UPCEcuaciones Diferencialesy Algebra Lineal

Unidad 2

ESPACIOS VECTORIALES

INTRODUCCIÓN

Existe una gran semejanza entre el conjunto formado por las matrices y el conjunto formado por los vectores, en el sentido de que en ambos se definen las operaciones de adición y producto por escalares, las que satisfacen propiedades idénticas.

Estas propiedades se pueden generalizar a una serie de objetos matemáticos. El concepto de espacio vectorial espacio vectorial nos permite tal generalización.

1 2( , ,..., )na a a

VECTOR n - DIMENSIONAL

Definición

A los n números reales ordenados

le llamaremos n-upla ó vector n-dimensional.

ESPACIO VECTORIAL EUCLIDIANO

Los números reciben el nombre de coordenadas o componentes del vector. Al conjunto de todas las n-uplas lo denotaremos y lo llamaremos Espacio Vectorial Euclidiano.

1 2, ,..., na a a

RnRn

Igualdad

Adición

Producto por un escalarSi

DEFINICIONES

1,2,...,i ia b i n a b

1 1( ,...., )n na b a b a b

1 2, ,..., na a aa

1. u + 0 = u

2. u + v = v + u

3. u + (v + w ) = (u + v) + w

4. c(u+v) = cu + cv

5. (c+d) u = cu+ du

6. (cd) u = c (du)

7. 1 u = u

8. u + (-u) = 0

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y DEL PRODUCTO POR UN

ESCALAR

ESPACIO VECTORIALAXIOMAS DE CLAUSURA

Definición

Sea V un conjunto en el cual han sido definidas dos operaciones, llamadas adición y multiplicación por escalares.

Si u y v se encuentran en V y si es un escalar, la suma de u y v, denotada por

u + v, y el múltiplo escalar de u por , denotado por u, son tales que:

o Para cada u,v V, u + v V.o Para cada R y u V, u V.

Propiedades de Clausura

ESPACIO VECTORIAL AXIOMAS

Si V es un Espacio Vectorial, se cumplen lossiguientes axiomas:

1. x + y = y + x para todo x, y de V. (Ley conmutativa de la suma).

2. (x + y) + z = x + (y + z) para todo x, y, z de V. (Ley asociativa de la suma).

3. Existe un vector 0 de V, tal que para todox de V : 0 + x = x+ 0 = x. (Elemento nulo).

4. Para todo x de V existe un elemento –x en V tal que x + (-x) = 0. (Elemento opuesto).

ESPACIO VECTORIAL AXIOMAS (SIGUE)

5. 1x = x , para todo x de V.

6. (x)= ()x , para todo , reales y x en V.

7. ( + )x=x + x para todo , reales y x en V. (Ley distributiva para los escalares).

8. (x + y) = x +y para todo real y x, y en V. (Ley distributiva para los vectores).

OBSERVACIONES

● Las operaciones de adición y producto por escalares conjuntamente con los 8 axiomas dotan al conjunto V de la estructura de un Espacio Vectorial.

● A los elementos del Espacio Vectorial les llamamos vectores.

● A los elementos de R se les llama escalares.

ALGORITMO PARA VERIFICACIÓN

Para demostrar que un cierto conjunto V es un Espacio Vectorial, hay que verificar que en él están definidas las operaciones de adición y multiplicación por un escalar, que cumplan las propiedades de clausura y los 8 axiomas anteriores.

EJEMPLOS

1. Espacio Rn: Llamados también espacios euclidianos R2 ,R3,...,etc.

2. Espacio Pn: Es el Espacio Vectorial de todos los polinomios de grado menor ó igual a n.

3. El conjunto {0}: Es el llamado Espacio Trivial.

EJEMPLOS

4. El conjunto {(2t, 3t, 5t) / t} de los puntos del plano que están sobre una recta que pasa por el origen.

5. El conjunto F de todas las funciones reales con dominio R.

6. El conjunto F[a; b] de todas las funciones reales definidas en [a; b].

EJEMPLOS

No son espacios vectoriales (indique un axioma

que no cumplan):1. El conjunto de todas las matrices no singulares.

2. El conjunto de todos los vectores del plano con módulo uno.

3. El conjunto V = R2 con la definición habitual de adición y con la siguiente definición de multiplicación por escalar:

0

cx

y

xc

TEOREMA

Si V es un Espacio Vectorial, se tiene que:

1. 0 = 0 para todo real.

2. 0x = 0 para todo x en V.

3. x = 0 → = 0 ó x = 0.

4. (-1)x = -x para todo x en V.

SUBESPACIO

Sea V un espacio vectorial. WV es un subespacio vectorial de V, si W en sí mismo es un espacio vectorial con las mismas operaciones de adición y multiplicación por escalares definidos en V.

