir del primer resultado y usando la propiedadde multiplicacion por eat).

5. f(t) = cos bt , g(t) = sin bt.

Sus transformadas de Laplace se pueden determinar directamente como en los otros ejemplos, pero esmas comodo utilizar la formula de Euler:

L(cos bt) + iL(sin bt) :=∫ ∞

0

e−st cos btdt+ i∫ ∞

0

e−st sin btdt

=∫ ∞

0

e−st(cos bt+ i sin bt)dt =∫ ∞

0

e−steibtdt =1

s− ib=

s+ ibs2 + b2

e igualando partes real e imaginaria se obtiene

L(cos bt) =s

s2 + b2

L(sin bt) =b

s2 + b2

6. f(t) = eat cos bt , g(t) = eat sin bt.

Partiendo del resultado anterior y usando la propiedad de multiplicacion por eat:

L(eat cos bt) =s− a

(s− a)2 + b2

L(eat sin bt) =b

(s− a)2 + b2

7. f(t) = t cos bt , g(t) = t sin bt.

Partiendo del mismo resultado que antes y usando la propiedad de multiplicacion por t:

L(t cos bt) =s2 − b2

(s2 + b2)2

L(t sin bt) =2bs

(s2 + b2)2

Comentario:

• Naturalmente el uso de las propiedades expuestas puede reiterarse. Ası, p. ej., para obtener latransformada de Laplace de la funcion

f(t) =∫ t

0

e−uu sin udu

se parte de la transformada de f(t) = sin t y basta con aplicar sucesivamente las propiedades demultiplicacion por t, de multiplicacion por eat y de integracion, para obtener

L(∫ t

0

e−uu sin udu)

=2(s+ 1)

s((s+ 1)2 + 1)2


5.2.4 Inversion (por descomposicion en fracciones simples)

Se va a estudiar, finalmente, el problema de invertir la transformacion de Laplace. En general ello requiereconsiderar s como variable compleja e integrar en el plano complejo. Afortunadamente, en muchos casosde las aplicaciones, la transformada de Laplace es una funcion racional con el polinomio del numerador degrado menor que el del denominador (esto es una consecuencia de la propiedad del valor inicial (1)). Entales casos es mas facil invertir la transformacion utilizando el metodo que a continuacion se describe.

Sea la funcion racional F (s) =P (s)Q(s)

, donde P (s) y Q(s) son polinomios con coeficientes reales y

grado (P (s)) < grado (Q(s)). El procedimiento consiste en descomponer la funcion en suma de fraccionessimples. Entonces, pueden darse los siguientes casos, segun las caracterısticas de las raıces de Q(s):

1. Si α ∈ R es una raız de Q(s) con multiplicidad µ, entonces en la descomposicion en fracciones simplesaparecen los factores

A1

s− α,

A2

(s− α)2, . . . ,

Aµ(s− α)µ

(Ak ∈ R)

y, de acuerdo con los resultados del apartado anterior, para cada uno de ellos se tiene, en general,∀k = 1, . . . , µ,

Ak(s− α)k

=Ak

(k − 1)!(k − 1)!(s− α)k

= L(

Ak(k − 1)!

tk−1eαt)

2. Si α + iβ ∈ C es una raız de Q(s), tambien lo es su conjugada α − iβ ∈ C, ambas con la mismamultiplicidad µ. Entonces se pueden englobar los factores correspondientes a estas dos raıces en unsolo sumando, debiendose distinguir los siguientes casos:

(a) Si la multiplicidad es µ = 1: Entonces el termino correspondiente a estas raıces que aparece en ladescomposicion en fracciones simples es

As+B

(s− α)2 + β2=

A(s− α)(s− α)2 + β2

+Aα+B

β

β

(s− α)2 + β2= L

(Aeαt cos βt+

Aα+B

βeαt sin βt

)(b) Si la multiplicidad es µ = 2: Entonces, en la descomposicion en fracciones simples correspondiente

a estas raıces aparece, ademas del anterior, el termino

Cs+D

((s− α)2 + β2)2=

C

2β2β(s− α)

((s− α)2 + β2)2+ (Cα+D)

1((s− α)2 + β2)2

Para el primer sumando se tiene

2β(s− α)((s− α)2 + β2)2

= L(eαtt sin βt

)y para el segundo

1((s− α)2 + β2)2

=1

2β2

(s− α)2 + β2 − (s− α)2 + β2

((s− α)2 + β2)2

=1

2β3

β

(s− α)2 + β2− 1

2β3

(s− α)2 − β2

((s− α)2 + β2)2

=1

2β3L(eαt sin βt)− 1

2β2L(eαtt cos βt)

(c) Si la multiplicidad es µ > 2, entonces la inversion de los correspondientes terminos es mas comodasi se utilizan los metodos de convolucion que se expondran al final del capıtulo.

Comentario:

• Observese que, al expresar la funcion racional como suma de fracciones simples e invertir la transfor-macion de Laplace, se esta haciendo uso de la propiedad expresada en el teorema de unicidad de latransformada de Laplace.


• El calculo de los coeficientes que aparecen en la descomposicion en fracciones simples puede hacerse porel conocido metodo de coeficientes indeterminados. Sin embargo, para los terminos correspondientes araıces reales (y, en particular, cuando son simples) es mas comodo el siguiente metodo:

Si α ∈ R es una raız de Q(s) con multiplicidad µ, se tiene

P (s)Q(s)

=µ∑k=1

Ak(s− α)k

+R(s)

donde R(s) es una funcion racional cuyo denominador ya no contiene la raız α. Multiplicando ambosmiembros por (s− α)µ se obtiene

P (s)Q(s)/(s− α)µ

=µ∑k=1

Ak(s− α)µ−k + (s− α)µR(s)

e identificando el segundo miembro como el desarrollo de Taylor del primero, se obtiene que

Aµ =P (s)

Q(s)/(s− α)µ

∣∣∣s=α

, Aµ−1 =dds

(P (s)

Q(s)/(s− α)µ

) ∣∣∣s=α

y, en general

Ak =1

(µ− k)!dµ−k

dsµ−k

(P (s)

Q(s)/(s− α)µ

) ∣∣∣s=α

5.3 Aplicacion a la resolucion de ecuaciones diferenciales

5.3.1 Resolucion de problemas de valor inicial de ecuaciones y sistemas concoeficientes constantes

Utilizando unicamente las propiedades de linealidad y de derivacion de la transformacion de Laplace, se estaya en condiciones de resolver algunos problemas de valor inicial para:

1. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

2. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

3. Ecuaciones ıntegro-diferenciales.


5.3.2 Excitaciones discontinuas: Funcion de Heaviside

El uso de la transformada de Laplace para la resolucion de los problemas de valor inicial de ecuacionesdiferenciales senalados en el apartado anterior muestra toda su eficacia cuando la funcion que aparece en eltermino independiente de la ecuacion (o sistema) presenta discontinuidades de salto en uno o varios puntosde su dominio 1.

Para tratar este tipo de problemas con el metodo de la transformacion de Laplace es de gran utilidad lasiguiente funcion:

Definicion 27 Se denomina funcion de Heaviside o funcion de salto unidad a la funcion

u(t− a) ≡ ua(t) =

0 si 0 ≤ t < a1 si a ≤ t

Si a = 0 se escribe simplemente u(t).1Ello corresponde a que el sistema modelado por dicha ecuacion presente saltos bruscos en uno o varios instantes.


El resultado de mayor interes para nosotros es:

Proposicion 48 La transformada de Laplace de ua(t) es

L(ua(t)) =e−sa

s

En particular L(u(t)) =1s

.

( Dem. ) Inmediata, pues

L(ua(t)) :=∫ ∞

0

e−stua(t)dt =∫ ∞a

e−stdt =e−sa

s

Comentarios:

• Una funcion que presente discontinuidades de salto tal como

f(t) =

f1(t) si 0 ≤ t < af2(t) si a ≤ t < bf3(t) si b ≤ t

se puede expresar en terminos de la funcion de Heaviside de la siguiente forma

f(t) = f1(t)(u(t)− u(t− a)) + f2(t)(u(t− a)− u(t− b)) + f3(t)u(t− b)= f1(t) + (f2(t)− f1(t))u(t− a) + (f3(t)− f2(t))u(t− b)

• La propiedad de traslacion puede expresarse ahora en terminos de la funcion de Heaviside como

L(f(t)) = L(u(t− a)f(t− a)) = e−asF (s)

(donde F (s) = L(f(t))), formula que permite el calculo de la transformada de Laplace de una funcioncon discontinuidades de salto y tambien su inversion.


5.3.3 Delta de Dirac

Hay muchas aplicaciones cuya modelizacion matematica conduce a ecuaciones diferenciales lineales (concoeficientes constantes) en las que la funcion fε(t) del termino independiente es nula fuera de un estrechointervalo [a, a+ ε] en el que toma valores arbitrariamente grandes. Normalmente, ademas, estos valores son

desconocidos, disponiendose unicamente del valor de la integral I =∫ β

α

fε(t)dt (si α ≤ a < a+ ε ≤ β).

Este tipo de situaciones se presenta en problemas de naturaleza impulsiva. Por ejemplo, en un sistemamecanico formado por una masa sujeta mediante un resorte elastico, al golpear con un martillo en uninstante t = a, comunicando un impulso de valor I durante un breve intervalo de tiempo [a, a + ε], en elcual el martillo esta en contacto con la masa (en este caso, fε(t) representa la fuerza aplicada en ese lapsode tiempo). Tambien en el caso de un circuito electrico RCL, cuya ecuacion

e(t) = RI + LdIdt

+1C

∫ t

0

I(τ)dτ

se deriva para obtener la ecuacion diferencial

Ld2I

dt2+R

dIdt

+1CI =

dedt

= fε(t)


cuando la tension cambia bruscamente en el instante α (de hecho entre α y α + ε) desde un valor e0 hastael valor e0 + I.

Para tratar estas situaciones se va a considerar el caso ideal que se obtiene al hacer que ε→ 0. FijandoI = 1, si fε → f0, esta “funcion” f0 deberıa satisfacer

f0(t) = 0 para t 6= α ;∫ β

α

f0(t)dt = 1 si α ≤ a < β

condiciones que no puede verificar ninguna funcion ordinaria.

