*Ecuaciones diferenciales de orden superiorMtodo de variacin de parmetrosMtodo del anulador

*Mtodo de variacin de parmetrosdonde P(x), Q(x) y f(x) son continuas en I.Conocidas y1(x) e y2(x) soluciones l. i. de la ec. homognea asociada, probaremos como solucin particular:

*

Sustituimos yp, yp en la EDO: 00

*Necesitaremos dos ecuaciones para encontrar valores de u1 y u1. Exijamos que: y1u1 + y2u2 = 0, para obtener una ecuacin adicional y de paso que la EDO se reduzca a:y1u1 + y2u2 = f(x).De modo que nos queda el sistema de ecuaciones: y1u1 + y2u2 = 0 y1u1 + y2u2 = f(x)

*Expresado en trminos de determinantes y donde

De donde encontraremos, por integracin, las soluciones.

*Resolver Solucin: m2 4m + 4 = 0, m = 2 (cero doble) y1 = e2x, y2 = xe2x,

Como f(x) = (x + 1)e2x, entonces:

* Luego u1 = (-1/3)x3 x2, u2 = x2 + x

Recordemos que:y1 = e2x, y2 = xe2x

*Resolver Solucin: y + 9y = (1/4) csc 3x m2 + 9 = 0, m = 3i, -3i y1 = cos 3x, y2 = sin 3x, f(x) = (1/4) csc(3x) Como

*Entonces

*Resolver Solucin: m2 1 = 0, m = 1, -1 y1 = ex, y2 = e-x, f(x) = 1/x, y W(ex, e-x) = -2 Luego

*Para las EDs de n-simo orden de la forma tomamos yp = u1y1 + u2y2 + + unyn, donde yi , i = 1, 2, , n, son la familia de soluciones independientes que forman yc. As: Que nos lleva a las ecuaciones solucin uk = Wk/W con k = 1, 2, , n. Donde W es el wronskiano de la y's y Wk es el determinante que se obtiene de sustituir en W la k-sima columna por (0, 0,..., f(x)).Ecuaciones de orden superiorSuposicionespara simplificarla EDO:

*Ecuacin de Cauchy-EulerForma de ecuacin de Cauchy-Euler

Mtodo de solucin Probamos y(x) = xm, donde debemos determinar m, pararesolver la ecuacin homognea asociada: Observa que:

*Ecuacin auxiliarPara n = 2, y = xm, tenemos (am(m 1) + bm + c)xm = 0, o am2 + (b a)m + c = 0Caso 1: Races reales y distintas

Resolver Solucin: Tenemos a = 1, b = -2 , c = -4 m2 3m 4 = 0, m = -1, 4, y = c1x-1 + c2x4Observa que tenemos que ax2 es igual a cero en x = 0. Para asegurar existencia y unicidad, tomaremosI = (0, ).

*Dedujimos Luego Caso 2: Races reales repetidasResolverSolucin: Tenemos a = 4, b = 8, c = 1 4m2 + 4m + 1 = 0, m = - , -

*Orden superior: multiplicidad k

Caso 3: races complejas conjugadas m1 = + i, m2 = i, y = C1x( + i) + C2x( - i) Como xi = (eln x)i = ei ln x = cos( ln x) + i sen( ln x) x-i = cos ( ln x) i sen ( ln x) Luego y = c1x cos( ln x) + c2x sen( ln x) = x [c1 cos( ln x) + c2 sen( ln x)]Caso 3: Races complejas conjugadas

*ResolverSolucin: Tenemos a = 4, b = 0 , c = 17 4m2 4m + 17 = 0, m = + 2i Aplicando y(1) = -1, y(1) = 0, tenemos que c1 = -1, c2 = 0,

*Resolver Solucin: Sea y = xm, Luego tenemos xm(m + 2)(m2 + 4) = 0 m = -2, m = 2i, m = -2i y = c1x-2 + c2 cos(2 ln x) + c3 sin(2 ln x)

*Resolver Solucin: Tenemos (m 1)(m 3) = 0, m = 1, 3 yc = c1x + c2x3 Usando variacin de parmetros, yp = u1y1 + u2y2, donde y1 = x, y2 = x3 Escribimos la ED como Luego P(x) = -3/x, Q(x) = 3/x2, f(x) = 2x2ex

*As Hallamos

*Una ecuacin de Cauchy-Euler siempre se puede escribir como un lineal de coeficientes constantes haciendo el cambio de variable: x = et. Por ejemplo: Resuelve as:

*

*Unos ejemplos de ecuaciones no linealesResolverSolucin: Esta ecuacin no lineal carece de trmino en y. Sea u(x) = y, entonces du/dx = y, (Se escribe en esta forma solo por conveniencia para luego integrar) Como u-1 = 1/y, Entonces,

*ResolverSolucin: Esta ecuacin no lineal carece de trmino en x. Sea u(x) = y, entonces y = du/dx = (du/dy)(dy/dx) = u du/dy o ln|u| = ln|y| + c1, u = c2y (donde ) Como u = dy/dx = c2y, dy/y = c2 dx ln|y| = c2x + c3,

*Supongamos que existe solucin para: Si adems suponemos que y(x) admite desarrollo en serie de Taylor centrado en 0: Como y(0) = -1, y(0) = 1, de la ED original: y(0) = 0 + y(0) y(0)2 = 2. Derivando sucesivamente la ED original:

*... podemos utilizar el mismo mtodo para obtener y(3)(0) = 4, y(4)(0) = 8, etc. Y encontrar una aproximacin en Taylor de la solucin:

*Una ltima observacin: La ED de esteejemplo:

es equivalente (mediante cambio de variable) al sistema de ecuaciones diferenciales:

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