Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones diferenciales de primer orden.
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PUBLICACIONES HACKYONEL
2011
Ecuaciones Diferenciales
- E. D. L. Homogéneas de Coeficientes Constantes.
- E.D.L. No Homogéneas de Coeficientes Constates.
- Sistema de Ecuaciones Diferencias de Coeficientes Constantes.
- La Transformada de Laplace.
- Aplicaciones de la Transformada de Laplace.
Huánuco - Perú
R E C O N O C I M I E N T O – N O C O M E R C I A L - C R E A T I V E C O M M O N S
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
“AÑO DE UNION NACIONAL FRENTE A LA CRISIS EXTERNA”
UNIVERSIDAD NACIONAL
“HERMILIO VALDIZÁN”
E. A. P. INGENIERÍA DE SISTEMAS
CURSO : ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE : ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR
ALUMNO : CALIXTO CARMEN, Yonel Orlando
CICLO : V
HUANUCO- PERÚ
2011
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n
1. 2
23 2 0
d y dyy
dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
2
2
3 2 0
3 2 2 1 0
d y dyy
dx dx
P t t t t t
De donde: 1, 2t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2
1 2
x xy c e c e
Rpta: 2
1 2
x xy c e c e
2. 2
24 4 0
d y dyy
dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
2
22
4 4 0
4 4 2 0
d y dyy
dx dx
P t t t t
De donde: 2t de multiplicidad 2 Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 2 2
1 2 1 2
x x xy c e c xe e c c x
Rpta: 2
1 2
xy e c c x
3. 2
20
d yy
dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
2
2
4 4 0
1 0
d y dyy
dx dx
P t t
De donde: ,t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2cos seny c x c x
Rpta: 1 2cos seny c x c x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
4. 2
20
d y dyy
dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
2
2
0
1 0
d y dyy
dx dx
P t t t
De donde: 1 3 1 3
,2 2 2 2
t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 21 2
21 2
3 3cos sen
2 2
3 3cos sen
2 2
x x
x
y c e x c e x
y e c x c x
Rpta: 21 2
3 3cos sen
2 2
x
e c x c x
5. 2
22 2 0
d y dyy
dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
2
2
2 2 0
2 2 0
d y dyy
dx dx
P t t t
De donde: 1 , 1t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2
1 2
cos sen
cos sen
x x
x
y c e x c e x
y e c x c x
Rpta: 1 2cos senxe c x c x
6. ''' 2 '' ' 2 0y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
''' 2 '' ' 2 0
2 2 1 1 2 0
y y y y
P t t t t t t t
De donde: 1, 1, 2t t t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2
1 2 3
x x xy c e c e c e
Rpta: 2
1 2 3
x x xy c e c e c e
7. ''' 3 '' 3 ' 0y y y y
RESOLUCIÓN
''' 3 '' 3 ' 0y y y y Ecuación irresoluble excepto si:
''' 3 '' 3 ' 0y y y y
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2 2
''' 3 '' 3 ' 0
3 3 1 1 4 1 0
y y y y
P t t t t t t t
De donde: 1, 2 3, 2 3t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 3 2 3
1 2 3
x xxy c e c e c e
Rpta: 2 3 2 3
1 2 3
x xxy c e c e c e
8. ''' '' ' 0y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2 2
''' '' ' 0
1 1 1 0
y y y y
P t t t t t t
De donde: 1, ,t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3cos senxy c e c x c x
Rpta: 1 2 3cos senxy c e c x c x
9. ''' 0y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
''' 0
1 1 1 0
y y
P t t t t t
De donde: 1 3 1 3
1, ,2 2 2 2
t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 21 2 3
21 2 3
3 3cos sen
2 2
3 3cos sen
2 2
x x
x
x
x
y c e c e x c e x
y c e e c x c x
Rpta: 21 2 3
3 3cos sen
2 2
x
xy c e e c x c x
10. 0ivy y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 2
0
1 1 1 1 0
ivy y
P t t t t t
De donde: 1, 1, ,t t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4cos senx xy c e c e c x c x
Rpta: 1 2 3 4cos senx xy c e c e c x c x
11. ''' 6 '' 4 ' 0ivy y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
44 3 2
4 ''' 6 '' 4 ' 0
4 6 4 1 1 0
ivy y y y y
P t t t t t t
De donde: 1t de multiplicidad 4 Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 3
1 2 3 4
2 3
1 2 3 4
x x x x
x
y c e c xe c x e c x e
y e c c x c x c x
Rpta: 2 3
1 2 3 4
xy e c c x c x c x
12. 6 ''' '' 6 ' 0y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
6 ''' '' 6 ' 0
6 6 1 1 1 6 1 0
y y y y
P t t t t t t t
De donde: 1
1, 1,6
t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
61 2 3
x
x xy c e c e c e
Rpta: 61 2 3
x
x xy c e c e c e
13. ''' '' 3 ' 0y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2 2
''' '' 3 ' 0
3 1 1 2 1 0
y y y y
P t t t t t t t
De donde: 1, 1 2, 1 2t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 1 2 1 2
1 2 3
x xxy c e c e c e
Rpta: 1 2 1 2
1 2 3
x xxy c e c e c e
14. 0viy y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
6 2 2
0
1 1 1 1 1 0
viy y
P t t t t t t t t
De donde: 1 3 1 3 1 3 1 3
1, , , ,2 2 2 2 2 2 2 2
t t i t i t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 21 2 3 4 5 6
3 3 3 3cos sen cos sen
2 2 2 2
x x
x xy c e c e e c x c x e c x c x
Rpta:
2 21 2 3 4 5 6
3 3 3 3cos sen cos sen
2 2 2 2
x x
x xy c e c e e c x c x e c x c x
15. 3 2
3 22 3 0
d y d y dy
dx dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
3 2
3 2 2
2 3 0
2 3 2 3 0
d y d y dy
dx dx dx
P t t t t t t t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
De donde: 0, 3, 1t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 3
1 2 3
x xy c c e c e
Rpta: 3
1 2 3
x xy c c e c e
16. 3 2
3 24 4 0
d y d y dy
dx dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
3 2
23 2
4 4 0
4 4 2 0
d y d y dy
dx dx dx
P t t t t t t
De donde: 2,t de multiplicidad 2; 0,t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 2
1 2 3
2
1 2 3
x x
x
y c c e c xe
y c e c c x
Rpta: 2
1 2 3
xy c e c c x
17. 4
4
d yy
dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4
4
4 2
0
1 1 1 1 0
d yy
dx
P t t t t t
De donde: 1, 1, ,t t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4cos senx xy c e c e c x c x
Rpta: 1 2 3 4cos senx xy c e c e c x c x
18. 4 2
4 22 0
d y d yy
dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
4 2
4 2
24 2 2
2 0
2 1 1 0
d y d yy
dx dx
P t t t t
De donde: ,t i de multiplicidad 2, t i de multiplicidad 2
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4
1 3 2 4
cos sen cos sen
cos sen
y c x c x c x x c x x
y c c x x c c x x
Rpta: 1 3 2 4cos seny c c x x c c x x
19. 4 2
4 23 4 0
d y d yy
dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 2
4 2
4 2 2
3 4 0
3 4 1 1 4 0
d y d yy
dx dx
P t t t t t t
De donde: 1, 1, 2 , 2t t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4cos2 sen 2x xy c e c e c x c x
Rpta: 1 2 3 4cos2 sen 2x xy c e c e c x c x
20. 4 3 2
4 3 22 0
d y d y d y
dx dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 3 2
4 3 2
24 3 2 2
2 0
2 1 0
d y d y d y
dx dx dx
P t t t t t t
De donde: 0,t de multiplicidad 2, 1,t de multiplicidad 2
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4
1 2 3 4
x x
x
y c c x c e c xe
y c c x c c x e
Rpta: 1 2 3 4
xy c c x c c x e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
21. 3 2
3 22 2 0
d y d y dyy
dx dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
3 2
3 2
2 2 0
2 2 1 1 1 2 1 0
d y d y dyy
dx dx dx
P t t t t t t t
De donde: 1
1, 1,2
t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
21 2 3
x
x xy c e c e c e
Rpta: 21 2 3
x
x xy c e c e c e
22. 3 2
3 22 7 2 0
d y d yy
dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
3 2
3 2 2
2 7 2 0
2 7 2 2 2 4 1 0
d y d yy
dx dx
P t t t t t t
De donde: 2 2
2, 1 , 12 2
t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 2
1 12 22
1 2 3
x xxy c e c e c e
Rpta:
2 21 1
2 22
1 2 3
x xxy c e c e c e
23. 4 2
4 214 0
d y d yy
dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 2
4 2
4 2 2 2
14 0
14 1 4 1 4 1 0
d y d yy
dx dx
P t t t t t t t
De donde: 2 3, 2 3, 2 3, 2 3t t t t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 3 2 3 2 3 2 3
1 2 3 4
x x x xy c e c e c e c e
Rpta: 2 3 2 3 2 3 2 3
1 2 3 4
x x x xy c e c e c e c e
24. 2
2
20
d yk y
dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
22
2
2 2
0
0
d yk y
dx
P t t k
De donde: ,t ki t ki
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2cosk sen ky c x c x
Rpta: 1 2cosk sen ky c x c x
25. 2
22 4 0
d y dyy
dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
2
2
2 4 0
2 4 0
d y dyy
dx dx
P t t t
De donde: 1 3 , 1 3t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2
1 2
cos 3 sen 3
cos 3 sen 3
x x
x
y c e x c e x
y e c x c x
Rpta: 1 2cos 3 sen 3xy e c x c x
26. 4 2
4 24 5 9 0
d y d yy
dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
4 2
4 2
4 2 2
4 5 9 0
4 9 1 1 4 9 0
d y d yy
dx dx
P t t t t t t
De donde: 3 3
1, 1, ,2 2
t t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4
3 3cos sen
2 2
x xy c e c e c x c x
Rpta: 1 2 3 4
3 3cos sen
2 2
x xy c e c e c x c x
27. 4
44 0
d yy
dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4
4
4 2 2
4 0
4 2 2 2 2 0
d yy
dx
P t t t t t t
De donde: 1 , 1 , 1 , 1t i t i t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4
1 2 3 4
cos sen cos sen
cos sen cos sen
x x x x
x x
y c e x c e x c e x c e x
y e c x c x e c x c x
Rpta: 1 2 3 4cos sen cos senx xy e c x c x e c x c x
28. 4 3 2
4 3 22 2 2 0
d y d y d y dyy
dx dx dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 3 2
4 3 2
4 3 2 2
2 2 2 0
2 2 2 1 1 2 2 0
d y d y d y dyy
dx dx dx dx
P t t t t t t t t t
De donde: 1, 1, 1 , 1t t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4
1 2 3 4
cos sen
cos sen
x x x x
x x x
y c e c e c e x c e x
y y c e c e e c x c x
Rpta: 1 2 3 4cos senx x xy y c e c e e c x c x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
29. 5 3 2
5 3 22 10 10 0
d y d y d y dyy
dx dx dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
5 3 2
5 3 2
5 3 2 2 2
2 10 10 0
2 10 10 2 1 2 5 0
d y d y d y dyy
dx dx dx dx
P t t t t t t t t t
De donde: 2, , , 1 2 , 1 2t t i t i t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2
1 2 3 4 5
2
1 2 3 4 5
cos sen cos 2 sen 2
cos sen cos 2 sen 2
x x x
x x
y c e c x c x c e x c e x
y c e c x c x e c x c x
Rpta: 2
1 2 3 4 5cos sen cos2 sen 2x xy c e c x c x e c x c x
30. 2 '' 3 ' 0y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
2 '' 3 ' 0
2 3 1 1 2 1 0
y y y
P t t t t t
De donde: 1
1,2
t t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
21 2
x
xy c e c e
Rpta: 21 2
x
xy c e c e
31. '' 9 ' 9 0y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
'' 9 ' 9 0
9 9 0
y y y
P t t t
De donde: 9 3 5 9 3 5
,2 2
t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 9 3 5 9 3 5
2 2
1 2
x x
y c e c e
Rpta:
9 3 5 9 3 5
2 2
1 2
x x
y c e c e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
32. '' ' 2 0, 0 1, ' 0 1y y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
'' ' 2 0
2 2 1 0
y y y
P t t t t t
De donde: 2, 1t t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2
1 2
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
1 2
... 1
1
' 2 2 1
1, 0 ... 2
2 1
x x
x x
x x
x
y c e c e
y c e c e c c
y c e c e c c
c c
en
y e
Rpta: xy e
33. '' 6 ' 9 0, 0 0, ' 0 2y y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
22
'' 6 ' 9 0
6 9 3 0
y y y
P t t t t
De donde: 3,t de multiplicidad 2
Luego el sistema fundamental de soluciones:
3 3
1 2
1
1 2
1 2
3
... 1
0 0
' 0 3 2
0, 2 ... 2
2 1
2
x x
x
y c e c xe
y c
y c c
c c
en
y xe
Rpta: 32 xy xe
34. '' 8 ' 9 0, 1 1, ' 1 0y y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
'' 8 ' 9 0
8 9 9 1 0
y y y
P t t t t t
De donde: 9, 1t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 9
1 2
x xy c e c e
Rpta: y
35. '' 4 0, 0 1, ' 0 1y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
'' 4 0
4 0
y y
P t t
De donde: 2 , 2t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2
1
2
1 2
cos 2 sen 2 ... 1
0 1
0 ' 2 1
11, ... 2
2
2 1
1cos 2 sen 2
2
y c x c x
y c
y c
c c
en
y x x
Rpta: 1
cos 2 sen 22
y x x
36. '' 4 ' 5 0, 0 1, ' 0 0y y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
'' 4 ' 5 0
4 5 0
y y y
P t t t
De donde: 2 , 2t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 2
1 2
1
cos sen ... 1
0 1
x xy c e x c e x
y c
1 2
1 2
2 2
' 0 2 0
1, 2 ... 2
2 1
cos 2 senx x
y c c
c c
en
y e x e x
Rpta: 2 2cos 2 senx xy e x e x
37. ''' 4 '' ' 0y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
23 2
''' 4 '' ' 0
4 1 1 1 0
y y y y
P t t t t t t
De donde: 1,t de multiplicidad 2, 1t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 1
x x xy c e c xe c e
Rpta: 1 2 3
x x xy c e c xe c e
38. 5 4 0iv iiy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 2
5 4 0
5 4 1 2 1 2 0
iv iiy y y
P t t t t t t t
De donde: 1, 2, 1, 2t t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 2
1 2 3 4
x x x xy c e c e c e c e
Rpta: 2 2
1 2 3 4
x x x xy c e c e c e c e
39. 3 3 0vi iv iiy y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 36 4 2
3 3 0
3 3 1 1 1 0
vi iv iiy y y y
P t t t t t t
De donde: 1,t de multiplicidad 3, 1,t de multiplicidad 3.
Luego el sistema fundamental de soluciones:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 2
1 2 3 4 5 6
x x x x x xy c e c xe c x e c e c xe c x e
Rpta: 2 2
1 2 3 4 5 6
x x x x x xy c e c xe c x e c e c xe c x e
40. 3 3 3 2 0v iv iii ii iy y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
5 4 3 2 2
3 3 3 2 0
3 3 3 2 1 2 1 0
v iv iii ii iy y y y y
P t t t t t t t t t t
De donde: 0, 1, 2, ,t t t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2
1 2 3 4 5cos senx xy c c e c e c x c x
Rpta: 2
1 2 3 4 5cos senx xy c c e c e c x c x
41. 8 0iv iy y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 2
8 0
8 2 2 4 0
iv iy y
P t t t t t t t
De donde: 0, 2, 1 3 , 1 3t t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2
1 2 3 4cos 3 sen 3x x xy c c e c e x c e x
Rpta: 2
1 2 3 4cos 3 sen 3x xy c c e e c x c x
42. 8 16 0viii ivy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 2
8 4 2 2
8 16 0
8 16 2 2 2 2 0
viii ivy y y
P t t t t t t t
De donde: 1 ,t i de multiplicidad 2; 1 ,t i de multiplicidad 2; 1 ,t i de
multiplicidad 2; 1 ,t i de multiplicidad 2;
Luego el sistema fundamental de soluciones: 1 2 3 4 5 6 7 8cos sen cos senx xy e c c x x c c x x e c c x x c c x x
Rpta:
1 2 3 4 5 6 7 8cos sen cos senx xy e c c x x c c x x e c c x x c c x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
43. 6 9 0iv iii iiy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
24 3 2 2
6 9 0
6 9 3 0
iv iii iiy y y
P t t t t t t
De donde: 0,t de multiplicidad 2, 3,t de multiplicidad 2.
Luego el sistema fundamental de soluciones:
3 3
1 2 3 4
3
1 2 3 4
x x
x
y c c x c e c xe
y c c x c c x e
Rpta: 3
1 2 3 4
xy c c x c c x e
44. 4 3 0iii iy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
23
4 3 0
4 3 1 1 2 1 0
iii iy y y
P t t t t t
De donde: 1
,2
t de multiplicidad 2, 1.t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 21 2 3
21 2 3
x x
x
x
x
y c e c e c xe
y c e c c x e
Rpta: 21 2 3
x
xy c e c c x e
45. 4 4 23 12 36 0iv iii ii iy y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 24 3 2
4 4 23 12 36 0
4 4 23 12 36 2 2 3 0
iv iii ii iy y y y y
P t t t t t t t
De donde: 2,t de multiplicidad 2, 3
2t de multiplicidad 2.
Luego el sistema fundamental de soluciones:
3 3
2 2 2 21 2 3 3
32
21 2 3 3
x xx x
xx
y c e c xe c e c xe
y c c x e c c xe
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
Rpta: 3
22
1 2 3 3
xxy c c x e c c xe
46. 0v iiiy y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
5 3 3
0
1 1 0
v iiiy y
P t t t t t t
De donde: 0,t de multiplicidad 3; 1, 1t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2
1 2 3 4 5
x xy c c x c x c e c e
Rpta: 2
1 2 3 4 5
x xy c c x c x c e c e
47. 2 3 4 4 0iv iii ii iy y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 24 3 2
2 3 4 4 0
2 3 4 4 2 1 0
iv iii ii iy y y y y
P t t t t t t t
De donde: 2,t de multiplicidad 2; 1,t de multiplicidad 2.
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 2
1 2 3 4
2
1 2 3 4
x x x x
x x
y c e c xe c e c xe
y c c x e c c x e
Rpta: 2
1 2 3 4
x xy c c x e c c x e
48. 2 6 16 8 0iv iii ii iy y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
24 3 2 2
2 6 16 8 0
2 6 16 8 2 2 2 0
iv iii ii iy y y y y
P t t t t t t t t
De donde: 2,t de multiplicidad 2; 1 3, 1 3t t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 3 1 32 2
1 2 3 4
1 3 1 32
1 2 3 4
x xx x
x xx
y c e c xe c e c e
y c c xe c e c e
Rpta: 1 3 1 32
1 2 3 4
x xxy c c xe c e c e
ECUACIONES DIFERENCIALES
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49. 3 2 0 0, 0, ' 9, 0iii iy y y cuando x y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
23
3 2 0
3 2 1 2 0
iii iy y y
P t t t t t
De donde: 1,t de multiplicidad 2; 2t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2
1 2 3
1 3 1 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
... 1
0
' 0 2 9
'' 0 2 4 0
2, 3, 2 ... 2
2 1
2 3 2
x x x
x x
y c e c xe c e
y c c c c
y c c c
y c c c
c c c
en
y e x e
Rpta: 22 3 2x xy e x e
50. 3 2 0 0, 0, ' 4, '' 6iv iii iiy y y cuando x y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 3 2 2
3 2 0
3 2 1 2 0
iv iii iiy y y
P t t t t t t t
De donde: 0t de multiplicidad 2; 1, 2t t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2
1 2 3 4
1 3 4
2 3 4
2 4
3 4
1 2 3 4
2
2
... 1
0 0
' 0 2 42 2
'' 0 4 6
0, 2, 2, 2 .... 2
2 1
2 2 2
2
x x
x x
x x
y c c x c e c e
y c c c
y c c cc c
y c c
c c c c
en
y x e e
y x e e
Rpta: 22 x xy x e e
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51. ''' '' ' 0, 0, 1, 2, 0 0y y y y cuando x y cuando x y y tambien cuando x y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
''' '' ' 0
1
y y y y
P t t t t
De donde: t
Luego el sistema fundamental de soluciones: y
Rpta: y
52. ''' 6 ' 25 0y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3
''' 6 ' 25 0
6 25 0
y y
P t t t
De donde: 3 4 , 3 4t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones: 3 3
1 2cos4 sen 4x xy c e x c e x
Rpta: 3
1 2cos4 sen 4xy e c x c x
53. 0'' 0, 0, , ' 0y y cuando x y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
'' 0
1 1 1 0
y y
P t t t t
De donde: 1, 1t t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2
1 2 0
1 2
... 1
0
' 0 0
x xy c e c e
y c c y
y c c
ECUACIONES DIFERENCIALES
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0 01 1, ... 2
2 2
y yc c
0
2 1
2
x x
en
yy e e
Rpta: 0
2
x xyy e e
54. '' 0y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
'' 0
1 0
y y
P t t
De donde: ,t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2
1 0
2
1 0 2
0
cos sen ... 1
0
' 0 0
, 0 ... 2
cos
y c x c x
y c y
y c
c y c
y y x
Rpta: 0 cosy y x
55. ''' 5 '' 17 ' 13 0, 0, 0, ' 1, '' 6y y y y cuando x y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2 2
''' 5 '' 17 ' 13 0
5 17 13 1 4 13 0
y y y y
P t t t t t t t
De donde: 1, 2 3 , 2 3t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 2
1 2 3
1 2
1 2 3
1 2
1 2 3
2
2
cos3 sen 3 ... 1
0 0
' 0 2 2 1
' 0 5 5
1, 1, 0 ... 2
2 1
cos3
x x x
x x
y c e c e x c e x
y c c
y c c c
y c c
c c c
en
y e c e x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Rpta: 2
2 cos3x xy e c e x
56.
22
020, 0, 0,
d x dxk x k real cuando t x y v
dt dt
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
22
2
2 2
0
0
d xk x
dt
P z z k
De donde: ,z ki z ki
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2
1
2 0
01 2
0
cos sen ... 1
0 0
' 0
0, ... 2
2 1
sen
x c kt c kt
x c
x kc v
vc c
k
en
vx kt
k
Rpta: 0 senv
x ktk
57. ''' '' 4 ' 4 0 0, 0, ' 1, '' 5y y y y cuando x y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2 2
''' '' 4 ' 4 0
4 4 1 4 0
y y y y
P t t t t t t
De donde: 1, 2 , 2t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3
1 2
1 3
1 2
1 2 3
cos 2 sen 2 ... 1
0 0
' 0 2 1
'' 0 4 5
1, 1, 0 ... 2
2 1
cos 2
x
x
y c e c x c x
y c c
y c c
y c c
c c c
en
y e x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
Rpta: cos2xy e x
58.
22
022 0, 0 0, 0,
d x dx dxb k x k b cuando t x y v
dt dt dt
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
22
2
2 2
2 0
2 0
d x dxb k x
dt dt
P z z bz k
De donde: 2 2 2 2,z b k b i z b k b i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 2 2 2
1 2
1
2 2
2 0
01 2
2 2
0
cos sen ... 1
0 0
0
0, ... 2
2 1
sen
bt bt
bt
x c e k b t c e k b t
x c
dxc k b v
dt
vc c
k b
en
vx e at
a
Rpta: 2 20 sen :btvx e at donde a k b
a
59. ''' 6 '' 12 ' 8 0, 0, 1, ' 2, '' 2y y y y cuando x y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
33 2
''' 6 '' 12 ' 8 0
6 12 8 2 0
y y y y
P t t t t t
De donde: 2t de multiplicidad 3
Luego el sistema fundamental de soluciones:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 2 2
1 2 3
2 2
1 2 3
1
2
2 3
1 2 3
2 2
3
... 1
0 0
' 0 2
'' 0 4 2 2
0, 2, 3 ... 2
2 1
2 3
x x
x
x
y c c xe c x e
y c c x c x e
y c
y c
y c c
c c c
en
y x c x e
Rpta: 2 2
32 3 xy x c x e
60. 2 4 2 5 0iv iii ii iy y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 3 2 2
2 4 2 5 0
2 4 2 5 1 1 2 5 0
iv iii ii iy y y y y
P t t t t t t t t t
De donde: 1, 1, 1 2 , 1 2t t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4cos2 sen 2x x x xy c e c e c e x c e x
Rpta: 1 2 3 4cos2 sen 2x x x xy c e c e c e x c e x
61. 2 2 0iii ii iy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2 2
2 2 0
2 2 2 2 0
iii ii iy y y
P t t t t t t t
De donde: 0, 1 , 1t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3cos senx x xy c e c e x c e x
Rpta: 1 2 3cos senx x xy c e c e x c e x
62. 8 16 0viii ivy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 2
8 4 2 2
8 16 0
8 16 2 2 2 2 0
viii ivy y y
P t t t t t t t
De donde: 1t i de multiplicidad 2; 1 ,t i de multiplicidad 2; 1 ,t i
de multiplicidad 2; 1 ,t i de multiplicidad 2.
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4 5 6 7 8cos cos sen sen cos cos sen senx x x x x x x xy c e x c xe x c e x c xe x c e x c xe x c e x c xe x
Rpta:
1 2 3 4 5 6 7 8cos sen cos senx xy e c c x x c c x x e c c x x c c x x
63. 4 4 0iv iii iiy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
24 3 2 2
4 4 0
4 4 2 0
iv iii iiy y y
P t t t t t t
De donde: 0,t de multiplicidad 2; 2,t de multiplicidad 2.
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 2
1 2 3 4
x xy c c x c e c xe
Rpta: 2 2
1 2 3 4
x xy c c x c e c xe
64. 0iv iiy y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 2 2
0
1 1 0
iv iiy y
P t t t t t t
De donde: 0,t de multiplicidad 2; 1, 1t t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4
x xy c c x c e c e
Rpta: 1 2 3 4
x xy c c x c e c e
65. 8 0ivy y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 2 2
8 0
2 2 4 0
ivy y
P t t t t t t t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
De donde: 0, 2, 1 3 , 1 3t t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2
1 2 3 4cos 3 sen 3x x xy c c e c e x c e x
Rpta: 2
1 2 3 4cos 3 sen 3x xy c c e e c x c x
66. 2 ''' 4 '' 2 ' 4 0y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
2 ''' 4 '' 2 ' 4 0
2 4 2 4 2 1 2 1 0
y y y y
P t t t t t t t
De donde: 1, 2, 1t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2
1 2 3
x x xy c e c e c e
Rpta: 2
1 2 3
x x xy c e c e c e
67. ''' 3 ' 0y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
''' 3 ' 0
3 1 3 1 0
y y y
P t t t t t t
De donde: 3 13 3 13
0, ,2 2
t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 3 13 3 13
2 2
1 2 3
x x
y c c e c e
Rpta:
3 13 3 13
2 2
1 2 3
x x
y c c e c e
68. 5 4 0iv iiy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 2
5 4 0
5 4 1 1 2 2 0
iv iiy y y
P t t t t t t t
De donde: 1, 1, 2, 2t t t t Luego el sistema fundamental de soluciones:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 2
1 2 3 4
x x x xy c e c e c e c e
Rpta: 2 2
1 2 3 4
x x x xy c e c e c e c e
69. '' 3 ''' 3 ' 0y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 2
'' 3 ''' 3 ' 0
3 3 1 1 3 1 1 0
y y y y
P t t t t t t t t
De donde: 1
0, 1, , 13
t t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
31 2 3 4
x
x xy c c e c e c e
Rpta: 31 2 3 4
x
x xy c c e c e c e
70. 0viy y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
6 4 2 2
0
1 1 1 0
viy y
P t t t t t
De donde: 3 3 3 3
, , , , ,2 2 2 2 2 2 2 2
i i i it i t i t t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 3 3
2 21 2 3 4 5 6cos sen cos sen cos sen
2 2 2 2
x xx x x xy c x c x e c c e c c
Rpta: 3 3
2 21 2 3 4 5 6cos sen cos sen cos sen
2 2 2 2
x xx x x xy c x c x e c c e c c
71. 3 3 3 2 0v iv iii ii iy y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
5 4 3 2 2
3 3 3 2 0
3 3 3 2 1 2 1 0
v iv iii ii iy y y y y
P t t t t t t t t t t
De donde: 0, 1, 2, ,t t t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
1 2 3 4 5cos senx xy c c e c e c x c x
Rpta: 2
1 2 3 4 5cos senx xy c c e c e c x c x
72. 0iii iy y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
0
1 0
iii iy y
P t t t t t
De donde: 0, ,t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3
1 2
3
2
1 2 3
cos sen ... 1
0 0
' 0 1
'' 0 1
1, 1, 1 ... 2
2 1
1 cos sen
y c c x c x
y c c
y c
y c
c c c
en
y x x
Rpta: 1 cos seny x x
73. 0iii ii iy y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2 2
0
1 1 1 0
iii ii iy y y y
P t t t t t t
De donde: 1, ,t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3cos senxy c e c x c x
Rpta: 1 2 3cos senxy c e c x c x
74. 0iii iy y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
0
1 0
iii iy y
P t t t t t
De donde: 0, ,t t i t i
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3cos seny c c x c x
Rpta: 1 2 3cos seny c c x c x
75. 0iii ii iy y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
23 2
0
1 1 1 0
iii ii iy y y y
P t t t t t t
De donde: 1,t de multiplicidad 2; 1t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3
x x xy c e c xe c e
Rpta: 1 2 3
x xy c c x e c e
76. 6 12 8 0iii ii iy y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
33 2
6 12 8 0
6 12 8 2 0
iii ii iy y y y
P t t t t t
De donde: 2,t de multiplicidad 3.
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 2 2 2
1 2 3
x x xy c e c xe c x e
Rpta: 2 2
1 2 3
xy c c x c x e
77. 6 11 6 0iii ii iy y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
6 11 6 0
6 11 6 1 2 3 0
iii ii iy y y y
P t t t t t t t
De donde: 1, 2, 3t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 3
1 2 3
x x xy c e c e c e
Rpta: 2 3
1 2 3
x x xy c e c e c e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
78. 12 35 0ii iy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
12 35 0
12 35 5 7 0
ii iy y y
P t t t t t
De donde: 5, 7t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 5 7
1 2
x xy c e c e
Rpta: 5 7
1 2
x xy c e c e
79. 8 42 104 169 0iv iii ii iy y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
4 3 2 2
8 42 104 169 0
8 42 104 169 4 13 0
iv iii ii iy y y y y
P t t t t t t t
De donde: 2 3 ,t i de multiplicidad 2; 2 3 ,t i de multiplicidad 2;
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 2 2 2
1 2 3 4
2
1 2 3 4
cos3 cos3 sen 3 sen 3
cos3 sen 3
x x x x
x
y c e x c xe x c e x c xe x
y e c c x x c c x x
Rpta: 2
1 2 3 4cos3 sen3xy e c c x x c c x x
80. 9 30 25 0ii iy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
22
9 30 25 0
9 30 25 3 5 0
ii iy y y
P t t t t
De donde: 5
,3
t de multiplicidad 2
Luego el sistema fundamental de soluciones: 5 5
3 31 2
x x
y c e c xe
Rpta: 5
31 2
x
y c c x e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
81. 6 7 6 8 0iv iii ii iy y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 3 2
6 7 6 8 0
6 7 6 8 1 1 2 4 0
iv iii ii iy y y y y
P t t t t t t t t t
De donde: 1, 1, 2, 4t t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 4
1 2 3 4
x x x xy c e c e c e c e
Rpta: 2 4
1 2 3 4
x x x xy c e c e c e c e
82. ''' 4 ' 2 0y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
'' 4 ' 2 0
4 2 0
y y y
P t t t
De donde: 2 2, 2 2t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 2 2 2
1 2
x xy c e c e
Rpta: 2 2 2 2
1 2
x xy c e c e
83. 2 3 6 0iii ii iy y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2 2
2 3 6 0
2 3 6 2 3 0
iii ii iy y y y
P t t t t t t
De donde: 2, 3 , 3t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2
1 2 3cos 3 sen 3xy c e c x c x
Rpta: 2
1 2 3cos 3 sen 3xy c e c x c x
84. 4 5 4 4 0iv iii ii iy y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 24 3 2
4 5 4 4 0
4 5 4 4 2 1 0
iv iii ii iy y y y y
P t t t t t t t
De donde: 2,t de multiplicidad 2; ,t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 2
1 2 3 4cos senx xy c e c xe c x c x
Rpta: 2 2
1 2 3 4cos senx xy c e c xe c x c x
85. ''' 9 ' 0y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
''' 9 ' 0
9 9 0
y y
P t t t t t
De donde: 0, 3 , 3t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3cos3 sen3y c c x c x
Rpta: 1 2 3cos3 sen3y c c x c x
86. 13 36 0iv iiy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 2
13 36 0
13 36 2 2 3 3 0
iv iiy y y
P t t t t t t t
De donde: 2, 2, 3, 3t t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 2 3 3
1 2 3 4
x x x xy c e c e c e c e
Rpta: 2 2 3 3
1 2 3 4
x x x xy c e c e c e c e
87. 2 0iv iii iiy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
24 3 2 2
2 0
2 1 0
iv iii iiy y y
P t t t t t t
De donde: 0,t de multiplicidad 2; 1,t de multiplicidad 2.
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4
x xy c c x c e c xe
Rpta: 1 2 3 4
x xy c c x c e c xe
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
88. 8 16iv iiy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
4 2 2
8 16 0
8 16 4 0
iv iiy y y
P t t t t
De donde: 2,t de multiplicidad 2; 2,t de multiplicidad 2.