Observese, no obstante, que lo que realmente interesa no es obtener el valor del lımite de fε cuando ε→ 0,sino resolver el problema de valor inicial

a2y′′(t) + a1y

′(t) + a0y(t) = fε(t) ; y(0) = 0 , y′(0) = 0 (5.3)

para el caso ε → 0, y que en la resolucion de un problema como este (que para simplificar se ha tomadocon condiciones iniciales homogeneas) no es preciso conocer los valores de fε(t) sino simplemente el valor de

integrales de la forma∫ β

α

g(t)fε(t)dt , donde g(t) es una funcion continua. En efecto, la solucion de (5.3)

obtenida por el metodo de variacion de constantes a partir de dos soluciones y1 e y2 de la ecuacion linealhomogenea asociada es, como se puede comprobar,

y(t) = y1(t)∫ t

0

−y2(τ)a2W (τ)

fε(τ)dτ + y2(t)∫ t

0

y1(τ)a2W (τ)

fε(τ)dτ

Analogamente, la resolucion del problema de valor inicial (5.3) utilizando la transformacion de Laplaceconduce a la ecuacion

(a2s2 + a1s+ a0)Y (s) = F (s) =

∫ ∞0

e−stfε(t)dt

de donde se obtiene Y (s) e, invirtiendo, y(t). En ambos casos fε(t) solo interviene como integrando multi-plicado por una funcion continua.

Ası pues, para resolver el caso ideal planteado (ε → 0) hay que calcular limε→0

∫ β

α

g(t)fε(t)dt cuando g(t)

es una funcion continua. Se tiene:

Lema 5 Si g(t) es continua en [α, β], entonces

limε→0

∫ β

α

g(t)fε(t)dt =g(a) si α ≤ a < β

0 en otro caso

( Dem. ) Si α es tal que α ≤ a < β, para ε suficientemente pequeno α ≤ a < a+ ε < β, y como fε(t) = 0para t 6∈ [a, a+ ε], ∫ β

α

g(t)fε(t)dt =∫ a+ε

a

g(t)fε(t)dt

Ahora, con mε = min[a,a+ε]

g(t) y Mε = max[a,a+ε]

g(t) , se tiene

mε

∫ a+ε

a

fε(t)dt ≤∫ a+ε

a

g(t)fε(t)dt ≤Mε

∫ a+ε

a

fε(t)dt

es decir

mε ≤∫ a+ε

a

g(t)fε(t)dt ≤Mε

pero como g es continua, cuando ε→ 0, tanto mε como Mε tienden a g(a), luego

limε→0

∫ β

α

g(t)fε(t)dt = g(a)


Si a ≥ β entonces fε(t) = 0 en [α, β], y si a ≤ α entonces, para ε suficientemente pequeno, a + ε < a,luego tambien fε(t) = 0 en [α, β], por tanto

limε→0

∫ β

α

g(t)fε(t)dt = 0

Este resultado permite considerar el caso ideal ε→ 0 (en que fε → f0) en la situacion descrita. Para ellose define la siguiente “funcion” 2:

Definicion 28 Se denomina delta de Dirac a la “funcion” δ(t− a) tal que, para toda funcion continua g(t)en [α, β], verifica que ∫ β

α

g(t)δ(t− a)dt =g(a) si α ≤ a < β

0 en otro caso

Con esta definicion, el caso ε → 0 en un problema de valor inicial como (5.3) (pero con condicionesiniciales cualesquiera) conduce a la ecuacion

a2y′′(t) + a1y

′(t) + a0y(t) = Iδ(t− a) ; y(0) = y0 , y′(0) = y1

para cuya resolucion basta con conocer L(δ(t− a)).

Proposicion 49 La transformada de Laplace de δ(t− a) es

L(δ(t− a)) = e−sa

En particular, para a = 0, L(δ(t)) = 1 .

( Dem. ) Inmediata, pues de la propia definicion se obtiene que

L(δ(t− a)) :=∫ ∞

0

e−stδ(t− a)dt = e−sa


5.3.4 Convolucion y sistemas lineales

A menudo se presenta el problema de determinar la respuesta de un sistema sometido a varias excitacionesde diverso tipo simultaneamente. Considerese como modelo el caso en que la formulacion matematica delsistema conduce al problema de valor inicial (5.3)

a2y′′(t) + a1y

′(t) + a0y(t) = f(t) ; y(0) = 0 , y′(0) = 0 (5.4)

con f(t) conteniendo diferentes expresiones tipos de funciones (para simplificar se han considerado condi-ciones iniciales homogeneas). Su resolucion mediante la transformada de Laplace lleva a

Y (s) =1

a2s2 + a1s+ a0F (s) ≡ H(s)F (s) (5.5)

y solo resta invertir la transformacion de Laplace para obtener y(t). Sin embargo, serıa deseable hacerlo detal forma que al cambiar f(t) y, por tanto F (s), no hubiera que rehacer todos los calculos. Para ello, se

comienza observando que en la anterior expresion H(s) =1

a2s2 + a1s+ a0es la transformada de Laplace de

la funcion h(t), solucion del problema de valor inicial dado cuando F (s) = 1, es decir, cuando f(t) = δ(t).Entonces:

a2h′′(t) + a1h

′(t) + a0h(t) = δ(t) ; h(0) = 0 , h′(0) = 02Realmente no se trata de una verdadera funcion en el sentido ordinario, sino de una distribucion.


Definicion 29 Dado un problema de valor inicial

a2y′′(t) + a1y

′(t) + a0y(t) = f(t) ; y(0) = y0 , y′(0) = y1

se denomina funcion de transferencia o respuesta impulsional del sistema a la funcion h(t) solucion delproblema de valor inicial

a2h′′(t) + a1h

′(t) + a0h(t) = δ(t) ; h(0) = 0 , h′(0) = 0 (5.6)

esto es a la funcion cuya transformada de Laplace es1

a2s2 + a1s+ a0.

Comentario:

• Notese que solo pueden darse los siguientes casos:

1. La solucion general de la ecuacion (5.6) es h(t) = (c1 cos bt+c2 sin bt)eat, si las raıces del polinomiocaracterıstico asociado son del tipo λ = a+ bi.En este caso, la solucion particular del problema de valor inicial da c1 = 0.

2. La solucion general de la ecuacion (5.6) es h(t) = c1eλ1t + c2e

λ2t, si las raıces del polinomiocaracterıstico son λ1, λ2 ∈ R, con λ1 6= λ2.En este caso, la solucion particular del problema de valor inicial da c1 = −c2.

3. La solucion general de la ecuacion (5.6) es h(t) = c1eλt + c2te

λt, si las raıces del polinomiocaracterıstico son λ1 = λ2 ≡ λ ∈ R.En este caso, la solucion particular del problema de valor inicial da c1 = 0.

• Observese que la funcion de transferencia de un sistema depende unicamente de “la parte fija” delproblema, correspondiente a los coeficientes ai.

La expresion (5.5) sugiere que y(t) este relacionada directamente con h(t) y f(t). Se trata de discernircomo. En general se tiene que y(t) 6= h(t)f(t), ya que L(h(t)f(t)) 6= L(h(t))L(f(t)). El resultado correctoes:

Proposicion 50 El problema de valor inicial (5.4) (cuya resolucion por el metodo de Laplace conduce a laexpresion (5.5)) tiene como solucion la funcion

y(t) '∫ t

0

f(τ)h(t− τ)u(t− τ)dτ =∫ t

0

f(τ)h(t− τ)dτ

( Dem. ) Se va a aproximar la funcion f(t) mediante

f(t) 'N−1∑i=1

f(ti)(u(t− ti)− u(t− ti+1))

y, a su vez, se va a utilizar la aproximacion

u(t− ti)− u(t− ti+1) ' ∆tiδ(t− ti)

con lo que, si ci = f(ti)∆ti,

f(t) 'N−1∑i=1

ciδ(t− ti)

A continuacion se van a utilizar dos propiedades basicas de las soluciones de problemas de valor inicial deecuaciones diferenciales lineales. En primer lugar, es valido el principio de superposicion, por lo que lasolucion correspondiente a una combinacion lineal de excitaciones es la correspondiente combinacion de lassoluciones a cada una de las excitaciones. Ası pues, se puede aproximar la solucion y(t) por

y(t) 'N−1∑i=1

ciyi(t)


donde yi(t) son las soluciones de

a2y′′(t) + a1y

′(t) + a0y(t) = δ(t− ti) ; y(0) = 0 , y′(0) = 0

En segundo lugar, por la propiedad de invariancia en el tiempo del sistema se ha de tener que yi(t) =h(t− ti)u(t− ti), lo que se traduce en

L(yi(t)) = H(s)L(δ(t− ti)) = H(s)e−sti

obteniendose, ası, que

y(t) 'N−1∑i=1

f(ti)∆tih(t− ti)u(t− ti+1)

El segundo miembro de esta expresion puede verse como una suma de Riemann, por lo que, al hacer N →∞y max∆ti, 0 ≤ i ≤ N − 1 → 0, se tendra

y(t) '∫ t

0

f(τ)h(t− τ)u(t− τ)dτ =∫ t

0

f(τ)h(t− τ)dτ

ya que u(t− τ) = 1 para τ < t.

Definicion 30 Dadas dos funciones f(t) y g(t), se denomina producto de convolucion de las mismas a lafuncion (si existe)

(f ∗ g)(t) :=∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ

De la discusion precedente se obtiene inmediatamente el siguiente resultado:

Teorema 24 (de Convolucion): Si f(t) y g(t) son funciones admisibles, entonces f(t)∗ g(t) tambien lo es y

L((f ∗ g)(t)) = L(f(t))L(g(t))

Comentario:

• El producto de convolucion es muy util para invertir la transformacion de Laplace, ya que, del teoremade convolucion se obtiene de inmediato que si Y (s) = F (s)G(s) y f(t) = L−1(F (s) y g(t) = L−1(G(s))entonces y(t) = L−1(Y (s)) = (f ∗ g)(t)).

Utilizando la definicion y/0 este teorema es inmediato comprobar las siguientes propiedades:

Proposicion 51 Sean f(t), g(t) y h(t) funciones admisibles, entonces:

1. (f ∗ g)(t) = (g ∗ f)(t).

2. (f ∗ (g + h))(t)) = (f ∗ g)(t) + (f ∗ h)(t).

