Ecuaciones diferenciales de primer orden, separación de variables

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona la variable independiente con la variable dependiente y sus derivadas. Por ejemplo:

xy+ d2 ydx2

+ dydx

=0(Ec .de 2do .orden)

El orden de la ecuación diferencial es el orden de la máxima derivada. El orden de las ecuaciones nos indica el número de constantes y constantes arbitrarias en la solución. Por ejemplo, para la ecuación anterior:

y=C1 y1+C2 y2

Ecuaciones diferenciales de Primer Orden, Separación de Variables.

Dada una ecuación diferencial:

M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0

Si la ecuación diferencial se puede colocar de la forma:

M (x )dx+N ( y )dy=0

Es de variables separables, y la solución está dada por la integral directa.

A continuación se muestran una serie de ejemplos. Antes de comenzar a analizarlos se debe considerar que una constante (marcada con azul) al momento de ser multiplicada por un número cualquiera, su valor cambia, y por tanto se convierte en una nueva constante. La constante indica que la ecuación pertenece a una familia de curvas, cuyo valor debe ser determinado dada las condiciones de la misma ecuación, por lo pronto no se determinaran los valores de dichas constantes. Otra cosa que debe tomarse en cuenta es que, la expresión final de una ecuación diferencial, puede representarse en varias formas, y por tanto, la expresión final será aquella que sea más conveniente trabajar para nosotros (Véase ejemplo 1).

I.Q. Juan Antonio García Avalos


1.- (4+x ) y '= y3

Solución:

(4+x ) dydx

= y3→ (4+x )dy= y3dx→dx4+x

− y−3dy=0

∫ dx4+x

−∫ y−3dy=0→ ln(4+x )+ 1

2 y2=Cmultiplicando por 2 y2

∴2 y2 ln (4+ x )+1=C

Otra posible solución:

ln (4+x )=C− 12 y2

→4+x=eC e−12 y2=C1 e

−12 y2

∴ e12 y2 (4+x )=C1

2.- exp ( y¿¿2)dx+x2 ydy=0¿Solución:

x−2dx+ y e− y2dy=0→∫ x−2dx+∫ e− y2 ydy=∫ x−2dx−12∫ e− y2 (−2 y )dy=0

−1x

−12e− y2=Cmultiplicando por−2 x→2+x e− y2=−2C x

∴ x e− y2+2=C1 x

3.- cosxcosydx+senxsenydy=0

Solución:

cosxsenx

dx+ senycosy

dy=ctgxdx+ tgydy=0

∫ ctgxdx+∫ tgydy=0→lnsenx−lncosy= ln senxcosy

=C→senxcosy

=¿eC¿

∴ senx=C1 cosx

4.- 3 ydx=2 xdy

Solución:



3 ydx−2 xdy=0→ dx2 x

− dy3 y

=0→ 12∫

dxx

−13∫

dyy

=0

12lnx−1

3lny=ln x1 /2+ln y−1 /3=C→

x1 /2

y1 /3=eC=C1

Elevando a la sexta potencia ambos términos:

x3

y2=C1

6=C2

∴ x3=C2 y2

5.- mydx=nxdy

Solución:

mydx−nxdy=0→dxnx

− dymy

=0→ 1n∫

dxx

− 1m∫ dy

y=0→ 1

nlnx− 1

mlny=C

ln x1/n+ln y−1 /m=C→x1/n

y1 /m=eC=C1

Elevando a la mn potencia ambos términos:

xm

yn=C1

mn=C2

∴ xm=C2 yn

6.- y '=x y2

dydx

−x y2=0→ dyy2

−xdx=0→∫ y−2dy−∫ xdx=0→− y−1− x2

2=C

Multiplicando por −2 y

x2 y+2=C1 y→ x2 y−C1 y+2=0

∴ y (x2+C2)+2=0

7.- dVdP

=−VP

dVdP

+VP

=0→ dVV

+ dPP

=0→∫ dVV

+∫ dPP

=0→ lnV + lnP=C→PV=eC1



∴PV=C2

8.- ex ( y−1 )dx+2 (ex+4 )dy=0

ex

2(ex+4 )dx+ 1

y−1dy=0→ 1

2∫ e x

(e x+4)dx+∫ 1

y−1dy=0

12ln(e¿¿ x+4)+ ln ( y−1)=C→ ln ¿¿¿

(e¿¿ x+4)12 ( y−1 )=eC=C1 ¿

Elevando al cuadrado ambos términos:

