Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Ecuaciones Diferenciales
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Módulo de Ecuaciones Diferenciales (2)
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
0y
u
x
u
0yyy3y
0dy)xy(dx)yx(
0yxdx
dy
2
2
2
2
2
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Problemas con valores iniciales
PVI y Contorno
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
1000
2
2
)(;)( yxyyxy
xdx
yd
1100
2
2
)(;)( yxyyxy
xdx
yd
Problemas de valores iniciales (PVI)
Sea la solución general de la Ecuación Diferencial F(x,y,y´,…,yn)=0 el PVI, consiste en encontrar el valor de la constante C, para un y(x0) = y0, de manera que con éste se pueda determinar una solución particular de la ED.
Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo , el problema de
Resolver :
con condiciones:
Se le llama problema de valor inicial.Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales.
Si el problema es de contorno3
) , ,' , ,( )1( nn
n
yyyxfdx
yd
10)1(
1000 )( , ,)(' ,)( n
n yxyyxyyxy
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Cxy
1100 )(;)( yxyyxy
Resolver:
sujeta a:
Resolver:
sujeta a:
4
00)( :
) ,( :
yxytosubject
yxfdxdy
solve
1000
2
2
)(' ,)( :
)' , ,( :
yxyyxytosubject
yyxfdx
ydsolve
PVIs de primer y segundo orden:
son problemas de valor inicial de primer y segundo orden, respectivamente. Fácilmente interpretables de manera geométrica, como vemos en las figuras.
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Ejemplo:
Sabemos que y = cex es una familia uniparamétrica de soluciones de la EDO:
y’ = y en (-, ).
Si y(0) = 3, entonces
3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una
solución de este problema de valor inicial.
Si queremos una solución que pase por (1, -2), entonces la condición es: y(1) = -2. De modo que -2 = ce,
c = -2e-1. Y tenemos y = -(2/e)ex. 5
y = 3ex
y = -(2/e)ex
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Ejemplo: x = c1cos(4t) + c2sen(4t) es una solución de
x + 16x = 0.Hallar una solución del siguiente PVI:
x + 16x = 0, x( /2) = −2, x( /2) = 1.
Solución: Sustituimos: x( /2) = − 2 en x = c1cos(4t) + c2sen(4t),
y obtenemos c1 = −2.
De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1 obtenemos c2 = ¼. La solución pedida es:
x = −2 cos 4t + ¼ sen 4t
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Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c). Si asignamos y(0) = -1, obtenemos c = -1.
Considérense las siguientes distinciones:1) Como función, el dominio de y = 1/(x2 - 1) es el conjunto de todos los números reales excepto -1 y 1.
2) Como una solución: los intervalos de definición mayores posibles son (-, 1), (-1, 1) y (1, ).
3) Como un problema de valor inicial, cony(0) = -1. El intervalo de definición mayor es (-1, 1).
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Teorema de Existencia y Unicidad
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Sea R la región rectangular en el plano xy definida por
a x b, c y d que contiene el punto (xo, yo) en su interior. Si f(x, y) y f/y son continuas en R, entonces existe algún intervalo Io:
xo- h < x < xo + h, h > 0, contenido en a x b y una función única y(x) definida en Io que es una solución del PVI .
Las condiciones del teorema son suficientes, pero no necesarias...
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Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye
ED Lineales de Primer Orden
Las ED de la forma
Se denominan ED Lineales, ya que su solución cumple con el Principio de Superposición respecto al término independiente q(x).
Métodos para resolver una ED de Primer Orden:
i) Análisis Caulitativo (gráfico)
ii) Técnicas Analíticas
iii) Aproximaciones Numéricas.
(no se estudiará en este curso)
xqy)x(pdxdy
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Análisis CualitativoIsóclinas
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Para este análisis consideraremos EDOs Autónomas y NO Autónomas
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden autónoma tiene la forma de
es decir si la derivada es función solamente de la variable dependiente.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden NO autónoma tiene la forma de Es decir si su derivada es una función tanto de la variable dependiente como de la independiente.
yxfy ,
yfy
)1( yyy
yxy 2
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Empezaremos nuestro estudio de EDOs de primer orden analizando una EDO cualitativamente.
(a) Pendientes: Debido a que la solución y(x) de dy/dx = f(x,y) es necesariamente una función diferenciable en I, también es continua. Así, la derivada dy/dx= f(x,y) proporciona las pendientes de las rectas tangentes a las curvas solución en los puntos (x,y).(b) Elementos lineales: Suponemos que dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la pendiente de una recta, o un segmento de recta que llamaremos elemento lineal.