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2
1 2 3 4
x x x x
x x
y c e c xe c e c xe
y c c x e c c x e
Rpta: 2 2
1 2 3 4
x xy c c x e c c x e
89. ''' 13 ' 12 0y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3
''' 13 ' 12 0
13 12 1 3 4 0
y y y
P t t t t t t
De donde: 1, 3, 4,t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones: 3 4
1 2 3
x x xy c e c e c e
Rpta: 3 4
1 2 3
x x xy c e c e c e
90. 0ivy y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4
0
1 0
ivy y
P t t
De donde: 1 1 1 1
, , ,2 2 2 2 2 2 2 2
i i i it t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 2 2 21 2 3 4
2 21 2 3 4
cos sen cos sen2 2 2 2
cos sen cos sen2 2 2 2
x x x xx x
x xx x
x x x xy c e c e c e c e
x x x xy e c c e c c
Rpta: 2 21 2 3 4cos sen cos sen
2 2 2 2
x xx xx x x x
y e c c e c c
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
91. 64 48 12 0viii vi iv iiy y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3
8 6 4 2 2 2
64 48 12 0
64 48 12 4 1 0
viii vi iv iiy y y y
P t t t t t t t
De donde: 0,t de multiplicidad 2; ,2
it de multiplicidad 3; ,
2
it de
multiplicidad 3. Luego el sistema fundamental de soluciones:
2 2
1 2 3 4 5 6 7 8cos sen2 2
x xy c c x c c x c x c c x c x
Rpta: 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8cos sen2 2
x xy c c x c c x c x c c x c x
92. 2
1 10
1 1.2 1
n
n n in n yn n
y y y y
RESOLUCIÓN
Rpta: y
93. ''' ', 0 2, ' 0 0, '' 0 1y y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3
''' ' 0
1 1 0
y y
P t t t t t t
De donde: 0, 1, 1t t t
Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 ... 1x xy c c e c e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
1 2 3
2 3
2 3
1 2 3
0 2
' 0 0
'' 0 1
1 13, , ... 2
2 2
2 1
13
2
x x
y c c c
y c c
y c c
c c c
en
y e e
Rpta: 1
32
x xe e
94.
2
24 20 25 0
d x dxx
dt dt
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
2
22
4 20 25 0
4 20 25 2 5 0
d x dxx
dt dt
P z z z z
De donde: 5
,2
z de multiplicidad 2;
Luego el sistema fundamental de soluciones:
5 5
2 21 2
5
21 2
t t
t
y c e c te
y c c t e
Rpta: 5
21 2
t
y c c t e
95. 8 16 0vi iv iiy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
6 4 2 2 2
8 16 0
8 16 4 0
vi iv iiy y y
P t t t t t t
De donde: 0t de multiplicidad 2; 2t i de multiplicidad 2; 2t i de multiplicidad 2. Luego el sistema fundamental de soluciones:
1 2 3 4 5 6cos2 sen 2y c c x c c x x c c x x
Rpta: 1 2 3 4 5 6cos2 sen 2y c c x c c x x c c x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
96. 8 5 4 0iv iii iiy y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 3 2
8 5 4 0
8 5 4 0
iv iii iiy y y y
P t t t t
De donde: t Luego el sistema fundamental de soluciones: y
Rpta: y
97. 4 5 4 0vi iii ii iy y y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
6 3 2 2 2
4 5 4 0
4 5 4 1 3 1 1 0
vi iii ii iy y y y y
P t t t t t t t t t
De donde: 3 5 3 5 1 3 1 3
, , ,2 2 2 2 2 2
t t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones: 3 5 3 5
2 2 2 21 2 3 4
3 3cos sen
2 2
x xx x
y c e c e c e x c e x
Rpta:
3 5 3 5
2 2 2 21 2 3 4
3 3cos sen
2 2
x xx x
y c e c e c e x c e x
98. 4 4 0vi iv iiy y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2
6 4 2 2 2
4 4 0
4 4 2 0
vi iv iiy y y
P t t t t t t
De donde: 0t de multiplicidad 2; 2t i de multiplicidad 2; 2t i de multiplicidad 2;
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
Luego el sistema fundamental de soluciones: 1 2 3 4 5 6cos 2 sen 2y c c x c c x x c c x x
Rpta: 1 2 3 4 5 6cos 2 sen 2y c c x c c x x c c x x
99. 2 4 8 0iii ii iy y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2 2
2 4 8 0
2 4 8 2 4 0
iii ii iy y y y
P t t t t t t t
De donde: 2, 2 , 2t t i t i
Luego el sistema fundamental de soluciones: 2
1 2 3cos2 sen 2xy c e c x c x
Rpta: 2
1 2 3cos2 sen 2xy c e c x c x
100. ''' 2 '' 0, 0, 3, ' 0, '' 12y y cuando x y y y
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2 2
''' 2 '' 0
2 2 0
y y
P t t t t t
De donde: 0t de multiplicidad 2; 2t Luego el sistema fundamental de soluciones:
2
1 2 3
1 3
1 3
3
1 2 3
2
... 1
0 3
' 0 2 0
'' 0 4 12
6, 6, 3 ... 2
2 1
6 6 3
x
x
y c c x c e
y c c
y c c
y c
c c c
en
y x e
Rpta: 26 6 3 xy x e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS
DE COEFICIENTES CONSTANTES
I. Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
1. 2
2
2
d y dyx
dx dx
RESOLUCIÓN
22
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
1 0
De donde: 0, 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución complement
d y dyx
dx dx
P t t t t t
t t
1 2
2 3 2
3 2 ' 2 ''
aria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 3 2 , 6 2
Reemplazando e
x
h
p
p p p
y c c e
y x Ax Bx C Ax Bx Cx
y Ax Bx Cx y Ax Bx C y Ax Bx
2 2
32
32
1 2
n la ecuación dada se tiene:
6 2 3 2
3 1 1/ 3
6 2 0 1
2 0 2
Luego 2 y la solución general es: 3
23
p h p
x
Ax B Ax Bx C x
A A
A B de donde B
B C C
xy x x y y y
xy c c e x x
Rpta: 3
2
1 2 23
x xy c c e x x
2. 2
24 5 5
d y dyy x
dx dx
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 5 5
4 5 5 1 0
d y dyy x
dx dx
P t t t t t
5
1 2
De donde: 5, 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De dond
x x
h
p
t t
y c e c e
y Ax B
' ''
5
1
e derivando la ecuación particular:
, , 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
4 5 5 5
5 5 1
4 5 0 4 / 5
4Luego y la solución general es:
5
p p p
p h p
x
y Ax B y A y
A Ax B x
A Ade donde
A B B
y x y y y
y c e 2
4
5
xc e x
Rpta: 5
1 2
4
5
x xy c e c e x
3. 3
31
d y dyx
dx dx
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
3
3
3
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
1
1 1 0
De donde: 0, 1, 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
co
d y dyx
dx dx
P t t t t t t
t t t
1 2 3
2
2 ' '' '''
mplementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2 , 0
Reemplazando e
x x
h
p
p p p p
y c c e c e
y x Ax B Ax Bx
y Ax Bx y Ax B y A y
n la ecuación dada se tiene:
2 1 Ax B x
2
2
1 2 3
2 1 1/ 2
1 1
Luego y la solución general es:2
2
p h p
x x
A Ade donde
B B
xy x y y y
xy c c e c e x
Rpta: 2
1 2 32
x x xy c c e c e x
4. 2
24 4 4 1
d y dyy x
dx dx
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
2
22
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 4 4 4
4 4 2 0
De donde: 2 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogéne
d y dyy x
dx dx
P t t t t
t
2 2
1 2
' ''
a o solución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, , 0
Reemplazando en la ecua
x x
h
p
p p p
y c e c xe
y Ax B
y Ax B y A y
2 2
1 2
ción dada se tiene:
4 4 4 4 4
4 4 1
4 4 4 0
Luego y la solución general es:
p h p
x x
A Ax B x
A Ade donde
B A B
y x y y y
y c e c xe x
Rpta: 2
1 2
xy e c c x x
5. 2
2
22 2 2 1
d y dyy x
dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
22
2
2
1 2
2 2 2 4 2
2 2 0
De donde: 1 , 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
complementaria es:
cos sen
De acuerdo al 1er caso la solu
x
h
d y dyy x x
dx dx
P t t t
t i t i
y e c x c x
2
2 ' ''
2 2
ción particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2 4 2 2 2 2 2 4 2
2 2
4 2 4
2 2
p
p p p
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A
A Ax B Ax Bx C x x
A
A B
A
2
2
1 2
1
0
2 2 1
Luego 1 y la solución general es:
cos sen 1
p h p
x
A
de donde B
B C C
y x y y y
y e c x c x x
Rpta: 2
1 2cos sen 1xy e c x c x x
6. 2''' '' ' 2 2y y y y x x
RESOLUCIÓN
2
3 2 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''' '' ' 2 2
1 1 1 0
De donde: 1, ,
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea
y y y y x x
P t t t t t t
t t i t i
1 2 3
2
2 ' '' ''
o solución
complementaria es:
cos sen
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2 ,
x
h
p
p p p p
y c e c x c x
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A y '
2 2
0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2 2 2 2
A Ax B Ax Bx C x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
2
1 2 3
1 1
2 2 0
2 2 4
Luego 4, y la solución general es:
cos sen 4
p h p
x
A A
A B de donde B
A B C C
y x y y y
y c e c x c x x
Rpta: 2
1 2 3cos sen 4 xy c e c x c x x
7. 24 8 6 5 iv iiy y x
RESOLUCIÓN
2
4 2 2 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
4 48 40
4 4 0
De donde: 0 de multiplicidad 2, 2 , 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial
iv iiy y x
P t t t t t
t t i t i
1 2 3 4
2 2 4 3 2
4
homogénea o solución
complementaria es:
cos 2 sen 2
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
h
p
p
y c c x c x c x
y x Ax Bx C Ax Bx Cx
y Ax
3 2 ' 3 2 '' 2
'''
2 2
2 2
, 4 3 2 , 12 6 2 ,
24 6 , 24
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
24 48 24 8 48 40
48 48 1
24 0 0
24 8 40 2
Luego 2 , y la
p p
iv
p p
p
Bx Cx y Ax Bx Cx y Ax Bx C
y Ax B y A
A Ax Bx C x
A A
B de donde B
A C C
y x x
2 2
1 2 3 4
solución general es:
cos 2 sen 2 2
h py y y
y c c x c x c x x x
Rpta: 2 2
1 2 3 4cos2 sen 2 2 y c c x c x c x x x
8. ''' 3 '' 3 ' 2 2 y y y y x x
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
33 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''' 3 '' 3 ' 2 2
3 3 1 1 0
De donde: 1 de multiplicidad 3
Luego la solución general de la ecuación diferencial ho
y y y y x x
P t t t t t
t
2
1 2 3
2
2 ' ''
mogénea o solución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2 ,
x
h
p
p p p p
y e c c x c x
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A y
'''
2 2
2
2 2
1 2 3
0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
6 6 3 4
1 1
6 0 6
3 6 4 8
Luego 6 8, y la solución general es:
6 8
p h p
x
A Ax B Ax Bx C x
A A
A B de donde B
B A C C
y x x y y y
y e c c x c x x x
Rpta: 2 2
1 2 3 6 8 xy e c c x c x x x
9. 22 '' 9 '3 ' 18 4 y y y y x x
RESOLUCIÓN
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 '' 9 '3 ' 18 4
2 9 4 4 2 1 0
De donde: 1/ 2, 4
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o sol
y y y y x x
P t t t t t
t t
421 2
2
2 ' ''
ución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
x
x
h
p
p p p
y c e c e
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 2
2
4 221 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
4 18 9 4 4 4 18 4
4 4 1
18 4 18 0
4 9 4 0 1
Luego 1, y la solución general es:
1
p h p
x
x
A Ax B Ax Bx C x x
A A
A B de donde B
A B C C
y x y y y
y c e c e x
Rpta: 4 221 2 1
x
xy c e c e x
10. 22 5 iv iiy y y x
RESOLUCIÓN
2
2 24 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 5
2 1 1 1 0
De donde: 1 de multiplicidad 2, 1 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuaci
iv iiy y y x
P t t t t t
t t
1 2 3 4
2
2
ón diferencial homogénea o solución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
x x
h
p
p
y e c c x e c c x
y Ax Bx C
y Ax Bx
' '' '''
2 2
2
1 2 3 4
, 2 , 2 , 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
4 5
1 1
0 0
4 5 1
Luego 1, y la solución general es:
iv
p p p p
p h p
x x
C y Ax B y A y y
A Ax Bx C x
A A
B de donde B
A C C
y x y y y
y e c c x e c c x 2 1 x
Rpta: 2
1 2 3 4 1 x xy e c c x e c c x x
11. 3 2 6 3 iv ii iy y y x x
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
24 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2 6 3
3 2 2 1 0
De donde: 0, 1 de multiplicidad 2, 2
Luego la solución general de la ecuación diferen
iv ii iy y y x x
P t t t t t t t
t t t
2
1 2 3 4
2 3 2
3
cial homogénea o solución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
x x
h
p
p
y c e c c x c e
y x Ax Bx C Ax Bx Cx
y Ax B 2 ' 2 '' '''
2 2
3
, 3 2 , 6 , 6 , 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
18 3 6 2 6 18
6 6 1
18 2 18 0
3 0 0
Luego , y la solución general e
iv
p p p p
p
x Cx y Ax Bx C y Ax B y A y
Ax B Ax Bx C x x
A A
A B de donde B
B C C
y x
2 3
1 2 3 4
s:
h p
x x
y y y
y c e c c x c e x
Rpta: 2 3
1 2 3 4
x xy c e c c x c e x
12. 2
2
22 5 25 12
d y dyy x
dx dx
RESOLUCIÓN
22
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 5 25 12
2 5 0
De donde: 1 2 , 1 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o soluci
d y dyy x
dx dx
P t t t
t i t i
ón
complementaria es:
1 2cos 2 sen 2
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
x
hy e c x c x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
2 ' ''
2 2
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2 4 2 5 5 5 25 12
5 25 5
4 5 0 4
2 2 5 12 2
p
p p p
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A
A Ax B Ax Bx C x
A A
A B de donde B
A B C C
2
2
1 2
Luego 5 4 2, y la solución general es:
cos 2 sen 2 5 4 2
p h p
x
y x x y y y
y e c x c x x x
Rpta: 2
1 2cos2 sen 2 5 4 2 xy e c x c x x x
13. 2
22 12 10
d y dyx
dx dx
RESOLUCIÓN
2
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 12 10
2 2 0
De donde: 0, 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
comp
d y dyx
dx dx
P t t t t t
t t
2
1 2
2
2 ' ''
lementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
Reemplazando en la ecuación d
x
h
p
p p p
y c c e
y x Ax B Ax Bx
y Ax Bx y Ax B y A
2
2 2
1 2
ada se tiene:
2 4 2 12 10
4 12 3
2 2 10 2
Luego 3 2 , y la solución general es:
3 2
p h p
x
A Ax B x
A Ade donde
A B B
y x x y y y
y c c e x x
Rpta: 2 2
1 2 3 2 xy c c e x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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14. 2
22 2 , 0 0, ' 0 1
d y dyy x y y
dx dx
RESOLUCIÓN
2
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 2
2 1 2 0
De donde: 1, 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
co
d y dyy x
dx dx
P t t t t t
t t
2
1 2
' ''
mplementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, , 0
Reemplazando en la ecuación dada se tie
x x
h
p
p p p
y c e c e
y Ax B
y Ax B y A y
2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
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2 2 2
2 2 1
2 0 1/ 2
1Luego , y la solución general es:
2
1... 1
2
1' 0 0
2
'' 0 2 1 1
: 1, 1/ 2 ... 2
2 1
1
2 2
p h p
x x
xx
A Ax B x
A Ade donde
A B B
y x y y y
y c e c e x
y c c
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2 1
2 2
x
x c ey e x
15. ''' 4 ' , 0 ' 0 0, '' 0 1 y y x y y y
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
3 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''' 4 '
4 4 0
De donde: 0, 2 , 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
compl
y y x
P t t t t t
t t i t i
1 2 3
2
2 ' '' '''
ementaria es:
cos 2 sen 2
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2 , 0
Reemplazando
h
p
p p p p
y c c x c x
y x Ax B Ax Bx
y Ax Bx y Ax B y A y
2
2
1 2 3
1 2
3
2
1 2
en la ecuación dada se tiene:
8 4
8 1 1/ 8
4 0 0
Luego , y la solución general es: 8
cos 2 sen 2 ... 18
0 0
' 0 2 0
1'' 0 4 1
4
: 3 /16, 3 /16,
p h p
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A Ade donde
B B
xy y y y
xy c c x c x
y c c
y c
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3
2
0 ... 2
2 1
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c
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x
y x
16. 2 3 4, 0 ' 0 0, '' 0 ''' 0 1 iv iiy y y x y y y y
RESOLUCIÓN
2
4 2 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 3 4
2 1 1 0
De donde: de multiplicidad 2, de multiplicidad 2
iv iiy y y x
P t t t t
t i t i
ECUACIONES DIFERENCIALES
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1 2 3 4
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
complementaria es:
cos sen
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde deriva
h
p
y c c x x c c x x
y Ax B
' '' '''
1 2 3 4
ndo la ecuación particular:
, , 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
3 4
3 3
4 4
Luego 3 4, y la solución general es:
cos
iv
p p p p p
p h p
y Ax B y A y y y
Ax B x
A Ade donde
B B
y x y y y
y c c x x c c
1
2 3
1 4
2 3
1 2 3 4
sen 3 4 ... 1
0 4 0
' 0 3 0
'' 0 2 1
''' 0 3 1
: 4, 1, 4, 3 / 2 ... 2
2 1
34 cos 4 sen 3 4
2
x x x
y c
y c c
y c c
y c c
Dedonde c c c c
en
y x x x x x
Rpta: 3
4 cos 4 sen 3 42
y x x x x x
17. vi iiiy y x
RESOLUCIÓN
6 3 2 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
1 1 0
1 3 1 3De donde: 0 de multiplicidad 3, 1, ,
2 2 2 2
Luego la solución general de la ecuación di
vi iiiy y x
P t t t t t t t
t t t i t i
2 21 2 3 4 5 6
ferencial homogénea o solución
complementaria es:
3 3cos sen
2 2
x
x
hy c c x c x c e e c x c x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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3 4 3
4 3 ' 3 2 '' 2 '''
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 4 3 , 12 6 , 24 6
24 , 0
Reemplaz
p
p p p p
iv v vi
p p p
y x Ax B Ax Bx
y Ax Bx y Ax Bx y Ax Bx y Ax B
y A y y
4
42 2
1 2 3 4 5 6
ando en la ecuación dada se tiene:
24 6
24 1 1/ 24
6 0 0
Luego , y la solución general es: 24
3 3cos sen
2 2 24
p h p
x
x
Ax B x
A Ade donde
B B
xy y y y
xy c c x c x c e e c x c x
Rpta: 4
2 21 2 3 4 5 6
3 3cos sen
2 2 24
x
x xy c c x c x c e e c x c x
18. '' 2 ' 3 9 y y y x
RESOLUCIÓN
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 2 ' 3 9
2 3 0
De donde: 1 2 , 1 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
compl
y y y x
P t t t
t i t i
1 2
' ''
ementaria es:
cos 2 sen 2
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, , 0
Reemplazando en la ecuación dada se
x
h
p
p p p
y e c x c x
y Ax B
y Ax B y A y
1 2
tiene:
2 3 3 9
3 9 3
2 3 0 2
Luego 3 2, y la solución general es:
cos 2 sen 2 3 2
p h p
x
A Ax B x
A Ade donde
A B B
y x y y y
y e c x c x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Rpta: 1 2cos 2 sen 2 3 2 xy e c x c x x
19. 2'' ' 2 14 2 2 y y y x x x
RESOLUCIÓN
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' ' 2 14 2 2
2 1 2 0
De donde: 1, 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
y y y x x x
P t t t t t
t t
2
1 2
2
2 ' ''
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
Reemplazando en la ecua
x x
h
p
p p p
y c e c e
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A
2 2
2
2 2
1 2
ción dada se tiene:
2 2 2 2 2 14 2 2
2 2 1
2 2 2 0
2 2 14 6
Luego 6, y la solución general es:
6
p h p
x x
A Ax B Ax Bx C x x x
A A
A B de donde B
A B C C
y x y y y
y c e c e x
Rpta: 2 2
1 2 6 x xy c e c e x
20. 2'' 2, 0 ' 0 2 y y x y y
RESOLUCIÓN
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 2, 0 ' 0 2
1 0
De donde: ,
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
complemen
y y x y y
P t t
t i t i
1 2
taria es:
cos sen hy c x c x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
2 ' ''
2 2
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2
p
p p p
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A
A Ax Bx C x
2
2
1 2
1
2
1 2
2
2
1 1
0 0
2 2 0
Luego , y la solución general es:
cos sen ... 1
0 2
' 0 2
: 2, 2 ... 2
2 1
2 cos sen
p h p
A A
B de donde B
A C C
y x y y y
y c x c x x
y c
y c
De donde c c
en
y x x x
Rpta: 22 cos sen y x x x
21. 4 3 2'' ' 4 12 y y y x x x
RESOLUCIÓN
4 3 2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' ' 4 12
1 0
1 3 1 3De donde: ,
2 2 2 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o soluci
y y y x x x
P t t
t i t i
21 2
4 3 2
ón
complementaria es:
3 3cos sen
2 2
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
x
h
p
y e c x c x
y Ax Bx Cx Dx E
4 3 2 ' 3 2 '' 2
De donde derivando la ecuación particular:
, 4 3 2 , 12 6 2 p p py Ax Bx Cx Dx E y Ax Bx Cx D y Ax Bx C
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2 3 2 4 3 2 4 3 2
4
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
12 6 2 4 3 2 4 12
1 1
4 4 0
12 3 12 0
6 2 0 0
2 0 0
Luego , y la soluci
p
Ax Bx C Ax Bx Cx D Ax Bx Cx Dx E x x x
A A
A B B
A B C de donde C
B C D D
C D E E
y x
421 2
ón general es:
3 3cos sen
2 2
h p
x
y y y
y e c x c x x
Rpta: 421 2
3 3cos sen
2 2
x
y e c x c x x
22. 2''' 3 '' 3 ' 2 3 17 y y y y x x
RESOLUCIÓN
2
33 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''' 3 '' 3 ' 2 3 17
3 3 1 1 0
De donde: 1 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial
y y y y x x
P t t t t t
t
2
1 2 3
2
2 ' ''
homogénea o solución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
x
h
p
p p p
y e c c x c x
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A
'''
2 2
2
2
1 2 3
, 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
6 6 3 2 3 17
2 2
6 3 9
6 3 17 2
Luego 2 9 2, y la solución general es:
p
p h p
x
y
A Ax B Ax Bx C x x
A A
A B de donde B
A B C C
y x x y y y
y e c c x c x x2 9 2 x
Rpta: 2 2
1 2 3 9 2 xy e c c x c x x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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23. 2'' 6 ' 9 2 3 y y y x x
RESOLUCIÓN
2
22
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 6 ' 9 2 3
6 9 3 0
De donde: 3 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea
y y y x x
P t t t t
t
3
1 2
2
2 ' ''
o solución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
Reemplazando en
x
h
p
p p p
y e c c x
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A
2 2
2
3 2
1 2
la ecuación dada se tiene:
2 12 6 9 9 9 2 3
9 2 2 / 9
12 9 1 5 / 27
2 6 9 3 11/ 27
2 5 11Luego , y la solución general es:
9 27 27
2 5 11
9 27 27
p h p
x
A Ax B Ax Bx C x x
A A
A B de donde B
A B C C
y x y y y
y e c c x x
Rpta: 3 2
1 2
2 5 11
9 27 27 xy e c c x x
24. '' 4 ' 5 1 y y y
RESOLUCIÓN
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 4 ' 5 1
4 5 1 5 0
De donde: 1, 5
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
comple
y y y
P t t t t t
t t
5
1 2
mentaria es:
x x
hy c e c e
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
py A
ECUACIONES DIFERENCIALES
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' ''
5
1 2
De donde derivando la ecuación particular:
, 0, 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
5 1
5 1 1/ 5
1Luego , y la solución general es:
5
1
5
p p p
p h p
x x
y A y y
A
A de donde A
y y y y
y c e c e
Rpta: 5
1 2 0.2 x xy c e c e
25. ''' 4 '' 5 ' 2 2 3 y y y y x
RESOLUCIÓN
23 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''' 4 '' 5 ' 2 2 3
4 5 2 2 1 0
De donde: 1 de multiplicidad 2, 2
Luego la solución general de la ecuación diferenc
y y y y x
P t t t t t t
t t
2
1 2 3
' '' '''
ial homogénea o solución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, , 0
Ree
x x
h
p
p p p p
y e c c x c e
y Ax B
y Ax B y A y y
2
1 2 3
mplazando en la ecuación dada se tiene:
5 2 2 2 3
2 2 1
5 2 3 4
Luego 4, y la solución general es:
4
p h p
x x
A Ax B x
A Ade donde
A B B
y x y y y
y e c c x c e x
Rpta: 2
1 2 3 4 x xy e c c x c e x
26. 2 1 v iiiy y x
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
5 3 3 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
1
1 0
De donde: 0 de multiplicidad 3, ,
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogén
v iiiy y x
P t t t t t
t t i t i
2
1 2 3 4 5
3 2 5 4 3
5 4
ea o solución
complementaria es:
cos sen
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
h
p
p
y c c x c x c x c x
y x Ax Bx C Ax Bx Cx
y Ax Bx 3 ' 4 3 2 '' 3 2
''' 2
2 2
, 5 4 3 , 20 12 6
60 24 6 , 120 24 , 120
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
120 60 24 6 1
60 1 1/ 60
24 0 0
120 6 1 1/ 2
p p
iv v
p p p
Cx y Ax Bx Cx y Ax Bx Cx
y Ax Bx C y Ax B y A
A Ax Bx C x
A A
B de donde B
A C C
5 3
5 32
1 2 3 4 5
Luego , y la solución general es: 60 2
cos sen60 2
p h p
x xy y y y
x xy c c x c x c x c x
Rpta: 5 3
2
1 2 3 4 5cos sen60 2
x x
y c c x c x c x c x
27. ''' ' 3 2 y y x
RESOLUCIÓN
3
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''' ' 3 2
1 1 0
De donde: 0, 1, 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
comp
y y x
P t t t t t t
t t t
1 2 3
lementaria es:
x x
hy c c e c e
2
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
py x Ax B Ax Bx
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 ' '' '''
2
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2 , 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2 6 3
2 3 3/ 2
6 6
3Luego 6, y la solución general
2
p p p p
p
y Ax Bx y Ax B y A y
Ax B x
A Ade donde
B B
y x
2
1 2 3
1 2 3
2 3
2 3
1 2 3
2
3
es:
36 ... 1
2
0 1
' 0 6 1
'' 0 3 1
: 3, 5 / 2, 9 / 2 ... 2
2 1
5 9 33 6
2 2 2
h p
x x
x x
y y y
y c c e c e x x
y c c c
y c c
y c c
De donde c c c
en
y e c e x x
Rpta: 2
3
5 9 33 6
2 2 2
x xy e c e x x
28. ''' ' y y x
RESOLUCIÓN
3
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''' '
1 1 0
De donde: 0, 1, 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
complem
y y x
P t t t t t t
t t t
1 2 3
2
2 ' '' '''
entaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2 , 0
x x
h
p
p p p p
y c c e c e
y x Ax B Ax Bx
y Ax Bx y Ax B y A y
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2
2 1 1/ 2
0 0
Ax B x
A Ade donde
B B
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
2
1 2 3
Luego , y la solución general es: 2
2
p h p
x x
xy y y y
xy c c e c e
Rpta: 2
1 2 32
x x xy c c e c e
29. '' 2 ' 2 y y y
RESOLUCIÓN
22
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 2 ' 2
2 1 1 0
De donde: 1 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solu
y y y
P t t t t
t
1 2
' ''
ción
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 0, 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene
x
h
p
p p p
y e c c x
y A
y A y y
1 2
:
2
2 2
Luego 2, y la solución general es:
2
p h p
x
A
A de donde A
y y y y
y e c c x
Rpta: 1 2 2 xy e c c x
30. '' 9 9 0 y y
RESOLUCIÓN
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 9 9 0
9 0
De donde: 3 , 3
y y
P t t
t i t i
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
1 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
complementaria es:
cos3 sen 3
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ec
h
p
y c x c x
y A
' ''
1 2
uación particular:
, 0, 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
9 9 0
9 9 0 1
Luego 1, y la solución general es:
cos3 sen 3 1
p p p
p h p
y A y y
A
A de donde A
y y y y
y c x c x
Rpta: 1 2cos3 sen3 1 y c x c x
31. ''' '' 1 y y
RESOLUCIÓN
3 2 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''' '' 1
1 0
De donde: 0 de multiplicidad 2, 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o so
y y
P t t t t t
t t
1 2 3
2 2
2 ' '' '''
lución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2 , 0
Reemplazando en
x
h
p
p p p p
y c c x c e
y x A Ax
y Ax y Ax y A y
2
2
1 2 3
la ecuación dada se tiene:
2 1
2 1 1/ 2
Luego , y la solución general es: 2
2
p h p
x
A
A de donde A
xy y y y
xy c c x c e
Rpta: 2
1 2 32
x xy c c x c e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
32. 5 ''' 7 '' 3 0 y y
RESOLUCIÓN
3 2 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
5 ''' 7 '' 3 0
5 7 5 7 0
7De donde: 0 de multiplicidad 2,
5
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogén
y y
P t t t t t
t t
7
51 2 3
2 2
2 ' '' '''
ea o solución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2 , 0
Reemplaz
x
h
p
p p p p
y c c x c e
y x A Ax
y Ax y Ax y A y
2
7
251 2 3
ando en la ecuación dada se tiene:
14 3 0
14 3 0 3/14
3Luego , y la solución general es:
14
3
14
p h p
x
A
A de donde A
y x y y y
y c c x c e x
Rpta: 7
251 2 3
3
14
x
y c c x c e x
33. 6 6 0 iv iiiy y
RESOLUCIÓN
4 3 3
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
6 6 0
6 6 6 0
De donde: 0 de multiplicidad 3, 6
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea
iv iiiy y
P t t t t t
t t
2 6
1 2 3 4
o solución
complementaria es:
x
hy c c x c x c e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
3 3
3 ' 2 '' '''
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 3 , 6 , 6 , 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
36
p
iv
p p p p p
y x A Ax
y Ax y Ax y Ax y A y
A
3
32 6
1 2 3 4
6 0
36 6 0 1/ 6
Luego , y la solución general es: 6
6
p h p
x
A de donde A
xy y y y
xy c c x c x c e
Rpta: 3
2 6
1 2 3 46
x xy c c x c x c e
34. 3 2 iv iiiy y
RESOLUCIÓN
4 3 3
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
3 2
3 3 1 0
De donde: 0 de multiplicidad 3, 1/ 3
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea
iv iiiy y
P t t t t t
t t
2 31 2 3 4
3 3
3 ' 2 '' '''
o solución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 3 , 6 , 6 ,
x
h
p
p p p p
y c c x c x c e
y x A Ax
y Ax y Ax y Ax y A y
3
32 3
1 2 3 4
0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
6 2
6 2 1/ 3
Luego , y la solución general es: 3
3
iv
p
p h p
x
A
A de donde A
xy y y y
xy c c x c x c e
Rpta: 3
2 31 2 3 4
3
x
xy c c x c x c e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
35. 2 2 1 iv iii iy y y y
RESOLUCIÓN
24 3 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 2 1
2 2 1 1 1 0
De donde: 1 de multiplicidad 2, ,
Luego la solución general de la ecuación difere
iv iii iy y y y
P t t t t t t
t t i t i
1 2 3 4
' '' ''
ncial homogénea o solución
complementaria es:
cos sen
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 0, 0,
x
h
p
p p p p
y e c c x c x c x
y A
y A y y y
'
1 2 3 4
0, 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
1
1 1
Luego 1, y la solución general es:
cos sen 1
iv
p
p h p
x
y
A
A de donde A
y y y y
y e c c x c x c x
Rpta: 1 2 3 4cos sen 1 xy e c c x c x c x
36. '' 2 ' 2 1 y y y x
RESOLUCIÓN
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 2 ' 2 1
2 2 0
De donde: 1 , 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
comple
y y y x
P t t t
t i t i
1 2
' ''
mentaria es:
cos sen
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, , 0
x
h
p
p p p
y e c x c x
y Ax B
y Ax B y A y
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
1 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2 2 2 1
2 1 1/ 2
2 2 1 0
Luego , y la solución general es: 2
cos sen2
p h p
x
A Ax B x
A Ade donde
A B B
xy y y y
xy e c x c x
Rpta: 1 2cos sen2
x xy e c x c x
37. ''7 ' 14 y y x
RESOLUCIÓN
''
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
7 ' 14
7 7 1 0
1De donde: 0,
7
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
complement
y y x
P t t t t t
t t
71 2
2
2 ' ''
aria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
Reemplazando en la ecuación dada se
x
h
p
p p p
y c c e
y x Ax B Ax Bx
y Ax Bx y Ax B y A
2
271 2
tiene:
2 2 14
2 14 7
2 0 14
Luego 7 14 , y la solución general es:
7 14
p h p
x
A Ax B x
A Ade donde
A B B
y x x y y y
y c c e x x
Rpta: 271 2 7 14
x
y c c e x x
38. 2''' '' ' y y y x x
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
