1. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES (SOLUCION DE ECUACIONES) PREVIO I
2. 2. Iniciaremos nuestras tcnicas de solucin a ED con las ecuaciones ms sencillas de resolver. Este tipo de ecuaciones son resueltas directamente mediante una o dos integraciones. ECUACIONES DIFERENCIALES: METODO DE VARIABLES SEPARABLES Denicin Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden de la forma: se dice de Variables Separables si es posible factorizar F(x,y) en la forma:
3. 3. ESTRATEGIA PARA RESOLVER ED POR VARIABLES SEPARABLES Una ED de variables separables puede resolverse usando la siguiente estrategia: Procedimiento: Variables Separables - Entrada: Una ED ordinaria en la forma - Salida: La solucin de la ED. Paso I: Factorizar el segundo miembro Factorizar si tal factorizacin no es posible, se concluye que la ED no es de variables separables y el procedimiento no continua.
4. 4. Paso II: Separar las variables Hacer lgebra para poner variables diferentes en lados diferentes: Paso III: Integrar Integrando la expresin anterior con respecto a x obtenemos:
5. 5. atmicas. Paso IV: Despejar y Opcional Debido a que y representa la funcin incgnita a determinar, lo ideal es determinarla por completo, es decir tener como solucin una expresin de la forma: y= Expresin en x En caso que este despeje sea posible, se dice que la solucin est dada en forma explcita, en caso contrario (cuando no fue posible despejar y ) se dice que la solucin est dada en forma implcita. EJEMPLO DE ED POR VARIABLES SEPARABLES. https://www.youtube.com/watch?v=oVLapt6dlOU
6. 6. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS Una funcin se dice homognea de grado n si para todo y todo . Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, , es Observacin: si la ecuacin diferencial est escrita en la forma sera homognea s y slo s los coeficientes y son funciones homogneos del mismo grado.
7. 7. : SOLUCION DE UNA ED HOMOGENEA Si la ecuacin diferencial ordinaria de primer orden es homognea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuacin diferencial en variables separadas. Demostracin: Al hacer la sustitucin obtenemos Pero como es una funcin homognea de grado cero tenemos que de donde la cual es separable, como se quera. EJEMPLO: http://www.youtube.com/watch?v=NBxpoeGPz2c&feature=youtu.be
8. 8. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS S para una funcin de dos variables F(y,t), , entonces, la diferencial total es: dF(y,t)= M dy + N dt Puesto que M y N son derivadas parciales, esto se denomina ecuacin diferencial parcial. S la diferencial se hace igual a cero, de modo que M dy + N dt = 0, recibe el nombre de ecuacin diferencial exacta, porque el lado izquierdo es exactamente igual a la diferencial de la funcin primitiva F(y,t). Para una ecuacin diferencial exacta, t F Ny y F M
9. 9. .tan, varint teconsmantieneseotralaquemientrasvezlaa iableunaarespectoconsucesivaegracinla exigeexactaldiferenciaecuacinunaderesolucinLa y N t M Resolver la siguiente ecuacin diferencial: (6yt + 9y2 ) dy + (3y2 + 8t ) dt = 0 Solucin:
10. 10. ctytytyFttZ ttZtZytytieneseLuego tyN t F quePuestotZy t F tZytytZyyyttyF exactaesluego y N y t M 2322 22 22 322 433),(4)( 8)(')('383: 83),('3 )(33)()96(),( ,6 EJEMPLO: http://www.youtube.com/watch?v=VUimYNGVlvM&feature=youtu.be
11. 11. Gracias por su atencin Luis Arturo Saavedra Duarte 1150782 Andres Silvestre Ariza Torrado 1150694 Diego Armando Leal Castellanos 1150696 Cristian Fabian Buitrago Gomez 1150688 Johan Andres Carreo Parada 7 DE OCTUBRE DE 2013