Curvas solución "sin una función solución"
dy/dx = 0.2 xy = f(x, y)
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Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una red o malla de puntos rectangular en el plano xy, y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y) de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el campo de direcciones o campo de pendientes.
Campo de direcciones
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Ejemplo: El campo de direcciones de EDO No Autónoma
dy/dx = 0.2 xy está representado en la figura (a). Compárese con la figura (b) donde se han representado unas curvas de la familia de soluciones.
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Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar una curva solución aproximada de la ecuación autónoma dy/dx = sen y, con y(0) = −3/2.
Solución:
Apelando a la continuidad de f(x, y) = sen y y f/y = cos y, el teorema de existencia y unicidad garantiza la existencia de una única curva solución que pasa por algún punto especificado en el plano. Ahora dividimos la región que contiene a (-3/2, 0) en una malla rectangular. Calculamos el elemento lineal de cada nodo para obtener la siguiente figura:
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EDO autónomas y campos de direcciones
La figura muestra el campo de direcciones de dy/dx = 2y – 2.Podemos observar que los elementos lineales que pasan por los puntos de cualquier recta horizontal mantienen la pendiente.
Recordemos que una EDO autónoma es de la forma dy/dx = f(y), y las pendientes sólo dependen de y.
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Método de las Isoclinas
El procedimiento para dibujar el campo direccional puede ser simplificado construyendo primero las isóclinas.Una Isóclina es una curva en el plano xy sobre la cual la derivada de las soluciones de la ED es constante. Es decir:
podemos encontrar las curvas f(x,y)= c, en donde las soluciones pasan con un mismo ángulo de inclinación.
cdx
dyy
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i) Construimos las isóclinas, éstas son curvas de la forma:
Donde c es una constante para varios valores de C.ii) Dibujar el campo de direcciones o de pendientes. Sobre la isóclina correspondiente a la constante C, la derivada de la solución de la ecuación diferencial tiene pendiente c. Dibujar rectas tangentes con pendiente ciii) Construir soluciones.iV) Recordar que las soluciones no se intersecan.
Procedimiento para realizar el análisis cualitativo de una EDO
autónomaNocyxf
autónomacyfy
),(
)(
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Construya un campo direccional para la ecuación diferencial: 122 yxy
Las isóclinas está definidas estableciendo calculamos para c=0, c=4 y c=1Claramente se puede notar que es un círculo centrado en el origen.En cada punto de éstas isóclinas trazamos los campos direccionales.
cy
Mostramos las posibles curvas de solución,La superior pasa por (0,1)La de en medio pasa por (0,0)La inferior pasa a través de (0,-1)Obsérvese que cada curva de la solución sigue el flujo de los elementos de línea en el campo direccional y que no se cortan.
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Método de las Isoclinas
a) Encontrar la ecuación de las isóclinas para la ecuación diferencial:
b) ¿Qué tipo de curvas son estas isóclinas?
c) Dibujar las isóclinas y con ayuda de éstas dibujar el campo de direcciones y algunas curvas solución.
taller
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2
xy
Técnicas Analíticas
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Métodos de Solución Analítica
NO existe un método general para resolver Ecuaciones Diferenciales, es decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un procedimiento general para hallar su solución analítica.
Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución.
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Métodos de Solución Analítica
El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo de Ecuación Diferencial que se quiere resolver.
Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente.
Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido.
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Métodos de Solución Analítica
Si no funciona lo anterior, algunas alternativas consisten en buscar soluciones:
Basadas en Series
Numéricas
Geométricas
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Primer Orden y Primer Grado
EDO DE VARIABLE
SEPARABLE
EDO REDUCIBLE A
VARIABLE SEPARABLE
EDOS HOMOGÉNEAS
EDOS LINEALES
HOMOGÉNEAS
EDOS REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS
SUSTITUCIÓN LINEAL
SUSTITUCIÓN RACIONAL
SUSTITUCIONES DIVERSAS
EDOS REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS
IMPLÍCITAS
EDO EXACTAS
EDO REDUCIBLES
A EXACTAS
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
Se las representa de la siguiente forma:
Si despejamos la derivada tenemos:
Si a ésta ecuación la podemos expresar en forma:
Se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria de Variable Separable y la solución general se obtiene por integración directa.
0),,( dx
dyyxF
),( yxgdx
dy
0)()( dyyNdxxM
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Separación de variables
La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas:
Donde M(x) es una función exclusivamente de x y N(y) es una función exclusivamente de y.
Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:
Siendo c una constante de integración.
0)()( dyyNdxxM
cdyyNdxxM )()(
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Ecuación de variables separadas
• Ejemplo: Resolver la ecuación
• Integramos
• Se obtiene:
• La solución es una
familia de circunferencias
concéntricas con c>0
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122
22
22cyxc
xy
0 ydyxdx
xdxydy
Separación de variables
La ED de la forma:
Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas:
dyxgyfdxxgyf )()()()( 2211
dxxg
xgdy
yf
yf
)(
)(
)(
)(
2
1
1
2
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Debemos tomar en cuenta que: 0)(0)( 21 xgyf
Separación de variables
Ejemplo: Resolver la ecuación
Solución: Separando variables tenemos:
Integrando:
Obtenemos:
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0)1()1( 22 dyxydxyx
0)1()1(
22
dyy
ydx
x
x
dxx
xdy
y
y
)1()1(
22
Cyxyx )1)(1ln(2)1()1( 22
Separación de variables
Algunos tipos de ED se convierten fácilmente a variables separables, por ejemplo:
Haciendo el cambio z=ax+by+c, se obtiene una ecuación de variables separadas:
tesconssoncbadondecbyaxfdx
dytan,,),(
cdxzbfa
dzzbfa
dx
dz
)()(
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Separación de variables
Ejemplo: La ecuación
Se puede reescribir como
Donde:
Integrando se obtiene
Regresando a las variables originales:
taller
1)( 2 dx
dyyx
2
11
zdx
dz
cxzz )(tan 1
1dx
dz
dx
dyxzyyxz
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)cytan(yx
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneas
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Una función f(x,y) se dice Homogénea de grado n si
f(tx,ty)=tn f(x,y)
Ejemplo: f(x,y)=xy2+3x3 es homogénea de grado 3
ya que:
)3(),( 323 xxyttytxf
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
)3(3)(3),( 323332332 xxytxtxyttxtytxtytxf
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La Ecuación Diferencial
se denomina Homogénea, si las funciones
Son homogéneas y del mismo grado.
Para solucionarlas, Realizamos el cambio de variable
Con lo cual se transforma en una Ecuación Diferencial de Variables separables.
Ejemplos:
0),(),( dyyxNdxyxM
),(),( yxNyxM
grado segundo homogénea,0)()( 222 dyyxydxyx
homogénea No0)()( 3222 dyyxydxyx
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xduudxdyuxy
Otra forma de determinar la Homogeneidad de la
Ecuación Diferencial
Consiste en expresarla de la forma
0),(),( dyyxNdxyxM
x
yf
yxN
yxM
dx
dy
),(
),(
Haciendo el cambio de variable z = y/x, se convierte a la siguiente ED de variables separables:
zzfdxdz
x
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Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Ejemplo:
Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Homogénea de tercer grado.
Realizamos el cambio de variable
Se tiene
03)( 233 dyxydxyx
grado3 homogénea3),(
3 grado homogénea)(),(2
33
xyyxN
yxyxM
xduudxdyuxy
0)(3)( 22333 xduudxxxudxxux
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Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
• Realizando las operaciones tenemos:
Integrado:
Resulta:
Regresando a la variable original se tiene:
021
33
2
duu
u
x
dx
duu
u
x
dx
3
2
21
3
Cux )21( 32
CxyxCx
yx 33
3
32 3)21(21(
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Segunda forma:
• Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Homogénea de tercer grado.
03)( 233 dyxydxyx
2
3
3
2
3
33
2
33
3
1
3
)(
3
)(
xy
xy
dx
dy
xxyx
yx
dx
dy
xy
yx
dx
dy
Haciendo el cambio de variable u = y/x, se convierten a la siguiente ED de variables separables:
uufdx
dux
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Segunda forma:
Reemplazando tenemos:
Separando las variables tenemos:
• Integrando:
La solución implícita es:
uu
u
dx
dux
2
3
3
1
dxx
duu
u 1
21
33
2
dxx
duu
u
1
21
33
2
Cxyx 33 2
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ED Homogéneas de Primer Orden
Ejemplo: La función
Es homogénea de grado cero y se puede escribir como:
Por lo tanto la ED
Se puede transformar en la ED con variables separables
Donde z=y/x.
32
32
2
3),(
yyx
xxyyxf
3
2
2
3),(
xy
xy
xy
yxf
32
32
2
3
yyx
xxy
dx
dy
zzz
z
dx
dzx
3
2
2
3
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