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Escuela Especializada en ingeniería

ITCA –FEPADE

Ingeniería en Mecatrónica

Ecuaciones diferenciales

Tema: Caída libre con resistencia del aire.

Docente.

- Ing. Adán Ernesto Monteagudo

Integrantes.

- Douglas Mauricio Nerio Hernández

- José Alberto Flores Soto

- Oscar Rafael Figueroa Cobár

- Marlon Adonay Ramírez Bautista

- Emerson Gustavo Cruz Barahona

- Milton Rodrigo Zepeda Trinidad

- Hugo Ernesto Miranda Sánchez

Carrera.

- Ingeniería en Mecatrónica

Ciclo.

- II-2015

Santa Tecla, Lunes 30 de noviembre del 2015.

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INDICE

Índice……………………………………………………….…..….….………...…. Pag. 2

1. Objetivos……..……………………………………………………..………….…....Pag. 3

Objetivo general……………………………………………….………….……Pag. 3

Objetivos específicos……………………………………………..……………Pag. 3

2. Introducción teórica………..……….………………………...…….…………..….Pag. 4

3. Palabras claves………………………………………………….…...………….…Pag. 7

4. Cálculos y modelado de ecuaciones diferenciales de caída libre…..…..…..Pag. 8

4.1 Deducción de la ecuación diferencial sin resistencia del aire……….... Pag. 8

4.2 Deducción de la ecuación diferencial con resistencia del aire…........... Pag. 10

5. Resolución de Problemas…………………………………………………..……Pag. 13

Ejercicio 1……………………………….……………….…………..……..….Pag. 13

Ejercicio 2……………………………….……………….……………..…..….Pag. 16

Ejercicio 3……………………………….……………….……………..…..….Pag. 20

6. Conclusiones……………………..…………………………….……….…..……..Pag. 23

7. Bibliografía……………………….……….………………………………..….…...Pag. 24

8. Anexos……………………………………………………………………...….……Pag. 25

8.1 Modelados de sistema utilizando MATLAB………………………..……….Pag.25

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1. Objetivos.

Objetivo General.

- Poner en práctica los conocimientos aprendidos en clases a través del ciclo,

aplicándolos en la resolución de problemas propuestos por el docente, observando

a la vez la aplicación de las ecuaciones diferenciales en problemas cotidianos.

Objetivos Específicos

1. Deducir y modelar las ecuaciones diferenciales para la resolución de problemas

físicos.

2. Aplicar las ecuaciones diferenciales modeladas para cada ejercicio según las

condiciones que determina este.

3. Describir el comportamiento del fenómeno del estudio simulando el ejercicio

propuesto utilizando MATLAB

4. Comprobar que los temas de estudio de las ciencias físicas pueden resolverse

utilizando ecuaciones diferenciales.

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2. Introducción teórica.

Caída libre es aquella condición donde un objeto es lanzado con una velocidad inicial

igual a cero y en su caída es afectada por otras fuerzas. Para el desarrollo de ejercicios

necesitamos modelar la ecuación diferencial iniciando con las leyes fundamentales de la

cinemática y otras leyes que determinan las condiciones del movimiento como la fuerza.

Uno de los ejemplos más comunes de movimiento uniformemente acelerado es

cuando un objeto que se deja caer cerca de la superficie de la tierra y este es acelerado

por la fuerza de la gravedad, a esto se le llama caída libre.

Fig. 1 Sistema de referencia de caída libre

Se considera la aceleración constante de un cuerpo en caída libre como aceleración

debido a la gravedad, su magnitud se denota por “g”, este valor es aproximado a la

superficie terrestre como:

Por lo tanto:

La caída libre es un caso particular del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado,

en el cual la aceleración es siendo

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En consecuencia, las ecuaciones del movimiento serán:

Para el caso de la caída libre, la velocidad inicial es cero; la propia frase lo indica: se deja

caer el cuerpo en caída libre.

– Como nos queda:

Por otra parte, para el espacio, o altura a la que se encuentra el cuerpo:

La representación gráfica del movimiento será:

La primera representa la posición del objeto, la segunda la velocidad y la tercera su

aceleración.

La ecuación del movimiento la podemos considerar con la segunda ley de Newton, donde

la fuerza “F” que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de su masa “m” por la

aceleración que adquiere

A partir de la segunda ley de newton procedemos a realizar el modelo matemático

recordando que despejando quedaría de esta manera:

Es decir que la masa por la aceleración es igual al peso del cuerpo que está en

movimiento.