∴(e¿¿ x+4) ( y−1 )2=C12¿

9.- dr=e (rsenθdθ−cosθdr )

dr−ersenθdθ+ecosθdr=0→ (1+ecosθ )dr−ersenθdθ=0

∫ drr

+∫ −esenθ(1+ecosθ )

dθ=0→ lnr+ ln (1+ecosθ )=C→r (ecosθ+1 )=eC

∴r (ecosθ+1 )=C1

10.- ( xy−x )dx+( xy+ y )dy=0

x ( y−1 )dx+ y ( x+1 )dy=0→ xx+1

dx+ yy−1

dy=0

∫(1− 1x+1 )dx+∫(1+ 1

y−1 )dy=0x−ln ( x+1 )+ y+ ln ( y−1 )=C

ln( y−1)(x+1)

+ y+x=C→ ln( y−1)(x+1)

=C [−( y+x) ]→ y−1x+1

=C1 e−( y+ x)

∴ ( y−1 ) exp ( y+x )=C1(x+1)


x + 1 x - x - 11 - x + 1

1 1 y - 1 y 1 + y - 1 1 1 - y + 11x + 1


11.-( y+1 )dx=2 xydy

dx2x

− yy+1

dy=0→ 12∫ dx

x−∫(1− 1

y+1 )dy=0ln x1/2− y+ ln ( y+1 )=C→(x1/2)( y+1)=C1 e

y

Elevando a la segunda potencia ambos términos:

x ( y+1)2=C12 e2 y→e2 y= 1

C12x ( y+1)2

∴ e2 y=C2 x ( y+1)2

12.- x2dx+ y ( x−1 )dy=0

x2

x−1dx+ ydy=0

∫(x+1+ 1x−1 )dx+∫ ydy=0→ x2

2+x+ln ( x−1 )+ y2

2=C

Multiplicando ambos términos por 2:

∴ x2+2 x+ y2+ ln (x−1)2=C1

13.- ( xy+x )dx=(x2 y2+x2+ y2+1 )dy

x ( y+1 )dx− (x2 y2+x2+ y2+1 )dy=0

x ( y+1 )dx− (x2 y2+x2 )dy−( y2+1 )dy=0

x ( y+1 )dx− x2 ( y2+1 )dy−( y2+1 )dy=0

x ( y+1 )dx− ( y2+1 ) ( x2+1 )dy=0

xx2+1

dx− y2+1y+1

dy=0


x2 - x2+ x x - 1 x +1 1 x + 1 +x - 1 - x + 1

y +1 y2 +1 y - 1

-y2 +1 - y y – 1 + y + 1 2


12∫ 2x

x2+1dx−∫( y−1+ 2

y+1 )dy=012ln (x2+1 )− y2

2+ y−2 ln ( y+1 )=C

Multiplicando ambos lados de la ecuación por 2:

∴ ln ( x2+1 )= y2−2 y+4 ln ( y+1 )+C1

14.- x cos2 ydx+ tanydy=0

xdx+ tany

cos2 ydy=0→xdx+tany sec2 ydy=0

∫ xdx+∫ tany sec2 ydy=0→ x2

2+ tan

2 y2

=C


∴ x2+ tan2 y=C1

15.- x2 y y '=e y

x2 ydydx

=e y→x2 ydy=e ydx→x2 ydy−e y dx=0→ y e− ydy−dx

x2=0

Integral por partes: du=dy ;v=−e− y

− y e− y−e− y+ 1x=C→−e− y ( y+1 )=C−1

x→ ( y+1 )=(C−1

x ) (−ey )