3 2 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''' '' '
1 1 0
1 3 1 3De donde: 0, ,
2 2 2 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea
y y y x x
P t t t t t t
t t i t i
21 2 3
2 3 2
3
o solución
complementaria es:
3 3cos sen
2 2
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
x
h
p
p
y c e c x c x
y x Ax Bx C Ax Bx Cx
y Ax Bx2 ' 2 '' '''
2 2
32
, 3 2 , 6 2 , 6
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
6 6 2 3 2
3 1 1/ 3
6 2 1 3/ 2
6 2 0 1
3Luego , y la solución general
3 2
p p p
p
Cx y Ax Bx C y Ax B y A
A Ax B Ax Bx C x x
A A
A B de donde B
A B C C
xy x x
322
1 2 3
es:
3 3 3cos sen
2 2 3 2
h p
x
y y y
xy c e c x c x x x
Rpta: 3
221 2 3
3 3 3cos sen
2 2 3 2
xx
c e c x c x x x
39. 2'' 4 ' 4 y y y x
RESOLUCIÓN
2
22
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 4 ' 4
4 4 2 0
De donde: 2 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o so
y y y x
P t t t t
t
2
1 2
lución
complementaria es:
x
hy e c c x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
2 ' ''
2
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2 8 4 4
p
p p p
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A
A Ax B Ax
2
2
22
1 2
4 4
4 1 1/ 4
8 4 0 1/ 2
2 42 4 0 3/ 8
3Luego , y la solución general es:
4 2 8
3
4 2 8
p h p
x
Bx C x
A A
A B de donde B
A B C C
x xy y y y
x xy e c c x
Rpta: 2
2
1 2
3
4 2 8 x x x
y e c c x
40. '' 4 ' 8 y y x
RESOLUCIÓN
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 4 ' 8
8 8 0
De donde: 0, 8
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
complementar
y y x
P t t t t t
t t
8
1 2
2
2 ' ''
ia es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
Reemplazando en la ecuación dada se
x
h
p
p p p
y c c e
y x Ax B Ax Bx
y Ax Bx y Ax B y A
2
28
1 2
tiene:
2 16 8 8
16 8 1/ 2
2 8 0 1/ 8
Luego , y la solución general es: 2 8
2 8
p h p
x
A Ax B x
A Ade donde
A B B
x xy y y y
x xy c c e
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Rpta: 2
8
1 22 8
x x xy c c e
41. 3'' 2 ' y y y x
RESOLUCIÓN
3
22
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 2 '
2 1 1 0
De donde: 1 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solu
y y y x
P t t t t
t
1 2
3 2
3 2 ' 2 ''
ción
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 3 2 , 6 2
Reemp
x
h
p
p p p
y e c c x
y Ax Bx Cx D
y Ax Bx Cx D y Ax Bx C y Ax B
2 3 2 3
3 2
1 2
lazando en la ecuación dada se tiene:
6 2 6 4 2
1 1
6 0 6
6 4 0 18
2 2 0 24
Luego 6 18 24, y la solución general es:
p h p
x
Ax B Ax Bx C Ax Bx Cx D x
A A
A B Bde donde
A B C C
B C D D
y x x x y y y
y e c c 3 26 18 24 x x x x
Rpta: 3 2
1 2 6 18 24 xy e c c x x x x
42. 2 iv iiy y x x
RESOLUCIÓN
2
4 2 2 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
1 0
De donde: 0 de multiplicidad 2, ,
iv iiy y x x
P t t t t t
t t i t i
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
1 2 3 4
2 2 4 3
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
complementaria es:
cos sen
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
h
p
y c c x c x c x
y x Ax Bx C Ax Bx C 2
4 3 2 ' 3 2 '' 2
'''
2 2
De donde derivando la ecuación particular:
, 4 3 2 , 12 6 2 ,
24 6 , 24
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
24 12 6 2
12 1
6 1
24 2 0
p p p
iv
p p
x
y Ax Bx Cx y Ax Bx Cx y Ax Bx C
y Ax B y A
A Ax Bx C x x
A
A
A C
4 32
4 32
1 2 3 4
1/12
1/ 6
1
Luego , y la solución general es: 12 6
cos sen12 6
p h p
A
de donde B
C
x xy x y y y
x xy c c x c x c x x
Rpta: 4 3
2
1 2 3 4cos sen12 6
x x
c c x c x c x x
43. 2 4 1'' 6 ' 9 3, 0 , ' 0
3 27 y y y x x y y
RESOLUCIÓN
2
22
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 6 ' 9 3
6 9 3 0
De donde: 3 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
y y y x x
P t t t t
t
3
1 2
2
2 ' ''
solución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
x
h
p
p p p
y e c c x
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2 2
2
23
1 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2 12 6 9 9 9 3
9 1 1/ 9
12 9 1 1/ 27
2 6 9 3 1/ 3
1Luego , y la solución general es:
9 27 3
9 27
p h p
x
A A B Ax Bx C x x
A A
A B de donde B
A B C C
x xy y y y
x xy e c c x
1
1 2
1 2
23
1... 1
3
40
3
1 1' 0 3
27 27
: 4 / 3, 4 ... 2
2 1
1 14
3 9 27 3
x
y c
y c c
Dedonde c c
en
x xy e x
Rpta: 2
3 1 14
3 9 27 3
x x xy e x
44. ''' 2 y y x
RESOLUCIÓN
3 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''' 2
1 1 0
1 3 1 3De donde: 1, ,
2 2 2 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o sol
y y x
P t t t t t t
t t i t i
21 2 3
' '' '''
ución
complementaria es:
3 3cos sen
2 2
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, , 0,
x
x
h
p
p p p p
y c e e c x c x
y Ax B
y Ax B y A y y 0
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
21 2 3
1 2
1 2 3
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2 2
2 2
2 0 0
Luego 2 , y la solución general es:
3 3cos sen 2 ... 1
2 2
0 0
3' 0 2 0
2
'' 0
p h p
x
x
Ax B x
A Ade donde
B B
y x y y y
y c e e c x c x x
y c c
y c c c
y c
1 2 3 3 2
1 2 3
1 1 3 32
4 2 2 4
4: 0, 0, ... 2
3
2 1
4 3sen 2
23
c c c c
Dedonde c c c
en
y x x
Rpta: 4 3
sen 223
y x x
45. 2'' 4 ' 4 y y y x
RESOLUCIÓN
2
22
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 4 ' 4
4 4 2 0
De donde: 2 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o sol
y y y x
P t t t t
t
2
1 2
2
2 ' ''
ución
complementaria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
Reemplazando en la e
x
h
p
p p p
y e c c x
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A
2 2
cuación dada se tiene:
2 8 4 4 4 4 A Ax B Ax Bx C x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
22
1 2
4 1 1/ 4
8 4 0 1/ 2
2 4 4 0 3/ 8
3Luego , y la solución general es:
4 2 8
3
4 2 8
p h p
x
A A
A B de donde B
A B C C
x xy y y y
x xy e c c x
Rpta: 2 2
1 2
12 4 3
8 xy e c c x x x
46. 3'' ' 6 y y y x
RESOLUCIÓN
3
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' ' 6
1 0
1 3 1 3De donde: ,
2 2 2 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
comp
y y y x
P t t t
t i t i
21 2
3 2
3 2 ' 2 ''
lementaria es:
3 3cos sen
2 2
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 3 2 ,
x
h
p
p p p
y e c x c x
y Ax Bx Cx D
y Ax Bx Cx D y Ax Bx C y
2 3 2 3
3 2
21
6 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
6 2 3 2 6
1 1
3 0 3
6 2 0 0
2 6 0
Luego 3 , y la solución general es:
p h p
x
Ax B
Ax B Ax Bx C Ax Bx Cx D x
A A
A B Bde donde
A B C C
B C D D
y x x y y y
y e c 3 2
2
3 3cos sen 3
2 2
x c x x x
Rpta: 3 221 2
3 3cos sen 3
2 2
x
y e c x c x x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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47. 2'' 2 , 0 2, ' 0 0 y y x y y
RESOLUCIÓN
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 2
1 1 1 0
De donde: 1, 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
complementa
y y x
P t t t t
t t
1 2
2
2 ' ''
ria es:
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
Reemplazando en la ecuación dada se
x x
h
p
p p p
y c e c e
y Ax Bx C
y Ax Bx C y Ax B y A
2 2
tiene:
2 2 A Ax Bx C x
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 1
0 0
2 2 0
Luego , y la solución general es:
... 1
0 2
' 0 1 0
: 1/ 2, 3 / 2 ... 2
2 1
3
2 2
p h p
x x
xx
A Ax Bx C x
A A
B de donde B
A C C
y x y y y
y c e c e x
y c c
y c c
Dedonde c c
en
ey e x
Rpta: 3
2 2
x
xey e x
48. 4 2'' 6 ' 10 2 2 y y y x x
RESOLUCIÓN
4 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 6 ' 10 2 2 y y y x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
3
1 2
6 10 0
De donde: 3 , 3
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución
complementaria es:
cos sen
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de
x
h
P t t t
t i t i
y e c x c x
4 3 2
4 3 2 ' 3 2 '' 2
2 3 2
la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 4 3 2 , 12 6 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
12 6 2 24 18 12
p
p p p
y Ax Bx Cx Dx E
y Ax Bx Cx Dx E y Ax Bx Cx D y Ax Bx C
Ax Bx C Ax Bx Cx 4 3
2 4 2
43 2
6 10 10
10 10 10 2 2
10 1 1/10
24 10 0 6 / 25
12 18 10 2 64 /125
6 12 10 0 294 / 625
2 6 10 2 1187 / 3125
6 64 294 1187Luego ,
10 25 125 625 3125
p
D Ax Bx
Cx Dx E x x
A A
A B B
A B C de donde C
B C D D
C D E E
xy x x x
4
3 3 2
1 2
y la solución general es:
6 64 294 1187cos sen
10 25 125 625 3125
h p
x
y y y
xy e c x c x x x x
Rpta: 4
3 3 2
1 2
6 64 294 1187cos sen
10 25 125 625 3125
x xy e c x c x x x x
49. 4 3 2''' 3 '' 3 ' 4 10 20 1 y y y y x x x x
RESOLUCIÓN
4 3 2
33 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''' 3 '' 3 ' 4 10 20 1
3 3 1 1 0
De donde: 1 de mutiplicidad 3
Luego la solución general de la ecuación dif
y y y y x x x x
P t t t t t
t
2
1 2 3
erencial homogénea o solución
complementaria es:
x
hy e c c x c x
4 3 2
De acuerdo al 1er caso la solución particular es de la forma:
py Ax Bx Cx Dx E
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
4 3 2 ' 3 2 '' 2
''
2 3 2
4
De donde derivando la ecuación particular:
, 4 3 2 , 12 6 2 ,
24 6
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
24 6 36 18 6 12 9 6 3
p p p
p
y Ax Bx Cx Dx E y Ax Bx Cx D y Ax Bx C
y Ax B
Ax B Ax Bx C Ax Bx Cx D
Ax Bx3 2 4 3 2
4 3 2
1 2
4 10 20 1
1 1
12 9 4 8
36 9 10 46
24 18 6 20 136
6 6 3 1 181
Luego 8 46 136 181, y la solución general es:
p h p
x
Cx Dx E x x x x
A A
A B B
A B C de donde C
A B C D D
B C DD E E
y x x x x y y y
y e c c x 2 4 3 2
3 8 46 136 181 c x x x x x
Rpta: 2 4 3 2
1 2 3 8 46 136 181 xy e c c x c x x x x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS
DE COEFICIENTES CONSTANTES
II. Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:
1. '' 7 ' 12 xy y y e
RESOLUCIÓN
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 7 ' 12
7 12 3 4 0
De donde: 3, 4
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución com
xy y y e
P t t t t t
t t
3 4
1 2
4 4
4 ' 4 4 '' 4 4
plementaria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 4 , 16 8
Reemplazan
x x
h
x x
p
x x x x x
p p p
y c e c e
y x A e Axe
y Axe y Axe Ae y Axe Ae
4 4 4 4 4 4
4
3 4 4
1 2
do en la ecuación dada se tiene:
16 8 28 7 12
1 1
Luego y la solución general es:
x x x x x x
x
p h p
x x x
Axe Ae Axe Ae Axe e
A de donde A
y xe y y y
y c e c e xe
Rpta: 3 4 4
1 2 x x xy c e c e xe
2. '' 2 ' 2 xy y y e
RESOLUCIÓN
22
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 2 ' 2
2 1 1 0
De donde: 1 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
sol
xy y y e
P t t t t
t
1 2
ución complementaria es:
x
hy e c c x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2 2 4
2 4 ' 2 '' 2
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 4 2
Reemplazando en la ecuación dada s
x x
p
x x x x x x
p p p
y x A e Ax e
y Ax e y Ax e Axe y Ax e Axe Ae
2 2 2 4
2
2
1 2
e tiene:
4 2 2 4 2
2 2 1
Luego y la solución general es:
x x x x x x x
x
p h p
x x
Ax e Axe Ae Ax e Axe Ax e e
A de donde A
y x e y y y
y e c c x x e
Rpta: 2
1 2 x xy e c c x x e
3. '' xy xe y
RESOLUCIÓN
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' ''
1 1 1 0
De donde: 1, 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución co
x xy xe y y y xe
P t t t t
t t
1 2
2
2 ' 2
''
mplementaria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 ,
x x
h
x x x
p
x x x x x x
p p
p
y c e c e
y x Ax B e Ax e Bxe
y Ax e Bxe y Ax e Axe Bxe Be
y Ax
2
2 2
2
1 2
4 2 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
4 2 2
4 1 1/ 4
2 2 0 1/ 4
Luego y la solución general es: 4
x x x x x
x x x x x x x x
x
p h p
x
e Axe Ae Bxe Be
Ax e Axe Ae Bxe Be Ax e Bxe xe
A Ade donde
A B B
x xy e y y y
y c e c 2
4
x xx x
e e
Rpta: 2
1 24
x x xx x
y c e c e e
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4. 2'' 4 ' 4 xy y y xe
RESOLUCIÓN
2
22
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' ' 4
4 4 2 0
De donde: 2 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
so
xy y y xe
P t t t t
t
2
1 2
2 2 3 2 2 2
3 2 2 2 ' 3 2 2
lución complementaria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 3
x
h
x x x
p
x x x
p p
y e c c x
y x Ax B e Ax e Bx e
y Ax e Bx e y Ax e Ax 2 2 2 2
'' 3 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 2 3 2 2
2 2 ,
4 12 6 4 8 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
4 12 6 4 8 2
8 12 8 8 4 4
x x x
x x x x x x
p
x x x x x x
x x x x x
e Bx e Bxe
y Ax e Ax e Axe Bx e Bxe Be
Ax e Ax e Axe Bx e Bxe Be
Ax e Ax e Bx e Bxe Ax e Bx
2 2
3 2
3 22
1 2
6 1 1/ 6
2 0 0
Luego y la solución general es: 6
6
x x
x
p h p
xx
e xe
A Ade donde
B B
x ey y y y
x ey e c c x
Rpta: 3 2
2
1 26
x
x x ey e c c x
5. '' 6 ' 9 xy y y e
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
22
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 6 ' 9
6 9 3 0
De donde: 3 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
sol
xy y y e
P t t t t
t
3
1 2
ución complementaria es:
x
hy e c c x
' ''
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, ,
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
6 9
4 1
x
p
x x x
p p p
x x x x
y Ae
y Ae y Ae y Ae
Ae Ae Ae e
A de do
3
1 2
1/ 4
Luego y la solución general es: 4
4
x
p h p
xx
nde A
ey y y y
ey e c c x
Rpta: 3
1 24
x
x ey e c c x
6. '' 3 ' 4 30 xy y y e
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 3 ' 4 30
3 4 4 1 0
De donde: 4, 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución com
xy y y e
P t t t t t
t t
4
1 2
' ''
plementaria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, ,
Reemplazando en la ecuación dada se ti
x x
h
x
p
x x x
p p p
y c e c e
y Ae
y Ae y Ae y Ae
4
1 2
ene:
3 4 30
6 30 5
Luego 5 y la solución general es:
5
x x x x
x
p h p
x x x
Ae Ae Ae e
A de donde A
y e y y y
y c e c e e
Rpta: 4
1 2 5 x x xy c e c e e
7. 4'' 3 ' 4 30 xy y y e
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
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4
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 3 ' 4 30
3 4 4 1 0
De donde: 4, 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución co
xy y y e
P t t t t t
t t
4
1 2
4 4
4 ' 4 4 '' 4
mplementaria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 4 , 16 8
Reemplazan
x x
h
x x
p
x x x x x
p p p
y c e c e
y x A e Axe
y Axe y Axe Ae y Axe Ae
4 4 4 4
4
4
1 2
do en la ecuación dada se tiene:
16 8 12 3 4 3
5 30 6
Luego 6 y la solución general es:
6
x x x x x
x
p h p
x x
Axe Ae Axe Ae Axe
A de donde A
y xe y y y
y e c x c e
Rpta: 4
1 26 x xy e c x c e
8. '' 8 xy y xe
RESOLUCIÓN
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 8
1 1 1 0
De donde: 1, 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución complementa
xy y xe
P t t t t
t t
1 2
2
ria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
x x
h
x x x
p
y c e c e
y x Ax B e Ax e Bxe
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2 ' 2
'' 2
2 2
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 ,
4 2 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
4 2 2 8
4
x x x x x x
p p
x x x x x
p
x x x x x x x x
y Ax e Bxe y Ax e Axe Bxe Be
y Ax e Axe Ae Bxe Be
Ax e Axe Ae Bxe Be Ax e Bxe xe
A
2
2
1 2
8 2
2 2 0 2
Luego 2 2 y la solución general es:
2 2
x x
p h p
x x x x
Ade donde
A B B
y x e xe y y y
y c e c e x e xe
Rpta: 2
1 2 2 2 x x x xy c e c e x e xe
9. iv xy y e
RESOLUCIÓN
4 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
1 1 1 1 0
De donde: 1, 1, ,
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución
iv xy y e
P t t t t t
t t t i t i
1 2 3 4
' ''
complementaria es:
cos sen
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, ,
x x
h
x x
p
x x x x
p p p
y c e c e c x c x
y x A e Axe
y Axe y Axe Ae y Axe
'''
1 2 3 4
2 , 3
4
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
4
4 1 1/ 4
1Luego y la solución general es:
4
1cos sen
4
x x x
p
iv x x
p
x x x x
x
p h p
x x
Ae y Axe Ae
y Axe Ae
Axe Ae Axe e
A de donde A
y xe y y y
y c e c e c x c x x xe
Rpta: 1 2 3 4
1cos sen
4
x x xy c e c e c x c x xe
ECUACIONES DIFERENCIALES
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10. 2'' 10 xy y e
RESOLUCIÓN
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 10
1 0
De donde: ,
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución complementaria es
xy y e
P t t
t i t i
1 2
2
2 ' 2 '' 2
:
cos sen
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 4
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
4
h
x
p
x x x
p p p
y c x c x
y Ae
y Ae y Ae y Ae
2 2 2
2
2
1 2
1
2
1 2
2
10
5 10 2
Luego 2 y la solución general es:
cos sen 2 ... 1
0 2 0
' 0 4 0
: 2, 4 ... 2
2 1
2 cos 2sen
x x x
x
p h p
x
x
Ae Ae e
A de donde A
y e y y y
y c x c x e
y c
y c
Dedonde c c
en
y e x x
Rpta: 22 cos 2sen xy e x x
11. 4'' 3 ' 10 6 xy y y e
RESOLUCIÓN
4
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 3 ' 10 6
3 10 2 5 0
De donde: 2, 5
xy y y e
P t t t t t
t t
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2 5
1 2
4
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución complementaria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ec
x x
h
x
p
y c e c e
y Ae
4 ' 4 '' 4
4 4 4 4
4
42 5
1 2
uación particular:
, 4 , 16
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
16 12 10 6
18 6 1/ 3
Luego y la solución general es: 3
3
x x x
p p p
x x x x
x
p h p
xx x
y Ae y Ae y Ae
Ae Ae Ae e
A de donde A
ey y y y
ey c e c e
Rpta: 4
2 5
1 23
x
x x ey c e c e
12. 5'' 10 ' 25 14 xy y y e
RESOLUCIÓN
5
22
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 10 ' 25 14
10 25 5 0
De donde: 5 de multiplicidad 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogé
xy y y e
P t t t t
t
5
1 2
2 5 2 5
2 5 ' 2 5 5
nea o
solución complementaria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 5 2
x
h
x x
p
x x x
p p
y e c c x
y x A e Ax e
y Ax e y Ax e Axe
'' 2 5 5 5
2 5 5 5 2 5 5 2 5 5
2 5
, 25 20 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
25 20 2 50 20 25 14
2 14 7
Luego 7 y la solución general es:
x x x
p
x x x x x x x
x
p h p
y Ax e Axe Ae
Ax e Axe Ae Ax e Axe Ax e e
A de donde A
y x e y y y
y 5 2 5
1 2 7 x xe c c x x e
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Rpta: 4
2 5
1 23
x
x x ey c e c e
13. 2'' ' 6 20 xy y y e
RESOLUCIÓN
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' ' 6 20
6 3 2 0
De donde: 3, 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución com
xy y y e
P t t t t t
t t
3 2
1 2
2 2
2 ' 2 2 '' 2 2
plementaria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 4 4
Re
x x
h
x x
p
x x x x x
p p p
y c e c e
y x A e Axe
y Axe y Axe Ae y Axe Ae
2 2 2 2 2 2
2
3 2 2
1 2
emplazando en la ecuación dada se tiene:
4 4 2 6 20
5 20 4
Luego 4 y la solución general es:
4
x x x x x x
x
p h p
x x x
Axe Ae Axe Ae Axe e
A de donde A
y xe y y y
y c e c e xe
Rpta: 3 2 2
1 2 4 x x xy c e c e xe
14. 22 '' 4 ' 6 3 xy y y e
RESOLUCIÓN
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 '' 4 ' 6 3
2 4 6 2 6 1 0
De donde: 3, 1
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución
xy y y e
P t t t t t
t t
3
1 2
2
complementaria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
x x
h
x
p
y c e c e
y Ae
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 ' 2 '' 2
2 2 2 2
2
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 4
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
8 8 6 3
6 3 1/ 2
1Luego y la solución general es:
2
x x x
p p p
x x x x
x
p h
y Ae y Ae y Ae
Ae Ae Ae e
A de donde A
y e y y y
23
1 22
p
xx x e
y c e c e
Rpta: 2
3
1 22
x
x x ey c e c e
15. 2 '' ' xy y y e
RESOLUCIÓN
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
2 '' '
2 1 2 1 1 0
1De donde: , 1
2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución comp
xy y y e
P t t t t t
t t
21 2
' ''
lementaria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, ,
Reemplazando en la ecuación dada se tie
x
x
h
x
p
x x x
p p p
y c e c e
y Ae
y Ae y Ae y Ae
21 2
ne:
2 2
2 2 1
Luego y la solución general es:
x x x x
x
p h p
x
x x
Ae Ae Ae e
A de donde A
y e y y y
y c e c e e
Rpta: 21 2
x
x xy c e c e e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
16. 2'' xy a y e
RESOLUCIÓN
2
2 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''
0
De donde: ,
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución complementaria
xy a y e
P t t a
t ai t ai
1 2
' ''
es:
cos sen
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, ,
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
h
x
p
x x x
p p p
x
y c ai c ai
y Ae
y Ae y Ae y Ae
Ae
2
2 2 2
2
2
1 2
1 1
Luego 1 y la solución general es:
cos sen 1
x x
x x
x
p h p
x
a Ae e
Ae a e a de donde A a
y a e y y y
y c ai c ai a e
Rpta: 2
1 2cos sen 1 xy c ai c ai a e
17. 2'' 4 ' 2 xy y y xe
RESOLUCIÓN
2
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
'' 4 ' 2
4 2 0
De donde: 2 2, 2 2
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución comp
xy y y xe
P t t t
t t
2 2 2 2
1 2
2 2 2
lementaria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
h
x x x
p
y c e c e
y Ax B e Axe Be
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 2 ' 2 2 2
'' 2 2 2
2 2 2 2 2 2
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 2 ,
4 4 4
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
4 4 4 8 4 8 2
x x x x x
p p
x x x
p
x x x x x x
y Axe Be y Axe Ae Be
y Axe Ae Be
Axe Ae Be Axe Ae Be A 2 2 2
2 2 2 2
1 2
2
2 1 1/ 2
2 0 0
Luego y la solución general es: 2
2
x x x
x
p h p
x
xe Be xe
A Ade donde
B B
xy e y y y
xy c e c e e
Rpta: 2 2 2 2
1 22
xxy c e c e e
18. 6 '' 2 ' 7 1 xy y y x x e
RESOLUCIÓN
2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
6 '' 2 ' 7 1
6 2 1
1 7 1 7De donde: ,
6 6
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o
solución
xy y y x x e
P t t t
t t
1 7 1 7
6 6
1 2
2 2
2
complementaria es:
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
x x
h
x x x x
p
x
p
y c e c e
y Ax Bx C e Ax e Bxe Ce
y Ax e Bxe
' 2
'' 2
2 2
2 2
, 2 ,
4 2 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
6 24 12 6 12 6 2 4
2 2 2 7 7
x x x x x x x
p
x x x x x x
p
x x x x x x x x
x x x x x x
Ce y Ax e Axe Bxe Be Ce
y Ax e Axe Ae Bxe Be Ce
Ax e Axe Ae Bxe Be Ce Ax e Axe
Bxe Be Ce Ax e Bxe Ce x x
7 7 1
28 7 7 3
12 14 7 0 30 / 7
xe
A A
A B de donde B
A B C C
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
1 7 1 7
6 6 2
1 2
30Luego 3 y la solución general es:
7
303
7
x
p h p
x xx
y x x e y y y
y c e c e x x e
Rpta:
1 7 1 7
6 6 2
1 2
303
7
x xxy c e c e x x e
19. ''' 2 '' 10 3 xy y y xe
RESOLUCIÓN
3 2 2
El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
''' 2 '' 10 3
2 10 2 10 0
De donde: 0, 1 3 , 1 3
Luego la solución general de la ecuación diferencial homogén
xy y y xe
P t t t t t t
t t i t i
1 2 3
'
ea o
solución complementaria es:
cos3 sen 3
De acuerdo al 2do caso la solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
,
x
h
x x x
p
x x x
p p
y c e c x c x
y Ax B e Axe Be
y Axe Be y Axe Ae '' 2
''' 2
2 2
, 2 ,
3
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
3 4 2 10 10 10 3
9 3 1/ 3
9 9 0 1/ 3
x x x x x
p
x x x
p
x x x x x x x x x x
Be y Ax e Ae Be
y Ax e Ae Be
Ax e Ae Be Ax e Ae Be Axe Ae Be xe
A Ade donde
A B B
1 2 3
1Luego y la solución general es:
3
1cos3 sen 3
3
x
p h p
x x
xy e y y y
xy c e c x c x e
Rpta:
1 2 3
1cos3 sen3
3
x x
xy c e c x c x e
20. 2'' '4
xy
y y xe
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
2
1
22 2 21 2
2 2
3
2 2 21 2
'' ' 0 1/ 4 04
1 1
2 2
( )
(6 2 )
1/ 6 0
( )6
h
x x x
h p
x x
x x x
yy y y t t
t t
y C e C xe y x e Ax B
e Ax B xe
A B
xy C e C xe e
21. 5'' ' 6 xy y x e
RESOLUCIÓN
2
1
2
1 2
5 4 3 2
5 4 3 2
1 2
'' ' 0 0
01
1
( )
1 6 30 102 360 720
( 6 30 102 360 720)
h
h x
p x
x x
y y y t t
tt t
t
y C C e
y xe Ax Bx Cx Dx Ex F
A B C D E F
y C C e xe x x x x x
22. '' 2 xy y e RESOLUCIÓN
2
1
2
1 2
'' 0 1 0
1( 1) 1
1
h
h x x
y y y t
tt t
t
y C e C e
p xy Axe
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
1 2
'2 2
''
1
x x
x x
x x x
x x x
y Ae AxeAe e
y Ae Axe Ae
A
y C e C e xe
23. 3'' 4 ' 3 4 xy y y e
RESOLUCIÓN
2
1
2
3
1 2
3
3 3
1 2
'' 4 ' 3 0 1 0
13 1
3
12
2
h
h x x
p x
x x x
y y y y t
tt t
t
y C e C e
y Axe
A
y C e C e xe
24. 2'' 2 ' xy y y e
RESOLUCIÓN
2
1
2
1 2
2
2
1 2
'' 2 ' 0 2 1 0
11 1
1
1
h
h x x
p x
x x x
y y y y t t
tt t
t
y C e C xe
y Ae
A
y C e C xe e
25. 3 23 8 ''' 6 '' ( 6 12 24) iv xy y y x x x e
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
4 3 2
1
2
3
4 4
3 31 2 3 4
3 2
4 4
3 23 31 2 3 4
3 8 ''' 6 '' 0 3 8 6 0
0 2
4 2
3
4 2
3
2 2cos
3 3
( )
1 6 12 0
2 2cos ( 6 12 )
3 3
h iv
x x
h
p x
x x
y y y y t t t
t multiplicidad
it
it
y C C x C e x C e sen x
y Ax Bx Cx D e
A B C D
y C C x C e x C e sen x x x x ex
26. 2'' 2 ' 2 xy y y e
RESOLUCIÓN
2
2
1
1 2
2
2
1 2
'' 2 ' 0 2 1 0
1 1 2
2
2
h
h x x
p x
x x x
y y y y t t
t t multiplicidad
y C e C xe
y Ae
A
y C e C xe e
27. '' 2 ' 3 xy y xe RESOLUCIÓN
2
1
1
'' 2 ' 0 2 0
02
2
hy y y t t
tt t
t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
1 2
2
1 2
( )
41
3
4( )
3
h x
p x
x x
y C C e
y e Ax B
A B
y C C e e x
28. 2'' 2 ' xy ky k y e
RESOLUCIÓN
2 2 2
2 1
2
1 2
2
1 2 2
'' 2 ' 0 2 0
1
h
h kx kx
p x
xkx kx
y y ky k y t kt k
t kt k
t k
y C e C xe
y Axe
At k
ey C e C xe
t k
29. 3'' 4 ' 3 9 xy y y e
RESOLUCIÓN
2
1
2
3
1 2
3
33
1 2
'' 4 ' 3 0 4 3 0
13 1
3
3
8
3
8
h
h x x
p x
xx x
y y y y t t
tt t
t
y C e C xe
y Ae
A
ey C e C xe
30. 3'' 3 ' 3 xy y xe
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
1
2
3
1 2
3
3 3
1 2
'' 3 ' 0 3 0
03
3
( )
1 1
2 3
1( )
2
h
h x
p x
x x
y y y t t
tt t
t
y C C xe
y xe Ax B
A B
xy C C xe xe
31. 2'' 5 ' 6 10(1 ) xy y y x e
RESOLUCIÓN
2
1
2
2 3
1 2
2
2 3 2
1 2
'' 5 ' 6 0 5 6 0
22 3
3
( )
5 20
(5 20)
h
h x x
p x
x x x
y y y y t t
tt t
t
y C e C e
y xe Ax B
A B
y C e C e xe x
32. 2'' ' ( ) xy y y x x e
RESOLUCIÓN
2
1
2
'' ' 0 1 0
1 3
1 3 1 3 2
2 2 1 3
2
hy y y y t t
it
i it t
it
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 21 2
2
2
2 21 2
3 3cos
2 2
( )
1/ 3 1/ 3 1/ 3
3 3 1cos ( )
2 2 3
x x
h
p x
x x
x
y C e x C e sen x
y e Ax Bx C
A B C
x xy C e x C e sen x e
33. '' 3 ' 2 xy y y xe RESOLUCIÓN
2
1
2
2
1 2
22
1 2
'' 3 ' 2 0 3 2 0
11 2
2
( )
1/ 2 1
( )2
h
h x x
p x
x x x
y y y y t t
tt t
t
y C e C e
y xe Ax B
A B
xy C e C e e x
34. 2 4'' ' 2 xy y y x e
RESOLUCIÓN
2
1
2
2
1 2
4 2
22 4
1 2
'' ' 2 0 2 0
11 2
2
( )
1/18 1/18 7 / 324
7( )
18 324
h
h x x
p x
x x x
y y y y t t
tt t
t
y C e C e
y e Ax Bx C
A B C
x xy C e C e e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
35. 2 3'' 3 ' 2 ( ) xy y y x x e
RESOLUCIÓN
2
1
2
2
1 2
3 2
22 3
1 2
'' 3 ' 2 0 3 2 0
11 2
2
( )
1/ 5 1/ 5 2 / 5
2( )
5 5
h
h x x
p x
x x x
y y y y t t
tt t
t
y C e C e
y e Ax Bx C
A B C
x xy C e C e e
36. 2 ''' 2 ' iv xy y y y e RESOLUCIÓN
37. '' 5 ' 6 (12 7) (0) '(0) 0 xy y y x e y y
RESOLUCIÓN
2
1
2
3 2
1 2
3 2
1 2
1 2
3 2
1 2
1 2
1 2
3 2
'' 5 ' 6 0 5 6 0
33 2
2
( )
1 0
(0) 0
' 3 2
'(0) 3 2 0
1 1
h
h x x
p x
p x
x x x
x x x
x x x
y y y y t t
tt t
t
y C e C e
y e Ax B
A B y xe
y C e C e xe
y C C
y C e C e xe
y C C
C C
y e e xe
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
38. '' 2 ' 3 ( 2) xy y y x e RESOLUCIÓN
2
1
2
3
1 2
3
1 2
'' 2 ' 3 0 2 3 0
33 1
1
( )
1/ 4 1/ 2
1( )
4 2
h
h x x
p x
x x x
y y y y t t
tt t
t
y C e C e
y e Ax B
A B
xy C e C e e
39. 2 2'' 5 ' 6 ( 1) xy y x e
RESOLUCIÓN
2
1
2
3 2
1 2
2 2
23 2 2
1 2
'' 5 ' 6 0 5 6 0
33 2
2
( )
1/ 20 29 / 200 441/ 4000
29 441( )20 200 4000
h
h x x
p x
x x x
y y y t t
tt t
t
y C e C e
y e Ax Bx C
A B C
xy C e C e e x
40. 24 '' 4 ' ( 1)
x
y y y x e RESOLUCIÓN
2
2
1
4 '' 4 ' 0 4 4 1 0
2 1 1/ 2 2
hy y y y t t
t t multiplicidad
2 21 2
2( )
x x
h
x
p
y C e C xe
y Ax B e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 2 21 2
1/ 24 1/8
1( )24 8
x x x
A B
xy C e C xe e
41. '' 2 ' ( 1) xy y y x e RESOLUCIÓN
2
2
1
1 2
21 2
'' 2 ' 0 2 1 0
1 1 2
( )
1/ 6 1/ 2
1( )6 2
h
h x x
p x
x
x x
y y y y t t
t t multiplicidad
y C e C xe
y Ax B e
A B
xy C e C xe e
42. 2 2''' 2 '' (4 6 1) xy y x x e
RESOLUCIÓN
3 2
12
2
2
1 2 3
2 2
22 2
1 2 3
''' 2 '' 0 2 0
0 22
2
( )
1/ 4 1/ 4 0
( )4 4
h
h x
p x
h x x
y y y t t
t multiplicidadt t
t
y C C x C e
y Ax Bx C e
A B C
x xy y C C x C e e
43. '' 4 6 (0) 1 '(0) 0 xy y e y y RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
1
2
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
1 2 1 2
2
'' 4 0 4 0
22 2
2
2
2
(0) 1
' 2 2 2
'(0) 2 2 2 0 1 0
2
h
h x x
p x
x x x
x x x
x x
y y y t
tt t
t
y C e C e
y Ae
A
y C e C e e
y C C
y C e C e e
y C C C C
y e e
44. 4''' ' 10 29 xy y y e
RESOLUCIÓN
3
1
2
3
2
1 2 3
4
42
1 2 3
''' ' 10 0 10 0
2
2 1 2 1 2 1 2
1 2
cos 2 2
1/ 2
cos 2 22
h
h x x x
p x
xx x x
y y y y t t
t
t t i t i t i
t i
y C e C e x C e sen x
y Ae
A
ey C e C e x C e sen x
45. 3'' 4 ' 5 10 0, 0 ' 0 xy y y e cuando x y y
RESOLUCIÓN
2
1
2
'' 4 ' 5 0 4 5 0
12 2
1
hy y y y t t
t it i t i
t i
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 2
1 2
3 3
2 2 3
1 2
1
2 2 2 2 3
1 1 2 2
1 2 1 2
2 2 3
cos
10
5
cos 5
(0) 5 0
' 2 cos 2 cos 15
'(0) 2 15 0 5 5
5 cos 5 5
h x x
p x x
x x x
x x x x x
x x x
y C e x C e senx
y Ae e
A
y C e x C e senx e
y C
y C e x C e senx C e senx C e x e
y C C C C
y e x e senx e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS
DE COEFICIENTES CONSTANTES
III. Resolver las ecuaciones diferencias siguientes:
1. '' 3 2 cos y y sen x x x
RESOLUCIÓN
2
1 2
1 2
'' 0
1 0
,
cos sen
h p
h
h
y y y
y y y
t
t i t i t i t i
y c x c x
1
1
1
1
1 2
2
2
cos sen
sen2 cos2 3 2
sen cos cos
sen2 cos2
' 2 cos2 2 sen2
'' 4 sen2 4 cos2
4 sen2 4 cos2 sen2 cos2 3sen2
0, 1 sen2
h
p
p
p
p
p
p
p
y C x C x
y A x B x sen xy
y x Ax B x x Cx D x x x
y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x A x B x x
B A y x
y y Ax
2
2 2
2 2
2 2
sen sen cos cos
' 2 sen cos cos 2 cos sen cos sen
'' 2 4 cos sen 2 cos 2 cos 4 cos
2 cos
2 4 cos 2 cos 2 cos 4p
x Bx x Cx x Dx x
y Ax x Ax x Bsenx Bx x Cx x Cx x D x Dx x
y Asenx Ax x Ax x B x Bxsenx C x Cxsenx Cx x
Dsenx Dx x
y Asenx Ax x B x C x Cx
2
2 2
2
2
1 2
2 cos
1; 0 sen cos
4 4 4
sen2 sen cos4
cos sen sen2 sen cos4
p
p
senx Dsenx x x
x xA B y x x
xy x x x
xy C x C x x x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
Rpta: 2
3 2
1 2
3cos
5 5
xx x e
y c c e e senx x
2. '' cosy y x senx
RESOLUCIÓN.
