ECUACION DIFERENCIAL LINEAL :

Son EDO de la forma: ���� � ���� ���� ���� � ���� ���

Solución:

1) Simplificar la EDO a su forma general identificando ���� y ����. (o ��� �����.

2) Igualar ���� ����� a cero para obtener una EDO de variables separadas;

ésta se resuelve, obteniéndose una ���� � ���� �� ��� � ����. (A).

3) Se sustituye (A) y su derivada en la EDO lineal dada y se despeja ����� ������ (B).

4) Se integra (B) y se sustituye ���� ����� en (A) obteniéndose la solución

general.

Ejemplos:

1) ��� � 5� � 3�� 0 �� ������ ��� � �� ! � � �� "3�#

���� 5� ���� "3�#

� � 5� 0 ; ��� "5� ; % � "5%���

ln "5 ln � � ln���� ; �(����� ��� "5�()���� � �(������

Ahora se sustituye ���� y su derivada en la EDO Lineal quedando:

"5�()���� � �(������ � 5� �(����� "3�# ����� "3�* ; ���� "39�, � - "13�, � -

�(� /"13�, � -0

2) cos �� �� sin � tan �� ! ���� " � 789�:;7� <=9�:;7� ��� " � sincos 0 ; ��� � tan ; % ��� % tan� ln � ln�sec� � ln��� ; � ��� sec ��� ���� sec � sec tan ���

Ahora se sustituye � ��� y su derivada en la EDO Lineal quedando:

���� sec � sec tan ��� " ��� sec tan tancos

���� tancos � 1sec ; ���� tan ; ��� ln�sec � � -

ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI:

Su forma general es:

��� � ���� ����? ��� � ���� ����? � ��� � @ A " B0,1D Solución:

1) Simplificar la EDO a su forma general.

2) Multiplicar ambos miembros de la EDO por (? obteniéndose: 1? ��� � ���� 1?(E ���� �F�

3) Hacer el cambio de variable G E�HIJ E(? ; �� �� ��K �L�� �1 " ��(? ���� Se despeja

����.

� sec �ln�sec � � -�

4) Se sustituye G ���� en la ecuación �F� obteniéndose una EDO Lineal.

Ejemplos:

1) �� � ��� " ��� 0 ! ���� " �� �M�M

1� ��� " 1� 1��

G 1 ; �G�� " 1� ��� ; ��� "� �G�� 1� /"� �G��0 " G� 1�� ; �G�� � G� " 1�� NOP Q���KR �G�� � G� 0 ; %�GG "%���

ln G " ln � � ln���� ; G �(E���� �G�� "�(����� � ������(E ; "�(����� � ������(E � �(E����� " 1��

����� "1� ; ���� " ln � � -

G �(E�" ln � � -� ; 1 - " ln ��

2) 2 sin� ���� � cos � #�� cos� " sin ��

Se divide entre 2 sin� quedando: ���� � �� cot � �T� �� cot � " 1�

1# ��� � cot x2y� 12 �� cot � " 1�

G 1� ; �G�� " 2# ���

�- " ln �

1# W"#2 �G��X � G cot �2� 12 �� cot � " 1�

�G�� " G cot � 1 " � cot � NOP Q���KR �G�� G cot � ; % �GG %cot ��� ln G ln�sin �� � ln���� ! G ���� sin � �G�� ����� sin � " cos ����� ����� sin � " cos����� " ���� sin � cot � 1 " � cot �

����� 1sin� " � cos ��sin ��� ! ���� %csc ��� " % � cos ��sin ��� �� ���� ln|csc � " cot �| " �"� csc� � ln|csc � " cot �|� ���� � csc� � - ; G �� csc � � -� sin �

G � � - sin� ; 1� � � - sin� ; Z 1� � - sin�

√� � - sin �� � - sin �