Multiplicando ambos lados de la ecuación por x:

x ( y+1 )=(C x−1 ) (−e y )

∴ x ( y+1 )=(1+C1 x )e y

16.- tan2 ydy=sen3 xdx

tan2 ydy−sen3 xdx=0→ ( sec2 y−1 )dy−sen2 xsenxdx=0


+1 + y +2

u dv


( sec2 y−1 )dy−(1−cos2 x ) senxdx=0→ ( sec2 y−1 )dy+(cos2 x−1 ) senxdx=0

∫ ( sec2 y−1 )dy+∫cos2 x senxdx−∫ senxdx=0

tany− y− cos3 x3

+cosx=C

Multiplicando ambos lados de la ecuación por -3:

∴cos3 x−3cosx=3 (tany− y+C1)

17.- y '=cos2 xcosy

dydx

−cos2 xcosy=0→ dycosy

−cos2 x dx=secydy−( 12+ 12 cos2x )dx=0

∫ secydy−∫( 12+ 12 cos2x )dx=0ln ( secy+tany )−1

2x−14sen2 x=C


4 ln (secy+tany )−2x−sen2 x=C1

∴4 ln ( secy+tany )=2x+sen2 x+C1

18.- y '= ysecx

dydx

− ysecx=0→dyy

−secxdx=0→∫ dyy

−∫ secxdx=0

lny−ln (secx+ tgx )=C→y

secx+ tgx=eC

∴ y=C1(secx+tgx)

19.- dx=t (1+t 2) sec2 xdt

dx

sec2 x− t (1+t 2)dt=0→cos2 xdx−(1+ t2 ) tdt=0

∫( 12+ 12 cos2 x)dx−12∫ (1+ t2 )2 tdt=0


a xt

a xt


12x+ 14sen2 x−1

4(1+t 2 )2=C


∴2 x+sen 2x=C1+ (1+t2 )2

20.- αdβ+ βdα+αβ (3dα+dβ )=0

αdβ+ βdα+αβ 3dα+αβdβ=0→β (1+3 α )dα+α (1+β )dβ=0

∫ (1+3 α)α

dα+∫ (1+ β)β

dβ=0→lnα+3α+lnβ+β=C

αβ=eC e−3α−β→1

eCαβ=exp (−3α−β)

∴C1αβ=exp (−3α−β )

21.- (1+lnx )dx+(1+lny )dy=0

∫ (1+lnx )dx+∫ (1+lny )dy=0→x+xlnx−x+ y+ ylny− y=C

∴ xlnx+ ylny=C

22.- xdx−√a2−x2dy=0

∫ x

√a2−x2dx−∫ dy=0

x=asent ;dx=acostdt

∫ x

√a2−x2dx=¿∫ asent

√a2−a2 sen2tacostdt=¿∫ asent

√a2−a2+a2 cos2 tacostdt=∫ asentacost

acostdt=−acost ¿¿

cost=√a2−x2

a→−√a2−x2− y=C

Multiplicando ambos lados de la ecuación por -1

√a2−x2+ y=C1

∴ y−C1=−√a2−x2

23.- xdx+√a2−x2dy=0


t x


∫ x

√a2−x2dx+∫ dy=0

Del problema anterior se tiene que:

∫ x

√a2−x2dx=¿−acost ; cost=√a2−x2

a→−√a2−x2+ y=C ¿

∴ y−C=√a2−x2

24.- a2dx=x √ x2−a2dy

∫ a2

x √x2−a2dx−∫dy=0

x=ase c t ;dx=asec t tant dt

∫ a2

x √x2−a2dx=∫ a2asect tant

a sect a tantdt=∫ adt=at

√(asect)2−a2=√a2+a2 tan2 t−a2=a tant

t=sec−1 xa;a sec−1 x

a− y=C→ sec−1 x

a= c+ y

a→

xa=sec

c+ ya

∴ x=asecc+ ya

25.- ylnxlnydx+dy=0

∫ lnxdx+∫ dyylny

=0

∴ xlnx−x+ln (lny )=C



ANEXOS


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