Ecuaciones Diferenciales Aplicadas en La Ingeniería Hidráulica

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ECUACIONES DIFERENCIALES  APLICADA S EN LA INGENIERÍA HIDRÁULICA EJERCICIOS APLICADOS

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    ECUACIONESDIFERENCIALES

    APLICADAS EN LAINGENIERA

    HIDRULICA

    EJERCICIOS APLICADOS

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    UN CILINDRO RECTO CIRCULAR DE 10 PIES DE RADIO Y 20 PIES DEALTURA, EST LLENO CON AGUA. TIENE UN PEQUEO ORIFICIOEN EL FONDO DE 1 PULGADA DE DIMETRO, CUNDO SEVACIARA EL TANQUE?

    EJERCICIO N1

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    SOLUCIN:

    Formula:

    Primero se debe convertir la unidad de rea del orificio a

    pies, el dimetro de este es de 1 pulgada, por lo tanto su

    radio es de pulgada; 1 pulgada es igual a 1/12 pies.

    Dado que el orificio es una circunferencia, su rea es iguala ((radio)2), entonces el rea del orificio de salida es:

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    As mismo, el rea de la seccin transversal, A(h)= (10)2=

    100 2

    El coeficiente de descarga no est dado, por lo tanto se

    asume que c= 1, la gravedad g= 32pies/ seg2

    Sustituyendo todos los valores en la ecuacin asociada a los

    problemas de vaciado de tanque, se obtiene:

    * (1/ )

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    Esta ecuacin debe resolverse sujeta a la condicin que para t=0,h0=20pies.

    *

    Luego se integra

    Y

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    Se sustituyen los resultados en la ecuacin

    Para hallar el valor de la constante de integracin, se

    sustituyen los valores iniciales del problema.

    *

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    Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque,

    se debe sustituir h=0 en la anterior ecuacin

    As, el tanque logra vaciarse en un tiempo de 64398.75

    segundos, es decir, 17horas 53 min 19seg.

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    Un tanque en forma de cono circular recto, de altura H radio R y vrtice por debajode la base, est totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total, si

    H=12pies, R=5pies, a= 1pulg2

    y C= 0,6.

    Como las dimensiones del tanque estn dadas en pie, ypuesto que 1 pulg =1/12 pies, entonces haciendo laconversin, el rea del orificio de salida ser

    El coeficiente de descarga es c= 0,6 y la gravedad es

    g=32pies/seg2.

    EJERCICIO N2

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    Segn puede observarse en la figura, las secciones transversales son circunferenciascuyo radio vara dependiendo de la altura a la cual se efecte la seccin transversal. El

    rea de la seccin transversal es variable y est dada por

    Para expresar r en funcin de h se debe visualizar el tanque no como unsolido sino como una figura plana, as:

    Si se ubican los ejes coordenados de

    tal forma que el vrtice del cono coincida conel origen del sistema de coordenadas,entonces se tiene una figura simtricarespecto del eje y, tal y como se muestra

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    Por simetra, ser suficiente trabajar con uno de los tringulos. Por semejanza de tringulos se tieneentonces la siguiente relacin de proporcin:

    Y sustituyendo en la ecuacin:

    Sustituyendo todos los valores en la ecuacin inicial:

    integrando

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    La anterior ecuacin es la razn de variacin de la altura del liquido en el tanque en cualquierinstante t. el tiempo total de vaciado se obtiene cuando la altura es h=0

    Se conoce entonces que el tanque se vaca completamente en 3264.83seg, es decir, 54min25seg.

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    El da 15 de julio de 2006, a las 2,25 pm, se pone a vaciar un tanque

    cilndrico con eje horizontal, el cual est inicialmente lleno en un 100%.

    La longitud del tanque es de10 m, el radio 4 m. Si el agua fluye por unorificio de rea 2cm2, situado en el fondo del tanque y se ha establecidoel coeficiente de descarga en 0,6, determine qu da y a qu hora eltaque se vaca totalmente.

    El rea del orificio de salida es a=2cm2. Como las dimensiones del tanque estndadas en metros, debe efectuarse la conversin a m. del rea del orificio de salidaa=2cm2=2x10-2m2=2x10-4m2

    El coeficiente de descarga es 0,6 y la gravedad 9,81m/seg2

    .

    EJERCICIO N3

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    Si se observa en la figura, las secciones transversales son rectngulos de 10m delargo y ancho variable, dependiendo de la altura a ala cual se efecte el corte

    transversal. Sea r la longitud del lado variable, entonces el rea de las seccionestransversales es A(h)=10r.La longitud r debe expresarse en funcin de la altura h. para ello se debe, efectuaruna abstraccin del slido que es el tanque, visualizar el tanque de frente yrepresentarlo en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares como unafigura plana como se muestra en la figura.

    De acuerdo con la figura, la curva planaque resulta es una circunferencia de centroen (0,4) y radio 4, la cual tiene por ecuacinx2+(y-4)2=16 desarrollando y simplificandox2+y2-8y=0Como puede observarse en la figura elpunto P(r,h) es un punto de lacircunferencia, es decir, las coordenadasdel punto satisfacen la ecuacin.Sustituyendo en la ecuacin x=r, y=hr2+h2-8h=0

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    Despejando r

    Sustituyendo en la ecuacin para hallar el rea de la seccin transversal

    Ahora se sustituyen los valores en la ecuacin principal

    Simplificando

    La anterior, es la ecuacin diferencial asociada al problema, la cual debe resolversesujeta a la condicin inicial h(0)=8

    La misma es una ecuacin de variables separables. Para separar las variables semultiplica la ecuacin por el factor

    Ambas integrales son inmediatas

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    Sustituyendo los resultados de las integrales

    Para determinar el valor de la constante de integracin se usa la condicin inicialh(0)=8. Este valor obtenido para C se sustituye en la ecuacin

    La anterior ecuacin, representa la variacin de la altura en funcin del tiempo.Para saber cundo se vaca totalmente el tanque, es decir, cuando la altura delquido en el tanque es cero, se sustituye este valor de h en la ecuacin.

    As que el tanque demora en vaciarse un tiempo t= 283800,3808seg, lo que equivalea 78horas 50min; lo que equivale a 3 das y 6 horas, as entonces se concluye queel tanque de vacio despus de 3 das y 6 horas y 50min de iniciado el proceso devaciado, el cual comenz el da 15 de julio de 2006 a las 2:25 pm. Por lo tanto eltanque termino de vaciarse el da 18 de julio de 2006 a las 9:15pm.