Ecuaciones Diferenciales de Cauchy
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE CAUCHY – EULER DE ORDEN n Son ecuaciones diferenciales de la forma: (1) Donde a i ∈R Estas ecuaciones diferenciales se resuelven, reduciéndolas a Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes, mediante el siguiente cambio de variable: x=e t Y mediante la regla de la cadena se obtienen las derivadas: a) y ' = dy dx = dy dt dx dt = dy dt e t =e −t dy dt ⇰ y ' =e −t dy dt . b) y '' = d 2 y dx 2 = dy' dx = dy' dt dx dt = dy ' dt e t =e −t dy' dt =e −t d( e −t dy dt ) dt =e −2 t ( d 2 y dt 2 − dy dt ) ⇰ y '' =e −2 t ( d 2 y dt 2 − dy dt ) Siguiendo el mismo procedimiento se obtiene: y ''' =e −3 t ( d 3 y dt 3 −3 d 2 y dt 2 +2 dy dt ) Ejemplo 1: Resolver: x 3 d 3 y dx 3 +3 x 2 d 2 y dx 2 −3 x dy dx =xlnx Solución Sea x=e t ⇰ { y ' =e −t dy dt y '' =e −2t ( d 2 y dt 2 − dy dt ) y ''' =e −3t ( d 3 y dt 3 −3 d 2 y dt 2 +2 dy dt ) Reemp. enla EDOdada ⇒ e 3t [ e −3t ( d 3 y dt 3 −3 d 2 y dt 2 +2 dy dt ) ] +3 e 2 t [ e −2t ( d 2 y dt 2 − dy dt ) ] −3 e t [ e −t dy dt ] =te t ; simplificando se tiene: d 3 y dt 3 −4 dy dt =te t (1) Resolviendo (1) por variación de parámetros: 1° Polinomio característico: a n x n d n y dx n +a n−1 x n−1 d n−1 y dx n−1 + …a 1 x dy dx +a 0 y=f ( x)
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE CAUCHY EULER DE ORDEN Son ecuaciones diferenciales de la forma:
(1) Donde Estas ecuaciones diferenciales se resuelven, reducindolas a Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes, mediante el siguiente cambio de variable:
Y mediante la regla de la cadena se obtienen las derivadas:a) .b) Siguiendo el mismo procedimiento se obtiene:
Ejemplo 1: Resolver: SolucinSea ; simplificando se tiene: (1)Resolviendo (1) por variacin de parmetros:1 Polinomio caracterstico:
2 Clculo de la solucin particular: a) Determinacin y solucin del sistema de ecuaciones:
a) Determinacin de Las funciones obtener :-) -) -) Luego: As: Reponiendo la variable inicial se tiene:
Ejemplo 2: Resolver: SolucinLa EDO dada es equivalente a: Sea ; simplificando se tiene: (1)Resolviendo (1) por variacin de parmetros:1 Polinomio caracterstico: 2 Clculo de la solucin particular: a) Determinacin y solucin del sistema de ecuaciones:
b) Determinacin de Las funciones obtener :-) -) -) Luego: As: Reponiendo la variable inicial se tiene:
Imponiendo las condiciones iniciales: Finalmente se tiene:
NOTA: 1. Las EDO de Cauchy Euler tambin se pueden resolver mediante el siguiente reemplazo: ()Cuando el polinomio caracterstico tiene races complejas, es importante recordar y utilizar la frmula de Moivre: . As:
:
2. Son Tambin Ecuaciones diferenciales de este tipo las siguientes:
Las mismas que se resuelven haciendo el reemplazo siguiente:
Procediendo similarmente como en las EDO (1), por medio de la regla de la cadena se obtiene:
Ejemplo 3. Resolver la EDO: SolucinUtilizando () en la EDO planteada, es decir, hacer: Finalmente:
Ejemplo 4. Resolver la EDO: SolucinUtilizando () en la EDO planteada, es decir, hacer: : Son soluciones particulares si:a) b) Luego, la combinacin lineal de y es la solucin de la EDO planteada:
Ejemplo 5. Resolver la EDO: SolucinUtilizando () en la EDO planteada, es decir, hacer: Son soluciones particulares si:c) d) Luego, la combinacin lineal de y es la solucin de la EDO planteada:
Ejemplo 6. Resolver la EDO: SolucinUtilizando () en la EDO planteada, es decir, hacer: Finalmente: Ejemplo 7. Resolver la EDO: SolucinEn estos casos se recomienda trabajar primero con la EDO homognea asociada, esto es: Utilizando () en esta EDO, es decir, hacer: Conociendo la solucin complementaria, expresamos la EDO planteada en la forma:
y procedemos a resolverla por variacin de parmetros: Clculo de la solucin particular: a) Determinacin y solucin del sistema de ecuaciones:
.
b) Determinacin de Las funciones :-) -)
Luego, si: As: Luego:
Solucin general
EJERCICIOS PROPUESTOSRESOLVER LAS ECUACIONES DIFERENCIALES QUE SE PROPONEN:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. ; y 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. .