2
1 2
1 2
'' 0
1 0
,
cos sen
sen cos
sen cos
' sen cos cos sen
'' 2 cos sen 2 sen cos
2 cos 2 sen cos sen
1 1,
2 2
sen cos2 2
h p
h
h
p
p
p
p
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y y y
t
t i t i t i t i
y C x C x
y x A x B x
y y Ax x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x B x x x
A B
x xy x
1 2
sen cos2
cos sen sen cos2
xx x x
xy C x C x x x
3. '' 9 3y y cos x
RESOLUCIÓN.
2
1 2
1 2
'' 9 0
9 0
3 3 3 , 3
cos3 sen3
h p
h
h
y y y
y y y
t
t i t i t i t i
y C x C x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
sen3 cos3
sen3 cos3
' sen3 3 cos3 cos3 3 sen3
'' 4 cos3 9 sen3 4 sen3 9 cos3
4 cos3 8 sen3 4 sen3 8 cos3 cos3 cos3
1
4
34
p
p
p
p
y x A x B x
y y Ax x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x Bx x x
A
xy sen x
1 2cos3 sen3 34
xy C x C x sen x
4. '' ' 6 cosy y y senx x
RESOLUCIÓN.
2
1 2
'' ' 6 0
6 0
3 2 3, 2
h p
h
y y y
y y y y
t t
t t t t
3 2
1 2
h x xy C e C e
3
1 2
1cos 2
2
sen2 cos2
' 2 cos2 2 2
'' 4 sen2 4 cos2
14 sen2 4 cos2 2 cos2 2 2 6 sen2 6 cos2 sen2
2
5 1,
104 104
5 1 1sen2 cos2 5sen2 cos2
104 104 105
p
p
p
x
senx x sen x
y A x B x
y A x Bsen x
y A x B x
y A x B x A x Bsen x A x B x x
A B
y x x x x
y C e C e 2 15sen2 cos2
105
x x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
5. '' 2 ' 2y y y sen x
RESOLUCIÓN.
2
1 2
1 2 1 2
'' 2 ' 1 0
2 1 0
1 1 1, 1
sen2 cos2
' 2 cos2 2 2
'' 4 sen2 4 cos2
h p
h
h x x x
p
y y y
y y y
t t
t t t t
y C e C xe e C C x
y A x B x
y A x Bsen x
y A x B x
3 2
1 2
4 sen2 4 cos2 2 cos2 2 2 6 sen2 6 cos2 sen2
5 1,
52 52
5 1 1sen2 cos2 5sen2 cos2
52 52 52
15sen2 cos2
105
p
p
x x
y A x B x A x Bsen x A x B x x
A B
y x x x x
y C e C e x x
6. '' 4 ' 5 cosy y y x senx
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
2
1 2
'' 4 ' 5 0
4 5 0
4 16 4(1)(5)
2
2
cos sen
sen cos
' cos sen
'' sen cos
4 sen 4 sen 4 cos 4 cos cos sen
3 1,
4 4
3 1 1sen cos 3sen cos
4 4 4
h p
h
h x
p
p
p
y y y
y y y y
t t
t
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y e C x C x
y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x B x A x x x
A B
y x x x x
2
1 2
1cos sen 3sen cos
4
xy e C x C x x x
7. 2cosivy y senx x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
4
3 2
1 2 3 4
0
1 0
1 1 0
1, 11 1
,
cos sen
sen cos
sen cos
' sen cos cos sen
'' 2 cos sen 2 sen cos
''' 3 cos
h iv
h x x
p
p
y y y
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t tt t t i t i
t i t i
y C e C e C x C x
y x A x B x
y y Ax x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
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1 2 3 4
3 cos
4 cos 4 cos
4 cos 4 2 cos 2cos
1 1,
2 4
sen cos 2sen cos2 4 4
cos sen 2sen cos4
iv
p
p
x x
B x Bxsenx
y A x Axsenx Bsenx Bx x
y A x Bsenx Bx x senx x
A B
x x xy x x x x
xy C e C e C x C x x x
8.
2
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yy x
x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
1 2
1 2
'' 0
1 0
,
cos sen
sen cos
sen cos
' sen cos cos sen
'' 2 cos sen 2 sen cos
2 cos 2 sen
10,
2
cos2
cos
h p
h
h
p
p
p
p
y y y
y y y
t
t i t i t i t i
y C x C x
y x A x B x
y y Ax x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x B x senx
A B
xy x
y C x C sen cos2
x
x x
9.
2
24 cos
yy x
x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
1 2
1 2
'' 4 0
4 0
2 2 2 , 2
cos 2 sen2
sen cos
' cos sen
'' sen cos
3 sen 3 cos cos
10,
3
1cos
3
coscos 2 sen2
3
h p
h
h
p
p
p
y y y
y y y
t
t i t i t i t i
y C x C x
y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x x
A B
y x
xy C x C x
10.
4 2
4 22 5sen2
y yy x
x x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
4 2
2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2 '' 0
2 1 0
1 1 0
1, 21 1 1 1
1, 2
+
sen2 cos 2
' 2 cos 2 2 sen2
'' 4 sen2 4 cos 2
'''
h p
h iv
h x x x x x x
p
y y y
y y y y
t t
t t
t multiplicidadt t t t
t multiplicidad
y C e C xe C e C xe C C x e C C x e
y A x B x
y A x B x
y A x B x
y
1 2 3 4
8 cos2 8 sen2
16 sen2 16 cos 2
25 sen2 25 cos 2 5sen2
1, 0
5
sen2
5
sen2
5
iv
p
p
x x
A x B x
y A x B x
y A x B x x
A B
xy
xy C C x e C C x e
11.
2
29 4 sen
yy x x
x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
1 2
'' 9 0
9 0
3 3 3 , 3
cos3 sen3
sen cos
sen sen cos cos
' sen cos cos cos sen sen
'' 2 cos sen sen 2 sen cos cos
2 cos
h p
h
h
p
p
y y y
y y y
t
t i t i t i t i
y C x C x
y Ax B x Cx D x
y Ax x B x Cx x D x
y A x Ax x B x C x Cx x D x
y A x Ax x B x C x Cx x D x
y A
1 2
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10 cos 4 sen
2 2, 0, 0 ,
5 25
2 2sen cos
5 25
2 2cos3 sen3 sen cos
5 25
p
x Ax x B x C x Cx x
D x x x
A B C D
xy x x
xy C x C x x x
12. '' 4 ' 2 8 sen2 y y y x x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
2 6 2 6
1 2
1
'' 4 ' 2 0
4 2 0
2 6, 2 6
e
sen2 cos 2
2 cos 2 2 sen2
' 4 sen2 4 cos2
6 sen2 8 sen2 6 cos2 8 cos 2 8sen2
12 16,
25 25
12sen2 +16cos2
25
h p
h
h
p
p
p
y y y
y y y y
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y C e C
y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B B x A x x
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y C e 2 6 2 6
2
12sen2 +16cos2e
25
x xC
13. 1 2cos senC x C x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
1 2
2 2
2 2
2
'' 0
1 0
,
cos sen
sen cos
sen sen cos cos
' 2 sen cos sen cos 2 cos sen cos sen
'' 2 sen 4 cos sen 2 cos
h p
h
h
p
y y y
y y y
t
t i t i t i t i
y C x C x
y x Ax B x x Ax B x
y Ax x Bx x Ax x Bx x
y Ax x Ax x B x Bx x Ax x Ax x B x Bx x
y A x Ax x Ax x B
2
2 2 2
2
1 2
sen 2 cos 4 sen cos
2 sen cos
2 sen 4 cos 2 cos 2 cos 4 sen 2 sen 4 cos
1, 0
sen cos sen cos
cos sen sen cos
p
p
x Bx x A x Ax x Ax x
B x Bx x
y A x Ax x B x A x Ax x B x x x
A B
y x x x x x x x
y C x C x x x x
14. 2'' 2 ' seny my m y nx
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
2 2
1 2
2 2
2 2
'' 2 ' 0
2 0
, 2.
sen cos
' cos sen
'' cos sen sen cos
cos sen sen cos 2 cos
2 sen
h p
h
h mx mx
p
p
y y y
y y my m y
t mt m
t m t m t m multiplicidad
y C e C xe
y y A nx B nx
y An nx Bn nx
y A nx An nx B nx Bn nx
y A nx An nx B nx Bn nx mAn nx
mBn
2 2
2 2
2 22 2 2 2
2 2
22 2
2 2
1 2 22 2
sen cos sen
2,
sen 2 cos
sen 2 cos
p
mx mx
nx m A nx m B nx nx
m n mnA B
m n m n
m n nx mn nxy
m n
m n nx mn nxy C e C xe
m n
15. 2'' 2cos +3sen ,y a y mx mx m a
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
'' 0
0
cos sen
cos sen
' cos sen
'' cos sen sen cos
cos sen sen cos
cos sen 2cos +3se
h p
h
h
p
p
y y y
y y a y
t a
t ait ai t ai
t ai
y C ax C ax
y y A mx B mx
y Am mx Bm mx
y A mx Am mx B mx Bm mx
y A mx Am mx B mx Bm mx
a A ms a B mx mx
2 2 2 2
2 2
1 2 2 2
n
2 3,
2cos 3sen
2cos 3sencos sen
p
mx
A Ba m a m
mx mxy
a m
mx mxy C ax C ax
a m
16. 4 '' 8 ' seny y x x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
2
1 2
4 '' 8 ' 0
4 8 0
04 2
2
sen cos
sen sen cos cos
' sen cos cos cos sen sen
'' 2 cos sen sen 2 sen cos cos
8 cos 4
h p
h
h x
p
p
y y y
y y y
t t
tt t
t
y C C e
y y Ax B x Cx D x
y Ax x B x Cx x D x
y A x Ax x B x C x Cx x D x
y A x Ax x B x C x Cx x D x
y A x
2
1 2
sen 4 sen 8 sen 4 cos 4 cos
8 sen 8 cos 8 cos 8 cos 8 sen 8 sen sen
1 7 1 1, , ,
20 50 10 50
7 1sen cos
20 50 10 50
7 1sen cos
20 50 10 50
p
x
Ax x B x C x Cx x D x
A x Ax x B x C x Cx x D x x x
A B C D
x xy x x
x xy C C e x x
17. 2'' seny y x x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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18. ''' seny y x
RESOLUCIÓN.
2
1 2
2 2
3 2 3 2
2 3 2
2 3
'' 0
1 0
cos sen
sen cos
sen sen sen cos cos cos
' 3 sen cos 2 sen cos sen cos
3 cos sen
h p
h
h
p
y y y
y y y
t
t it i t i
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y C x C x
y y x Ax Bx C x x Dx Ex F x
y Ax x Bx x Cx x Dx x Ex x Fx x
y Ax x Ax x Bx x Bx x C x Cx x
Dx x Dx
2
2 3 2
2 3
2
2
2 cos sen cos sen
'' 6 sen 6 cos sen 2 sen 4 cos sen
2 cos sen 6 cos 6 sen cos 2 cos
4 sen cos 2 sen cos
6 sen 6 cos 2 sen 4 cos 2 cos 6p
x Ex x Ex x F x Fx x
y Ax x Ax x Ax x B x Bx x Bx x
C x Cx x Dx x Dx x Dx x E x
Ex x Ex x F x Fx x
y Ax x Ax x B x Bx x C x
2 2
2 3
2 3
1 2
cos
6 sen 2 cos 4 sen 2 sen sen
1 1 10, , 0, , 0,
4 6 4
sen cos4 6 4
cos sen sen cos4 6 4
p
Dx x
Dx x E x Ex x F x x x
A B C D E F
x x xy x x
x x xy C x C x x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
19. '' 2cos , 0 1, ' 0 0y y x y y
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
1 2
1 2
'' 0
1 0
cos sen
sen cos
sen cos
' sen cos cos sen
'' 2 cos sen 2 sen cos
2 cos 2 sen 2cos
1, 0,
sen
cos s
h p
h
h
p
p
p
y y y
y y y
t
t it i t i
t i
y C x C x
y y x A x B x
y Ax x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x B x x
A B
y x x
y C x C
1
2
en sen
0 1, ' 0 0
0 1 1cos sen
' 0 0 0
x x x
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y Cy x x x
y C
20. '' 4 sen , 0 ' 0 1y y x y y
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
21. '' 4 4 sen 2 cos2 , ' 2y y x x y y
RESOLUCIÓN.
2
1 2
1 2
1
'' 4 0
4 0
22 2
2
cos 2 sen2
sen cos
' cos sen
'' sen cos
3 sen 3 cos sen
1, 0,
3
sen
3
sencos 2 sen2
3
0 ' 0 1
0 1 1
h p
h
h
p
p
p
y y y
y y y
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y C x C x
y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x x
A B
xy
xy C x C x
Cuando y y
y C
y
2
1cos 2 sen2 sen1
3' 0 13
y x x xC
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
22. '' 4 12sen 2y y x
RESOLUCIÓN.
2
1 2
'' 4 0
4 0
22 2
2
cos 2 sen2
sen2 cos 2
' sen2 2 cos 2 cos 2 2 sen2
'' 4 cos 2 4 sen2 4 sen2 4 cos 2
4 cos 2 4 sen2 4sen 2 4cos 2
1, 1,
h p
h
h
p
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y C x C x
y y Ax x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x B x x x
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1 2
1
2
sen2 cos 2
cos 2 sen2 sen2 cos 2
' 2
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1 2' 2
2
1 22 cos 2 sen2 sen2 cos 2
2
x x x
y C x C x x x x x
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y C
y C
y x x x x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
1 2
'' 4 0
4 0
22 2
2
cos 2 sen2
sen2 cos 2
' sen2 2 cos 2 cos 2 2 sen2
'' 4 cos 2 4 sen2 4 sen2 4 cos 2
4 cos 2 4 sen2 12sen 2
0, 3,
3 cos 2
h p
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p
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p
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y y y
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y C x C x
y y Ax x Bx x
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y A x Ax x B x Bx x
y A x B x x
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y x
1 2cos 2 sen2 3 cos 2
x
y C x C x x x
23. '' 9cos2 , 0 2, ' 0 1y y x y y
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
24. '' 2 ' 2 2cos2 4sen 2 , 0 1, ' 0 1y y y x x y y
RESOLUCIÓN.
2
1 2
1 2
'' 0
1 0
cos sen
sen2 cos 2
' 2 cos 2 2 sen2
'' 4 sen2 4 cos 2
4 sen2 4 cos 2 sen2 cos 2 9cos 2
0, 9,
9cos 2
cos sen 9cos
h p
h
h
p
p
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y C x C x
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y Ax x Bx x A x B x x
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y C x C x
1
2
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0 2, ' 0 1
0 2 1111cos sen 9cos 2
' 0 1 1
x
Cuando y y
y Cy x x x
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ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
1 2
1
'' 2 ' 2 0
2 2 0
1
1
cos sen
sen2 cos 2
' 2 cos 2 2 sen2
'' 4 sen2 4 cos 2
2 sen2 4 sen2 2 cos 2 4 cos 2 2cos 2 4sen 2
0, 1,
cos 2
h p
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h x x
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y y y y
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y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x B x A x x x
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1
2
cos sen cos 2
0 1, ' 0 1
0 1 0sen cos 2
' 0 1 1
x x
x
x C e x x
Cuando y y
y Cy e x x
y C
25. '' 2 ' 2 2sen 2 4cos2 , 0 0, ' 0 0y y y x x y y
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
1 2
'' 2 ' 2 0
2 2 0
1
1
cos sen
sen2 cos 2
' sen2 2 cos 2 cos 2 2 sen2
'' 4 cos 2 4 sen2 4 sen2 4 cos 2
4 cos 2 4 sen2 4 sen2 2 cos 2 2
h p
h
h x x
p
p
y y y
y y y y
t t
t i
t i
y C e x C e x
y y Ax x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x A
1 2
1
2
sen2
4 cos 2 2 cos 2 2 sen2 2sen 2 4cos 2
1 11, ,
5 10
11sen2 cos 2
5 10
11cos sen sen2 cos 2
5 10
0 0, ' 0 0
0 0 011 11
sen sen2 cos 21110 5 10' 0 0
10
p
x x
x
x
Ax x B x Bx x x x
A B
x xy x x
x xy C e x C e x x x
Cuando y y
y Cx x
y e x xy C
x
26. y''+4y'+3y=4sen 8cos , 0 3, ' 0 1x x y y
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
3
1 2
3
1 2
'' 4 ' 3 0
4 3 0
33 1
1
sen cos
' cos sen
'' sen cos
2 sen 2 cos 4 cos 4 sen 4sen 8cos
2, 0,
2sen
2sen
0 3
h p
h
h x x
p
p
p
x x
y y y
y y y y
t t
tt t
t
y C e C e
y y A x B x
y A x B x
y A x B
y A x B A x B x x x
A B
y x
y C e C e x
Cuando y
1 3
2
, ' 0 1
0 3 12 2sen
' 0 1 2
x x
y
y Cy e e x
y C
27. '' 2cosy y x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
1 2
'' 0
1 0
sen cos
sen cos
' sen cos cos sen
'' 2 cos sen 2 sen cos
2 cos 2 sen 2cos
1, 0,
sen
sen cos sen
h p
h
h
p
p
p
y y y
y y y
t
t it i t i
t i
y C x C x
y y Ax x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x B x x
A B
y x x
y Ax x Bx x x x
28. '' 3 ' 2 14sen 2 18cos2y y y x x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
2
1 2
2
1
'' 3 ' 2 0
3 2 0
22 1
1
sen 2 cos 2
' 2 cos 2 2 sen2
'' 4 sen 2 4 cos 2
2 sen 2 6 sen 2 6 cos 2 2 cos 2 14sen 2 18cos 2
2, 3,
2sen 2 3cos 2
h p
h
h x x
p
p
p
y y y
y y y y
t t
tt t
t
y C e C e
y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x A x B x x x
A B
y x x
y C e
2 2sen 2 3cos 2x xC e x x
29. 2'' sen ,y k y bx k b
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
2 2
1 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
'' 0
0
cos sen
sen cos
' cos sen
'' sen cos
sen cos sen cos sen
1, 0,
sen
h p
h
h
p
p
p
y y y
y y k y
t k
t kit ki t ki
t ki
y C kx C kx
y y A bx B bx
y bA bx bB bx
y b A bx b B bx
y b A bx b B bx k A bx k B bx bx
A Bk b
bxy
k b
y C
1 2 2 2
sencos sen
bxkx C kx
k b
30. '' 7 ' 6 seny y y x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
6
1 2
6
1 2
'' 7 ' 6 0
7 6 0
66 1
1
sen cos
' cos sen
'' sen cos
5 sen 7 sen 7 cos 5 cos sen
1 6, ,
37 37
sen 6cos
37
sen 6cos
37
h p
h
h x x
p
p
p
x x
y y y
y y y y
t t
tt t
t
y C e C e
y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x A x B x x
A B
x xy
x xy C e C e
31. 17
'' 2 ' 5 cos 22
y y y x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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32. '' ' sen 2 0, ' 1y y x y y
RESOLUCIÓN.
2
1 2
'' 2 ' 5 0
1 22 5 0
1 2
cos 2 sen2
sen2 cos 2
' sen2 2 cos 2 cos 2 2 sen2
'' 4 cos 2 4 sen2 3 sen2 4 cos 2
3 sen2 3 sen2 2 sen2 4 sen2
h p
h
h x
p
p
y y y
y y y y
t it t
t i
y e C x C x
y y Ax x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y Ax x B x A x Bx x
1 2
4 cos 2
17cos 2 4 cos 2 2 cos 2 cos 2
2
51 17, ,
8 8
51 sen2 17 cos 2
8
51 sen2 17 cos 2cos 2 sen2
8
p
x
A x
Bx x Ax x B x x
A B
x x x xy
x x x xy e C x C x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
1 2
1
'' ' sen 2
'' ' 0
0
( 1) 0, 1
sen2 cos2
' 2 cos2 2 sen2
'' 4 sen2 4 cos2
4 sen2 2 sen2 4 cos2 2 cos2 sen 2
1 1, ,
5 10
1 1sen2 cos2
5 10
h p
h
h x
p
p
p
y y x
y y y
y y y
t t
t t t t
y C C e
y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x B x A x x
A B
y x x
y C C
2
1
2
1 1sen2 cos2
5 10
' 1
1 1 1 sensen2 cos
3 3' 1 2
xe x x
Cuando y y
y C xy x x
y C
33. '' 4 ' 3 2cos 4seny y y x x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
3
1 2
3
1 2
'' 4 ' 3 0
4 3 0
1,( 1) 3
3
sen cos
' cos sen
'' sen cos
2 sen 4 sen 2 cos 4 cos 2cos 4sen
0, 1,
cos
cos
h p
h
h x x
p
p
p
x x
y y y
y y y y
t t
tt t
t
y C e C e
y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x B x A x x x
A B
y x
y C e C e x
34. ''' '' ' 4seny y y y x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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3 2
1 2 3
''' '' ' 0
1 0
1( 1)
,
cos sen
sen cos
' sen cos cos sen
'' 2 cos sen 2 sen cos
''' 3 sen cos 3 cos sen
2
h p
h
h x
p
p
y y y
y y y y y
t t t
tt t i t i
t i t i
y C e C x C x
y y Ax x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A
1 2 3
sen 2 sen 2 cos 2 cos 2cos 4sen
3 1, ,
2 2
1cos 3sen
2
1cos sen cos 3sen
2
p
x
x B x B x A x x x
A B
y x x
y C e C x C x x x
35. '' 2cos , 0 0, 0y y x y y
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
1 2
1 2
'' 0
1 0
,
cos sen
sen cos
' sen cos cos sen
'' 2 cos sen 2 sen cos
2 cos 2 sen 2cos
1, 0,
sen
cos sen sen
h p
h
h
p
p
p
y y y
y y y
t
t it i t i
t i
y C x C x
y y Ax x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x Ax x B x Bx x
y A x B x x
A B
y x x
y C x C x x
Cuan
1
2
0 0, 0
0 0 0sen
0
do y y
y Cy C x x
y
36. '' 4 ' 3 20cosy y y x
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
3
1 2
3
1 2
'' 4 ' 3 0
4 3 0
33 1
1
sen cos
' cos sen
'' sen cos
2 sen 2 cos 4 cos 4 sen 20cos
4, 2,
4sen 2cos
4sen 2cos
h p
h
h x x
p
p
p
x x
y y y
y y y y
t t
tt t
t
y C e C e
y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x A x B x x
A B
y x x
y C e C e x x
37. '' ' 2 6 sen2 3cos2 , 0 2, ' 0 2y y y x x y y
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
2
1 2
'' ' 2 = 6sen2 18cos 2
'' ' 2 0
2 0
22 1
1
sen2 cos 2
' 2 cos 2 2 sen2
'' 4 sen2 4 cos 2
6 sen2 6 cos 2 2 cos 2 2 sen2 6sen2 18cos 2
0, 3
h p
h
h x x
p
p
y y y x x
y y y
y y y y
t t
tt t
t
y C e C e
y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x A x B x x x
A B
2
1 2
1 2
2
,
3cos 2
3cos 2
0 2, ' 0 2
0 2 13cos 2
' 0 2 0
p
x x
x
y x
y C e C e x
Cuando y y
y Cy e x
y C
38. '' 60sen4 , 0 8, ' 0 14y y x y y
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
1 2
1 2
'' 0
1 0
cos sen
sen4 cos 4
' 4 cos 4 4 sen4
'' 16 sen4 16 cos 4
15 sen4 15 cos 4 60sen4
4, 0,
4sen4
cos sen 4sen4
0 8, '
h p
h
h
p
p
p
y y y
y y y
t
t it i t i
t i
y C x C x
y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x x
A B
y x
y C x C x x
Cuando y y
1
2
0 14
0 8 88cos 2sen 4sen4
' 0 14 2
y Cy x x x
y C
39. '' 4 ' 5 8 sen3 3cos3 , 0 1, ' 0 7y y y x x y y
RESOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
2 2
1 2
'' 4 ' 5 8sen3 24cos3
'' 4 ' 5 0
24 5
2
cos sen
sen3 cos3
' 3 cos3 3 sen3
'' 9 sen3 9 cos3
4 sen3 4 cos3 12 cos3 12 sen3 60sen4
h p
h
h x x
p
p
y y y x x
y y y
y y y y
t it t
t i
y C e x C e x
y y A x B x
y A x B x
y A x B x
y A x B x A x B x x
A
2 2
1 2
1
2
2
3 9, ,
2 2
3sen3 3cos3
2
3cos sen sen3 3cos3
2
0 1, ' 0 7
70 1
2
37' 0 7
2
1 37cos 37sen sen3 3cos3
2 2
p
x x
x
B
y x x
y C e x C e x x x
Cuando y y
y C
y C
y e x x x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS
DE COEFICIENTES CONSTANTES
IV. Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:
1. 2
2
23 2 ( )xd y dy
e sen xdx dx
RESOLUCIÓN
2
2
2
3 0
3 3 0
d y dy
dx dx
P t t t t t
De donde: 0, 3t t
La solución homogénea es: 3
1 2
x
gy c c e
La solución particular es:
2 2
' 2x 2x
'' 2
cos
e (Acosx - Bsenx) +e 2Bcosx + 2Asenx
4 3 cos 3 4
x x
p
p
x
p
y Ae senx Be x
y
y e A B x A B senx
Remplazando e Igualando la ecuación tenemos;
2 2
3 1,
5 5
3 1cos
5 5
x x
p
A B
y e senx e x
Rpta: 2
3 2
1 2
3cos
5 5
xx x e
y c c e e senx x
2. 4 '' 5 ' ( 2 cos2 )xy y y e sen x x
RESOLUCIÓN
2
4 ''' 5 ' 0
14 5 1 1 0
4
y y y
P t t t t t
De donde: 1
1;4
t t
La solución homogénea es;
/ 4
1 2
x x
py c e c e
La solución particular es;
'
''
2 2cos
2 2 2cos 2
4 3 cos 2 3 4 2
x
p
xp
x
p
y Ae sen x B x
y A B A B sen xxe
y e A B x A B sen x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
Remplazando e Igualando la ecuación tenemos;
11 5;
146 146A B
Rpta: / 4
1 2 11 2 5 2146
xx x e
y c e c e sen x cos x
3. ''' '' 2 2cosxy y y e x xsenx
RESOLUCIÓN
3 2
''' '' 2 0
2 0
y y y
P t t t
De donde: 2, 1t t
La solución homogénea es:
1 2 3cosx x
gy c e e c x c senx
La solución particular es;
'
''
'''
cos
coscos
cos 2 cos
2 4 cos 2 2 cos 2
x
p
xxp
x x
p
x x
p
y A x x C sene B x
y Bx C B A senx e A x Bx C senxxe
y e Bx A B senx Bx A C x e Bx A B C x Bx A B C senx
y e A B x Bx B C senx e Bx B c x B A senx
Remplazando e Igualando la ecuación tenemos;
10; , 0
2A B C
Rpta: 1 2 3cos2
xx x xe
y c e e c x c senx senx
4. 2'' 4 ' 4 xy y y e senx
RESOLUCIÓN
2
'' 4 ' 4 0
4 4 0
y y y
P t t t
De donde: 2,t duplicidad
La solución homogénea es:
2
1 2
x
gy e c x c
La solución particular es;
2
' 22
'' 2 2
cos
2 2cos cos
2 2 2 2 cos 2 cos ( 2 )
x
p
xxp
x x
p
y Ae senx B x
y A Bsenx e B Asenxx xe
y e A B senx A B x e A B x A B senx
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Remplazando e Igualando la ecuación tenemos:
1; 0A B
Rpta: 2 2
1 2
x xy e c x c e senx
5. 24 5 cosxy y y e x
RESOLUCIÓN
2
'' 4 ' 5 0
4 5 0
y y y
P t t t
De donde: 2 , 2t i t i
La solución homogénea es:
2
1 2cos senx
gy e c x c x
La solución particular es similar al anterior entonces la solución general será;
Rpta:
2
2
1 2cos sen2
xx xe
y e c x c x senx
6. '' 2 ' 2 cosxy y y e x
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
'' 2 ' 2 0
2 2 0
y y y
P t t t
De donde: 1 , 1t i t i
La solución homogénea es:
1 2cos senx
gy e c x c x
La solución particular es similar al anterior por lo tanto la solución general es;
Rpta: 1 2cos sen2
xx xe
y e c x c x senx
7. 2''' 4 '' 12 ' 8 cos .xy y y e x senx
RESOLUCIÓN
3 2
''' 4 '' 12 ' 0
4 12 0
y y y
P t t t t
De donde: 6, 2, 0t t t
La solución homogénea es: 2 6
1 2 3
x x
gy c c e c e
Se sabe que: 2 .cos 2senx x sen x
Entonces la solución general será similar al problema 5:
Rpta: 2 6 2
1 2 3
15 2 3cos 2
68
x x xy c c e c e e sen x x
8. '' 2 ' cosxy y y e x
RESOLUCIÓN
De donde: 1,t duplicidad
La solución homogénea es:
1 2
x xy c e c xe Entonces la solución general será también similar al problema 5:
Rpta: 1 2 3cos 4sen25
xx x e
y c e c xe x x
9. '' 2 5 2xy y y e sen x
RESOLUCIÓN
2
'' 2 ' 0
2 1 0
y y y
P t t t
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
'' 2 ' 5 0
2 5 0
y y y
P t t t
De donde: 1 , 1t i t i
La solución homogénea es:
1 2cos2 sen 2xy e c x c x
Entonces la solución general será similar al problema anterior:
Rpta: 1 2cos 2 sen 2 cos 24
xx xe
y e c x c x x
10. ' xy y e senx
RESOLUCIÓN
2
'' ' 0
1 0
y y
P t t t t t
De donde: 0, 1t t
La solución homogénea es:
1 2
xy c c e Entonces la solución general será similar al problema anteriormente resuelto:
Rpta: 1 2 cos sen2
xx e
y c c e x x
11. 22 cosxy y y x e x
RESOLUCIÓN
2
'' 2 ' 0
2 1 0
y y y
P t t t
De donde: 1t , duplicidad La solución homogénea es:
1 2
xy c c x e
Entonces la solución general será similar al problema anteriormente resuelto:
Rpta: 2
1 2 cos 4 6cosx xy c e c xe x x xsenx x
12. ''' 3 '' 3 ' cos2xy y y y e x
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
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3 2
''' 3 '' 3 ' 0
3 3 1 0
y y y y
P t t t t
De donde: 1t , triplicidad La solución homogénea es:
2
1 2 3
xy c c x c x e
Entonces la solución general será similar al problema anteriormente resuelto:
Rpta: 2
1 2 3 28
xx e
y c c x c x e sen x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS
DE COEFICIENTES CONSTANTES
V. Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:
1. 2 3'' 9 6xy y x e
RESOLUCIÓN
2
'' 9 0
9 3 3 0
y y
P t t t i t i
De donde: 3 , 3t i t i
La solución homogénea es:
1 2cos3 3y c x c sen x La solución particular es;
2 3
'
''
2
2
x
p
x
p
x
p
y x C e DA Bx
y x DeA B
y A De
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
2 3
1 1 1 2, , ,
18 27 162 3
1 2 1 2
18 3 9 3
x
p
A B C D
y x x e
Rpta: 2 3
1 2
1 2 1 2cos3 3
18 3 9 3
xy c x c sen x x x e
2. '' 2 ' 3 4 2y y sen x
RESOLUCIÓN
2
'' 2 ' 0
2 2 0
y y
P t t t t t
De donde: 0, 2t t
La solución homogénea es: 2
1 2
x
gy c c e
La solución particular es;
'
''
2 cos 2
2 cos 2 2 2
4 4 cos 2
p
p
p
y Ax Bsen x C x
y A B x Csen x
y Bsenx C x
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
3 1 1, ,
2 2 2
3 2 cos 2
2 2 2p
A B C
x sen x xy
Rpta: 2
1 2
3 2 cos 2
2 2 2
x x sen x xy c c e
3. 2'' 4 3 , (0) 0, '(0) 2xy y x e y y
RESOLUCIÓN
2
'' 4 0
4 2 2 0
y y
P t t t i t i
De donde: 2 , 2t i t i
La solución homogénea es:
1 22 cos2gy c sen x c x
La solución particular es;
2
'
''
2
2
x
p
x
p
x
p
y Ax Bx C De
y Ax B De
y A De
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
2
1 1 3, 0, ,
4 8 5
1 3
4 8 5
x
p
A B C D
xy e
Remplazándolas condiciones iníciales y (0), y’ (0) en;
g py y y
Obtenemos los valores de las constantes 1 2
7 19,
10 40c c
Rpta: 27 19 1 3
2 cos 210 40 4 8 5
xxy sen x x e
4. '' 2 ' 4, 0 1, ' 0 1xy y y xe y y
RESOLUCIÓN
22
'' 2 ' 0
2 1 1 0
y y y
P t t t t
De donde: 1,t de multiplicidad 2
La solución homogénea es:
1 2
x x
gy c e c xe
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
La solución particular es;
3 2
' 2 3 2
'' 2 2 3 2
3 2
6 2 3 2 3 2
x
p
x x
p
x x x x
p
y Ax Bx Cx e Dx E
y Ax Bx C e Ax Bx Cx e D
y Ax B e Ax Bx C e Ax Bx C e Ax Bx Cx e
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
3
1, 0, 0, 0, 4
6
46
x
p
A B C D E
x ey
Remplazando los valores de y (0), y’ (0) obtenemos;
1 23, 4c c
Rpta: 3
4 3 46
xx x x e
y xe e
5. 22 '' 3 ' 3y y y x senx
RESOLUCIÓN
2
2 '' 3 ' 0
2 3 1 0
y y y
P t t t
De donde: 1
1,2
t t
La solución homogénea es: / 2
1 2
x x
gy c e c e
La solución particular es; 2
'
''
cos
2 cos
2 cos
p
p
p
y Ax Bx C Dsenx E x
y Ax B D x Esenx
y A Dsenx E x
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
2
3 91, 6, 14, ,
10 10
3 96 14 cos
10 10p
A B C D E
y x x senx x
Rpta: / 2 2
1 2
3 96 14 cos
10 10
x xy c e c e x x senx x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
6. 2 1 cos 2
'' '2
xy y y sen x
RESOLUCIÓN
2
'' ' 0
1 0
y y y
P t t t
De donde: 1 3 1 3,
2 2 2 2t i t i
La solución homogénea es:
/ 2 / 2
1 2
3 3cos sen
2 2
x x
gy c e x c e x
La solución particular es;
'
''
2 cos 2
2 cos 2 2 2
4 2 4 cos 2
p
p
p
y Ax Bsen x C x
y A B x Csen x
y Bsen x C x
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
1 1 3, ,
2 13 26
1 2 3 2
2 13 26p
A B C
sen x cos xy
Rpta: / 2 / 2
1 2
3 3 1 2 3 2cos sen
2 2 2 13 26
x x sen x cos xy c e x c e x
7. '' ' 2 x xy y y senhx e e
RESOLUCIÓN
2
'' ' 0
1 0
y y y
P t t t
De donde: 1 3 1 3,
2 2 2 2t i t i
La solución homogénea es:
/ 2 / 2
1 2
3 3cos sen
2 2
x x
gy c e x c e x
La solución particular es;
'
''
x x
p
x x
p
x x
p
y Ae Be
y Ae Be
y Ae Be
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
1 1,
6 4
6 4
x x
p
A B
e ey
Rpta: / 2 / 2
1 2
3 3cos sen
2 2 6 4
x xx x e e
y c e x c e x
8.