3. ((f ∗ g) ∗ h)(t)) = (f ∗ (g ∗ h))(t).

4. (δ ∗ f)(t) = f(t).

Teniendo presente todo esto, se puede ahora afirmar que la solucion del problema de valor inicial (5.4) es

y(t) = (f ∗ h)(t)) =∫ t

0

f(τ)h(t− τ)dτ

y si se modifica f(t) solo sera necesario modificar, en consecuencia, el calculo del producto de convolucioncon la funcion de transferencia del sistema.


Chapter 6

Ecuaciones Diferenciales en DerivadasParciales

6.1 Introduccion

Igual que en los capıtulos anteriores, siempre que no se haga alguna precision mas concreta, se asumira quetodas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.

6.2 Ecuaciones en derivadas parciales y problemas de contorno

6.2.1 Definiciones basicas

Antes de comenzar conviene recordar que, como se definio en el primer capıtulo, una ecuacion diferencial esuna relacion entre una funcion (suficientemente derivable), sus variables y una o varias derivadas sucesivasde la funcion. En forma implıcita es una expresion del tipo

F (x, y(x), y′(x), . . . , y(n)(x)) = 0

Entonces:

Definicion 31 Se denomina ecuacion diferencial en derivadas parciales a una ecuacion diferencial en la quela funcion incognita es de varias variables, u ≡ u(x1, . . . , xn). Esto es, una expresion del tipo:

F

(x1, . . . , xn,

∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xn,∂2u

∂xk1,

∂2u

∂x1∂x2, . . . ,

∂2u

∂x2n

, . . .

)= 0

(Las ecuaciones en derivadas parciales se suelen expresar siempre en forma implıcita).

1. Se denomina orden de la ecuacion al de la derivada de mayor orden que interviene en la ecuacion.

2. Se denomina grado de la ecuacion al exponente de la derivada de mayor orden.

Igual que con las ecuaciones diferenciales ordinarias, se van a tratar, en particular, las ecuaciones enderivadas parciales de tipo lineal:

Definicion 32 Una ecuacion diferencial en derivadas parciales es de tipo lineal sii es de primer grado enla funcion incognita u y en sus derivadas parciales. Se suele escribir L(u) = f (donde u y f son funcionesde varias variables y L es un operador lineal que puede contener en su expresion funciones de las variablesindependientes).

La ecuacion lineal es homogenea sii no tiene termino independiente; esto es, f = 0.

79


Ejemplos:

• Una ecuacion en derivadas parciales lineal es, por ejemplo,

2∂u

∂x+ xy

∂2u

∂x2− ex ∂u

∂y= f(x, y)

donde L = 2∂

∂x+ xy

∂2

∂x2− ex ∂

∂y.

• No es una ecuacion en derivadas parciales lineal la siguiente

u∂u

∂x+ xy

∂2u

∂x∂y= f(x, y)

ya que L = u∂

∂x+ xy

∂2

∂x∂yno es un operador lineal, como puede comprobarse facilmente.

En este capıtulo se prestara especial atencion a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales desegundo orden ya que, como se vera, son las que aparecen en las principales aplicaciones.

6.2.2 Problemas de contorno. Tipos de condiciones de contorno y de valorinicial

En el contexto de este capıtulo, un problema de contorno consiste en resolver una ecuacion diferencialen derivadas parciales, esto es, en hallar una funcion u que satisfaga dicha ecuacion en algun dominio delas variables independientes, asi como ciertas condiciones de la funcion y/o sus derivadas parciales en elcontorno de este dominio. Tambien se acostumbra a exigir condiciones de continuidad de u y sus derivadasen el dominio en cuestion y su contorno.

Las condiciones de contorno que se van a considerar principalmente son las siguientes:

Definicion 33 Un problema de contorno es lineal sii la ecuacion en derivadas parciales a la que esta asociadoes lineal y las propias condiciones de contorno tambien son lineales. Se tiene, por tanto:

e.d.p. lineal: L(u) = f

Conds. cont. lineales: L1(u) = f1 , . . . , Lk(u) = fk

Si f1 = . . . = fk = 0 se dice que las condiciones de contorno son homogeneas.

Ejemplo:

• En el recinto 0 < x < 1, y > 0 se define

e.d.p. lineal: L(u(x, y)) :=∂2u

∂y2− ∂2u

∂x2= sin πx

Conds. cont. lineales: L1(u(x, 0)) := u(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ 1

L2(u(x, 0)) :=∂u

∂x(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ 1

L3(u(0, y)) := u(0, y) = 0 , y ≥ 0L4(u(1, y)) := u(1, y) = 0 , y ≥ 0

En este ejemplo se tiene f = sin πx, f1 = f2 = f3 = f4 = 0; luego las condiciones de contorno sonlineales y homogeneas.

Igual que en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, se tiene el siguiente resultado:


Proposicion 52 (Principio de superposicion de soluciones): Sea una ecuacion en derivadas parciales linealy homogenea L(u) = 0. Si u1, . . . , un son soluciones, entonces:

1. Cualquier combinacion lineal de las mismas, u =n∑k=1

ckuk , es tambien solucion.

2. Si u1, . . . , un son soluciones que satisfacen una condicion de contorno lineal y homogenea, entonces

cualquier combinacion lineal de las mismas, u =n∑k=1

ckuk , satisface tambien la condicion dada.

( Dem. ) Evidente pues, por ser L lineal

L(u) = L(n∑k=1

ckuk) =n∑k=1

ckL(uk) = 0

y la segunda parte de la proposicion es inmediata.

A continuacion se van a introducir las diversas maneras en que pueden presentarse las condiciones decontorno.

Definicion 34 Un problema de contorno es de tipo Dirichlet sii las condiciones de contorno consisten endar los valores de la funcion incognita u en el contorno del dominio de definicion del problema.

Definicion 35 Un problema de contorno es de tipo Newmann sii las condiciones de contorno consisten en

dar los valores de la derivada direccional∂u

∂nde la funcion incognita u, en la direccion normal al contorno

del dominio de definicion del problema, sobre los puntos de dicho contorno.

Definicion 36 Un problema de contorno es de tipo mixto sii las condiciones de contorno consisten en

dar los valores de una combinacion lineal de la funcion incognita u y de la derivada direccional∂u

∂n(en la

direccion normal al contorno del dominio de definicion del problema) sobre los puntos de dicho contorno. Esdecir, de

hu+∂u

∂ndonde h es una constante arbitraria o una funcion de las variables independientes.

Definicion 37 Un problema de contorno es de tipo Cauchy sii la ecuacion en derivadas parciales es desegundo orden en alguna de las variables (p. ej., y) y las condiciones de contorno consisten en dar los

valores de la funcion incognita u y de la derivada parcial∂u

∂yen y = 0.

M’as adelante se vera como se resuelven diversos tipos de ecuaciones en derivadas parciales sometidas adiferentes clases de condiciones de contorno.

6.2.3 Clasificacion de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo ordenlineales

Considerese una ecuacion en derivadas parciales de segundo orden lineal homogenea con coeficientes con-stantes. Por simplicidad se tratara la cuestion en dos dimensiones; esto es, se supondra que la funcionincognita depende de dos variables, u = u(x, y). Con estas hipotesis, se estan considerando ecuaciones cuyaexpresion general es

L(u) := A∂2u

∂x2+B

∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y2+D

∂u

∂x+ E

∂u

∂y+ Fu = 0 (6.1)

donde A,B,C,D,E, F ∈ R son constantes. En estas condiciones se tiene el siguiente resultado general:


Proposicion 53 Toda ecuacion en derivadas parciales de segundo orden lineal con coeficientes constantes(en dos dimensiones) del tipo (6.1) puede convertirse (por medio de transformaciones lineales) en una delos tres siguientes tipos:

1. Una ecuacion lineal con coeficientes constantes con un unico termino de segundo orden en el queaparecen las derivadas parciales cruzadas de la funcion incognita.

2. Una ecuacion lineal con coeficientes constantes con un unico termino de segundo orden en el que noaparecen las derivadas parciales cruzadas de la funcion incognita.

3. Una ecuacion lineal con coeficientes constantes con dos terminos de segundo orden (con el mismocoeficiente) en los que no aparecen las derivadas parciales cruzadas de la funcion incognita.

( Dem. ) Si se efectua el siguiente cambio lineal de coordenadas

t = αx+ βy , s = µx+ λy (6.2)

(con α, β, µ, λ ∈ R parametros arbitrarios) y se designa por u = u(t, s) a la funcion transformada de u(x, y),se tiene que

∂u

∂x= α

∂u

∂t+ µ

∂u

∂s∂u

∂y= β

∂u

∂t+ λ

∂u

∂s

∂2u

∂x2= α2 ∂

2u

∂t2+ αµ

∂2u

∂t∂s+ µα

∂2u

∂s∂t+ µ2 ∂

2u

∂s2= α2 ∂

2u

∂t2+ 2αµ

∂2u

∂t∂s+ µ2 ∂

2u

∂s2

∂2u

∂x∂y= αβ

∂2u

∂t2+ αλ

∂2u

∂t∂s+ µβ

∂2u

∂s∂t+ µλ

∂2u

∂s2= 2αβ

∂2u

∂t2+ (αλ+ µβ)

∂2u

∂t∂s+ 2µλ

∂2u

∂s2

∂2u

∂y2= β2 ∂

2u

∂t2+ βλ

∂2u

∂t∂s+ λβ

∂2u

∂s∂t+ λ2 ∂

2u

∂s2= β2 ∂

2u

∂t2+ 2βλ

∂2u

∂t∂s+ λ2 ∂

2u

∂s2

con lo que la ecuacion (6.1) se transforma en

0 = (α2A+ αβB + β2C)∂2u

∂t2+ (2αµA+ (αλ+ µβ)B + 2βλC)

∂2u

∂t∂s+ (µ2A+ µλB + λ2C)

∂2u

∂s2+

D(α+ β)∂u

∂t+ E(µ+ λ)

∂u

∂s+ Fu

Analicemos la forma de los terminos de segundo orden, de manera que se obtenga una de las tres opcionesconsideradas.

1. La ecuacion tiene un solo termino de segundo orden en el que aparecen las derivadas parciales cruzadasde la funcion incognita.

