ecuaciones diferenciales fiis practica 1

8/18/2019 ecuaciones diferenciales fiis practica 1

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

CICLO 2009-1

1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) 21 y dx xdy (2.0) b) 22(2 3 ) y x y (3.0)

c)2 2 3 3( 2) ( )( ) 0 y x dx x y ydx xdy (4.0)

2. Halle la ecuación diferencial de las parábolas cuyos focos están en el origen ycuyos ejes están sobre el eje X. (4.0)

3. Halle la ecuación diferencial de las rectas normales a la parábola2 1 y x

(3.0)

4. Halle la ecuación diferencial de una curva que cumple la siguiente condición: el

área limitada por el arco de la curva, el eje X y dos rectas verticales, una fija y

la otra variable, es numéricamente igual al doble de la longitud del arco entre

ambas rectas. (4.0)

CICLO 2008-3

1. Resuelva las siguientes las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) dy x xdy x xdx 424 11 (4.0) c) 0

2222

dy y x x xdx y x y

b) 022 22

dy x Lny xdx yLny y xyLn xy (4.0) Sugerencia: t xLny

2. Resuelva la ecuación diferencial :2)(1 y

ya y x y

proporcionando todas

las soluciones (4.0)

3. Hállese la ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola2 2 x y

Encuéntrese una solución singular de dicha ecuación diferencial. (4.0)

CICLO 2008-2

1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

CURSO : ECUACIONES DIFERENCIALES CICLO : 2010-1

CODIGO : CB-142

DOCENTE : VICTOR MONCADA CAJAVILCA FECHA : 31 MARZO 2010

PRIMERAS PRÁCTICAS CALIFICADAS


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a)

2

3 cos 2

y

y y

dy sen x e sen x

dx e e x

(3.0) b)

1 y xdy ydx tg x

(3.0)

c)2 2 2 22 1 2 0 x xy x xy dx x ydy

(4.0)

d)

2 22 2 2 0 y x y ydx x y y xdy (3.0)

2. Determine la ecuación diferencial de la familia de parábolas de ejes focales

verticales, con parámetro 0 p (fijo) y cuyos vértices se encuentran sobre la

recta : 4 2 2 0 L x y (3.0)

3. Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (0, 10) y que goza de lasiguiente propiedad: “Si por un punto cualquiera de ella se traza la tangentegeométrica y por el pie de la ordenada del punto de tangencia unaperpendicular a la tangente geométrica, hasta encontrar dicha tangente, tal

perpendicular mide siempre 10 unidades de longitud. 4.0)

CICLO 2008-1

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) 2 21 1 1 1 x y y dx y x x dy (3.0) b) 21 x y y e (3.0)

c) 1 1

3 2

2 3 4

2

x ydy dx

x y

(3.0) d)3 2 21 1 0

y x y dy dx

x

(4.0)

2. Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio 2, cuyos

centros se encuentran sobre la parábola2 1 y x . (4.0 pts)

3. Halle la ecuación diferencial de la familia de rectas normales a la parábola

2 y x . (3.0 pts)

CICLO 2007-3


a) 0)1()1( 22 dy x ydx y x (3.0) b) 011

dy

y

xedxe y

x y x

(3.0)

c) 03 23 dy xydx y Lnx (4.0)

2. Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje delas ordenadas por la normal a cualquiera de sus puntos , es igual a ladistancia desde este punto al origen de coordenadas. (4.0 pts)

3. Si poblaciones relativamente pequeñas (de seres humanos, animales,bacterias, etc), se dejan sin influir en ellas, a menudo crecen de acuerdo con laley de Malthus, la cual afirma que la rapidez de crecimiento con respecto altiempo es proporcional a la población presente. Hállese la población paracualquier año. Si se sabe.