2 2
'' ' 2 cosh 22
x xe ey y y x
RESOLUCIÓN
2
'' ' 2 0
2 0
y y y
P t t t
De donde: 1, 2t t
La solución homogénea es: 2
1 2
x x
gy c e c e
La solución particular es;
2 2
' 2 2
'' 2 2
2 2
4 4
x x
p
x x
p
x x
p
y Ae Be
y Ae Be
y Ae Be
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
2 2
1 1,
6 8
6 8
x x
p
A B
e ey
Rpta: 2 2
2
1 26 8
x xx x e e
y c e c e
9. '' 2 ' 5 2 2xy y y e x sen x
RESOLUCIÓN
2
'' 2 ' 5 0
2 5 0
y y y
P t t t
De donde: 1 2 , 1 2t i t i
La solución homogénea es:
1 22 2x
gy e c cos x c sen x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
La solución particular es;
2 cos2x x x
py e Ax B sen x e Cx D x Ex F e
Derivando, remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
1 10, 0, , , 0
4 2
cos 24 2
x x
p
A B C E F
xe xey x
Rpta: 1 22 2 cos 24 2
x xx xe xe
y e c cos x c sen x x
10. 1v iv xy y xe
RESOLUCIÓN
5 4
0
0
v ivy y
P t t t
De donde: 0, 4, 1t multiplicidad t
La solución homogénea es: 3 2
1 2 3 4 5
x
gy c x c x c x c c e
La solución particular es;
2
' 2
'' 2
2
2 2 2
x
p
x x
p
x x x x
p
y Ax Bx C e Dx F
y DAx B e Ax Bx C e
y Ae Ax B e Ax B e Ax Bx C e
Derivando hasta la quinta derivada, Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal
tenemos:
2 4
1 1, 4, 0, , 0
2 24
42 24
x
p
A B C D E
x xy x e
Rpta: 4 2
3 2
1 2 3 4 5424 2
xx xy c x c x c x c x c e
11. 2 2''' 4 ' xy y xe senx x
RESOLUCIÓN
3
''' 4 ' 0
4 0
y y
P t t t
De donde: 0, 2, 2t t t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
La solución homogénea es: 2 2
1 2 3
x x
gy c c e c e
La solución particular es;
2 2 3 2cosx
py Ax Bx C e Dsenx E x Fx Gx Hx
Derivando, remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
3 2
2
3 1 1 11, , 0, 0, , , 0,
2 5 12 8
cos2 3
5 12 8 2
x
p
A B C D E F G H
x x x ey x x
Rpta: 3 2
2 2 2
1 2 3
cos2 3
5 12 8 2
xx x x x x e
y c c e c e x x
12. '' 2 ' 2 cosx xy y y e x xe
RESOLUCIÓN
2
'' 2 ' 2 0
2 2 0
y y y
P t t t
De donde: 1 , 1t i t i
La solución homogénea es:
1 2cosx
gy e c x c senx
La solución particular es;
'
''
cos
cos cos
...
x
p
x x
p
p
y e Asenx B x Dx E
y e A x Bsenx D e Asenx B x Dx E
y
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
1, 0, 1, 0
2
2
x x
p
A B D E
xy e senx xe
Rpta: 1 2cos2
x x xxy e senx xe e c x c senx
13. cos
2 ''' 2 '' 2 '2
iv x xy y y y y xe
RESOLUCIÓN
4 3 2
2 ''' 2 '' 2 ' 0
2 2 2 1 0
ivy y y y y
P t t t t t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
De donde: 1, , ,t duplicidad t i t i
La solución homogénea es:
1 2 3 4cosx
gy c c x e c x c senx
La solución particular es;
cosx
py Ax B e Cx D senx Ex F x
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
1 1 1, , 0, 0, , 0
8 4 8
1os
8 4 8
x
p
A B C D E F
x xy e c x
Rpta: 1 2 3 4
1cos
8 4 8
x xx xy e c c x e c x c senx
14. 2 2'' ' cos xy y x e x
RESOLUCIÓN
2
'' ' 0
1 0
y y
P t t t t t
De donde: 0, 1t t
La solución homogénea es:
1 2
x
gy c c e
La solución particular es;
22 cos2 x
py Asen x B x Ce x Dx Ex F
Derivando hasta la segunda derivada, Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal
tenemos:
32
1 1 1 1, , , , 1, 2
2 10 2 3
sen cos 22
3 2 2 10
x
p
A B C D E F
x e x xy x x
Rpta: 3
2
1 2
sen cos 22
3 2 2 10
xx x e x x
y c c e x x
15. 4 ''' 3 2 1v xy y e sen x
RESOLUCIÓN
5 3 3 2
4 ''' 0
4 4 0
vy y
P t t t t t
De donde: 0 3, 2 , 2 , t demultiplicidad t i t i
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
La solución homogénea es: 2
1 2 3 4 5cos2 2gy c c x c x c x c sen x
La solución particular es; 5 32 cos2x
py Ae Bxsen x Cx x Dx Ex
Derivando hasta la quinta derivada, Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal
tenemos:
3
1 3 1, , 0, 0,
5 32 24
32
5 24 32
x
p
A B C D E
e x xy sen x
Rpta: 3
2
1 2 3 4 5
3cos 2 2 2
5 24 32
xe x xy c c x c x c x c sen x sen x
16. 2'' ' x xy y x e e
RESOLUCIÓN
2
'' ' 0
1 0
y y
P t t t t t
De donde: 0, 1t t
La solución homogénea es:
1 2
x
gy c c e
La solución particular es;
2 x x
py x Ax Bx C Dx E e Fx G e
Derivando hasta la segunda derivada, Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal
tenemos:
32
1 1, 1, 2, 1, 0, , 0
3 2
23 2
x x
p
A B C D E F G
x xy x x xe e
Rpta: 3
2
1 2 23 2
x x xx xy c c e x x xe e
17. '' 3 ' 1 cosxy y e x senx
RESOLUCIÓN
2
'' 3 ' 0
3 3 0
y y
P t t t t t
De donde: 0, 3t t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
La solución homogénea es: 3
1 2
x
gy c c e
La solución particular es; Similar al problema anterior entonces:
Rpta: 3
1 2
cos 2
2 3 5
xx e x x senx
y c c e
18. '' 4 ' 4 2y y x senx sen x
RESOLUCIÓN
2
'' 4 ' 0
4 4 0
y y
P t t t t t
De donde: 0, 4t t
La solución homogénea es: 4
1 2
x
gy c c e
La solución particular es;
1 2
1 4cos 325 8
p
cos xy x x senx
Rpta: 4
1 2
1 21 4cos 3
25 8
x cos xy c c e x x senx
19. 2 2'' 4 ' 5 1 cos xy y y x e
RESOLUCIÓN
2
'' 4 ' 5 0
4 5 0
y y y
P t t t
De donde: 2 , 2t i t i
La solución homogénea es: 2 2
1 2cosx x
gy c e x c e senx
La solución particular es;
3 cos 2 4 2
10 130 65p
x sen xy
Rpta: 2
1 2
3 cos 2 4 2cos 1
10 130 65
x x sen xy c x c senx e
20. 2''' 2 ' 4 cos 2xy y y e x x sen x
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
3
''' 2 ' 4 0
2 4 0
y y y
P t t t
De donde: 2, 1 , 1t t i t i
La solución homogénea es: 2
1 2 3cosx x
gy c e c x c senx e
La solución particular es;
21 12 2 1 2 3cos 2 3 cos
8 40 20
x
p
xey x x sen x x senx x
Rpta:
2 2
1 2 3
1 1cos 2 2 1 2 3cos 2 3 cos
8 40 20
xx x xe
y c e c x c senx e x x sen x x senx x
21. '' 2 ' 3 4 2y y sen x
RESOLUCIÓN
2
'' 2 ' 0
2 2 0
y y
P t t t t t
De donde: 0, 2t t
La solución homogénea es: 2
1 2
x
gy c c e
La solución particular es;
'
''
2 cos 2
2 cos 2 2 2
4 4 cos 2
p
p
p
y Ax Bsen x C x
y A B x Csen x
y Bsenx C x
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
3 1 1, ,
2 2 2
3 2 cos 2
2 2 2p
A B C
x sen x xy
Rpta: 2
1 2
3 2 cos 2
2 2 2
x x sen x xy c c e
22. '' 2 ' 4, 0 1, ' 0 1xy y y xe y y
RESOLUCIÓN
22
'' 2 ' 0
2 1 1 0
y y y
P t t t t
De donde: 1,t de multiplicidad 2
La solución homogénea es:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
1 2
x x
gy c e c xe
La solución particular es;
3 2
' 2 3 2
'' 2 2 3 2
3 2
6 2 3 2 3 2
x
p
x x
p
x x x x
p
y Ax Bx Cx e Dx E
y Ax Bx C e Ax Bx Cx e D
y Ax B e Ax Bx C e Ax Bx C e Ax Bx Cx e
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
3
1, 0, 0, 0, 4
6
46
x
p
A B C D E
x ey
Remplazando los valores de y (0), y’ (0) obtenemos;
1 23, 4c c
Rpta: 3
4 3 46
xx x x e
y xe e
23. 22 '' 3 ' 3y y y x senx
RESOLUCIÓN
2
2 '' 3 ' 0
2 3 1 0
y y y
P t t t
De donde: 1
1,2
t t
La solución homogénea es: / 2
1 2
x x
gy c e c e
La solución particular es; 2
'
''
cos
2 cos
2 cos
p
p
p
y Ax Bx C Dsenx E x
y Ax B D x Esenx
y A Dsenx E x
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
2
3 91, 6, 14, ,
10 10
3 96 14 cos
10 10p
A B C D E
y x x senx x
Rpta: / 2 2
1 2
3 96 14 cos
10 10
x xy c e c e x x senx x
24. 2'' 8 ' 15 15 14 1 xy y y x y e
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
'' 8 ' 15 0
8 15 0
y y y
P t t t
De donde: 3, 5t t La solución homogénea es:
3 5
1 2
x x
gy c e c e
La solución particular es;
2
'
''
2
2
x
p
x
p
x
p
y x C DeA Bx
y x DeA B
y A De
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
2
11, 2, 1,
8
18
x
p
A B C D
ey x
Rpta: 23 5
1 2 18
xx x e
y c e c e x
25. 2''' 4 ' 4 ' 8 1xy y y e x
RESOLUCIÓN
3 2
''' 4 '' 4 ' 0
4 4 0
y y t
P t t t t
De donde: 2,t de multiplicidad 2,
0t
La solución homogénea es:
2
1 2 3
x
gy c e c x c La solución particular es;
2 2 2
' 2 2 2
'' 2 2 2 2 2
''' 2
2 2 2
2 2 2 4 2 2 2
4 ....
x
p
x x
p
x x x x
p
x
p
y x C e Dx Ex FA Bx
y x e x C e Dx EA B A Bx
y Ae Ax B e e x C e Ax B DA Bx
y e
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 22
1, 0, 0, 1, 0, 0
4
4
x
p
A B C D E F
x ey x
Rpta: 2 2
2 2
1 2 34
xx x e
y c e c x c x
26. 212 24iv iii ii xy y y x x e
RESOLUCIÓN
4 3 2 2
0
1 0
iv iii iiy y y
P t t t y t t t
De donde: 1 3 1 3
0, ,2 2 2 2
t t t
La solución homogénea es:
/ 2
1 2 3 4
3 3cos
2 2
x
gy c c x e c x c sen x
1 2gy c c x
La solución particular es; 4 3 2
' 3 2
'' 2
'''
4 3 2
12 6 2
24 6
24
x
p
x
p
x
p
x
p
iv x
p
y x Cx EeA Bx
y x Cx EeA Bx
y Ax Bx C Ee
y Ax B Ee
y A Ee
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
4 2
11, 0, 12,
3
123
x
p
A B C E
ey x x
Rpta: / 2 4 2
1 2 3 4
3 3cos 12
2 2 3
xx e
y c c x e c x c sen x x x
27. 8 '' 16 2ivy y y xsenhx x
RESOLUCIÓN
2 24 2
8 '' 16 0
8 16 2 2 0
ivy y y
P t t t t t
De donde: 2, 2,t t duplicidad
La solución homogénea es:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 2
1 2 3 4
x x
gy e c x c e c x c
g py y y
La solución particular es;
2 2 3 21 1
192 128 192 128
x x
p
x xy x e x e
Rpta: 2 2 2 2 3 2
1 2 3 4
1 1
192 128 192 128
x x x xx xy e c x c e c x c x e x e
28. 2
''' ' xy y x e
RESOLUCIÓN
3
''' ' 0
1 1 0
y y
P t t t t t t
De donde: 0, 1, 1t t t
La solución homogénea es:
1 2 3
x x
gy c c e c e
g py y y
La solución particular es:
3 2 2
' 2 2
'' 2
3 2 2 2
6 2 2 2 2 4
x x
p
x x x
p
x x x x x
p
y x Cx x D E e FeA Bx x
y x C Dx E e x D E e FeA Bx x
y Ax B De Dx E e Dx E e x D E e Fex
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
2 2
1 1 3 1, 0, 2, , ,
3 2 2 6
2 36 3 2
xx
p
A B C D E F
e x xy x x e
Rpta: 2 2
1 2 3 2 36 3 2
xx x xe x x
y c c e c e x x e
29. ''' '' ' coshy y y y x x
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
3 2
''' '' ' 0
1 0
y y y y
P t t t t
De donde: 1, ,t t i t i
La solución homogénea es:
1 2 3cosx
gy c e c x c senx
cosh2
x xe ex
g py y y
La solución particular es:
2
' 2 22 2
x x
p
x x
p
y x C e x D E eA Bx x
y x A C B e D E D x E eA B x x
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
1 3 1 10, , , ,
8 16 8 4
3/ 2 28 8
xx
p
A B C D E
e xy x x e
Rpta: 1 2 3cos 3/ 2 28 8
xx xe x
y c e c x c senx x x e
30. ''' 2 '' ' 2cos2y y y senx x
RESOLUCIÓN
3 2
''' 2 '' ' 0
2 0
y y y
P t t t t
De donde: 0, 1t t de multiplicidad 2
La solución homogénea es:
1 2 3
x
gy c e c x c
g py y y
La solución particular es:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
'
''
'''
2 cos 2cos
cos 2 cos 2 2 2
cos 4 2 4 cos 2
cos 8 2 8 2
p
p
p
p
y Csen x D xAsenx B x
y A x Bsenx C x Dsen x
y Asenx B x Csen x D x
y A x Bsenx Csen x Dsen x
Remplazando e Igualando en la ecuación 0riginal tenemos:
1 3 4, 0, ,
2 25 25
13 2 4cos 2
2 25p
A B C D
senxy sen x x
Rpta: 1 2 3
13 2 4cos 2
2 25
x senxy c e c x c sen x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS
DE COEFICIENTES CONSTANTES
VI. Dar la forma de la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. 2 2'' 4 ' xy y x e
RESOLUCIÓN
2
1
2
2 2
1 2
2 2
'' 4 0
4 0
2,2 2
2
+
h
h x x
p x
y y y
t
tt t
t
y C e C e
y xe Ax Bx C
Rpta: 2 2x
py xe Ax Bx C
2. '' 9 cos2y y x
RESOLUCIÓN
2
1
2
1 2
'' 9 0
9 0
33 3
3
cos3 sen3
cos2 sen 2
h
h
p
y y y
t
t it i t i
t i
y C x C x
y A x B x
Rpta: cos2 sen2A x B x
3. 2'' 4 ' 4 2 xy y y sen x e
RESOLUCIÓN
2
1
'' 4 ' 4 0
4 4 0
2 2 2, 2.
hy y y y
t t
t t t multiplicidad
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2 2
1 2 2
2 2
2
sen2 cos2sen2 cos2
h x x
pp p x
x
p
y Ae Bxe
y A x B xy y A x B x Cx e
y Cx e
Rpta: 2 2cos2 2 x
py A x Bsen x Cx e
4. '' 2 ' 2 xy y y e senx
RESOLUCIÓN
12
2
1 2
'' 2 ' 2 0
12 2
1
cos sen3x
cos sen
h
h x x
p x
y y y y
t it t
t i
y C e x C e
y e A x B x
Rpta: cosx
py e A x Bsenx
5. 2 2'' 5 ' 6 1 x xy y y x e xe
RESOLUCIÓN
2
1
2
3 2
1 2
2 2
'' 5 ' 6 0
5 6 0
33 2
2
h
h x x
p x x
y y y y
t t
tt t
t
y C e C e
y e Ax Bx C xe Dx E
Rpta: 2 2x x
py e Ax Bx C xe Dx E
6. 2'' 2 ' 5 cos2 2x xy y y xe x x e sen x
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
12
2
1 2
2 2
'' 2 5 0
1 22 5 0
1 2
cos 2 sen2
cos 2 sen 2
h
h x x
p x
y y y y
t it t
t i
y C e x C e x
y xe Ax Bx C x Dx Ex F x
Rpta: 2 2cos2 2x
py xe Ax Bx C x Dx Ex F sen x
7. 4 2 3'' 3 ' 2 3xy y x x e sen x
RESOLUCIÓN
2
1
2
3
1 2
4 3 2 3 3 2
'' 3 ' 0
3 0
03
3
sen3 cos3
h
h x
p x
y y y
t t
tt t
t
y C C e
y x Ax Bx Cx Dx E x e Fx Gx H I x J x
Rpta:
4 4 2 2
1 2 3 4 5 1 2 3 3 cos3xy x A x A x A x A x A x B x B x B e Dsen x E x
8. '' 1y y x senx
RESOLUCIÓN
2
1
2
1 2
'' 0
1 0
cos sen
sen cos
h
h
p
y y y
t
t it i t i
t i
y C x C x
y Ax B x Cx D x x Ex F x
Rpta: 1 2 1 2 1 2 cospy A x A x B x B senx x D x D x
9. 2'' 5 ' 6 cos2 3 4x xy y y e x e x senx
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
1
2
2 3
1 2
2 2
'' 5 ' 6 0
5 6 0
23 2
3
sen2 cos2 sen cos
h
h x x
p x x x
y y y y
t t
tt t
t
y C e C e
y e A x B x e Cx D x e Ex F x
Rpta: 2 2
1 2 1 2cos2 2 cosx x x
py e A x Bsen x D D x e senx E x E e x
10. 2'' 2 ' 2 3 2 cos 4x x xy y y e e x e x senx
RESOLUCIÓN
12
2
1 2
2 2
'' 2 ' 2 0
12 2
1
cos sen
cos sen
h
h x x
p x x
y y y y
t it t
t i
y C e x C e x
y e A xe Bx Cx D x Ex Fx J x
Rpta: 2 2
1 2 3 1 2 3cosx x x
py Ae x B x B x B e x x C x C x C e senx
11. 2'' 3 ' 2 1 2 3 cos 4x x xy y y e x sen x e x e
RESOLUCIÓN
2
1
2
2
1 2
2 2
'' 3 ' 2 0
3 2
22 1
1
sen2 cos2 sen cos
h
h x x
p x x x
y y y y
t t
tt t
t
y C e C e
y e Ax Bx C x Dx Ex F x e G x H x Ie
Rpta:
2 2sen2 cos2 sen cosx x x
py e Ax Bx C x Dx Ex F x e G x H x Ie
12. 2'' 4 ' 2 6 7 cos2y y x sen x x x
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
RESOLUCIÓN
2
1
2
1 2
2 2
'' 4 0
4
22 2
2
cos 2 sen2
sen2 cos 2
h
h
p
y y y
t
t it i t i
t i
y C x C x
y x Ax Bx C x Dx Ex F x
Rpta: 2 2sen2 cos2x Ax Bx C x Dx Ex F x
13. 2 2'' 4 ' 4 2 4 2xy y y x xe xsen x
RESOLUCIÓN
2
1
2 2
1 2
2 2 2
'' 4 ' 4 0
4 4 0
2 2 2, 2.
sen2 cos2
h
h x x
p x
y y y y
t t
t t t multiplicidad
y C e C xe
y Ax Bx C x e Dx E Fx G x Hx I x
Rpta: 2 2 2 sen2 cos2x
py Ax Bx C x e Dx E Fx G x Hx I x
14. 2 2 2'' 4 ' 4 2 2x xy y y x e xsenx xe x senx
RESOLUCIÓN
2
1
2 2
1 2
2 2 2
'' 4 ' 4 0
4 4 0
2 2 2, 2.
sen cos
h
h x x
p x
y y y y
t t
t t t multiplicidad
y C e C xe
y xe Ax B Cx Dx E x Fx Gx H x
Rpta: 2 2 2
1 2 1 2 3 1 2 3 cosx
py x A x A e B x B x B senx C x C x C x
ECUACIONES DIFERENCIALES
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15. 2 2'' 2 ' 2 3 cos5xy y y x xe x
RESOLUCIÓN
12
2
1 2
2 2
'' 2 ' 2 0
12 2
1
cos sen
( ) ( cos5 sen5 )
h
h x x
p x
y y y y
t it t
t i
y C e x C e x
y Ax Bx C e Dx E x Fx E x
Rpta: 2 2 2
1 2 3 1 2 1 25 cos5x x
py A x A x A x B x B e sen x x C x C e x
16. 2''' 3 ' 2 1x x x xy y y e xe e xe
RESOLUCIÓN
13
2
2
1 2 3
2 2
''' 3 ' 2 0
1 23 2
2
( )
h
h x x x
p x x
y y y y
t multiplicidadt t
t
y C e C e C xe
y Ax e xe Bx C
Rpta: 2 2 ( )x x
py Ax e xe Bx C
17. 5 '' 4 2cosivy y y x
RESOLUCIÓN
14 2
3
4 5
1 2
5 '' 4 0
45 4
5
sen cos
h iV
h x x
p
y y y y
tt t
t
y C e C e
y A x B x
Rpta: sen cosA x B x
18. 2'' 4 ' 8 1 2xy y y e sen x
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
12
3
2 2
1 2
'' 4 ' 8 0
2 24 8
2 2
cos2 sen2
( sen2 cos2 )
h
h x x
p x x
y y y y
t it t
t i
y C e x C e x
y Ae e Bx x Cx x
Rpta: ( sen2 cos2 )x xAe e Bx x Cx x
19. 2 2iii ii i xy y y y x e
RESOLUCIÓN
''' '' ' 0hy y y y
3 2
1 2 3
1 1
2 21 2 3
1 3 1 30; ;
2 2 2 2
3 3cos( ) ( )
2 2
( )
x xh
p x
t t t t t i t i
y C C e x C e sen x
y Ax B Ce
Rpta: ( ) x
py Ax B Ce
20. 23 4 9 4iii ii xy y y xe x
RESOLUCIÓN
13 2
2
2 2
1 2 3
2 2
''' 3 '' 4 0
2 23 4
1
( )
h
h x x x
p x
y y y y
t multiplicidadt t
t
y C e C xe C e
y x e Ax B Cx D
Rpta: 2 2 ( )xx e Ax B Cx D
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Resolver los siguientes ejercicios
1.
... 1
... 2
... 3
dxy z
dt
dyz x
dt
dzx y
dt
RESOLUCIÓN Llevando al método de matriz:
P(r) = 1
1
r
1
1
r
1
1
r
= 0 2 1 1 ( 1) 0r r r r
Sus raíces son:
1
2
3
1
1
2
r
r
r
Rpta: 2
1 2
t tx c c t e ce
2.
... 1
3 ... 2
3 ... 3
dxy z
dt
dyx z
dt
dzx y
dt
RESOLUCIÓN
P(r) = 3
3
r
1
1
r
1
1
r
= 0 2 1 3 3 (3 3) 0r r r r
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
Sus raíces son:
1
2
3
1
3
2
r
r
r
Rpta: 3 2
1 2
t t ty c e c e t e
3.
8
2
2 8 2
dxy
dt
dyz
dt
dzx y z
dt
RESOLUCIÓN
3
3
3
3
3
3
3 2
3 2
1De 1 se tiene Reemplazando en 2 :
8
12
8
:
12
8
Re en (3):16
12 8 2
16
12 0
16 8
Es una ecuación homogénea.
El polinomi
dxy
dt
d dxz
dt dt
Derivando
d x dz
dt dt
d x dzemplando
dt dt
d xx y z
dt
d x dx d xx
dt dt dt
2 2
1 2 3
2
1 2 3
o general de la ecuación diferencial es:
= 2 16 2 2 16 0
4 , 4 , 2
La solución general de la ecuación es:
cos 4 4 t
P r r r r r r
Donde r i r i r
x c t c sen t c e
Rpta: 2
1 2 3cos4 4 tx c t c sen t c e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
4.
6 ... 1
3 2 ... 2
dxx y
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN:
2
2
2
2
2
1 2
De 1 se tiene 6 Reemplazando en 2 :
6 15 2
2 15 6
El polinomio general de la ecuación diferencial es:
= 2 15 0
2 14 , 2 14
La solución general de la ecuación
dxy x
dt
d x dxx
dt dt
d x dxx
dt dt
P r r r
Donde r i r i
2
1 2
es:
cos 14 14 tx c t c sen t e
' ''
La solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, ,
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
3 3 7 1
3 7
3 1
p
t t t
p p p
t t t t
t
x At B
x Ae Bt C x Ae B x Ae
Ae Ae Ae Bt C e
Ae
C
1 13 1 13
2 2 2 2
1 2
7
3
0
1
3
7 1Luego y la solución general es:
3 3
7 1
3 3
t
p h p
t tt
A
de donde B
C
y e x x x
x c e c e e
Rpta:
1 13 1 13
2 2 2 2
1 2
7 1
3 3
t ttx c e c e e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
5.
3 4 ... 1
2 3 ... 2
dxx y
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN
2
2
2
2
3 1De 1 se tiene Reemplazando en 2 :
4 4
3 1 3 12 3
4 4 4 4
3 9 32
4 4 4 4
0 Es una ecuación homogénea.
El polinomio general de la ecuación diferencial es:
dxy x
dt
d dx dxx x x
dt dt dt
dx d x dxx x
dt dt dt
d xx
dt
2
1 2
= 1 1 1 0
1, 1
La solución general de la ecuación es:
t t
P r r r r
Donde r r
x c e c e
Rpta: 1 2
t tx c e c e
6.