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Recordando que la aceleración puede es expresada de manera diferencial como la

variación de la velocidad con el tiempo:

Y la velocidad a su vez es la variación de la posición con el tiempo:

Si relacionamos estas ecuaciones y derivamos a la velocidad con respecto al tiempo nos

quedaría la segunda derivada de “y” con respecto al tiempo y sustituyendo en la ecuación

de newton quedaría:

Para que este tipo de ecuación diferencial sea resuelta, se necesitan de las condiciones

iniciales como por ejemplo la posición del cuerpo, la velocidad.

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3. Palabras clave.

- Ecuación diferencial: Es una ecuación que contiene derivadas de alguna función

desconocida, al resolver la ecuación diferencial se encuentra la función la cual

representa un modelo matemático de algún fenómeno físico.

- Ecuación diferencial ordinaria: es cuando se involucran derivadas ordinarias de

una o más variables dependientes con respecto de una sola variable

independiente.

- Ecuación diferencial parcial: es aquella ecuación que contiene derivadas

parciales de una o dos variables dependientes de dos o más variables

independientes.

- Orden de una ecuación diferencial: En estas ecuaciones el mayor orden de sus

derivadas será entonces el orden de la ecuación diferencial.

- Resistencia del viento: es la fuerza que sufre un cuerpo al moverse a través del

aire, en otras palabras es la fuerza de fricción del aire contra la superficie del

cuerpo.

- Masa: es una medida de la cantidad de materia que posee un cuerpo.

- Velocidad: Es una magnitud física que expresa el desplazamiento de un objeto

- Gravedad: Es una fuerza física que la tierra ejerce sobre todos los cuerpos hacia

su centro.

- Derivada de una función: Es una medida de rapidez con la que cambia el valor

de dicha función matemática.

- Integral: Básicamente es una suma de infinitos sumandos, infinitamente

pequeños.

- Fuerza: es una magnitud fisca capaz de deformar los cuerpos, modificar su

velocidad o de modificar el estado de un cuerpo.

- Caída libre: se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción

exclusiva de un campo gravitatorio.

- Aceleración constante: La aceleración refleja cómo cambia la velocidad en un

cierto periodo de tiempo.

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4. Cálculos y modelado de la ecuación diferencial para caída libre.

4.1 Deducción de la ecuación diferencial sin resistencia del aire.

Condiciones iniciales: ( )

( )

(

)

(Ecuación diferencial de segundo orden)

Recordando:

“Aceleración es igual a la derivada de la velocidad”

“Velocidad es igual a la derivada del desplazamiento”

“Aceleración es igual a la segunda derivada del desplazamiento”

∫ = ∫( )

Posición Inicial: ( )

( )

Sabiendo que:

Sustituyendo en queda:

………………………“Fórmula para saber la velocidad en un tiempo t”

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Con = Velocidad Inicial

Ecuación diferencial:

Desarrollando:

∫ ∫( )

Con las condiciones iniciales: ( )

( )

( ) ;

Por lo tanto: con = Posición Inicial y sustituyendo:

…………………”Fórmula para saber la posición en un tiempo t”

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4.2 Deducción de la ecuación diferencial con resistencia del aire.

Agregando a la Ecuación 1

Resistencia del aire.

Nos queda:

Ecuación 2

Donde k= constante de proporcionalidad.

Consideramos el movimiento de un cuerpo con masa “m” cerca de la superficie de la

tierra, sujeto a dos fuerzas: una fuerza dirigida hacia abajo y una fuerza “ que es

proporcional a la velocidad y dirigida en sentido opuesto a la dirección del movimiento del

cuerpo.

Establecemos un sistema con la dirección hacia arriba con el sentido positivo de “y”,

entonces:

Ecuación 3

Donde k es una constante positiva y

es la velocidad del cuerpo.

El signo menos en la ecuación 3.- hace a positiva (un fuerza hacia arriba) si el cuerpo

está cayendo (v es negativa) y si el cuerpo está elevándose (v es positiva) hace a

negativa (una fuerza hacia abajo).

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Con lo anterior, para un cuerpo que se eleva:

Ecuación 4

La Ecuación 4 es una ecuación diferencial de primer orden:

( ) ∫

( )

( )

∫

∫ (

)

Para velocidad inicial.

( )

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- Sustituyendo :

(

)

( )

(

)

Ecuación 5

La ecuación 5 es la fórmula para determinar la velocidad en un tiempo “ t ”.