TEOREMA

Sea V un espacio vectorial y WV, entonces W es subespacio de V si, y sólo si:

1. 0 W

2. u,v W u + v W

3. Si u W y R u W

EJEMPLOS

1. Pn es un S.E.V. del espacio P de todos los polinomios.

2. El conjunto D de todas las funciones

diferenciables es un S.E.V. de F.

3. El conjunto C de todas las funciones

continuas es un S.E.V. de F, pero no

es un S.E.V. de D.

COMBINACIÓN LINEALCOMBINACIÓN LINEAL

● : Vectores de un E.V. “V”

● : Escalares

● La expresión:

se llama combinación lineal de:

1 2, ,... nv v v

1 2, ,... na a a

1 1 2 2 ... n na a a v v v

1 2, ,..., nv v v1 2, ,..., nv v v

ESPACIO GENERADO

● Sea “V” un E.V. y A ={u1,u2 ... un} V.

● Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de A, se le denomina espacio generado por A y se denota por gen (A).

● Ejercicio: Demuestre que gen(A) es un S.E.V. de V.

USO DE CLASSPAD

USO DE CLASSPAD

El programa echelon solicitará el ingreso de la matriz,la escalonará y almacenará el resultado en la variable A.

dba

cba

ba

a

540000

430000

2/5,05,05,10

1312

EJEMPLO

Determine el espacio generado por:

A={(1,2,0),(-3,1,1)}.

● ¿Pertenece el vector ( 3, -2 , 1) a gen(A)?● ¿Qué representa gen (A) geométricamente?

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Sea V un espacio vectorial.Se dice que el conjunto

es LINEALMENTE INDEPENDIENTE si dado que:entonces:

Si al menos un ai es diferente de cero, A se llama LINEALMENTE DEPENDIENTE.

1 2, ,... kA V v v v

1 1 2 2 ... k ka a a v v v 0

1 2 ... 0ka a a

TEOREMA

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si al menos uno de los vectores puede ser expresado como una combinación lineal de los otros.

1 2, ,... kv v v

TEOREMA

1. es y es

2. es y es

3. es

V V U U

V U V U

V V

LD LD

LI LI

0 LD

n

det , ,..., .

4. Un conjunto de vectores de

es L.I. si y sólo si 1 2v v vn 0

USO DE CLASSPAD

USO DE CLASSPAD

Se llega al sistema:

0551

0921

0242

0131

Luego, el conjunto es L.D.

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

DefiniciónUn subconjunto B de un Espacio Vectorial V es una basebase para V si:

1) B genera a V.

2) B es un conjunto L.I.

1. Pruebe que el conjunto de vectoresS={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base

de R3.

2. Pruebe que en P2 el conjunto A={1, x, x2} es una base.

3. Pruebe que en R3 el conjunto que sigue: B={(1,1,3),(2,1,4),(1,0,1)} nono es base.

EJEMPLOS

TEOREMA

Sea V un espacio vectorial y B una base para V. Para todo vector , existe exactamente una manera de expresar v como una combinación de los vectores del conjunto B.

Vv

COORDENADAS DE UN VECTOR

Sea B = {v1, v2, … vn} una base para un espacio vectorial V.

Sea vV tal que v = c1v1 + c2v2 +…+ cnvn.

entonces,

[v]B se denomina coordenadas de v con respecto a la base B.

1

2

B

n

c

c

c

v

En R3 tenemos el conjunto A = {(1,1,0),

(-1,1,1)}. Es fácil demostrar que A es LI, pero que no genera a R3.

¿Podemos agregar vectores al conjunto A, de modo que se convierta en una base de R3?

EJEMPLOEJEMPLO

Si A es un conjunto de vectores linealmente independientes de un Espacio Vectorial V de dimensión finita, que no es generador de V, entonces es posible añadir vectores de V a A, de modo que el nuevo conjunto sea una BASE de V.

TEOREMATEOREMA

TEOREMA

Todas las BASES de un Espacio Vectorial tienen el mismo número de vectores.

1. ¿Cuántos vectores LI se necesitan para generar P2?

2. ¿Es correcto afirmar que todas las basesde Rn, tienen n vectores? de P2 tienen 3 vectores?

EJEMPLOSEJEMPLOS

DefiniciónAl número n de elementos que tiene una BASE de un Espacio Vectorial V se le llama dimensión de V y se denota dim (V) = n.

Si V = {0} se le llama espacio nulo y se conviene en que dim (V) = 0.

DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

TEOREMA

Sea B = {v1, v2, … vn} una base para un espacio vectorial V.

a) Cualquier conjunto con más de n vectores en V es LD.

b) Cualquier conjunto con menos de n vectores no puede generar a V.

EJEMPLOEJEMPLO

Sea el conjunto A, igual a {(0,1,0,1),(-1,1,2,0),(3,0,-1-2)}, un subconjunto de R4:

a. ¿A es BASE? b. Determine gen(A) c. Determine dim [gen(A)]