2 ... 1
9 2 ... 2
dxx y
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN
2
2
2
2
De 1 se tiene 2 Reemplazando en 2 :
2 13 2
2 13 2
0 Es una ecuación homogénea.
dxy x
dt
d dx dxx x
dt dt dt
d x dxx
dt dt
d xx
dt
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
1 2
1 2
El polinomio general de la ecuación diferencial es:
= 2 13 0
1 2 3 , 1 2 3
La solución general de la ecuación es:
cos 2 3 2 3
t
P r r r
Donde r i r i
x c x c sen x e
' ''
La solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, , 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
0 2 13 2
013 0
213 2 2
13
p
p p p
x At B
x At B x A x
A At B
AA
de dondeB A B
1 2
2Luego y la solución general es:
13
2cos 2 3 2 3
13
p h p
t
y x x x
x c t c sen t e
Rpta: 1 2
2cos 2 3 2 3
13 tx c t c sen t e
7.
... 17 5
0 , 09 9
2 2 ... 2
dxx y t
dtx y
dyx y t
dt
RESOLUCIÓN
2
2
2
2
1De 1 se tiene Reemplazando en 2 :
4 4
1 1
4 4 4 4
3 1
4 4 4 4
2 3 0 Es una ecuación homogénea.
dx xy
dt
d dx x dx xx
dt dt dt
d x dx dxx
dt dt dt
d x dxx
dt dt
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2 3
1 2
El polinomio general de la ecuación homogénea es:
= 5 6 3 2 0
3, 2
La solución general de la ecuación homogenea es:
La solución particular es de la forma:
De donde der
t t
h
p
P r r r r r
Donde r r
x c e c e
x At B
' ''
ivando la ecuación particular:
, , 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
5 6 6 2 1
1
6 2 3
6 5 1 1
9
1 1Luego y la solución general es:
3 3
p p p
p h
y At B y A y
A At B t
AA
de dondeB A
B
y t x x
2 3
1 2
1 1
3 3
p
t t
x
y c e c e t
Rpta: 2 3
1 2
1 1
3 3
t ty c e c e t
8.
... 1
1, 0
... 2
dxy
dtx y
dx dyx y
dt dt
RESOLUCIÓN
2
2
De 1 se tiene Reemplazandoen 2
0 Es una ecuación homogénea.
dxy
dt
dx d dx dxx
dt dt dt dt
d xx
dt
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
1 2
1 2
1 1
2
El polinomio general de la ecuación homogénea es:
= 1 0
,
La solución general de la ecuación es:
cos sen
cos sen 1
1 1
1
sen c
g
g
P r r
Donde r i r i
x c x c x
x c c
x c c
Derivando x y Reemplazandoen
dxt c
dt 2 2os sen cos 0
cos
g
t y c c
x x
Rpta: cosgx x
9.
... 1
0 2, 0 1
sen 2 ... 2
tdx dye y
dt dtx y
dy dyt y
dt dt
RESOLUCIÓN
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
De 1 se tiene , Reemplazando en 2
2 sen 2
Reemplazando en 2 :
2 sen 2
t t
t t
t t
dx dy d x dy d yy e e
dt dt dt dt dt
dx d x d y dx dye t e
dt dt dt dt dt
dx d dx dy dx dye t e
dt dt dt dt dt dt
d x
dt
2
22 sen td y dy
e tdt dt
2 2
2 22 sen
2 sen Es una ecuación no homogénea.
t t
t
dy d y d y dye e t
dt dt dt dt
dye t
dt
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
1
El polinomio general de la ecuación homogénea es:
= 0
0, La solución general de la ecuación es:
h
P r r
Donde r
x c
'
La solución particular es de la forma:
sen cos
De donde derivando la ecuación particular:
sen cos , cos sen
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
cos sen
t
p
t t
p p
t
x Ae B t C t
y Ae B t C t y Ae B t C t
Ae B t C
1
1 1
2 sen
2 2
cos 0 0
sen sen 1
Luego 2 cos y la solución general es:
cos
0 2 1 1 2
2 cos
t
t
p h p
t
t
t e t
A A
B t de donde B
C t t C
y e t x x x
y c e t
y c c
y e t
Rpta: 2 cos ty e t
10.
4 ... 1
... 2
dxx y
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN
2
2
2
2
2
1De 1 se tiene Reemplazando en 2 :
4 4
1 1
4 4 4 4
3 1
4 4 4 4
2 3 0 Es una ecuación homogénea.
El polinomio general de la ecuación homogénea es:
= 5
dx xy
dt
d dx x dx xx
dt dt dt
d x dx dxx
dt dt dt
d x dxx
dt dt
P r r r 6 3 2 0
3, 2
r r
Donde r r
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2 3
1 2
La solución general de la ecuación homogenea es:
t t
hx c e c e
' ''
La solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, , 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
5 6 6 2 1
1
6 2 3
6 5 1 1
9
p
p p p
x At B
x At B x A x
A At B t
AA
de dondeB A
B
2 3
1 2
1 1Luego y la solución general es:
3 3
1 1
3 3
p h p
t t
x t x x x
x c e c e t
Rpta: 2 3
1 2
1 1
3 3
t tx c e c e t
11.
22 6 6 3 ... 1
0 2, 0 3
2 2 1 ... 2
dxx y t t
dtx y
dy dyy t
dt dt
RESOLUCIÓN
2
2
2
22
2
22
2
22
2
De 1 se tiene 2 6 6 3
2 6 12 1
2
2 6 12 1 2 2 6 6 3 2 1
2 10 6 12 8 6
5 3 6 4 3 Es una ecuación no homogénea
dxy x t t
dt
d x dx dyt
dt dt dt
Reemplazandoen
d x dx dxt x t t t
dt dt dt
d x dxx t t
dt dt
d x dxx t t
dt dt.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
5 13 5 13
2 2
1 2
El polinomio general de la ecuación homogénea es:
= 5 3 0
5 13 5 13,
2 2
La solución general de la ecuación homogenea es:
La solución particular es de la
t t
h
P r r r
Donde r r
x c e c e
2
2 ' ''
2 2
forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, 2 , 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2 5 2 3 6 4 3
3 6
3 10 4
2 5 3 3
p
p p p
t t
x At Bt C
x At Bt C x At B x A
A At B At Bt C t t
A
B Ad
A B C
Be e
2
5 13 5 13
2 2 2
1 2
2
16 / 3
59 / 9
16 59Luego 2 y la solución general es:
3 9
16 592
3 9
p h p
t t
A
e donde B
C
x t t x x x
x c e c e t t
Rpta:
5 13 5 13
2 2 2
1 2
16 592
3 9
t t
x c e c e t t
12.
3 ... 1
... 2
dxx y
dt
dyy
dt
RESOLUCIÓN
2
2
De 1 se tiene Reemplazando en 2 :3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
dx xy
dt
d dx x dx x
dt dt dt
d x dx dx x
dt dt dt
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2
2
1
1 2
2 0 Es una ecuación homogénea.
El polinomio general de la ecuación diferencial es:
= 2 1 0
1 2
La solución general de la ecuación es:
t
d x dxx
dt dt
P r r r
Donde r demultiplicidad
x c tc e
Rpta: 1 2 tx c tc e
13.
2 ... 1
2 3 ... 2
dxx y
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN
2
2
2
2
2
De 1 se tiene 2 Reemplazando en 2 :
2 2 3 2
2 2 3 6
5 4 0 Es una ecuación homogénea.
El polinomio general de la ecuación homogénea es:
= 5
dxy x
dt
d dx dxx x x
dt dt dt
d x dx dxx x
dt dt dt
d x dxx
dt dt
P r r
4
1 2
4 4 1 0
4, 1
La solución general de la ecuación es:
t t
r r r
Donde r r
x c e c e
Rpta: 4
1 2 t tx c e c e
14.
7 4 ... 1
3 ... 2
dxx y
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
2
2
2
7De 1 se tiene Reemplazando en 2 :
4 4
7 3 21
4 4 4 4
7 25 3
4 4 4 4
10 25 0 Es una ecuación homogénea.
El polinomio general de la ecuación diferencial es:
dxy x
dt
d dx dxx x x
dt dt dt
d x dx dxx
dt dt dt
d x dx
dt dt
P
2
1
5
1 2
= 10 25 0
5 2
La solución general de la ecuación es:
t
r r r
Donde r demultiplicidad
x c tc e
Rpta: 5
1 2
tx c tc e
15.
2 ... 1
3 ... 2
dxx
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN
2
2
2
2
2
De 2 se tiene Reemplazando en 1 :3 3
23 3 3 3
2 2
3 3 3 3
2 0 Es una ecuación homogénea.
El polinomio general de la ecuación homogénea es:
=
y dyx
dt
d y dy y dy
dt dt dt
dy d y dyy
dt dt dt
d y dyy
dt dt
P r r
2
1 2
2 2 1 0
1, 2
La solución general de la ecuación es:
t t
r r r
Donde r r
x c e c e
Rpta: 2
1 2
t tx c e c e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
16.
3 ... 1
2 ... 2
t
t
dxx y e
dt
dyy e
dt
RESOLUCIÓN
2
2
2
De 1 se tiene Reemplazando en 2 :3 3 3
23 3 3 3 3 3
3 2 3 Es una ecuación no homogénea.
El polinomio general de la ecuación homogénea es:
=
t
t tt
t t
x e dxy
dt
d x e dx x e dxe
dt dt dt
d x dxx e e
dt dt
P r r
2
1 2
'
3 2 2 1 0
1, 2
La solución general de la ecuación homogenea es:
La solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
,
t t
h
t t
p
t t
p p
r r r
Donde r r
x c e c e
x Ae Bte
x Ae Bte x Ae
'', 2
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2 3 2 3
16 3
2
1
1Luego y la solución gen
2
t t t t t t
p
t t t t t t t t t t
t t
t t
t t
p
Bte Be x Ae Bte Be
Ae Bte Be Ae Bte Be Ae Bte e e
Ae e Ade donde
Be eB
x e te
2
1 2
eral es:
1
2
h p
t t t t
x x x
x c e c e e te
Rpta: 2
1 2
1
2
t t t tx c e c e e te
17.
4 1 ... 1
2 1 ... 2
dxx y t
dt
dyx y t
dt
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
RESOLUCIÓN
2
2
2
2
De 1 se tiene 4 1 Reemplazando en 2 :
4 1 2 4 1 1
4 1 6 2
5 6 2 1 Es una ecuación no homogénea.
El polinomio general de la ecuación homo
dxy x t
dt
d dx dxx t x x t t
dt dt dt
dx d x dxx t
dt dt dt
d x dxx t
dt dt
2
2 3
1 2
génea es:
= 5 6 3 2 0
3, 2
La solución general de la ecuación homogenea es:
La solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
,
t t
h
p
p
P r r r r r
Donde r r
x c e c e
x At B
x At B x ' ''
2 3
1 2
, 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
5 6 6 2 1
1
6 2 3
6 5 1 1
9
1 1Luego y la solución general es:
3 3
1 1
3 3
p p
p h p
t t
A x
A At B t
AA
de dondeB A
B
x t x x x
x c e c e t
Rpta: 2 3
1 2
1 1
3 3
t tx c e c e t
18.
4 3 ... 1
... 2
t
t
dxx y te
dt
dyx y e
dt
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2
2
2
2
1De 1 se tiene 3 Reemplazando en 2 :
4
1 13 3 3
4 4
2 3 7
El polinomio general de la ecuación diferencial es:
= 2 3 3 1 0
t
t t t t
t
dxy x te
dt
d x dx dxte e x x te e
dt dt dt
d x dxx e
dt dt
P r r r r r
Don 1 2
3
1 2
3, 1
La solución general de la ecuación es:
t t
g
de r r
x c e c e
' ''
La solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, ,
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
2 3 7
4 7 7 / 4
7Luego
4
t
p
t t t
p p p
t t t t
p
x Ae
x Ae x Ae x Ae
Ae Ae Ae e
A de donde A
y e
3
1 2
y la solución general es:
7
4
t
g p
t t t
x x x
x c e c e e
Rpta: 3
1 2
7
4
t t tx c e c e e
19.
5 4 ... 1
2 ... 2
dxx y
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN
5
De 1 se tiene Reemplazando en 2 :4 4
5 52
4 4 4 4
dxy x
dt
d dx dxx x x
dt dt dt
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2
2
2
2
3
1 2
5 13
4 4 4 4
6 13 0 Es una ecuación homogénea.
El polinomio general de la ecuación homogénea es:
= 6 13 0
3 , 3
La solución general de la ecuación es:
cos
t
dx d x dxx
dt dt dt
d x dx
dt dt
P r r r
Donde r i r i
x c e x c e3 sent x
Rpta: 3
1 2cos sen tx c x c x e
20.
2 3 ... 1
3 ... 2
dxx y
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN
2
2
2
2
2De 1 se tiene Reemplazando en 2 :
3 3
2 4 23
3 3 3 3
2 1 13 2
3 3 3 3
4 13 0 Es una ecuación homogénea.
El polinomio general de la ecuación homogénea es:
=
x dxy
dt
d x dx x dxx
dt dt dt
dx d x dxx
dt dt dt
d x dxx
dt dt
P r 2
2 2
1 2
2 10 0
2 3 , 2 3
La solución general de la ecuación es:
cos3 sen 3
t t
r r
Donde r i r i
x c e t c e t
Rpta: 2
1 2cos3 sen3 tx c t c t e
21.
3 ... 1
3 ... 2
dxx y
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2
2
2
2
De 1 se tiene Reemplazando en 2 :3 3
33 3 3 3
1 1 10 1
3 3 3 3
2 10 0 Es una ecuación homogénea.
El polinomio general de la ecuación homogénea es:
= 2
x dxy
dt
d x dx x dxx
dt dt dt
dx d x dxx
dt dt dt
d x dxx
dt dt
P r r
1 2
10 0
1 3 , 1 3
La solución general de la ecuación es:
cos3 sen 3
t t
r
Donde r i r i
x c e x c e x
Rpta: 1 2cos3 sen3 tx c x c x e
22.
4 2 ... 1
5 2 ... 2
dxx y
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN
2
2
2
1 2
1De 1 se tiene 4 Reemplazando en 2 :
2
14 5 4
2
5 18 0
El polinomio general de la ecuación diferencial es:
= 5 18 0
5 47 5 47,
2 2 2
dxy x
dt
d dx dxx x x
dt dt dt
d x dxx
dt dt
P r r r
Donde r i r
5
2
1 2
2
La solución general de la ecuación es:
47 47cos sen
2 2
t
i
x c t c t e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
' ''
La solución particular es de la forma:
De donde derivando la ecuación particular:
, , 0
Reemplazando en la ecuación dada se tiene:
0 2 18 4
018 0
218 2 4
9
p
p p p
x At B
x At B x A x
A At B
AAt
de dondeB A B
1 2
2Luego y la solución general es:
9
2cos 17 17
9
p h p
t
x x x x
x c t c sen t e
Rpta: 1 2
2cos 17 17
9
tx c t c sen t e
23.
4 2 ... 1
5 2 ... 2
dxx y
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN
24.
5 4 ... 1
... 2
dxx y
dt
dyx y
dt
RESOLUCIÓN
P(r) = 5
1
r
4
1 r
= 0 5 1 4 0r r
Las raíces son:
1
2
3
3
r
r
Rpta: 3
1 2 tx c tc e
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
TRANFORMADA DE LAPLACE
I.
1. Demostrase que xf t t , es de orden exponencial cuando ;t R
DEMOSTRACIÓN
Definición:
La función F 0, R , es de orden exponencial si existen constantes c o y
tal que , 0.tF t ce t
2. ¿La función xf t t , es de orden exponencial en 0, ?
SOLUCIÓN
Definición:
La función F 0, R , es de orden exponencial si existen constantes c o y
tal que , 0.tF t ce t
Rpta: No es de orden exponencial
3. ¿Cuáles de las siguientes funciones son continuas por tramos en 0, ? Razónese la
respuesta.
a) 1
1
tf t
t
Rpta: No es continua por tramos 0,
b) 2
2
2
tf t
t t
Rpta: Es continua por tramos en 0,
c) 1
tf t e Rpta: No es continua por tramos en 0,
d) 2f t t Rpta: Es continua por tramos en 0,
4. Demostrar que para cualquier número real , ( )atF t e f t es continua por tramos
en 0, , siempre que f lo sea.
DEMOSTRACIÓN
5. Demuéstrese que las funciones dadas son continuas por tramos y de orden exponencial
en 0, .
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
DEMOSTRACIÓN
a) .cosnf t t kt Rpta: No es continua por tramos 0,
b) 1 cos kt
f tt
Rpta: Es continua por tramos en 0,
c) 1 te
f tt
Rpta: No es continua por tramos 0,
d) 1 senkt
f tt
Rpta: Es continua por tramos en 0,
6. Hallar la transformada de Laplace L F t si:
a) 2.cosf t t t
SOLUCIÓN
2 22
2 2 2 22
2 2 2 2 2 3
2 2 4 32 2
1( )
1 1 1
1 2 (1 ) 4 (1 )( 1) 2 6
( 1)1 1
f s L F t
s d s sL cost L t cost
s ds s s
d s s s s s s s s
ds ss s
Rpta:
3
32
2 6
1
s sf s
s
b) 2. .costf t t e t
SOLUCIÓN
Se sabe que el ejercicio anterior es 2.cosf t t t y por propiedad:
32
32
2( 1) 6( 1). .cos
( 1) 1
t s sL t e t
s
Rpta:
3
32
2 1 6 1
1 1
s sf s
s
c) 2
32 3t
f t t e
SOLUCIÓN
/3 2/3 /3 2/3
2/3 2/3 2/3
2 2 2
2 . 3
2. 3 (3 3 )
1 1 1( ) ( )
3 3 3
t tL F t L t e e L e e
e e e sL F t
s s s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
Rpta:
2 / 3
2
(3 3 )
1( )
3
e sf s
s
7. Demostrar que
22
3
6 2
1
sL t sent
s
DEMOSTRACIÓN
2 22 22
2 2 2 22
22 2 2 2
4 3 3
1 211 1
1 1
2 1 2 1 2 2 2 1 8 6 2
1 1 1
sd d dL t sent L sent
dsds ds s s
s s s s s s s
s s s
Por lo tanto,
2
3
6 2
1
sf s
s
L.q.q.d.
8. Demostrar que
2
3
2 2
7cos
9 1
s sL t
s s
DEMOSTRACIÓN
Propiedad: 3 cos3 3coscos
4
t tt
3
2 2
2 2 22
2 2 2 2 2 2
cos3 3cos 1 1 3cos cos3 3cos
4 4 4 9 1
1 3 9 74 28
4 49 1 9 1 9 1
t t s sL t L L t t
s s
s s s ss s s
s s s s s s
Por lo tanto,
2
2 2
7
9 1
s sf s
s s
L.q.q.d
9. Halla 3.cosL t t
SOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
23 2 2 23 3 33
3 2 2 2 2 22 2
22 2 2 3
3 3
4 32 2
3 22 2 2 3
62
cos1
1 2 1cos 1 1 1
1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 61 1
1 1
6 6 1 3 1 2 2 61
1
sL t
s
s s sd s d d sL t t
ds s ds dss s
s s s s sd d s s
ds dss s
s s s s s s
s
2 2 3
42
4 4 2 4 2 4 2
4 4 42 2 2
6 6 1 3 2 2 61
1
6 6 12 36 6 36 6 6 36 61 1
1 1 1
s s s s s
s
s s s s s s s
s s s
Rpta:
4 2
42
6 36 6
1
s sf s
s
10. Halla 2 .cossen t t
Lt
SOLUCIÓN
22 3 3
33
2 4 2
3 3
2 4 2
2
1 cos cos.cos cos cos cos cos
7cos cos
1 10 9
cos cos 7
1 10 9
1 2 1 4
2 41
s s
s
t tsen t t t t t tL L L L L
t t t t t
s s sL t L t
s s s
t t u u uL L du du
t t u u u
udu
u
3 3
4 2 2 4 2 4 2
2 4 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
20 8 1 2 1 4 20 1 8
2 4 410 9 1 10 9 10 9
1 1 2ln 1 ln 10 9
2 4 9 1
1 92
9 1 9 1 9
s s s s
s s s
s s
u u u u u u udu du du du
u u u u u u u
uu u u du
u u
Au B u Cu D uu Au B Cu Ddu du
u u u u u u
3 2
2 2
1
9 9
9 1
1 1, 0, 0,
4 4
s
s
du
A C u B D u A C u B Ddu
u u
A B C D
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 4 2
2 1 14 4
4 49 1 9 1 9 1
1 2 1 2 1 1ln 9 ln 1
8 8 8 89 1
1 1 1 10 ln 9 0 ln 1 ln 9 ln 1
8 8 8 8
1 1ln 1 ln 10 9
2 4
s s s s
s ss s
s s
u u
u u udu du du du
u u u u u u
u udu du u u
u u
s s s s
u u u
2 2
2 4 2 2 2
2 4 2 2 2
2 4 2 2 2
1 12 4 22 4
2
9 1
1 1 1 1ln 1 ln 10 9 ln 9 ln 1
2 4 8 8
1 1 1 10 ln 1 0 ln 10 9 0 ln 9 0 ln 1
2 4 8 8
1 1 1 1ln 1 ln 10 9 ln 9 ln 1
2 4 8 8
ln 1 ln 10 9 ln
s
s s s s
udu
u u
u u u u u
s s s s s
s s s s s
s s s
1 12 28 8
1 1 1 1 32 2 2 2 24 4 8 4 8 2
1 1 1 1 22 2 2 22 8 2 8
9 ln 1
9 1 1 9 1 1 9ln ln ln
8 11 9 1 9
s s
s s s s s s
ss s s s
Rpta: 2
2
1 9ln
8 1
sf s
s
11. Halla L sen a t
SOLUCIÓN
Propiedad: cos cossen a t sena t asent
2 2 2
cos cos
1 . coscos
1 1 1
L sen a t L sena t asent
s s sena asena a
s s s
Rpta: 2
cos .
1
a s senaf s
s
12. Halla 2cosL bt
SOLUCIÓN
2
2 2
1 cos 2 1 1 1cos 1 cos 2
2 2 2 4
bt sL bt L L bt
s s b
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
Rpta: 2 2
1 1( )
2 4
sf s
s s b
13. Demostrar que:
a)
2 22
2 2
2cosh
4
s aL at
s s a
DEMOSTRACIÓN
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1cosh 2
2 4
1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 8
4 2 2 4 44 4
1 4 8 2
4 4 4
at atat ate e
L at L L e e
s s s a
s a s a s ss a s s a
s a s a
s s a s s a
Por lo tanto,
2 2
2 2
2
4
s af s
s s a
L.q.q.d.
b)
22
2 2
2
4
aL senh at
s s a
DEMOSTRACIÓN
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1h 2
2 4
1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 8
4 2 2 4 44 4
1 8 2
4 4 4
at atat ate e
L sen at L L e e
s s s a
s a s a s ss a s s a
a a
s s a s s a
Por lo tanto,
2
2 2
2
4
af s
s s a
L.q.q.d.
c) 2 2
4 4
2cos .
4
a s aL at senat
s a
DEMOSTRACIÓN
2 2
2cos . 1 1 2cos . 2
2 2 2 4
at senat aL at senat L L sen at
s a
Por lo tanto, 2 2
2
2 4
af s
s a
L.q.q.d.
d) 3
4 4cos .cos
4
sL at at
s a
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
DEMOSTRACIÓN
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 cos 2 1 1cos .cos cos
2 2 4
1 4 2
2 4 4
at sL at at L at L
s s a
s a s s a
s s a s s a
Por lo tanto,
2 2
2 2
2
4
s af s
s s a
L.q.q.d.
e) 2
4 4
2s h .
4
a sL en at sen at
s a
DEMOSTRACIÓN
2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2 2
1s h . . . .
2 2
2 2 2 21
2 2 2 2 2 2
4
2 2 2 2 2
at atat ate e
L en at sen at L sen at L e sen at e sen at
s sa a s sa aa a a
s sa a s sa as a a s a a
a sa
s sa a s sa a
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 4 42 4 2 2 42 2
2
2 2 2 2
2 2 2
44 4 22 2
sa
s a sa s a sa
sa sa a s
s as s a a sas a sa
Por lo tanto, 2
4 4
2
4
a sf s
s a
L.q.q.d
f) 2 2
4 4
2s h .cos
4
a s aL en at at
s a
DEMOSTRACIÓN
2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2 2
1s h .cos .cos .cos .cos
2 2
2 2 2 21
2 2 2 2 2 2
4
2 2 2 2 2
at atat ate e
L en at at L at L e at e at
s sa a s sa as s s
s sa a s sa as a a s a a
s sa
s sa a s sa a
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 4 42 4 2 2 42 2
2
2 2 2 2
2 2 2
44 4 22 2
s a
s a sa s a sa
s a s a s a
s as s a a sas a sa
Por lo tanto, 2
4 4
2
4
s af s
s a
L.q.q.d.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
14. Hallar la transformada de Laplace de F(t) si :
a) , 2
2, 2
t tF t
t
SOLUCIÓN
2 2
20 2 0
22
2
2 2
0 2
2( ) 2
= du=dt
= v=-
2 2 4 = (- ) =-
s s
st st st st
stst
st st sst s
L F t e tdt e dt e tdt es
u t
edv e
s
e e ete e
s s s
22
2 2
1 1 21 2+ =-
ss s ee
s s s
Rpta: 2
2
1 1 2( ) =-
ss eL F t
s
b) ( 2 )t dF t te sen t
dt
SOLUCIÓN
2 2
2
2 2 22
2
22
2 2( ) 02
4 4
2 d 2 2s 8 . =- ( ) =
ds4 4 4
2 s-1 8( 2 )
s-1 4
t
sds senL sen t
s sdt
s sL t
s s s
dL te sen t
dt
Rpta:
2
22
2 s-1 8( ) =
s-1 4
L F t
c) , 2
0, 2
sent tF t
t
SOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
0 2
22 2
0 00
( ) 0
= du= cos tdt
= v=-
1 cos
st st
stst
stst st
L F t e sentdt e dt
u sent t
edv e
s
ee sentdt sent e tdt
s s
2 22 2
2 2
0 00 0
= cos du=- dt
= v=-
1 cos
stst
st stst st
st
u t sent
edv e
s
e ee sentdt sent t e sentdt
s s s
e sentd
2 22
2 2
0 0 0
2 -2 s
2 2 2
. cos1 1
1 -e 1 = -( - ) =
1 1 1
st st
s
e et s sent t
s s
e
s s s
Rpta: -2 s
2
-e 1( ) =
1L F t
s
d)
0 ,2
3cost ,
2 2
30 ,
2
t
F t t
t
SOLUCIÓN
3 3
2 2 2
30
2 2 2
3
2
2
( ) 0 cos 0 cos
= cos du=- dt
= v=-
cos cos
st st st st
stst
st
L F t e dt e tdt e dt e tdt
u t sent
edv e
s
ee tdt t
3322
2 2
3
2
2
1
= du=cos dt
= v=-
cos cos
stst
stst
st
e sentdts s
u sent t
edv e
s
ee tdt t
33 322 2
2
2 2 2
3 3332 222
2 22
1cos
2 1cos cos
1 1 1
st stst
s
st stst
esent e tdt
s s s
s ee ee tdt t sent
s s s s s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
Rpta:
3
22 1( ) =
1
s
s eL F t
s s
e)
, 2
8-3t , 2 3
4 , 3< t 4
0 , t>4
t t
tF t
t
SOLUCIÓN
2 3 4
0 2 3 4
2 3
2 2
0 2
( ) 8 3 4 0
= du=dt
= v=-
= 3 3 4
st st st st
stst
st st st st st st st
L F t e tdt e t dt e t dt e dt
u t
edv e
s
e e e e e e e et t t
s s s s s s s
4
2
3
2 3 4 3 4 3 2
2 2 2 2
1 1 2 8 3 1 7 2 1 2 1=
st
s s s s s s s
s
s e s e e s e e s e s e
s s s s
Rpta: 4 3 2
2
7 2 1 2 1( ) =
s s se s e s eL F t
s
f) 3
0
cos 4
t
tF t e t t dt
SOLUCIÓN
Rpta:
2
22
16 3( )
3 3 16
sF s
s s
2
2
22 2
2
22 2
22
0
2
3
22
0
cos 416
16cos 4
16 16
16
16 16cos 4
16
16 3cos 4
3 3 16
t
t
t
sL t
s
d s sL t t
du s s
s
sf s sL t t dt
s s s s
sL e t t dt
s s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
g) 2
2
0
cos 3
t
tdF t e t dt
dt
SOLUCIÓN
2
2
0
2
2
2
0
2
22 2
0
cos 3
cos39
1cos 3
1 9
1cos 3
1 9
1 10cos 3 1
1 91 9
t
t
t
t
t
t
t
dF t e t dt
dt
sL t
s
sL e t
s
sL e t dt
s s
s sd sL e t dt
dt ss
Rpta:
2
10
1 9
sf s
s
h) 2
0
t
t tdF t te t e sent dt
dt
SOLUCIÓN
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
22
2 cos
1
1
22
2 1
cos1
2cos
2 1
2 22 cos
2 1 2 1
2 cos2 1
2 1 2 2 5
2 1
t t t
t
t
t t
t t
dL e sent e sent e t
dt
L sents
L e sents
sL t
s
sL e t
s
sL e sent e t
s s
d sL t e sent e t
ds s
s s s s
s
2
22 1s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
22
22
0
22
22
0
2 22 2 22 2
422
2 22 2
322
5
2 1
5
2 1
2 2 1 5 2 1 4 2 1 2
2 1
2 2 1 5 2 1 4 2
2 1
t
t
t
t
d sL t e sent dt
dt s s
d d sL t t e sent dt
dt ds s s
s s s s s s s
s s
s s s s s s
s s
Rpta:
22 2 2 2
322
4 8 1 5 2 5 2
2 1
s s s s s sf s
s s
15. Si ( )f s L f t ,demostrar que para r>0;
1 lnt s r
L r F ar fa a
SOLUCIÓN
ln
ln
1 ln
1
ln ln
1 ln
t
t
rt
rt
s rL r F ar f
a a
L F r f s
sL F ar f
a a
f x r
f x t r
f x e
s rL e F ar f
a a
Rpta: ln 1 lnrt s rL e F ar f
a a
16. Demostrar que;
2 32
32 2
6 2bs bL t senbt
s b
DEMOSTRACIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
222
2 2 2 22 2
22 2 2 2 2 2 2
4 32 2 2 2
2 3 2 2 3
3 32 2 2 2
21
2 2 .2. . 2 2 8
2 2 8 6 2
b sd b dL t senbt
dsds s b s b
b s b bs s b s b s b bs
s b s b
bs b bs bs b
s b s b
Por lo tanto,
2 3
32 2
6 2bs bf s
s b
L.q.q.d.
17. Demostrar que;
1sent
L arctgt s
DEMOSTRACIÓN
2
1
1L sent
s
2
1 1
1 s
s
sentL du arctgu arctg
t su
Por lo tanto, 1
f s arctgs
L.q.q.d.