- Sabiendo que

reescribimos la ecuación 5

(

)

∫ ∫(

(

)

)

- Para = posición inicial

Ahora se realiza la sustitución de

Factorizando:

(

)(

) Ecuación 6

La ecuación 6 es la fórmula para saber la posición de un cuerpo al ser lanzado hacia

arriba en un tiempo “ t ”.

Nota: Las ecuaciones 5 y 6 están bajo la influencia de la resistencia del aire .

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5. Resolución de Problemas

Ejercicio 1

Suponga que una pequeña bala de cañón que pesa 16 libras

se dispara verticalmente hacia arriba, con una velocidad

inicial 300 pies/s. ¿Qué tanto sube la bala de cañón? Si:

a. No se considera la resistencia del aire.

b. Se considera una resistencia del aire proporcional a

la velocidad con constante b = 0.0025.

Formulas:

v dy

dt 𝑦

𝑎 𝑑 (

𝑑𝑦𝑑𝑡

)

𝑑𝑡 𝑑 𝑦

𝑑𝑡 𝑦

𝑎 dv

dt 𝑣

∫ 𝑑𝑣 ∫ ( 𝑔)𝑑𝑡

𝑉 𝑔𝑡 𝑐

𝑉𝑜 𝑔( ) 𝑐

𝑉𝑜 𝑐

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a. No se considera la resistencia del aire.

( )

Siendo la gravedad negativa por la dirección de la misma:

∫ ∫( )

( )( )

( )

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b. Se considera una resistencia del aire proporcional a la velocidad con

constante b = 0.0025.

Datos:

;

Cuando la resistencia del aire es proporcional a la velocidad, el modelo de

la velocidad es:

Considerando la dirección positiva hacia arriba.

( )

De ( ) obtenemos:

( )

(

)

Ahora con ( ) integramos para encontrar:

( )

(

) (

)

Con ,

y

( )( )

((

( )( )

)) ( )

( )

( )

La máxima altura se alcanza cuando ( ), es decir a

( )( )

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Ejercicio 2

Una paracaidista pesa 125 libras y su paracaídas y

equipo juntos pesan otras 35 libras. Después de saltar del

avión desde una altura de 15 000 pies, la paracaidista

espera 15 segundos y abre su paracaídas.

Suponga que la constante de proporcionalidad del

modelo tiene el valor b = 0.5 durante la caída libre y b= 10

después de que se abrió el paracaídas.

Suponga que su velocidad inicial al saltar del avión es

igual a cero. ¿Cuál es la velocidad de la paracaidista y

qué distancia ha recorrido después de 20 segundos de

que saltó del avión? ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?

Desarrollo de la ecuación diferencial del ejercicio

( )

Reescribiendo:

(

)

Ordenamos:

(

)

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(

)

(

)

Es una ecuación de la forma ( ) ( ) y para solucionarla aplicamos factor

integrante a cada lado de la ecuación y nos queda de la siguiente manera:

(

) (

) (

)(

) (

)

(

) (

)

Al integrar en ambos lados nos queda:

∫

(

) ∫ (

)

(

)

Reescribiendo:

( )

Para v(0) = V0

( )

( )

Entonces

( )

( )

(

)

( )

(

)

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Aplicando las fórmulas para resolver el ejercicio planteado.

Datos:

Peso Altura Tiempo paracaídas

Constante seg antes de Constante seg después de al saltar del avión

a.

Velocidad en ( )…. (Antes de abrir el paracaídas)

( )

(

)

( )

(

)

( ) ( )

Velocidad en ( )…. (Después de abrir el paracaídas)

( )

(

)

( )

Posición:

( )

(

)

∫ ( ) ∫(

)

( )

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Posición a los ( )… (Paracaídas cerrado)

( )

( )

Posición a los d(5)… (Paracaídas abierto)

( )

( )

( ) ( )

( )

R ) .

b.

En

1 – hasta el suelo

Y con velocidad de

( )

R/. )

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Ejercicio 3

Un cuerpo de 10 kg, en la cúspide de una torre de 100 metros de alto, se arroja

verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s. Suponga que la

resistencia del aire que actúa sobre el cuerpo es proporcional a la velocidad V de

modo que Determine:

a. La altura máxima por encima de la torre.

b. Cuanto tiempo tardara en tocar el suelo.

c. La velocidad del cuerpo al tocar el suelo.