Hay dos posibilidades:

(a) Si A = C = 0 el resultado es directo sin necesidad de realizar la transformacion (6.2).

(b) Supongase que A 6= 0 (y/o C 6= 0). Entonces ha de tenerse que

α2A+ αβB + β2C = 0 , µ2A+ µλB + λ2C = 0

o, equivalentemente(α

β

)2

A+(α

β

)B + C = 0 ,

(µλ

)2

A+(µλ

)B + C = 0

de donde, despejando, se obtiene la siguiente relacion(α

β

)=

12A

(−B ±√B2 − 4AC) ,

(µλ

)=

12A

(−B ∓√B2 − 4AC) (6.3)


(en una de las igualdades se toma el signo + y en la otra el −). Para que la transformacion (6.2)no sea singular ha de ser

α

β6= µ

λ, por lo que la ecuacion adopta la forma deseada

B∂2u

∂t∂s+D′

∂u

∂t+ E′

∂u

∂s+ Fu = 0

si, y solo si, B2 − 4AC > 0.

2. La ecuacion tiene un solo termino de segundo orden en el que no aparecen las derivadas parcialescruzadas de la funcion incognita.


(a) Si B = C = 0 o B = A = 0 el resultado es directo sin necesidad de realizar la transformacion(6.2).

(b) Suponiendo de nuevo que A 6= 0 (y/o C 6= 0), entonces ha de tenerse que

α2A+ αβB + β2C = 0 , 2αµA+ (αλ+ µβ)B + 2βλC = 0

Si B2 − 4AC = 0, de la primera de las expresiones (6.3) se obtiene queα

β=−B2A

, con lo que se

logra la anulacion del primer coeficiente. Por otra parte, si se toma µ = 1 y λ = 0; es decir, serealiza la transformacion

t = −Bx+ 2Ay , s = x

la segunda ecuacion se reduce a2αA+ βB = 0

con lo que se obtiene una ecuacion en derivadas parciales del tipo 1:

A∂2u

∂s2+D′

∂u

∂t+ E′

∂u

∂s+ Fu = 0

3. La ecuacion tiene dos terminos de segundo orden en los que no aparecen las derivadas parciales cruzadasde la funcion incognita.


(a) Si B = 0 el resultado es directo sin necesidad de realizar la transformacion (6.2).

(b) Si B 6= 0, la transformacion

t =−Bx+ 2Ay√

4AC −B2, s = x

(es pues necesario que B2 − 4AC < 0) convierte la ecuacion en derivadas parciales inicial en unade la forma

A

(∂2u

∂t2+∂2u

∂s2

)+D′

∂u

∂t+ E′

∂u

∂s+ Fu = 0

La discusion precedente da origen a la siguiente definicion que clasifica las ecuaciones en derivadasparciales de segundo orden lineales con coeficientes constantes:

Definicion 38 Dada una ecuacion en derivadas parciales de segundo orden lineal homogenea con coeficientesconstantes (en dos dimensiones) del tipo (6.1).

1. La ecuacion es del tipo hiperbolico (y el operador lineal L es hiperbolico) sii B2 − 4AC > 0; es decir,es del primer tipo:

∂2u

∂x∂y+D

∂u

∂x+ E

∂u

∂y+ Fu = 0

1Si se desea que el termino que aparezca sea∂2u

∂t2, el analisis a efectuar es analogo.


2. La ecuacion es del tipo parabolico (y el operador lineal L es parabolico) sii B2 − 4AC = 0; es decir,es del segundo tipo:

∂2u

∂x2+D

∂u

∂x+ E

∂u

∂y+ Fu = 0

3. La ecuacion es del tipo elıptico (y el operador lineal L es elıptico) sii B2 − 4AC < 0; es decir, es deltercer tipo:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+D

∂u

∂x+ E

∂u

∂y+ Fu = 0

Comentario:

• Esta clasificacion es de gran relevancia ya que, para cada clase de ecuacion, el tipo de condicion decontorno y la naturaleza de la solucion son diferentes (como ya se vera). Ademas, cada una de ellascorresponde, en las aplicaciones, a un tipo diferente de problema fısico:

1. Las hiperbolicas describen problemas de vibraciones (y requieren dos condiciones iniciales, ademasde las de contorno).

2. Las parabolicas describen problemas de difusion (y requieren una condicion inicial, ademas de lasde contorno).

3. Las elıpticas describen problemas de estados de equilibrio (y no requieren condiciones iniciales,ademas de las de contorno).

Antes de abordar el estudio y resolucion de estos tipos de ecuaciones sometidos a diferentes condicionesde contorno, es preciso dar algunas nociones sobre las series de funciones trigonometricas conocidas comoseries de Fourier.

6.3 Series de Fourier y funciones ortogonales

6.3.1 Series y coeficientes de Fourier

En el estudio de muchos problemas fısicos que se modelizan por medio de ecuaciones diferenciales en derivadasparciales (p. ej., problemas de vibraciones mecanicas, conduccion del calor, transmision de ondas, electro-magnetismo, etc.) es necesario trabajar con series de funciones trigonometricas del tipo

f(x) =12a0 +

∞∑n=1

(an cos nx+ bn sin nx) (6.4)

Aparte de ello, el estudio puramente teorico de estas series ha influido notablemente en el desarrollo delanaalisis matematico en los ultimos 250 anos.

Una ventaja de estas series es que son capaces de representar funciones de tipo muy general con muchasdiscontinuidades (como, p. ej., las funciones discontinuas de impulso en ingenierıa electronica); mientrasque, p. ej., las series de potencias solo pueden representar funciones de clase C∞.

Se va a comenzar su estudio presentando algunos calculos clasicos que fueron realizados inicialmente porEuler, y que se recogen en la siguiente:

Proposicion 54 Sea una serie trigonometrica del tipo

12a0 +

∞∑n=1

(an cos nx+ bn sin nx) (6.5)


tal que converge uniformemente a una funcion f(x) en el intervalo [−π, π). Entonces los coeficientes de laserie son

a0 =1π

∫ π

−πf(x)dx , an =

1π

∫ π

−πf(x) cos nxdx (∀n ∈ N)

bn =1π

∫ π

−πf(x) sin nxdx (∀n ∈ N) (6.6)

( Dem. ) Por ser la serie uniformemente convergente en [−π, π) es integrable termino a termino en dichointervalo, por lo que, teniendo en cuenta que∫ π

−πcos nxdx = 0 ,

∫ π

−πsin nxdx = 0 (∀n ∈ N)

la integracion termino a termino conduce a∫ π

−πf(x)dx = a0π ⇔ a0 =

1π

∫ π

−πf(x)dx

(observese que el terminoa0

2es, por tanto, el valor medio de f(x) en el intervalo considerado). Multiplicando

ahora (6.4) por cos nx resulta

f(x) cos nx =12a0 cos nx+ a1 cos x cos nx+ b1 sin x cos nx+ . . .+ an cos2 x+ bn sin nx cos nx+ . . . (6.7)

y, teniendo en cuenta las relaciones trigonometricas

sin mx cos nx =12

(sin (m− n)x+ sin (m+ n)x)

cos mx cos nx =12

(cos (m− n)x+ cos (m+ n)x)

sin mx sin nx =12

(cos (m− n)x− cos (m+ n)x)

es facil comprobar que∫ π

−πsin mx cos nxdx = 0 ,

∫ π

−πcos mx cos nxdx = 0 ; (si m 6= n)

por lo que, integrando termino a termino (6.7) se obtiene∫ π

−πf(x) cos nxdx = an

∫ π

−πcos2 nxdx = anπ ⇔ an =

1π

∫ π

−πf(x) cos nxdx

Realizando un proceso analogo, pero multiplicando por sin nx y usando que∫ π

−πsin mx sin nxdx = 0 ; (si m 6= n)

se llega a que ∫ π

−πf(x) sin nxdx = bn

∫ π

−πsin2 nxdx = bnπ ⇔ bn =

1π

∫ π

−πf(x) sin nxdx

La situacion presentada en esta proposicion es, no obstante, demasiado restrictiva, ya que se asume que laserie trigonometrica es uniformemente convergente a la funcion f(x) o, lo que es lo mismo, que esta funcion esdesarrollable por medio de una serie trigonometrica uniformemente convergente. Estas hipotesis no estaran,en general, aseguradas previamente y, por consiguiente, tampoco la existencia de los coeficientes an y bn.El punto de vista que se va a tomar sera, pues, dada una funcion f(x), definir los coeficientes mediante lasexpresiones (6.6) y, con ellos, construir la serie trigonometrica (6.5).


Definicion 39 Dada una funcion f(x) integrable 2 en [−π, π), se denominan coeficientes de Fourier def(x) a los valores an, bn obtenidos mediante las expresiones (6.6) y serie de Fourier de f(x) a la serietrigonometrica

12a0 +

∞∑n=1

(an cos nx+ bn sin nx)

y como corolario de la proposicion anterior se tiene:

Corollary 1 Dadas dos funciones f(x), g(x) integrables en [−π, π), los coeficientes de Fourier de αf(x) +βg(x) (α, β ∈ R) son la suma de α veces los de f(x) y β veces los de g(x).

Es de desear que la serie de Fourier de una funcion f(x) converja (uniformemente) y tenga como sumala funcion dada (cumpliendose, por tanto, la igualdad (6.4)). Desgraciadamente no siempre ocurre ası y haymuchas funciones integrables (e incluso continuas) cuya serie de Fourier diverge en uno o mas puntos.

Comentario:

• Del mismo modo que una serie de Fourier no tiene por que ser convergente, una serie trigonometrica notiene por que ser serie de Fourier de alguna funcion; esto es, los coeficientes de dicha serie no podrıanobtenerse mediante expresiones del tipo (6.6) para ninguna funcion f(x) (ni aun tomando como funcionla suma de dicha serie, en el caso de que fuera convergente).

Ejemplo:

• La serie∞∑n=1

sin nx

log (1 + n)converge ∀x ∈ R pero se sabe que no es de Fourier.

6.3.2 Convergencia de series de Fourier

El problema fundamental consiste, pues, en investigar las propiedades de una funcion integrable que garan-ticen que su serie de Fourier, no solo es convergente, sino que tiene dicha funcion como suma.