18. Calcular L F t si:
a) 3
0
2
t
tF t e tsen t dt
SOLUCIÓN
3
0
2
2 2 22 2
22
22
0
3
2 22 2
0
2
22
4
2 4 42 1 1
4 4 4
4
4 42
4
4 42
6 133 4
t
t
t
t
t
F t e tsen t d
L sen ts
d s sL tsen t
ds s s s
s
sf sL tsen t
s s s
L e tsen ts ss
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
Rpta:
22
4( )
6 13F s
s s
b) 3 2t sen tF t e
t
SOLUCIÓN
3
2
2 2
3
2
22
4
2 2 1 12 2
2 2 2 24 4
2 3
2 2
t
s s s
t
sen tF t e
t
L sen ts
sen t u sL du du arctg arctg
t u u
sen t sL F t L e arctg
t
Rpta: 3
( )2 2
sF s arctg
19. Calcular 3
0
2t te sen t
L dtt
SOLUCIÓN
2
2 2
3
3
0
22
4
2 2 1 12 2
2 2 2 24 4
2 3
2 2
3
2 1 32 2
2 2
s s s
t
t t
L sen ts
sen t u sL du du arctg arctg
t u u
e sen t sL arctg
t
sarctg
f se sen t sL dt arctg
t s s s
Rpta: 1 3
( )2 2
sF s arctg
s
20. Calcular 3sen t
Lt
:
SOLUCIÓN
Propiedad: 3 3 3
4
sent sen tsen t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
3
2 2
3
2 2 2 2
3 3 1 1 3 33 3
4 4 4 1 9
1 3 3 3 1 3 1
4 4 41 9 1 9
3 1 3 1 1 3
4 3 3 4 4
s s s
ss
sent sen tL sen t L L sent sen t
s s
sen tL du du du
t u u u u
uarctg u arctg arctg arctg
s s
Rpta: 3 1 1 3
( )4 4
f s arctg arctgs s
21. Halle
2at bte e
Lt
SOLUCIÓN
22 2
2 2
2 2
2
1 2 12
2 2
2 1 1 12
2 2
l n 2 2l n l n 2
0 ln 2 0 ln
at bt a b tat bt
a b tat bt
a b tat bt
s s s
s s s
e e e e eL L
t t
L e e es a s a b s b
e e eL du du du
t u a u a b u b
u a u a b u b
s a s a b
2
20 ln 2 ln
2 2
s a bs b
s a s b
Rpta:
2
( ) ln2 2
s a bf s
s a s b
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
Halle 3
tsent sen tL e
t
3
2 2
3
2 2
3
3 3 14 3 3
4 4
1 7 3
4 1 9
7 1 3 1
4 41 9
7 1 7 1 1 3
4 4 3 4 4
s s
s s
sent sen tL sent sen t L sent L sent sent sen t
s s
sent sen tL du du
t u u
uarctg u arctg arctg arctg
s s
sent sen tL
7 1 1 3
4 1 4 1
te arctg arctgt s s
Rpta: 7 1 1 3
( )4 1 4 1
f s arctg arctgs s
22. Halle 3
tsent sen tL e
t
3
2 2
3
2 2
3
3 3 14 3 3
4 4
1 7 3
4 1 9
7 1 3 1
4 41 9
7 1 7 1 1 3
4 4 3 4 4
s s
s s
sent sen tL sent sen t L sent L sent sent sen t
s s
sent sen tL du du
t u u
uarctg u arctg arctg arctg
s s
sent sen tL
7 1 1 3
4 1 4 1
te arctg arctgt s s
23. Evaluar .cosL senkt kt
SOLUCIÓN
2 2
2 .cos 2.cos
2 2
1 1 22
2 2 4
senkt kt sen ktL senkt kt L L
kL sen kt
s k
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
Rpta: 2 2
( ) , 04
kf s s
s k
24. Hallar L F t
si 3
0
( ) cos 4
t
tF t e t t dt
SOLUCIÓN
2
2 2
2 2 22 2
2
22 2
22
0
2
3
22
0
cos 416
16 2 16cos 4 1 1
16 16 16
16
16 16cos 4
16
3 16cos 4
3 3 16
t
t
t
sL t
s
s s sd s sL t t
ds s s s
s
sf s sL t t dt
s s s s
sL e t t dt
s s
Rpta:
2
22
3 16( )
3 3 16
sf s
s s
25. Hallar L F t
si:
a) 3
0
2
t
tF t t e sen t dt
SOLUCIÓN
2
3
2
2
3
20
22
4
22
3 4
2
3 4 22
3 4
t
t
t
L sen ts
L e sen ts
f s sL e sen t dt
s s s s
2
3
22 220
3 4 2 32
2 1 13 4 3 4
t
ts s s
dL t e sen t dt
ds s s s s
Rpta:
2
222
3 12 13( )
3 4
s sf s
s s
b) 3
0
2
t
tF t t te sen tdt
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
SOLUCIÓN
2
2 2 22 2
3
22
22
3
22
0
3
22
0
2
22
4
2 22 42 1 1
4 4 4
4 32
3 4
4 3
3 4 4 32
3 4
4 32 1
3 4
4 3
1
t
t
t
t
t
L sen ts
sd sL tsen t
ds s s s
sL te sen t
s
s
sf s sL te sen tdt
s s s s
sdL t te sen tdt
ds s s
s s
2 22 2
422
4 2 3 4 2
422
5 4 2 3 4 2
422
4 4 3 3 4 4 3 4 3
3 4
4 3 3 8 3 16 4 3 16 3 4 3 8 3 16
3 4
4 3 4 3 32 3 64 32 3 64 3 16 3 64 3
3 4
s s s s s
s s
s s s s s s s s s s
s s
s s s s s s s s s s s s
s s
5 4 3 2
422
5 4 3 2
422
4 3 12 3 32 3 32 3 64 3 641
3 4
4 3 12 3 32 3 32 3 64 3 64
3 4
s s s s s s s s
s s
s s s s s s s s
s s
Rpta:
5 4 3 2
422
4 3 12 3 32 3 32 3 64 3 64
3 4
s s s s s s s s
s s
c) 3
0
2t
t sen tF t e dt
t
SOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
3
0
2
2
0
3
0
2
22
4
2 1 12 2
2 2 2 24
2 12 2
2 2
2 1
3 2
t
t
s s
t
t
t
sen tF t e dt
t
L sen ts
sen t u sL du arctg arctg
t u
sarctg
f ssen t sL dt arctg
t s s s
sen t sL e dt arctg
t s
3
2
Rpta:
1 3( )
3 2 2
sf s arctg
s
d) 0
cos 2t te t
F t dtt
SOLUCIÓN
0 0 0
2
cos 2 cos 2
1
1
cos 24
t t tt t
t
e t e tF t dt dt dt
t t t
L es
sL t
s
2
2
2
2 2
2
2
0
cos 2 1 1ln 1 ln 4
1 4
1 1 4ln 0 ln ln
14 4
4ln
1cos 2 1 4ln
1
t
ss
s
t t
e tL L du u u
t t u u
u s s
su s
s
f s se t sL dt
t s s s s
Rpta: 21 4
( ) ln1
sf s
s s
26. Hallar L F t
si ,t < 4
( )cos ,t > 4
sentF t
sent t
SOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
4
0 4 4
,t < 4( )
cos ,t > 4
( ) cos
= du= cos tdt
= v = -
st st st
stst
sentF t
sent t
L F t e sent dt e sent dt e t dt
u sent t
edv e
s
4
0
= cos du=- dt
= v = -
( )
stst
st
u t sent
edv e
s
L F t e sent dt
4 4
4 4 0 40 4
4 4
4 0 44 0 4 4
cos - cos - cos
- cos - - - cos cos cos
st st st stst st
st st st st st st st st
e e e ee sent dt e t dt sent t dt sent t dt
s s s s
e e e e e e e et sent dt sent sent t t dt t dt se
s s s s s s s s
4
4 4 4
2 2
0 40 4 4 0 4
4 4 4
2 2
00 4 4 0 4
- - - cos - cos - cos
- - - cos - cos - cos
st st st st st st st
st st st st st st st
nt dt
e e e e e e esent sent t t sent dt t sent dt
s s s s ss s
e e e e e e esent sent t t sent dt t se
s s s s ss s
2
4 44
cos st ste e
nt dt sent t dts s
Rpta: 3 1 1 3
( )4 4
f s arctg arctgs s
27. Hallar 3 .cos3 .cos4tL e t t
SOLUCIÓN
Propiedad: 2cos cos cos cosA B A B A B
3 3 3
2
2 2 2 2
1 1.cos3 .cos 4 .2cos 4 .cos3 . cos 7 cos
2 2
3 3 251 3 3
2 3 49 3 1 3 49 3 1
t t tL e t t L e t t L e t t
s ss s
s s s s
Rpta:
2
2 2
3 3 25( )
3 49 3 1
s sf s
s s
28. Calcular 3 3 2. .tL e t sen t
SOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
3 3 2 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
3 2 233 3
4 3 2 4 2 22
1 cos 2 1. . . . . . 1 cos 2
2 2
1 1 1. . cos 2 . . cos 2
2 2 2
1 1 1 6 1 3 1 4 2cos 2 1 1
2 2 2 2 24 4
t t t
t t t t
tL e t sen t L e t L e t t
L e t e t t L e t L e t t
d s d sL t L t t
s ds s s ds s
22 2 2
4 42
2 2 3 3
4 3 4 32 2
4
4 4 4 2 .2. 4 23 11
2 4
4 4 4 2 43 1 3 1 4 16 16 81
2 24 4
32
s s s s sd
dss s
s s s sd d s s s s
ds dss ss s
d
ds
3 22 2 3 23
3 4 62 2
3 8 4 8 2 4 28 32
4 4
s s s s s ss s
s ss s
2 2 3 2 4
4 4 4 42 2
2 4
3 3 2 3 3
4 42
3 8 4 8 43 3 36 322 2
4 4
36 3 32 31 3. . . . 1 cos 2 2
2 3 3 4
t t
s s s s s s s
s ss s
s sL e t sen t L e t t
s s
Rpta:
2 4
4 42
72 3 2 3 643( )
3 3 4
s sf s
s s
29. Hallar , .n
L t a n Z es un entero positivo
SOLUCIÓN
Rpta:
1
2 1
1( ) ! ...
1 ! 2 ! 1!
n n
n n
a a aF s n
n s n s s s
30. Hallar .cosL sen at bt
SOLUCIÓN
Propiedad: 2 cossenA B sen A B sen A B
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2 22 2
1 1.cos 2 .cos
2 2
1 1
2 2
L sen at bt L sen at bt L sen a b t sen a b t
a b a bL sen a b t sen a b t
s a b s a b
Rpta:
2 22 2
1( )
2
a b a bf s
s a b s a b
31. Hallar 2atL e sen bt
SOLUCIÓN
2
2 2
2
2 22 2
1 cos 2 11 cos 2
2 2
11 cos 2
4
1 1 1 41 cos 2
2 2 4 2 4
at at at
at
bL e sen bt L e L e b
sL b
s s b
s a bL e b
s a s a b s a s a b
Rpta:
2
2 2
4( )
2 4
bf s
s a s a b
32. Hallar 2
2
0
cos 3
t
tdL e t dt
dt
SOLUCIÓN
2
2
0
2
2
2
20
22
2 20 0
0
2
cos 3
cos 39
1cos 3
1 9
1
1 9 1cos 3
1 9
1cos 3 cos 3 cos 3 1 cos 3 0
1 9
1cos 0
1 9
t
t
t
t
t
t t
t t t t
dL e t dt
dt
sL t
s
sL e t
s
s
f s s sL e t dt
s s s s
s sdL e t dt s e t dt e t e t
dt s s
s ss e dt
s
0 0
20 0
2
0
2 2 2 20
1cos 0 1 cos 0 0 1
1 9
1 1 1 1 9 101 1
1 9 1 9 1 9 1 9
t ts se e s dt
s
s s s s s s s ss t
s s s s
Rpta: 2
10( )
1 9
sf s
s
33. Calcular 3
2cosL t t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
SOLUCIÓN
Rpta:
3
30 2
31 (3 )
2( )
2 !
n
nn
n
F s
n s
34. Calcular 2
0
s t sentL e dt
t
SOLUCIÓN
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
1
1
1
21
2
12
2
s t
ss
s t
s t
sentL e dt
t
L sents
sentL du arctg u arctg s
t u
sentL e arctg s s
t
arctg s sf ssentL e dt arctg s s
t s s s
Rpta:
1
f s arctgs
35. Hallar cos cos
t
at btL
te
SOLUCIÓN
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
cos cos cos cos
cos
cos 1 2 1 1ln ln
2 2 2 2
cos 1ln 1
2 2
t t
t
ss
t
at bt at btL L e L e
t tte
sL at
s a
at uL du u a s a
t u a
atL e s a
t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 22 2
2 22 2
cos
cos 1 2 1 1ln ln
2 2 2 2
cos 1ln 1
2 2
cos cos 1 1ln 1 ln 1
2 2 2 2
1ln 1 ln 1
2 2 2
ss
t
t
sL bt
s b
bt uL du u b s b
t u b
btL e s b
t
at btL s a s b
te
s a s b
2 2
2 2
11ln
2 1
s b
s a
Rpta:
2 2
2 2
11ln
2 1
s bf s
s a
36. Calcular 2
0
a t sentL e dt
t
RESOLUCIÓN
2
2
2 2
22
0
1 1( )
1 1( )
1 1( )
a t
a t
sentL arctg
t s s
sentL e arctg
t s a s a
sentL e dt arctg
t s as s a
Rpta:
22
1 1( )f s arctgs as s a
37. Calcular la transformada de Laplace de: 2
t
t z
a
dL te z e senz dz
dz
RESOLUCIÓN
2
2
2 2 0
2
22
22 2
22
22
0
22
0
1
( 2) 1
( ) (0)( 2) 1
5
( 2) 1 ( 2) 1
1 5
( 2) 1
( 1) 5
( 1) ( 3
z
z z
z
t
z
t
t z
L e senzs
d sL e senz s L e senz e sen
dz s
d d s sL z e senz
dz ds s s
d sL z e senz dz
dz s s
d sL e z e senz dz
dz s s
22
22
22
0
) 1
( 1) 5
( 1) ( 3) 1
t
t zd d sL te z e senz dz
dz ds s s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
Rpta:
2 2
3 22 2 2
( 4 1)(5 22 22) 2
( 1) 6 10 6 10
s s s sf s
s s s s s
38. Hallar cos cos
t
at btL
te
RESOLUCIÓN
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
cos cos cos
1 1cos cos
( 1) ( 1)
(cos cos ) 1 1
( 1) ( 1)
(cos cos ) 1 1ln ( 1) ln ( 1)
2 2
t t t t
t t
t
s s
t
L e at e bt L e at L e cosbt
s sL e at e bt
s a s b
e at bt u uL du du
t u a u b
e at btL s a s b
t
Rpta:
2 2
2 2
11ln
2 1
s bf s
s a
39. Calcular 2
2
0
t
u t senuL te du
u
RESOLUCIÓN
2
0
2
2
0
1( )
1( )
1
1 1( )
1
1 1( )
2 1
u
t
u
t
t u
senuL arctg
u s
senuL e arctg
u s
senuL e du arctg
u s s
senu dL te e du arctg
u ds s s
Rpta:
2 2
1
11
( 1) 1 22
arctgs
f ss ss
40. Demostrar que:
22
3
0 0 0
4 4yt xsenz
L dz dydx arctgz s s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
RESOLUCIÓN
2
0
22
3
0 0 0
1 1( )
1 1
y
yt x
senzL dz arctg
z s s
senzL dz dydx arctg
z s s
41. Calcular 0
tsenu
L duu
RESOLUCIÓN
2
2
0
1
1
1/
1 2
1 1 1( ) ( )
2
s
s
t
L senus
senuL arctgu arctgs
u u
senuL du arctgs arctg
u s s s
Rpta:
1 1
( )f s arctgs s
42. Calcular 0 0
t tsenu
L duduu
RESOLUCIÓN
0
2
0 0
1 1( )
1 1( )
t
t t
senuL du arctg
u s s
senuL dudu arctg
u s s
Rpta:
2
1 1( )f s arctg
s s
43. Demostrar que: 2
3
0 0
ln( 1)
bt ax u
y
e ab sL dudydz
u s ab
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
3
0 0
ln( 1)
bt ax u
y
e ab sL dudydz
u s ab
Rpta:
44. Demostrar que: 3
0 0 0
1 1( )
yt xsenz
L dzdydx arctgz s s
RESOLUCIÓN
0
3
0 0 0
1 1( )
1 1( )
y
yt x
senzL arctg
z s s
senzL dzdydx arctg
z s s
Rpta:
45. Demostrar que: 2
0 0 0
1 1( )
yt xsenz
L dzdydx arctgz s s
RESOLUCIÓN
0
3
0 0 0
1 1( )
1 1( )
y
yt x
senzL arctg
z s s
senzL dzdydx arctg
z s s
Rpta:
46. Calcular
2
0
cos3 cos 2t
z zL dz
z
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
0
2
2 2 2
2 2
2
0
cos3 cos 2
cos3 cos 2 cos3 2
cos3 cos 2 1 4ln( )
9 4 2 9
cos3 cos 2 1 4ln( )
2 9
t
s s
t
z zL dz
z
z z z cos zL L L
z z z z
z z u u sL du du
z z u u s
z z sL dz
z s s
Rpta:
2
2
1 16ln( )
2 36
sf s
s s
47. Calcular 2
0
( )
t
t zdL e z e senz dz
dz
RESOLUCIÓN
2
2
2 0
2 2
22
2 2
22
22
0
22
0
1
( 2) 1
1( ) (0)
( 2) 1 ( 2) 1
5( )
( 2) 1 ( 2) 1
5( )
( 2) 1
( 1) 5( )
( 1
z
z
z
t
z
t
t z
L e senzs
d sL e senz s e sen
dz s s
d d s sL z e senz
dz ds s s
d sL z e senz dz
dz s s
d sL e z e senz dz
dz s
2) ( 3) 1s
Rpta:
2
22
1 51
1 3 1
sf s
s s
48. Demostrar que: 1
1
t sentL e arctg
t s
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
1/ ( )
1 2
1( 1) ( )
2 1
s
s
t
sentL arctgu arctg s
t u
sentL e arctg s arctg
t s
Rpta: No se cumple la igualdad
SOLUCIÓN
2
2
1
1
1
21
12
ss
t
L sents
sentL du arctg u arctg s
t u
sentL e arctg s
t
Rpta:
12
f s arctg s
49. Calcular la transformada de Laplace de la función
,si t e
1 ,si t e impar
t t s parF t
t t s
RESOLUCIÓN
t =n ,n 1
t ,si 0 t<1 0
t -2 ,si 1 t<2 1
t-2 ,si 2 t<1 2
t-4 ,si 3 t<4 3
t-4 ,si 4 t<5 4
.
.
t n
para n
para n
para n
F t para n
para n
por escala unidad queda f(t)= t + (t -2-t)u(t-1)+(t -2-(t-2))u(t-2)+(t -4-(t-2))u(t-3)+.............
+( ) 2 ( 1) 2 ( 3) 2 ( 5) ...... 2 ( (2 1)) k
2 ( 1) 2 ( 3) 2 ( 5) .( )
f t t u t u t u t u t k
L t u t u t u tL f t
..... 2 ( (2 1))
se sabe L u(t-a)
3 5 71 1 2 (2 1)( ) 2( ....... )
2 21
u t k
ate
s
s s s se e e e k sL f t e
s s s s ss s k
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
Rpta: 1 2 (2 1)
21
k se
ss k
50. Calcular cos
t
at cosbtL
te
SOLUCIÓN
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
cos cos cos cos
cos
cos 1 2 1 1ln ln
2 2 2 2
cos 1ln 1
2 2
t t
t
ss
t
at bt at btL L e L e
t tte
sL at
s a
at uL du u a s a
t u a
atL e s a
t
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 22 2
2 22 2
cos
cos 1 2 1 1ln ln
2 2 2 2
cos 1ln 1
2 2
cos cos 1 1ln 1 ln 1
2 2 2 2
1ln 1 ln 1
2 2 2
ss
t
t
sL bt
s b
bt uL du u b s b
t u b
btL e s b
t
at btL s a s b
te
s a s b
2 2
2 2
11ln
2 1
s b
s a
Rpta:
2 2
2 2
11ln
2 1
s bf s
s a
51. Calcular 0
t
u senuL t e du
u
RESOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
0
2
2
0
2
0
2
1
12
21
1 12
11 12 12
1 1( )
t
u
ss
u
t
u
t
u
senuF s L t e du
u
L sen us
sen uL du arctg u arctg s
u u
sen uL e f s arctg s
u
arctg sf ssenuL e du arctg s
u s s s
f ssenuL t e du d
u s s
2
1 1( )
1 (1 ( 1) )arctg
s s s
1.
Rpta:
2 2
1 1 1
1 1 1f s arctg
s s s s
52. Calcular
3 3
0 0
1t x ye
L dydxy
Rpta: f(s)= 2
1ln( )
( 1)
s
s s
53. Calcular 2
0
( )
t
tdL te dt
dt
3
0
3 3
2
0 0
1 11
1
1 1ln( ) ln( ) ln( )
1 ( 1)
1 1ln( )
( 1)
1 1ln( )
( 1)
y
y
x y
t x y
F s L es s
e sL s
y s s
e sL dy
y s s
e sL dydx
y s s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2 2 2 2
2 2
2 2
0
0 00
0
( ) ( )
2
= du=-2t
= v = -
t
t
stt st t t st t
t t
stst
sst t t
dL f t L te dt
dt
eL e e e dt e e te dt
s s
u e e dt
edv e
s
ee te dt te
2 2
2 2 2
2
0 00
2
2t
=t du= ( -2t )
= v = -
tst t st t
t t t
stst
e e dt e e dts s
u e e e dt
edv e
s
=
54. cosate bt
Lt
2 2 2 2
2 2 2 2
2
cos cos( )
1 1 1( )
( )
cos 1 2cos ( ) ( )
2
cos 1(
( )
at at
atat
s
s
ss
at
e bt e btL f t L L L
t t t
eL e L du ln u a ln
s a t u a s a
s bt uL bt L du ln u b ln s b
ts b u b
e btL ln ln s b
t s a
2 22 ) ln( )
s b
s a
Rpta: 2 2
ln( )s b
s a
55. 2
0
tsenu
L duu
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
0
2
2
2
22
2
222
2
1 cos 2
2
1 2 1
2 2 2 2( 4)
1 1 1 1ln( ) ( 4)
2 2 24
1 1 4(ln( ) ln( 4)) ln
2
t
s s s
sen uF s L du
u
xsen u
cos u sL sen u L L
s s
sen u xL dx dx x ln x
u x x
ssen usL
s su
sen uL
u
2 4ln
s
s
Rpta: 2 4
lns
s
56. 2
8
2
0
cos 4
t
t tdL te e tdt
dt
28
2
0
2 2
0
2
2 22
0
2 2
2
0
( ) cos 4
1 1cos 4 cos 4 .
16 ( 1) 16
1 ( 1)(0) (0) 1 1cos 4
( 1) 16 ( 1) 16
(2 1)(( 1) 16)cos 4
t
t t
t
t
t
t
t
t
df s L te e tdt
dt
s sL t L e tdt
ss s
s s sds F FL e tdt
s sdt
d s sL t e tdt
dt
2 2
2 2 2 2
2 28
2 2 2
0
2 ( 1) ( 1) 32 16
(( 1) 16) (( 1) 16)
( 9) 32( 9) 16cos 4
(( 9) 16)
t
t t
s s s s
s s
d s sL e t e tdt
dt s
Rpta: 2
2 2
( 9) 32( 9) 16
(( 9) 16)
s s
s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a. 2
2
24 4 4 , (0) 1, '(0) 4td x dx
x e x xdt dt
SOLUCIÓN:
22
2
2 2
2
2
22
2
2
1
4 4 4 , (0) 1, '(0) 4
( ) (0) '(0) 4 ( ) (0) 4 ( ) 4
1( ) 4 4 ( ) 4 (0) 4 ( ) 4
21
( ) 4 4 42
4 2( ) 4 4
2
4 2( )
2 4 4
( )
t
t
d x dxx e x x
dt dt
s X s sx x sX s x X s L e
s X s s sX s x X ss
X s s s ss
s sX s s s
s
s sX s
s s s
L X s L
21
2
21
3
4 2
2 4 4
4 2( )
2
s s
s s s
s sx t L
s
Como vemos podemos aplicar el método de fracciones parciales
21
3
2
3 2 3
22
3 3
2 2
12 3
4 2( )
2
4 2
22 2 2
2 24 2
2 2
4 2 4 4 2
2 4 2
1
4 4 2 4
1 2 4( )
2 2 2
s sx t L
s
s s A B C
ss s s
A s B s Cs s
s s
s s s A sA A sB B C
A B B
A
A B C C
x t Ls s s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
1 1 1
2 3
2 2 2 2
1 1 2( ) 2 2
2 2 2
( ) 2 2t t t
x t L L Ls s s
x t e te t e
Respuesta: 2 2( ) (2 2 1)tx t e t t
b. 2
26cos 2 , (0) 3, '(0) 1
d xx t x x
dt
SOLUCIÓN:
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
3 2
2
2 2
3 2
6 cos 2 , (0) 3, '(0) 1
( ) (0) '(0) ( ) 6 cos 2
( ) 3 1 ( ) 62
( ) 1 3 1 62
( ) 1 6 3 12
6 3 1 2( ) 1
2
6 3 12 4( ) 1
2
3 18 4( )
d xx t x x
dt
s X s sx x X s L t
ss X s s X s
ss
X s s ss
sX s s s
s
s s sX s s
s
s s s sX s s
s
s s sX s
s
2 2 2
3 21 1
2 2
2 1
3 18 4( )
4 1
s
s s sL X s L
s s
Como vemos podemos aplicar el método de fracciones parciales
3 21 1
2 2
3 21
2 2
3 2
2 2 2 2
3 18 4( )
4 1
3 18 4( )
4 1
3 18 4
4 1 4 1
s s sL X s L
s s
s s sx t L
s s
s s s As B Cs D
s s s s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
3 2 2 2
3 2 3 2 3 2
1
2 2
1 1
2 2
3 18 4 1 4
3 18 4 4 4
3
18 4
15 3 5 2
1
4 4
3 3 1 0
2 5 1( )
4 1
5 1( ) 2
4 1
( )
s s s As B s Cs D s
s s s As Bs As B Cs Cs Ds D
A C
A C
C C A
B D
B D
D D B
s sx t L
s s
s sx t L L
s s
x t
1 1 1
2 2 2
12 5
4 1 1
s sL L L
s s s
Respuesta: ( ) 2cos2 5cosx t t t sent
c. ''( ) ( ) 5 2 , (0) 0, '(0) 1y t y t sen t y y
SOLUCIÓN:
2 1
2
2
2
2
22
2
2
2 2
21 1
2 2
''( ) ( ) 5 2 , (0) 0, '(0) 1
( ) (0) '(0) 5 2
2( ) 1 5
42
( ) 5 14
10 4( )
4
14( )
4
14( )
4
y t y t sen t y y
s Y s sy y L sen t
s Y ss
s Y ss
ss Y s
s
sY s
s s
sL Y s L
s s
Como vemos podemos aplicar el método de fracciones parciales
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
21 1
2 2
31
2 2
3
22 2 2
2 2 23
2 2 2 2
3 2 2 2
3 3 2 3 2
14( )
4
1 14( )
4
14
4 4
4 414
4 4
14 4 4
14 4 4
51
2
14 4
sL Y s L
s s
s sy t L
s s s
s s A B Cs D
s ss s s
As s B s s Cs Ds s
s s s s
s s As s B s s Cs D
s s As As Bs B Cs Ds
A C C
A A
1
2 2
1 1
2 2
20
7 5
2 2( )4
7 1 5 2( )
2 4 4
B D
sy t L
s s s
y t L Ls s
Respuesta: 7 5
( ) 22 4
y t t sen t
d. ''( ) 2 '( ) 2 ( ) 2cos2 4 2 , (0) 0, '(0) 1y t y t y t t sen t y y
SOLUCIÓN:
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
''( ) 2 '( ) 2 ( ) 2cos 2 4 2 , (0) 0, '(0) 1
( ) (0) '(0) 2 ( ) 2 (0) 2 ( ) 2cos 2 4 2
2( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 2 4
4 42
( ) 2 2 2 4 14 4
2 8( ) 2 2 1
4 4
( ) 2 2
y t y t y t t sen t y y
s Y s sy y sY s y Y s L t sen t
ss Y s sY s Y s
s ss
Y s s ss ss
Y s s ss s
Y s s s
2
2
2 4
4
s s
s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2 2
21 1
2 2
21
2 2
2 4( )
4 2 2
2 4( )
4 2 2
2 4( )
4 2 2
s sY s
s s s
s sL Y s L
s s s
s sy t L
s s s
Como vemos podemos aplicar el método de fracciones parciales
2 31
2 2
2 3
2 2 2 2
2 22 3
2 2 2 2
2 3 2 2
2 3 3 2 2 3
1 2 4( )
4 2 2
2 4
4 2 2 4 2 2
2 2 42 4
4 2 2 4 2 2
2 4 2 2 4
2 4 2 2 2 2
s s sy t L
s s s s
s s s As B Cs D
s s s s s s
As B s s Cs D ss s s
s s s s s s
s s s As B s s Cs D s
s s s As As As Bs Bs B Cs D
2
1
2 2
1 1
2 2
1 1 122 2
4 4
1
2 2
4 2 2 4
2 7 10
3 3 3
2 7 1
3 3 3( )4 2 2
1 2 7 1 1( )
3 34 2 2
1 2 1 7 1 1( )
3 3 34 4 1 1
s Cs D
A C
A B
A B C
D A B C
s sy t L
s s s s s
sy t L L
s s s s
y t L L Ls s s s
1 1 122 2
1 2 7 4 1 1( )
3 24 34 4 1 1
1 7 1( ) 2 1 cos 2
3 24 3t
y t L L Ls s s s
y t sen t t e sent
Respuesta: 1 7 1 7
( ) 2 cos23 24 3 24
ty t sen t t e sent
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
e. ''( ) '( ) ( ) 1, (0) 1, '(0) 2y t ty t y t y y
SOLUCIÓN:
''( ) '( ) ( ) 1, (0) 1, '(0) 2y t ty t y t y y
Respuesta:
f. ''( ) ( 1 ) '( ) 2 ( ) 1, (0) 0, '(0) 1ty t t y t y t t y y
SOLUCIÓN:
Respuesta:
g. 2
24 18 3 , (0) 0, '(0) 3td y dyy e sen t y y
dt dt
SOLUCIÓN:
2
2
2
22
22
2
22
2
2 2
4 18 3 , (0) 0, '(0) 3
( ) (0) '(0) (0) (0) 4 ( ) 18 3
3( ) 3 (0) 4 ( ) 18
1 9
54( ) 4 3
1 9
54 3 2 10( ) 4
1 9
54 3 2 10( )
2 10
t
t
d y dyy e sen t y y
dt dt
s Y s sy y sY y Y s L e sen t
s Y s sY Y ss
Y s s ss
s sY s s s
s
s sY s
s s s s
2
2 2
21 1
2 2
3 21
2 2
3 2
2 2 2 2
4
3 6 84( )
2 10 4
3 6 84( )
2 10 4
1 3 6 84( )
2 10 4
3 6 84
2 10 4 2 10 4
s sY s
s s s s
s sL Y s L
s s s s
s s sy t L
s s s s s
s s s As B Cs D
s s s s s s s s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2 23 2
2 2 2 2
3 2 3 2 2 3 2 2
1
2
4 2 103 6 84
2 10 4 2 10 4
3 6 84 4 4 2 10 2 10
6 2
84 4 10
90 3 12
3
81 9 9 6 18 0
6 18( )
2
As B s s Cs D s ss s s
s s s s s s s s
s s s As As As Bs Bs B Cs Cs Cs Ds Ds D
A B C
A B C
A C
A C
C C A B D
sy t L
s s s
2
9
10 4
s
s s s
Respuesta:
h. 3 2
2
3 24 4 3 4 , (0) 0, '(0) 5, ''(0) 3t td y d y dy
y e e y y ydt dt dt
SOLUCIÓN:
3 22
3 2
3 2 2 2
3 2
3 2
4 4 3 4 , (0) 0, '(0) 5, ''(0) 3
( ) (0) '(0) ''(0) ( ) (0) '(0) 4 ( ) 4 (0) 4 ( ) 3 4
3 4( ) 5 3 ( ) 5 4 ( ) 4 ( )
1 2
( ) 4 4 5 2
t t
t t
d y d y dyy e e y y y
dt dt dt
s Y s s y sy y s Y s sy y sY s y Y s L e e
s Y s s s Y s sY s Y ss s
Y s s s s s
3 2
3 2
2
3 2
3 2
3 2
3 21 1
3
3 4
1 23 6 4 4
( ) 4 4 5 21 2
3 6 4 4 5 2 1 2( )
1 2 4 4
3 6 4 4 5 2 3 2( )
1 2 4 4
5 17 17 2( )
1 2 4 4
5 17 17 2( )
1 2
s ss s
Y s s s s ss s
s s s s sY s
s s s s s
s s s s sY s
s s s s s
s s sY s
s s s s s
s s sL Y s L
s s s
2
3 21
3 2
4 4
5 17 17 2( )
1 2 4 4
s s
s s sy t L
s s s s s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
3 21
2 2
3 2
2 2 22
3 2
2 2
2 22 2 2 2
2 2
3 2
2 2
5 17 17 2( )
1 2 4
5 17 17 2
1 2 41 2 4 1
5 17 17 2
1 2 4
1 2 4 2 4 1 4 1 2 4
1 2 4
5 17 17 2
1 2 4
s s sy t L
s s s
s s s A B C Ds E
s s ss s s s
s s s
s s s
A s s s B s s C s s Ds E s s s
s s s
s s s
s s s
4 3 2 3 2 4 3 2 5 4 3 2
2 2
3 2 4 3 2 3 2 4 3 2
5 4 3 2
3 6 3 8 2 4 8 ( 2 5 8 4) ( 4 9 18 20 8)
1 2 4
5 17 17 2 3 6 3 8 2 4 8 ( 2 5 8 4)
( 4 9 18 20 8)
A s s s s B s s s C s s s s Ds E s s s s s
s s s
s s s A s s s s B s s s C s s s s
Ds E s s s s s
Respuesta:
2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a. 3 2
3 22 11 12 4, (0) '(0) ''(0) 0
d y d y dyy y y y
dt dt dt
SOLUCIÓN: 3 2
3 2