Para resolver este problema utilizamos la ecuación:

( )

(

)

Para saber la altura máxima del cuerpo debemos saber que al llegar a ese punto la

velocidad es cero.

(

)

(( ) ) ( (( ) )) (( ) )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ( ))

Ahora que conocemos el tiempo que tarda en llegar hasta su punto más alto sustituimos

en la ecuación de la posición:

( )

(

( ) ) (

)

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( ) – ( ) – ( (( ) ( ) )) ( ( ) )

( ) – ( ) – ( ) ( )

R./ ( )

Esa es la altura máxima lograda por el cuerpo.

Para saber el tiempo en el que va tocar el suelo tomamos en cuenta que inicia Vo = 0, ya

que se detiene en un momento e inicia su descenso.

Ahora tomaremos la dirección positiva hacia abajo:

Desarrollando la ecuación diferencial nos queda:

Para la velocidad inicial

( )

Finalmente tenemos:

(

)

∫ ∫ (

(

)

)

( )

( )

Para la posición inicial

( )

( ) ( )

( )

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( )

( )

( )

( )

Realizamos la sustitución de en la fórmula:

( )

( )

( )

( )

Sabiendo que la altura total desde donde va a descender el cuerpo es igual a 104.36,

sustituimos datos:

( ) (( – ) ( )) ( ) (( – )

) ( )

( ) ( ( )) –

( ) ( ( ))

( ) ( ( ))

Resolviendo para , tenemos:

Este es el tiempo que se tarda en tocar el suelo.

Sustituyendo el tiempo en la ecuación de la velocidad para saber a qué velocidad

toca el suelo:

(

)

– ( )

Velocidad a la que se estrella en el suelo.

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6. Conclusiones

Es necesaria la correcta deducción de la ecuación diferencial para la

resolución de los ejercicios cuando se modelan los sistemas como el de

caída libre.

Los fenómenos físicos son capaces de modelarse en una ecuación

diferencial siempre y cuando las condiciones iniciales cumplan con las leyes

del movimiento y la ley de la fuerzas de Newton.

Comprender los conceptos del fenómeno físico nos ayuda también a saber

qué condiciones modelar en la ecuación diferencial.

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7. BIBLIOGRAFÍA

Libros:

- Dennis G. Zill. Michel E. Cullen. Ecuaciones Diferenciales con problemas

con valores en la frontera. Séptima Edición. Publicado en ingles por Brooks

and Cole/Cengage Learning

- Sears • Zemansky. Física Universitaria Volumen I. Decima Segunda

Edición. Pearson Educación, México, 2009. ISBN: 978-607-442-288-7 Area:

Ciencias

- FERDINAND P. BEER and JOHNSTON and CORNWELL. Mecánica Vectorial

para ingenieros. Dinámica. Novena Edición. Por McGRAW-

HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. ISBN-13: 978-607-15-0261-2

Sitios web:

https://prezi.com/qg-wof_zf0yx/caida-libre-caida-de-cuerpos-y-resistencia-

del-aire-ecuaciones-diferenciales/

https://prezi.com/svrdkqpumkzv/caida-libre-y-su-relacion-con-las-

ecuaciones-diferenciales/

http://es.slideshare.net/Flightshox/aplicaciones-de-ecuaciones-diferenciales-

7184848

https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/ECUACIONES-

DIFERENCIALES/Aplicacion-ecuaciones-diferenciales---movimiento-de-

caida-libre

http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/3.AplicacionesPrimerOrden/ImpMe

canica.pdf

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8. Anexos

8.1 Simulación de los ejercicios propuestos en MATLAB

A continuación se presenta uno de los bosquejos y pasos a seguir para la

simulación de un modelado de una ecuación diferencial de uno de los

ejercicios propuestos.