En primer lugar, de la igualdad (6.4) y observando que cada termino de la serie trigonometrica que enella aparece tiene periodicidad 2π, se obtiene de inmediato que:

Proposicion 55 Si12a0 +

∞∑n=1

(an cos nx+ bn sin nx) es la serie de Fourier de una funcion f(x) y converge

sumando f(x) (es decir, se cumple la igualdad (6.4)), entonces f(x) es periodica de periodo 2π.

Puede tambien demostrarse que:

Lema 6 Sea f(x) una funcion tal que 3:

1. f(x) esta acotada.

2. f(x) tiene un numero finito de puntos de discontinuidad.

3. f(x) tiene un numero finito de maximos y mınimos.

Entonces todos los puntos de discontinuidad de f(x) son simples; es decir, existen los lımites laterales f(x+)y f(x−) de f(x) en todos los puntos x de su dominio.

2Observese que no es necesario que sea una funcion continua.3Estas condiciones se denominan condiciones de Dirichlet.


Y a partir de aquı, el siguiente resultado (que se enuncia sin demostracion):

Teorema 25 (de Dirichlet): Sea f(x) una funcion definida en el intervalo I = [−π, π), tal que:

1. f(x) esta acotada en I.

2. f(x) tiene un numero finito de puntos de discontinuidad en I.

3. f(x) tiene un numero finito de maximos y mınimos en I.

4. Fuera de [−π, π) esta definida por periodicidad; es decir, es periodica de periodo 2π.

Entonces existe la serie de Fourier de f(x), que converge a12

(f(x+) + f(x−)) en todos los puntos x ∈ R y,

por tanto, converge a la funcion f(x) en todos los puntos donde la funcion es continua.

(En particular, si en los puntos de discontinuidad la funcion se define tomando el valor medio de suslımites laterales en dichos puntos, la serie de Fourier converge a la funcion en todos los puntos del dominio).

Comentario:

• Observese que la continuidad de una funcion no es, por tanto, condicion necesaria ni suficiente para laconvergencia de su serie de Fourier (si esta existe).

De este modo, puede darse el caso de que una funcion discontinua sea representable por una serie deFourier en todos los puntos de su dominio, siempre que sus discontinuidades sean simples y se comportesuficientemente bien entre los puntos de discontinuidad.

Ejemplo:

• Para la funcion

f(x) =

0 si −π ≤ x < 0π si 0 ≤ x < π

se tiene que

a0 =1π

(∫ 0

−π0dx+

∫ π

0

πdx)

= π

an =1π

∫ π

0

π cos nxdx = 0 (n ≥ 1)

bn =1π

∫ π

0

π sin nxdx =1n

(1− (−1)n) (n ≥ 1)

es decir, b2n = 0 y b2n−1 =2

2n− 1; por consiguiente la serie de Fourier de esta funcion es

π

2+ 2

(sin x+

sin 3x3

+sin 5x

5+ . . .

)Esta serie converge a la funcion dada en todos los puntos de los intervalos (−π, 0)∪ (0, π), pero no enlos puntos de discontinuidad −π, 0, π donde su suma vale π/2.

Si la funcion se extiende por periodicidad a todo R, el resultado sobre la convergencia de la serie es elmismo en todos los intervalos [(2n− 1)π, (2n+ 1)π) (n ∈ Z− 0).


6.3.3 Funciones pares e impares

En los apartados anteriores se ha trabajado con funciones definidas en el intervalo [−π, π) y extendidaspor periodicidad fuera de ese intervalo. En estos casos, tambien podrıa haberse tomado como intervalo detrabajo [0, 2π) u otro cualquiera de longitud 2π. Sin embargo, el haber tomado la primera opcion (intervalosimetrico respecto al origen) tiene notorias ventajas a la hora de explotar las propiedades de simetrıa oantisimetrıa de las funciones. Ası, como primer resultado se tiene:

Proposicion 56 Sea f(x) una funcion integrable en [−π, π).

1. f(x) es una funcion par si, y solo si, sus coeficientes de Fourier son

an =2π

∫ π

0

f(x) cos nxdx , bn = 0

es decir, su serie de Fourier contiene solo terminos en cos nx.

2. f(x) es una funcion impar si, y solo si, sus coeficientes de Fourier son

an = 0 , bn =2π

∫ π

0

f(x) sin nxdx

es decir, su serie de Fourier contiene solo terminos en sin nx.

( Dem. ) Inmediata.

Y de aquı:

Definicion 40 Una serie de Fourier se dice que es de tipo seno para x (resp. de tipo coseno para x) siisolo contiene terminos en sin nx (resp. en cos nx).

Y como caso particular del teorema de Dirichlet en este contexto se tiene:

Teorema 26 (de Dirichlet): Sea f(x) una funcion definida en el intervalo I = [0, π), tal que satisfaga lascondiciones de Dirichlet en I 4. Entonces f(x) se puede desarrollar en una serie de Fourier de tipo cosenoo de tipo seno, con la salvedad, en este ultimo caso, de que la serie no puede converger a f(x) en los puntosx = 0, π, . . . , nπ, . . ., a menos que la funcion tome valor 0 en ellos.

( Dem. ) Es una consecuencia directa del teorema de Dirichlet.

Comentario:

• Para hallar la serie de Fourier de tipo seno de f(x), se redefine la funcion f(x) (si es necesario) dandoleel valor 0 en x = 0, π y extendiendola, a continuacion, al intervalo [−π, 0) de manera que la funcionextendida en [−π, π) sea impar. Fuera de este intervalo se define por periodicidad (si es necesario).

• De igual forma, para hallar la serie de Fourier de tipo coseno de f(x), se extiende la funcion al intervalo[−π, 0) de manera que la funcion extendida en [−π, π) sea par. Fuera de este intervalo se define porperiodicidad (si es necesario).

Ejemplo:

• Para la funcion f(x) = cos x definida en [0, π), la serie de Fourier de tipo seno es

8π

∞∑n=1

n sin 2nx4n2 − 1

mientras que la de tipo coseno es simplemente la propia funcion.4Notese que no se pide que sea par ni impar, ni tan siquiera periodica, sino que solo este definida en ese intervalo verificando

esas condiciones.


6.3.4 Extension a intervalos arbitrarios

Hasta el momento todo lo que se ha enunciado sobre series de Fourier es valido para funciones definidas enel intervalo [−π, π) (y extendidas por periodicidad fuera de el). No obstante, en muchas aplicaciones seranecesario manejar series de Fourier de funciones periodicas de periodo 2L definidas en el intervalo [−L,L)(con L > 0).

Para obtener dichas series el procedimiento a seguir es el siguiente:

1. Efectuar el cambio de variable t =πx

Lo, equivalentemente, x =

Lt

π.

Con ello la funcion f(x), x ∈ [−L,L), periodica de periodo 2L, se transforma en f(t) = f(Lt/π) ,t ∈ [−π, π), que es periodica de periodo 2π.

2. Si f(x) satisface las condiciones de Dirichlet en [−L,L), tambien lo hace f(t) en [−π, π).

Entonces se desarrolla f(t) en serie de Fourier de la forma expuesta.

3. Se deshace el cambio de variable en la serie hallada a fin de obtener la serie de Fourier de f(x).

Comentario:

• Otra forma de obtener el mismo resultado consistirıa en calcular directamente la serie de Fourier def(x), pero calculando los coeficientes de Fourier del siguiente modo:

a0 =1L

∫ L

−Lf(x)dx , an =

1L

∫ L

−Lf(x) cos nxdx (∀n ∈ N)

bn =1L

∫ L

−Lf(x) sin nxdx (∀n ∈ N)

aunque, en general es mas rapido el anterior procedimiento.

6.3.5 Funciones ortogonales: series de Fourier generalizadas

Definicion 41 Una sucesion funcional θn(x) (n ∈ N) es una sucesion de funciones ortogonales sobre elintervalo [a, b] sii ∫ b

a

θn(x)θm(x)dx =

0 si m 6= nkn 6= 0 si m = n

La sucesion se denomina ortonormal sii kn = 1, ∀n, y en tal caso, se dice que las funciones de la sucesionestan normalizadas.

Comentario:

• Si la sucesion funcional θn(x) es ortogonal pero no ortonormal entonces es inmediato observar queφn(x) con

φn(x) =θn(x)√kn

es una sucesion ortonormal 5.

Ejemplo:

5Observese que kn > 0 ya que

∫ b

a

(θn(x))2dx .


• La sucesion funcional1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . .

que se ha usado en los apartados anteriores para construir las series de Fourier de funciones, esortogonal en el intervalo [−π, π] pero no en el [0, π], pues∫ π

0

1 sin xdx = 2 6= 0

y dado que ∫ π

−π1dx = 2π ,

∫ π

−πcos2 nxdx = π ,

∫ π

−πsin2 nxdx = π

la sucesion ortonormal en [−π, π] obtenida a partir de esta es

1√2π,

cos x√π,

sin x√π,

cos 2x√π

,sin 2x√

π, . . .

En el siglo XIX y principios del XX algunos matematicos y fısicos observaron que se podıan construirseries del tipo de Fourier utilizando cualquier sucesion de funciones ortogonales 6. En efecto; supongase quese tiene una sucesion ortonormal φn(x) (n ∈ N) en [a, b] y una funcion f(x) integrable en [a, b] y que sequiere desarrollar dicha funcion en una serie que converja a la funcion, del siguiente modo

f(x) =∞∑n=1

anφn(x) (6.8)

Intentemos definir cuales son los coeficientes an. Multiplicando ambos miembros de la igualdad por φn(x)se obtiene

f(x)φn(x) = a1φ1(x)φn(x) + . . .+ anφ2n(x) + . . .

y, asumiendo que se puede integrar termino a termino y teniendo en cuenta la propiedad de ortonormalidadde las funciones φn(x), resulta ∫ b

a

f(x)φn(x)dx = an

∫ b

a

φ2n(x)dx = an

luego, tomando esto como modelo se puede definir:

Definicion 42 Sea una sucesion ortonormal φn(x) (n ∈ N) en [a, b] y una funcion f(x) integrable en[a, b]. Se denomina serie de Fourier generalizada de f(x) respecto a la sucesion φn(x) a la serie

∞∑n=1

anφn(x)

donde los coeficientes son

an =∫ b

a

f(x)φn(x)dx

y se denominan coeficientes de Fourier generalizados de f(x) respecto a la sucesion φn(x).