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t 0 30

año 1800 1830

población 5.3 12.9

En millones (3.0)

4. Verifique si la funcióndt

t

sent xC xC y

x

021 es solución de la ecuación

diferencial: 0 xcos y xcos y x senx y x (3.0)

CICLO 2007-2


a)2cos ( 1) y x y (3.0) b) 1 2 1 0 y xy dx x xy dy (3.0)

c) 2 2 2 22 3 7 3 2 8 0 x y xdx x y ydy (3.0)

d) 3 31 1 0 x xy dx dy y

(4.0)

2. Halle la ecuación diferencial de la familia de elipses con a y b fijos ( 2 a:longitud del eje mayor ; 2 b: longitud del eje menor) cuyos ejes focales estánsobre el eje X y sus centros también están sobre el eje X . (4.0 pts)

3. Verifique que la función2( , ) cos( 2 ) x yV x y e y x es solución de la

ecuación diferencial dada :

2 2 2

2 24 4 0V V V x y x y

(3.0 pts)

CICLO 2007-1


a) 2

4 x y y (3.0) b) cos cos 0 y y

x y dx x dy x x

(3.0)

c)2 4 1 2 0 y y x y dx xdy

(3.5)

d) 2 22 2 0 xy xyLn y yLny dx x Lny x dy (3.5)

2. Verificar si(1 ) cos

x Lnt sent

y t sent t

es solución de la ecuación diferencial n x L y seny (3.0)

3. Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de

las ordenadas por la normal a cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia

desde este punto al origen de coordenadas. (4.0)


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CICLO 2006-2


a)

22

y x sen

y x sen y (3.0)

b) 02142

xdydx y x y y (4.0) c) 0)13(4

22 dy y xdx xy (3.5)

2. Comprobar si : Lny ydt t

sent x

x

0 es o no solución de yLny xsenx xLny y x (3.0)

3. Demostrar que la curva que posee la propiedad que todas sus normales pasanpor un punto constante es una circunferencia. (3.5)

4. Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que tienensus centros sobre el eje Y. 3.0)

CICLO 2006-1

1. Verifique que la relación : dt e x yLny t

x 2

0 es solución de la ecuación

diferencial :2

2)1( 2 x xye y Lny y y . (2.0)


a) 0)3()2( dy y xdx y x (2.0) b) y x y x x 32 (3.0)

c) 2)32(2 y x y (2.5) d) 02222 dy y x x xdx y x y (3.5)

3. Formar la ecuación diferencial que represente todas las tangentes a la parábola

x y 22 . (3.0)

4. Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus

puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal,

es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de

coordenadas. (4.0)

CICLO 2005-2

1. Verifique que la función dada por: x )()( sent t at x y )cos()( t t at y y

a : constante, satisface la ecuación diferencial : )02)(1 2 y y y (3.0 pts)

2. Hállese la ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola

y x 22 . Encuéntrese una solución singular de dicha ecuación diferencial (4.0)

3. Resuelva las siguientes las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) dy x xdy x xdx 424 11 (4.0) b) 033 2323 dy y x ydx xy x (3.0 )

c) 022 22 dy x Lny xdx yLny y xyLn xy Sugerencia : t xLny (3.5)


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4. Demuestre que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales

pasan por un punto constante, es una circunferencia. (2.5 pts)

CICLO 2005-1


a) )()(sec y x sen y x sen y y

(3.0) b)0cos

dy x

y

x y ydx

, y (0)=2 (3.0)

c) 033)( 253 dy x y ydx y x (3.5) d)

1

234

y x

y x y (3.5)

2. Una curva cuya pendiente está dada por :33

2

x y xy

xy y pasa por el punto

(2, 1). Hallar su ecuación. (3.5 pts)

3. Una curva está definida por la condición de que la suma de los segmentos,

interceptados por sus tangentes en los ejes coordenados en cualquier punto

),( y x P de ella, es siempre igual a 2. Exprese la condición por medio de una

ecuación diferencial. (3.5 pts)

CICLO 2004-3


a))(61 y xe x y (2.5) b) 0

2

dy xdx y

x

y sen xdx (3.0)

c) 0133 dy y xdx y x (3.0) d) 03 23 dy xydx y Lnx (4.0)2. Obténgase la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan

por las intersecciones de la circunferencia 122 y x y la recta x y (3.5)

