ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:

O usando otra notación frecuente:

Para que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparezcan productos de la función incógnita consigo misma ni de ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación

para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN

Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

Donde y son funciones continuas en un intervalo abierto . La solución de esta ecuación viene dada por:

Ecuaciones lineales de orden n

Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer orden podemos definir una ecuación diferencial de orden n como:

Donde la derivada mayor que aparece es de orden n-ésimo.

1

RESOLUCIÓN CASO GENERAL

Esta ecuación se dice que es lineal si la función incógnita o sus derivadas no están multiplicadas por si mismas o si tampoco aparecen en forma de funciones compuestas

(por ejemplo, ). Una ecuación diferencial lineal de orden superior puede atacarse convirtiéndola en un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Para hacer esto se definen las n funciones incógnita adicionales dadas por:

Puesto que:

El sistema de ecuaciones diferenciales puede escribirse en forma de ecuación matricial como:

Resolución con coeficientes constantes

La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales se simplifica mucho si las ecuaciones son de coeficientes constantes. En el caso de una ecuación de primer orden la búsqueda de un factor integrante nos lleva en la mayoría de los casos a una ecuación en derivadas parciales. Si la ecuación es de orden superior, a no ser que sea una ecuación de Euler o similar, tendremos que proponer una solución que no viene dada, en general, por funciones elementales. En estos casos los métodos preferidos (sin contar el cálculo numérico) son los que emplean series de potencias o series de Fourier. En el caso de los sistemas, si la matriz del sistema es de coeficientes constantes podemos resolver el sistema usando el método de los valores propios ya que en ese caso la matriz resultante de la reducción de la ecuación a un sistema de primer orden es constante y puede encontrarse fácilmente su solución calculando la exponencia de la matriz del sistema.

Para estudiar otros métodos de encontrar la solución a parte de la exponenciación de matrices consideraremos una ecuación del tipo:

2

Donde son coeficientes constantes conocidos. Observemos que la derivada n-ésima va acompañada por el coeficiente unidad. Definimos el polinomio característico de la ecuación como

que es una ecuación algebraica de orden n. Se demuestra que si hallamos las n raíces del polinomio característico la solución de la ecuación homogénea:

Al calcular las raíces del polinomio característico pueden darse los siguientes casos:

Raíces reales distintas: En este caso la solución viene dada directamente por

, donde , siendo constantes de integración.

Raíces reales repetidas: Ilustraremos este caso con un ejemplo; sea una

ecuación de segundo orden con coeficientes constantes cuyo polinomio

carácterístico tiene la raíz doble. En este caso no podemos expresar la

solución como , ya que si lo hacemos de este modo tenemos

una información redundante.

En este caso particular la solución de la ecuación es

.

En general, en una ecuación de orden n, si una raíz aparece repetida q veces la solución parcial asociada a ella es:

Raíces complejas: Si las raíces son del tipo debemos expresar la solución como combinación lineal de senos, cosenos y exponenciales en la forma

.

Si las raíces complejas conjugadas están repetidas q veces, la ecuación es del tipo

3

.

Una vez resuelto el problema homogéneo podemos atacar el problema completo. Para tener la solución del problema completo debemos sumar una solución particular a la solución homogénea ya obtenida:

.

Para hallar empleamos el método de la conjetura razonable, consistente en

analizar el término inhomogéneo de la ecuación y proponer funciones del mismo tipo

como solución. Nótese que no es necesario que sea un coeficiente constante.

Ejemplos

Tenemos Proponemos (polinomio de primer

orden). Las constantes y quedan determinadas tras aplicar los

requerimientos de la ecuación a la solución particular (derivar n veces,

multiplicar por coeficientes constantes, etc.).

Tenemos . Proponemos

Ecuaciones lineales de primer orden

La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

(4a)

Y la solución de la misma viene dada por:

(4b)

En el caso particular y , la solución es:

(4c)

4

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

Las ecuación diferencial de Bernoulli es Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Godofredo Leibnitz en 1693 y por Juan Bernoulli en 1697, en una una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y1-n = v 1 , que se caracteriza por adoptar la forma:

donde y son funciones continuas en un intervalo abierto y α es un número real cualquiera

MÉTODO DE RESOLUCIÓN

CASO GENERAL: Si se descuentan los casos particulares en que α = 0 y α = 1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:

(1)

Definiendo:

o ,equivalentemente, Z = y1-α , lleva inmediatamente a las igualdades:

