UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERESCUELA DE MATEMÁTICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO

GRUPO: B3

MAYO 12 DE 2009

BUCARAMANGA, PRIMER SEMESTRE DE 2009

Crecimiento y decaimiento

Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista inglés en 1798. En esencia, la idea del modelo malthusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t), de ese país en cualquier momento t. En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar

O sea

Donde k es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial (1) aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos. El núcleo de un átomo está formado por combinaciones de protones y neutrones. Muchas de esas combinaciones son inestables; esto es, los átomos se desintegran, o se convierten en átomos de otras sustancias. Se dice que estos núcleos son radiactivos; por ejemplo, con el tiempo, el radio Ra 226, intensamente radiactivo, se transforma en gas radón, Rn 222, también radiactivo. Para modelar el fenómeno de la desintegración radiactiva, se supone que la tasa conque los núcleos de una sustancia se desintegran (decaen) es proporcional a la cantidad (con más precisión, el número) de núcleos, A(t), de la sustancia que queda cuando el tiempo es t(o en el momento t):

O sea

Por supuesto que las ecuaciones (1) y (2) son exactamente iguales; la diferencia radica en la interpretación de los símbolos y de las constantes de proporcionalidad. En el caso del crecimiento, como cabe esperar en (l), k > 0, y en el caso de la desintegración, en (2), k < 0. El modelo de desintegración (2) también se aplica a sistemas biológicos; por ejemplo, la determinación de la “vida media” o “periodo medio” de una medicina. Nos referimos al tiempo que tarda el organismo en eliminar 50% de ella, sea por excreción o metabolización. Veremos el mismo modelo básico de (1) y (2) en un sistema económico.

Método de solución de algunos ejemplos de crecimiento y decaimiento

El problema de valor inicial

, (1)

En donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos donde intervienen crecimiento o decaimiento (desintegración).

Anteriormente describimos que, en biología, se ha observado que en cortos periodos la tasa de crecimiento de algunas poblaciones (como las de bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la población presente en cualquier momento. Si conocemos una población en cierto momento inicial arbitrario, que podemos considerar definido por t = 0, la solución de (1) nos sirve para predecir la población en el futuro, esto es, para t > 0.

En física, un problema de valor inicial como las ecuaciones (1) puede servir de modelo para calcular aproximadamente la cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva. Esa ecuación diferencial (1) también puede describir la temperatura de un objeto que se enfría. En química, la cantidad residual de una sustancia en ciertas reacciones se apega a la ecuación (1).

La constante de proporcionalidad k, en (1), se puede hallar resolviendo el problema de valor inicial, con una determinación de x en un momento .

EJEMPLO 1 Crecimiento de bacterias

En un principio, un cultivo al inicio tiene cantidad de bacterias. En t = 1 se determina

que el numero de bacterias es . Si la rapidez de crecimiento es proporcional al

numero de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el numero de bacterias.

Solución Primero se resuelve la ecuación diferencial en (1), donde el símbolo x se reemplaza por P. Con , la condición inicial es . Entonces se usa la

observación empírica de que para determinar la constante de

proporcionalidad k.

Observe que la ecuación diferencial es tanto separable como lineal. Cuando

se pone en la forma estándar de una ED lineal de primer orden,

Se ve por inspección que el factor integrante es . Al multiplicar ambos lados de la ecuación por este termino e integrar se obtiene a su vez,

y

Por tanto . En t=0 se deduce que , y en consecuencia

. En t=1 se tiene o bien . De la ultima ecuación se

obtiene , y, entonces . Para determinar el tiempo en

que se ha triplicado el número de bacterias, se resuelve para t. Se deduce que 0.4055t= ln3, o

Observe en el ejemplo 1 que el numero real de bacterias presentes en el tiempo t=0 no tuvo que ver en el calculo del tiempo que se requirió para que se triplicara el numero de bacterias en el cultivo. El tiempo necesario para que se triplique una población inicial de, por ejemplo 100 bacterias o 1.000.000 es de mas o menos 2.71 Horas.

Observamos la grafica de crecimiento y decaimiento poblacional.

Como se ilustra en la grafica, la función exponencial se incrementa cuando aumenta t para k y disminuye cuando aumenta t para k<0. Así, los problemas que describen el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias o incluso capital) se caracterizan por un valor positivo de k, mientras que los problemas relacionados con el decaimiento (Como en la desintegración radiactiva) generan un valor k negativo. En consecuencia, se dice que k es una constante de crecimiento (k>0) o una constante de decaimiento (k<0).

Vida MediaEn física, la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente el tiempo que tarda en desintegrarse, o transmutar en átomos de otro elemento, la mitad de los átomos de una cantidad inicial . Mientras más grande sea la vida media de una sustancia, más estable es ésta. EJEMPLO 2 Vida Media del Plutonio

Un reactor autor regenerador convierte el uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años se determina que se desintegró 0.043% de la cantidad inicial de plutonio. Calcule la vida media de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad presente.

Solución Sea A(t) la cantidad de plutonio presente en el tiempo t. Como en el Ejemplo 1, la solución de problema de valor inicial

,

es . Si 0.043% de los átomos de se ha desintegrado, entonces aún queda 99.957% de la sustancia. Para hallar la constante de decaimiento k, se utiliza

, esto es, . Al despejar de esta ecuación el

valor de la constante se obtiene que . Por

consiguiente, . Ahora la vida media es el valor del tiempo en el

que . Al resolver para t se obtiene ó .

La última ecuación genera:

EJEMPLO 3 Edad de un Fósil

Se encuentra que un hueso fosilizado contiene una milésima de la concentración de C-14 que se encuentra en la materia viva. Estime la edad del fósil.

Solución De nuevo, el punto de partida es . Para determinar el valor de

la constante de decaimiento k, se usa el hecho de que ó

. De se obtiene .

Por consiguiente, . Con se tiene

, de modo que . Por

consecuencia, la edad del fósil es cercana a:

BIBLIOGRAFIA

- Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Octava edicion. Dennis G. Zill