Ecuaciones Diferenciales OrdinariasJavier Fernando Díaz Díaz

Departamento de Ciencias BásicasUniversidad Manuela Beltrán

Bogotá D.C. Marzo 2014javierrmail@gmail.com

Resumen- El presente escrito resume la definición de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O) y presenta una explicación detallada de que son las ecuaciones diferenciales lineales, así como sus aplicaciones en crecimiento poblacional y el modelado de problemas de mezclas con el fin de recordar y aclarar conceptos vistos en clase durante la asignatura de Ecuaciones Diferenciales.

Palabras Clave- Ecuación Diferencial: Es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunas derivadas de esa función1 .

Orden: El orden de una ecuación diferencial es el máximo orden de derivación presente en ella.

Ordinarias: Quiere decir que implica derivadas con respecto de una sola variable independiente.

INTRODUCCIÓN

Las Ecuaciones Diferenciales son el método matemático por el cual puede plantearse, formular o describir diferentes fenómenos físicos, químicos como también en áreas de la sociología, medicina y la economía que impliquen la razón de cambio de una o más variables con respecto a otra.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Son aquellas que la función que interviene tiene sólo una variable independiente y son de la forma:

F (x,y,y’..) = 0

Por ejemplo:

dydx

+5 y=ex

Las ecuaciones diferenciales ordinarias pueden ser de primer y segundo orden, sin embargo en este trabajo de investigación solo se explicará brevemente las ecuaciones diferenciales de primer orden y dentro de estas se hablara específicamente de las ecuaciones lineales.

1 http://personal.us.es/niejimjim/tema01.pdf

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Las ecuaciones diferenciales de primer orden son aquellas que resuelven problemas de valor inicial y se define de la siguiente forma:

y'=F (x , y),

De igual forma una ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial se expresa de la siguiente forma:

L={dydt

=f (t , y )

y (t 0 )= y0}

Las ecuaciones diferenciales de primer orden suelen dividirse en:

VARIABLES SEPARABLES

Son aquellas ecuaciones en las que se puede escribir de la forma:

F ( x , y )=f ( x ) ∙ g( y)

y se resuelven luego integrando a cada lado de la ecuación.

ECUACIONES EXACTAS

Son aquellas ecuaciones que se pueden escribir de la forma:

M (x , y ) dx+N (x , y )dy=0

si existe una función F que cumpla:

∂ F∂ x

( x , y )=M

y,

∂ F∂ x

( x , y )=N

su solución entonces,

F ( x , y )=C

ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Si una ecuación en la forma diferencial

M (x , y ) dx+N (x , y )dy=0

tiene la propiedad que

M (tx ,ty )=t n M ( x , y ) y N (tx , ty )=t n N ( x , y )

Se dice que tiene coeficientes homogéneos o que es una ecuación homogénea.

ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Sea la forma;

a1 ( x ) dydx

+a2 ( x ) y=g (x)

y= yc+ y p

yc es solución de la E.D.L homogéneayp es solución de la E.D.L NO homogénea

Tenemos que;a1(x )a1(x )

dydx

+a2(x )a2(x )

y=g(x )a1(x )

La forma estándar de la E.D.L es

dydx

+ p ( x ) y=f (x)

Para solucionar una E.D.L en un intérvalo F las funciones p(x) y f(x) deben ser continuas.

Para solucionar una E.D.L se sugiere seguir los siguientes pasos:

Expresar la E.D.L de forma estándar y determinar p(x).

Sabiendo p(x) buscamos el factor integrante

μ ( x )=e∫p ( x ) dx

Realizar el producto a ambos lados de la ecuación estándar por µ(x)

Determinar la derivada que recoge el lado izquierdo de la E.D e integrar para así llegar a la solución.

Ejemplo;

Resolver la siguiente E.D.L

dydx

−3 y=6

p ( x )=−3 →∫ p ( x ) dx

∫(−3)dx=−3 x

μ ( x )=e∫p (x)

→ μ ( x )=e−3 x

e−3 x dydx

−3 e−3 x y=6 e−3 x

ddx

[e−3 x y ]=6 e−3 x

e−3 x y=6∫ e−3 x dx

y

e3 x= 6

−3e−3 x+c

y=e3 x (−2e−3 x+c )

y=−2+c e3 x

Cuando una ecuación diferencial se utiliza para describir un fenómeno físico, se dice que es un modelo matemático. Para tales fenómenos como la desintegración radiactiva, crecimiento de poblaciones, corriente eléctrica en un circuito en serie, velocidad de un cuerpo en caída, etc., son a menudo ecuaciones diferenciales de primer orden.

Veamos algunas aplicaciones a continuación

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1. Crecimiento y decrecimiento2:

2G. Zill-Dennis, "Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones", Grupo Editorial Iberoamericana, Segunda edición, pp. 85-86 1986.

El problema de valor inicial

dydx

=kx

Ecuación 1

x(t0)=x0,

En donde k es una constante, aparecen en muchas teorías físicas que involucran crecimiento, o bien, decrecimiento. Por ejemplo, en biología a menudo se observa que la rapidez con que, en cada instante, ciertas bacterias se multiplican es proporcional al número de bacterias presentes en dicho instante. Para intervalos de tiempo cortos, la magnitud de una población de animales pequeños, como roedores puede predecirse con bastante exactitud mediante la solución (1). La constante k se puede determinar a partir de la solución de la ecuación diferencial usando una medida posterior de la población en el instante t1>t0.