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

(2)

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

5

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:

(3)

Con . Donde el factor integrante se define en, por ejemplo, 0 < x < ∞

Caso particular: α = 0

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

(4)

Caso particular: α = 1

Tenemos una ecuación diferencial lineal (Ecuación de variables separables). En este caso la solución viene dada por:

(5)

Ejemplo: Para resolver la ecuación: (*)

Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:

(**)

Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

6

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

Y se resuelve ahora la ecuación:

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CLAIRAUT

La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor a su inventor, el matemático1

francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

Para resolver la ecuación, diferenciamos respecto a x,2 quedando:

por tanto

y así:

7

ó

En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, tenemos la familia de ecuaciones dadas por

llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.

El otro caso,

define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.

Ejemplo: Resolver:

Hacemos

por tanto

obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es

de la cual podemos obtener y integrando dos veces, así

8

siendo D y E otras dos constantes cualquiera.

Solución:

ECUACIÓN DE RICCATI

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica. En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuación de Ricacti. La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibnitz, Golbach, Juan, Nicolás y Daniel Bernolli, y posteriormente, a Euler 1 .

Jacobo Francesco Ricatti , matemático y filósofo, nació en Italia en 1676 conocido como conde y muere en 1754. Fue el principal responsable de la introducción de las ideas de Newton en Italia. En cierto momento, le ofrecieron la presidencia de la Academia de Ciencias de San Petersburgo; pero prefirió las comodidades y los lujos de su vida aristocrática de Italia a las responsabilidades administrativas en Rusia.

Aunque fue muy conocido en los círculos científicos de su tiempo, en la actualidad sólo sobrevive por medio de la ecuación diferencial que lleva su nombre. Incluso esto fue un accidente de la historia, ya que Ricatti se limitó a estudiar casos especiales de esta ecuación, sin ofrecer soluciones y la mayoría de estos casos especiales los trataron con éxito alguno de los miembros de la familia Bernoulli.

La ecuación de Ricatti es una ecuación no lineal, de la forma

Muchos casos dependiendo de lo que sea P(x), Q(x) y R(x), esta fórmula fue creado con el objetivo de facilitar el desarrollo de las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Consideremos la ecuación diferencial de la forma:

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular,

Digamos: .

9

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

y reemplazando, se obtiene:

es decir:

lo que equivale a:

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace la sustitución propuesta por Euler en los años 60 del siglo XVIII:

nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

Ecuaciones lineal, Riccati y Bernoulli

Propuesto en examen de Ampliación de Matemáticas, ETS de Ingenieros de Montes de

la UPM.

Enunciado

10

(a) Resolución de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Justificación.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial

con la condición inicial Escribir la solución en forma explícita, y determinar

su intervalo de continuidad.

(b) Resolución de las ecuaciones diferenciales lineales de Bernoulli. Justificación.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial

con la condición inicial Escribir la solución en forma explícita, y

determinar su intervalo de continuidad.

(c) Resolución de las ecuaciones diferenciales lineales de Riccati. Justificación. Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

con la condición inicial Escribir la solución en forma explícita, y determinar

su intervalo de continuidad. (Indicación: La ecuación tiene una solución particular

constante).

Resolución

No resolvemos la parte que corresponde a la más estricta teoría.

11

(a) La ecuación homogénea asociada es Integrando:

Usaremos el método de variación de la constante, es decir obligamos a que la función

sea solución de la lineal completa:

La solución general de la completa es por tanto

Imponiendo obtenemos en consecuencia la solución pedida es

Su intervalo de continuidad es

(b) Dividiendo la ecuación entre

Efectuando el cambio obtenemos y la ecuación se transforma

en

La condición equivale a Pero esta es exactamente el problema

que se resolvió en el apartado anterior. Dado que , la solución pedida es por

tanto

12

El intervalo de continuidad es

(c) Obligando a que la función constante sea solución de la ecuación dada:

Para que la última igualdad sea una identidad, el polinomio del numerador ha de ser

idénticamente nulo es decir, cuando y Esta última

igualdad se verifica para pero solamente verifica la primera.

Concluimos que es solución de la ecuación diferencial dada. Efectuando el

cambio obtenemos Sustituyendo en la ecuación dada,

operando y simplificando obtenemos

La condición equivale a Pero de nuevo, esta es exactamente el

problema que se resolvió en el apartado A. Dado que , la solución

pedida es por tanto

El intervalo de continuidad es

13