Comentario:

• Observese que, en el desarrollo anterior, se han asumido las hipotesis de que la funcion f(x) puede serexpresada por medio de una serie de la forma descrita y que dicha serie es integrable termino a termino.En realidad, estas dos condiciones no van a estar aseguradas de entrada para cualquier funcion y, portanto, la igualdad (6.8) no se va a cumplir en general (igual que ya ocurrıa con las series de Fourierordinarias, que son un caso particular de estas).

6Posteriormente, estas series pasaron a ser instrumentos indispensables de trabajo en muchas ramas de la fısica matematica,principalmente en Mecanica Cuantica.


6.3.6 Convergencia en media cuadratica de series de Fourier

Se va a estudiar, a continuacion en que condiciones se puede garantizar que una serie de Fourier generalizadaconverja a la funcion que la define. Previamente hay que introducir un nuevo concepto sobre convergenciade series de funciones.

Sea una funcion f(x) y una sucesion de funciones pn(x), definidas todas ellas en [a, b] ∈ R. Si sedesea aproximar f(x) por medio de los terminos de esta sucesion, cada uno de los numeros |f(x)− pn(x)| y(f(x)−pn(x))2 da una medida del error de la aproximacion en el punto x. Sin embargo, puede ser preferibledar una medida del error que se refiera a todo el intervalo [a, b], lo cual puede conseguirse mediante lasintegrales ∫ b

a

|f(x)− pn(x)|dx ,

∫ b

a

(f(x)− pn(x))2dx

siendo la segunda mejor eleccion que la primera ya que evita el valor absoluto en el integrando y hace masconvenientes los calculos necesarios (como se vera). Ası pues:

Definicion 43 Dada una funcion f(x) y una sucesion de funciones pn(x), definidas e integrables en[a, b] ∈ R.

1. Se denomina error cuadratico medio de f(x) por la sucesion pn(x) 7 a

En =∫ b

a

(f(x)− pn(x))2dx

2. Se dice que pn(x) converge en media a f(x) sii

limn→∞

En := limn→∞

(f(x)− pn(x))2 = 0

y se escribe 8 l.i.m.n→∞pn(x) = f(x) .

Comentario:

• El error cuadratico medio es justamente el cuadrado de la norma ‖f − pn‖ en el espacio metricode funciones integrables en [a, b]. Por consiguiente, la convergencia en media de pn(x) a f(x) esequivalente a la convergencia de esta sucesion al lımite f(x) en ese espacio metrico; es decir

d(f, pn) = ‖f − pn‖ → 0 (n→∞)

El resultado crucial de este apartado es el siguiente:

Teorema 27 Sea una funcion f(x) y una sucesion ortonormal de funciones φn(x), definidas e integrablesen [a, b] ∈ R. Para cada entero positivo k, la k-esima suma parcial de la serie de Fourier generalizada de

f(x) respecto a la sucesion φn(x); es decir,k∑

n=1

anφn(x) , produce un error cuadratico medio

Ekmin =∫ b

a

[f(x)−k∑

n=1

anφn(x)]2dx (6.9)

que es menor que el de cualquier otra combinacion lineal pk =k∑

n=1

bnφn(x) .

7Esta terminologıa es adecuada por cuanto, si se divide En por b − a, se obtiene el valor medio del error cuadratico(f(x)− pn(x))2 de la aproximacion.

8l.i.m. significa lımite in media.


( Dem. ) Se trata de minimizar el error cuadratico medio

Ek =∫ b

a

(f(x)− pk(x))2dx =∫ b

a

(f(x)−k∑

n=1

bnφn(x))2dx

mediante una adecuada eleccion de los coeficientes bn. Desarrollando el cuadrado del integrando se tiene

Ek =∫ b

a

f(x)2dx− 2∫ b

a

f(x)k∑

n=1

bnφn(x)dx+∫ b

a

(k∑

n=1

bnφn(x))2dx

Recordando que los coeficientes de Fourier de f(x) respecto a la sucesion φn(x) son an =∫ b

a

f(x)φn(x)dx

, la segunda integral del desarrollo es∫ b

a

f(x)k∑

n=1

bnφn(x)dx =k∑

n=1

bn

∫ b

a

f(x)φn(x)dx =k∑

n=1

bnan

mientras que la tercera, teniendo en cuenta la ortonormalidad de las funciones φn(x), se transforma en∫ b

a

(k∑

n=1

bnφn(x))2dx =∫ b

a

(k∑

n=1

bnφn(x))(k∑

n=1

bnφn(x))dx =∫ b

a

k∑n=1

b2nφn(x)2dx =k∑

n=1

b2n

De este modo resulta

Ek =∫ b

a

f(x)2dx− 2k∑

n=1

bnan +k∑

n=1

b2n =∫ b

a

f(x)2dx−k∑

n=1

a2n +

k∑n=1

(bn − an)2

y, observando que los terminos de la ultima suma son (bn−an)2 ≥ 0, se obtiene finalmente que Ek es mınimoen el caso en que bn = an.

A partir de este teorema se obtiene:

Teorema 28 Sea una funcion f(x) y una sucesion ortonormal de funciones φn(x), definidas e integrablesen [a, b] ∈ R. Si los numeros an son los coeficientes de Fourier de f(x) respecto a la sucesion φn(x),

entonces la serie numerica∞∑n=1

a2n es convergente y satisface la desigualdad de Bessel:

∞∑n=1

a2n ≤

∫ b

a

(f(x))2dx

( Dem. ) De acuerdo con el teorema anterior, como En ≥ 0para toda eleccion de bn, es claro que el valormınimo de En (que ocurre cuando bn = an) es tambien no negativo; lugo (6.9) implica que∫ b

a

(f(x))2dx−k∑

n=1

a2n ≥ 0 ⇔

k∑n=1

a2n ≤

∫ b

a

(f(x))2dx

de donde, al hacer k →∞, se obtiene el resultado.

Y, como el termino n-esimo de una serie convergente ha de tender a 0 cuando n → ∞, se tiene comocorolario que:

Teorema 29 Sea una funcion f(x) y una sucesion ortonormal de funciones φn(x), definidas e integrablesen [a, b] ∈ R. Si los numeros an son los coeficientes de Fourier de f(x) respecto a la sucesion φn(x),entonces lim

n→∞an = 0 .


Con estos resultados se esta ya en condiciones de responder a la pregunta de bajo que condiciones la seriede Fourier (generalizada) de una funcion converge en media a dicha funcion o, lo que es equivalente, cuandolas sumas parciales de la mencionada serie convergen en media a la funcion. La respuesta es:

Teorema 30 Sea una funcion f(x) y una sucesion ortonormal de funciones φn(x), definidas e integrablesen [a, b] ∈ R. La serie de Fourier generalizada de f(x) respecto a la sucesion φn(x) converge en media af(x); es decir,

l.i.m.k→∞k∑

n=1

anφn(x) = f(x) (6.10)

si, y solo si, la desigualdad de Bessel se transforma en la identidad de Parseval:

∞∑n=1

a2n =

∫ b

a

(f(x))2dx

( Dem. ) Teniendo en cuenta el teorema 27, es evidente que la expresion (6.10) es valida si, y solo si,Ek → 0 cuando k →∞, y de la formula (6.9) se obtiene que ello es equivalente a que se satisfaga la igualdaden la desigualdad de Bessel:

∞∑n=1

a2n −

∫ b

a

(f(x))2dx = 0

que es la identidad de Parseval.

Definicion 44 Una sucesion ortonormal de funciones φn(x), definidas e integrables en [a, b] ∈ R se diceque es completa sii para cualquier funcion f(x) (integrable en [a, b] ∈ R) su serie de Fourier generalizadarespecto a la sucesion φn(x) converge en media a f(x); es decir, se verifica la expresion (6.10).

Ası pues, una sucesion ortonormal completa en [a, b] es util para construir aproximaciones en mediacuadratica de funciones integrables en [a, b].

Finalmente se enuncia (sin demostracion) el siguiente resultado:

Teorema 31 La sucesion ortonormal trigonometrica

1√2π,

cos x√π,

sin x√π,

cos 2x√π

,sin 2x√

π, . . .

es completa en [π, π).

Por consiguiente, toda funcion integrable en [−π, π) puede ser aproximada por su serie de Fourier (en elsentido de que dicha serie converge en media cuadratica a la funcion dada) 9.

Comentario:

• Recordemos ahora que, dado un espacio vectorial euclıdeo E y una base de vectores ortonormales ui,cualquier vector v ∈ E se puede expresar como una combinacion

v =∑i

αiui (6.11)

con los coeficientes determinados mediante las expresiones

αi = 〈v,ui〉 (6.12)

9Conviene recordar que esta afirmacion es falsa si se considera la convergencia puntual, como ya se ha visto en alguno de losejemplos dados en los apartados anteriores.


Teniendo esto en mente, se puede establecer la siguiente analogıa: el conjunto de funciones integrablesde Riemann en un intervalo [a, b] tiene estructura de espacio vectorial (de dimension infinita) en el cualse puede definir el siguiente producto escalar de funciones

〈f, g〉 :=∫ b

a

f(x)g(x)dx

De este modo, una sucesion de funciones ortonormales φn(x) se puede considerar como una baseortonormal de dicho espacio (respecto a este producto escalar) y el ultimo teorema expresa el hechode que cualquier funcion, elemento de este espacio, se puede expresar como combinacion de elementosde esta base, con los coeficientes determinados del mismo modo que en el caso de cualquier espacioeuclıdeo normal.

Es en base a esta analogıa que la expresion (6.11) se puede denominar desarrollo en serie de Fourierdel vector v respecto a la base ui, y los coeficientes de (6.12) coeficientes de Fourier del vector vrespecto a la base ui.