Abrir MATLAB

Fig. 1

Escribimos la palabra: “SIMULINK” y presionamos ENTER

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Fig. 2

En la pestaña FILE NEW, MODEL

Fig. 3

La ventana de modelado nos sirve para realizar nuestro modelo matemático

Fig. 4

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Configuramos un bloque de funciones

Fig. 5

CODIGO DE MATLAB

function [time,height] = DroppingBall(g,delt,h) % g - acceleration due to gravity, m/s^2 % delt - delt - time step interval in sec +% h - height in m % t1-----------u(1),delh(1), time zero % t2-----------u(2),delh(2), time one % t3-----------u(3),delh(3), time two % SAMPLE INPUT 1 : [time,height] = DroppingBall() -- for default inputs % SAMPLE INPUT 2 : [time,height] = DroppingBall(g,delt,h)

InitialSettings(); if nargin == 0;g = 9.8; delt = 0.0005; h = 100;end [u,v,delh,n,time,height]=Engine(g,delt,h); PlotFigures(1,time,height,h,v) PlotFigures(2,time,height,h,v) AnimateFallingBall(delh,h); DisplayValues(g,h,delt,n,u,v,time); end %%%%%%%%%% %%%%%%%%%% function InitialSettings() clear all;close all;clc set(0,'DefaultFigureWindowStyle','docked')

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end %%%%%%%%%% %%%%%%%%%% function [u,v,delh,n,time,height]=Engine(g,delt,h) u(1) = 0; % initial velocity at time zero = 0 v(1) = 0; % terminal / final velocity at time zero = 0 delh(1) = 0; % distance fallen at the end of time zero = 0 n=2; % time step number while sum(delh(:)) <= h u(n) = v(n-1); v(n) = u(n) + g*delt; delh(n) = u(n-1)*delt + 0.5*g*delt^2; n = n+1; end n = n-1; time = cumsum(delt*ones(1,n)); height = cumsum(delh(:)); end %%%%%%%%%% %%%%%%%%%% function SetFigureProperties(FigNo,h) if FigNo == 1 grid on,xlabel('Time in seconds'),ylabel('Height in m'),title('Time vs.

height'),axis tight elseif FigNo == 2 grid on,xlabel('Time in seconds'),ylabel('Velocity in m/s'),title('Time vs.

velocity'),axis tight elseif FigNo == 3 grid on,axis([-1 1 0 h]) end end %%%%%%%%%% %%%%%%%%%% function PlotFigures(FigNo,time,height,h,v) if FigNo == 1 figure(FigNo);plot(time,height);SetFigureProperties(1,h); elseif FigNo == 2 figure(FigNo);plot(time,v);SetFigureProperties(2,h); end end %%%%%%%%%% %%%%%%%%%% function AnimateFallingBall(delh,h) figure(3);whitebg('k') framespace = 50; for count = 1:framespace:numel(delh) hndle3 = plot(0,h-sum(delh(1:count)),'w.','MarkerSize',25); SetFigureProperties(3,h); pause(0.001);delete(hndle3); end plot(0,0,'w.','MarkerSize',25);SetFigureProperties(3,h); end %%%%%%%%%% %%%%%%%%%% function DisplayValues(g,h,delt,n,u,v,time) fprintf('Problem parameters are g = %4.3f m/s^2, h = %4.3f, delt =

%4.6f\n',g,h,delt); fprintf('Time taken to fall %8.4f m is %8.6f seconds\n',h,n*delt) fprintf('Caculated terminal velocity of the ball is %6.6f m/s \n',v(end)) fprintf('(v = u + gt) is (v = %6.6f + %6.4f*%6.4f ) = %6.6f m/s

\n',u(1),g,max(time),u(1)+g*max(time)) end

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Códigos de MATLAB utilizados para la simulación del modelado del ejercicio.

- Function: declaro una variable y sus parámetros además la variable puede

contener el valor de respuesta.

- InitialSettings: establece las condiciones iniciales de nuestra ecuación o

problema a modelar

- PlotFigures: grafica una figura u objeto

- If: ejecuta condiciones de estamentos.

- Else: ejecuta estamentos si la previa condición IF falla.

- While: repite estamentos de un número indefinido de veces.

- For: Repite estamentos un especifico número de veces

- AnimateFallingBall: Anima un objeto con las medidas que especifiquemos

- Framespace: espacio entre marcos

- SetFigureProperties: establece los parámetros y ubicación de una figura u objeto

- PlotFigures: gráfica y lanza una ventana con los datos establecidos en la función

- DisplayValue: Muestra el valor de resultado en la ventana emergente

>> u=diff(f) diferenciación >> v=int(f) integración analítica >> r=int(f, 0, 2) integración entre límites >> g='x*exp(-x)'; >> r=int(g, 0, Inf); integral impropia

Fig. 6

Abrimos la ventana de editor.

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Fig. 7

Presionamos run.

Fig. 8

31

Seleccionamos add to patch.

Fig. 9

Podemos correr la simulación y cambiar los parámetros de la ecuación dependiendo el

modelo del problema a resolver.