3 2 2
3 2
3 2
3 2
2 11 12 4, (0) '(0) ''(0) 0
( ) (0) '(0) ''(0) 2( ( ) (0) '(0)) 11( ( ) (0)) 12 ( ) [4]
4( ) 2 ( ) 11 ( ) 12 ( )
4( )( 2 11 12)
4( )
( 2 11 12)
d y d y dyy y y y
dt dt dt
s Y s s y sy y s Y s sy y sY s y Y s L
s Y s s Y s sY s Y ss
Y s s s ss
Y ss s s s
Y
1 1
4( )
( 4)( 3)( 1)
4( )
( 4)( 3)( 1)
ss s s s
L Y s Ls s s s
Como vemos podemos aplicar el método de fracciones parciales
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
1
3 2 3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3
4( )
( 4)( 3)( 1)
4
( 4)( 3)( 1) ( 4) ( 3) ( 1)
4
( 4)( 3)( 1)
( 2 11 12) ( 2 3 ) ( 5 4 ) ( 12 )
( 4)( 3)( 1)
4 ( 2 11 12) ( 2 3 ) ( 5
y t Ls s s s
A B C D
s s s s s s s s
s s s s
A s s s B s s s C s s s D s s s
s s s s
A s s s B s s s C s
2 3 2
1
1
4 ) ( 12 )
0
12 32 2 5 0
7279 96
11 3 4 12 021
17568 303 18312 4 3
1491 497 71
17568 303 1833 1491 497 71( )
( 4) ( 3) ( 1)
1 17568( ) 3
s s D s s s
A B C D
DA B C D C
DA B C D B
A A B C D
y t Ls s s s
y t Ls
1 1 11 303 1 183 1
1491 ( 4) 497 ( 3) 71 ( 1)L L L
s s s
Respuesta: 4 317568 303 183( ) 3
1491 497 71t t ty t e e e
b. 2 ''( ) 2 ( ) 2t y t y t
SOLUCIÓN:
2
2 2
2 2
22
22
2 2
2
''( ) 2 ( ) 2
( ( ) (0) '(0))2 ( ) [2]
( ( )) 22 ( )
2 ( ) 2 ( ) ( )) 22 ( ) 2 ( )
4 ( ) ( ) 2
24
2(4 )
t y t y t
d s Y s sy yY s L
ds
d s Y sY s
ds s
sdY s sdY s d Y sY s s Y s
ds ds ds s
sdY s d Y ss
ds ds s
st s ts
t sts
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
Respuesta:
c. ''( ) 2 '( ) 4 ( ) 6, (0) '(0) 0y t ty t y t y y
SOLUCIÓN:
''( ) 2 '( ) 4 ( ) 6, (0) '(0) 0y t ty t y t y y
Respuesta:
d. ''( ) 8 '( ) 16 ( ) 3, (0) '(0) 0y t ty t y t y y
SOLUCIÓN:
''( ) 8 '( ) 16 ( ) 3, (0) '(0) 0y t ty t y t y y
Respuesta:
e. ''( ) 4 '( ) 4 ( ) 0, (0) 0, '(0) 10y t ty t y t y y
SOLUCIÓN:
''( ) 4 '( ) 4 ( ) 0, (0) 0, '(0) 10y t ty t y t y y
Respuesta:
f. 3 2
3 24 5 2 10cos , (0) 0, '(0) 0, ''(0) 3
d y d y dyy t y y y
dt dt dt
SOLUCIÓN:
3 2
3 24 5 2 10cos , (0) 0, '(0) 0, ''(0) 3
d y d y dyy t y y y
dt dt dt
Respuesta:
g. 2
2
2, (0) '(0) 0td y
y e sent y ydt
SOLUCIÓN:
22
2, (0) '(0) 0td y
y e sent y ydt
Respuesta:
h. 2
22 8 0, (0) 3, '(0) 6
d y dyy y y
dt dt
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
SOLUCIÓN:
2
22 8 0, (0) 3, '(0) 6
d y dyy y y
dt dt
Respuesta:
3. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales:
a. ''( ) (4 1) '( ) 2(2 1) ( ) 0,tx t t x t t x t si (0) 0x
SOLUCIÓN:
''( ) (4 1) '( ) 2(2 1) ( ) 0,tx t t x t t x t
Respuesta:
b. 2
20, (0) 1, '(0) 1
d y dyx xy y ydt dt
SOLUCIÓN:
2
20, (0) 1, '(0) 1
d y dyx xy y ydt dt
Respuesta:
c. 2''( ) '( ) ( ) 0, (0) , '(0) 0, 0tx t x t a tx t x k x a
SOLUCIÓN:
2''( ) '( ) ( ) 0, (0) , '(0) 0, 0tx t x t a tx t x k x a
Respuesta:
d. Resolver para V(t), si1
4
0
'( ) ( ) 24 , (0) 0V t V t u du t V
SOLUCIÓN:
Respuesta:
e. ''( ) 3 '( ) ( ) 0,tx t x t tx t si1
(0)2
x
SOLUCIÓN:
''( ) 3 '( ) ( ) 0,tx t x t tx t
Respuesta:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
f. 2 2 2''( ) (2 ) '( ) (2 1) ( ) 0,t y t t t y t t t y t si1
(0) 0, '(0)2
y y
SOLUCIÓN:
2 2 2''( ) (2 ) '( ) (2 1) ( ) 0,t y t t t y t t t y t
Respuesta:
g. 3 2'''( ) 6 ''( ) 12 '( ) 8 ( ) 1, (0) 1, '(0) 1, ''(0) 2ty t y t y t y t t e y y y
SOLUCIÓN:
3 2'''( ) 6 ''( ) 12 '( ) 8 ( ) 1, (0) 1, '(0) 1, ''(0) 2ty t y t y t y t t e y y y
Respuesta:
h. 2 2''( ) '( ) ( 1) ( ) 0, (1) 2t V t tV t t V t V
SOLUCIÓN:
2 2''( ) '( ) ( 1) ( ) 0, (1) 2t V t tV t t V t V
Respuesta:
4. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales:
a. ''( ) 4 ( ) 9 , (0) 0, '(0) 7y t y t t y y
SOLUCIÓN:
''( ) 4 ( ) 9 , (0) 0, '(0) 7y t y t t y y
Respuesta:
b. ''( ) 3 '( ) 2 ( ) 4 12 , (0) 6, '(0) 1ty t y t y t t e y y
SOLUCIÓN:
''( ) 3 '( ) 2 ( ) 4 12 , (0) 6, '(0) 1ty t y t y t t e y y
Respuesta:
c. 2''( ) 4 '( ) 5 ( ) 125 , (0) '(0) 0y t y t y t t y y
SOLUCIÓN:
2''( ) 4 '( ) 5 ( ) 125 , (0) '(0) 0y t y t y t t y y
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
Respuesta:
d. ''( ) ( ) 8cos , (0) 1, '(0) 1y t y t t y y
SOLUCIÓN:
''( ) ( ) 8cos , (0) 1, '(0) 1y t y t t y y
Respuesta:
e. 2''( ) 3 '( ) 2 ( ) 4 ty t y t y t e
SOLUCIÓN:
2''( ) 3 '( ) 2 ( ) 4 ty t y t y t e
Respuesta:
f. ''( ) 9 ( ) 18 , (0) 0, ( ) 02
y t y t t y y
SOLUCIÓN:
''( ) 9 ( ) 18 , (0) 0, ( ) 02
y t y t t y y
Respuesta:
g. 1,0 1
''( ) 4 ( ) ( ), (0) 0, '(0) 1, ( )0, 1
ty t y t F t y y dondeF t
t
SOLUCIÓN:
1,0 1''( ) 4 ( ) ( ), (0) 0, '(0) 1, ( )
0, 1
ty t y t F t y y dondeF t
t
Respuesta:
h. ''( ) 4 ( ) ( ), (0) 0, '() 1, ( ) ( 2)y t y t F t y y SiF t U t
SOLUCIÓN:
''( ) 4 ( ) ( ), (0) 0, '() 1, ( ) ( 2)y t y t F t y y SiF t U t
Respuesta:
i. 2'( ) 3 ( ) , (0) 0tx t x t e x
SOLUCIÓN:
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2'( ) 3 ( ) , (0) 0tx t x t e x
Respuesta:
j. '( ) ( ) cos , (0) 0x t x t t sent x
SOLUCIÓN:
'( ) ( ) cos , (0) 0x t x t t sent x
Respuesta:
k. '( ) ( ) 2 , (0) 0x t x t sent x
SOLUCIÓN:
'( ) ( ) 2 , (0) 0x t x t sent x
Respuesta:
l. 3 12 '( ) 6 ( ) , (0)
2tx t x t te x
SOLUCIÓN:
3 12 '( ) 6 ( ) , (0)
2tx t x t te x
Respuesta:
5. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales:
a. ''( ) ( ) 2 , (0) 1, '(0) 2tx t x t e x x
SOLUCIÓN:
2
2
2
22
2
''( ) ( ) 2 , (0) 1, '(0) 2
( ) (0) '(0) ( ) 2 [ ]
2( ) 2 ( )
12
( )( 1) 21
( )( 1)1
( 1)( )
( 1)( 1)
t
t
x t x t e x x
s X s sx x X s L e
s X s s X ss
X s s ss
s sX s s
ss s
X ss s
ECUACIONES DIFERENCIALES
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1 1
2
1
2
2 2
2
2 2
2
2 2 2
( 1)( )
( 1)( 1)
( 1)( )
( 1)( 1)
( 1)
( 1)( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( )( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1)
( 1) ( )( 1) ( 1)
1
s sL X s L
s s
s sx t L
s s
s s As B C
s s s s
s s As B s C s
s s s s
s s As B s C s
s s As Bs As B Cs C
A
1
2
1 1
2
1
2
0
2 2 1 0 1
1 1( )
( 1) ( 1)
1 1( )
( 1) ( 1)
C
B A
B C
C B
C C A B
x t Ls s
x t L Ls s
Respuesta: ( ) tx t sent e
b. 3 2'( ) 3 ( ) 3 3 2 1, (0) 1x t x t t t t x
SOLUCIÓN:
3 2
3 2
3 2
4 3 2
4 3 2
2 3 4
4
1 1
'( ) 3 ( ) 3 3 2 1, (0) 1
( ) (0) 3 ( ) [3 3 2 1]
( ) 1 3 ( ) [3 ] [3 ] [2 ] [1]
6 6 2 1( ) 1 3 ( )
6 6 2 1( )( 3) 1
6 6 2( )
( 3)
6 6 2( )
x t x t t t t x
sX s x X s L t t t
sX s X s L t L t L t L
sX s X ss s s s
X s ss s s s
s s s sX s
s s
s sL X s L
2 3 4
4( 3)
s s
s s
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2 3 41
4
2 3 4
4 2 3 4
2 3 4 3 2 4
4 4
2 3 4 4 3 3 2 2 4
4
6 6 2( )
( 3)
6 6 2
( 3) ( 3)
6 6 2 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)
( 3) ( 3)
6 6 2 3 3 3 3
( 3)
s s s sx t L
s s
s s s s A B C D E
s s s s s s s
s s s s As s Bs s Cs s D s Es
s s s s
s s s s As As Bs Bs Cs Cs Ds D Es
s s
4
2 3 4 4 3 3 2 2 4
1
2 3 4
1 1
( 3)
6 6 2 3 3 3 3
51
1823
1 31814
2 398
6 33
6 3 2
23 14 8 5218 9 3 18( )
( 3)
23 1 14( )
18 9
s s
s s s s As As Bs Bs Cs Cs Ds D Es
A E E
A B A
B C B
C D C
D D
x t Ls s s s s
x t L Ls
1 1 1
2 3 4
1 8 1 1 5 12
3 18 ( 3)L L L
s s s s
Respuesta: 2 3
323 14 4 5( ) 2
18 9 3 6 18tt t
x t t e
c. 21 1 1''( ) 2 '( ) ( ) , (0) 2, '(0)
7 4 56tx t x t t e x x
SOLUCIÓN:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2 2
2 2
2 2 2
2
1 1 1''( ) 2 '( ) ( ) , (0) 2, '(0)
7 4 56
1 1( ) (0) '(0) 2 ( ) 2 (0) ( )
7 4
1 1 1( ) 2 2 ( ) 4 ( )
56 7 4
223 1 1( )( 2 ) 2
56 7 2822
( )( 2 ) 2
t
t
t
t t
x t x t t e x x
s X s sx x sX s x L t e
s X s s sX s L t e
X s s s s L te L e
X s s s s
2
22
2
22
2
2 22
2
22
2
3 1 1 1 1
56 7 ( 2) 28 2
( 6) 56( 4 4 ) 223( )( 2 )
28( 2) 56
56 224 225 6 223( )( 2 )
28( 2) 56
2(56 224 225 6) 223( 2)( )( 2 )
56( 2)
112 225 442 880( )( 2 )
56( 2)
s s
s s s sX s s s
s
s s sX s s s
s
s s s sX s s s
s
s s sX s s s
s
L
2
1 1
2 2
21
2 2
2
2 2 2 3
2
2 2
1 112 225 1342 880( )
56 ( 2) ( 2 )
1 112 225 1342 880( )
56 ( 2) ( 2 )
112 225 1342 880
( 2) ( 2 ) ( 2) ( 2) ( 2)
112 225 1342 880
( 2) (
s s sX s L
s s s
s s sx t L
s s s
s s s A B C D
s s s s s s s
s s s
s s
2 3
3
2 3 2 2 2 3 2
( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
2 ) ( 2)
112 225 1342 880 4 4 2 2 6 12 8
As s Bs s Cs s D s
s s s
s s s As As As Bs Bs Cs Cs Ds Ds Ds D
Respuesta:
d. ''( ) 3 '( ) 2 ( ) ( ), (0) '(0) 0, ( ) ( 1)y t y t y t f t y y f t U t
SOLUCIÓN:
2
2
''( ) 3 '( ) 2 ( ) ( ), (0) '(0) 0, ( ) ( 1)
( ) (0) '(0) 3 ( ) 3 (0) 2 ( ) [ ( 1)]
( ) (0) '(0) 3 ( ) 3 (0) 2 ( ) [ ( 1)]
y t y t y t f t y y f t U t
s Y s sy y sY s y Y s L U t
s Y s sy y sY s y Y s L U t
Respuesta:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
e. ''( ) (1 2 ) '( ) 2 ( ) 0, (0) 1, '(0) 2ty t t y t y t y y
SOLUCIÓN:
''( ) (1 2 ) '( ) 2 ( ) 0, (0) 1, '(0) 2ty t t y t y t y y
Respuesta:
f. ''( ) ( 1) '( ) ( ) 0, (0) 5, '(0) 0ty t t y t y t y y
SOLUCIÓN:
''( ) ( 1) '( ) ( ) 0, (0) 5, '(0) 0ty t t y t y t y y
Respuesta:
6. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
g. '''( ) 6 ''( ) 12 '( ) 8 ( ) 0, (0) 4, '(0) 12, ''(0) 34y t y t y t y t y y y
SOLUCIÓN:
Respuesta:
h. ''( ) 2 '( ) 5 ( ) , (0) 0, '(0) 1ty t y t y t e sent y y
SOLUCIÓN:
Respuesta:
i. 3''( ) 3 '( ) 2 ( ) 4 , (0) 1, '(0) 1ty t y t y t t e y y
SOLUCIÓN:
Respuesta:
j. '''( ) 3 ''( ) 3 '( ) ( ) 0, (0) 1, '(0) 1, ''(0) 1y t y t y t y t y y y
SOLUCIÓN:
Respuesta:
k. ''( ) 2 '( ) 5 ( ) , (0) 0, '(0) 1ty t y t y t e sent y y
SOLUCIÓN:
Respuesta:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
l. '''( ) 3 ''( ) 4 '( ) 12 ( ) 12 , (0) 4, '(0) 2, ''(0) 18ty t y t y t y t e y y y
SOLUCIÓN:
Respuesta:
7. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
m. ( ) ( ) 2 ( ) ( ), 0b
a
P x t u x u du x t sen pt p
SOLUCIÓN:
Respuesta:
n. Si ( ) ( )L F t H s , resolver para x(t) la ecuación diferencial
''( ) 6 '( ) 7 ( ) ( )x t x t x t F t sujeto a (0) '(0) 0x x
SOLUCIÓN:
Respuesta:
o. ''( ) ( ) ( )y t y t F t , donde
30,
23 5
(0) 0, '(0) 0, ( ) cos ,2 2
50,
2
t
y y F t t t
t
SOLUCIÓN:
Respuesta:
p. 0
''( ) '( ) '( ) ( ), (0) '(0) 0t
x u x t u du x t x t x x
SOLUCIÓN:
Respuesta:
q. 0
5 cos2( ) ( ) ( '( ) ( )) 1, (0) 0tu te t u x u du e x t x t x
SOLUCIÓN:
Respuesta:
r. ''( ) 2 '( ) 2 ( ) , (0) 0, '(0) 1ty t y t y t e y y
ECUACIONES DIFERENCIALES
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SOLUCIÓN:
Respuesta:
s. 2'''( ) 3 ''( ) 3 '( ) ( ) , (0) 1, '(0) 0, ''(0) 2ty t y t y t y t t e y y y
SOLUCIÓN:
Respuesta:
t. '''( ) ''( ) 4 '( ) 4 ( ) 2, (0) 0, '(0) 1, ''(0) 1y t y t y t y t y y y
SOLUCIÓN:
Respuesta:
8. Resolver la ecuación diferencial de segundo orden por Transformada de
Laplace. ''( ) '( ) ( ) 0y t y t y t , donde =6, = 9,y(0)=0, y'(0)=0 .
SOLUCIÓN:
2
2
1
''( ) '( ) ( ) 0 =6, = 9,y(0)=0, y'(0)=0
''( ) 6 '( ) 9 ( ) 0
( ) (0) (0) 6 ( ) 6 (0) 9 ( ) 0
( )( 6 9) 0
( ) 0
[ ( )] 0
y t y t y t
y t y t y t
s Y s sy y sY s y Y s
Y s s s
Y s
L Y s
Respuesta: ( ) 0y t
9. Resolver la ecuación diferencial de segundo orden por Transformada de
Laplace. ''( ) '( ) ( ) ( )y t y t y t Q t , donde
2=-1, = -2, (0) 0, '(0) 0,Q(t)= t ty y e e
SOLUCIÓN:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2
2 2
2 2
2
2
''( ) '( ) ( ) ( )
=-1, = -2, (0) 0, '(0) 0,Q(t)=
''( ) '( ) 2 ( )
( ) (0) (0) ( ) (0) 2 ( ) [ ]
( )( 2) [ ] [ ]
1 1( )( 2)
1 22
( )( 2)
t t
t t
t t
t t
y t y t y t Q t
y y e e
y t y t y t e e
s Y s sy y sY s y Y s L e e
Y s s s L e L e
Y s s ss ss
Y s s s
1 1
1
1
( 1)( 2)
2 1( )
( 1)( 2)( 2)( 1)
2 1[ ( )]
( 1)( 2)( 2)( 1)
2 1( )
( 1)( 2)( 2)( 1)
2 1
( 1)( 2)( 2)( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 1)
2 1
( 1)( 2)( 2)( 1)
s
s s
sY s
s s s s
sL Y s L
s s s s
sy t L
s s s s
s A B C D
s s s s s s s s
s
s s s s
3 2 3 2 3 2 3 2
3 2
( 2)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 2)
( 1)( 2)( 2)( 1)
2 1 ( 4 4) ( 2 2) ( 2 2) ( 4 4)
( 1)( 2)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 2)( 1)
2 1 (
A s s s B s s s C s s s D s s s
s s s s
s A s s s B s s s C s s s D s s s
s s s s s s s s
s A s s
3 2 3 2 3 24 4) ( 2 2) ( 2 2) ( 4 4)
0
2 2 0
2 3 0
4 4 2
4 2 2 4 1
8 3 3
16 3
21
24 0
1 13
2 61 1
6 2
s B s s s C s s s D s s s
A B C D
A B C D
A B C
A B C D
A B C D
A B C
A A
B C D
B C D
D D
B C
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
1
1 1 1 1
1 1 1
1
32
31 1
2 12 6
( )( 1) ( 2) ( 2) ( 1)
( )( 1) ( 2) ( 2) ( 1)
1 1 1 1 1 1( )
2 ( 1) 6 ( 2) 2 ( 2)
B C
B C
C C B
A B C Dy t L
s s s s
A B C Dy t L L L L
s s s s
y t L L Ls s s
11 1
6 ( 1)L
s
Respuesta: 2 21 1 1 1( )
2 6 2 6t t t ty t e e e e
10. Resolver la ecuación diferencial de segundo orden por Transformada de
Laplace. ( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )F t y t R t y t S t y t Q t , donde
2 2 2(0) 0, '(0) 0, ( ) 4 , ( ) ( 1) , ( ) 0y y F t t S t t Q t .
SOLUCIÓN:
2 2 2
2 2 2
2 4 2
2 4 2
2 2
( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )
(0) 0, '(0) 0, ( ) 4 , ( ) ( 1) , ( ) 0
4 ''( ) ( ) '( ) ( 1) ( ) 0
4 ''( ) ( ) '( ) ( 2 1) ( ) 0
4 ''( ) ( ) '( ) ( 2 1) ( ) 0
( ( ) (0)4
F t y t R t y t S t y t Q t
y y F t t S t t Q t
t y t R t y t t y t
t y t R t y t t t y t
t y t R t y t t t y t
d s Y s sy y
'(0))
ds
Respuesta:
11. Resolver la siguiente ecuación diferencial mediante Transformada de
Laplace. ''( ) 3 '( ) 2 ( ) ( )y t y t y t f t donde
0,0 1( ) , (0) '(0) 0
1, 1
tf t y y
t
SOLUCIÓN:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2
2
2
1 1
''( ) 3 '( ) 2 ( ) ( )
( ) 0,0 1, (0) '(0) 0
( ) 3 ( ) 2 ( ) 0
( ) 0
( ) 1, 1, (0) '(0) 0
( ) 3 ( ) 2 ( ) 1
( )( 3 2) 1
1 1( ) ( )
( 3 2) ( 2)( 1)
1[ ( )]
( 2)( 1)
(
y t y t y t f t
f t t y y
s Y s sY s Y s
y t
f t t y y
s Y s sY s Y s
Y s s s
Y s Y ss s s s
L Y s Ls s
y t
1
1
1 1
2
1)
( 2)( 1)
1
( 2)( 1) ( 2) ( 1)
1 2
( 2)( 1) ( 2)( 1)
1 2
0
2 1 1 1
1 1( )
( 2) ( 1)
1 1( )
( 2) ( 1)
( ) t t
Ls s
A B
s s s s
As A Bs B
s s s s
As A Bs B
A B A B
B B B A
y t Ls s
y t L Ls s
y t e e
Respuesta:
12. Resolver la ecuación diferencial dado por: ''( ) 2 '( ) ( ) 0, (0 ) 1, ( ) 0ty t y t ty t y y
SOLUCIÓN:
2
2
''( ) 2 '( ) ( ) 0, (0 ) 1, ( ) 0
( ( ) (0) '(0)) ( ( ))2 ( ) 2 (0) 0
( ( )) ( ( ))2 ( ) 1 2 ( ) 2 0
ty t y t ty t y y
d s Y s sy y d Y ssY s y
ds dsd Y s d Y s
sY s s sY sds ds
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
2
( ( )) ( ( ))1 0
( ( ))( 1) 1
( ( )) 1
( 1)( 1)
( ( ))( 1)( 1)
1
( 1)( 1) ( 1) ( 1)
1
( 1)( 1) ( 1)( 1)
1
0
1
1 12 1
2 21 1
( ) ( 1)2 2
d Y s d Y ss
ds dsd Y s
sds
d Y s
ds s s
dsd Y s
s s
A B
s s s s
As A Bs B
s s s s
As A Bs B
A B
A B
A A B
Y s Ln s L
1 1
( 1)
1 1( ) ( )
2 1
1 1[ ( )] ( )
2 1
1( )
2
t t
n s
sY s Ln
s
sL Y s L Ln
s
e ey t
t
Respuesta: ( )senht
y tt
13. Resolver la ecuación diferencial ''( ) 4 '( ) 5 ( ) ( ), (0) 1, '(0) 1ty t y t y t V t y y
donde
2 cos ,0 2( )
0, 2
te t tV t
t
SOLUCIÓN:
ECUACIONES DIFERENCIALES
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2
22
2
2
2
2
2
''( ) 4 '( ) 5 ( ) ( ), (0) 1, '(0) 1
( ) cos ,0 2
( ( ) 1)4 ( ) 4 5 ( ) [ cos ]
( ( ))2 ( ) 1 4 ( ) 4 5 ( )
( 2) 1
( ( ))( )( 6 5) 5
( 2) 1
( ( ))( )
t
t
ty t y t y t V t y y
V t e t t
d s Y s ssY s Y s L e t
dsd Y s s
sY s s sY s Y sds s
d Y s ss Y s s
ds s
d Y ss Y s
ds
2
2
22
2
2
5 20 25( 6 5)
( 2) 1
( ( )) 5 21 25( )( 6 5)
( 4 5)
( ) 0, 2
( ( ) (0) '(0))4 ( ) 4 (0) 5 (0) 0
s s ss
s
d Y s s ss Y s s
ds s s
V t t
d s Y s sy ysY s y Y
ds
Respuesta:
14. Utilizando Transformada de Laplace resolver la ecuación diferencial
0
' 2 ( ) ( ),t
y y y t f t donde
, 1
( ) (2 ),1 2
0, 2
t t
f t t t
t
sujeto a la condición inicial
y (0) = 1.
SOLUCIÓN:
0
' 2 ( ) ( )
, 1
( ) (2 ),1 2
0, 2
( ) (2 ) ( 1) (0 2 ) ( 2)
( ) 2(1 ) ( 1) ( 2) ( 2)
( ) 2(1 ) ( 1) ( 2) ( 2)
( ) 2 ( 1) 2 ( 1) ( 2) 2 ( 2)
( ) [ ] 2 [ (
t
y y y t f t
t t
f t t t
t
f t t t t t t t
f t t t t t t
f t t t t t t
f t t t t t t t t
F s L t L t
2
2 2 2
2 2 2
1)] 2 ( ) ( ) 2 [ ( 2)]
1 2( ) 2 2 2
s s
s s s s s s
d e d eL t
ds s ds s
e se e se e eF s
s s s s s
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2 2
2 2 2 2
0
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
1 1 2( ) 2
' 2 ( ) ( )
1 1 2( ) 1 2 ( ) ( )
1 1 2( )( 2 ) 1
(1 )( )
( 1)
(1 )( )
( 1) ( 1)
1 2( )
( 1) ( 1)
(
s s s s
t
s s
s s
s
s
s s
e e e eF s
s s s s
y y y t f t
e esY s Y s Y s
s s
e eY s s
s s
e sY s
s s
e sY s
s s s
e e sY s
s s s
Y
2
2 2 2 2
21 1 1 1 1
2 2 2 2
21 1 1
2 2 2
1 2)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( ) 1 2( 1) ( 1) ( 1)
s s
s s
s st t
e e ss
s s s s s s s
e e sL Y s L L L L
s s s s s s s
e e sy t e te L L L
s s s s s
1
2
1
2
( 1)
11
( 1)
s
t t
eL
s s
L e tes s
1 ( 1) ( 1)
2
21
2
1
2
21 ( 2) ( 2)
2
1
2
( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)( 1)
( 1)
11
( 1)
( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2)( 1)
( 1)
st t
s
t t
st t
t
eL Y t t e t e t
s s
eL
s s
L e tes s
eL Y t t e t e t
s s
sL e
s
1 1
2 2
( 1) ( 1) ( 2) ( 2)
1 1 1(1 )
( ) 1 2[1 ( 1) ( 1)] 1 ( 2) ( 2) (1 )
t t
t t t t t t t
sL e L e t
s s s
y t e te e t e t e t e t e t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
Respuesta: ( 1) ( 1) ( 2) ( 2)( ) 2 2 ( 1) ( 1)] ( 2) ( 2)t t t t ty t te e t e t e t e t
15. Resolver la ecuación 0
( ) 4 2 ( ) ( )t
y t sent y u sen t u du
SOLUCIÓN:
0
2
2 2
2 2
3
2 2
21 1
2 2
2
2 2
( ) 4 2 ( ) ( )
1 1( ) 4 2 [ ] ( )
11 1 1
( ) 4 2 ( )1 1
4 2( ) ( )
1 ( 1)
2 4( )
( 1) 1
4 ( 1)( )
( 1)( 1)( 2)
4 ( 1)
( 1)( 1)(
t
y t sent y u sen t u du
Y s L sent Y ss s
Y s Y ss s s
Y s Y ss s s
s sY s
s s s
s sL Y s L
s s s s
s s
s s s s
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 4 3 2 4 3 2 4 3
2 3
2) ( 1) ( 1) ( 2)
4 ( 1) ( )( 1)( 2) ( 1)( 2) ( )( 1)( 1)
( 1)( 1)( 2) ( 1)( 1)( 2)
4 4 2 2 3 2
As B C Ds E
s s s s
s s As B s s s C s s s Ds E s s
s s s s s s s s
s s As Bs As As Bs B Cs Cs Cs Cs C Ds Ds
Ds Ds Es
2
0
4
4 2
0 3
4 2
0
4
4 4
0 2 2
4 2
4 4
0 2 2
Es Es E
A C D C D
B C D E
B D E
A C D E
A B C D E
A
B C D E
B C
B C E
B C E
B C
C E E C
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
1
2
1 1
2
1 1
2 2
0 2 2 0 1 1 2
1 2( )
( 1) ( 2)
1 51 2 2( )
1 7( 1) ( )2 4
1 1
2 2( ) 51 7 1 7
( ) ( )2 4 2 4
t
B C E B C D E
sy t L
s s s
sy t L L
s s
sy t e L L
s s
Respuesta: 1
2 27 5 7
( ) cos( ) ( )2 7 2
tty t e e e sen
16. Resolver el problema siguiente de valor inicial
0
'( ) 2 ( ) ( ) ( ), (0) 1t
y t y t y u du f t y donde f es dado
por el gráfico.
SOLUCIÓN:
0
'( ) 2 ( ) ( ) ( ), (0) 1t
y t y t y u du f t y
Viendo la figura hacemos un análisis:
Si 0,1 1 1 ( )t m f t t
Si 1,2 1 1 ( ) 2t m f t t
De donde , 0,1
( )2 , 1,2
t tf t
t t
, 0,1( )
2 , 1,2
( ) (2 ) ( 2)
( ) (2 2 ) ( 1)
( ) 2 ( 1) 2 ( 1)
( ) 2 ( 1) 2 ( 1)
t tf t
t t
f t t t t t
f t t t t
f t t t t t
f t t t t t
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2 2
2
2
2
2
21 1
2
1 1
2 2
1( ) 2 2 ( )
1( ) 2
1 2( )
( )( ) (0) 2 ( ) ( )
( ) 1 2( ) 1 2 ( )
1 2( )
( 1)
1 2( )
( 1)
1( ) 2
( 1) ( 1)
s s
s
s
s
s
s
s
e d eF s
s s ds s
eF s
s s
eF s
sY s
sY s y Y s F ss
Y s esY s Y s
s s
e sY s
s s
e sL Y s L
s s
ey t L L
s s s s
1
2
1
2
1 ( 1) ( 1)
2
1
2
( 1)
11
( 1)
( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)( 1)
(1 )( 1)
t t
st t
t
sL
s
L e tes s
eL y t t e t e t
s s
sL e t
s
Respuesta: ( 1) ( 1)( ) 1 2 ( 1) ( 1) 2t t ty t e t e t te
17. Resolver el siguiente problema de valor inicial
''( ) 4 ( ) ( 2 ). ( 2 ), (0) '(0) 0y t y t sent U t sen t y y
SOLUCIÓN:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2
2
22
2 2
2
2 2
21 1
( ) (0) '(0) 4 ( ) ( 2 ). ( 2 ), (0) '(0) 0
( ) 4 ( ) ( 2 ). ( 2 )
( )( 4) [ ] [ ( 2 ). ( 2 )]
1( )( 4)
1 1
1( )
( 1)( 4)
1( )
s
s
s
s Y s sy y Y s sent U t sen t y y
s Y s Y s L sent U t sen t
Y s s L sent L U t sen t
eY s s
s s
eY s
s s
eL Y s L
2 2
21 1
2 2 2 2
1
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
( 1)( 4)
1( )
( 1)( 4) ( 1)( 4)
1
( 1)( 4)
1
( 1)( 4) ( 1) ( 4)
1 ( )( 4) ( )( 1)
( 1)( 4) ( 1)( 4)
1 ( )( 4) ( )
s
s s
ey t L L
s s s s
Ls s
As B Cs D
s s s s
As B s Cs D s
s s s s
As B s Cs D
2
1 1
2 2 2 2
21
2 2
( 1)
0
0
0 4 0 0
1 11 4
3 3
1 1 1 1 2 1 12
( 1)( 4) 3 ( 1) 2 ( 4) 3 6
1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (2( 2 ))
( 1)( 4) 3 6
s
s
A C A C
B D D B
A C A C
B D B D
L L sent sen ts s s s
eL F t t sen t t sen t
s s
( 2 )
1 1 1 1( ) ( ) 2 ( 2 ) ( 2 ) (2( 2 )) ( 2 )
3 6 3 6
t
y t y t sent sen t sen t t sen t t
Respuesta: 1 1
( ) (2 2 ) (2 2 ) ( 2 )6 6
y t sent sen t sent sen t t
18. Resolver la ecuación diferencial 2''( ) 2 '( ) 5 ( ) (4cos3 18 3 )tx t x t x t e t sen t , (0) 2, '(0) 1x x
SOLUCIÓN:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
2
2 2
2 2 2
2
''( ) 2 '( ) 5 ( ) (4 cos 3 18 3 ), (0) 2, '(0) 1
( ) (0) '(0) 2 ( ) 2 (0) 5 ( ) (4 cos 3 18 3 )
( )( 2 5) 2 1 4 4 (cos 3 ) 18 ( 3 )
( )( 2 5) 1 2 4
t
t
t t
x t x t x t e t sen t x x
s X s sx x sX s sx X s L e t sen t
X s s s s s L e t L e sen t
sX s s s s
2 2
2
2
22
2
3 22
2
3 2
2 2
1 1
2 318
( 2) 9 ( 2) 9
4( 2) 54( )( 2 5) 2 1
( 2) 9
4( 2) 54 (2 1)( 4 13)( )( 2 5)
( 2) 9
4 8 54 2 9 30 13( )( 2 5)
( 2) 9
2 9 26 49( )
(( 2) 9)( 2 5)
( )
s s
sX s s s s
s
s s s sX s s s
s
s s s sX s s s
s
s s sX s
s s s
L X s L
3 2
2 2
3 2
2 2 2 2
3 2 2 2
2 2 2 2
3 2
2 9 26 49
(( 2) 9)( 2 5)
2 9 26 49
(( 2) 9)( 2 5) (( 2) 9) ( 2 5)
2 9 26 49 ( )( 2 5) ( )( 2 5)
(( 2) 9)( 2 5) ( 4 13)( 2 5)
2 9 26
s s s
s s s
s s s As B Cs D
s s s s s s
s s s As B s s Cs D s s
s s s s s s s
s s s 2 249 ( )( 2 5) ( )( 2 5)As B s s Cs D s s