6.4 Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales de segundo or-den y su resolucion

6.4.1 Metodo de separacion de variables. Problema de Sturm-Liouville

Para resolver ecuaciones en derivadas parciales el metodo mas simple es el denominado metodo de separacionde variables, que consiste en asumir la siguiente hipotesis:

Hipotesis 1 (Metodo de separacion de variables): La solucion de la ecuacion diferencial en derivadasparciales es factorizable en producto de funciones de cada una de las variables independientes

Cuando se aplica este metodo para la resolucion de ecuaciones en derivadas parciales (en dos dimensiones,como son las que se van a estudiar), con condiciones de contorno (de tipo Dirichlet) lineales y homogeneas,el problema queda reconvertido en un problema de contorno de ecuaciones diferenciales ordinarias, del cualse trata de hallar soluciones no triviales. En el caso mas general , dicho problema se plantea en los siguientesterminos:

Definicion 45 Se denomina problema de Sturm-Liouville al problema de resolver una ecuacion diferencialordinaria del tipo

ddx

[p(x)

dy(x)dx

]+ [λq(x) + f(x)]y(x) = 0 (∀x ∈ [a, b])

con condiciones de contorno lineales y homogeneas.

Si las condiciones de contorno consisten en dar los valores de la funcion incognita y(x) en los extremos delintervalo; esto es, y(a) e y(b), y las funciones p(x) y q(x) se restringen adecuadamente se tiene el siguienteresultado:

Teorema 32 Sea el problema de contorno

ddx

[p(x)

dy(x)dx

]+ [λq(x) + f(x)]y(x) = 0 (x ∈ [a, b])

y(a) = y(b) = 0

tal que p(x) > 0 y q(x) > 0 y son funciones continuas en [a, b] (p(x) de clase C1). Entonces existensoluciones no triviales a dicho problema si, y solo si, existe una sucesion creciente y positiva λn ⊂ R+

con limn→∞

λn = ∞ tal que el parametro λ ∈ R coincide con alguno de estos valores λn. En tal caso, para

cada valor λn se tiene un problema de contorno cuya solucion (no trivial) yn(x) es unica salvo un factorconstante arbitrario.


Y se adopta la siguiente terminologıa:

Definicion 46 En el teorema anterior, los terminos de la sucesion λn se denominan valores propioso autovalores y las funciones yn(x) correspondientes funciones propias o autofunciones del problema decontorno dado.

En los tres casos que se van a analizar, el problema de Sturm-Liouville que se planteara es un casoparticular del anterior en el que p(x) = q(x) = 1 y f(x) = 0:

Corolario 2 Dado el problema de contorno

d2y(x)dx2

+ λy(x) = 0 ; y(0) = 0 , y(L) = 0

• Si λ ≤ 0 entonces la unica solucion del problema es la trivial y(x) = 0.

• Si λ > 0, el problema tiene solucion no trivial si, y solo si, λ =n2π2

L2, para algun valor n ∈ N; en

cuyo caso dicha solucion es la funcion

y(x) = kn sinnπ

Lx (an ∈ R− 0)

(y cualquier otra que se obtenga multiplicando esta por un factor constante).

( Dem. ) Trivial (se propone como ejercicio).

6.4.2 Ecuacion de ondas (o de la cuerda vibrante)

La primera ecuacion que se va a estudiar es la que describe la transmision de ondas en un medio. Comocaso concreto se va a analizar la siguiente situacion: se tiene una cuerda tensa sujeta entre los puntos x = 0y x = L, la cual se somete a una deformacion inicial representada por una curva plana f(x). La formade la cuerda va a cambiar en funcion del tiempo y, por consiguiente, vendra representada por una funciony = y(x, t). Tras hacer algunas hipotesis basadas en principios fısicos se encuentra que la ecuacion delmovimiento de los puntos de la cuerda es la siguiente

∂2y

∂t2− a2 ∂

2y

∂x2= 0 (6.13)

en la cual a es una constante que depende de las caracterısticas fısicas del problema 10, y se denominaecuacion de la cuerda vibrante o ecuacion de ondas unidimensional.

Se trata, pues, de una ecuacion en derivadas parciales en dos dimensiones, lineal, homogenea, con coefi-cientes constantes de tipo hiperbolico. (ya que, en este caso, B2 − 4AC > 0, segun la definicion 38).

Vamos a resolver pues el problema clasico de fısica matematica que consiste en hallar la solucion a estaecuacion 11. siguiendo el metodo de separacion de variables.

Proposicion 57 (solucion de Bernouilli de la ecuacion de ondas): Sea el problema de la cuerda vibrante,que se plantea en los siguientes terminos:

10Se tiene que a2 =H

ρ, donde H es la componente horizontal de la tension (que es constante si se asume que solo hay

movimiento transversal) y ρ es la densidad.11Este problema fue propuesto por Daniel Bernouilli en 1753 y acabado de resolver por Euler en 1777 quien, de este modo,

abrio el vasto campo del estudio de las series de Fourier.


• Ecuacion diferencial: la ecuacion de ondas en una dimension (lineal, homogenea e hiperbolica)

∂2y

∂t2− a2 ∂

2y

∂x2= 0 (x ∈ [0, L])

• Condiciones de contorno: Extremos fijos (condiciones de Dirichlet (lineales homogeneas))

y(0, t) = 0 , y(L, t) = 0 (6.14)

• Condiciones iniciales: Cuerda inicialmente en reposo de forma dada

∂y

∂t

∣∣∣t=0

= 0 , y(x, 0) = f(x) (6.15)

donde f(x) es una funcion desarrollable en serie de Fourier en [0, L], con f(0) = f(L) = 0.

Su solucion es

y(x, t) =∞∑n=1

bn sinnπ

Lx cos

nπ

Lat (n ∈ N)

donde bn son los coeficientes de Fourier (de tipo seno) de la funcion f(x) en [0, L].

( Dem. ) El punto de partida sera, pues, asumir que

y(x, t) = u(x)v(t)

de modo que, sustituyendo en la ecuacion (6.13)

a2u′′(x)v(t) = u(x)v′′(t) ⇒ u′′(x)u(x)

=1a2

v′′(t)v(t)

Dado que cada miembro de esta ultima ecuacion depende de una variable diferente, la igualdad solo puedeser cierta si, y solo si, ambos son iguales a una constante λ ∈ R (constante de separacion); con lo cual seobtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogeneas con coeficientes constantes

d2u(x)dx2

− λu(x) = 0 ,d2v(t)

dt2− λa2v(t) = 0 (6.16)

Para la primera de ellas, las condiciones de contorno (6.14) se traducen en u(0) = 0, u(L) = 0 y, en virtud del

corolario 2, las soluciones no triviales para u(x) se van a dar cuando λ = −n2π2

L2, y seran las autofunciones

un(x) = sinnπ

Lx

Por otra parte, para cada uno de esos autovalores λ la segunda de las ecuaciones (6.16) tiene como soluciongeneral

v(t) = c1 sinnπ

Lat+ c2 cos

nπ

Lat

Pero para esta ecuacion la primera de las condiciones iniciales (6.15) se traduce en quedvdt

(0) = 0 , con loque c1 = 0 y, por consiguiente, todas las funciones

vn(x) = cosnπ

Lat

son soluciones no triviales de dicho problema.

De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo

Knyn(x, t) ≡ Knun(x)vn(t) ≡= Kn sinnπ

Lx cos

nπ

Lat (Kn ∈ R− 0 , n ∈ N)


son solucion no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno inicialmenteestablecidas). Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 12

y(x, t) =∞∑n=1

Kn sinnπ

Lx cos

nπ

Lat ≡

∞∑n=1

Knyn(x, t)

es tambien solucion y satisface las condiciones de contorno (6.14) y la primera de las condiciones iniciales(6.15). Solo queda por imponer la segunda de las condiciones iniciales (6.15). Por una parte se tiene

y(x, 0) =∞∑n=1

Kn sinnπ

Lx

y por otra, desarrollando f(x) en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo [0, L], resulta

f(x) =∞∑n=1

bn sinnπ

Lx

con lo que y(x, 0) = f(x) lleva a que Kn = bn, ∀n ∈ N.

Comentario:

• Observese que la resolucion completa de la ecuacion de ondas (esto es la obtencion de la solucioncon todas las constantes determinadas) requiere la imposicion de condiciones de contorno (de tipoDirichlet) y dos condiciones iniciales.

6.4.3 Ecuacion del calor

El analisis matematico del problema de la conduccion del calor en un cuerpo fue realizado por el fısicomatematico frances Fourier en un tratado de 1822. Basandose en datos experimentales fısicos y en razon-amientos analıticos dedujo que, si T (x, y, z, t) era la funcion que describıa la temperatura de un cuerpo encada punto (x, y, z) y en cada instante t, se satisfacıa la siguiente expresion

a2

(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2+∂2T

∂z2

)=∂T

∂t(6.17)

en la cual a es una constante que depende de las caracterısticas fısicas del cuerpo en cuestion 13. Estaecuacion recibe el nombre de ecuacion de transmision del calor tridimensional,

En el estudio que se va a hacer nos limitaremos a considerar el caso de transmision del calor en una soladimension, en el que se toma la funcion T = T (x, t) y, por tanto, estudiaremos la ecuacion

∂2T

∂x2=

1a2

∂T

∂t

Se trata, pues, de una ecuacion en derivadas parciales en dos dimensiones, lineal, homogenea, con coeficientesconstantes de tipo parabolico.

Vamos a abordar ahora el problema de la resolucion de la ecuacion de transmision del calor a lo largo deuna barra de longitud L. Para ello se seguira el mismo metodo que para la ecuacion de ondas; es decir, elmetodo de separacion de variables. Con ello demostraremos el siguiente resultado:

Proposicion 58 Sea el problema de la transmision del calor (en una dimension), que se plantea en lossiguientes terminos:

12Asumiendo la convergencia y derivabilidad termino a termino de dicha serie.

13Se tiene que a2 =K

cρ, donde K es la conductividad termica, c es el calor especıfico y ρ es la densidad.


• Ecuacion diferencial: la ecuacion de transmision del calor unidimensional (lineal, homogenea yparabolica)

∂2T

∂x2− 1a2

∂T

∂t= 0 (x ∈ [0, L]) (6.18)

• Condiciones de contorno: Extremos a temperatura nula (condiciones de Dirichlet (lineales ho-mogeneas))

T (0, t) = 0 , T (L, t) = 0 (6.19)

• Condicion inicial: Temperatura inicial dada

T (x, 0) = f(x) (6.20)

donde f(x) es una funcion desarrollable en serie de Fourier en [0, L], con f(0) = f(L) = 0.

Su solucion es

T (x, t) =∞∑n=1

bn sinnπ

Lxe−

n2π2

L2 a2t (n ∈ N)

donde bn son los coeficientes de Fourier (de tipo seno) de la funcion f(x) en [0, L].