En física, un problema de valores iniciales como (1) proporciona un modelo para aproximar la cantidad restante de una sustancia que se desintegra radiactivamente. La ecuación diferencial en (1) también podría determinar la temperatura de un cuerpo que se enfría. En química, la cantidad restante de una sustancia durante ciertas reacciones también se describe mediante (1).

Ejemplo crecimiento bacteriano:

Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias. Para t =1 hora, el número de bacterias medido es (3/2)N0. Si la rapidez de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique.

Solución:Primero se resuelve la ecuación diferencial

dNdt

=kN (2)

Sujeta a N(0) =N0

Una vez que se ha resuelto este problema, se emplea la condición empírica N(1) =(3/2) N0 para determinar la constante de proporcionalidad k.

Ahora bien, (2) es a la vez separable y lineal. Cuando se la lleva a la forma

dNdt

=−kN=0

es posible ver, mediante un simple examen, que el factor integrante es e-kt. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por este término, de inmediato resulta

ddt

[e−kt N ]=0

Integrando ambos miembros de la última ecuación,e-ktN = c o bien N(t) = cekt

Para t =0 se deduce que N0 = ce0 = c y por lo tanto N(t)= N0

e-kt. Para t =1 se tiene 32

N0=N 0 ek o bien ek=32

De donde se obtiene,

k=ln( 32 )=0,4055

En consecuencia, N(t)= N0e0,4055t

Para determinar el valor de t para el que las bacterias se triplican, despejamos t de

3N0 = N0e0,4055t

Se deduce que 0,4055t = ln 3

t= ln30,4055

≈ 2,71 hrs

Para k>0 la función exponencial ekt crece cuando t crece; y si k<0, decrece cuando t crece. Así, los problemas que describen crecimiento, como el de una población, número de bacterias, e incluso capital, se caracterizan por un valor positivo de k, mientras que los problemas que involucran decrecimiento, como la desintegración radiactiva, darán un valor negativo de k.

2. Problema de mezclas3:

A veces, al mezclar dos líquidos da lugar a una ecuación diferencial lineal de primer orden. En el siguiente ejemplo se considera la mezcla de dos soluciones salinas de concentraciones diferentes.

Ejemplo de mezclas:

Se disuelven inicialmente 50 lb de sal en un tanque que contiene 300gal de agua: Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 gal por minuto; y luego la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque también a razón de 3 gal/min. Si la concentración de la solución que entra es de 2 lb/gal, determine la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal hay después de 50 min? ¿Cuánta después de un tiempo largo?

Solución:

3 G. Zill-Dennis, "Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones", Grupo Editorial Iberoamericana, Segunda edición, pp. 93-94 1986.

Sea A(t) la cantidad de sal (en lb) que hay en el tanque en un instante cualquiera. En problemas de esta clase, la rapidez neta con que A(t)cambia está dada por

dAdt

=( rapidez conquela sustancia entra)−( rapidezconque

la sustancia sale)=R1−R2

Ecuación 11

Ahora bien, la rapidez con que la sal entra al tanque es, en lb por minuto,

R1= (3gal/min)*(2 lb/gal) = 6lb/min

En tanto que la rapidez con que la sal sale es

R2=(3 galmin ) ∙( A

300lb

gal )= A100

lb /min

En consecuencia, la ecuación (11) se transforma en

dAdt

=6− A100

lb /min

Ecuación 12

La que resolvemos sujeta a la condición inicial A(0) = 50.Puesto que el factor integrante es et/100, puede escribirse (12) como

ddt

[ e t100 A ]=6e

t100

y por lo tanto

[e t100 A ]=600 e

t100+c

A=600+ce−t100

Cuando t=0 se tiene A=50; se halla así que c=-550. Finalmente, se obtiene

A( t)=600−550 e−t100

Ecuación 14

Para t=50 se tiene que A(50)=266,41 lb. Además, cuando t→∞, de (14) se puede deducir que A→600. Por supuesto, esto es lo que se esperaría; después de un período largo, el número de lbs de sal presente en la solución debe ser

(300 gal)(2lb/gal)=600 lb

t (minutos) A (libras)50 266.41100 397.67150 477.27200 525.57300 572.62400 589.93

CONCLUSIONES

El desarrollo del presente trabajo de investigación permitió refrescar aquellos conceptos básicos en las Ecuaciones Diferenciales, como también recordar la solución de ecuaciones lineales en las que es necesario tener en cuenta el factor integrante.

De igual manera las Ecuaciones Diferenciales nos acercan a soluciones más aproximadas mediante la resolución de diferentes métodos aplicados, introduciéndonos de frente a la resolución de estos mismos mediante los métodos numéricos.

En el estudio matemático del aumento de población desintegración radiactiva, se encuentran ecuaciones diferenciales que son aplicables al estudio continuo de la naturaleza y al desarrollo de la humanidad para tratar de explicar y entender los fenómenos matemáticos que nos rodean diariamente.

REFERENCIAS

[1] G. Zill-Dennis, "Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones", Grupo Editorial Iberoaméricana, Segunda edición, pp. 2,12,32-59, 85-95 1986.

[2] R. Nagle-Kent, B.Staff-Edward, D. Snider-Arthur "Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera”, Addison Wesley, Tercera edición, pp. 42-54, 2001.

WEBGRAFÍA

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria_de_primer_orden

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria_de_primer_orden#Ecuaciones_lineales_de_primer_orden

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Ecuaci.C3.B3n_lineal

http://personal.us.es/niejimjim/tema01.pdf

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/recursos/l841-02.pdf