3. Determine ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola y x 22

Encuéntrese una solución singular de dicha ecuación diferencial. (4.0)

CICLO 2004-1

1. Resolver : a) 0)1()1( 22 dy x ydx y x (3.0 pts)

b) )44cos( y x y (3.0 pts) c) 011

dy

y

xedxe y

x y x

(3.0 pts)

2. Consideremos un sólido esférico de radio R y cuya masa en el instante “t0”

es “M0” gramos si la tasa de desintegración es proporcional a la masa en el

instante t , ¿Cuál será la masa de la esfera en el instante t ? (3.0 pts)

3. Encuentre la ecuación diferencial que describe la familia de circunferencias quepasan por el origen. (4.0 pts)


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4. Hallar la familia de curvas para las que la longitud de la parte de la tangente

entre el punto de contacto ),( y x y el Eje Y es igual al segmento interceptado

en el eje Y por la tangente. (4.0 pts)

CICLO 2003-3


a) dy y x ydx )32( (3.0 pts) b) dx x

y x ydx xdy

cos (3.0 pts)

c) y x y (3.0 pts) d) 2)( y y x y (4.0 pts)

2. Una familia de curvas tiene la propiedad de que la línea tangente a cada curva

en el punto (x, y), el eje X, y la línea que une (x, y) con el origen forma un

triángulo isósceles con la línea tangente como base.

a) Determine la familia de curvas.

b) Aquella solución particular que pasa por el punto (2, 0). (4.0 pts)

3. Verifique si la función dt t

sent xC xC y

x

021 es solución de la ecuación diferencial : 0coscos x y x y x x sen y x (3.0 pts)

CICLO 2003-2

1. Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normalespasan por un punto constante, es una circunferencia. (3.5 pts)

2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

a) dx y xdy y x 22 432123 (3.0)

b) dx y x y x x x 23456 422 04 32 dy x xy (3.0)

c) 02142 xdydx y x y y (3.5) d) 0cos

3

2

2

dy

dx xdy

xd (3.0)

3. El presidente y el primer ministro piden café y reciben tasas a igual temperatura

y al mismo tiempo. El presidente agrega inmediatamente una pequeña

cantidad de crema fría; pero no se toma el café hasta 10 minutos después. El

primer ministro espera 10 minutos y, luego, añade la misma cantidad de crema

fría y comienza a tomarse su café. ¿Quién tomará el café mas caliente. (4.0 pts)

CICLO 2003-1

1. Verificar que las funciones dadas son soluciones de la ecuación diferencial :


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a)

22

12

t t

y

t senarct x

; y senarc y x b) x

xt xCedt ee y

0

2

;2 x xe y y

(2.5 pts) (2.5 pts)

2. Si poblaciones relativamente pequeñas (de seres humanos, animales,

bacterias, etc) , se dejan sin influir en ellas, a menudo crecen de acuerdo con la

ley de Malthus, la cual afirma que la rapidez de crecimiento con respecto al

tiempo es proporcional a la población presente. Hállese la población para

cualquier año. Si se sabe : (3.0)

3. Resolver :

a) y x y 2 (2.0 pts) b) 0)2()2( 22 dy x Lny xdx yLny y xyLn xy (3.0 pts)

c) 022

dy xydx ye y x x

y

(3.0 pts)

4. Hallar la curva para la cual el producto de la abcisa de cualquiera de suspuntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal,es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de

coordenadas (4.0 pts)

CICLO 2002-2

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales :

a) y y x xd

dy x 22 ; 0)3( y (3.0) b) 0)1(1 222 y x xy y y x (3.0)

c)

424

12

y x

y x

xd

yd (3.0) d)

2

32

x

ytg x

y

x

x

y y (3.0)

2. Resuelva la ecuación diferencial :2)(1 y

ya y x y

proporcionando

todas las soluciones. (4.0 pts)

3. Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de

las ordenadas por la normal a cualquiera de sus puntos , es igual a la

distancia desde este punto al origen de coordenadas. (4.0 pts)

t 0 30 Año 1800 1830

Población (en millones) 5.3 12.9

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