( Dem. ) El punto de partida sera, pues, asumir que

T (x, t) = u(x)v(t)

que, al sustituir en la ecuacion (6.18), conducira a

u′′(x)u(x)

=1a2

v′(t)v(t)

y de aquı se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogeneas con coeficientes constantes

d2u(x)dx2

− λu(x) = 0 ,dv(t)

dt− λa2v(t) = 0 (λ ∈ R) (6.21)

Para la primera de ellas, las condiciones de contorno (6.19) se traducen en u(0) = 0, u(L) = 0 y, en virtud del

corolario 2, las soluciones no triviales para u(x) se van a dar cuando λ = −n2π2

L2, y seran las autofunciones

un(x) = sinnπ

Lx (n ∈ N)

Por otra parte, para esos autovalores λ la segunda de las ecuaciones (6.21) tiene como solucion general notrivial las funciones

vn(t) = e−n2π2

L2 a2t (n ∈ N)


KnTn(x, t) ≡ Knun(x)vn(t) ≡ Kn sinnπ

Lxe−

n2π2

L2 a2t (Kn ∈ R− 0 , n ∈ N)

son solucion no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno establecidas).Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 14

T (x, t) =∞∑n=1

Kn sinnπ

Lxe−

n2π2

L2 a2t ≡∞∑n=1

KnTn(x, t)

es tambien solucion y satisface las condiciones de contorno (6.19). Solo queda por imponer la condicioninicial (6.20). Por una parte se tiene

T (x, 0) =∞∑n=1

Kn sinnπ

Lx

14Asumiendo nuevamente la convergencia y derivabilidad termino a termino de dicha serie.


y, por otro, desarrollando f(x) en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo [0, L], resulta

f(x) =∞∑n=1

= bn sinnπ

Lx

con lo que T (x, 0) = f(x) lleva a que Kn = bn, ∀n ∈ N.

Comentario:

• Observese que la resolucion completa de la ecuacion del calor unidimensional (esto es la obtencion dela solucion con todas las constantes determinadas) requiere la imposicion de condiciones de contorno(tipo Dirichlet) y una condicion inicial.

6.4.4 Ecuacion de Laplace. Problema de Dirichlet

Como punto de partida para obtener la tercera de las ecuaciones que nos interesan, considerese la ecuacionde transmision del calor (6.17) y, como caso particular de ella, una situacion en la que hay un estado estable.

Entonces, denominando ω = ω(x, y, z) a la funcion incognita, se tiene que∂ω

∂t= 0 y la ecuacion anterior se

reduce a∂2ω

∂x2+∂2ω

∂y2+∂2ω

∂z2= 0 (6.22)

que se denomina ecuacion de Laplace, y es una de la mas importantes que aparecen en matematica aplicada.

Nos vamos a limitar a considerar el caso bidimensional en el que se toma la funcion ω = ω(x, y) y, portanto, estudiaremos la ecuacion

∂2ω

∂x2+∂2ω

∂y2= 0

Se trata de una ecuacion en derivadas parciales en dos dimensiones, lineal, homogenea, con coeficientesconstantes de tipo elıptico.

La resolucion de la ecuacion de Laplace con unas condiciones de contorno dadas recibe el nombre deproblema de Dirichlet y se puede enunciar ası:

Definicion 47 Sean una region compacta D ⊂ Rn, con borde ∂D = C, y una funcion f : I ⊂ R→ C ⊂ Rn,continua (al menos a trozos). Se denomina Problema de Dirichlet al problema de determinar una funcioncontinua (al menos a trozos) ω:D ⊂ Rn → R tal que:

1. Sea solucion de la ecuacion de Laplace en D (esto es, armonica).

2. Coincida con f sobre la frontera C de D.

Vamos a resolver la ecuacion de Laplace en el plano, primero en un rectangulo, siguiendo nuevamente elmetodo de separacion de variables.

Proposicion 59 Sea el problema de Dirichlet en un rectangulo del plano, que se plantea en los siguientesterminos:

• Ecuacion diferencial: la ecuacion de Laplace en un rectangulo D ⊂ R2 (lineal, homogenea y elıptica)

∂2ω

∂x2+∂2ω

∂y2= 0 ((x, y) ∈ [0, a]× [0, b]) (6.23)

• Condiciones de contorno: (condiciones de Dirichlet (lineales homogeneas))

ω(x, 0) = 0 , ω(x, b) = 0 , ω(0, y) = 0 , ω(a, y) = f(y) (6.24)

donde f(y) es una funcion desarrollable en serie de Fourier en [0, b].


Su solucion es

ω(x, y) =∞∑n=1

Kn sinhnπ

bx sin

nπ

by (n ∈ N)

donde Kn =bn

sinh nπa

, siendo bn son los coeficientes de Fourier (de tipo seno) de la funcion f(y) en [0, b).

( Dem. ) Asumiendo queω(x, y) = u(x)v(y)

y sustituyendo en la ecuacion (6.23) se llega a

u′′(x)u(x)

= −v′′(y)v(y)

y de aquı se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogeneas con coeficientes constantes

d2u(x)dx2

− λu(x) = 0 ,d2v(y)

dy2+ λv(y) = 0 (λ ∈ R) (6.25)

Comencemos por resolver la segunda ecuacion, para la cual las dos primeras condiciones de contorno (6.24)se traducen en v(0) = 0, v(b) = 0 y, en virtud del corolario 2, las soluciones no triviales para v(y) se van a

dar cuando λ =n2π2

b2, y seran las autofunciones

vn(y) := sinnπ

by (n ∈ N)

Por otra parte, para esos autovalores λ la primera de las ecuaciones (6.25), junto con la condicion de inicialu(0) = 0 en que se traduce la tercera de las condiciones de contorno (6.24), tiene como solucion general notrivial las funciones

un(x) = sinhnπ

bx (n ∈ N)


Knωn(x, t) ≡ Knun(x)vn(y) ≡ Kn sinhnπ

bx sin

nπ

by (Kn ∈ R− 0 , n ∈ N)


ω(x, y) =∞∑n=1

Kn sinhnπ

bx sin

nπ

by ≡

∞∑n=1

ωn(x, t)

es tambien solucion y satisface las tres primeras condiciones de contorno (6.24).

Solo queda por imponer la ultima condicion de contorno (6.24). Por una parte se tiene

ω(a, y) =∞∑n=1

Kn sinhnπ

ba sin

nπ

by

y, por otro, desarrollando f(y) en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo [0, b], resulta

f(y) =∞∑n=1

bn sinnπ

bx

con lo que ω(a, y) = f(y) lleva a que Kn =bn

sinh nπb a

, ∀n ∈ N.

Vamos a resolver, a continuacion, la ecuacion de Laplace en un cırculo (esto es, la ecuacion de Laplace encoordenadas polares), siguiendo otra vez el metodo de separacion de variables. Se tiene el siguiente resultado:



Proposicion 60 Sea el problema de Dirichlet en un cırculo del plano, que se plantea en los siguientesterminos:

• Ecuacion diferencial: la ecuacion de Laplace en coordenadas polares, en el cırculo unidad (lineal,homogenea y elıptica)

∂2ω

∂r2+

1r2

∂2ω

∂θ2+

1r

∂ω

∂r= 0 ((r, θ) ∈ D = (r, θ) ∈ R2 | 0 < r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π (6.26)

• Condicion de contorno: (condicion de Dirichlet (lineal homogenea))

ω(1, θ) = f(θ) (6.27)

donde f(θ) es una funcion desarrollable en serie de Fourier en el intervalo [0, 2π].

Su solucion es

ω(r, θ) =12a0 +

∞∑n=1

rn(an cos nθ + bn sin nθ) (n ∈ N)

donde an, bn son los coeficientes de Fourier de la funcion f(θ).

( Dem. ) Asumiendo queω(r, θ) = u(r)v(θ)

y sustituyendo en la ecuacion (6.26) se llega a

r2u′′(r) + ru′(r)u(r)

= −v′′(θ)v(θ)

y de aquı se obtienen las dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogeneas con coeficientes con-stantes

r2 d2u(r)dr2

+ rdu(r)

dr− λu(r) = 0 ,

d2v(θ)dθ2

+ λv(θ) = 0 (λ ∈ R) (6.28)

Comencemos por resolver la segunda ecuacion, que esta definida en [0, 2π] y,por tanto, en virtud del corolario2, las soluciones no triviales para v(θ) se van a dar cuando λ = n2 , y seran las combinaciones lineales

v(θ) = An cos nθ +Bn sin nθ (n ∈ Z+)

Por otra parte, para esos autovalores λ la primera de las ecuaciones (6.28) se convierte en

r2 d2u(r)dr2

+ rdu(r)

dr− n2u(r) = 0

que es una ecuacion de Euler cuyas soluciones no triviales son

u(r) = A+B log r si n = 0u(r) = Arn +Br−n si n ∈ N

como se desea que u(r) sea continua en r = 0, ha de ser B = 0, con lo que resulta la solucion general notrivial de esta ecuacion son las funciones

un(r) = rn (n ∈ Z+)

De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo ω0(r, θ) son constantes y valen 12A0, y

ωn(r, θ) = rn(An cos nθ +Bn sin nθ) (An, Bn ∈ R , n ∈ N)


ω(r, θ) =12A0 +

∞∑n=1

rn(An cos nθ +Bn sin nθ) ≡ 12A0 +

∞∑n=1

ωn(r, t)



es tambien solucion.

Solo queda por imponer la condicion de contorno (6.27). Por una parte se tiene

ω(1, θ) =12A0 +

∞∑n=1

(An cos nθ +Bn sin nθ)

y, por otro, desarrollando f(θ) en serie de Fourier en el intervalo [0, 2π], resulta

f(θ) =12A0 +

∞∑n=1

(an cos nθ + bn sin nθ)

con lo que ω(1, θ) = f(θ) lleva a que An = an y Bn = bn, ∀n ∈ Z+ .

Comentario:

• Observese que la resolucion completa de la ecuacion de Laplace bidimensional (esto es la obtencion dela solucion con todas las constantes determinadas) no requiere la imposicion de condiciones inicialesadicionales a las condiciones de contorno (de tipo Dirichlet).

ECUACIONES DIFERENCIALES

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